Konstrukce realizací Lieových algeber
|
|
- Vít Dušek
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 České vysoké učení technické v Praze F4 Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra fyziky Konstrukce realizací Lieových algeber Daniel Gromada
2 Realizace Lieovy algebry 2+ Realizace Lieovy algebry g na varietě M je homomorfismus R: g Vect M Př: Algebru g 2 [e 1, e 2 ] = e 1 realizují vektorová pole v rovině R(e 1 ) = 1, R(e 2 ) = x
3 Realizace Lieovy algebry 2+ Realizace Lieovy algebry g na varietě M je homomorfismus R: g Vect M Př: Algebru g 2 [e 1, e 2 ] = e 1 realizují vektorová pole v rovině R(e 1 ) = 1, R(e 2 ) = x Prostá realizace se nazývá věrná
4 Realizace Lieovy algebry 2 Realizace Lieovy algebry g na varietě M je homomorfismus R: g Vect M Př: Algebru g 2 [e 1, e 2 ] = e 1 realizují vektorová pole v rovině R(e 1 ) = 1, R(e 2 ) = x Prostá realizace se nazývá věrná Budeme uvažovat lokální realizace, tj M := U okolí nuly v R m
5 Klasifikační úloha Realizace R 1 : g Vect M 1 a R 2 : g Vect M 2 jsou A-ekvivalentní, pro A Aut g, existuje-li α A a Φ: M 1 M 2 difeomorfismus tak, že Rozlišujeme dva speciální případy R 2 (α(a)) = Φ R 1 (a) a g 3+ A = {id} A = Aut g silná ekvivalence, slabá ekvivalence
6 Klasifikační úloha Realizace R 1 : g Vect M 1 a R 2 : g Vect M 2 jsou A-ekvivalentní, pro A Aut g, existuje-li α A a Φ: M 1 M 2 difeomorfismus tak, že Rozlišujeme dva speciální případy R 2 (α(a)) = Φ R 1 (a) a g 3+ A = {id} A = Aut g silná ekvivalence, slabá ekvivalence Najití všech realizací přímou cestou vyžaduje řešení komplikovaných parciálních diferenciálních rovnic Byly klasifikovány realizace všech Lieových algeber do dimenze čtyři* * Popovych, Boyko, Nesterenko, Lutfullin, J Phys A: Math Gen 2003
7 Klasifikační úloha Realizace R 1 : g Vect M 1 a R 2 : g Vect M 2 jsou A-ekvivalentní, pro A Aut g, existuje-li α A a Φ: M 1 M 2 difeomorfismus tak, že Rozlišujeme dva speciální případy R 2 (α(a)) = Φ R 1 (a) a g A = {id} A = Aut g silná ekvivalence, slabá ekvivalence 3 Najití všech realizací přímou cestou vyžaduje řešení komplikovaných parciálních diferenciálních rovnic Byly klasifikovány realizace všech Lieových algeber do dimenze čtyři* Realizace R: g U, kde U je okolí nuly v R m je tranzitivní, je-li {R(a) 0 a g} = T 0 M * Popovych, Boyko, Nesterenko, Lutfullin, J Phys A: Math Gen 2003
8 Realizace a akce 4 Pro Lieovu algebru g existuje až na izomorfismus jedinečná lokální Lieova grupa G Pravá akce Lieovy grupy G na varietě M určuje na M realizaci g pomocí fundamentálních vektorových polí a d dt p eta t=0 Libovolnou realizaci lze naopak zintegrovat v akci lokální grupy
9 Realizace a akce Stejné akce odpovídají stejným realizacím 5+
10 Realizace a akce Stejné akce odpovídají stejným realizacím Akce π (1) a π (2) grup G 1 a G 2 na M 1 a M 2 nazveme A-podobné, A Aut g, existuje-li difeomorfismus Φ: M 1 M 2 a izomorfismus φ: G 1 G 2, dφ A splňující 5+ Φ(π (1) (p, g)) = π (2) (Φ(p), φ(g))
11 Realizace a akce Stejné akce odpovídají stejným realizacím Akce π (1) a π (2) grup G 1 a G 2 na M 1 a M 2 nazveme A-podobné, A Aut g, existuje-li difeomorfismus Φ: M 1 M 2 a izomorfismus φ: G 1 G 2, dφ A splňující 5+ Φ(π (1) (p, g)) = π (2) (Φ(p), φ(g))
12 Realizace a akce Stejné akce odpovídají stejným realizacím Akce π (1) a π (2) grup G 1 a G 2 na M 1 a M 2 nazveme A-podobné, A Aut g, existuje-li difeomorfismus Φ: M 1 M 2 a izomorfismus φ: G 1 G 2, dφ A splňující 5+ Φ(π (1) (p, g)) = π (2) (Φ(p), φ(g)) Realizace jsou A-ekvivalentní, právě když jsou příslušné akce A-podobné
13 Realizace a akce Stejné akce odpovídají stejným realizacím Akce π (1) a π (2) grup G 1 a G 2 na M 1 a M 2 nazveme A-podobné, A Aut g, existuje-li difeomorfismus Φ: M 1 M 2 a izomorfismus φ: G 1 G 2, dφ A splňující 5 Φ(π (1) (p, g)) = π (2) (Φ(p), φ(g)) Realizace jsou A-ekvivalentní, právě když jsou příslušné akce A-podobné Realizace je věrná, právě když je příslušná akce efektivní
14 Tranzitivní realizace Realizace je tranzitivní, právě když je příslušná akce tranzitivní 6+
15 Tranzitivní realizace Realizace je tranzitivní, právě když je příslušná akce tranzitivní Každá tranzitivní akce G na M je izomorfní pravému násobení G na G p \ G = {G p g g G} Tranzitivní akce G jsou tedy až na izomorfismus určeny podgrupou H G hrající roli stabilizátoru 6+
16 Tranzitivní realizace Realizace je tranzitivní, právě když je příslušná akce tranzitivní Každá tranzitivní akce G na M je izomorfní pravému násobení G na G p \ G = {G p g g G} Tranzitivní akce G jsou tedy až na izomorfismus určeny podgrupou H G hrající roli stabilizátoru Tranzitivní realizace g jsou tedy určeny podalgebrou h g Tranzitivní realizace příslušné A-konjugovaným podalgebrám jsou A-ekvivalentní 6+
17 Tranzitivní realizace Realizace je tranzitivní, právě když je příslušná akce tranzitivní Každá tranzitivní akce G na M je izomorfní pravému násobení G na G p \ G = {G p g g G} Tranzitivní akce G jsou tedy až na izomorfismus určeny podgrupou H G hrající roli stabilizátoru Tranzitivní realizace g jsou tedy určeny podalgebrou h g 6 Tranzitivní realizace příslušné A-konjugovaným podalgebrám jsou A-ekvivalentní Tranzitivní realizace je věrná, právě když příslušná podalgebra neobsahuje netriviální ideál g
18 Konstrukce tranzitivních realizací* Volbě h = {0}, tj H = E odpovídá pravé násobení na E \ G = G, které je generováno levoinvariantními vektorovými poli Příslušná realizace se nazývá generická Další realizace se dostanou restrikcí generické na podvarietu H \ G 7+ * Magazev, Mikheyev, Shirokov, SIGMA 2015
19 Konstrukce tranzitivních realizací* Volbě h = {0}, tj H = E odpovídá pravé násobení na E \ G = G, které je generováno levoinvariantními vektorovými poli Příslušná realizace se nazývá generická Další realizace se dostanou restrikcí generické na podvarietu H \ G Budeme pracovat v druhých kanonických souřadnicích 7 g x 1,,x n = ex1 e1 e xn e n, e 1,, e n je báze g Zvolíme-li e 1,, e n m bázi h a doplníme vektory e n m+1,, e n na bázi g, budou souřadnice y β = x 1,, x n m popisovat bod v H h y 1,,y n m = ey1 e1 e yn m e n m a souřadnice q a = x n m+1,, x n třídu z H \ G ḡ q 1,,q m = Heq1 e n m+1 e qm e n * Magazev, Mikheyev, Shirokov, SIGMA 2015
20 Konstrukce tranzitivních realizací Souřadnicové vyjádření násobení zprava na G se bude v souřadnicích q a = x n m+a shodovat se souřadnicovým vyjádřením pravé akce na H \ G Generátory pravého násobení na G generická realizace se tedy v prvních m souřadnicích budou shodovat s generátory pravého násobení na H \ G ˆX i a (q) = d dt dqa ḡ q e te n m+i = d t=0 dt dxn m+a g y,q e te n m+i = Xi n m+a (y, q) t=0 Generická realizace n m R gen (e i ) g( q,y) = X i (q, y) = X β m i (q, y) y β + Xi n m+a (q) q a tedy určuje realizaci β=1 R(e i )ḡq = ˆX i (q) = m a=1 a=1 X n m+a i (q) q a 8
21 Konstrukce levoinvariantních vektorových polí* Levoinv pole jsou generované pravým násobením, snadno zjistíme Xj(y) i = [g yg x ] i x j = [(dl gy ) e ] i j x=0 9 V druhých kanonických souřadnicích pak přímým výpočtem získáme [(dl gy ) e ] i j = [exp( x 1 ad e1 ) exp( x i 1 ad ei 1 )] i j * Shirokov, Russ Phys J 1997
22 Netranzitivní realizace Uvažujme realizaci R na okolí nuly U R m a pro ni označme r(x) := dim R(g) x = dim{r(a) x a g} hodnost realizace v daném x U Realizace je netranzitivní, právě když r(0) < m Ze spojitosti realizace plyne, že je-li r v nule (lokálně) maximální, pak je zde lokálně konstantní Maximální hodnotu v okolí nuly nazveme rank realizace rank R = inf ɛ>0 max x <ɛ r(x) 10
23 Realizace s konstantní hodností r < m Obraz R(g) je involutivní r-dimenzionální distribuce na U Podle Frobeniovy věty můžeme na U zvolit souřadnice q 1,, q m takové, že U je foliováno integrálními podvarietami q i = const pro i = r + 1,, m tvořící orbity akce G Realizace je tedy tvaru R(e i ) = X i = r Xi a (q 1,, q m ) q a a=1 To lze interpretovat jako (m r)-parametrickou množinu tranzitivních realizací na integrálních podvarietách 11
24 Realizace s konstantní hodností r < m Postup lze obrátit: parametry tranzitivních realizací interpretovat jako funkce nových proměnných Je však třeba pracovat s klasifikací vůči silné ekvivalenci 12+
25 Realizace s konstantní hodností r < m Postup lze obrátit: parametry tranzitivních realizací interpretovat jako funkce nových proměnných Je však třeba pracovat s klasifikací vůči silné ekvivalenci Jsou-li h x 1 a hy 2 třídy podalgeber g a R(x) 1 a R (y) 2 příslušné tranzitivní realizace, pak jsou netranzitivní realizace R 1 (a) (p,x) = R (x) 1 (a) p, R 2 (a) (p,y) = R (y) 2 (a) p ekvivalentní, právě když existuje lokální difeomorfismus x Ψ(x) a automorfismus α A tak, že h Ψ(x) 2 = α(h x 1) 12+
26 Realizace s konstantní hodností r < m Postup lze obrátit: parametry tranzitivních realizací interpretovat jako funkce nových proměnných Je však třeba pracovat s klasifikací vůči silné ekvivalenci Jsou-li h x 1 a hy 2 třídy podalgeber g a R(x) 1 a R (y) 2 příslušné tranzitivní realizace, pak jsou netranzitivní realizace R 1 (a) (p,x) = R (x) 1 (a) p, R 2 (a) (p,y) = R (y) 2 (a) p ekvivalentní, právě když existuje lokální difeomorfismus x Ψ(x) a automorfismus α A tak, že h Ψ(x) 2 = α(h x 1) 12 Libovolná realizace lze rozšířit triviálně prostým přidáním proměnných
27 Příklad Nejjednodušší příklad je 2D komutativní algebra 2g 1 = span{e 1, e 2 } Ta má podalgebry generované 0, (e 1 ), (e 2 + ae 1 ), (e 1, e 2 ) Množině podalgeber generovaných e 2 + ae 1 odpovídá realizace na R R (a) (e 1 ) = 1, R (a) (e 2 ) = a 1 Dostáváme netranzitivní realizace na R 2 R f (e 1 ) = 1, R f (e 2 ) = f(x 2 ) 1 pro f C R f a R g jsou ekvivalentní, právě když existuje hladká ψ ψ(0) = 0, ψ (0) 0, f ψ = g Všem neekvivalentním analytickým odpovídají monomy f(x) = x k 13
28 Realizacce s nekonstantním r Označme r := r(0) < rank R Množina A := {x U r(x) < rank R} je tvořena integrálními podvarietami realizace (obecně různých dimenzí), označme tu procházející nulou A 0 Vhodnou volbou souřadnic můžeme zajistit, že A 0 je popsána rovnicemi q r+1 = = q m = 0 14+
29 Realizacce s nekonstantním r Označme r := r(0) < rank R Množina A := {x U r(x) < rank R} je tvořena integrálními podvarietami realizace (obecně různých dimenzí), označme tu procházející nulou A 0 Vhodnou volbou souřadnic můžeme zajistit, že A 0 je popsána rovnicemi q r+1 = = q m = 0 Doplněk B množiny A je tvořen body x, kde r(x) je lokálně maximální, a tedy lokálně konstantní, B je tedy otevřená Realizace R zúžená na souvislé komponenty B i má konstantní r a až na difeomorfismus B i je to zúžení nějaké již nalezené realizace R i Na komponentách B i je tedy R = (Φ i ) R i, kde Φ i jsou difeomorfismy B i takové, že limita dφ i na hranici B i je singulární a R jde spojitě dodefinovat na A 14
30 Realizace s nekonstantním r Postup lze opět obrátit Vezměme realizaci R 1 na R m s konstantní hodností Najděme hladkou bijekci Φ takovou, že dφ je singulární na A 0 := {x r+1 = = x m = 0}, ale na každém okolí nuly je někde regulární V analytickém případě takto již dokážeme zkonstruovat všechny realizace s nekonstantním r Budeme-li brát neekvivalentní R 1 a neekvivalentní difeomorfismy Φ vůči změně souřadnic, dostaneme neekvivalentní R V neanalytickém lze na některých komponentách B := {x R m det dφ x 0} R hladce nahradit jinou reprezentací 15
31 Příklad Vezměme 1D algebru g 1 = span{e 1 } a podívejme se na realizace s r(0) = 0 a rankem 1 na R Je jediná realizace s konst r(x) = 1 na R R 1 (e 1 ) = 1 Hledané realizace jsou φ R 1 pro φ (0) = 0 Označíme-li f = φ, jsou to R f (e 1 ) = f(x 1 ) 1, f(0) = 0 R f a R g jsou ekvivalentní, právě když existuje ψ, ψ (0) 0 a f ψ = g V případě g 1 je realizace cokoliv přiřazující 16 e 1 f i (x 1,, x n ) i
32 17 Závěr Klasifikace všech realizací dané Lieovy algebry je komplikovaná úloha, která nejspíš nemá jednoduché řešení v tomto ohledu tedy není ani příliš rozumná Rozumné je hledat klasifikaci podalgeber a tak získat klasifikaci tranzitivních realizací Ty ostatní pak již lze zkonstruovat popsanými postupy
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceTeorie grup a její aplikace ve fyzice
Týden 1: 4.10. Obsah přednášek NTMF061 Teorie grup a její aplikace ve fyzice ZS 2017/18 definice grupy, řád grupy, příklady grup, Abelova grupa, cyklická grupa, izomorfismus mezi grupami multiplikativní
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceMatematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceTeorie grup a její aplikace ve fyzice
Týden 1: 4.10. Obsah přednášek NTMF061 Teorie grup a její aplikace ve fyzice ZS 2018/19 definice grupy, řád grupy, příklady grup, Abelova grupa, cyklická grupa, izomorfismus mezi grupami multiplikativní
VíceObsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceVariační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Zapsal Jan Šustek
Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Zapsal Jan Šustek Obsah Seznam použitých symbolů a konvencí.............................................. 2 0. Opakování.........................................................................
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceVariační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Obsahuje 1413 hypertextových odkazů. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005)
Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Obsahuje 1413 hypertextových odkazů Zapsal Jan Šustek Aktualizováno 29. května 2005 Obsah Seznam použitých symbolů
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
Více(1) Dokažte, že biprodukt je součin (a tím pádem i součet). Splňují-li homomorfismy. A B je izomorfismus stejně jako A B i+j
1. cvičení (1) Necht A je komutativní grupa. Dokažte, že End(A) společně s operacemi sčítání a skládání zobrazení je okruh. (2) Dokažte přímo z definice, že na každé komutativní grupě existuje právě jedna
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceÚvod do teorie Lieových grup
Úvod do teorie Lieových grup Materiál k přednášce Dalibor Šmíd 31. března 2010 Disclaimer: Tento text zatím vzniká bez jasného záměru o jeho struktuře. Jeho prvním cílem je poskytnout jakýsi rozšířený
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Více7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceCharakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
Více4 Lineární zobrazení. 4.1 Definice lineárního zobrazení
4 Lineární zobrazení Motivace. Diferenciální rovnice jsou partií matematiky, která má uplatnění ve fyzice, ekonomii, biologii, chemii atd. Prostě a jednoduše, vymyslete si jakýkoliv jev a je pravděpodobné,
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky
7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceGEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ. Josef Janyška
GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ Josef Janyška 21. února 2019 Obsah 1 LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ NA VEKTOROVÝCH PROSTORECH 1 1.1 Lineární zobrazení vektorových prostorů.............. 1 1.2 Invariantní podprostory.......................
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.
ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceAlgebraické struktury
Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VícePavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
VíceVlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů
Drsná matematika I 8. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Matice zobrazení 3 Vlastní
VíceAlgoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic
Úvod Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra softwarového inženýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje
VíceLineární zobrazení. V prvním z následujících tvrzení navíc uvidíme, že odtud plynou a jsou tedy pak rovněž splněny podmínky:
Lineární zobrazení Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou dva vektorové prostory nad týmž tělesem (T, +, ). Nechť f : V W je zobrazení splňující následující podmínky: ( u, v V)(f(u + v) = f(u) + f(v)), ( s T )(
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceRovnice se separovanými proměnnými
Rovnice se separovanými proměnnými V této kapitole se budeme zabývat následující diferenciální rovnicí: y = g(y)f(x), (1) kde f a g jsou reálné funkce reálné proměnné. Tato rovnice se nazývá rovnice se
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceMatematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3
3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů
VíceSlajdy k přednášce Lineární algebra I
Slajdy k přednášce Lineární algebra I Milan Hladík Katedra Aplikované Matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze, http://kammffcunicz/~hladik 22 října 203 Intro Nejstarší zaznamenaná
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS)
ALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS) Info ke zkoušce: zkouška Algebra 2 je typu kolokvium (= ústní zkouška), tj. u zkoušky není žádná písemka, jen ústní část. Máte
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceZáklady Mnohostěny Homotopie Vnoření Variety Dimenze OBECNÁ TOPOLOGIE 17. EUKLIDOVSKÉ PROSTORY. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih. 17. Euklidovské prostory
OBECNÁ TOPOLOGIE 17. EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Miroslav Hušek, Pavel Pyrih 2009 DEFINICE (Označení) 1 Pro n N označíme množinu n-tic reálných čísel R n a budeme ji nazývat Euklidovský prostor. Pro x = (x 1,...,
VícePřijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2017/18 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 7/8 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te podrobný,
VíceGRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ
Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ bakalářská práce Brno 2005 Vít Musil i Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury.
Více