Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK)

Transkript

1 Nelineární analýa materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Volitelný předmět 1+1, Vučuje: prof. Ing. Petr Kabele, Ph.D. místnost B328, tel: 4485, petr.kabele@fsv.cvut.c Návanost na předmět Přetváření a porušování materiálů (PPM) Cíle: vkoušet si použití modelů ohledňujících nelineární přetváření a porušování materiálů při řešení praktických inženýrských úloh senámit se s praktickým použitím víceúčelových programů aložených na MKP pro řešení pokročilých úloh mechanik Hodnocení: ápočet na ákladě vpracovaných protokolů projektů a preentace výsledků 1

2 Témata : 1. Opakování ákladů mechanik kontinua (pevných těles) 2. Princip MKP, ukáka na 1-D úloe 3. Program MKP a jejich struktura pohledu uživatele, ákladní operace v programu ADINA 4. Tp a volba prvků Algoritm řešení materiálově nelineárních úloh v MKP 2

3 Projekt 1: Plasticita plasticita při víceosé napjatosti Projekt 2: Viskoelasticita tráta předpětí ŽB prvku v důsledku dotvarování 3

4 Projekt 3: Lomová mechanika určení faktoru intenit napětí pomocí MKP 4

5 Organiace výuk výuka v počítačové učebně B373: správce učebn doc. P. Fajman (B324) přihlašování na počítačích přes doménu CVUTFSV účt spravuje p. Valda (B257a) případně RNDr. Pultar (B103a) učebnu možno vužívat i mimo dobu výuk (klíč na vrátnici) studentská vere programu ADINA 900 nodes ( k volnému použití na vlastním PC (Windows) Literatura: Jirásek, Zeman: Přetváření a porušování materiálů, ČVUT 2006 manuál programu ADINA (PDF součástí instalace) Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall

6 Opakování áklad mechanik Co je to mechanika? Nauka o chování těles vstavených působení sil. de chováním roumíme: přemístění, měn tvaru a objemu (přetváření), porušování, pohb,... 6

7 Metoda mechanik Fická úloha modelování Matematická úloha řešení Požadovaný výsledek tvar konstrukce, materiál, atížení soustava rovnic, okrajové a počáteční podmínk predikce/reprodukce přemístění, přetvoření, napjatosti, porušení,... Equilibrium equations (3 equations) Kinematic equations (6 equations) Constitutive equations (6 equations) 7

8 Modelování: idealiace/jednodušení fické úloh YNAK identifikace jevů, které má analýa popsat (únosnost, porušení,...) definice veličin popisujících působení atížení, jeho přenášení v konstrukci a následné chování konstrukce (síla, přemístění, napětí, deformace,...) SM1, SM2, PP, SM3, PPM,... definice vtahů mei těmito veličinami: vcháí obecně platných fikálních ákonů a aiomů (ákon achování energie, hmot, hbnosti, ákon síl,...) SM1, SM2, PP, SM3, PPM,... volba materiálového modelu (elasticita, plasticita, poškoení,...) jednodušení geometrie a avedení kinematických předpokladů (2-D, 3-D, nosník, deska,...) vjádření účinků atížení (statické/dnamické, matematické vjádření atížení, kombinace atížení) 8

9 Řešení analtické metod (přímé řešení řídících diferenciálních rovnic, metoda Airho funkce,...) řešení v uavřeném tvaru poue pro určité případ numerické metod (metoda konečných prvků MKP [finite element method - FEM], metoda diskrétních prvků MDP [discrete element method DEM], metoda hraničních prvků MHP [boundar element method BEM],...) obecné pro jakékoliv geometrie, atěžovací stav, materiálové model SM1, SM2, PP, SM3, PPM, YPM1... 9

10 Základ mechanik pevných těles (solid mechanics) Cíl: ustavit rigoróní matematický popis mechanického stavu pevných těles Předpoklad: pevné těleso kontinuum (solid continuum) kontinuita, homogenita (neuvažujeme strukturu materiálu [meo, mikro, nano,...]) Základní proměnné (pole) popisující mechanický stav tělesa: síl a napětí (force and stress) přemístění a deformace (displacement and deformation) 10

11 Základní veličin mechanik pevných těles vnější síl: povrchové (surface forces) f = { f, f, f } T objemové (volume forces) b = { b, b, b } T přemístění (displacement) u = { u, u, u } T statické rovnice/ podmínk rovnováh geometrické rovnice/ podmínk kompatibilit vnitřní síl: napětí (stress) konstitutivní/ fikální/ materiálové rovnice deformace/přetvoření (strain) 11

12 Základní řídící rovnice mechanik pevných těles Statické rovnice (3 rovnice) σ τ τ b = 0 τ σ τ b = 0 τ τ σ b = 0 τ = τ, τ = τ, τ = τ u u u 2 u u u 2 u u u 2 Geometrické rovnice (6 rovnic),, Pon.:,,... inženýrská deformace (engineering strain) Fikální rovnice (6 rovnic) T,,,,,,,,,, T 12

13 Fikální rovnice vi PPM rovnice mohou mít roličnou formu, např. iotropní lineární elasticita: σ = Deε E σ t = De ε t iotropní viskoelasticita: t (... relaační operáror) 1 t t t 11 2 E 21 t 21 t plasticita: σ = D ε ep 13

14 Úloha mechanik určete pole přemístění, přetvoření a napětí v dané doméně vtah mei veličinami jsou dán řídícími rovnicemi soustava parciálních diferenciálních rovnic pro funkce u(,, ), (,, ), (,, ) pro jednonačné řešení je třeba definovat okrajové podmínk v každém bodě hranice: kinematickéu u ( u 0) na S u statické nσ f ( nσ 0) na S t (speciální) nσ f nσ 0 b S t u u S u úloha s okrajovými podmínkami (boundar value problem) 14

15 Úloha s okrajovými podmínkami u, v, w T Du b 0 u nσ silný tvar (strong form) u t on on S S u t b, b, b okrajové podmínk (boundar conditions) 15

16 Úloha mechanik nelineární materiál nelinearita konstitutivních rovnic úlohu obecně nele řešit poue pro jeden okamžik, řešíme ji jako sekvenci po sobě jdoucích stavů splňujících řídící rovnice hledáme vývoj (historii) pole přemístění, deformace a napětí v dané doméně u(,,, t), (,,, t), (,,, t) t nσ f nσ 0 bt okrajové podmínk definujeme jako historii předepsaných hodnot (funkce v čase): kinematické u u statické nσ f t (speciální) t u u t řešení v čase integrace... nutno definovat i počáteční podmínk (pole u(,,, t 0 ), (,,, t 0 ), (,,, t 0 ) ), které jsou souladu s řídícími rovnicemi a okrajovými podmínkami 16

17 2-D úloh V mnoha inženýrských úlohách je možné avést jednodušení redukováním dimene 3-D do 2-D, např. Rovinná napjatost (plane stress) Předpoklad: tenká rovinná konstrukce (např. stěna) všechna atížení působí v rovině konstrukce pak = = = 0 σ ε

18 fikální vtah (iotropní elastické kontinuum) 1 0 E E E 1 18

19 Rovinná deformace (plane strain) Předpoklad: velice dlouhá konstrukce s konstantním tvarem a velikostí příčného řeu (např. opěrná stěna, tunel) všechna atížení působí ve směru rovnoběžném s příčným řeem všechna atížení jsou konstantní po délce konstrukce Pak můžeme analovat poue tpický příčný ře, pro který platí = = = ε σ

20 20 fikální vtah (iotropní elastické kontinuum) 1 0 E E

21 Osová smetrie (aial smmetr) Předpoklad: osově smetrická konstrukce (např. sloup) všechna atížení jsou osově smetrická Pak je výhodné vjádřit napětí, deformace, síl a posun v clindrických souřadnicích r--q a r q analovat tpickou výseč, pro kterou platí rq = q = 0 ε r r 2 r q σ r r r q r 21

22 fikální vtah (iotropní elastické kontinuum) 1 0 r r 1 0 E 1 0 q 11 2 q 1 2 r rq 2 22

23 Jednoosá napjatost (uniaial stress state) předpoklad: 0, 0 0 ale 0 0, 0, 0 23

24 Ohb rovinného prutu (planar beam bending) l m n t předpoklad: l >> než ostatní roměr m n tm mn t lineární průběh po výšce průřeu 0 24

25 Modelování materiálů jako homogenní kontinuum složitý materiál se strukturou (mikro, meso,..) ekvivalentní kontinuum P σ D ε P σ D ε = u abchom ajistili ekvivalenci: σ ε D = makroskopické napětí a = makroskopická deformace na repreentativním objemovém elementu (representative volume element - RVE) σ ε 1 V 1 V V V σ ε dv dv u 25

26 Repreentativní objemový element (RVE) Dostatečně velký, ab obsahoval mnoho nehomogenit materiálu (velikost s ohledem na strukturu materiálu meso, mikro,...) Dostatečně malý, ab průběh makroskopického napětí a deformace uvnitř RVE blo možno považovat a rovnoměrné (velikost s ohledem na analovaný detail konstrukce) 26

27 ~30 cm Příklad RVE: dřevo konstrukce průběh napětí ve výnamném detailu konstrukce... O(m -2 ) 5 cm struktura materiálu O(m -3 ) RVE 27

28 Příklad RVE: kámen konstrukce průběh napětí ve výnamném detailu konstrukce... O(m -2 ) struktura materiálu... O(m -4 ~m -3 ) 2 cm RVE 28

29 Příklad RVE: beton konstrukce průběh napětí ve výnamném detailu konstrukce... O(m -1 ) struktura materiálu... O(m -3 ~m -2 ) 5 cm ~0.5 m RVE 29

30 Příklad RVE: divo konstrukce průběh napětí ve výnamném detailu konstrukce... O(m) struktura materiálu... O(m -1 ) 0.5 m ~1.5 m RVE 30

31 Příklad RVE: divo ALE konstrukce průběh napětí ve výnamném detailu konstrukce... O(m -1 ) struktura materiálu... O(m -1 ) 0.1 m ~1.5 m RVE 31

32 ~1 m Příklad RVE: heterogenita v důsledku poškoení Heterogenita může být nejen důsledkem struktur materiálu, ale může být vvolána vnikem trhlin, poškoením ap.... např. vláknocementové kompoit se pevněním (strain-hardening cementitious composite) konstrukce průběh napětí ve výnamném detailu konstrukce... O(m -1 ) struktura poškoeného materiálu... O(m -2 ) 10-2 m RVE 32

33 Modelování materiálů jako homogenní kontinuum - ávěr Většina stavebních materiálů má heterogenní strukturu (i na více úrovních rolišení) To, da můžeme modelovat heterogenní materiál jako ekvivalentní kontinuum ávisí na velikosti největších heterogenit struktur materiálu a nejmenšího analovaného detailu konstrukce V mnoha praktických úlohách stavebního inženýrství můžeme modelovat materiál jako homogenní kontinuum 33

34 Identifikace materiálových charakteristik Přímé měření na RVE V S Pomocí Gaussova teorému, le převést integrál přes objem na integrál přes povrch ohraničující tento objem: makroskopické napětí: 1 1 σ σ( ) dv t( ) ds V V V S makroskopická deformace: n n V S ε 1 V V 1 1 V 2 S ε( ) dv T u( ) n( ) n( ) u( ) T ds 34

35 Uvažme koušku v jednoosém tlaku l thickness b a 1 (,, ) t l l ds abl S P ab... povrchová síla na kontaktu atěžovacích desek a vorku nemusí být rovnoměrná (nehomogenit) 1 u (0,, ) 1 u ( l,, ) 1 ds abl S 1 u( l) u(0) ab abl u ( l) u (0)... rovnoměrný posun atěžovacích desek l Pak makroskopický modul pružnosti: E Ab tato metoda bla použitelná, vorek musí být repreentativním objemem materiálu, t.j. musí být mnohem větší než největší nehomogenita a musí obsahovat velký počet nehomogenit 35

36 Matematická či numerická homogeniace vlastností jednotlivých složek materiálové charakteristik jednotlivých složek jsou eperimentálně jištěn vtah mei makroskopickým napětím a deformací jsou odvoen pomocí matematické či numerická homogeniace 36

37 Cvičení 1: Uvažujme vorek lineárně elastického iotropního materiálu, který bl vstaven předepsanému přemístění před přemístěním po přemístění (protilehlé stran ůstávají rovnoběžné) 0.2 m m 0.1 m m m a) S uvážením, že přetvoření vorku je rovnoměrné v celém objemu, vpočítejte všechn jeho nenulové složk. b) Uvažujte rovinnou napjatost a E=2 GPa a =0.3. Vpočítejte přetvoření a všechn nenulové složk napětí. c) Načrtněte atížení, které mohlo daný stav vvolat. d) Vpočítejte hlavní napětí a jeho směr. Výsledek načrtněte. 37

38 Další literatura: Y. C. Fung & P. Tong: Classical and Computational Solid Mechanics, World Scientific Publishing, 2001 I. Shames & C. Dm: Energ and Finite Element Methods in Structural Mechanics, Talor & Francis, 1991 W. F. Chen: Plasticit in Reinforced Concrete, McGraw-Hill, 1982 J. Lemaitre & J.-L. Chaboche: Mechanics of Solid Materials, Cambridge Universit Press,

39 Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám a cvičením předmětu Nelineární analýa materiálů a konstrukcí pro student Stavební fakult ČVUT v Prae. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualiován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chb. Datum poslední aktualiace: