Integrální definice vnitřních sil na prutu

Transkript

1 Přednáška 04 Integrální definice vnitřních sil Ohb prutu v rovinách x, x Šikmý ohb Kombinace normálové síl s ohbem Poloha neutrální os Jádro průřeu Příklad Copright (c) 011 Vít Šmilauer Cech Technical Universit in Prague, Facult of Civil Engineering, Department of Mechanics, Cech Republic Permission is granted to cop, distribute and/or modif this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1. or an later version published b the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. cop of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at 1

2 Integrální definice vnitřních sil na prutu Vektor napětí na průřeu prutu, τ x, τ x Vnitřní síl na prutu x N x = V = V = d= i N x, i τ x d= i V, i τ x d= i V, i... Tah/tlak... Smk... Smk x x x M x = (τ x τ x )d = i V,i i V, i i... Kroucení M = M = d= i N i i d= i N i i... Ohb... Ohb x M V N x V M M x

3 Způsobuje křivost ároveň i moment M? Pro obdélníkový průře ε x (x,)=ε x, s (x)+κ (x) (x,)=e ε x (x, )=E ε x, s ( x)+e κ ( x) h / M (x)= h / = h / b/ h/ b / b / (x,) E κ (x) (x,,)dd= [ d ] b / S / h=0 d=0 d d h b x x,, 3

4 Způsobuje křivost ároveň i moment M? Pro obecný průře ε x (x,)=ε x, s (x)+κ (x) (x, )=E ε x (x, )=E ε x, s ( x)+e κ ( x) M (x)= = E ε x, s (x) (x, )dd= dd S =0 E κ (x) dd Při nenulovém deviačním momentu D (tj. osa není hlavní centrální osou setrvačnosti) dojde při účinku momentu M ároveň ke vniku křivosti κ. Tento stav se popisuje jako šikmý ohb. Zároveň docháí k odklonu neutrální os od os. D = ED κ ( x) 4

5 Vnitřní síl na obecně ohýbaném prutu Prostý ohb v rovině x (M, okolo os ) Prostý ohb v rovině x (M, okolo os ) ε x (x,)=κ (x) ε x (x, )= κ ( x) Složený (šikmý) ohb ε x ( x,, )=κ (x) κ ( x) (x,, )=E ε x ( x,, )=E κ (x) E κ (x) M ( x)= (x,, ) d d= E κ (x) d E κ ( x) d M (x)= (x,, ) d d= E κ (x) I d D +E κ (x) d D I 5

6 Výpočet napětí tah/tlak + ohb k libovolným osám M ( x)=ei κ ( x) E D κ (x) M (x)= ED κ (x)+ E I κ (x) { M M } = E [ I D ]{ κ } D I κ, { κ (x,, )=E ε x, s (x)+ E κ (x) E κ (x) } κ = 1 [ I D ]{ E(I I D ) D I M M } (x,, )= N + M I +M D M I +M D I I D I I D Obecný vorec pro výpočet napětí k libovolným centrálním osám setrvačnosti,. Vorec obsahuje vliv tahu/tlaku a vliv ohbu od momentů M a M. 6

7 Rekapitulace pro obecně ohýbaný prut Tah/tlak a šikmý ohb k libovolným centrálním osám M (x,, )= N + M I +M D M I +M D I I D I I D (D >0) M Tah/tlak a prostý ohb k hlavním centrálním osám (D =0) (x,, )= N + M I M I M M 7

8 Zobraení napětí při šikmém ohbu Ohb M Ohb M 0.5 m Ohb M + M Neutrální osa.5 m 50 kn 100 kn 8

9 Směr a sklon neutrální os Neutrální osa a paprsek atížení tvoří sdružené průměr elips setrvačnosti Při nulové normálové síle procháí neutrální osa vžd těžištěm průřeu f f Obecná rovnice napětí (x,, )=a+b +c Sklon neutrální os při =0 0=a+b +c + ϕ Neutrální osa tan ϕ= = b c 9

10 Příklad šikmý ohb Určete průběh σx v nejvíce namáhaném průřeu konol f =3 kn/m' F=10 kn lt. 1 řešení v hlavních centrálních osách I = 1 36 bh3 =1,15e-4 m 4, I = 1 48 hb3 =3,375e-4 m 4 0,443 m L = m f 0,1 m = M M I I = 18,385 18,385 1,15e-4 3,375e-4 = 163,4 54,47 [MPa] M 45 o 0,3 m 0,3 m M = =6kNm M tan ϕ= = 54,47 163,4, ϕ= 18,43o [0;-0,1414] =3,11[MPa] B[-0,11;0,0707] =0,0 [MPa] C[0,11;0,0707] = 3,11 [MPa] B 3,11 MPa + 3,11 MPa M =6cos 45 o =18,385 knm 45 o M = 6 sin 45 o = 18,385 knm ϕ= 18,43 o C 10

11 Příklad šikmý ohb lt. řešení v centrálních osách, (nejsou hlavní os) M 0,3 m 0,3 m M = 6 knm, M =0kNm I =I = ,34 =,5e-4 m 4 D = 1 7 0,34 =1,15e-4 m 4 (x,, )= M I +M D M I +M D I I D I I D M 3,11 MPa + = 154,07 +77,04 [MPa] ϕ=6,6 o C B 3,11 MPa tan ϕ= = 77,0 154,1, ϕ=6,6o [0,1;-0,1] =3,11[MPa] B[-0,;-0,1] =0,0 [MPa] C[0,1;0,] = 3,11[MPa] 11

12 M Kombinace tlaku s ohbem excentrický tlak c F c b N x M h N x = F M = F c M = F c x = N M I M I = F F c i = F 1 c i c i F c i Excentrická síla F působí v tlakovém centru [c, c ] Excentrická síla F je rovnoběžná s osou x Hlavní centrální os setrvačnosti, Excentrická síla F vvolá vnitřní síl Nx, M, M 1

13 Kombinace tlaku s ohbem neutrální osa N = i c c F c b N = i c h 0=1+ c i + c i =0 = N = i c =0 = N = i c Průsečík neutrální os s osami, se vužijí při konstrukci jádra průřeu 13

14 Jádro průřeu Jádro průřeu je oblast všech tlakových center, pro která v žádném bodě průřeu nevniká tah. Obecné vlastnosti jádra: Vžd obsahuje těžiště průřeu Jádro je vžd konvexní Tlakovému centru na hranici jádra odpovídá neutrální osa, která je tečnou k obrsu průřeu Přímá část hranice jádra odpovídá vrcholu hranice průřeu Přímá část obrsu průřeu odpovídá vrcholu hranice jádra 14

15 Příklad určení jádra průřeu N = i c [b/6,0] b N = i c h 0=1 c i i = I = h 1 i = I = b 1 c i N = b, N c = i = b N 6 c = i =0 N N [0,h/6] N b/6 h/6 N =, N = h c = i =0 N c = i = h N 6 15

16 Poloha neutrální os

17 Vužití jádra průřeu ve stavebním inženýrství Pro materiál s níkou pevností v tahu (divo, prostý beton) je nutné výslednici atížení ponechat v jádře průřeu a vloučit tah Tíha střech Zatížení klenb Zatížení větrem Zatížení stropu Oblast jádra Výslednicová čára leží v oblasti jádra průřeu, v klenbě nevniká tah Oblast jádra Zatížení stropu 17

18 Oták 1. Definujte vnitřní síl v prutu jako výslednici normálových a smkových složek vektoru napětí.. Při jakém ohbu a okolo které os docháí ke vniku nejmenších normálových napětí po průřeu? 3. Kd docháí k šikmému ohbu na průřeu? Jaký je jeho vtah k hlavním centrálním osám setrvačnosti? 4. Kd procháí neutrální osa těžištěm průřeu? Procháí vžd těžištěm pro prostý i šikmý ohb? Co působí normálová síla v průběhu napětí? 5. Co je excentrický tlak? Jaké vnitřní síl vnikají? 6. Definujte jádro průřeu. Jaký je jeho fikální výnam? Obsahuje jádro vžd těžiště průřeu? Mohou vrchol jádra průřeu ležet mimo oblast průřeu? 7. Odvoďte vrchol jádra průřeu pro trojúhelníkový průře. 8. Jaký je vtah mei vrchol jádra průřeu a polohou neutrální os? 9. Co může nastat, pokud se výslednicová čára klenb dostane mimo oblast jádra? Proč se snažíme tomuto stavu abránit? Vtvořeno 03/011 v OpenOffice 3., Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer. Poděkování patří ejména M. Jiráskovi a inspiraci jeho přednáškami. 18