ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTI

Transkript

1 ZÁKLDNÍ POJY VZTHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTI Napětí velikost vnitřní síl na jednotku ploch konečné podíl elementů vnitřních sil a ploch Podle směru vnitřních sil avádíme: ds napětí celkové σ r = v obecném S(σ r ) d směru k ploše T(τ) dn φ N(σ) napětí normálové σ = ve směru d normál k ploše dt napětí tangenciální τ = ve směru d n t tečném k ploše.

2 Onačíme-li úhel mei paprskem celkového napětí a normálou k ploše jako ϕ, bude platit: 2 2 σ = σ cosϕ τ = σ sin ϕ σ = σ + τ r r ůžeme-li pokládat sílu S a její složk n, t a rovnoměrně roložené po ploše velikosti, určujeme napětí podílem vnitřní síl a ploch S N T σ =, σ =, τ r =. Tato jednotka má v meinárodní soustavě jednotek SI onačení pascal Platí ted 1 Pa = 1 N/m = 1kgm s. V prai se obvkle užívá jejích násobků. Jsou povolen násobk: kpa ( kilopascal ) a Pa ( megapascal ), ted 1 Pa = 10 3 kpa = 10 6 Pa. 2 Napětí má roměr síla lomeno plochou, tad [ N/m ] r

3 Působení normálových sil mění roměr tělesa. - roměr ve směru síl před deformací l - po deformaci l - rodíl l = l l skutečné ( absolutním ) protažení tělesa ve směru l. Protažení má roměr délk: - l = l l je kladné - protažení - l = l l áporné - naýváme je krácením Protažení tělesa Rovnovážná soustava normálových sil, působících na těleso - těleso ve směru působících sil se protahuje - v příčném směru se stlačuje Tažená tč se ted ve směru tahu prodlužuje, v příčném směru užuje, tlačená se naopak ve směru působících sil kracuje, v příčných směrech rošiřuje.

4 Ze spojitosti pružného prostředí předpokládáme, že se podobně deformuje účinkem normálových sil i libovolně malý prvek tělesa. Onačujeme skutečným protažením veličinu danou rodílem původní délk prvku ds a délk elementu po přetvoření ds s = ds ds Častěji než se skutečným protažením tělesa nebo elementu počítáme s poměrným protažením ε, které je poměrem skutečného protažení a původní délk, ted l ds ε = nebo ε =, l ds které má naménko shodné se skutečným protažením a jako poměr dvou délek je to veličina beroměrná.

5 Tangenciální ( smková ) napětí působují posunutí bodů v rovině průřeu. Tím se mění původní pravé úhl v kosé. Onačíme-li jako rodíl posunutí dvou koncových bodů úsečk ab kolmé před deformací k průřeu a délku úsečk ab jako l, potom poměr rodílu posunutí k délce kolmého Relativní kosení vlákna d γ = nebo γ = l ds je poměrné kosení. Je to obdobně jako relativní protažení hodnota beroměrná. Značí tangentu úhlu, o nějž se měnil úhel vlákna k průřeu. Protože se jedná o velmi malý úhel, le ho aměnit tangentou.

6 Tahová kouška Vložíme ocelovou tč poměrně načné délk l a malé průřeové ploch do čelistí trhacího stroje a všujeme tah F. Předpokládá se, že napětí je po průřeu roděleno rovnoměrně a má hodnotu F σ =. Tahová kouška - ěříme-li délku l tče mei dvěma načkami vdálenými před kouškou l, poorujeme, že tato délka se vrůstem síl F roste. - S rostoucím napětím vrůstá proto také poměrné protažení. - Závislost normálového napětí σ na poměrném protažení ε - tv. pracovní diagram. Tvar pracovního diagramu ávisí na materiálu i jeho pracování.

7 Pracovní diagram oceli - konvenční nebo jmenovité napětí. - skutečné napětí dσ E = dε - modul pružnosti, přesněji modul pružnosti v tahu nebo tlaku. - σ me úměrnosti. - σ e me pružnosti (elasticit) - obor plasticit - σ p me pevnosti. V technické prai jsou používána normová onačení jednotlivých charakteristik v pracovním diagramu oceli: R m je me pevnosti, R je me kluu, R pr je me úměrnosti

8 Pracovní diagram růných látek se od sebe načně liší. Některé látk se chovají odlišně v tahu a v tlaku. Pracovní diagram pro růné materiál: a)litina, b) bron, c) mramor, d) beton, e) dřevo,f) kůže

9 Obor plasticit Odlehčování v plastickém oboru Výpočet a stavu plasticit: a) be pevnění b) b) se pevněním

10 Výpočet konstrukcí v prai jednodušujeme předpokladem, že jde o látk: - stejnorodé čili homogenní, tj. stejné struktur a stejných vlastností ve všech bodech tělesa - iotropní, tj. takové, které mají ve všech směrech stejné materiálové vlastnosti. Ve skutečnosti se hmot řídí těmito předpoklad jen přibližně, avšak pro výpočt podle nauk o pružnosti a pevnosti předpoklad homogenit a iotropie materiálu praktick vhovují. Většinou namáháme materiál růných důvodů ( bepečnost, vloučení větších deformací apod.) jen po me úměrnosti. ůžeme tudíž materiál idealiovat jako homogenní, iotropní a dokonale lineárně pružný modul pružnosti je konstantní. atematick tento vtah vjádříme rovnicí, tv. Hookův ákon σ = E ε nebo σ ε = E kde E je modul pružnosti, σ normálové napětí a ε relativní protažení. Rovnice vjadřuje ákladní vtah teorie pružnosti,.

11 Hookův ákon platí, jen pokud jsou splněn dva předpoklad: - napětí nepřestoupí me úměrnosti - nepůsobí normálové napětí v příčných směrech. Normálové napětí σ ve směru os vvolává kromě protažení ve směru svého působení také krácení ve směrech, ( áporné protažení ). Příčný roměr se kracuje ( relativně ) m krát méně, než se prodlužuje délka ve směru tahových sil. Číslo m se naývá Poissonova konstanta a vžd musí být větší než 2. Převrácená hodnota Poissonov konstant se naývá Poissonovo číslo a načí se µ ( v cií literatuře také ν ). Napětí σ ted vvolává relativní deformace σ ε σ ε =, ε = ε = = µ E m E obdobně napětí σ samotné vvolává relativní deformace σ σ ε =, ε = ε = µ E E

12 a napětí σ samotné vvolává relativní deformace σ σ ε =, ε = ε = µ E E Sečteme-li účink všech tří napětí na protažení ve směru, dostaneme výsledné poměrné protažení 1 ( σ µσ µσ ) ε = E a v ostatních směrech ε = 1 1 ( σ µσ µσ ) ε = ( σ µσ µσ ) E E Tto ávislosti udávají tv. rošířený Hookův ákon, jenž stanoví deformaci a současného působení normálových napětí ve třech kolmých směrech na atěžovaný prvek.

13 ei relativním kosením a tangenciálním napětím platí vtah obdobný Hookovu ákonu τ γ = G kde γ je relativní kosení, τ tangenciální napětí a G je tv. modul pružnosti ve smku. odul pružnosti v tahu E, modul pružnosti ve smku G a Poissonovo číslo µ jsou tři materiálové konstant, které v pružném oboru plně charakteriují daný materiál. Ovšem jen dvě materiálové konstant jsou na sobě neávislé, protože mei nimi platí vtah E G = µ ( ) Přetvoření vniká - působením atížení - měna teplot - relativní protažení ε = ε = ε = α T - smršťování (např. betonu)

14 Prosté případ pružnosti Prut je konstrukční prvek, jehož jeden roměr ( délka ) převládá nad ostatními roměr ( průře ). Střednice prutu spojuje ve směru délk těžiště všech podélných průřeů daného prutu. Na mšlený ře v atíženém prutu působí vnitřní síl ohbový moment, normálná síla, posouvající síla. Prostorovou soustavu sil ( atížení, reakce ) le nahradit jedinou silou v těžišti průřeu a statickým momentem tv. redukce síl k bodu.

15 F 1 F 2 R T F 3 střednice N T R N Vnitřní síl nosníku B V rovině průřeu může ještě působit kroutící moment. Působí-li na průře jen jediná složka vnitřních sil jedná se o prostý případ pružnosti

16 1. Prostý tah a tlak Jedinou působící vnitřní silou na průře prutu je normálná síla. V příčném směru nepůsobí žádná. σ Ν Tahové napětí d Platí Navierova hpotéa: 1. Osa prutu ůstane po přetvoření přímá. 2. Všechn bod dvou sousedních rovnoběžných průřeů kolmých k ose prutu ůstanou po deformaci rovinné a kolmé k ose prutu. Z této hpoté vplývá, že poměrná deformace je konstantní po celém průřeu.

17 d d d d konst d d a ní dále vplývá podle Hookova ákona E konst. Oba vtah platí pro celý průře. Součtová podmínka rovnováh mei napětím a vnitřní silou: N N d 0 N d 0 Normálové napětí je při prostém tahu a tlaku po celém průřeu konstantní a je rovno normálové síle dělené plochou. omentová podmínka rovnováh k ose : N 0 d 0 d 0

18 Protože je konstanta, d je statický moment průřeu k těžišti, vplývá momentové podmínk, že normálová síla musí procháet těžištěm (statický moment průřeu k těžišti je nulový).! Při ecentrickém působení vvolává normálová síla k těžišti průřeu ještě ohbový moment a nejedná se o prostý tah či tlak. Použití a) pro návrh průřeu N dov dov nutné nutné V prai je pravidla rodílné u skutečných materiálů N( tah) N( tlak) nutné nutné dov, t dov, d N dov v tahu a tlaku. dov

19 b) velikost deformace l l = ε d, a protože l 0 l N = d E 0 a pro prut stálého průřeu σ N ε =, ε = potom E E l = N E l 0 d = N l E 2. Statick neurčitý tah nebo tlak Pro určení nenámých nám chbí tolik podmínek, kolikrát je soustava statick neurčitá. Statické podmínk rovnováh se musí doplnit podmínkami deformačními.

20 3. Prostý ohb Jedinou vnitřní silou je ohbový moment, který působí v hlavní centrální rovině setrvačnosti průřeu. Navierova hpotéa: Rovinné ře kolmé ke střednici nosníku před deformací ůstanou i po deformaci rovinné a kolmé k deformované střednici. h d σ h σ ( ) Ohbové napětí v průřeu nosníku σ h

21 Proto se mění lineárně též relativní přetvoření ε = B + C + D, kde B, C, D jsou pro směr os konstant. Statické podmínk rovnováh N = σ d Potom = v tomto výrau σ = Eε = E( B + C + D ) σ d = σ d Normálná síla při čistém ohbu je nulová, moment působí jen k jedné hlavní ose průřeu, potom N = σ d = E( B + C + D ) d = 0 = ( B + C + D ) d = E ( B + C + D ) E d = 0

22 Po úpravě těchto rovnic dostaneme B d + C d + D d = 0, kde S, S jsou statické moment průřeu, S S které jsou k hlavním centrálním osám nulové, a toho dostaneme podmínku B = 0 B = 0; B d D S C d D 2 D d = I = D = ; E I EI E a toho 2 B d + C d + D d = 0 a toho C I = 0 C = S I D ( pon.: jsou-li os, hlavní centrální os setrvačnosti, je D = 0 ).

23 Potom I I E = = σ ε Neutrální osa je množina bodů, v nichž je normálové napětí nulové. Návrh průřeu Napětí v nejvíce namáhaných vláknech průřeu nesmí přestoupit návrhovou hodnotu. d dov h t dov d I I,, σ σ Onačíme-li,, d dov h h t dov d d I I W I I W σ σ = = = potom d dov h t dov d W W,, σ σ

24 kde W d, W h průřeový modul dolní a horní. Pak nutný průřeový modul pro dané namáhání ohbovým momentem je W nutné ± σ dov

25 Tangenciální napětí a ohbu Vtvoříme nosník tím působem, že na sebe položíme pět prken: - tloušťk h mei sebou vájemně nespojených. Únosnost průřeu je úměrná průřeovému modulu, pět prken bude mít průřeový modul Zvětšení únosnosti slepením W 5 = 5 bh = 6 6 bh - vájemně spojených, takže vnikne jeden nosník o výšce 5h. Průřeový modul tohoto nosníku bude 1 25 ( ) 2 2 W 1 = b 5h = bh 6 6 Spojením prken se průřeový modul nosníku většil pětkrát. Je to tím, že lepidlo brání posunování prken vájemně po sobě. Při ohbu nosníku vnikají mimo normálových napětí také napětí tangenciální.

26 Grashofova hpotéa Předpokládáme, že u smetrického průřeu atíženého v rovině souměrnosti je složka tangenciálního napětí τ stálá v celé vrstvě vláken rovnoběžných s neutrální osou. Při onačování tangenciálních napětí používáme dvojitého indeu. Oba inde u tangenciálního napětí je možno aměnit, neboť platí věta o vájemnosti složek tangenciálního napětí, podle které τ = τ. ij ji Kladné směr tangenciálních napětí

27 Oddělme nosníku část omeenou dvěma sousedními průře, +d a horní části element až po vlákna vdálená od neutrální os. Ve směru os X působí na element v rovinách sousedních průřeů normálová napětí, která jsme všetřili účinku ohbového momentu ( kladná jako tah) a na spodní elementu konstantní tangenciální napětí τ (kladné proti směru os ). Výpočet tangenciálního napětí podle Grashofov hpoté

28 Ohbový moment, vvolává ve vdálenosti ξ od neutrální os napětí ξ σ = I Na ákladnu elementu v průřeu působí ve směru áporné os X kladná výslednice normálových napětí e e S e N = σ d = d = I ξ I Vloučíme-li element, kde se plocha průřeu náhle mění nebo kde je působiště osamělého atěžovacího momentu, mění se N mei a +d spojitě. Na uvažovanou část sousedního průřeu o souřadnici +d působí ve směru kladné os X výslednice normálových napětí N S e N = N + d = N + d I

29 Tangenciální napětí τ dávají na spodní plošku elementu výslednici, která má při kladném τ směr áporné os X, a protože na této plošce je τ konstantní, je velikost výslednice tangenciálních napětí τ rovna τ 2η d Součtová podmínka rovnováh ve směru os X má tvar N N τ 2 η d = 0 odkud po dosaení a N dostáváme po úpravě 1 S e τ =. 2η I Primatický nosník ( nosník s konstantním průřeem ) - moment setrvačnosti průřeu I je konstantní - ve směru podélné os nosníku se nemění statický moment S e pro libovolná vlákna. S e d Potom τ = I 2η d

30 d Schwedlerova věta T = d Pro primatický nosník pro tangenciální napětí a ohbu platí T S e τ = τ = I 2η Na horním i spodním okraji je statický moment nulový je na horním i spodním okraji průřeu tangenciální napětí nulové. Na obvodě průřeu musí mít výsledné tangenciální napětí směr tečn k průřeu. Vsvětlení: Ze ákona o vájemnosti tangenciálních napětí. Pokud b se totiž vsktovala nenulová složka τ n ve směru normál k obrsu, musela b dle tohoto ákona eistovat i stejně veliká složka v kolmé rovině, ted tangenciální napětí mei nosníkem a vduchem. protože takové napětí na neatíženém okraji nemůže eistovat, musí být nulová i složka τ n tangenciálního napětí na obvodu.

31 Uvažujeme průře smetrické podle svislé os Z. Na ose smetrie má tangenciální napětí směr os smetrie. Vektor tangenciálního napětí ve všech bodech průřeu, stejně vdálených od neutrální os, se protínají v témž bodě na ose smetrie. Onačíme-li úhel mei osou souměrnosti a spojnicí obecného bodu a průsečík vektorů tangenciálních napětí jako ω, bude ávislost výsledného napětí τ obecném bodě a jeho svislým průmětem τ τ τ = cosω - Složka napětí τ je ve vláknech se stejnou souřadnicí konstantní. - Největší výsledné napětí je tam, kde je cosω nejmenší a ted úhel ωnejvětší, to je na obvodě průřeu. - Úhel mei tečnou k obrsu a svislou osou smetrie ϕ. - Výsledné tangenciální napětí τ 0na obvodu průřeu po dosaení rovno T S e τ 0 = 2η cosϕ I

32 - Napětí na obvodu je e všech napětí ve vláknech se stejnou souřadnicí největší, stačí posoudit v průřeu největší tangenciální napětí vůbec. T - Podíl je na celém průřeu konstantní a proto největší tangenciální I napětí v průřeu bude na jeho obvodu v místě, kde d S e = 0 d 2η cosϕ