VK CZ.1.07/2.2.00/
|
|
|
- Naděžda Blažková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Robotika Tvorba map v robotice - MRBT 3. března 2015 Ing. František Burian Komplexní inovace studijních programů a zvyšování kvality výuky na FEKT VUT v Brně OP VK CZ.1.07/2.2.00/
2 v pojetí mobilní robotiky Motivace Metrická mapa Topologická mapa je strojově čitelný popis prostředí, který lze využít k lokalizaci a navigaci robotu napříč tímto prostředím. Metrická mapa (2D zobrazení) Topologická mapa (teorie grafů)
3 Metrická mapa Motivace Metrická mapa Topologická mapa Ukládány kartézské souřadnice význačných bodů Náročné na přesnost měření, šum senzorů Lze jednoduše provádět sebelokalizaci [Hans P. Moravec - Robot Evidence Grids]
4 Topologická mapa Motivace Metrická mapa Topologická mapa Ukládány vzájemné vztahy význačných bodů Lze jednoduše provádět navigaci podél bodů D C 1 1 A 3 B E 3 F Uzly Hrany
5 y hotové mapy 3D Reálný (metrický) svět je složen z různě obsazených oblastí M. Hledáme způsob, jakým lze vyjádřit obsazenost tohoto světa. Pravděpodobnost obsazenosti Možnost obsazenosti (odds ratio)
6 - Pravděpodobnostní model y hotové mapy 3D Necht p(m O ) označuje ppst. obsazenosti buňky. 0, pokud je daná oblast světa neobsazená (M = E) p(m O ) = 0.5, pokud o dané oblasti nemáme informaci 1, pokud je daná oblast obsazená (M = O) Dále necht p(m E ) označuje ppst. volnosti (průchodivosti) buňky. Ze zákonů statistiky můžeme psát: 0 < p(m O ) < 1 0 < p(m E ) < 1 Nakonec uzavřeme skupinu jevů do celistvé skupiny 1 p(m O ) + p(m E ) = 1 Mapou obsazenosti rozumíme hodnoty obou veličin p(m O ) a p(m E ) 1 Pro účely jednoduššího pochopení, existují i jiné modely, kde toto nemusí platit.
7 - Model možností y hotové mapy 3D Vyjádřeme možnost, kterou má buňka, že je obsazená takto: O(M) = p(mo ) p(m E ) 0, pokud je daná oblast světa neobsazená (M = E) O(M) = 1, pokud o dané oblasti nemáme informaci, pokud je daná oblast obsazená (M = O) Mapou obsazenosti rozumíme hodnoty pouze jedné veličiny O(M)
8 Bayes - Odvození y hotové mapy 3D S p(a) p(b)
9 Bayes - Odvození y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b)
10 Bayes - Odvození y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b)
11 Bayes - Odvození y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b) p(b A) = p(ab) p(a)
12 Bayes - Odvození y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b) p(b A) = p(ab) p(a) p(a B)p(B) = p(ab) = p(b A)p(A)
13 Bayes - Odvození y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b) p(b A) = p(ab) p(a) p(a B)p(B) = p(ab) = p(b A)p(A) p(a B) = p(b A)p(A) p(b)
14 Bayes - Odvození y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b) p(b A) = p(ab) p(a) nová informace p(a B) = p(b A)p(A) p(b) předchozí informace
15 Bayes - Odvození y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b) p(b A) = p(ab) p(a) nová informace model senzoru p(a B) = p(b A)p(A) p(b) předchozí informace
16 Bayes - Odvození y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b) p(b A) = p(ab) p(a) nová informace model senzoru p(a B) = p(b A)p(A) p(b) pravděpodobnost měření předchozí informace
17 Bayes - Odvození y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b) p(b A) = p(ab) p(a) nová informace model senzoru p(a B) = p(b A)p(A) p(b) = předchozí informace likelihood prior evidence
18 Bayes - Odvození y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b) p(b A) = p(ab) p(a) nová informace p(a B) = model senzoru p(b A)p(A) p(b A)p(A) + p(b A)p(A) předchozí informace
19 Možnost obsazenosti (odds ratio) y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b) p(b A) = p(ab) p(a)
20 Možnost obsazenosti (odds ratio) y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b) p(b A) = p(ab) p(a) O(A B) = p(a B) p(a B) = p(b A)p(A) p(b A)p(A) = λ(b A)O(A)
21 Možnost obsazenosti (odds ratio) y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b) p(b A) = p(ab) p(a) nová informace O(A B) = p(a B) p(a B) = p(b A)p(A) p(b A)p(A) = λ(b A)O(A) předchozí informace
22 Možnost obsazenosti (odds ratio) y hotové mapy 3D S p(a) p(ab) p(b) p(a B) = p(ab) p(b) p(b A) = p(ab) p(a) nová informace model senzoru O(A B) = p(a B) p(a B) = p(b A)p(A) p(b A)p(A) = λ(b A)O(A) předchozí informace
23 y hotové mapy 3D Senzor připraven na měření
24 y hotové mapy 3D L Senzor změří vzdálenost L
25 y hotové mapy 3D f(x) L x Hustota pravděpodobnosti měření (normální rozdělení) f(x) = N(L, σ) = 1 σ 2π e (x L) 2 2σ 2
26 y hotové mapy 3D p(l M O ) L x - pravděpodobnost obsazenosti p(l M O ) x = p(l < x) = x 0 f(α)dα
27 y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M O ) L x - pravděpodobnost volného místa p(l M E ) x = p(l x) = 1 p(l = x) = 1 σ 2πf(x)
28 y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M O ) L x - Důvěryhodnost měření koeficient důvěry 0 < K < 1, obvykle K blízké 0.5 p(l M O ) x = (p(l M O ) x 0.5)K p(l M E ) x = (p(l M E ) x 0.5)K + 0.5
29 - pravděpodobnostní výpočet y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M O ) L x
30 - pravděpodobnostní výpočet L y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M E ) a p(l M O ) p(l M O ) a a x 1. Init: p(m O ) a = 0.5, p(m E ) a = Měření1 (L 1): p(l 1 M O ) a = 0.22, p(l 1 M E ) a = 0.65 p(l 1) a = p(l 1 M O ) ap(m O ) a + p(l 1 M E ) ap(m E ) a = = 0.43 p(m O L 1) a = p(l1 MO ) a p(m O ) a = = 0.25 p(l 1) a p(m E L 1) a = p(l1 ME ) a p(m E ) a = = 0.75 = 1 p(m O L 1) a p(l 1) a 0.43
31 - pravděpodobnostní výpočet L y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M E ) a p(l M O ) p(l M O ) a a x 1. Init: p(m O ) a = p(m O L 1) a = 0.25, p(m E ) a = p(m E L 1) a = Měření2 (L 2): p(l 2 M O ) a = 0.22, p(l 2 M E ) a = 0.65 p(l 2) a = p(l 2 M O ) ap(m O ) a + p(l 2 M E ) ap(m E ) a = = 0.54 p(m O L 2) a = p(l2 O)a p(mo ) a = = 0.10 p(l 2) a 0.54 p(m E L 2) a = p(l2 ME ) a p(m E ) a = = 0.90 = 1 p(m O L 2) a p(l 2) a 0.54
32 - pravděpodobnostní výpočet y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M O ) L x p(m O Ln) p(m O ) x
33 - pravděpodobnostní výpočet y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M O ) L x p(m O Ln) p(m O ) p(m O L 1 ) x
34 - pravděpodobnostní výpočet y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M O ) L x p(m O Ln) p(m O ) p(m O L 1 ) p(m O L 2 ) x
35 - pravděpodobnostní výpočet y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M O ) L x p(m O Ln) p(m O ) p(m O L 1 ) p(m O L 2 ) p(m O L 3 ) x
36 - Možnostní výpočet y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M O ) L x
37 - Možnostní výpočet L y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M E ) a p(l M O ) p(l M O ) a a x 1. Init: O(M) a = = 1 2. Měření1 (L 1): λ(l 1 M) a = = 0.33 O(M L 1) a = λ(l 1 M) a O(M) a = = 0.33
38 - Možnostní výpočet L y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M E ) a p(l M O ) p(l M O ) a a x 1. Init: O(M) a = O(M L 1) a = Měření2 (L 2): λ(l 2 M) a = = 0.33 O(M L 2) a = λ(l 2 M) a O(M) a = = 0.10
39 - Možnostní výpočet y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M O ) L x O(M Ln) O(M) x
40 - Možnostní výpočet y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M O ) L x O(M Ln) O(M) O(M L 1 ) x
41 - Možnostní výpočet y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M O ) L x O(M Ln) O(M) O(M L 1 ) O(M L 2 ) x
42 - Možnostní výpočet y hotové mapy 3D p(l M E ) p(l M O ) L x O(M Ln) O(M) O(M L 1 ) O(M L 2 ) O(M L 3 ) x
43 (Occupancy grid) y hotové mapy 3D Celý svět disjunktně metricky (ekvidistantně) rozdělíme na oblasti
44 (Occupancy grid) y hotové mapy 3D Celý svět disjunktně metricky (ekvidistantně) rozdělíme na oblasti 1D: ekvidistantní úseky
45 (Occupancy grid) y hotové mapy 3D Celý svět disjunktně metricky (ekvidistantně) rozdělíme na oblasti 1D: ekvidistantní úseky 2D: ekvidistantní čtvercová mříž
46 (Occupancy grid) y hotové mapy 3D Celý svět disjunktně metricky (ekvidistantně) rozdělíme na oblasti 1D: ekvidistantní úseky 2D: ekvidistantní čtvercová mříž 3D: ekvidistantní krychlová mříž
47 (Occupancy grid) y hotové mapy 3D Celý svět disjunktně metricky (ekvidistantně) rozdělíme na oblasti 1D: ekvidistantní úseky 2D: ekvidistantní čtvercová mříž 3D: ekvidistantní krychlová mříž Každé buňce přiřadíme pravděpodobnost p(o) = 0.5
48 Krok 1. - Sebelokalizace y hotové mapy 3D Zjistíme polohu a směr senzoru (sebelokalizace) 1D: S = (S x, S sgn ) 2D: S = (S x, S y, S ϕ ) S ϕ 3D: S = (S x, S y, S z, S θ, S ψ, S ϕ )
49 Krok 2. - Projekce měření y hotové mapy 3D Změříme senzory okolí robotu 1D: M = (L, σ) 2D: M = (L, σ α, σ β ) 3D: M = (L, σ α, σ β, σ γ )
50 Krok 3. - Aplikace Bayese na mřížku y hotové mapy 3D Zjistíme buňky které měření ovlivnilo Pro každou buňku spočítat model senzoru Pro pravděpodobnostní model p(l M O ) a p(l M E ) Pro možnostní model λ(l M) Pro každou buňku mapy aplikovat bayese Pro pravděpodobnostní model p(m O L) a p(m E L) Pro možnostní model O(M L) 1D: M = (L, σ) 2D: M = (L, σ α, σ β ) 3D: M = (L, σ α, σ β, σ γ )
51 y mapy 2D y hotové mapy 3D Překážka Neznámo Volno
52 y mapy y hotové mapy 3D
53 y hotové mapy 3D Occupancy Grid obsahuje příliš mnoho informací pro navigaci v exteriéru Pro navigaci v exteriéru je lepší ukládat informaci o výšce terénu/překážky v dané mapě. Z výškové mapy (vrstevnice) lze vysledovat průjezdnost vozidla a překážky
54 Kam s ní? Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree Chceme pokrýt co největší detaily prostředí (stoly) Chceme mít co největší rozměr mapy (budova) To vede na velký objem uložených dat Mnoho dat je problém rychle a efektivně prohledávat Proto se téměř vždy snažíme o efektivní uložení dat
55 Lokalita bodu Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree
56 Lokalita bodu Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree
57 Lokalita bodu Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree
58 Lokalita bodu Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree
59 Vrstvený přístup Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree
60 Vrstvený přístup Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree
61 Vrstvený přístup Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree
62 Vrstvený přístup Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree
63 Vrstvený přístup Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree
64 Klasická mřížka obsazenosti Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree Popis Každý bod v mapě je uložen na výstupu Nejhorší varianta pamět ového záboru Rychlé na programování Size = D 2 size(pixel) 256 buněk
65 Quad tree Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree Popis Prostor je dělen vždy na 4 čtverce ukládají se pouze částečně zabrané čtverce Náročné na programování, úspora paměti 8 buněk
66 K-D tree Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree Popis Prostor je dělen vždy na 2 poloviny Osa dělení se vždy střídá Poloha dělení je závislá na četnosti dat (dělí vždy na polovinu četnosti) Ukládají se pouze částečně zabrané čtverce Velmi náročné na programování Velmi značná úspora paměti 3 buňky
67 Octree Motivace Klasická mřížka Quad tree K-D tree Octree Popis Prostor je dělen vždy na 8 krychlí ukládají se pouze částečně zabrané krychle Náročné na programování, úspora paměti
68 Děkuji za pozornost 3. března 2015 Ing. František Burian
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
SEBELOKALIZACE MOBILNÍCH ROBOTŮ. Tomáš Jílek
SEBELOKALIZACE MOBILNÍCH ROBOTŮ Tomáš Jílek Sebelokalizace Autonomní určení pozice a orientace robotu ve zvoleném souřadnicovém systému Souřadnicové systémy Globální / lokální WGS-84, ETRS-89 globální
SLAM. Simultaneous localization and mapping. Ing. Aleš Jelínek 2015
SLAM Simultaneous localization and mapping Ing. Aleš Jelínek 2015 Komplexní inovace studijních programů a zvyšování kvality výuky na FEKT VUT v Brně OP VK CZ.1.07/2.2.00/28.0193 Obsah Proč sebelokalizace,
Cíle lokalizace. Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí
Cíle lokalizace Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí 2 Jiný pohled Je to problém transformace souřadnic Mapa je globální souřadnicový systém nezávislý
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Bayesovské modely Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc.
X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
Úvod do GIS. Prostorová data II. část. Pouze podkladová prezentace k přednáškám, nejedná se o studijní materiál pro samostatné studium.
Úvod do GIS Prostorová data II. část Pouze podkladová prezentace k přednáškám, nejedná se o studijní materiál pro samostatné studium. Karel Jedlička Prostorová data Analogová prostorová data Digitální
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
Charakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
Náhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
SEBELOKALIZACE MOBILNÍCH ROBOTŮ. Tomáš Jílek
SEBELOKALIZACE MOBILNÍCH ROBOTŮ Tomáš Jílek Sebelokalizace Autonomní určení pozice a orientace robotu ve zvoleném souřadnicovém systému Souřadnicové systémy Globální / lokální WGS-84, ETRS-89 globální
Odhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti
Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti 4. listopadu 203 Kdybych chtěl znát maximum informací o náhodné veličině, musel bych znát všechny hodnoty, které mohou padnout, a jejich pravděpodobnosti. Tedy
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
Vytěžování znalostí z dat
Pavel Kordík, Jan Motl (ČVUT FIT) Vytěžování znalostí z dat BI-VZD, 2012, Přednáška 7 1/27 Vytěžování znalostí z dat Pavel Kordík, Jan Motl Department of Computer Systems Faculty of Information Technology
Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II
Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické
Počet pravděpodobnosti
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 4 Počet pravděpodobnosti Je známo, že když muž použije jeden z okrajových pisoárů, sníží se pravděpodobnost, že bude pomočen o 50%. anonym Pravděpodobnost
Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
Téma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců
Bayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat
Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A
Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
Obsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
Odhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika
Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika B. Vlková 1, M.Berg 2, B. Martínek 3, O. Švec 4, M. Neumann 5 Gymnázium Uničov 1, Gymnázium Václava Hraběte Hořovice 2, Mendelovo gymnázium Opava
, 4. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
..06, 4. skupina (6: - 7:4) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papír, které odevzdáváte. Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí. Co je škrtnuto, nebude bráno
Protokol č. 5. Vytyčovací údaje zkusných ploch
Protokol č. 5 Vytyčovací údaje zkusných ploch Zadání: Ve vybraném porostu bylo prováděno zjišťování zásob za použití reprezentativní metody kruhových zkusných ploch. Na těchto zkusných plochách byl zjišťován
Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti
Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Jiří Michálek CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR v Praze Úvod Ve výzkumné zprávě č 06 Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti viz
3.2.4 Podobnost trojúhelníků II
3..4 Podobnost trojúhelníků II Předpoklady: 33 Př. 1: V pravoúhlém trojúhelníku s pravým uhlem při vrcholu sestroj výšku na stranu. Patu výšky označ. Najdi podobné trojúhelníky. Nakreslíme si obrázek:
1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.
Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment
Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Úvod do mobilní robotiky AIL028
md at robotika.cz, zbynek.winkler at mff.cuni.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 27. listopadu 2007 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením Mapa světa - příklad Obsah Mapa světa Exaktní
Chyby nepřímých měření
nepřímé měření: Chyby nepřímých měření chceme určit veličinu z hodnot jiných veličin na základě funkční vztahu máme změřené veličiny pomocí přímých měření (viz. dříve) včetně chyb: x±σ x, y±σ y,... známe
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Apriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
KGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl
Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Testování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 11. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 27 Obsah 1 Testování statistických hypotéz 2
Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
Fluktuace termodynamických veličin
Kvantová a statistická fyzika (Termodynamika a statistická fyzika Fluktuace termodynamických veličin Fluktuace jsou odchylky hodnot fyzikálních veličin od svých středních (rovnovážných hodnot. Mají původ
y = 0, ,19716x.
Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému
, 1. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
42206, skupina (6:5-7:45) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papíry, které odevzdáváte Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí Co je škrtnuto, nebude bráno v
STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ. J. Pruška, T. Parák
STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ J. Pruška, T. Parák OBSAH: 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko. 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.
Algoritmy pro shlukování prostorových dat
Algoritmy pro shlukování prostorových dat Marta Žambochová Katedra matematiky a informatiky Fakulta sociálně ekonomická Univerzita J. E. Purkyně v Ústí nad Labem ROBUST 21. 26. leden 2018 Rybník - Hostouň
Normální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
Pravděpodobnostní model volejbalového zápasu. Mgr. Jan Šustek
Pravděpodobnostní model volejbalového zápasu Mgr. Jan Šustek 3. 0. 008 Opakování Opakování Věta o celkové pravděpodobnosti Věta Pro jevy B, B Ω takové, že B B = a B B = Ω, platí P(A) = P(B ) P(A B ) +
Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,
KGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
Mechanika
Mechanika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Mechanika Kinematika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
Detekce interakčních sil v proudu vozidel
Detekce interakčních sil v proudu vozidel (ANEB OBECNĚJŠÍ POHLED NA POJEM VZDÁLENOSTI V MATEMATICE) Doc. Mgr. Milan Krbálek, Ph.D. Katedra matematiky Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké
STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ
STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho
Pravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2013/2014 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2010/2011 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
SRE 03 - Statistické rozpoznávání
SRE 03 - Statistické rozpoznávání vzorů II Lukáš Burget ÚPGM FIT VUT Brno, burget@fit.vutbr.cz FIT VUT Brno SRE 03 - Statistické rozpoznávání vzorů II Lukáš Burget, ÚPGM FIT VUT Brno, 2006/07 1/29 Opakování
CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Agent pracující v částečně pozorovatelném prostředí udržuje na základě senzorického modelu odhaduje, jak se svět může vyvíjet.
Umělá inteligence II Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Dnešní program Agent pracující v částečně pozorovatelném prostředí udržuje na základě senzorického modelu
Odhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Úvod do mobilní robotiky AIL028
SLAM - souběžná lokalizace a mapování {md zw} at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 10. ledna 2008 1 2 3 SLAM intro Obsah SLAM = Simultaneous Localization And Mapping problém typu slepice-vejce
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
Normální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními
Funkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf
IDENTIFIKACE BIMODALITY V DATECH
IDETIFIKACE BIMODALITY V DATECH Jiří Militky Technická universita v Liberci e- mail: jiri.miliky@vslib.cz Milan Meloun Universita Pardubice, Pardubice Motto: Je normální předpokládat normální data? Zvláštnosti
Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky
Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy
Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
ZEMĚMĚŘICKÝ ÚŘAD. Nový výškopis ČR již existuje. Ing. Karel Brázdil, CSc., Ing. Petr Dvořáček
ZEMĚMĚŘICKÝ ÚŘAD Nový výškopis ČR již existuje Ing. Karel Brázdil, CSc., Ing. Petr Dvořáček Setkání GEPRO & ATLAS 24. 10. 2017 VÝCHODISKA - STAV VÝŠKOPISNÝCH DATABÁZÍ V ČR Stručný název Popis Přesnost
Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
Ing. Michael Rost, Ph.D.
Úvod do testování hypotéz, jednovýběrový t-test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testovaná hypotéza Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru, např. o parametru Θ, pak takovéto tvrzení
Rekonstrukce diskrétního rozdělení psti metodou maximální entropie
Rekonstrukce diskrétního rozdělení psti metodou maximální entropie Příklad Lze nalézt četnosti nepozorovaných stavů tak, abychom si vymýšleli co nejméně? Nechť n i, i = 1, 2,..., N jsou známé (absolutní)
15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: