SCIENTIFIC PAPERS OF THE UNIVERSITY OF PARDUBICE. MATEMATICKY MODEL A ZPUSOBY RESENi ULOHY PRIDELOVANi PRAzDNYCH VOZU

Transkript

1 SCIENTIFIC PAPERS OF THE UNIVERSITY OF PARDUBICE Series B The Jan Perner Transport Faculty 3 (1997) MATEMATICKY MODEL A ZPUSOBY RESENi ULOHY PRIDELOVANi PRAzDNYCH VOZU Milan PODOLAK Katedra technologie a i'izeni dopravy UVOD Pri jizde prazdnych vozu do mista nakladky jsou dulezite dva zakladni faktoryjaktor casu - doba prazdneho behu vozu je soucasti doby" obehu vozu. Jeho prodluzovani vede ke zvysene potrebe vozu, ktera se pak projevuje ve zvysenych investicnich nakladech na obnovu ci udrzbu pracovniho parku vozu, nebo zvyseni najemneho za pobyt cizich vozu na siti. Druhym je faktor pi'imych nakladu, kter9 je primo zavisly na kilometricke vzdalenosti, trat'ovych pomerech, trakci a druhu vlaku, v nemz je vuz pi'epravovan. K temto okolnostem je ti'eba jeste uvest fakt, ze za pi'epravu prazdnych vozu neziskava dopravce zadne trzby. Proto musi byt zajmem vsech zeleznicnich podniku je organizovat tyto pi'epravy co nejhospodarneji. Stale rychlejsi rozvoj vyuzivani vypocetni techniky v doprave, zavadeni novych informacnich systemu do vsech technologickych postupu zeleznice a slusna uroveii matematickeho aparatu v teto problematice, nabizi vyuziti osobnich pocitacu pi'i teto cinnosti zeleznice. 1. MODEL ULOHY 1.1 Verbalni popis problemu Na dopravni siti existuji uzly, ktere maji prebytecne mnozstvi elementu a naopak uzly, kter9m se prazdne elementy nedostavaji. S ohledem na technicke a technologicke moznosti existuje mnoho zpusobu, jak je mozno pi'epravit prazdne elementy z mist jejich pi'ebytku do mist jejich nedostatku. My mame ze vsech moznych zpusobu vybrat ten, kter9 je pro nas Scientific Papers of the University of Pardubice Series B - The Jan Perner Transport Faculty 3 (1997)

2 nejvyhodnejsi. Metoda zvolena pro i'eseni teto ulohy mus! splnovat velke mnozstv! dalsich podminek: - co nejvetsi pokryti poti'eb elementu, - preference uspokojeni nekterych pozadavku na prazdne elementy, - moznost vzajemne zastupitelnosti elemenw ruznych typu (ruzne i'ady vozu), - rozhodovani 0 pokryvani poti'eb sousti'edit do minimalniho poctu mist, - zohledneni dynamickeho pojeti problemu, - respektovani propustnosti useku a uzlu site, - pi'ijatelna doba vypoctu. Podminka maximalniho pokryti poti'eb musi byt splnena vyberem vhodneho algoritmu pro i'eseni problemu. Preference uspokojeni nekterych poiadavku se tyka zejmena element" pro mezinarodni pi'epravu, poti'eb nekterych zakazniku, vyhlasenych vyrovnavkovych ukolu, atd. Vozovy park se nesklada pouze z jednoho druhu (Ceske drahy vlastni vice nez 120 vozovych i'ad). Jejich moine vyuziti, pi'ipadne zastupitelnost je dana vlastnostmi zasilky. Nutnost sousti'edeni rozhodovani do minimalniho poctu mist je dana tim, ze se se vzrustajicfm poctem techto mist zhorsuje vysledek optimalizace. Zdola je tento pocet omezen pi'enosovymi moznostmi datove site a dobou vypoctu. Zohledneni dynamickeho modelu je nutne proto, ie pi'epravou prazdnych elementu nedochazi pouze k pi'ekonavani vzdalenosti, ale i casu. Prazdne elementy se pi'emist'uji po usecich a v uzlech, ktere maji urcene propustnosti. Reseni musi byt i z tohoto pohledu uskutecnitelne. Pocet stanic obvodu, pouzita vypocetni technika a slozitost algoritmu urcuji dobu provedeni optimalizacniho vypoctu. 1.2 Hodnotic! kriteria Cilem optimalizacni ulohy pi'idelovani vozu je minimalizace celkolieho vysledku, ktery vznika z dilcich nakladu na pi'emist'ovani vozu. V linearnim modelu se dilci naklady vyjadi'uji jako soucin hodnotieich sazeb a poctu pi'emist'ovanych vozu z daneho mista zdroje do mista poti'eby. Pocty techto vozu se hledaji pi'i i'eseni, hodnoty sazeb je nutno stanovit pi'ed vypoctem. K realnemu vyjadi'eni minimalniho celkoveho vysledku je iadouci, aby se v sazbe odrazely naklady na vuz komplexne, tj. ve vsech fazich procesu pi'emist'ovani z mista zdroje do mista poti'eby. To znamena zahrnout do sazby naklady spojene: - s pobytem vozu v miste zdroje a v miste poti'eby vozu, - se zpracovanim v nacestnych sei'adovacich stanieich, - s jizdou na trati mezi mistem zdroje a mistem poti'eby. Sazbu je mozno vyjadi'it ve forme hodnotove nebo naturalni. V prvnim pi'ipade se sazba vyjadi'i v peneznich jednotkach a zjisti se prostym souctem nakladu v jednotlivych fazich procesu pi'idelovani vozu. Je nutne poznamenat, ie je obtizne tyto naklady stanovit. V druhem pi'lpade se naklady v kazde fazi procesu pi'evadeji pro zjednoduseni na kiiorr1etry. Zakladem pro stanoveni sazeb v kilometrech v podobe matice jsou vzdalenosti mezi jednotlivymi misty zdroju a poti'eb. Mohou to byt tarifni nebo skutecne pi'epravni vzdalenosti, pi'ipadne vzdalenosti,spojujici geometricke sti'edy skupin stanic. Upravou takto stanovene sazby (pomoci koeficientu ci pi'irazek) Ize vyjadi'it naklady spojene s nacestnym pi'ei'acfovanim, zohlednit charakter trati, vyjadi'it realna pi'emisteni (z hlediska technologie, casu), vyhodnost zameny vozu jinymi typy a dalsi viivy Milan Podolak: Matematicky model a zpusoby i'eseni ulohy pi'idelovani prazdnych vozu

3 Hodnotici sazby v uloze pridelovimi vozu nemusi byt nemenne. V prubehu casu je Ize upresriovat, nebo v pi'fpade potreby zmenit i hodnotici kriterium (napr. pri mimoradnostech v doprave). Ve stacionarnim modelu je mozne vyjadrit sazbu jeste prevodem nakladu na cas. V dynamickem modelu je cas uz zapracovan do reseni pri libovolnem hodnoticim kriteriu. Z hlediska pouzite metody je Ihostejne, ktera forma sazby se pouzije. Je to predevsim problem dostupnosti vychozich podkladu. 1.3 Matematicky model ulohy Predpokladejme, ze se v danem obvodu site nachazi m mist D I, D2,, D;,...,D m s prebytkem prazdnych elementu urciteho druhu a l,a 2,,a;,...,am a n mist S ps2,...,sj,..,sn s potrebou techto elementu b l,b 2,...,bj,...,bn pro nez plati: Ia; =A =B =Ib j ;=1 j=1 m n Prepravni naklady jednoho prazdneho elementu z mista D; do mista Sj jsou c y ' Tyto naklady budeme take oznacovat jako prepravni sazbu. Problemem je nalezt pocet elementu, ktere ma misto s prebytkem vozu zaslat do mist s nedostatkem elementu, aby celkove prepravni naklady byly minimalni. Pro takto formulovany problem je mozne sestavit nasledujici model linearniho programovani: n a; =I x ij, pro i =1. 2,... m j=1 (1) bj m =I x ij, pro j =1, 2;..., a ;=1 (2) x ij ~ 0, pro i =1. 2,... m a pro j =1, 2..., n m n IICijX ij ;=1 j=1 =z (min) (3) (4) Vztahy (1) a (2) omezuji nalezena reseni s ohledem na celkovy potet prazdnych elementu. ktere jsou k dispozici nebo ktere jsou potreba. Vztah (3) je logickou podminkou realnosti dosazeneho reseni. Ucelova funkce (4) nam minimalizuje celkove prepravni naklady na premisteni vsech elementu v sitl 2. METODY RESEN! K reseni ulohy pridelovani prazdnych elementu Ize pouzit: - soubor metod linearniho programovani, ktere pam v operacni analyze k nejpropracovanejsim, - metody teorie gram. Scientific Papers of the University of Pardubice Series B - The Jan Perner Transport Faculty 3 (1997)

4 Soubor metod Iinearniho programovani Ize rozdelit z hlediska pouziti na metody: - univerzalni (napi'. simplexova metoda), - specialni (napi'. Dantzigova metoda). Dalsim hlediskem podle kten3ho je mozno metody linearniho programovani clenit je stupen pi'esnosti celkoveho vysledku. Ole tohoto hlediska se metody deli na: - pi'esne (napi'. simplexova metoda, Dantzigova metoda), - pi'iblizne (napi'. Vogelova aproximacni metoda, Habrova frekvencni metoda). Zapracovani doplnujicich pozadavku do techto puvodnich metod neni bez jejich modifikaci mozne. Pomoci metod teorie grafu Ize splnit zakladni i doplnujici pozadavky na i'eseni ulohy pi'idelovani vozu. Tyto metody se svym pojetim vice pi'iblizuji podminkam provozu na zeleznici a vytvai'i zaklad pro i'eseni ulohy pomoci dynamickeho linearniho modelu. Zastupcem techto metod je modifikace metody sestaveni cirkulaci s minimalnimi naklady, ktera byla publikovana v literatui'e [l]. V dalsi casti je uvedena charakteristika Dantzigovy metody. 2.1 Dantzigova metoda Pi'i teto metode se postupuje v techto krocich: - Nalezeni vychoziho pi'ipustneho bazickeho i'eseni, - Provedeni testu optimality pro nalezene i'eseni, - Postupne vylepsovani i'eseni v pi'ipade, ze nalezene i'eseni nesplnuje kriterium optimality. K urceni zakladniho bazickeho feseni muzeme vyuzit mnoha metod. Tyto metody byvaji nazyvany metodami aproximacnimi. Maji dvoji uce!. Jednak byly vypracovany proto, aby pi'i nedostatku vypocetni kapacity na pocitaci bylo mozno rucne ci mechanizovane ziskat i'eseni blizke optimalnimu. Druhym ucelem je jiz uvedene ziskani vychoziho i'eseni. Tyto metody maji rozdilnou slozitost vypoctu s ohledem na to, jak pi'esne i'eseni pozadujeme. Narocnejsi metoda pouzita na urceni vychoziho i'eseni nam da toto i'eseni blizsi optimu (v nekter)lch pi'ipadech i optimalni). Neznamejsimi aproximacnimi metodami jsou: - severozapadniho rohu, - indexova vzestupna, - indexova sestupna, - kombinovana indexova, - Habrova frekvencni, - Vogelova aproximacni. Pi'ed vlastnim hledanim vychoziho pi'ipustneho i'eseni je nutno i'ici, ze vsechny metody pi'edpokladaji vybilancovanost ulohy, tzn., ze musi platit m Iai=A=B=Ib j. i=l j=1 V pi'ipade, ze A > B, zavedeme fiktivni stanici s poti'ebou prazdnych vozu (vozy ve skutecnosti zustavaji ve stanicich), ktera se rovna b n+j = A - B. Matice pi'epravnich nakladu se doplni 0 prvky Ci, +1 = 0 pro i = 1,2,.., m. n Milan Podolak: Matematicky model a zpusoby reseni ulohy pridelovani prazdnych vozu

5 V pi'ipade, ze A < B, zavedeme fiktivni stanici s pi'ebytkem pn3zdnych vozu (vozy ve skutecnosti dojizdeji do dane oblasti), ktera se rovna a m + 1 =B - A. Matice pi'epravnich nakladu se doplni 0 prvky cm+l,j = 0 pro j = 1,2,..,n. Podrobny popis metod je uveden v literatui'e [2]. Dalsim krokem popisovane Dantzigovy metody je test optimality. Dantzig ukazal, ze pro libovolne bazicke i'eseni je mozne najit takove cislo U i a v j, aby pro vsechny bazicke promenne platila rovnice U i +V j = C ij. Dantzig take ukazal, ze kdyz pro nebazicke promenne plati u i +V j = C ij a kdyz - soucasne vsechny C ij - Cij ~ 0, pak je bazicke i'eseni optimalni. Zjisteni optimality ziskaneho i'eseni probiha takto: Pro kazdou bazickou promennou sestavime jednu rovnici u i +V j = C ij. Resime vzniklou soustavu m + n - 1 rovnic 0 m + n neznamych jednoduchym zpusobem tak, ze si za jednu neznamou dosadime libovolne cislo a ostatni nezname dopocftame ze zbyvajicich rovnic. Tim nalezneme hodnoty vsech u i a v j' - Pi'esvedcime se, zda pro vsechna m x n pole tabulky plati vztah u i +v j -cij ~O. - Je-li tomu tak, pak je nalezeno optimalni i'eseni zadaneho dopravniho problemu. V opacnem pi'fpade muzeme nalezt nove i'eseni s nizsf hodnotou ucelove funkce. Pi'i hledani noveho a lepsiho i'eseni se postupuje takto: - Promennou vstupujid do noveho bazickeho i'eseni je ta, pro kterou je U i +V j - C ij maximalni. Promenne kazdeho bazickeho i'eseni (m+n-1 promennych) tvoi'f strom. Zai'azenim nove prome'mne vznikne v grafu s m+n vrcholy (promenne bazickeho i'eseni + nova prome'mna) kruznice. Vrcholy teto kruznice obsazujeme sti'idave znamenky + a - tak, ze novou promennou oznacime pomocnym znamenkem + a aby v kazdem sloupci a i'adku, kde se nachazi pomocne znamenko +, bylo i -. - Zvolime hodnotu t, ktera je rovna minimu z hodnot x ij' ktere jsou oznaceny pomocnym znamenkem -. - Provedeme upravu i'eseni tak, ze provedeme vsechny soucty, resp. rozdfly x ij ± t na uzavi'enem okruhu podle oznaceni pi'fslusnych poli uzavi'eneho okruhu pomocnymi znamenky. - Provedeme test optimality. I Hodnota noveho i'esenf je Z i = Z 0 - t x (c ij - C ij)' kde je Z 0 hodnota pi'edchazejfciho i'eseni, cij je pi'epravni sazba pi'edstavujici z i'eseni vyi'azenou promennou a C ij je pi'epravni sazba pi'edstavujici novou promennou. Scientific Papers of the University of Pardubice Series B - The Jan Perner Transport Faculty 3 (1997)

6 Problem pfidelovani vozu je tematem disertacni prace autora. Tento problem chce fem Dantzigovou metodou. Z duvodu nutnosti zahrnout do feseni podminky uvedene v kapitole 1.1., je potfeba tuto metodu modifikovat. V nasledujicim seznamu je uvedeno nekolik techto zmen a nastineny problemove okruhy feseni: - Vychazi se ze zakladni matice vzdalenosti mezi stanicemi s pfebytky a nedostatky vozu ( matice sazeb). - Zastupitelnost vozovych fad - souhrnne pfebytky a pozadavky v jednotlivych stanicich se rozcleni nejen podle stanic, ale i podle fad vozu. Tim se rozroste matice sazeb. Kazdemu pozadavku se pfifadi mnozina fad vozu, ktere ho mohou uspokojit. Dojde k uprave prvku teto matice. Neshoduje-li se fada vozu, ktery je k dispozici s prvkem mnoziny fad vozu u pozadavku, pfifadi se dane sazbe nekonecno. V opacnem pfipade zustane sazba zachovana, eventuelne dojde k jeji zmene podle miry zastupitelnosti vozovych fad. - Preference pfi uspokojeni nekterych pozadavku - Pfedmetem dalsiho feseni bude, zda je vyhodnejsi jit cestou snizeni sazeb ve sloupcich preferovanych pozadavku, nebo cestou dvoustupriove optimalizace(nejdfive uspokojeni preferovanych a pote ostatnich pozadavku). - Zohledneni dynamicke pojeti - Ke kazdemu pfebytku (pozadavku) je znama nebo je mozno odhadnout dobu, kdy bude vuz k dispozici (kdy jej potfebujeme). Z techto dob a Planu vlakotvorby je mozno zjistit, zda je pfeprava reprezentovana danou sazbou uskutecnitelna. Pokud neni, zmeni se tato na nekonecno. Pfipadne je mozne tuto sazbu zvetsit 0 urcitou hodnotu vypovidajici 0 poctu pfefazeni na pfepravni ceste. Pfedpokladem je jizda nakladnich vlaku podle grafikonu vlakove dopravy. - Respektovani propustnosti trati a stanic - Tento pozadavek je asi nejproblemovejsi a pfedmetem dalsich praci bude jednak analyza moznosti zapracovani tohoto pozadavku do feseni a zpusob zjisteni hodnot kapacit techto prvku site vyuzitelnych pro pfepravu prazdnych vozu. Ve vsech bodech, krome posledniho, se vlastne jedna pouze 0 zmenu puvodni matice sazeb. Lekforova/: Doc. RNDr. Bohdan Linda, esc. Pfedloieno v lednu Literatura [1] Mojiis, V. : Technologie a fizeni zeleznicni dopravy, habilitacni prace, Pardubice 1994 [2] Podolak, M. : Moznosti automatizace prace vozoveho dispecera, diplomova prace, Pardubice 1996 Milan Podolak: Matematicky model a zpusoby feseni ulohy piidilovani prazdnych vozu

7 Resume MATEMATICKY MODEL A ZPUSOBY RESENi ULOHY PRIDELOvANi prazdnych VOZU Milan PODOLAK Pfispevek se zabyva ulohou pridelovani prazdnych vozu k nakladce. Je uveden verbalni a matematicky model problemu. Pro posouzeni kvality jednotlivych variant je provedena analyza a vyber hodnoticfch kriterif. Jsou zmineny mozne zpusoby resenf. Podrobne je popsana Dantzigova metoda a jsou nastineny moznosti modifikace puvodniho algoritmu. Summary MATHEMATICAL MODEL AND METHODS TO FIND SOLUTION OF PROBLEM OF ALOCATION OF EPTY WAGONS Milan PODOLAK The article deals with the problem of allocation of empty wagons for loading. Verbal and mathematical models of this problems are stated. For consideration of the quality the respective solution variants are analysed and valuation criteria are chosen. The possible mathematical methods to find solutions are presented. The Dantzig's metod is presented in detail. The possibilities of modification of original algorithm is sketched. Zusammenfassung DAS MATHEMATISCHE MODELL UNO LOSUNGSWEISE DER AUFGABE UBER AUFTEILUNG DER LEERWAGONEN Milan PODOLAK Der Beitrag befasst sich mit der Aufgabe der Zuteilung der leeren Wagen zur Ladung. 1st hier ein Verbal- und Mathematikmodel von Problem angefohrt. Fur die Beurteilung der Qualitat der einzelnen Varianten der Losung wurde die analyse und Wahl der bewertenden Kriterien durchgefohrt. Sind hier einige moglichen Losungsmethoden angefohrt. 1st hier ausfohrlich eine Dantzigsmethode beschreibt. Zugleich einige Modifikationsmoglichheiten von originellen Algorithmus. Scientific Papers of the University of Pardubice. Series B - The Jan Perner Transport Faculty 3 (1997)

8 - 214-