M - Příprava na pololetku č. 2-1KŘA, 1KŘB

Transkript

1 M - Příprava na pololetku č. - 1KŘA, 1KŘB Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Pythagorova věta Pythagorova věta Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Platí i obráceně: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c = a + b, pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C. Ukázkové příklady: Příklad 1: Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c =? [cm] Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c. Pokud bude platit c = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý. c = a + b = = 41 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý. Příklad : V kosočtverci mají úhlopříčky délky 8 cm a 6 cm. Určete délku strany kosočtverce. 1 z 40

3 Řešení: u 1 = 8 cm u = 6 cm a =? [cm] Vzhledem k tomu, že úhlopříčky v kosočtverci jsou na sebe kolmé a navzájem se půlí, platí, že u 1 = u 1/ = 8/ cm = 4 cm u = u / = 6/ cm = 3 cm Podle Pythahorovy věty pak / / a = u1 + u = = 5 = 5 a = 5 cm Strana kosočtverce má délku 5 cm. ± Pythagorova věta - procvičovací příklady ,06 cm cm z 40

4 m 6. 0,6 cm ,4 m ,9 cm ,78 cm cm ± Algebraické výrazy Algebraické výrazy Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Výraz s proměnnou obsahuje zpravidla čísla, znaky početních operací, proměnné a pomocné znaky (např. závorky). Přehled důležitých vzorců: (A + B) = A + AB + B (A - B) = A - AB + B (A - B).(A + B) = A - B (A + B) 3 = A 3 + 3A B + 3AB + B 3 (A - B) 3 = A 3-3A B + 3AB - B 3 A 3 - B 3 = (A - B).(A + AB + B ) 3 z 40

5 A 3 + B 3 = (A + B).(A - AB + B ) Zjednodušování algebraických výrazů budeme říkat, že výrazy upravujeme. Přehled základních operací s celistvými algebraickými výrazy: 1. Sčítání a odečítání výrazů Sčítat nebo odečítat můžeme výrazy, které mají stejný základ a stejný exponent. Příklady: x + 7x... lze sečíst x + 3x... nelze sečíst x + 3y... nelze sečíst. Násobení výrazů a) jednočlen jednočlenem Pozn.: členy výrazu nám oddělují pouze znaménka + nebo - 3x y 5 z 4... jednočlen 3x y 4-7x y 3 dvojčlen Při násobení jednočlenu jednočlenem postupujeme tak, že nejprve učíme znaménko výsledku, pak vynásobíme koeficienty a dále vynásobíme proměnné postupně podle abecedy. Využíváme při tom pravidla, že při součinu mocnin o stejném základu opíšeme základ a exponenty sečteme. Příklad: 3x y 6. (-6x 5 y ) = -18x 7 y 8 Pozn.: Můžeme využívat i pravidla, že součin mocnin se stejným exponentem se rovná mocnině součinu. Příklad: x 3. y 3 = (xy) 3 Platí to samozřejmě i obráceně. b) dvojčlen jednočlenem Roznásobíme jednočlenem každý člen v závorce. Příklad: (x 4-3y 5 ).(-x) = -4x 5 + 6xy 5 Při tomto výpočtu je úplně jedno, jestli je v zadání nejprve jednočlen a pak závorka nebo obráceně. c) dvojčlen dvojčlenem Roznásobíme každý člen jedné závorky každým členem druhé závorky. Na pořadí provedených operací nezáleží. Vzniklý výraz zjednoduššíme. Příklad: (x - 5). (3x - 1) = 6x 3 - x - 15x + 5 = 6x 3-15x - x + 5 Stejným způsobem postupujeme, pokud násobíme obecně mnohočlen mnohočlenem. 3. Dělení výrazů V tomto případě se nám dostane do dělitele (jmenovatele) výraz s proměnnou. Těmito výpočty se zabývá kapitola Úpravy lomených výrazů. 4. Umocňování výrazů 4 z 40

6 Využíváme následující pravidla: - mocnina mocniny se vypočte tak, že základ opíšeme a exponenty mezi sebou vynásobíme Příklad: (x 3 ) 5 = x 15 - pokud umocňujeme dvojčlen, postupujeme podle vzorců - viz začátek kapitoly 5. Rozklady výrazů na součin Využíváme následujících operací (v uvedeném pořadí) a) snažíme se ze všech členů vytknout co největší výraz b) použijeme některý ze známých vzorců c) použijeme postupné vytýkání V tomto případě musí být výslednou početní operací součin. ± Algebraické výrazy - procvičovací příklady 1. Rozlož na součin: 1159 a 4 - b 6 (a - b 3 ). (a + b 3 ). Výraz (3k - ) - 4k(k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k = 3 k - 3. Doplňte: (? - 3) = 16x -? +? První? = 4x; druhý? = 4x; třetí? = Upravte: (1,x - 0,3y) 5. Rozlož na součin: 1/9u 4 + u v + 9v 1,44x 4-0,7x y + 0,09y (1/3u + 3v) 6. Rozlož na součin: 1/4x - 1/36y 4 7. Zjednoduš: (x - 3) 4x - 1x + 9 (1/x - 1/6y ). (1/x + 1/6y ) Zjednoduš: (0,1a 3-5a ). (5a + 0,1a 3 ) 0,01a 6-5a 4 9. Zjednoduš: (4x + 3y 3 ). (4x - 3y 3 ) 16x 4-9y z 40

7 10. Zjednoduš: (0,1rs - 10r ) 0,01r s - r 3 s + 100r Upravte: a. 3b ȧb.b a 3. 4b 4 4a 6 b 9 1. Výraz K = 16a a 4 x rozložte na součin aspoň tří činitelů K = a.(4 - ax).(4+ax) 13. Rozložte na součin: a + ab + b c (a + b + c). (a + b - c) 14. Zjednoduš: (0,8 - y). (0,8 + y) 0,64 - y 15. Zjednoduš: (u + 10) u 4 + 0u Rozlož na součin: 9x + 6xy + y 4 (3x + y ) 17. Zjednodušte výraz x - [5x - (x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = -3-4(x + 3) 18. Rozložte na součin: (m - 1).5x 8.(m - 1) (m - 1). (5x - 8) 19. Výraz 4k - (k + 1) - 4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 3-8k Rozložte v součin výraz: 9s v - 4r v - 9u s + 4u r. Správnost ověřte dosazením u=-1, v=, s=1, r=0 (v - u). (v + u). (3s - r). (3s + r) 1. Výraz - (-x + 1) se po úpravě rovná čemu? -4x + 4x - 1. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost ( y) = 4x xy z 40

8 3. Rozložte na součin: x - xy + y - x + y (x - y). (x - y - 1) 4. Rozložte na součin: 4 x ( - x). ( + x) 5. Zjednoduš: (c 3-1/3). (c 3 + 1/3) c 6-1/9 6. Upravte: (x - 5) - (x - 3).(5x + ) -6x - 9x Upravte: (x - 0,y). (x + 0,y) 4x - 0,04 y Zjednoduš: (/3 - z) 4/9-4/3z + z Rozlož na součin: c 4 (7 - c ). (7 + c ) 30. Vypočítejte: (3 - x) - 3(x - 3) + (-x).(x - 3x + 9) 31. Zjednoduš: (3/7u 3-3u ). (3u + 3/7u 3 ) 9/49u 6-9u 4 3. Zjednoduš: (m - n). (m + n) 4m - n 33. Rozlož na součin: 0,04a - 1,a 3 + 9a 4 (0,a - 3a ) 34. Vypočtěte součin výrazů x + a x - 1 x + x Rozlož na součin: 16r s - 16rs + 4s (4rs - s) = 4s. (r - 1) z 40

9 36. Rozlož na součin: 0,5a 8 - b Upravte: [(a b 3 ) 3 ] (0,5a 4 - b 3 ). (0,5a 4 + b 3 ) a 1 b Zjednodušte a ověřte dosazením za x = - 8x - [x 6.(x - 1) + ] - (3x - 5x). 4.(x + 1) 39. Rozložte na součin výrazy: a) x - 4xy + y b) 5t - tm - 10m + 5 a). (x - y) b) (t + 5). (5 - m) 40. Rozložte na součin výraz: 18xy - 1x y 3xy.(6y - 7x) 41. Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+ a x-1 4. Zjednoduš: (x - 3). (x + 3) x Zjednoduš: (x - x 3 ) x 4 - x 5 + x 6 Rozdíl 3, součin x + x Zjednodušte výraz: (h - 5s)(h + 5s) - (h + 5s) -10s.(5s + h) 45. Vypočtěte rozdíl výrazů x + a x Rozložte na součin: 4x (y z ) + 5v (z y ) 47. Zjednoduš: (3a + b ) (y - z). (y + z). (x - 5v). (x + 5v) 9a + 1ab + 4b Upravte daný výraz 3x y - {xyz - (yz - x z) - 4x z + [3x y - (4xyz - 5x z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x = 1, y = -1, z = 0 3xyz - x z + yz z 40

10 49. Zjednoduš: (a b - 10). (a b + 10) a 4 b Zjednoduš: (c + 1,) c +,4c + 1, Umocněte: (10 - a) a + 4a 5. Vypočtěte: (4a b + 5a 3 b ) = 16a 4 b + 40a 5 b 3 + 5a 6 b (5v 4 + /5uv) 5v 8 + 4uv 5 + 4/5u v 1158 ± Lomené algebraické výrazy Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou. U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl). Př.: ax+ b cx+ d Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkou x = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit). Zapisujeme tedy: x ¹ -d/c Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit. Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele. Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit. Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel. Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem. Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek 9 z 40

11 uvedeme do základního tvaru. Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele proti kterémukoliv jmenovateli. Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele výrazu lomeného. Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou hodnotou lomeného výrazu druhého. Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se jmenovatelem. Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko. Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz. Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních. Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak dále. Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů. ± Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ xy- y ç è y x xy ö ø -. 3 (- xy ) 3 - x; x ¹ 0, y ¹ z 40

12 4. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: p - q.( 4 p - 4 pq) 4 p -8pq + 4q p; p ¹ q Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: x x - + y y (-1). y - x; x ¹ -y z 40

13 Zjednodušte a uveďte, kdy má lomený výraz smysl: 6x -1.( 1x + ) 6x + 1.(6x - 1); x ¹ -1/6 1. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: m - 5n.( n - 3m) 3m - n 5n - m; n ¹ (3/)m Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 3s + r ç - è r - 3s 9s - r -; r ¹ ± 3s ö. ø ( 3s - r) z 40

14 15. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ x + 3y ö ç -. - è 3y - x x - 9y ø -3; x ¹ ± 3y ( x 3y) Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl:.( y - z ) y + z. (y - z); y ¹ -z 19. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 1 ö ç1+ +. x è x x ø x + x + 1; x ¹ z 40

15 1. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 1+ x ö ç -.(- x) è x x ø x; x ¹ 0. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3 + 5x.1x 7x 9x + 15x ; x ¹ 0 3. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: a - b + 1.( a - b -1) a - b -1 ( ) 1; a ¹ b - 1, a ¹ b Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 1- x.( - 6x ) 3x 4x - x; x ¹ ,7 6. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3a + - b.( + b - 3a) 4-3a - b ( ) 1; b ¹ 3a - ; b ¹ 3a + 7. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 1 3x y (- x y ). 6 -y; x ¹ 0, y ¹ z 40

16 Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: x - y.( x - y) x - 4y x - y ; x ¹ ± y x + y Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 18v.( 5v + 7) 30v + 4 3v; v ¹ -7/5 3. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ x x - y ö ç +.( y + x) è x + y x - 4y ø x + 1; x ¹ ± y 33. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: x; x ¹ 0, x ¹ Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 4r + 8rs + 49s.( r - 7s) r + 7s 7 4r - 49s ; r ¹ - s 35. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 8x + 7.( 14-16x) 8x (8x + 7); x ¹ 7/ z 40

17 36. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3 u + u. u -1 ( u -1) u ; u ¹ ± ± Lineární rovnice Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - 3 Písmeno zapsané v rovnici nazýváme neznámá. Pokud určíme hodnotu neznámé, získáváme tzv. řešení rovnice nebo též kořen rovnice. Rovnice můžeme mít s jednou neznámou, se dvěma neznámými, s parametrem, s absolutní hodnotou; rovnice mohou být lineární, kvadratické, kubické, exponenciální, logaritmické, apod. Zabývat se budeme i řešením soustav rovnic, což je zápis dvou nebo více rovnic, zpravidla o dvou nebo více neznámých, přičemž všechny rovnice platí současně. Ekvivalentní úpravy rovnic 1. ekvivalentní úprava K oběma stranám rovnice můžeme přičíst (resp. odečíst) stejné číslo (stejný výraz). př.: x + 3 = 7-3x /+3x 5x + 3 = 7 Pozn.: V praxi se nejedná o nic jiného než o poznatek, který nám říká, že při převodu členu obsaženého v součtu nebo v rozdílu z jedné strany rovnice na druhou měníme u tohoto členu znaménko.. ekvivalentní úprava Obě strany rovnice můžeme vynásobit, případně vydělit stejným číslem (stejným výrazem) různým od nuly. př.: 8x = 4 /:8 x = 3 Pozn.: Pokud se u rovnic vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme před zahájením řešení stanovit podmínky řešitelnosti. 16 z 40

18 Pozn.: Zatím se budeme zabývat tzv. lineárními rovnicemi, což jsou takové rovnice, u nichž se neznámá vyskytuje pouze v první mocnině. Pozn.: Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je nepravdivá rovnost (nerovnost), pak daná rovnice nemá řešení. Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je pravdivá rovnost, pak daná rovnice má nekonečně mnoho řešení; řešením jsou pak všechna reálná čísla, jedná-li se o rovnici bez neznámé ve jmenovateli anebo všechna reálná čísla s výjimkou těch, která odporují podmínce řešitelnosti, jedná-li se o rovnici s neznámou ve jmenovateli Řešení jednoduchých rovnic - ukázkové příklady Příklad 1: Řešení: Příklad : Řešení: Příklad 3: Řešení: 17 z 40

19 Příklad 4: Řešení: Příklad 5: x = 9/7 Řešení: ± Lineární rovnice - procvičovací příklady Všechna reálná čísla 18 z 40

20 , , z 40

21 z 40

22 , , z 40

23 , z 40

24 , z 40

25 , z 40

26 , , , ± Intervaly Intervaly, jejich zápis a znázornění Užití intervalů je široké a setkáme se s nimi nejen při řešení nerovnic. Rozdělení intervalů: 1. Uzavřený interval a x b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x Î <a; b> 5 z 40

27 Grafickým znázorněním tohoto intervalu je úsečka se svými krajními body.. Otevřený interval a < x < b (x je menší než b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b) Grafickým znázorněním je úsečka bez krajních bodů. Poznámka: Zvláštním případem otevřeného intervalu je celá množina reálných čísel. Grafickým znázorněním je přímka. x Î (- ; + ) nebo jinak x Î R 3. Polootevřený (polouzavřený) interval a < x b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b> Grafickým znázorněním je úsečka s jedním krajním bodem. Takovýto interval někdy také nazýváme zprava uzavřený interval. Pozn.: Analogicky bychom mohli definovat zleva uzavřený interval. 4. Další typy intervalů x < a x Î (- ; a) Analogicky by byl interval pro x > a x a x Î (- ; a> Opět analogicky by vypadal interval pro x ³ a 6 z 40

28 ± Nerovnice Nerovnice Nerovnice je zápis nerovnosti dvou matematických výrazů. Nerovnice, podobně jako rovnice, může obsahovat jednu nebo více neznámých. Postup řešení nerovnic je obdobný, jako při řešení rovnic s tou výjimkou, že pokud násobíme nebo dělíme nerovnici záporným číslem, mění se znak nerovnosti v opačný. >... čteme větší <... čteme menší... čteme menší nebo rovno ³... čteme větší nebo rovno Výsledek řešení nerovnice zpravidla graficky znázorňujeme, zapisujeme intervalem a provádíme ověření správnosti řešení. Pozn.: Ověření správnosti, ne tedy zkouška, proto, že většinou je řešením celý interval a my nemáme možnost všechna čísla z daného intervalu dosadit. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešení: Celou nerovnici vynásobíme čtyřmi, což je kladné číslo, proto znak nerovnosti se nemění. x (x + 3) > 4 x x - 6 > 4-7 > 4 Výsledkem je nepravdivá rovnost, proto nerovnice nemá řešení. Příklad : Řešení: Celou nerovnici vynásobíme dvanácti:. (7 - x) > 3x x > 3x z 40

29 -7x > -1 V tomto případě budeme celou nerovnici dělit číslem (-7), což je číslo záporné, proto se znak nerovnosti změní v opačný: x < 3 Výsledek zapíšeme intervalem: x Î (- ; 3) Graficky znázorníme: Provedeme ověření správnosti řešení pro libovolné číslo z výsledného intervalu - např. pro x = 0: L = = 6 6 L > P Pokud by při řešení nerovnice vyšel závěr, kterým je pravdivá nerovnost, pak řešením je každé reálné číslo, které však nesmí odporovat podmínce řešitelnosti. ± Nerovnice - procvičovací příklady z 40

30 Řešením je libovolné přirozené číslo Každé reálné číslo z 40

31 ± Slovní úlohy řešené rovnicí Slovní úlohy řešené rovnicí Do této skupisy slovních úloh patří jednak klasické slovní úlohy (např. typu "Ve skladu je ve třech policích... výrobků, v první polici jich je o 10 více než ve druhé a ve třetí o pět méně než v druhé. Kolik výrobků je v každé polici?"). Patří sem ale i slovní úlohy o pohybu ("Z místa A vyjelo auto rychlostí..., z místa B vyjelo auto v opačném směru rychlostí... atd.) nebo úlohy o společné práci ("První zedník by sám postavil zeď za 1 hodin, druhý zedník by ji sám postavil za 8 hodin. Jak dlouho budou stavět zeď oba současně?), ale i úlohy o směsích ("Kolika procentní vznikne roztok, smícháme-li 1 litr 8%-ního octa s 0,5 litrem vody?") Většinu úloh je vhodné řešit pomocí tabulky. Obecný postup řešení (platí pro většínu slovních úloh řešených rovnicí): 1. Do tabulky provedeme zápis.. Sestavíme rovnici. 3. Vyřešíme rovnici a provedeme zkoušku (můžeme též provést zkoušku příkladu). 4. Zapíšemé závěr - odpověď. ± Slovní úlohy - procvičovací příklady 1. Písemná práce z matematiky dopadla takto: Polovina žáků vyřešila jen část úloh, všechny úlohy vyřešilo 8 žáků, čtvrtina žáků nevyřešila nic. Kolik žáků psalo písemnou práci? 3 žáků. Jana a Eva četly stejnou knihu. Jana přečetla denně 14 stránek a dočetla knihu o den dříve než Eva, která přečetla denně 1 stránek. Kolik stran měla kniha? Slavného řeckého matematika Pythagora se ptali, kolik žáků navštěvuje jeho školu. Odpověděl: "Polovina žáků studuje matematiku, čtvrtina hudbu, semina mlčí a kromě toho jsou tam ještě tři ženy." Kolik žáků navštěvuje jeho školu? 8 4. Dvě dílny jednoho závodu vyrobí denně 6 součástek. Aby společně vyrobily 350 součástek, pracovala první dílna 14 dní a druhá o den méně. Kolik součástek vyrobí každá dílna denně? První dílna 1 součástek, druhá dílna 14 součástek. 5. Denní produkce mléka 60 litrů byla slita do konví, z nichž některé byly po 5 litrech a jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo jednotlivých konví? 15 konví po 5 litrech, 7 konví po 35 litrech z 40

32 6. Viktor ušetřil dvakrát víc korun než Hanka, Tomáš o sedm korun méně než Viktor, Dáša o 13 Kč více než Tomáš. Dohromady ušetřili 93 Kč. Kolik ušetřil každý? Hanka 4 Kč, Tomáš 77 Kč, Viktor 84 Kč, Dáša 90 Kč. 7. Petr šel se svou sestrou Ivou na houby. Petr našel o 3 hub více než Iva. Cestou z lesa Iva poprosila Petra: "Dej mi tolik hub, abych jich měla alespoň o 5 více než ty." Petr jí vyhověl. Kolik hub jí nejméně musel dát? 14 hub 8. Denní produkce mléka 630 litrů byla slita do konví, z nichž některé byly po 5 litrech a jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo jednotlivých konví? 14 konví po 5 litrech, 8 konví po 35 litrech 9. Přátelé jeli na výlet. Nejprve 15 % celkové trasy jeli vlakem, pak jednu dvacetinu cesty šli pěšky, dalších 6 km jeli lanovkou, poté dvě pětiny cesty urazili pěšky a nakonec 14 km jeli vlakem. Kolik kilometrů ujeli vlakem a kolik kilometrů ušli pěšky? Vlakem 1,5 km, pěšky,5 km 10. Otec chtěl původně rozdělit majetek svým dvěma synům v poměru 7:6. Pak ho však rozdělil v poměru 6:5 (ve stejném pořadí). Jeden ze dvou synů se rozzlobil, že měl původně dostat o 10 Kč víc. Kolik korun dostal každý syn? První syn dostal Kč, druhý syn dostal Kč. 11. Žák má ve stavebnici 15 volantů a 53 koleček. Ze všech volantů a koleček sestavuje tříkolky (1 volant a tři kolečka) a autíčka (1 volant a 4 kolečka). Kolik sestavil tříkolek a kolik autíček? 8 autíček, 7 tříkolek. 1. Ivana si hrála s dvoumiskovými rovnoramennými vahami. Když položila na levou misku autíčko a na pravou míč a dvě kostky, nastala rovnováha. Další rovnováhu docílila, když na levou misku položila autíčko a jednu kostku a na pravou dva míče. Kolik kostek má právě takovou hmotnost jako autíčko? Žáci 8. ročníku byli na třídenním výletu a ušli celkem 4 km. První den ušli dvakrát více než třetí den a druhý den o 4 km více než třetí den. Kolik kilometrů ušli každý den? První den 19 km, druhý den 13,5 km, třetí den 9,5 km. 14. Na rekreační zájezd jelo 35 účastníků. Bylo zaplaceno celkem Kč. Zaměstnanci platili 165 Kč, rodinní příslušníci 310 Kč. Vypočítejte, kolik bylo zaměstnanců a kolik bylo rodinných příslušníků. 16 zaměstnanců, 19 rodinných příslušníků. 15. Mezi tři soutěžící děti byly rozděleny body tak, že poslední získalo jednu šestinu všech bodů, předposlední získalo jednu třetinu všech bodů a první získalo 60 bodů. Kolik bodů se celkem rozdělilo a kolik dostalo druhé dítě? Celkem 10 bodů, druhé dítě 40 bodů z 40

33 16. Jedna čtvrtina délky pilíře je zaražena v zemi, dvě třetiny jeho délky jsou ve vodě a nad hladinu vyčnívá část dlouhá 1,0 m. Jak dlouhý je pilíř? 14,4 m 17. Ve městě jsou dvě školy, ve kterých je celkem žáků. V první škole je o 9 dívek více než chlapců, ve druhé škole je o chlapce více než dívek. Kolik je v obou školách dohromady chlapců a kolik dívek? 575 chlapců, 58 dívek 18. Zahradník koupil 80 květináčů za 83 Kč. Menší byly po 3 Kč, větší po 40 Kč. Kolik bylo kterých? 46 květináčů po 3 Kč, 34 květináčů po 40 Kč. 19. Do třídy chodí 7 žáků. V určitý den chybělo 6 chlapců a 1 dívka a počet chlapců a dívek byl v tento den stejný. Kolik chlapců a kolik dívek má třída celkem, jsou-li všichni žáci přítomni? 11 dívek, 16 chlapců 0. Anička jela na jarní prázdniny k babičce. Za cestu zaplatila 38 Kč, což byly dvě třetiny jejích úspor. Babičce koupila dárek za 35,50 Kč a sestřence koupila knížku za 16,70 Kč. Kolik Kč jí zbylo na útratu, jestliže si ještě odložila peníze na zpáteční cestu? 4,80 Kč 1. Turista utratil každý den polovinu částky, kterou vlastní, a ještě 10 Kč. Za tři dny utratil všechny své peníze. Kolik peněz měl turista původně? 140 Kč. Prodavač prodal za tři dny celkem 1 80 stíracích losů. Druhý den prodal o 90 losů méně než první den, třetí den prodal 1,5krát více losů než druhý den. Kolik losů prodal první den? 430 losů 3. Když byl cestující ve vlaku v polovině cesty, usnul. Po probuzení zjistil, že má jet ještě pětinu té cesty, kterou projel ve spánku. Jakou část cesty zaspal? Pět dvanáctin celé cesty 4. Číslo 138 napište jako součet čtyř po sobě jdoucích celých čísel. 33, 34, 35, Orba skončí v plánovaném termínu, jestliže traktoristé zorají denně 150 ha pole. Díky dobré péči mechaniků pracovaly traktory bez poruchy a traktoristé zorali denně 00 hektarů pole a skončily orbu o dva dny dříve, než se plánovalo. Kolik hektarů pole zorali a za kolik dní? Za 6 dní 1 00 ha pole. 6. Během dne navštívilo výstavu 130 návštěvníků, kteří zaplatili vstupné v celkové částce 630 Kč. Kolik z nich bylo dospělých a kolik bylo dětí, jestliže vstupné pro dospělé bylo 6 Kč a vstupné pro děti bylo 3 Kč. Dospělých 80, dětí z 40

34 7. Limonáda s kelímkem stála 5,80 Kč. Limonáda byla o 5 Kč dražší než kelímek. Kolik stál kelímek? 40 haléřů 8. V teplárně spotřebovali první den pětinu zásoby uhlí, druhý den spotřebovali třetinu zbytku. Třetí a čtvrtý den spotřebovali zbývajících tun uhlí. Jakou zásobu uhlí měla teplárna původně? tun 9. Dvě stě krabic pracích prášků bylo v obchodě narovnáno ve třech policích. V první bylo o 13 krabic více než ve druhé, ve druhé o jednu pětinu více než ve třetí polici. Kolik krabic bylo ve které polici? První police 79 krabic, druhá police 66 krabic, třetí police 55 krabic. 30. Dvěma sourozencům je dohromady šest let. Jeden je o pět roků mladší než druhý. Určete věk obou sourozenců. Staršímu je 5,5 roku, mladšímu je 0,5 roku. 31. Z kovové tyče byly zhotoveny tři součástky. Na první byla spotřebována polovina tyče, na druhou dvě třetiny zbytku a třetí měla hmotnost 3 kg. Jakou hmotnost měla celá tyč? 18 kg 3. Podnikatel měl dodat v lednu a v únoru stejné množství výrobků, v březnu pak dvojnásobné množství než v lednu. Kvůli provozním potížím však dodal v lednu o třetinu méně než měl, v únoru ještě o 60 kusů méně než v lednu a teprve v březnu dodal o 80 kusů víc než původně měl dodat za březen. Přesto chybělo ještě 1 kusů ke splnění celé dodávky. Jaké množství měl dodávat v jednotlivých měsících? Leden a únor po 360 kusech, březen 70 kusů ± Kvadratické rovnice Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice je rovnice, která ve svém zápisu obsahuje neznámou ve druhé mocnině a zároveň neobsahuje neznámou v mocnině vyšší než druhé. Obecně lze kvadratickou rovnici zapsat: ax + bx + c = 0, kde a ¹ 0 Podobně jako u kvadratické funkce, můžeme jednotlivé členy nazvat: ax... kvadratický člen bx... lineární člen c... absolutní člen Kvadratická rovnice má zpravidla dva kořeny x 1, x, může jich mít ale i méně. Zkoušku provádíme pro každý kořen zvlášť. Jakoukoliv kvadratickou rovnici můžeme řešit pomocí vzorce, v němž se vyskytuje tzv. diskriminant kvadratické rovnice. Tento postup si ukážeme později. Pokud totiž kvadratická rovnice neobsahuje všechny členy, můžeme většinou použít i postupy jednodušší. Každou kvadratickou rovnici, která obsahuje závorky, či zlomky, nejprve převedeme do tvaru 33 z 40

35 ax + bx + c = 0 Při řešení samozřejmě nezapomínáme na podmínky řešitelnosti, pro které platí stejná pravidla jako při řešení rovnic lineárních. 1. Kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: ax = 0 Takovouto rovnici řešíme snadno tak, že v prvním kroku celou rovnici vydělíme koeficientem a. Můžeme to provést, protože z definice víme, že koeficient a je nenulový. Dostaneme tak: x = 0 A odtud tedy: x 1,= Ö0 x 1,= 0 Protože vyšly oba kořeny shodné, hovoříme o tzv. dvojnásobném kořenu. Příklad 1: Řešte kvadratickou rovnici 3x = 0 Řešení: 3x = 0 :3 x = 0 x 1,= 0 Můžeme tedy vyslovit jednoduchý závěr: Každá kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu má jeden dvojnásobný kořen, a tím je 0.. Kvadratická rovnice bez lineárního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: ax + c = 0 Rovnici řešíme tak, že v prvním kroku převedeme číslo c na pravou stranu: Dostaneme: ax = - c Dále rovnici vydělíme koeficientem a: Dostaneme: x = -c/a Nyní rovnici odmocníme. Pokud ale řešíme v oboru reálných čísel, můžeme tento krok provést pouze tehdy, že v případě, že je číslo a kladné, musí být číslo c záporné (a tedy -c kladné). Druhou odmocninu totiž můžeme v oboru reálných čísel provádět pouze z nezáporných čísel (číslo 0 už jsme ale rozebrali v předcházejícím odstavci) Dostaneme: x 1,= ±Ö(-c/a) Znamená to tedy, že x 1 = +Ö(-c/a) x = -Ö(-c/a) Příklad : Řešte kvadratickou rovnici -3x + 7 = 0 v oboru reálných čísel. Řešení: -3x + 7 = 0 :(-1) 3x - 7 = 0 3x = 7 :3 x = 9 x 1,= ±Ö9 x 1 = 3 x = -3 Příklad 3: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x + 6 = 0 34 z 40

36 Řešení: 3x = -6 x = - V tomto případě nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení. Příklad 4: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x - 6 = 0 Řešení: 3x = 6 x = x 1,= ±Ö x 1 = +Ö x = -Ö 3. Kvadratická rovnice bez absolutního členu Jedná se o rovnici, kterou můžeme zapsat obecně rovnicí ax + bx = 0 Při řešení v prvním kroku na levé straně rozložíme na součin vytknutím x: Dostaneme: x.(ax + b) = 0 Nyní využijeme vlastnosti, že součin je roven nule tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule. Může tedy nastat, že x 1 = 0 nebo (ax + b) = 0 a odtud: x = -b/a Příklad 5: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici x + 6x = 0 Řešení: x + 3x = 0 x.(x + 3) = 0 x 1 = 0 x = -3 Můžeme vyslovit jednoduchý závěr, že kvadratická rovnice bez absolutního členu má jeden kořen vždy roven nule. 4. Obecná kvadratická rovnice Jedná se o rovnici obecně zapsanou ax + bx + c = 0 Samozřejmě předpokládáme, že už jsme zadanou rovnici převedli do výše uvedeného základního tvaru, tzn. odstranili jsme běžným způsobem závorky a zlomky. Tento typ rovnice řešíme podle vzorce: x 1, - b ± = b - 4ac a Pokud je číslo b sudé, můžeme výhodně použít i vzorec pro poloviční hodnoty: 35 z 40

37 x 1, = b - ± æ b ö ç è ø a - ac Příklad 6: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici x + 4x - 60 = 0 Řešení: a = 1 b = 4 c = -60 Vzhledem k tomu, že b je sudé, použijeme vzorec pro poloviční hodnoty: x 1, b - ± = æ b ö ç è ø a - ac 4 æ 4 ö - ± ç -1.(- 60) è ø - ± x1, = = = - ± 1 1 x 1,= - ± 8 x 1 = 6 x = -10 Příklad 7: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x - 5x + 8 = 0 Řešení: a = 3 b = -5 c = 8 64 x x 1, 1, - b ± = - = b - 4ac a (- 5) ± (- 5) ± = ± = V tomto případě nemá kvadratická rovnice v oboru reálných čísel řešení, protože v oboru reálných čísel nemůžeme vypočítat druhou odmocninu ze záporného čísla. Pozn.: Výraz b - 4ac, který se vyskytuje ve vzorci pro výpočet kvadratické rovnice pod odmocninou, nazýváme diskriminant kvadratické rovnice. Pro tento diskriminant, označovaný také D, platí: Je-li D > 0... kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny Je-li D = 0... kvadratická rovnice má jeden (dvojnásobný) kořen Je-li D < 0... kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení Příklad 8: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x - 5x - 8 = 0 Řešení: 36 z 40

38 a = 3 b = -5 c = -8 x x x 1, 1, 1, - b ± = - = b - 4ac a (- 5) ± (- 5) 5 ± 11 = 6 x 1 = 8/3 x = ( -8) 5 ± = ± = 11 6 ± Kvadratické rovnice - procvičovací příklady z 40

39 z 40

40 z 40

41 z 40

42 Obsah Pythagorova věta 1 Pythagorova věta - procvičovací příklady Algebraické výrazy 3 Algebraické výrazy - procvičovací příklady 5 Lomené algebraické výrazy 9 Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady 10 Lineární rovnice 16 Lineární rovnice - procvičovací příklady 18 Intervaly 5 Nerovnice 7 Nerovnice - procvičovací příklady 8 Slovní úlohy řešené rovnicí 30 Slovní úlohy - procvičovací příklady 30 Kvadratické rovnice 33 Kvadratické rovnice - procvičovací příklady :51: Vytištěno v programu dosystem - EduBase (