MODELOVÁNÍ KOORDINACE SILNĚ ZÁVISLÝCH SVĚTELNÝCH KŘIŽOVATEK 1. ÚVOD

Transkript

1 MODELOVÁNÍ KOORDINACE SILNĚ ZÁVISLÝCH SVĚTELNÝCH KŘIŽOVATEK Modeling strongly dependent crossroads coordination Ing. Michal Turek h.d. Vysoká škola logistiky o.p.s. Katedra logistiky a technických disciplín e-ail: ichal.turek@vslg.c Abstrakt V příspěvku je navrhována koordinace světelných křižovatek v ax-plus algebře. Na ačátku je definován problé a uveden teoretický robor ax-plus algebry. oté je navržena koordinace světelných křižovatek v severovýchodní jihoápadní a severoápadní části ěstského okruhu v rostějově na ákladě rovnic ax-plus algebry. Na ávěr je provedeno vyhodnocení. Abstract The paper proposed the coordination of traffic lights in ax-plus algebra. At the beginning of the proble is defined theoretical analysis and ax-plus algebra. Then the coordination of traffic lights designed in the northeast southwest and northwest parts of the city circuit in rostějov equations based on ax-plus algebra. Finally there is an evaluation. Klíčová slova Koordinace říení křižovatek ax-plus algebra Scilab Key words Coordination Control Crossroads Max-plus algebra Scilab 1. ÚVOD rincip světelného říení křižovatek uožňuje současné jídy poue nekoliní resp. podíněně koliní dopravní proudů. Zajišťuje srouitelné obraování návěsti včetně srouitelného obraování ěny návěstí aby byla ajištěna bepečnost provou a efektivně přiřauje doby elené jednotlivý dopravní proudů aby byla ajištěna plynulost provou. Uvedený princip le využít u křižovatek které se nacháejí ve velkých vdálenostech. V případě že se křižovatky nacháejí v alých vdálenostech je nutné ákladní princip světelného říení rošířit o koordinaci křižovatek protože vstupy dopravních proudů do křižovatek jsou naváje ovlivňovány. Rošíření principu světelného říení o koordinaci dojde ou že koordinované dopravní proudy ískají na sousedních křižovatkách shodné doby elené v odpovídajících časových úsecích. Tí bude ajištěna plynulost provou na sousedních křižovatkách a poitivní psychologický vliv na řidiče kteří budou oci vstoupit do sousedních křižovatek be oeení rychlosti. Nekoordinovaný dopravní proudů ůstane přiřaována doba elené obdobně jako u iolovaných křižovatek. Některé ačátky a konce elených pro nekoordinované dopravní proudy budou ovlivňovány dobai elené koordinovaných dopravních proudů ale nesí dojít ou že nabíená doba elené pro nekoordinovaný dopravní proud bude nižší než požadovaná doba elené. 2. Motivace K návrhu koordinace křižovatek le v současné době použít předevší technické podínky T 81 v nichž je uveden grafický a nuerický působ koordinace křižovatek (Centru dopravního výkuu Dále je ožné použít ateatický odel pro tvorbu signálních plánů soustavy světelně říených křižovatek který vycháí ateatického odelu pro říení dopravy na křižovatce vytvořeného řešitelský kolektive ve Výkuné ústavu dopravní v Žilině (Černý - Kluvánek

2 Kroě přístupů které se v současné době pro návrh světelného říení se ajištění koordinace křižovatek používají je vhodné hlediska efektivity hledat perspektivnější působy řešení koordinace křižovatek. erspektivní řešení koordinace křižovatek představují obsáhlé ateatické odely které ve spojení s výpočtovou silou software řešícího úlohy ax-plus algebry uožňují efektivně řídit koordinované a nekoordinované dopravní proudy na světelně říených křižovatkách. 3. MAX-LUS ALGEBRA Max-plus algebra se objevila jako vhodný ateatický aparát pro popis chování diskrétních dynaických systéů v roce K hledání optiálních řešení využívá ax-plus algebra specifické operace vhodné pro odelování a analýu synchroniovaných systéů. ředstavuje ateatický nástroj v něž se aritetická operace sčítání nahrauje určování axia a aritetická operace násobení se nahrauje sčítání. Jedná se tedy o originální aplikace nelineární algebry při řešení synchroniačních probléů a nový přístup k řešení některých optialiačních probléů který ůže být použit pro návrh světelného říení křižovatek a jejich koordinaci. odrobnější inforace o ax-plus algebře čtenář nalene v literatuře (Andersen 2002 (Bacelli - Cohen - Olsder - Quadrat KOORDINACE KŘIŽOVATEK V MAX-LUS ALGEBŘE Návrh koordinace křižovatek byl pracován pro koordinaci silně ávislých křižovatek které se nacháejí v severovýchodní jihoápadní a severoápadní části ěstského okruhu v rostějově. Ke stanovení počátečních ačátků elených na koordinovaných křižovatkách byla využita hodnota vlastního vektoru λ atice A vypočtená e vtahu (1. ( k = ( k A λ (1 Následné ačátky elených na koordinovaných křižovatkách byly stanoveny na ákladě vtahu ( araetry a proěnné ( k = A ( k +1 (2 řed odelování koordinace silně ávislých křižovatek na ěstské okruhu v rostějově budou uvedeny veličiny které v rovnicích ax-plus algebry vystupují: i - dopravní proud i i (k - ačátek elené pro pro i-tý dopravní proud v k-té fái (proěnná hodnota t i (k - doba elené pro i-tý dopravní proud vstupující v k-té fái (konstantní hodnota t v - vykliovací doba koordinovaného úseku (konstantní hodnota ij - eičas ei konce vstupu i-tého proudu do křižovatky a ačátke vstupu j-tého proudu do křižovatky (konstantní hodnota. 4.2 Koordinace křižovatek Vápenice-Olooucká-Svatoplukova a Svatoplukova-Újed rvní návrh koordinace křižovatek byl pracován pro křižovatku Vápenice- Olooucká-Svatoplukova a Svatoplukova-Újed v rostějově (Obr. č. 1. Hlavní poení kounikaci představují ulice Vápenice a Újed které tvoří severovýchodní část ěstského okruhu. Vedlejší poení kounikace představují Olooucká a Svatoplukova ulice které jsou radiálai k ěstskéu okruhu

3 Obr. č. 1: Letecký pohled na koordinované křižovatky v severovýchodní části ěstského okruhu Analýa vstupních podkladů Do koordinovaných křižovatek vstupuje 12 voidlových a 4 chodecké proudy nožiny ={VAVB...K} (Obr. č. 2. Doby elené pro dopravní proudy na koordinovaných křižovatkách jsou uvedeny v Tab. č. 1 a 2. Obr. č. 2: Schéa koordinovaných křižovatek v severovýchodní části ěstského okruhu Tab. č. 1: Doby elené na křižovatce Vápenice-Olooucká-Svatoplukova Dopravní proud VA VB VC SC VE A C Doba elené [s]

4 Tab. č. 2: Doby elené na křižovatce Svatoplukova-Újed Dopravní proud VH VJ VK SK H K Doba elené [s] Meičasy pro dvojice koliních proudů jsou uvedeny v tab. č. 3 a 4 fáová schéata která byla stanovena s ohlede na princip koordinace jsou uvedena na Obr. č. 3 a 4. Vykliovací doba koordinovaného úseku činí 9 sekund. Tab. č. 3: Matice eičasů na křižovatce Vápenice-Olooucká-Svatoplukova Najíždí Vykliuje VA VB VC SC VE A C VA VB VC SC VE A C Tab. č. 4: Matice eičasů na křižovatce Svatoplukova-Újed Najíždí Vykliuje VH VJ VK SK H K VH VJ VK SK H K Obr. č. 3: Fáové schéa pro křižovatku Vápenice-Olooucká-Svatoplukova Obr. č. 4: Fáové schéa pro křižovatku Svatoplukova-Újed

5 řed odelování koordinace křižovatek byla ohledněna skutečnost že se na koordinovaných křižovatkách nacháí voidlové proudy VA a VH které se vyskytují ve více fáích. roto byly ačátky a doby elených pro voidlové proudy VA a VH roděleny k t elených pro voidlové proudy VA2 a VH3 na ačátky ( v předchoí fái resp. na ačátky ( ( k ( k a doby 2 VA a doby ( 3 VH 1 t VA3 1 proudy VA3 a VH1 v následující fái. t elených pro voidlové Začátky elených pro voidlové proudy VA3 a VH1 v následující fái ( ( k ( k VA byly avedeny poue pro potřeby odelování a při sestavování signálních 3 VH 1 plánů budou považovány a fiktivní Modelování koordinace křižovatek VC V ráci odelování koordinace křižovatek byly sestaveny rovnice (3 - (20. ( k 1 = ax( VA VA VC VB VB VB VC SC 3 3 SC SC VC ( k 1 = ax( VB VB VB k 1 = ax( VA VA A VB VB VB A SC 3 3 SC SC A ( k 1 = VJ VJ VJ SK SK SK ( k 1 = ax( 1 VH 3 3 ( k 1 = VJ VJ VJ K SK SK SK K ( k 1 = ax( 2 VC VC VC VA A A A + tv K K K ( k 1 = VC VC VC VE A A A VE ( k 1 = ax( VC VC VC C C ( k 1 = ax( K K K k + 1 = ax( VK VH VH 1 VK K K K tv ( k t tv VC VC VC VE A A A VE ( k 1 = H VH 1 VH 1 H ( k 1 = ax( 3 VA2 2 ( k 1 = ( k + t VE VE VE VB C C C VB ( k 1 = ax( VE VE VE SC C C C SC ( k 1 = ax( VK VK VK VH H 3 H H ( k 1 = ax ( k + t VJ VK VK VK VJ H H H VJ ( k 1 = ax ( k + t + (3 + + (4 + (5 A + (6 + + (7 K + (8 + + (9 VE C + (10 + ( (12 + VK H 1 VK (13 + ( (15 VB SC + ( + (17 + (18 + (19 VJ SK VK VK VK SK H H H SK + (20 V ateatické software Scilab byla pro atici A v (21 sestavenou na ákladě rovnic (3 - (20 vypočtena hodnota vlastního čísla a vlastního vektoru. Hodnota vlastního čísla uožňuje vyeení ačátků elených které se po určité době opakují. Hodnota vlastního vektoru uožňuje definovat ačátky elených po kterých nastane období které se opakuje

6 VC A VH1 K VA2 VE A = C VK H VA3 VB SC VH3 VJ SK VC A VH1 K VA2 25 VE C VK H VA3 VB SC VH3 21 VJ SK (21 Výpočet hodnot vlastního čísla a vlastního vektoru V software Scilab se nacháí pro stanovení hodnoty vlastního čísla a vlastního vektoru příka [l v d] = axplusaxalgol (A přičež prvek l repreentuje vlastní číslo atice A v repreentuje vlastní vektor atice A a d repreentuje přiroené číslo které představuje délku kritického cyklu atice A. Nyní budou uvedeny příkay kterýi byly v software Scilab vypočteny hodnoty vlastního čísla a vlastního vektoru. -->[lvd] = axplusaxalgol(a d = 6. v = l = Výpočet ačátků elených Vypočtenéu počtu elených které se po určité době opakují byly přiřaeny konkrétní hodnoty. V software Scilab se nacháí pro stanovení následných ačátků elených v ráci vlastního čísla příka [X] = axplussys (Ax0p přičež prvek A repreentuje atici A x0 repreentuje počáteční vektor a p repreentuje vlastní číslo. Nyní budou uvedeny příkay kterýi byly v software Scilab definovány ačátky elených. -->x0=[390; 387; 390; 397; 397; 397; 391; 389; 394; 382; 398; 397; 390; 388; 386; 402; 402; 399]; -->p=; -->[X]=axplussys(Ax0p Zjištěné ačátky elených přepsané do časových údajů nabíejí řešiteli variantní řešení něhož byla vybrána varianta ačínající 1. fáí před ranní špičkou. Fragent signálního plánu který odpovídá vybrané variantě je obraen na obr. č

7 Obr. č. 5: Fragent signálního plánu pro křižovatky v severovýchodní části ěstského okruhu 4.3 Koordinace křižovatek alackého-wolkerova-žeranovská a Brněnská-Wolkerova Druhý návrh koordinace křižovatek byl pracován pro křižovatku alackého- Wolkerova-Žeranovská a Brněnská-Wolkerova v rostějově (Obr. č. 6. Hlavní poení kounikaci představují alackého a Wolkerova ulice které tvoří jihoápadní část ěstského okruhu. Vedlejší poení kounikace představují Brněnská a Žeranovská ulice které jsou radiálai k ěstskéu okruhu. Obr. č. 6: Letecký pohled na koordinované křižovatky v jihoápadní části ěstského okruhu Analýa vstupních podkladů Do koordinovaných křižovatek vstupuje 9 voidlových a 3 chodecké proudy nožiny ={VAVB...H} (Obr. č. 7. Doby elené pro dopravní proudy na koordinovaných křižovatkách jsou uvedeny v Tab. č. 5 a

8 Obr. č. 7: Schéa koordinovaných křižovatek v jihoápadní části ěstského okruhu Tab. č. 5: Doby elené na křižovatce alackého-wolkerova-žeranovská Dopravní proud VA VB VC Doba elené [s] Tab. č. 6: Doby elené na křižovatce Brněnská-Wolkerova Dopravní proud VE SG VH E G H Doba elené [s] Meičasy pro dvojice koliních proudů jsou uvedeny v Tab. č. 7 a 8 fáová schéata která byla stanovena s ohlede na princip koordinace jsou uvedena na Obr. č. 8 a 9. Vykliovací doba koordinovaného úseku činí 7 sekund. Tab. č. 7: Matice eičasů na křižovatce alackého-wolkerova-žeranovská Najíždí Vykliuje VA VB VC VA VB VC Tab. č. 8: Matice eičasů na křižovatce Brněnská-Wolkerova Najíždí Vykliuje VE SG VH E G H VE SG VH E G H

9 Obr. č. 8: Fáové schéa pro křižovatku alackého-wolkerova-žeranovská Obr. č. 9: Fáové schéa pro křižovatku Brněnská-Wolkerova řed odelování koordinace křižovatek byla ohledněna skutečnost že se na koordinovaných křižovatkách nacháí voidlové proudy VB a VE které se vyskytují ve více fáích. roto byly ačátky a doby elených pro voidlové proudy VB a VE roděleny k t elených pro voidlové proudy VB2 a VE2 na ačátky ( VB VE 2 VB 2 VE 2 ve 2. fái resp. na ačátky ( ( k ( k proudy VB3 a VE3 ve 3. fái. a doby 2 VB a doby ( 3 VE 3 t VB 3 VE 3 t elených pro voidlové Začátky elených pro voidlové proudy VB3 a VE3 ve 3. fái ( ( k ( k VB byly 3 VE 3 avedeny poue pro potřeby odelování a při sestavování signálních plánů budou považovány a fiktivní Modelování koordinace křižovatek V ráci odelování koordinace křižovatek byly sestaveny rovnice (22 - (35. ( k 1 = ax VB VB VB VC 3 3 VC VC ( k 1 = ax( VE VE VE SG 3 3 SG SG ( k 1 = VE VE VE E E SG 3 3 SG SG E ( k 1 = ax( ( k + t VE 3 VE 3 VE H ( k 1 = ax( ( k + t tv VA VH tv ( k t tv E E E VH H H H VH ( k 1 = ax( 2 VB ( k 1 = ax( 2 VE E E E VE H H H VE + tv VB ( k 1 = ax( VH E E E VH H H H ( k 1 = ax( ( k + t ( G k 1 = ax 3 VB 2 VB 2 ( k = ax ( k + t E H + (22 + (23 + ( (25 + ( + VA + + (27 VB + + (28 VE G + ( ( (31 VB VC + + (32 1 VA VA VA VC

10 ( + t G G ( + t ( k 1 = ax ( k t VE 2 2 ( k = ax ( k + t VH VH k G ( k = ax ( k + + (33 VE 3 VE SG SG G + G G SG + (34 + (35 V ateatické software Scilab byla pro atici A v (36 sestavenou na ákladě rovnic (22 - (35 vypočtena hodnota vlastního čísla a vlastního vektoru. Hodnota vlastního čísla uožňuje vyeení ačátků elených které se po určité době opakují. Hodnota vlastního vektoru uožňuje definovat ačátky elených po kterých nastane období které se opakuje. E H VA VB2 A = VE2 VH G VB3 VC VE3 SG E H VA 28 VB2 28 VE2 31 VH G VB3 21 VC 21 VE3 15 SG (36 Výpočet hodnot vlastního čísla a vlastního vektoru V software Scilab se nacháí pro stanovení hodnoty vlastního čísla a vlastního vektoru příka [l v d] = axplusaxalgol (A přičež prvek l repreentuje vlastní číslo atice A v repreentuje vlastní vektor atice A a d repreentuje přiroené číslo které představuje délku kritického cyklu atice A. Nyní budou uvedeny příkay kterýi byly v software Scilab vypočteny hodnoty vlastního čísla a vlastního vektoru. -->[lvd] = axplusaxalgol(a d = 6. v = l = Výpočet ačátků elených Vypočtenéu počtu elených které se po určité době opakují byly přiřaeny konkrétní hodnoty. V software Scilab se nacháí pro stanovení následných ačátků elených v ráci vlastního čísla příka [X] = axplussys (Ax0p přičež prvek A repreentuje atici A x0 repreentuje počáteční vektor a p repreentuje vlastní číslo. Nyní budou uvedeny příkay kterýi byly v software Scilab definovány ačátky elených. -->x0=[ ]; -->p=; -->[X]=axplussys(Ax0p

11 Zjištěné ačátky elených přepsané do časových údajů nabíejí řešiteli variantní řešení něhož byla vybrána varianta ačínající 1. fáí před ranní špičkou. Fragent signálního plánu který odpovídá vybrané variantě je obraen na obr. č. 10. Obr. č. 10: Fragent signálního plánu pro křižovatky v jihoápadní části ěstského okruhu 4.4 Koordinace křižovatek Blahoslavova-Kostelecká-Vápenice a Vápenice-Rejskova Třetí návrh koordinace křižovatek byl pracován pro křižovatku Blahoslavova- Kostelecká-Vápenice a Vápenice-Rejskova v rostějově (Obr. č. 11. Hlavní poení kounikaci představují ulice Blahoslavova a Vápenice které tvoří severoápadní část ěstského okruhu. Vedlejší poení kounikace představují Kostelecká a Rejskova ulice které jsou radiálai k ěstskéu okruhu. Obr. č. 11: Letecký pohled na koordinované křižovatky v severoápadní části ěstského okruhu Analýa vstupních podkladů Do koordinovaných křižovatek vstupuje 10 voidlových a 5 chodeckých proudů nožiny ={VAVB...H} (obr. č. 12. Doby elené pro dopravní proudy na koordinovaných křižovatkách jsou uvedeny v tab. č. 9 a

12 Obr. č. 12: Schéa koordinovaných křižovatek v severoápadní části ěstského okruhu Tab. č. 9: Doby elené na křižovatce Blahoslavova-Kostelecká-Vápenice Dopravní proud VA VB VC VE A C D E Doba elené [s] Tab. č. 10: Doby elené na křižovatce Vápenice-Rejskova Dopravní proud VH VI H Doba elené [s] Meičasy pro dvojice koliních proudů jsou uvedeny v Tab. č. 11 a 12 fáová schéata která byla stanovena s ohlede na princip koordinace jsou uvedena na Obr. č. 13 a 14. Vykliovací doba koordinovaného úseku činí 10 sekund. Tab. č. 11: Matice eičasů na křižovatce Blahoslavova-Kostelecká-Vápenice Najíždí Vykliuje VA VB VC VE A C D E VA VB VC VE A C D E Tab. č. 12: Matice eičasů na křižovatce Vápenice-Rejskova Najíždí Vykliuje VH VI H VH VI H

13 Obr. č. 13: Fáové schéa pro křižovatku Blahoslavova-Kostelecká-Vápenice Obr. č. 14: Fáové schéa pro křižovatku Vápenice-Rejskova řed odelování koordinace křižovatek byla ohledněna skutečnost že se na koordinovaných křižovatkách nacháí dopravní proudy VA VC VI a D které se vyskytují ve více fáích. roto byly ačátky a doby elených pro dopravní proudy VA VC k k k t t t t VI a D roděleny na ačátky ( a doby D 2 2 VC 3 VI 3 VA 2 D 2 VC 3 VI 3 elených pro dopravní proudy VA2 D2 VC3 a VI3 v předchoí fái resp. na ačátky k k k t t t t elených pro voidlové proudy ( a doby D 3 3 VC1 VI 1 VA3 D3 VC1 a VI1 v následující fái. VA3 D 3 VC 1 VI 1 Začátky elených pro voidlové proudy VA3 D3 VC1 a VI1 v následující fái k k k byly avedeny poue pro potřeby odelování a při sestavování ( D 3 3 VC1 VI 1 signálních plánů budou považovány a fiktivní Modelování koordinace křižovatek VC V ráci odelování koordinace křižovatek byly sestaveny rovnice (37 - (54. ( k 1 = ax 1 VC 3 VC 3 ( k 1 = ax( ( k + t VA VA VB VB VB D D 3 D ( k 1 = VA VA A VB 3 3 VB VB A ( k 1 = ax( ( k + t VB VB VB ( E k 1 = ax 1 VI 3 VI 3 ( k 1 = ax( 2 VA A A A ( k + t + tv VI 1 VI 1 VI ( k 1 = ax( E E E VE k 1 = VC VC VC A 1 1 A A ( k 1 = ax( ( k + t VC1 VC1 VC C ( k 1 = ax( 2 D ( k = ax + + (37 + (38 A E + ( ( (41 VI + + (42 VA + + (43 VE C + ( ( (46 D + ( + (47 1 VI 1 VI 1 VI

14 + ( (48 ( k 1 = ax t VI VI VI VH VC VC VC v tv ( k t tv A A A ( k 1 = ax( 3 VA2 2 ( k 1 = ax( ( k + t VE VE VE VB VB ( k 1 = ( k + t VC C 3 C C VC ( k 1 = ax( 3 D 2 D 2 ( k 1 = ax( VI VH 3 VH VI ( k 1 = ax ( k + t + VH + + (49 VB VC + (50 + ( (52 D VI H H H + (53 + (54 V ateatické software Scilab byla pro atici A v (55 sestavenou na ákladě rovnic (37 - (54 vypočtena hodnota vlastního čísla a vlastního vektoru. Hodnota vlastního čísla uožňuje vyeení ačátků elených které se po určité době opakují. Hodnota vlastního vektoru uožňuje definovat ačátky elených po kterých nastane období které se opakuje. VC1 A E VI1 VA2 VE A = C D2 VH VA3 VB VC3 D3 VI3 H VC1 15 A E 13 VI VA2 35 VE C 9 D VH VA VB VC3 19 D3 19 VI3 5 H 5 (55 Výpočet hodnot vlastního čísla a vlastního vektoru V software Scilab se nacháí pro stanovení hodnoty vlastního čísla a vlastního vektoru příka [l v d] = axplusaxalgol (A přičež prvek l repreentuje vlastní číslo atice A v repreentuje vlastní vektor atice A a d repreentuje přiroené číslo které představuje délku kritického cyklu atice A. -->[lvd] = axplusaxalgol(a d = 6. v = l = Výpočet ačátků elených Vypočtenéu počtu elených které se po určité době opakují byly přiřaeny konkrétní hodnoty. V software Scilab se nacháí pro stanovení následných ačátků elených

15 v ráci vlastního čísla příka [X] = axplussys (Ax0p přičež prvek A repreentuje atici A x0 repreentuje počáteční vektor a p repreentuje vlastní číslo. Nyní budou uvedeny příkay kterýi byly v software Scilab definovány ačátky elených. -->x0=[ ]; -->p=; -->[X]=axplussys(Ax0p Zjištěné ačátky elených přepsané do časových údajů nabíejí řešiteli variantní řešení něhož byla vybrána varianta ačínající 1. fáí před ranní špičkou. Fragent signálního plánu který odpovídá vybrané variantě je obraen na obr. č. 15. Obr. č. 15: Fragent signálního plánu pro křižovatky v severoápadní části ěstského okruhu 5. ZÁVĚR V příspěvku bylo preentováno ajištění koordinace křižovatek prostřednictví ax-plus algebry která představuje perspektivní přístup k řešení některých optialiačních probléů protože uožňuje prostřednictví poěrně jednoduchých lineárních rovnic v této algebře řešit nelineární optialiační úlohy. Uvedený přístup byl aplikován na silně ávislých křižovatkách v severovýchodní jihoápadní a severoápadní části ěstského okruhu v rostějově na kterých byly s ohlede na vlastní číslo a vlastní vektor stanoveny ačátky elených pro dopravné proudy které se po určité době opakují. Na ákladě definovaných ačátků elených je ožné sestavit pro koordinované křižovatky signální plány. LITERATURA Centru dopravního výkuu: Navrhování světelných signaliačních aříení pro říení provou na poeních kounikacích. - Ministerstvo dopravy 2006 ČERNÝ J. - KLUVÁNEK.: Základy ateatickej teorie dopravy. Veda 1991 ANDERSEN M. H.: Max-plus algebra: properties and applications BACELLI F. - COHEN G. - OLSDER G. J. - QUADRAT J..: Synchroniation and Linearity Scilab. - Dostupné Recenoval: rof. Ing. Vladiír Strakoš DrSc. Vysoká škola logistiky v řerově