Slajdy k přednášce Lineární algebra I

Transkript

1 Slajdy k přednášce Lineární algebra I Milan Hladík Katedra Aplikované Matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze, 22 října 203

2 Intro Nejstarší zaznamenaná úloha na soustavy rovnic: čínská kniha Chiu-chang Suan-shu(ca 200 přnl) Tři snopy dobrého obilí, dva snopy průměrného a jeden podřadného se prodávají celkem za 39 dou Dva snopy dobrého obilí, tři průměrného a jeden podřadného seprodávajíza34doujedensnopdobréhoobilí,dva průměrného a tři podřadného se prodávají za 26 dou Jakájecenazajedensnopdobrého/průměrného/ podřadného obilí? Dnešní matematikou: 3x +2y +z =39 2x +3y +z =34 x +2y +3z =26

3 Převod matice na odstupňovaný tvar(ref)

4 Gaussova eliminace Odstupňovaný tvar rozšířené matice REF Zpětná substituce x 4 = 2 x 3 jevolná(nebázická)proměnná 3 x 2 =+x 4 2x 3 =2 2x 3 4 x = 2 ( 5x 4 +x 3 2x 2 ) = x 3 Všechna řešení jsou tvaru ( x 3,2 2x 3,x 3,), kdex 3 R, resp ( 4,2,0,) +x 3 ( 5 2, 2,,0), kdex 3 R

5 Převod matice na redukovaný odstupňovaný tvar(rref)

6 Násobení matic A = ,B = Mnemotechnicky: A=[ 2 3 4;0 0 ; ]; B=[ ; 0 2 2; 2 3; 2 0]; A*B

7 Výpočet inverzní matice Zadání: A = Řešení: (A I 3 ) = = ( I 3 A ) Výsledek: A =

8 Numerická stabilita při řešení soustav Soustava 0835x +0667x 2 = x +0266x 2 =0067 mářešení (x,x 2 ) = (, ) Soustava 0835x +0667x 2 = x +0266x 2 =0066 mářešení (x,x 2 ) = ( 666,834) x 2 x Geometrická představa

9 Hilbertovy matice a numerická stabilita HilbertovamaticeH n řádun: (H n ) ij = napřh 3 = i +j i,j UvažujmesoustavuH n x =b,kdeb=h n e H n jeregulární,soustavamájedinéřešeníx=e = (,,) T VýpočtyvMatlabu(R2008b),doublepresicion52bitů 0 6 : n řešení 8 x i = 0 x i [09995,0003] 2 x i [08246,500] 4 x i [ ,533428] n=8; A=hilb(n); b=a*ones(n,); A\b

10 Regularita Vandermondovy matice x0 n x0 2 x 0 (x 0 x n )x n x n x 2 0 (x 0 x n )x 0 x 0 x n x (x x n )x n (x x n )x x x n xn n xn 2 x n (x n x n )xn n (x n x n )x n x n x n x n 0 x 0 x 0 x n x n x x x n xn n x n x n x n

11 Rovnice ano, ale nerovnice? Soustava nerovnic Ax b popisuje konvexní polyedr A, x =b PříkladvR 2 PříkladvR 3 Vede na lineární programování minc T xzapodmínekax b

12 Těleso Z 5 Operacenad Z 5 : Inverzní prvky: x x x x 3 2 4

13 Inverzematicenad Z (A I 3 ) = = ( I 3 A )

14 Těleso GF(8) Množina: Sčítání: GF(8) = {0,,x,x +,x 2,x 2 +,x 2 +x,x 2 +x +} (a 2 x 2 +a x +a 0 )+(b 2 x 2 +b x +b 0 ) = (a 2 +b 2 )x 2 +(a +b )x +(a 0 +b 0 ) př: (x +)+(x 2 +x) =x 2 + Násobení:moduloireducibilnípolynom,napřx 3 +x + př:x 2 x = x =x + př:x 2 (x 2 +) = x =x

15 Samoopravné kódy Hammingův kód(7,4,3): detekce a oprava jedné přenosové chyby Vstupní4bityzakódujemena7vynásobenímgenerujícímaticíH Z př:ha = 0 = =b Kontrolna po přijetí: Db = 0 v pořádku, jinak přenosová chyba ( ) ( ) př: = 0 vpořádku př: ( ) 0 0 = 0 0 ( ) chybanaposici0 2 =6 0

16 Vektorovýprostor T m n Prvky: a a 2 a n, kdea ij T a m a m2 a mn Sčítání: ( a ) ( a 2 a n b ) ( b 2 b n (a ) +b ) (a n +b n ) + = a m a m2 a mn b m b m2 b mn (a m +b m ) (a mn +b mn) Násobenískalárem α T: a a 2 a n (αa ) (αa 2) (αa n) α = a m a m2 a mn (αa m) (αa m2) (αa mn) Nulový vektor a opačný vektor: 0 0 0, a a 2 a n a m a m2 a mn

17 Vektorovýprostor P n Prvky:reálnépolynomya n x n +a n x n + +a x +a 0,kdea i R Sčítání: (a n x n +a n x n + +a x +a 0 )+(b n x n +b n x n + +b x +b 0 ) = (a n +b n )x n +(a n +b n )x n + +(a +b )x +(a 0 +b 0 ) Násobenískalárem α R: α(a n x n +a n x n + +a x +a 0 ) = (αa n )x n +(αa n )x n + +(αa )x +(αa 0 ) Nulový vektor: 0 Opačný vektor: (a n x n +a n x n + +a x +a 0 ) = ( a n )x n +( a n )x n + +( a )x +( a 0 )

18 Vektorový prostor F Prvky:reálnéfunkcef : R R y g(x) y 3f(x) f(x) (f +g)(x) x x f(x) Součet vektorů Vynásobení vektoru skalárem

19 Souřadnice vektoru vzhledem k bázi ( 2, 3) y ( 2, 3) y e 2 ( 3, ) (,) e x x Souřadnice vektoru ( 2, 3) vzhledem ke kanonické bázi: [( 2,3)] kan = ( 2,3) Souřadnice vektoru ( 2, 3) vzhledemkbázib= (( 3,),(,)): [( 2,3)] B = ( 5 4,7 4 )

20 Maticové prostory a RREF Buď V =span{(,2,3,4,5) T, (,,,,) T, (,3,5,7,9) T, (2,,,0,0) T } RREF BázeVjenapř: (,2,3,4,5) T, (,,,,) T, (2,,,0,0) T RREF BázeVjenapř: (,0,0,, ) T, (0,,0,,0) T, (0,0,,,2) T

21 Ekvivalentní podmínky regularity ProA R n n jenásledujícíekvivalentní: Ajeregulární; soustavaax =0mářešenípouzex =0, prokaždéb R n soustavaax =bmájedinéřešení, pronějakéb R n soustavaax =bmájedinéřešení, RREF(A) =I n, rank(a) =n, existujea, řádky A jsou lineárně nezávislé, sloupce A jsou lineárně nezávislé, A T jeregulární

22 Ilustraceidentity:dimKer(A)+rank(A) =n,a R m n Př: A = RREF TedydimKer(A) =4 2 =2 Prostor Ker(A) tvoří vektory (6x 3 +4x 4, 4x 3 3x 4,x 3,x 4 ) T, x 3,x 4 R, neboli x 3 (6, 4,,0) T +x 4 (4, 3,0,) T, x 3,x 4 R BázeKer(A): (6, 4,,0), (4, 3,0,)

23 Příklady lineárních zobrazení v rovině y y Škálování: (x,y) (αx,αy) x Projekcedoosyx: (x,y) (x,0) x y y x x Překlopenídleosyy: (x,y) ( x,y) Obecný tvar lineárního zobrazení: (x,y) (a x +a 2 y,a 2 x +a 22 y)

24 Matice přechodu Př:NajdětematicipřechoduvR 3 odbáze B : ((,, ) T,(3, 2,0) T,(2,,) T ) kbázi B 2 : ((8, 4,) T,( 8,5, 2) T,(3, 2,) T ) Řešení: spočítáme Tedy [(,, ) T ] B2 = (2,3,3) T, [(3, 2,0) T ] B2 = (, 4, 7) T, [(2,,) T ] B2 = (,3,6) T B 2 [id] B =A= Napřvíme-li [(4,, ) T ] B = (,,0) T,tak [(4,, ) T ] B2 =A [(4,, ) T ] B =A (,,0) T = (,, 4) T

25 Skládání otočení a součtové vzorce pro sinus a cosinus Otočeníoúhel α: Otočeníoúhel β: ( ) cosα sinα sinα cosα ( ) cosβ sinβ sinβ cosβ Otočeníoúhel α+β: ( ) ( )( ) cos(α+β) sin(α+β) cosβ sinβ cosα sinα = sin(α+β) cos(α+β) sinβ cosβ sinα cosα ( ) cosαcosβ sinαsinβ sinαcosβ sinβcosα = cosαsinβ +cosβsinα sinαsinβ +cosαcosβ

26 Matice lineárního zobrazení při změně báze Dáno: B2 [f] B Cíl: B4 [f] B3 Řešení: B 4 [f] B3 = B4 [id] B2 B 2 [f] B B [id] B3

27 Posunutí jako lineární zobrazení? Buďv R n pevnézobrazeníf(x) =x +vnenílineární! Řešení: vnoříme do prostoru o dimenzi většího f (x,,x n,) = (x +v,,x n +v n,) a dodefinujeme pro ostatní body: f (x,,x n,x n+ ) = (x +v x n+,,x n +v n x n+,x n+ ) x n+ 0 v x Matice zobrazení: 0 0 v 0 0 v v n 0 0 0

28 Obraz a jádro lineárního zobrazení Mějmelineárnízobrazeníf : R 3 P 2 dané B 2 [f] B =A= 3 2 0, 0 3 B : (,2,), (0,,), (,2,4), B 2 :x 2 2x +3,x,2x 2 +x ()rank(a) =2,tedydimKer(f) =adimf(r 3 ) =2 (2)BázeKer(A)je (2, 3,),tedybázeKer(f)je 2(,2,) 3(0,,)+(,2,4) = (3,3,3) (3)Báze S(A)je (,3,0), (,2,),tedybázef(R 3 )je (x 2 2x +3)+3(x ) =x 2 +x, (x 2 2x +3)+2(x )+(2x 2 +x) =3x 2 +x +

29 Afinní zobrazení a fraktály ( ) ( ) x 0 T (x,y) = + s pravděpodobností )( y 5 ( )( ( ) x 0 T 2 (x,y) = + s pravděpodobností y) 5 ( ) ( ) x 0 T 3 (x,y) = + s pravděpodobností )( y 045 ( ) ( 0 0 x 0 T 4 (x,y) = + s pravděpodobností )( y 0) iterací iterací

30 Stewart Goughova platforma v robotice Převod souřadnic plošiny x na souřadnice základny: x =Px +c Rameno (i)mákoncovébodyx (i) nazákladněay (i) naplošinědélkarameneje vzdálenostx (i) ay (i) =Py (i) +c Problémy: z délek ramen určit pozici plošiny, atp [zdroj: Wikipedia]

31 Aplikace soustav rovnic metoda konečných prvků Fyzikální úlohy vedou často soustavu diferenciálních rovnic strukturálníanalýza(elasticitatěles,stabilitakonstrukcí,) prouděnítekutinaplynů(meteorologie,) Diskretizace po částech lineární funkcí x 0 x x 2 x 3 x 4 x 5 Aproximace lineární lomenou funkcí x 0 x x 2 x 3 x 4 x 5 Báze lineárních lomenek Vede na obrovskou(ale řídkou) soustavu lineárních rovnic

32 Iterativní metody pro řešení soustav lineárních rovnic Gauss Seidelova metoda Uvažujme soustavu 6x +2y z =4 x +5y +z =3 2x +y +4z =27 x = (4 2y +z) 6 y = (3 x z) 5 z = (27 2x y) 4 Iterace(počátečníhodnotyx () =y () =z () =): Průběh: x (i) = 6 (4 2y(i ) +z (i ) ) y (i) = 5 (3 x(i) z (i ) ) z (i) = 4 (27 2x(i) y (i) ) iterace x y z

33 Parciální pivotizace Vyřešme soustavu(aritmetika s přesností na 3 číslice): 0 3 x x 2 = 2x +x 2 =0 Tradičním způsobem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Parciální pivotizace: ( ) ( ) ( ) Skutečnéřešení: ( , )

34 LU rozklad Rozklad čtvercové matice A = LU, kde: L je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále, U horní trojúhelníková matice PřeveďAnaodstupňovanýtvar:E k E A =U,tedyA=E E k U }{{} L Např: ( ) Tedy: A = ( ) = ( )( ) =LU Ne vždy LU rozklad existuje!(nesmíme prohazovat řádky při REF) Použití: A =U L, det(a) =det(l)det(u)

35 LU rozklad a soustavy rovnic PoužitíLUrozkladuprořešeníAx =b(tedylux =b): NajdiLUrozkladmaticeA,tjA =LU, 2 vyřeš soustavu Ly = b dopřednou substitucí, 3 vyřeš soustavu Ux = y zpětnou substitucí Např: 2 3 (L b) = (U y) = (A b) = ( ) ( ) ( ) y = (,7,2) T x = (5, 8, ) T