ŘEŠENÍ OBVODŮ GRAFY SIGNÁLOVÝCH TOKŮ. Josef Punčochář Jitka Mohylová Petr Orság

Transkript

1 ŘEŠENÍ OBVODŮ RAF SINÁLOVÝCH TOKŮ Jsef Punčchář Jitka Mhylvá Petr Orság Ostrava 0

2 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Vážený čtenáři, PŘEDMLVA text, který právě dstáváte, vznikl v rámci řešení prjektu Matematika pr inženýry. stletí -- invace výuky matematiky na technických šklách v nvých pdmínkách rychle se vyvíjející infrmační a technické splečnsti. Prjekt je řešen na Vyské škle áňské Technické univerzitě v Ostravě a Západčeské univerzitě v Plzni v dí Cílem prjektu je invace matematických a některých drných kurzů na technických vyských šklách s cílem získat zájem studentů, zvýšit efektivnst výuky, zpřístupnit prakticky aplikvatelné výsledky mderní matematiky a vytvřit předpklady pr efektivní výuku inženýrských předmětů. Metdiku výuky matematiky a její atraktivnst pr studenty chceme zlepšit důrazem na mtivaci a důsledným pužíváním pstupu "d prlému k řešení". V rámci prjektu vzniká 40 nvých výukvých materiálů z lastí matematické analýzy, lineární algery, numerických metd, metd ptimalizace, diskrétní matematiky, terie grafů, statistiky a něklika drných kurzů. Všechny htvé výukvé materiály udu vlně k dispzici na wevých stránkách prjektu Autři předem děkují za všechny případné nápady a návrhy k vylepšení textu i za upzrnění na chyy. Materiál, který máte před seu není určen pr elektrniky začátečníky. Předpkládá se rutinní znalst Ohmva zákna a Kirchhffvých záknů, ze kterých všechny metdy analýzy vždy vycházejí, i když t v knečných algritmech není někdy právě patrné. Rvněž se předpkládají základní vědmsti elektrnických zesilvacích strukturách. Ptřené znalsti jsu však na příslušných místech zpakvány, případně je uveden dkaz na vhdnu dstupnu literaturu. Následující stránky sahují uspřádanu sumu infrmací z lasti řešení lineárních elektrnických vdů pmcí rientvaných grafů signálvých tků. Jsu ppsány efektivní algritmy pr jejich ruční řešení. Základním výchdiskem je zde vždy zecněná metda uzlvých napětí. A t pr svu univerzálnst a jednduchu šipkvu knvenci, kteru je snadné při praktickém řešení prlémů ddržet. Pr snadnější pchpení prlematiky je výklad prlžen řadu řešených příkladů. Pr prcvičení jsu pak dplněny příklady k samstatnému řešení, testy a tázky k prlematice. Materiál sahuje čtyři samstatné základní části. První část I. Úvd d terie grafů zavádí základní pjmy z terie grafů, jejich přiřazení k systému lineárních rvnic a jejich řešení (vyhdncení grafu) upravváním ne pmcí Masnva pravidla. Bez velmi dréh zvládnutí části I nemá vlastně smysl pkračvat v dalším studiu materiálu je t nutná prerekvizita. Jak je materiál zvládnut vyplyne z úspěšnsti při řešení příkladů a testu. V části II. rafy signálvých tků v metdě uzlvých napětí intuitivně stanvené mdely aktivních prvků je nejdříve stručně zpakvána zecněná metda uzlvých napětí a dvzeny admitanční mdely mderních zesilvacích struktury i dnes již klasických aktivních

3 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I trjpólů. Pté jsu definvány algritmy pr řešení vdů grafy signálvých tků s peračním zesilvačem (OZ) a transknduktančním zesilvačem (OTA). Jsu identifikvány nevýhdy práce s intuitivně získanými mdely (grafy) těcht zesilvacích struktur. V části III. Mdely aktivních prvků na základě mdelů admitančních je definván exaktní algritmus pr získání grafů signálvých tků (MB grafů) ze známéh admitančníh mdelu prvku, je stanven algritmus pr řešení lineárních vdů pmcí těcht grafů. káže se, že algritmy z části II jsu puze limitními případy algritmů v části III. Při analýze lineárních elektrnických vdů se lze setkat i s grafy MC (Masn Catesův). V části IV. Vztah mezi grafem MB a MC si ukážeme, že výchdiska pr dvzení grafů jsu stále stejná, že mezi grafy MC a MB je jednznačná suvislst. Také metdika řešení vdů pmcí grafů MC je dná jak u grafů MB.

4 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Rejstřík ŘEŠENÍ OBVODŮ RAF SINÁLOVÝCH TOKŮ I Jsef Punčchář Jitka Mhylvá Petr Orság I. ÚVOD DO TEORIE RAFŮ 6. ZÁKLADNÍ POJM 6. PŘIŘAZENÍ RAF K LINEÁRNÍ ROVNICI, OBJASNĚNÍ ZÁKLADNÍCH POJMŮ 7. Základní přiřazení grafu k rvnici 7. Věta aditivní 7. Věta přensvá 7.4 Klička (vlastní smyčka uzlu grafu) 8.5 Příklad grafu 8. PRAVIDLA PRO ZJEDNODŠOVÁNÍ 9. Přens přímé cesty 9. Přens paralelně řazených cest (stejně rientvaných) 9. Vylučení uzlu (nesmyčkvéh) 0.4 Sečtení přensů kliček (vlastních smyček) uzlu 0.5 Vylučení kličky s přensem.6 Inverze grafu.7 Pznámka zeslžitění grafu 4

5 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I 4. ZÁKLADNÍ DOPORČENÍ A POSTP 4. zel s jedním vstupem a jedním výstupem (uzly. řádu) 4. Odstranění paralelních (stejně rientvaných) větví 4. Odstranění uzlu s kličku Odstranění smyčkvéh prudu ZÁKLADNÍ PŘIŘAZENÍ RAF SSTÉM LINEÁRNÍCH ROVNIC PŘÍKLAD NA RČOVÁNÍ PŘENOS RAF PRAVOVÁNÍM 0 7. MASONOVO PRAVIDLO 9 8. SHRNTÍ 5 9. ZÁVĚREČNÝ TEST 6 0. OTÁZK K PROBLEMATICE 8 LITERATRA 8 II. III. IV. RAF SINÁLOVÝCH TOKŮ V METODĚ ZLOVÝCH NAPĚTÍ - INTITIVNĚ STANOVENÉ MODEL AKTIVNÍCH PRVKŮ MODEL AKTIVNÍCH PRVKŮ NA ZÁKLADĚ MODELŮ ADMITANČNÍCH VZTAH MEZI RAFEM MB A RAFEM MC (Masn Catesův graf) ZÁVĚR 64 REJSTŘÍK 65 5

6 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I I. ÚVOD DO TEORIE RAFŮ Při řešení elektrnických vdů lze pužité elektrnické prvky mdelvat náhradními zapjeními a systém ppsat sustavu rvnic plynucí z Kirchhffvých záknů a Ohmva zákna. Algritmizací řešení rvnic dspějeme k rutinním metdám - t.j. k metdě smyčkvých prudů, uzlvých napětí, řezvých napětí. Pkud ppíšeme aktivní prvky admitančními maticemi, hvříme zecněné metdě uzlvých napětí (Sigrskéh metda). Výchzí sustavu rvnic lze však řešit i metdu grafů signálvých tků (metda rientvaných grafů). Za autra metdy je pvažván S. J. Masn. Hledanu veličinu (přens prudu, přens napětí, vstupní ne přensvu imitanci,...) lze určit uď pstupným zjedndušváním grafu ne pužitím Masnva pravidla pr přímý výpčet přensu grafu.. ZÁKLADNÍ POJM V tét části udu uvedeny základní pjmy, které udu dále jasněny na příkladech: graf signálvých tků - gemetrický útvar slžený z uzlů, větví a smyček, který je vyjádřením sustavy lineárních rvnic, jež ppisují řešený vd (zkráceně puze graf) uzel - d grafu, který představuje závislu ne nezávislu veličinu (signál) větev (rientvaná) - rientvaná čára spjující dva uzly, je charakterizvána přensem větve vstupní uzel (pčáteční) - uzel, který dpvídá vstupní veličině výstupní uzel (kncvý) - dpvídá výstupní veličině sptřeičvý uzel (nra) - větvě puze vstupují - není pčátečním uzlem žádné větve zdrjvý uzel (zřídl) - větve puze vystupují - není kncvým uzlem žádné větve kaskádní uzel - uzel, který není sučástí smyčky ( neleží ve smyčce) cesta - část grafu tvřená jednu ne něklika větvemi, jež jsu shdně rientvány přímá cesta - cesta, ve které se livlný uzel grafu vyskytuje maximálně jedenkrát smyčka - cesta, která se vrací d výchzíh uzlu vlastní smyčka (klička) - smyčka, která se vrací d výchzíh uzlu a neprchází žádným jiným uzlem přens přímé cesty - sučin přensů větví tvřících cestu přens smyčky - sučin přensů větví smyčky 6

7 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I přímý graf - sahuje jen přímé cesty smyčkvý graf - sahuje alespň jednu smyčku. PŘIŘAZENÍ RAF K LINEÁRNÍ ROVNICI, OBJASNĚNÍ ZÁKLADNÍCH POJMŮ V tét části udu uvedeny elementární rvnice a jim dpvídající rientvané grafy a stručnu frmu ptřené kmentáře, které navazují na slvník základních pjmů. Pstupně tak ude jasněn algritmus umžňující řešit systém lineárních rvnic grafy signálvých tků. Tyt pznatky udu v dalších částech práce aplikvány na řešení lineárních elektrnických vdů, jejichž admitanční mdely známe (ne je umíme sestavit).. Základní přiřazení grafu k rvnici Rvnici x a.x dpvídá rientvaný graf na r.. Platí, že x, x - veličiny (signály) x - nezávislá; x - závislá x - zde zřídl; x - zde nra x - zde pčáteční uzel x a x a - přens větve mezi uzly x, x x - zde kncvý uzel a x /x Or. Základní rientvaný graf dpvídající rvnici x a.x. Věta aditivní Rvnici x ax x dpvídá graf na r.. Jedná se tzv. větu aditivní: veličina (signál) uzlu je dána sučtem všech veličin d uzlu vstupujících. x a x x Or. raf dpvídající rvnici x ax x ; věta aditivní. Věta přensvá Věta přensvá je jakusi dplňkvu větu věty aditivní: signál uzlu je přenášen všemi větvemi z uzlu vycházejícími (zrazení je na r. ). 7

8 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I x a x ax x x Or. Elementární graf ppisující význam věty přensvé.4 Klička (vlastní smyčka uzlu grafu) Rvnici typu x x cx ax dpvídá klička (vlastní smyčka); x je ttiž sažen na u stranách rvnice; dpvídající graf je na r. 4. x x a c x Or. 4 Elementární graf ppisující vlastní smyčku grafu; vyplyne z rvnice x x cx ax.5 Příklad grafu Příklad slžitějšíh grafu je na r. 5. Pmcí tht grafu jasníme některé další pužívané pjmy. x 6 x c a x e x x 4 d x 5 f h g Or. 5 Příklad slžitějšíh grafu (rientvanéh) Pr r. 5 platí: - je t graf smyčkvý - přímé cesty jsu : a - - c d ; přens cesty acd a - e - f d ; přens cesty aefd 8

9 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I - uzly: x - zřídl x 5 - nra x, x - smyčkvé uzly - nepřímá cesta (není t cesta): a - e - g - - c - d ( uzel x sažen dvakrát) - smyčky: e.g ; h (klička). PRAVIDLA PRO ZJEDNODŠOVÁNÍ (transfigurace grafů, určení přensu zjedndušváním) Pravidla pr úpravy grafů plynu přím ze skutečnstí uvedených v předchzích kapitlách.. Přens přímé cesty Přens přímé cesty je rven sučinu přensů větví cesty - r. 6. x a x x x a x Or. 6 Základní ekvivalence pr přens přímé cesty Pdle základních definic ttiž platí x x (ax ) ax. Není prt tížné nakreslit graf ekvivalentní. Je zřejmé, že stejný pstup lze pužít pr livlně dluhu přímu cestu. raf lze někdy tímt způsem významně zjedndušit - zpřehlednit.. Přens paralelně řazených cest (stejně rientvaných) Přens paralelně řazených cest (stejně rientvaných) je rven sučtu přensů těcht cest r. 7. x a x x a x Or. 7 Základní ekvivalence pr přens stejně rientvaných paralelních cest Pmcí aditivní věty snadn určíme x ax x (a)x. Vytvření ekvivalentníh grafu na r. 7 je prt zřejmé. 9

10 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I. Vylučení uzlu (nesmyčkvéh) zel, který má ýt vylučen, musí ýt zahrnut d všech mžných přímých cest, které jím prcházejí (se kterými inciduje) r. 8. x x n x a a a n y m z z z m x x n x a n a a a m a n m a m z z z m Or. 8 Vylučení (dstranění) uzlu y - příklad Z aditivní věty platí: y a x a x...a n x n Z přensvé věty: z y ; z y ; z m m y Nyní již lze určit, že i-tému uzlu z i přísluší signál z i a i x a i x... a n i x n a tmu dpvídá i ekvivalentní graf - prstě zaznamenáme všechny mžné přensy přes uzel y..4 Sečtení přensů kliček (vlastních smyček) uzlu Přísluší-li jednmu uzlu více kliček, můžeme je nahradit kličku jedinu. Její přens je rven sučtu přensů všech kliček r. 9. a x a x a n a i x x a n x Or. 9 Sečtení přensů kliček (vlastních smyček) x Je zřejmé, že situaci na rázku vyhvuje ppis x A a x a x... a n x kde symly a i představují přensy kliček uzlu x, syml A ppisuje všechny statní vstupy - v našem případě A x x. Tmut ppisu zcela dpvídá ekvivalentní graf s přensem ekvivalentní kličky a n a i. 0

11 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I.5 Vylučení kličky s přensem Přens každé vstupující větvě dělíme členem ( - ) a kličku vynecháme r. 0. x x a /(- ) x a a y x a /(- ) y x n a n x n a n /(- ) Pr situaci na rázku platí rvnice: y a x a x...a n x n y Elementární úpravu dstaneme y (a x...a n x n )/(- ) x a /(- )... x n a n /(- ) Tat úprava zdůvdňuje pravidl a ekvivalenci u grafů znázrněné na r Inverze grafu Jedná se pmcné pravidl (a je lépe ji nepužívat, prtže je pměrně nárčná - snadn může djít k mylu). Někdy je ptřea vyjádřit přens směrem pačným, než je vyjádřen v grafu. Půvdní přens je x i y; pžadujeme pačný směr y x i. Znamená t, že musíme přestavět celu lineární rvnici, které graf dpvídá. Půvdní rvnice je a x a x a x a x y Or. 0 Vylučení kličky (vlastní smyčky) i i n n x x x a a -a /a i -a /a i x x i a i a n y x i /a i -a n /a i y x n Or. Inverze grafu x n všechny signály vtékají d y r. vlev. Pkud mají všechny signály vtékat d uzlu x i, musíme x i samstatnit : a a x a a x a n a x a y x n i i i i i

12 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Knstrukce ekvivalentníh invertvanéh grafu je nyní jasná - všechny uzly x k mají rientvané větve s přensem -a k /a i d uzlu x i ; uzel y má přens /a i d uzlu x i, k až n, vyjma k i r. vprav. Je zřejmé, že pakváním inverze dstaneme pět půvdní graf..7 Pznámka zeslžitění grafu Dsud yla uváděna základní pravidla pr zjedndušvání grafů. Tent pstup služí analýze. Jednduše lze na základě naprst stejných úvah definvat i rácená pravidla pr zeslžitění grafů - lze je pužít pr syntézu vdů r. až r. 5. x a x platí n i a x n x Or. Rzklad na paralelní větve A a platí n i A a n Or. Rzklad kličky (vlastní smyčky; zmnžení) x a z a a x z a x z c y c x z Or. 4 Vlžení uzlu grafu; a ij i c j ; zde: a c, a c, a c, a c

13 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I x a y x a y (- ) a a x x ax ax Or. 5 Zavedení smyčky ( ); y ax ax ( ) 4. ZÁKLADNÍ DOPORČENÍ A POSTP Všechna následující pravidla či příklady jsu přímým důsledkem uvedených pravidel - i když t někdy není zřejmé na první phled. 4. zel s jedním vstupem a jedním výstupem (uzly. řádu) Je vhdné dstranit uzly, které mají puze jeden vstup a jeden výstup (uzly. řádu - využívá se přím pravidla.) r. 6. x k a x k x m x k a x m Or. 6 Odstranění uzlu. řádu 4. Odstranění paralelních (stejně rientvaných) větví Je vhdné dstranit všechny paralelní (stejně rientvané) větve (pravidl.) r. 7. a x k x m x k c a c Or. 7 Odstranění paralelních (stejně rientvaných) větví x m

14 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I 4. Odstranění uzlu s kličku Je vhdné dstranit všechny vlastní smyčky (kličky), mžný příklad za pužití pravidel.5 a. je na r. 8. x z f a c x y d z x a/(-f) z /(-f) x y c d z x ac/(-f) z ad/(-f) c/(-f) x d/(-f) z Or. 8 Odstranění uzlu s vlastní smyčku Je zřejmé, že knečnu pdu grafu získáme respektváním všech mžných cest přes uzel y, přičemž na všechny vstupující větve půsí klička f. Nejjedndušším případem je uzel s jednu větví vstupující i vystupující a kličku r. 9. x x a x x a/( - f) x f Or. 9 Nejjedndušší případ při dstranění vlastní smyčky 4.4 Odstranění smyčkvéh uzlu Při dstraňvání smyčkvéh uzlu se musí důsledně zkumat všechny přímé i vlastní cesty prcházející dstraňvaným uzlem. Řešení prlému ude demnstrván na řadě vzrvých příkladů pr úpravu grafu. 4

15 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Příklad 4.4. Jednduchá situace je na r. 0. Chceme dstranit uzel x zkumáme všechny cesty přes x. x a x x c x a x Or. 0 Odstranění smyčkvéh uzlu příklad 4.4. c Přímá cesta x x má přens a. Další přímá cesta x x (přes x ) má přens c (tvří smyčku k x ). D nvéh grafu zaznamenáme všechny existující cesty přes x, takže uzel lze vypustit, infrmace jím nesená je již v zaznamenaných cestách plně sažena. Příklad 4.4. Pněkud slžitější případ představuje dstranění uzlu x 5 na r.. Musíme zkumat všechny uzly s tímt uzlem prpjené. raf za uzlem x 6 v prvním krku neměníme. Zkumáme všechny mžné přímé cesty a určujeme jejich přensy, které pak uvedeme d grafu ez uzlu x 5, graf za uzlem x 6 zůstává stejný. Všechny mžné cesty týkající se uzlů x, x, x 5 a x 6 jsu vyznačeny v taulce, včetně kmentářů, která je sučástí r.. Výsledkem prvníh krku je graf umístěný na r.. Ve druhém krku již není tížné pkračvat pdle čl. 4. (r. 8), výsledek viz. r.. x x a e x 5 c x 6 f d x x 4 cesta x x 6 x x x x x x 6 x x x x x 6 x x 6 x přens pznámka ac není cesta není cesta c není cesta není cesta není cesta není cesta x 6 x 5 x 6 cd smyčka patřící k x 6 Or. Odstranění smyčkvéh uzlu výchzí stav příklad 4.4. x x ac cd x c x 6 e f Or. Odstranění smyčkvéh uzlu stav p aplikaci taulky příklad 4.4. x 4 5

16 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I x ace/(-cd) x acf/(-cd) ce/(-cd) x x 4 cf/(-cd) Or. Odstranění smyčkvéh uzlu stav p aplikaci čl. 4. příklad 4.4. Příklad 4.4. Jestliže jsu smyčky zřetězeny, je vhdné začínat s upravváním d vnějších uzlů r. 4. x a x x d x 4 f x 5 h x 6 c e g Or. 4 Odstranění zřetězených smyček příklad 4.4. výchzí stav V našem příkladu jsu sučasně dstraňvány uzly x a x 5 ; zkumáme tedy všechny mžné cesty mezi x a x a mezi x 4 a x 6 - pdle již uvedených pstupů r. 5. x a c d fg fh x 6 x x 4 e Or. 5 Odstranění zřetězených smyček příklad 4.4. p dstranění uzlů x a x 5 Klička c se musí prmítnut d všech vstupujících větví - viz čl..5. Získáme graf na r. 6. x fg a/(-c) d fh x 6 x x 4 e/(-c) Or.6 Odstranění zřetězených smyček příklad 4.4. p dstranění kličky c 6

17 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Nyní je již mžné dstranit uzel x r. 7a, sečíst kličky uzlu x 4 r. 7 a určit celkvý přens r. 7c. fg x ad/(-c) x 4 fh x 6 (a) ed/(-c) fg ed/(-c) x ad/(-c) fh x 6 () x 4 x x 6 ad fh c ed fg c Or. 7 Odstranění zřetězených smyček příklad 4.4.; a) p dstranění uzlu x ; ) p sečtení kliček uzlu x 4 ; c) celkvý přens (c) Příklad Příklad dstranění uzlu ze slžitější struktury - ze struktury na rázku chceme dstranit přím uzel x. Susedními uzly jsu x, x, x 4 - d jiných uzlů žádné větve nevedu.olast úpravy je vyznačena přerušvanými čarami.větve f a h v grafu zůstávají (jsu mim lasti úprav) a prt cesty přes ně jducí neereme v ptaz - infrmace, které větve f a h nesu ttiž zůstávají v grafu zachvány r. 8. f x x e x 4 c d g h x Or.8 Odstranění uzlu x ; příklad základní situace 7

18 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I ZÁKLADNÍ PRAVIDLO: ZKOMÁME VŠECHN MOŽNÉ CEST MEZI SOSEDNÍMI ZL VEDOCÍ PŘES VPOŠTĚNÝ ZEL. Všechny cesty jsu shrnuty v taulce. Taulka. Vyznačení cest přes uzel x z r. 8 cesta přens pznámka x x c/( - e) x x 4 g/( - e) x x x není - pzn. x x není x x 4 dg/( - e) h - zůstává v grafu, nyní se neuvažuje x x x cd/( - e) x 4 x v lasti úprav není; f - zůstává v grafu, nyní se neuvažuje x 4 x není x 4 x x 4 není Pzn.: cestu gf s kličku e zde neuvažujeme ze dvu důvdů. Jednak je větev f mim last úprav a za druhé - nemůžeme uvažvat cestu přes uzel, který v grafu zůstává - zde x 4. Jsu-li ppsané všechny mžné cesty, můžeme graf překreslit r. 9. x g/(-e) x 4 f c/(-e) x cd/(-e) dg/(-e) h Or.9a Odstranění uzlu x ; příklad uzel dstraněn raf můžeme dále upravvat, například sečíst paralelní stejně rientvané větve r. 9. f x g/(-e) x 4 c/(-e) cd/(-e) h dg/(-e) x Or. 9 Odstranění uzlu x ; příklad sečteny paralelní cesty 8

19 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Příklad Přens d zřídla k nře v případě, že přímá cesta se nedtýká všech smyček, vede na řetězvý zlmek. Jediným rzumným přístupem je začít s upravváním grafu d knce smyček. Situace je zřejmá z r. 0. nra j x c d e a i x h g f c d zřídl x i h c g ef j nra i x h gd /(-ef) x a i hc gd /( ef ) k i hc gd /( ef ) zřídl nra aj k aj i hc gd /( ef ) zřídl Or. 0 Odstraňvání smyček nedtýkajících se přímé cesty příklad

20 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I 5. ZÁKLADNÍ PŘIŘAZENÍ RAF SSTÉM LINEÁRNÍCH ROVNIC Mějme systém tří rvnic a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x y x, x, x - neznámé veličiny (např. uzlvá napětí) y, y, y - udicí veličiny (známé - např. zdrje prudu ) Z každé rvnice lze vyjádřit jednu neznámu veličinu. Správný tk grafu získáme, vyjádřímeli neznámý prvek vždy právě z diagnály matice. Z první rvnice tak určíme, že x y a a x x a a a K tmu je příslušný graf na r.. -a /a x x x -a /a /a y Or. raf příslušný první neznámé p úpravě první rvnice: y a a x x x a a a Ze druhé a třetí rvnice tak dstaneme pstupně grafy na r. a r.. -a /a x x x -a /a /a y Or. raf příslušný druhé neznámé p úpravě druhé rvnice: y a a x x x a a a 0

21 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I -a /a x x x -a /a /a y Or. raf příslušný třetí neznámé p úpravě třetí rvnice: y a a x x x a a a Všechny tři lineární rvnice lze slučit d jednh grafu, který je pak mžné zkumat - tedy řešit pdle dříve stanvených pstupů r. 4. y y y /a /a /a x -a /a x -a /a -a /a -a /a x -a /a -a /a Or. 4 Výsledný graf příslušný systému tří uvedených rvnic Tent pstup je zcela ecný a můžeme jej rzšířit na livlný systém rvnic (řešitelných). 6. PŘÍKLAD NA RČOVÁNÍ PŘENOS RAF PRAVOVÁNÍM (řešené a k řešení) Řešení grafů upravváním je v případě jedndušších grafů velmi prduktivní a rychlé, Vyžaduje však jistý cvik a značnu pzrnst. Prt ude na tmt místě uveden něklik typických příkladů. Je nutné si uvědmit, že v některých případech je mžné vlit i jiný pstup, výsledek y, všem, měl ýt stejný. Řešený příklad 6.

22 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I rčete přens signálvéh grafu na r. 5. f x 0 a x e x c x d Or. 5 raf pr řešený příklad 6. Nejdříve dstraníme uzel x - stačí zkumat pměry mezi x a x - cesty veducí přes x. Stačí tedy upravvat pdgraf (f - zůstává v grafu, nejde přes x, v tét fázi je není nutn uvažvat) na r. 6. x e x c x Or. 6 Pdgraf z grafu na r. 5 d Pr pdgraf na r. 6 platí (vyšetřujeme všechny mžné cesty přes x ): x x : přens je e; x x : přens je c; x x : přens je cd; x x : přens je ed Prt můžeme nakreslit ekvivalentní schéma na r. 7 upravený pdgraf. x e x c cd ed Or. 7 pravený pdgraf z r. 6 pravený pdgraf se vlží zpět d půvdníh grafu r. 8. f x 0 a x e x c cd ed Or. 8 pravený graf z r. 5 p vlžení upravenéh pdgrafu Nyní y yl mžné sečíst větve f e a ptm dstranit uzel x. Začneme však přím s dstraňváním uzlu x - zkumáme cesty mezi uzly x a x jducí přes uzel x ( zde už ani jiné

23 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I mžnsti nejsu) - kličku ed zatím v grafu pnecháme, takže nemá na dstraňvání uzlu x vliv; kličku c již uvažujeme: x x : -ní cesta má přens a/(-c) * f af/(-c) -há cesta má přens a/(-c) * (e) ae/(-c) přensy u paralelních větví lze sečíst. x x : x x : není cesta -ní cesta má přens (cd)(e)/(- c) -há cesta má přens (cd)f/(-c) - pět lze přens kliček sečíst. Výsledný graf je zřejmý, stejně jak jeh další úpravy, kde se již pužívají jen dříve uvedená pravidla sečítání kliček a přensu větve s kličku r. 9. x 0 af ae c cde cdf c x ed af ae x 0 c x cde cdf ed c Or. 9 pravený graf z r. 8 p dstranění uzlu x a další úpravy Přens z uzlu x d uzlu x lze nyní snadn určit: x x af ae c cde cdf ed c ae af... c de cdf Z uvedenéh příkladu plyne, že žádný univerzální pstup pr smyčkvé grafy není k dispzici. Řešený příklad 6. rčete přens nesmyčkvéh grafu na r. 40. Pr nesmyčkvé grafy je situace pdstatně jedndušší - přens je dán sučtem přensů všech přímých cest. d x a x x e c x 4 acaedc x x 4 Or. 40 raf k řešenému příkladu 6. včetně výsledku Řešený příklad 6.

24 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Pr smyčkvé grafy pstupně dstraňujeme uzly, které nás nezajímají při řešení knkrétníh přensu. Znamená t, že graf můžeme řešit něklikrát - pdle th, který přens nás právě zajímá. V grafu na r. 4 určete přens x x 4 a rvněž přens x x 5. x 5 a f d c x x x x 4 e Or. 4 raf k řešenému příkladu 6. výchzí stav Zajímá-li nás přens x x 4, nemusíme vůec uvažvat větev f d uzlu x 5 - nijak nevlivní přens d x 4. Přens udeme řešit upravváním grafu - dstraníme uzel x.cesty jducí přes uzel x jsu ppsány v taulce. Taulka. Vyznačení cest přes uzel x z r. 4 cesta přens pznámky x x ed cesta x x x x 4 se nyní neuvažuje, prtže uzel x v x x 4 ec grafu zůstává -větev a nepatří k dstraňvanému uzlu x x x není x x 4 c x x d x 4 x není x 4 x není x 4 x 4 není Nyní již můžeme překreslit graf (všechny zjištěné cesty) d následující pdy a pstupně jej upravvat tak, jak je t zachycen na r. 4. Snadn tak určíme, že pžadvaný přens je x4 x a ed ac ec c ec d d 4

25 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I d a c x ed x x 4 VNESENÍ CEST PŘES x Z TABLK ec aed d c SEČTENÍ PARALELNÍCH CEST x x 4 x ec a ed c ec d x x 4 ODSTRANĚNÍ KLIČK A SOČET VÝSLEDNÝ PŘENOS Or. 4 raf k řešenému příkladu 6. úpravy pr určení přensu x 4 / x rčujeme-li přens d uzlu x 5 nemusíme vůec uvažvat větev c d x 4 - nemá vliv. Opět udeme přens řešit upravváním grafu - dstraníme uzel x ; všechny cesty jducí přes uzel x jsu pět shrnuty v taulce. Taulka. Vyznačení cest přes uzel x z r. 4 cesta přen pznámky x x 5 af cesta edf se nyní neuvažuje - uzel x zůstává ; x x a representuje se sám - větev e zůstává zakreslena x x není x x není x x 5 df x x d x 5 x není x 5 x není x 5 x 5 není Opět můžeme nakreslit ekvivalentní graf z údajů v taulce r. 4 a tent graf dále upravvat a tak určit knečný přens: x5 a e af edf af df. x d d 5

26 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I x 5 af df VNESENÍ CEST PŘES x Z TABLK x a x e d x 5 af df SEČTENÍ PARALELNÍCH CEST ODSTRANĚNÍ KLIČK x (ae)/( d) x x af a e df d x 5 VÝSLEDNÝ PŘENOS (NESMČKOVÉHO RAF) Or. 4 raf k řešenému příkladu 6. úpravy pr určení přensu x 5 / x Řešený příklad 6.4 rčete přens x x 4 grafu na r. 44. x a d x e x c Or. 44 raf k řešenému příkladu 6.4 výchzí stav x 4 Nejdříve dstraníme uzel x (zkumáme všechny cesty prcházející uzlem x ) r. 45. a cd x ad c e x x 4 Or. 45 raf k řešenému příkladu 6.4 stav p dstranění uzlu x 6

27 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I V dalším krku udeme dstraňvat kličku cd a uzel x r. 46. Víme, že klička má vliv vždy puze na vstupující větev. x a ad/(-cd) e x x 4 c dstraníme uzel x a x [ad/(-cd)]. c [ad/(-cd)].e x 4 Or. 46 raf k řešenému příkladu 6.4 stav p dstranění kličky cd a uzlu x Kličky uzlu x se vůec neuplatní, výsledný přens je x x 4 ade cd Z tht upravvacíh mechanismu plyne velmi důležité praktické pravidl: rčujeme-li přens z uzlu x i (zde t yl x ), můžeme všechny větve d něj vstupující rzpjit a přens se nemění (x i ttiž nyní representuje referenční tedy známý - signál, který není mžné nijak vlivnit můžeme přerušit všechny vstupy). pravme nyní výchzí graf pdle právě uvedenéh pravidla r. 47. x a d x e x c Or. 47 raf k řešenému příkladu 6.4 stav p rzpjení větve vstupující d uzlu x x 4 Nyní můžeme přím určit, že pět platí x x 4 ade. cd Příklad k samstatnému řešení 6. Dkažte, že přens x 4 x grafu na r. 48je x x 4 a ( e d /( c) ) ae( c) ad f ( e d /( c) ) ( c ef df ) ecf 7

28 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I a x e f x x 4 d x c Or. 48 raf k příkladu pr samstatné řešení 6. Příklad k samstatnému řešení 6. Dkažte, že přens x 4 x grafu na r. 49 je x 4 / x ed. x a d x e x c x 4 Or. 49 raf k příkladu pr samstatné řešení 6. Příklad k samstatnému řešení 6. Dkažte, že přens x x5 grafu na r. 50 je x / x5 ce. x a x 5 c x 6 e x x d f x 4 Or. 50 raf k příkladu pr samstatné řešení 6. Příklad k samstatnému řešení 6.4 Dkažte, že přens x x grafu na r. 49 je x x c /( a) /. Příklad k samstatnému řešení 6.5 Dkažte, že přens x 4 x5 grafu na r. 50 je x / 4 x5 cf. 8

29 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Příklad k samstatnému řešení 6.6 Dkažte, že přens x x grafu na r. 5 je x / x ac /( d c). d x a x x c Or. 5 raf k příkladu pr samstatné řešení MASONOVO PRAVIDLO Pstupné zjedndušvání grafů signálvých tků je někdy velmi pracné. Existuje přímý pstup pr určení přensu ze zdrje (zřídla) d livlnéh uzlu grafu je t Masnv pravidl (věta). Důkazy platnsti tét věty jsu uvedeny v literatuře, např. [], a jsu pměrně nárčné. Praktické pužití je však pměrně jednduché a phdlné. ALORITMS. V rientvaném grafu najdeme všechny existující průchzí (přímé) cesty a všechny existující smyčky. Přens i-té cesty značíme P i.. Zavedeme determinant grafu : - [sučet přensů všech v grafu existujících smyček] [sučet sučinů přensů všech mžných kminací dvjic smyček, které splu nesuvisí] - [sučet sučinů přensů všech mžných kminací trjic smyček, které splu nesuvisí] [ čtveřic...] atd.. rčíme pdgraf (sugraf) i, který vznikne z grafu vyjmutím cesty P i (tedy větví i uzlů cesty P i ). 4. Determinant i (minr) pdgrafu i určíme aplikací du na pdgraf i (cesta ne smyčka, které je vyjmut některý uzel již není pvažvána za cestu ne smyčku viz i úvahy při upravvání grafů). 5. Přens d zdrje signálu d i-téh uzlu je dán vztahem K i x x i 0 n P i i i,,.., n kde n je pčet přímých cest x 0 je zdrjvý uzel grafu (zřídl) (7.) 9

30 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Řešený příklad 7. rčete přens grafu K 4 x4 / x na r. 5. a x e f x x 4 d Základní analýza grafu: Smyčky vdu jsu: c ; ef; df Splu nesuvisí: c a ef Splu suvisí: c a df v uzlu x ef a df větví f a uzly x a x 4 Více mžnstí graf nepskytuje a prt můžeme určit jeh determinant: x c Or. 5 raf k řešenému příkladu 7. [ c df ef ] [ c ef ] všechny smyčky dvjice nesuvisejících První přímá cesta (v r. 5 přerušvaně, uzly cesty plně) P ae rzpjí smyčku df i smyčku ef, nerzpjena zůstává puze smyčka c. Determinant pdgrafu je prt velmi jednduchý: [ c]. a e f x x 4 d x c Or. 5 Vyznačení první přímé cesty v grafu z r. 5 0

31 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Druhá přímá cesta (v r. 54 přerušvaně, uzly cesty plně) P ad rzpjí všechny smyčky, prt determinant pdgrafu je [ 0]. Ze smyčky ef jsu ttiž přímu cestu vyjmuty dva uzly x a x 4 ; z kličky c je přímu cestu vyjmut uzel x. a x e f x x 4 d x c Or. 54 Vyznačení druhé přímé cesty v grafu z r. 5 Nyní již pmcí Masnva pravidla můžeme určit, že K4 P P ae ( c) ad ( c ef df ) ecf Srvnej s řešením pmcí upravvání grafu r knec příkladu Masnv pravidl ve své základní pdě platí vzhledem ke vstupnímu uzlu, který musí ýt zřídlem. Pkud je nutné vyjádřit přens mezi uzlem x i a x j, musí se přens řešit kliku. Přens d x i ( z x 0 ) je: K i xi x 0 P n - pčet přímých cest mezi x 0 a x i ; cesty značíme P i a jim příslušné minry i n i i Přens d x j (z x 0 ) je: K j x j x 0 m P j j m - pčet přímých cest mezi x 0 a x j ; cesty značíme P j a jim příslušné minry j Nyní již není prlém určit přens z uzlu x i d uzlu x j : K ji x j xi kam dkud x j x0 x0 xi m Pj j n Pi i (7.)

32 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Je zřejmé, že determinant celéh grafu nyní nemá na přens vliv. Lze dkázat, že můžeme pužít základní vztah pr přens mezi kterýmikliv dvěma uzly pté, c vynecháme všechny větve vstupující d uzlu, ze kteréh pčítáme přens - prstě z tht uzlu uděláme zřídl (viz i úvahy při upravvání grafů, pravdu se ukázal, že vstupující větve d uzlu, ze kteréh pčítáme přens nemají vliv, vstupní veličina již nemůže ýt ničím vlivněna t dpvídá přím dpjení vstupů d uzlu). Ptm lze napsat vztah pr přens v nejecnější pdě K ji x x j i k m k P ji( k ) i ji( k ) (7.) kam dkud i je determinant grafu p vypuštění všech větví vstupujících d uzlu x i. Stačí vlastně uvažvat jen graf mezi x i a x j. (z fyzikálníh hlediska je t lgické; přiřadíme-li uzlu platnst známé nezávislé veličiny například napětí nemůže ji žádný signál vlivnit). Pkud se jedná puze zřídl, není c vypuštět situace se nemění. ji(k) jsu determinanty k sugrafům přímých cest P ji(k) mezi uzly i a j (zde nemají smyčky vstupující d x i vliv nikdy, vstupní uzel je ttiž stejně každu přímu cestu vyjmut tedy rzpjí je) m je pčet přímých cest z uzlu x i d uzlu x j. Řešený příklad 7. rčete přensy x 4 / x ; x / x a x 4 / x grafu na r. 55. f x a x e x 4 c x d rčení přensu x 4 /x : Or. 55 raf k řešenému příkladu 7. Lze přím pužít vztah (7.), aplikace vztahu (7.) vede ke zcela stejnému výsledku, zde i, je t zřídl, nic není třea rzpjit. - cesta P ae ; - 0 (všechny smyčky přerušeny) - cesta P af ; - 0 (všechny smyčky přerušeny) - determinant grafu (všechny smyčky se navzájem dtýkají ) je - (c ed cdf )

33 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Přens grafu z uzlu d uzlu 4 tedy je pdle Masnva pravidla (7.) i (7.) K4 af ae ( c ed cdf ) rčení přensu x /x : - přímá cesta (x x ) je nyní puze jedna - P a ; k ní příslušný sugraf má sudeterminant - ed (smyčky.c a cdf jsu rzpjeny p vyjmutí uzlu x přímé cesty P ). Determinant grafu je stejný jak v případě a), lze tedy určit přens K a( ed) ( c ed cdf ) Nyní lze již vyřešit i pslední úkl a t pmcí vztahu (7.): K4 x4 x x4 x x x K4 K a( f e) a( ed) f e ed Je vidět, že splečná část přensu (a) se vykrátila. Řešme nyní stejný prlém pužitím vztahu (7.). Zde i ; j 4; stačí uvažvat graf mezi uzly a 4 a vylučit větve vstupující d x - tedy větve a, c, viz r. 56. Nyní y již stačil frmálně využít vztah (7.), vztah (7.) jen zecňuje zápis. f x e x 4 x Or. 56 raf k řešení přensu x 4 / x na r. 55 d - přímé cesty: P 4() f ; 4() - 0 (všechny smyčky rzpjeny) P 4() e ; 4() - 0 (všechny smyčky rzpjeny) - determinant grafu mezi uzly a 4 i - ed ; prtže větev c vstupující d x yla rzpjena a tím jsu rzpjeny i smyčky c a cdf.

34 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Nyní lze určit přens f ( 0) e( 0) f e K4 ed ed cž je stejný výsledek, jak jsme získali předchzím (základním) pstupem. Příklad k samstatnému řešení 7. Ptvrďte, že přens grafu z uzlu d uzlu 4 na r. 57 je x x ( ac) ( d ) d a c 4. x x x x 4 Or. 57 raf k příkladu pr samstatné řešení 7. Příklad k samstatnému řešení 7. Ptvrďte, že přens grafu z uzlu d uzlu 4 na r. 58 je d a c x4 ac ec. x d x x x e x 4 Or. 58 raf k příkladu pr samstatné řešení 7. Příklad k samstatnému řešení 7. Ptvrďte, že přens grafu z uzlu d uzlu 6 na r. 59 je x x 6 adfh. [( c) ( ed) ( gf )] [( c) ( gf )] x a x x d x 4 f x 5 h x 6 c e g Or. 59 raf k příkladu pr samstatné řešení 7. 4

35 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I Příklad k samstatnému řešení 7.4 Ptvrďte, že přens grafu z uzlu d uzlu 4 na r. 60 je x x 4 ade. cd x a x d e x x 4 c Or. 60 raf k příkladu pr samstatné řešení 7.4 Příklad k samstatnému řešení 7.5 Ptvrďte, že přens grafu z uzlu d uzlu 4 na r. 60 je K4 ed. Příklad k samstatnému řešení 7.6 Ptvrďte, že přens grafu z uzlu d uzlu na r. 60 je K c /( ). a 8. SHRNTÍ V tét části yly ppsány základní prlémy při řešení systému lineárních rvnic metdu rientvaných grafů grafy signálvých tků, yly zavedeny ptřené drné pjmy. Rutinní zvládnutí upravvání grafů ne aplikace Masnva pravidla umžňuje sur řešených i neřešených příkladů, které jsu sučástí textu. Získané pznatky udu v dalších částech práce aplikvány na řešení lineárních elektrnických vdů, jejichž admitanční mdely známe (ne je umíme sestavit) pvedu k vytvření algritmů pr přímé řešení lineárních elektrnických vdů ez sestavvání výchzíh suru rvnic. 5

36 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I 9. ZÁVĚREČNÝ TEST. Přens grafu z uzlu x d uzlu x 4 na r. 6 je a) a c ) ac c) ac d) a c x a x x c x 4 Or. 6 raf k tázce. Přens grafu z uzlu x d uzlu x na r. 6 je a) a c ) ac c) ac d) není x x a c x Or. 6 raf k tázce a. rafu na r. 6 dpvídá rvnice a) x x cx ax ) x x cx ax c) x x cx ax d) x x - cx - ax 4. Přens grafu z uzlu x d uzlu x na r. 6 je a) a/( - c) ) ac/( - ) c) c/( - a) d) a c x x a c x Or. 6 raf k tázce 4, 5 a 6 5. Přens grafu z uzlu x d uzlu x na r. 6 je a) ac/( - c) ) ac/( - ) c) a/( - c) d) a c 6. Přens grafu z uzlu x d uzlu x na r. 6 je a) a/( - c) ) ac/( - ) c) a/( - c) d) 6

37 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I 7. Přens grafu z uzlu x d uzlu x na r. 64 je a) a/( - c) ) ac/( - c) c) c/( - ac) d) ac/( - c) x a x x c Or. 64 raf k tázce 7 a 8 8. Přens grafu z uzlu x d uzlu x na r. 64 je a) a/( - c) ) a/( - c) c) c/( - ac) d) ac/( - c) 9. Determinant grafu na r. 65 je a) ( - c) d ) ( - cd) c) ( - ac) a d) ( d) x x x Or. 65 raf k tázce 9 a 0 e c x 4 0. Přens grafu z uzlu x d uzlu x na r. 65 je a) a/( - e) ) a/( - d) c) a/( - d) d) a/( - ed) 7

38 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků I 0. OTÁZK K PROBLEMATICE. Ojasněte pjem rientvaná větev.. Ojasněte pjem přímá cesta.. Ojasněte pjem smyčka. 4. C se rzumí přensem přímé cesty? 5. C představuje uzel (d) grafu? 6. Jak přiřazujeme k dané rvnici graf? 7. Ojasněte smysl věty aditivní. 8. Ojasněte smysl věty přensvé. 9. Jak dstraníte vlastní smyčku (kličku) uzlu grafu? 0. Čemu je rven přens stejně rientvaných paralelně řazených větví grafu?. Přísluší-li uzlu více kliček, jak je lze nahradit?. Ojasněte metdiku při dstraňvání uzlu grafu.. Jak přiřazujeme graf k systému lineárních rvnic? 4. Ojasněte princip určvání přensu grafu upravváním. 5. Ojasněte aplikaci Masnva pravidla. Literatura [] Masn J. S., Zimmermann J. H.: Electrnic Circuits, Signals, and Systems. Jhn Wiley & Sns, Inc., 960 [] Čajka J., Kvasil J.: Terie lineárních vdů. SNTL/ALFA, Praha 979 [] Punčchář J.: Řešení vdů grafy signálvých tků - I (základní úvahy, upravvání grafů). Katedra teretické elektrtechniky, říjen 995 8

39 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Rejstřík ŘEŠENÍ OBVODŮ RAF SINÁLOVÝCH TOKŮ II Jsef Punčchář Jitka Mhylvá Petr Orság I. ÚVOD DO TEORIE RAFŮ 6 II. RAF SINÁLOVÝCH TOKŮ V METODĚ ZLOVÝCH NAPĚTÍ - INTITIVNĚ STANOVENÉ MODEL AKTIVNÍCH PRVKŮ. ZOBECNĚNÁ METODA ZLOVÝCH NAPĚTÍ 4. Admitanční ppis n pólu 4. Úplná matice, zkrácená matice 4. Paralelní prpjení n pólů 44.4 Admitanční mdely zesilvacích struktur Admitanční mdel diferenčníh peračníh zesilvače (OZ) Admitanční mdel zesilvače s jedním vstupem Admitanční mdel transknduktančníh zesilvače Admitanční mdel Nrtnva zesilvače Admitanční mdel knvejrů II. generace Admitanční mdel zesilvače s prudvu vazu(cfa) - transimpedanční 5.5 Algritmus zecněné metdy uzlvých napětí 5 9. RAF SINÁLOVÝCH TOKŮ V METODĚ ZLOVÝCH NAPĚTÍ 5. Základní algritmus pr sestavení grafu signálvých tků 54. Algritmus pr přímé sestavení grafu pasívní části vdu (způs úpravy A) 57. Algritmus pr přímé sestavení grafu vdu se zdrjem napětí řízeným napětím (OZ) 59 9

40 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků II.4 Signálvé mdely aktivních prvků zdrjů napětí řízených napětím 59.5 Příklady na aplikaci algritmu 6.6 Nepřesnst mdelů z článku.4 pr O 67.7 rčení vstupní a výstupní impedance 7.8 Algritmus pr přímé sestavení grafu vdu se zdrjem prudu řízeným napětím (OTA - transknduktanční zesilvač) 74.9 Příklady s OTA a sledvačem napětí, příklady k samstatnému řešení 76.0 Příklady k samstatnému řešení 8. SHRNTÍ ZÁVĚREČNÝ TEST OTÁZK K PROBLEMATICE 9 LITERATRA 9 III. IV. MODEL AKTIVNÍCH PRVKŮ NA ZÁKLADĚ MODELŮ ADMITANČNÍCH VZTAH MEZI RAFEM MB A RAFEM MC (Masn Catesův graf) 9 49 ZÁVĚR 64 REJSTŘÍK 65 40

41 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků II II. RAF SINÁLOVÝCH TOKŮ V METODĚ ZLOVÝCH NAPĚTÍ - INTITIVNĚ STANOVENÉ MODEL AKTIVNÍCH PRVKŮ Nejdříve stručně shrneme základní znalsti z řešení lineárních (linearizvaných) vdů zecněnu metdu uzlvých napětí. Na základě získaných pznatků ptm přistupíme k analýze lineárních elektrnických vdů metdu grafů signálvých tků.. ZOBECNĚNÁ METODA ZLOVÝCH NAPĚTÍ Velmi pdrně je zecněná metda uzlvých napětí ppsána v [9] a stručněji v [0]. Pdstatu je získání admitančníh mdelu pasívní části vdu a aktivní části vdu (elektrnickéh prvku vdu) a jejich paralelní prpjení. Výsledkem je admitanční mdel elektrnickéh vdu, ve kterém umíme určit všechna uzlvá napětí a tím i všechny vdvé veličiny.. Admitanční ppis n pólu Předpkládejme, že máme lineární (n)-pól, který je uzen n zdrji (ecně fázry ne Laplacevými razy) vnějších prudů I, I,..., I n, I n. Splečným uzlem je externí (vnější) uzel - r.. Ptm existuje právě n napětí,,..., n, n (fázrů, Laplacevých razů), která jsu funkcí vnějších prudů. Ta může ýt ppsána následující maticvu frmu (z n):. r s t. n z I. r s t. n z I r.. rr rs rt. rn rz r I r s.. sr ss st. sn sz x s I s () t.. tr ts tt. tn tz t I t n.. nr ns nt. nn nz n I n z.. zr zs zt. zn zz z I z r I r s I s t I t I (n) - p ól I n Or. Oecný (n) pól I z n z n EXT. REF. BOD. 4

42 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků II Prvky sk matice jsu admitančními prvky. Jejich význam plyne ze základní rvnice () sk I s / k () kde sk je prvek v s - tém řádku a k - tém slupci; I S je vnější udicí prud s - téh uzlu (pólu), přičemž všechny uzly, vyjma k - téh, jsu připjeny k uzlu referenčnímu (nastaveny na nulvu hdntu - stav nakrátk); k je napětí k - téh uzlu (pólu) prti referenčnímu du. važujeme nyní vd (n-pól), který se skládá puze z pasívních dvjpólů. Napěťvý zdrj nechť je nejdříve připjen k uzlu s, všechny statní uzly jsu připjeny k uzlu referenčnímu (zkratvány) - r.a. Nyní můžeme s využitím Ohmva zákna a. Kirchhffva zákna snadn určit, že I s s... s k... s n Ve shdě se vstupními úvahami je ptm diagnální prvek admitanční matice právě ss I s / s... k... n () rven sumě všech admitancí připjených d uzlu s. Nechť je nyní nenulvé puze napětí k - r.. Prudy prtékají puze admitancemi α, β, γ. Na všech statních admitancích je napětí nulvé a prudy jimi prt neprtékají. Zřejmě platí I s -I k - k ( α β γ ) tudíž prvky matice mim hlavní diagnálu sk I s / k -I k / k -( α β γ ) (4) jsu sučtem všech admitancí připjených mezi uzly (póly) k a s - se záprným znaménkem. I k k k s I s s k n s α β γ () (a) I s n Or. Struktury pr určvání parametrů matice 4

43 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků II Tímt elementárním způsem jsme schpni sestavit matici livlnéh n - pólu slženéh z dvjpólů. Musíme všem zdůraznit, že referenční uzel je externí, není sučástí zkumanéh vdu. Takt vzniklu matici nazýváme úplnu (rzšířenu) maticí. Šipkvu knvenci z r. udeme pvažvat za základní knvenci, která platí v rámci celéh textu, i když není právě vyznačena.. Úplná matice, zkrácená matice Každý dvjpól je v úplné matici právě čtyřikrát. Je-li mezi uzly k a s připjena admitance α, jeví se znaménkem kladným v prvcích ss a kk a se znaménkem záprným v prvcích sk ks matice (). Úplná matice se všem vyznačuje i dalšími důležitými vlastnstmi. Pvažujeme-li n - pól za zecnělý uzel (celý jej klpíme Jrdanvu křivku), musí platit pdle. Kirchhffva zákna, že sučet všech prudů je nulvý, tedy ze systému rvnic (); zn: I I...I n I z (... n z ) (... n z )... (5)...( n n... nn zn ) n......( z z... nz zz ) z 0 Prtže rvnice (5) musí ýt splněna pr livlná napětí,,..., n, z, je mžné jediné řešení. Sučet admitancí v kterémkliv slupci úplné matice musí ýt nulvý, tedy ( s s... ns zs ) 0 (6) pr s,,..., n, z. Předpkládejme nyní druhý mezní stav - všechna uzlvá napětí jsu stejná... n z V n-pólu neexistuje rzdíl ptenciálů, tedy nemhu prtékat prudy. V systému rvnic () prt musí platit I I... I n I z (... n z ) (... n z ) ( n n... nn nz ) ( z z... zn zz ) 0 (7) T může ýt pr livlné napětí splněn puze tehdy, je-li sučet admitancí v každém řádku úplné matice rven nule: ( k k... kn kz ) 0 (8) pr k,,..., n, z. Úplná (někdy se nazývá rzšířená) admitanční matice má lineárně závislé některé řádky a slupce, její determinant naývá nulvé hdnty (je singulární). Pkud livlný pól k spjíme s externím referenčním uzlem, situace se mění. Takt vzniklý vztažný pól je již 4

44 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků II sučástí n - pólu. Jeh prud I k dpvídá sučtu všech zývajících prudů ( se záprným znaménkem) - je tedy jejich lineární kminací, k -tá rvnice prt nemá význam, můžeme ji vypustit. Sučasně naývá nulvé hdnty i napětí k - smysl prt nemá ani k -tý slupec matice, lze jej škrtnut. Dstáváme zkrácenu matici, která má již nenulvý determinant (je regulární). Systém rvnic je nyní lineárně nezávislý a je řešitelný. Prpjvání dalších pólů s referenčním uzlem vede ke stejnému výsledku. Odsud plyne: Spjíme - li livlný uzel n-pólu s referenčním uzlem, škrtá se příslušný slupec a řádek matice (ať už rzšířené, či zkrácené). Nvá matice ppisuje vd, který má některé uzly zkratvány. Z vlastnstí úplné matice plyne velmi užitečný pstup pr získání úplnéh ppisu vdu ze známéh ppisu maticí zkrácenu. Aktivní prvky jsu čast ppisvány jak trjpóly - r.. a c Or. Mžná zapjení trjpólu a získání úplné matice a c a a aa a a I a a I matice trjpólu se splečným dem c a c a aa a - aa - a a - a - c - aa - a - a - Σ Σ aa a a úplná matice téhž vdu Měření parametrů je většinu udáván s jedním pólem uzemněným. Máme tedy k dispzici puze zkrácenu matici. Týž aktivní prvek však nemusí mít v jiném zapjení uzemněnu právě vhdnu svrku. Jak získáme parametry pr jinu vztažnu svrku? Stačí získat úplnu matici. Ptm ptřený pól vlíme za referenční a vždy škrtáme dpvídající řádek a slupec matice rzšířené - získáváme tak ppis aktivníh prvku se správným (pžadvaným ) splečným (referenčním) dem. A jak získáme úplnu matici? Ke zkrácené matici jednduše přidáme jeden řádek a jeden slupec. K dplnění prvků matice rzšířené pužijeme vlastnstí ppsaných vztahy (6) a (8) - plíčka dplníme tak, ay sučet v každém řádku a v každém slupci yl rven nule - r.. Stejným způsem můžeme samzřejmě pstupvat i u vdů (prvků) s více póly.. Paralelní prpjení n - pólů Prpjme nyní dva n - póly, rzsáhlejší a méně rzsáhlý - r.4. Situace na rázku definuje všechny mžné situace - nijak nezmenšuje ecnst úvah. Oecně je vhdné pracvat s úplnými maticemi. Pkud mají a n - póly splečný referenční d, lze pracvat přím s příslušnými maticemi zkrácenými. 44

45 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků II s r r I r a I s I I r s I a [] I s [] n t I c c I t I t t z n Or.4 Paralelní prpjení a - pólů Rzsáhlejší systém nechť je ppsán vztahem (), menší systém vztahem (9) a c a aa a ac a I a a c x I (9) c ca c cc c I c Základní skutečnstí je t, že zřejmě platí rvnst napětí (znak paralelnsti): r a ; s ; t c Sučasně musí platit. Kirchhffův zákn pr nvé uzly vdu r, s, t. Prt I r I r I a ( r r... rr r rs s rt t... rn n r,n n ) ( aa r a s ac t ) P úpravě prt dstáváme I r I r I a r r...( rr aa ) r ( rs a ) s ( rt ac ) t rn n r,n n Stejným pstupem získáme i rvnice I s I s I s s...( sr a ) r ( ss ) s ( st c ) t sn n s,n n 45

46 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků II I t I t I c t t...( tr ca ) r ( ts c ) s ( tt tc ) t tn n t,n n Z tht zápisu již jednznačně plyne ěžně uváděné kincidenční pravidl (algritmus) pr transfrmaci malé matice na matici větší :. Za základ ereme (sestavíme) matici n-pólu s větším pčtem pólů. Řádkům a slupcům matice přiřadíme dpvídající čísla pólů (uzlů).. Zjistíme prpjení uzlů u n-pólů a vyznačíme je d základní matice (zde vyneseme uzly a,, c d velké matice).. V plích, kde dchází ke kincidenci prvků malé matice, přičítáme dpvídající admitanci z tét matice - prvky dpvídající průsečíkům indexů (zde tedy půjde admitance aa až cc ). V našem případě ereme za základ admitanční matici z () a malu matici z (9); (z n):. r (a) s () t (c). n z. r s t. n z..... n z r(a) r.. rr ( aa ) rs ( a ) rt ( ac ). rn rz s() s.. sr ( a ) ss ( ) st ( c ). sn sz (0) t(c) t.. tr ( ca ) ts ( c ) tt ( cc ). tn tz n n.. nr ns nt. nn nz z z.. zr zs zt. zn zz Vyznačení některých pólů (r, s, t) a prudů (I r, I s, I t ) již není nutné. Zůstává značení ez čárek, které ppisuje nvu situaci - paralelní prpjení trjpólu a,, c k velkému vdu v uzlech (pólech) r a, s, t c. Pkud umíme získat lineární (linearizvaný) admitanční ppis elektrnických prvků, nerání nic tmu, aychm analyzvali pmcí uvedených pstupů jakýkliv lineární elektrnický vd - tedy všechny zesilující struktury a všechny struktury, které upravují spektrum signálu - tedy filtry. Z admitančníh systému rvnic (matematickéh mdelu skutečnsti) umíme určit všechna uzlvá napětí a následně i všechny větvvé prudy. míme tedy analyzvat daný lineární vd. Velku matici stačí sestavvat zkrácenu, vždy existuje vlastní referenční uzel. Matice aktivních prvků je výhdné mít úplné. Ale stačí i zkrácené, vůči referenčnímu uzlu, který je splečný ěma n-pólům (je-li takvý). 46

47 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků II.4 Admitanční mdely zesilvacích struktur [9, 0] Admitanční mdely ptřeujeme při pužití zecněné metdy uzlvých napětí. Vždy uvažujeme, že prudy vstupují DO externích svrek (pólů, uzlů), všechna uzlvá napětí jsu rientvána šipku k referenčnímu uzlu (zemi). Vyjádříme-li externí prudy jak lineární kminaci (funkci) externích uzlvých napětí, získáváme admitanční ppis (mdel) zkumanéh vdu. Samzřejmě zde předpkládáme, že se jedná parametry lineární (linearizvané). Každý ideální zdrj napětí musí ýt pvinně dplněn výstupní dpr R (ecně výstupní impedanci). Ostatní impedance (vstupních svrek), lze zahrnut d vnější perační sítě..4. Admitanční mdel diferenčníh peračníh zesilvače (OZ) Základní mdel OZ dplněný výstupní dpr R je na r.5. () I 0 R I () d (-) I - 0 A d - Or.5 Mdel diferenčníh napěťvéh zesilvače pr určení admitanční matice (idealizvány prudy I, - ; d - - ) Zřejmě platí I I I ( -A d )/R -A A - Tmu dpvídá maticvý ppis (mdel) peračníh zesilvače () (-) () () I (-) I - () () -A A I Matice (, ) je admitanční maticí peračníh zesilvače, napětí,-, jsu uzlvá napětí, prudy I,-, jsu prudy d pólů OZ. 47

48 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků II.4. Admitanční mdel zesilvače s jedním vstupem Mdel zesilvače s jedním vstupem (a) a výstupem () získáme tak, že na r.5 předpkládáme např. - 0, ptm při přeznačení a a platí a a 0 0 a I a -A I () Pr A > 0 se jedná mdel neinvertujícíh zesilvače. Pr A < 0 je ppisván zesilvač invertující..4. Admitanční mdel transknduktančníh zesilvače Výchdiskem pr určení admitančníh mdelu transknduktančníh zesilvače je r.6. Orientace řízenéh zdrje prudu m d na r.6 je vlena tak, ay tent prud na externí zátěži vyvlal kladně rientvané napětí při kladném uzení vstupu (). Ptřenu knvenci zavedeme jednduše pmcí externíh prudu I, který již vtéká d vdu: () I 0 I () d m d (-) I - 0 Or.6 Mdel diferenčníh transknduktančníh zesilvače (OTA) vhdný pr určení maticvéh mdelu, vstupní prudy jsu idealizvány Pr I I - 0 můžeme jistě psát I I I - m d - m ( - - ) - m m - a admitanční mdel OTA je zřejmý: () (-) () () I (-) I - () () - m m I 48

49 Punčchář, J., Mhylvá, J., Orság P.: Řešení vdů grafy signálvých tků II Za pvšimnutí stjí, že ppis OTA se p frmální stránce shduje s ppisem OZ, stačí udělat sustituci m A. Pdstatný rzdíl je všem v, u napěťvéh zesilvače jde ideálně k neknečné hdntě, u prudvéh výstupu jde ideálně k nulvé hdntě. Pr ideální OTA tedy udu všechny diagnální prvky rvny nule..4.4 Admitanční mdel Nrtnva zesilvače Vhdný mdel Nrtnva zesilvače je na r.7; g d /r d je diferenční vdivst didy (která tvří prudvý neinvertující vstup zesilvače), R je výstupní dpr invertujícíh napěťvéh zesilvače se vstupním dprem R in a zesílením - A. Platí I /r d g d I - I I B g d - /R in g d in I [ -(-A - ) ] /R 0. A. -. Tímt elementárním upravvacím frmalismem získáváme pět admitanční ppis - nyní Nrtnva zesilvače () (-) ( ) () g d 0 0 I (-) g d in 0 x - I - () () 0 A I - (-) I - I B R I () () I I R in -A - r d Or.7 Vhdný mdel Nrtnva zesilvače.4.5 Admitanční mdel knvejrů II. generace Vhdný mdel prudvých knvejrů II. generace je na r.8; mžné typy jsu shrnuty v Taulce. 49