11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
|
|
|
- Milan Konečný
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
2 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3. Norma indukovaná skalárním součinem 4. Ortogonální množiny vektorů 5. Gramův Schmidtův ortogonalizační proces 6. Ortogonální matice
3 11. Skalární součin a ortogonalita p. 3/ Definice skalárního součinu x 2 v 2 v α u 2 α 2 u 0 α 1 v 1 u 1 x 1
4 11. Skalární součin a ortogonalita p. 3/ Definice skalárního součinu x 2 v 2 v α Pro kosinus úhlu α vektorů u a v platí cosα = cos(α 2 α 1 ) = = cosα 1 cosα 2 +sinα 1 sinα 2 = = u 1 + u 2 u 2 1 +u2 2 Označíme-li v 1 v 2 1 +v2 2 u 2 1 +u2 2 v 2 v 2 1 +v2 2 u = u 2 1 +u 2 2, v = v 2 1 +v 2 2 u 2 0 α 1 v 1 α 2 u u 1 x 1 (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 dostaneme cosα = (u,v) u v
5 11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/ Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní.
6 11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/ Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Označíme-li si (u,v) skalární součin vektorů u,v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α R:
7 11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/ Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Označíme-li si (u,v) skalární součin vektorů u,v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α R: S1 (u+v,w) = (u,w)+(v,w)
8 11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/ Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Označíme-li si (u,v) skalární součin vektorů u,v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α R: S1 (u+v,w) = (u,w)+(v,w) S2 (αu,v) = α(u,v)
9 11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/ Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Označíme-li si (u,v) skalární součin vektorů u,v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α R: S1 (u+v,w) = (u,w)+(v,w) S2 (αu,v) = α(u,v) S3 (u,v) = (v,u)
10 11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/ Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Označíme-li si (u,v) skalární součin vektorů u,v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α R: S1 (u+v,w) = (u,w)+(v,w) S2 (αu,v) = α(u,v) S3 (u,v) = (v,u) S4 (u,u) > 0 pro u o
11 11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/ Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Označíme-li si (u,v) skalární součin vektorů u,v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α R: S1 (u+v,w) = (u,w)+(v,w) S2 (αu,v) = α(u,v) S3 (u,v) = (v,u) S4 (u,u) > 0 pro u o Například (u,v) = u Av, kde A je pozitivně definitní.
12 11. Skalární součin a ortogonalita p. 5/ Norma vektoru DEFINICE 2 Necht V je vektorový prostor. Zobrazení, které každému vektoru v V přiřazuje nezáporné reálné číslo v, se nazývá norma, jestliže pro každé u,v V a libovolný skalár α platí:
13 11. Skalární součin a ortogonalita p. 5/ Norma vektoru DEFINICE 2 Necht V je vektorový prostor. Zobrazení, které každému vektoru v V přiřazuje nezáporné reálné číslo v, se nazývá norma, jestliže pro každé u,v V a libovolný skalár α platí: N1 u+v u + v
14 11. Skalární součin a ortogonalita p. 5/ Norma vektoru DEFINICE 2 Necht V je vektorový prostor. Zobrazení, které každému vektoru v V přiřazuje nezáporné reálné číslo v, se nazývá norma, jestliže pro každé u,v V a libovolný skalár α platí: N1 u+v u + v N2 αu = α u
15 11. Skalární součin a ortogonalita p. 5/ Norma vektoru DEFINICE 2 Necht V je vektorový prostor. Zobrazení, které každému vektoru v V přiřazuje nezáporné reálné číslo v, se nazývá norma, jestliže pro každé u,v V a libovolný skalár α platí: N1 u+v u + v N2 αu = α u N3 u = 0, právě když u = o
16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 5/ Norma vektoru DEFINICE 2 Necht V je vektorový prostor. Zobrazení, které každému vektoru v V přiřazuje nezáporné reálné číslo v, se nazývá norma, jestliže pro každé u,v V a libovolný skalár α platí: N1 u+v u + v N2 αu = α u N3 u = 0, právě když u = o PŘÍKLAD 1 na R Předpis u = max{ u 1, u 2 } definuje normu 2. Předpis u 1 = u 1 + u 2 definuje normu na R 2.
17 11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/ Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé.
18 11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/ Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé. DŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový.
19 11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/ Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé. DŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový. Předpokládejme proto, že v o, a všimněme si, že pro každé dva vektory u, v platí 0 (u+αv,u+αv) = (u,u)+2α(u,v)+α 2 (v,v).
20 11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/ Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé. DŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový. Předpokládejme proto, že v o, a všimněme si, že pro každé dva vektory u, v platí 0 (u+αv,u+αv) = (u,u)+2α(u,v)+α 2 (v,v). Zvolíme-li si α = (u,v) (v,v),
21 11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/ Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé. DŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový. Předpokládejme proto, že v o, a všimněme si, že pro každé dva vektory u, v platí 0 (u+αv,u+αv) = (u,u)+2α(u,v)+α 2 (v,v). Zvolíme-li si α = (u,v) (v,v), dostaneme po úpravě 0 (u,u) (u,v)2 (v,v),
22 11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/ Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé. DŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový. Předpokládejme proto, že v o, a všimněme si, že pro každé dva vektory u, v platí 0 (u+αv,u+αv) = (u,u)+2α(u,v)+α 2 (v,v). Zvolíme-li si α = (u,v) (v,v), dostaneme po úpravě 0 (u,u) (u,v)2 (v,v), odkud po vynásobení obou stran nerovnosti(v, v) a jednoduché úpravě dostaneme nerovnost.
23 11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/ Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé. DŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový. Předpokládejme proto, že v o, a všimněme si, že pro každé dva vektory u, v platí 0 (u+αv,u+αv) = (u,u)+2α(u,v)+α 2 (v,v). Zvolíme-li si α = (u,v) (v,v), dostaneme po úpravě 0 (u,u) (u,v)2 (v,v), odkud po vynásobení obou stran nerovnosti(v, v) a jednoduché úpravě dostaneme nerovnost. Rovnost nastane, jen když (u+αv,u+αv) = 0, t.j.1 u+αv = o.
24 11. Skalární součin a ortogonalita p. 7/ Norma indukovaná skalárním součinem DŮSLEDEK: Necht V je vektorový prostor se skalárním součinem a necht je pro každý vektor v V definováno v = (v,v). Pak pro každé dva vektory u,v V platí u+v u + v a zobrazenív v je norma na V.
25 11. Skalární součin a ortogonalita p. 7/ Norma indukovaná skalárním součinem DŮSLEDEK: Necht V je vektorový prostor se skalárním součinem a necht je pro každý vektor v V definováno v = (v,v). Pak pro každé dva vektory u,v V platí u+v u + v a zobrazenív v je norma na V. DŮKAZ: Z axiomů skalárního součinu a Schwarzovy nerovnosti plyne u+v 2 = (u+v,u+v) = (u,u)+2(u,v)+(v,v) u 2 +2 u v + v 2 = ( u + v ) 2. Platnost zbývajících dvou axiomů normy je bezprostředním důsledkem axiomů skalárního součinu.
26 11. Skalární součin a ortogonalita p. 7/ Norma indukovaná skalárním součinem DŮSLEDEK: Necht V je vektorový prostor se skalárním součinem a necht je pro každý vektor v V definováno v = (v,v). Pak pro každé dva vektory u,v V platí u+v u + v a zobrazenív v je norma na V. DŮKAZ: Z axiomů skalárního součinu a Schwarzovy nerovnosti plyne u+v 2 = (u+v,u+v) = (u,u)+2(u,v)+(v,v) u 2 +2 u v + v 2 = ( u + v ) 2. Platnost zbývajících dvou axiomů normy je bezprostředním důsledkem axiomů skalárního součinu. Norma definovaná předpisem v = (v,v), kde v R n a (v,v) = v 2 1 +v v 2 n, se nazývá eukleidovská norma.
27 11. Skalární součin a ortogonalita p. 8/ Ortogonální množiny vektorů Definice ortogonality vektorů je motivována známou skutečností, že dva polohové vektory v rovině či prostoru jsou ortogonální, právě když je kosinus jejich úhlu roven nule.
28 11. Skalární součin a ortogonalita p. 8/ Ortogonální množiny vektorů Definice ortogonality vektorů je motivována známou skutečností, že dva polohové vektory v rovině či prostoru jsou ortogonální, právě když je kosinus jejich úhlu roven nule. DEFINICE 3 Necht V je vektorový prostor se skalárním součinem. Množina vektorů E = {e 1,...e k } je ortogonální, právě když (e i,e j ) = 0 pro i j.
29 11. Skalární součin a ortogonalita p. 8/ Ortogonální množiny vektorů Definice ortogonality vektorů je motivována známou skutečností, že dva polohové vektory v rovině či prostoru jsou ortogonální, právě když je kosinus jejich úhlu roven nule. DEFINICE 3 Necht V je vektorový prostor se skalárním součinem. Množina vektorů E = {e 1,...e k } je ortogonální, právě když (e i,e j ) = 0 pro i j. Jestliže navíc (e i,e i ) = 1 pro všechna i = 1,...,k, pak je E ortonormální.
30 11. Skalární součin a ortogonalita p. 8/ Ortogonální množiny vektorů Definice ortogonality vektorů je motivována známou skutečností, že dva polohové vektory v rovině či prostoru jsou ortogonální, právě když je kosinus jejich úhlu roven nule. DEFINICE 3 Necht V je vektorový prostor se skalárním součinem. Množina vektorů E = {e 1,...e k } je ortogonální, právě když (e i,e j ) = 0 pro i j. Jestliže navíc (e i,e i ) = 1 pro všechna i = 1,...,k, pak je E ortonormální. Množina všech vektorů x V, které jsou ortogonální k dané množině vektorů U, se nazývá ortogonální doplněk U (vzhledem k množině V) a značí se U.
31 11. Skalární součin a ortogonalita p. 9/ Ortogonální množiny vektorů LEMMA 1 Je-liE = {e 1,...,e k } ortogonální množina nenulových vektorů, pak je E nezávislá.
32 11. Skalární součin a ortogonalita p. 9/ Ortogonální množiny vektorů LEMMA 1 Je-liE = {e 1,...,e k } ortogonální množina nenulových vektorů, pak je E nezávislá. DŮKAZ: Po skalárním vynásobení rovnosti x 1 e 1 + +x k e k = o vektorem e i E dostaneme (e i,x 1 e 1 + +x k e k ) = (e i,o), odkud pomocí axiomů skalárního součinu získáme x i (e i,e i ) = 0, tedyx i = 0
33 11. Skalární součin a ortogonalita p. 9/ Ortogonální množiny vektorů LEMMA 1 Je-liE = {e 1,...,e k } ortogonální množina nenulových vektorů, pak je E nezávislá. DŮKAZ: Po skalárním vynásobení rovnosti x 1 e 1 + +x k e k = o vektorem e i E dostaneme (e i,x 1 e 1 + +x k e k ) = (e i,o), odkud pomocí axiomů skalárního součinu získáme x i (e i,e i ) = 0, tedyx i = 0 PŘÍKLAD 2 Vypočtěte souřadnice vektoru x vektorového prostoru V v ortogonální bázie = (e 1,...,e k ).
34 11. Skalární součin a ortogonalita p. 9/ Ortogonální množiny vektorů LEMMA 1 Je-liE = {e 1,...,e k } ortogonální množina nenulových vektorů, pak je E nezávislá. DŮKAZ: Po skalárním vynásobení rovnosti x 1 e 1 + +x k e k = o vektorem e i E dostaneme (e i,x 1 e 1 + +x k e k ) = (e i,o), odkud pomocí axiomů skalárního součinu získáme x i (e i,e i ) = 0, tedyx i = 0 PŘÍKLAD 2 Vypočtěte souřadnice vektoru x vektorového prostoru V v ortogonální bázie = (e 1,...,e k ). ŘEŠENÍ: Z rovnosti x = x 1 e 1 + +x k e k dostaneme po skalárním vynásobení obou stran vektorem e i E a úpravě, že x i = (e i,x) (e i,e i ). Nemusíme tedy řešit žádnou soustavu rovnic.
35 11. Skalární součin a ortogonalita p. 10/ Ortogonální množiny vektorů VĚTA 2 Necht A je libovolná matice. Pak N(A ) je ortogonální doplněk H(A).
36 11. Skalární součin a ortogonalita p. 10/ Ortogonální množiny vektorů VĚTA 2 Necht A je libovolná matice. Pak N(A ) je ortogonální doplněk H(A). DŮKAZ: Necht x H(A) a y N(A ). Pak A y = o axlze vyjádřit ve tvarux = Az.
37 11. Skalární součin a ortogonalita p. 10/ Ortogonální množiny vektorů VĚTA 2 Necht A je libovolná matice. Pak N(A ) je ortogonální doplněk H(A). DŮKAZ: Necht x H(A) a y N(A ). Pak A y = o axlze vyjádřit ve tvarux = Az. Platí tedy x y = (Az) y = z A y = 0, takže množiny N(A ) ah(a) jsou ortogonální. Pro matici A typu (m,n) platí, že h(a) = h(a ) nebot sloupcová hodnost je rovna hodnosti řádkové. Pro každou matici A jeh(a )+d(a ) = m a tudíž h(a)+d(a ) = m. Odtud N(A ) je ortogonální doplněk H(A).
38 11. Skalární součin a ortogonalita p. 10/ Ortogonální množiny vektorů VĚTA 2 Necht A je libovolná matice. Pak N(A ) je ortogonální doplněk H(A). DŮKAZ: Necht x H(A) a y N(A ). Pak A y = o axlze vyjádřit ve tvarux = Az. Platí tedy x y = (Az) y = z A y = 0, takže množiny N(A ) ah(a) jsou ortogonální. Pro matici A typu (m,n) platí, že h(a) = h(a ) nebot sloupcová hodnost je rovna hodnosti řádkové. Pro každou matici A jeh(a )+d(a ) = m a tudíž h(a)+d(a ) = m. Odtud N(A ) je ortogonální doplněk H(A).
39 11. Skalární součin a ortogonalita p. 11/ Ortogonální množiny vektorů PŘÍKLAD 3 Necht e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1 xjsou dvě lineární funkce vektorového prostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností (p,q) = p(0)q(0)+p(1)q(1).
40 11. Skalární součin a ortogonalita p. 11/ Ortogonální množiny vektorů PŘÍKLAD 3 Necht e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1 xjsou dvě lineární funkce vektorového prostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností (p,q) = p(0)q(0)+p(1)q(1). Snadno se ověří, že předpis skutečně definuje skalární součin na P 2 a že E = (e 1,e 2 ) tvoří ortonormální bázi P 2, nebot
41 11. Skalární součin a ortogonalita p. 11/ Ortogonální množiny vektorů PŘÍKLAD 3 Necht e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1 xjsou dvě lineární funkce vektorového prostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností (p,q) = p(0)q(0)+p(1)q(1). Snadno se ověří, že předpis skutečně definuje skalární součin na P 2 a že E = (e 1,e 2 ) tvoří ortonormální bázi P 2, nebot (e 1,e 2 ) = 0(1 0)+1(1 1) = 0, (e 1,e 1 ) = 1, (e 2,e 2 ) = 1.
42 11. Skalární součin a ortogonalita p. 11/ Ortogonální množiny vektorů PŘÍKLAD 3 Necht e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1 xjsou dvě lineární funkce vektorového prostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností (p,q) = p(0)q(0)+p(1)q(1). Snadno se ověří, že předpis skutečně definuje skalární součin na P 2 a že E = (e 1,e 2 ) tvoří ortonormální bázi P 2, nebot (e 1,e 2 ) = 0(1 0)+1(1 1) = 0, (e 1,e 1 ) = 1, (e 2,e 2 ) = 1. Pak libovolnou lineární funkci e(x) = a+bx můžeme vyjádřit ve tvaru kde e = α 1 e 1 +α 2 e 2,
43 11. Skalární součin a ortogonalita p. 11/ Ortogonální množiny vektorů PŘÍKLAD 3 Necht e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1 xjsou dvě lineární funkce vektorového prostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností (p,q) = p(0)q(0)+p(1)q(1). Snadno se ověří, že předpis skutečně definuje skalární součin na P 2 a že E = (e 1,e 2 ) tvoří ortonormální bázi P 2, nebot (e 1,e 2 ) = 0(1 0)+1(1 1) = 0, (e 1,e 1 ) = 1, (e 2,e 2 ) = 1. Pak libovolnou lineární funkci e(x) = a+bx můžeme vyjádřit ve tvaru kde α 1 e = α 1 e 1 +α 2 e 2, = (e,e 1 ) = e(0) e 1 (0)+e(1) e 1 (1) = e(1) = a+b α 2 = (e,e 2 ) = e(0) e 2 (0)+e(1) e 2 (1) = e(0) = a.
44 11. Skalární součin a ortogonalita p. 11/ Ortogonální množiny vektorů PŘÍKLAD 3 Necht e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1 xjsou dvě lineární funkce vektorového prostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností (p,q) = p(0)q(0)+p(1)q(1). Snadno se ověří, že předpis skutečně definuje skalární součin na P 2 a že E = (e 1,e 2 ) tvoří ortonormální bázi P 2, nebot (e 1,e 2 ) = 0(1 0)+1(1 1) = 0, (e 1,e 1 ) = 1, (e 2,e 2 ) = 1. Pak libovolnou lineární funkci e(x) = a+bx můžeme vyjádřit ve tvaru kde α 1 e = α 1 e 1 +α 2 e 2, = (e,e 1 ) = e(0) e 1 (0)+e(1) e 1 (1) = e(1) = a+b α 2 = (e,e 2 ) = e(0) e 2 (0)+e(1) e 2 (1) = e(0) = a. Snadno si ověříme, že skutečně platí a+bx = (a+b)x+a(1 x).
45 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 12/16 proces Kde vzít ortogonální bázi? Z každé bázef = (f 1,...,f k ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázie = (e 1,...,e n ).
46 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 12/16 proces Kde vzít ortogonální bázi? Z každé bázef = (f 1,...,f k ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázie = (e 1,...,e n ). Na začátku si všimneme, žef 1 o, a položíme e 1 = f 1.
47 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 12/16 proces Kde vzít ortogonální bázi? Z každé bázef = (f 1,...,f k ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázie = (e 1,...,e n ). Na začátku si všimneme, žef 1 o, a položíme e 1 = f 1. Předpokládejme, že máme ortogonální vektory e 1,...,e k takové, že pro každéi {1,...,k} je vektor e i lineární kombinací vektorů f 1,...,f i. Najdeme koeficienty α 1,...,α k tak, aby
48 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 12/16 proces Kde vzít ortogonální bázi? Z každé bázef = (f 1,...,f k ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázie = (e 1,...,e n ). Na začátku si všimneme, žef 1 o, a položíme e 1 = f 1. Předpokládejme, že máme ortogonální vektory e 1,...,e k takové, že pro každéi {1,...,k} je vektor e i lineární kombinací vektorů f 1,...,f i. Najdeme koeficienty α 1,...,α k tak, aby e k+1 = f k+1 α 1 e 1... α k e k byl ortogonální k e 1,...,e k.
49 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 12/16 proces Kde vzít ortogonální bázi? Z každé bázef = (f 1,...,f k ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázie = (e 1,...,e n ). Na začátku si všimneme, žef 1 o, a položíme e 1 = f 1. Předpokládejme, že máme ortogonální vektory e 1,...,e k takové, že pro každéi {1,...,k} je vektor e i lineární kombinací vektorů f 1,...,f i. Najdeme koeficienty α 1,...,α k tak, aby e k+1 = f k+1 α 1 e 1... α k e k byl ortogonální k e 1,...,e k. Jelikož pro i {1,...,k} by mělo platit 0 = (e k+1,e i ) = (f k+1 α 1 e 1... α k e k,e i ) = (f k+1,e i ) α i e i 2,
50 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 12/16 proces Kde vzít ortogonální bázi? Z každé bázef = (f 1,...,f k ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázie = (e 1,...,e n ). Na začátku si všimneme, žef 1 o, a položíme e 1 = f 1. Předpokládejme, že máme ortogonální vektory e 1,...,e k takové, že pro každéi {1,...,k} je vektor e i lineární kombinací vektorů f 1,...,f i. Najdeme koeficienty α 1,...,α k tak, aby byl ortogonální k e 1,...,e k. e k+1 = f k+1 α 1 e 1... α k e k Jelikož pro i {1,...,k} by mělo platit 0 = (e k+1,e i ) = (f k+1 α 1 e 1... α k e k,e i ) = (f k+1,e i ) α i e i 2, stačí položit α i = (f k+1,e i )/ e i 2.
51 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 13/16 proces Právě popsaný algoritmus se nazývá Gramův Schmidtův ortogonalizační proces.
52 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 13/16 proces Právě popsaný algoritmus se nazývá Gramův Schmidtův ortogonalizační proces. Normalizací vektorů bázee = (e 1,...,e n ) dostaneme ortonormální bázig = (g 1,...,g n ) s vektory g 1 = e 1 e 1,..., g n = e n e n.
53 11. Skalární součin a ortogonalita p. 13/ Gramův Schmidtův ortogonalizační proces Právě popsaný algoritmus se nazývá Gramův Schmidtův ortogonalizační proces. Normalizací vektorů bázee = (e 1,...,e n ) dostaneme ortonormální bázig = (g 1,...,g n ) s vektory PŘÍKLAD 4 Necht g 1 = e 1 e 1,..., g n = e n e n. A = Najděte ortogonální bázir 3 vzhledem ke skalárnímu součinu (x,y) A = x Ay..
54 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 14/16 proces ŘEŠENÍ: Bázi sestavíme Gramovým Schmidtovým ortonormalizačním procesem ze standardní bázes = (s I 1,s I 2,s I 3).
55 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 14/16 proces ŘEŠENÍ: Bázi sestavíme Gramovým Schmidtovým ortonormalizačním procesem ze standardní bázes = (s I 1,s I 2,s I 3). e 1 = s I 1 =
56 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 14/16 proces ŘEŠENÍ: Bázi sestavíme Gramovým Schmidtovým ortonormalizačním procesem ze standardní bázes = (s I 1,s I 2,s I 3). e 1 = s I 1 = Položíme e 2 = s I 2 αe 1 a určíme α aby platilo 0 = (e 1,e 2 ) A = e 1As I 2 αe 1Ae 1 = 1 2α, odkud α = 1 2 a
57 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 14/16 proces ŘEŠENÍ: Bázi sestavíme Gramovým Schmidtovým ortonormalizačním procesem ze standardní bázes = (s I 1,s I 2,s I 3). e 1 = s I 1 = Položíme e 2 = s I 2 αe 1 a určíme α aby platilo 0 = (e 1,e 2 ) A = e 1As I 2 αe 1Ae 1 = 1 2α, odkud α = 1 a 2 e 2 = ( 1 2) =
58 11. Skalární součin a ortogonalita p. 15/ Gramův Schmidtův ortogonalizační proces ŘEŠENÍ (Pokračování): Položíme e 3 = s I 3 α 1 e 1 α 2 e 2 a určímeα 1,α 2 aby platilo
59 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 15/16 proces ŘEŠENÍ (Pokračování): Položíme e 3 = s I 3 α 1 e 1 α 2 e 2 a určímeα 1,α 2 aby platilo 0 = (e 1,e 3 ) A = e 1As I 3 α 1 e 1Ae 1 = 2α 1, 0 = (e 2,e 3 ) A = e 2As I 3 α 2 e 2Ae 2 = 1 3α 2 2.
60 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 15/16 proces ŘEŠENÍ (Pokračování): Položíme e 3 = s I 3 α 1 e 1 α 2 e 2 a určímeα 1,α 2 aby platilo 0 = (e 1,e 3 ) A = e 1As I 3 α 1 e 1Ae 1 = 2α 1, 0 = (e 2,e 3 ) A = e 2As I 3 α 2 e 2Ae 2 = 1 3α 2 2. Řešením této soustavy dostaneme α 1 = 0,α 2 = 2 a 3
61 11. Skalární součin a ortogonalita p. 15/ Gramův Schmidtův ortogonalizační proces ŘEŠENÍ (Pokračování): Položíme e 3 = s I 3 α 1 e 1 α 2 e 2 a určímeα 1,α 2 aby platilo 0 = (e 1,e 3 ) A = e 1As I 3 α 1 e 1Ae 1 = 2α 1, 0 = (e 2,e 3 ) A = e 2As I 3 α 2 e 2Ae 2 = 1 3α 2 2. Řešením této soustavy dostaneme α 1 = 0,α 2 = 2 a ( e 3 = ) =
62 11. Skalární součin a ortogonalita p. 16/ Ortogonální matice Čtvercová matice U, která splňuje U U = I, se nazývá ortogonální matice. Ortogonální matice má tedy ortonormální sloupce a splňuje U 1 = U.
63 11. Skalární součin a ortogonalita p. 16/ Ortogonální matice Čtvercová matice U, která splňuje U U = I, se nazývá ortogonální matice. Ortogonální matice má tedy ortonormální sloupce a splňuje U 1 = U. VĚTA 3 Necht U je čtvercová matice řádu n. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní: 1. U U = I. 2. Pro všechny sloupcové vektory x řádu n platí (Ux) (Ux) = x x. 3. Pro všechmy sloupcové vektory x, y řádu n platí (Ux) (Uy) = x y.
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18
6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost
9. Bilineární formy. 9. Bilineární formy p. 1/14
9. Bilineární formy 9. Bilineární formy p. 1/14 9. Bilineární formy p. 2/14 Bilineární formy 1. Definice a příklady 2. Klasifikace bilineárních forem 3. Matice bilineární formy 4. Změna báze 5. Kongruentní
Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
Matematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
AVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Symetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Úlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
7 Ortogonální a ortonormální vektory
7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
(u, v) u. v. cos φ =
LA 3. cvičení Ortogonalita, Gramm-Schmitův ortonormalizační proces Lukáš Pospíšil, Martin Hasal,2 Ortogonální systém vektorů Poznámka: Motivace - připomeňme si Kosinovu větu v obecném tvaru kde φ je úhel
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod
Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě
Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
stránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
2. prosince velikosti symboly a, b, je b ω a b = a b cosω (1) a. ω pro ω π/2, π platí a b = b a a (3) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (5)
Vektorové prostory se skalárním součinem 2. prosince 25 1 Skalární součin geometrických vektorů Skalární součin geometrických vektorů je definován jako součin jejich velikostí násobený kosinem jejich odchylky.
ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A
Verze 1.1A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 2x 1 +4x 3 +3x 4 = 4 x 1 +2x 2 +4x 3 3x 4 = 1 2x 1 +x 2 x 3 3x 4
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Lineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči