Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 2, rok 2013, ročník XIII, řada stavební článek č.

Transkript

1 Sborník vědeckých prací Vysoké škoy báňské - Technické univerziy Osrava číso, rok 03, ročník XIII, řada savební čánek č. 9 Mirosav VOŘECHOVSKÝ, Jana KADĚROVÁ VÝVOJ OREM KORELACE PŘI ÁHODÝCH ZÁMĚÁCH POŘADÍ ELEMETŮ DEVELOPMET OF ORMS OF CORRELATIO RESULTIG FROM RADOM SWAP- PIG OF ORDER OF ELEMETS Absrak Příspěvek se zabývá vasnosmi procesu vývoje saisické koreace dvou náhodných vekorů při náhodných záměnách pořadí jednoivých eemenů. V praxi se ao meoda používá pro zavedení požadované koreace nebo pro odsranění nechěné saisické závisosi mezi vekory vzorků (souřadnice) náhodných veičin. Kíčová sova Vzorkování meodou Mone Caro, zavádění koreace, uované žíhání, Gaussovský sacionární náhodný proces. Absrac The conribuion deas wih properies of a process of saisica correaion beween wo vecors sampes of random variabes. The process resus from random swaps of he muua order of eemens. This mehod is being appied when conroing correaions or removing undesired saisica dependence. Keywords Mone Caro Samping, correaion conro, uaed anneaing, Gaussian saionary random process. ÚVOD Vzorkování náhodných vekorů je důežié nejen pro saisiku, ae aké pro ceou řadu jiných oborů výzkumu a odborné praxe jako např. ekonomie, návrh experimenů nebo operační výzkum. Vzorkování je aké důežiým krokem v meodách ypu Mone Caro, keré ze použí pro inženýrskou praxi. Tam se časo pracuje se vzorky náhodných vekorů, keré reprezenují náhodné či neurčié proměnné ve sudovaném probému. Informace o sdružené husoě pravděpodobnosi náhodných vekorů, keré se vyskyují v inženýrsví, je časo zúžena na znaos (i) margináních huso jednoivých veičin a (ii) koreační maice T. Reprezenace margináních huso se s výhodou provádí pomocí vzorků vybraných meodou Lain Hypercube Samping (LHS) [], neboť ao meoda ve varianě medián zajišťuje rovnoměrné pokryí oboru veičiny vzhedem k pravděpodobnosem. Daším důežiým aspekem vzorkování vekorů je schopnos vysihnou požadovanou koreační srukuru. ejobecněji se požaduje jednoková maice T, kerá odpovídá po párech nekoreovaným náhodným veičinám. Taková koreační maice je nejčasější a vyřešení doc. Ing. Mirosav Vořechovský, Ph.D., Úsav savební mechaniky, Fakua savební, Vysoké učení echnické v Brně, Veveří 95, Brno, e.: (+40) , e-mai: vorechovsky.m@fce.vubr.cz. Ing. Jana Kaděrová, Úsav savební mechaniky, Fakua savební, Vysoké učení echnické v Brně, Veveří 95, Brno, e.: (+40) , e-mai: kaderova.j@fce.vubr.cz. 7

2 probému odsranění nechěné koreace bývá navíc důežiým krokem před zavedením ibovoné koreační maice (např. v meodách ineární ransformace náhodného vekoru). Probém zavádění požadované koreace by úsředním émaem např. prací [,3]. V čáncích [4,5] je navrženo zavádění požadované koreace záměnami vzájemného pořadí vzorků jednoivých náhodných veičin. Déky obou vekorů (počy eemenů) jsou shodné a budou nadáe označovány jako poče uací. Proces záměn pořadí je doporučeno provádě za pomocí meody uovaného žíhání (SA), kerá se ukázaa jako mimořádně robusní a výkonná pro uvedený probém. Sudie pubikované v [6] ukazují, že popsaná meoda je mnohem výkonnější, než jiné obecně známé meody pro zavádění koreace nebo odsraňovaní nechěné koreace. Co však schází, je eoreický rozbor a zdůvodnění účinnosi meody. Tao práce si kade za cí pooži zákady pro zdůvodnění výkonnosi meody uovaného žíhání. V exu je pro jednoduchos sudován probém pro pár náhodných veičin a manův koreační koeficien s ím, že zobecnění výsedků pro věší poče náhodných veičin a jiné míry saisické koreace není sožiý. Probém zavádění saisické závisosi (zde omezeno pouze na koreaci) mezi vekory vzorků náhodných veičin ze chápa jako opimaizační úohu [4]. Cíem je naéz opimání nebo subopimání vzájemné pořadí vzorků pro každou z var veičin ak, aby odhadnuá koreační maice bya co nejbíže požadované koreační maici (nejčasěji jednokové maici). Rozdí ěcho maic ze vyjádři vhodnou maicovou normou (skaár). V pracích [4,5,6] je pracováno se dvěma normami označenými jako a rms. Obě normy se sobě rovnají v případě, že poče náhodných veičin (vekorů) je roven dvěma: var. V omo případě je norma chyby koreační maice rovna absouní hodnoě mimodiagonáního čenu, edy:, () rms kde je odhadnuý koreační koeficien mezi dvěma vekory da. Proces zavádění požadované koreace ve dříve zmíněné meodě uovaného žíhání probíhá ak, že pořadí hodno vekoru první náhodné veičiny je neknuý a u osaních vekorů jsou posupně prováděny záměny pořadí s cíem dosáhnou minimaizace a rms. Změny jsou reaizovány ak, že je náhodně vybrán index veičiny k provedení změny, a poé jsou vybrány dva různé vzorky éo veičiny s indexy jk,,,,. Tyo dvě hodnoy si pořadí vymění, čímž je obecně ovivněno var koreačních koeficienů odhadnué koreační maice. Uvedené záměny jsou přijímány podmínečně, v závisosi na hodnoě náhodné veičiny vybrané z Bozmanova pravděpodobnosního rozděení [4]. V omo příspěvku budeme uvažova případ, kdy jsou všechny záměny () přijay a cekový poče akových prohození párů hodno bude označen. To odpovídá počáečním sádiím v meodě uovaného žíhání, kdy má sysém vekou epou (exciaci) a prakicky všechny navržené změny konfigurace/pořadí se zreaizují. V předožené práci jsou sudovány vasnosi procesu náhodné koreace a normy koreace (chyby), keré vznikají záměnami párů vzorků jedné náhodné veičiny vůči vzorkům druhé náhodné veičiny. Je ukázáno, že počáeční náhodné párovaní vzorků vede na normání rozděení koreačního koeficienu (Kap. ), a proces záměn párů je Gaussovský, sacionární s exponenciání auokoreační funkcí o koreační déce vzažené k poču reaizací (vzorků) veičin (Kap. 4). Je odvozeno rozděení hodno změny koreace vyvoané jednoivými záměnami (rozdí koreačního koeficienu po a před záměnou pořadí) Kap. 3. Dáe jsou sudovány vasnosi absouních hodno výše popsaného procesu, kerý má poonormání (Haf-orma) rozděení (Kap. 4). U ohoo procesu chyby koreace je sudováno rozděení minima po záměnách pořadí (Kap. 5). Je ukázáno, že pro dosaečný poče náhodných záměn ze auokoreaci procesu zanedba a minima uvažova za použií eorie exrémních hodno nezávisých a sejně rozděených veičin. a závěr je 8

3 sudován poče náhodných záměn pořadí, kerý je nuný k dokonaému vynuování odhadnué koreace mezi veičinami (Kap. 6). Příspěvek edy pně charakerizuje výsedky, kerých ze při zavádění/odsraňování koreace dosáhnou proudem náhodných záměn pořadí vzorků. ÁHODÁ KORELACE Uvažujme dva vekory o déce. Pro obecnos uvažujme manovu neparamerickou koreaci. Její bodový odhad se provádí obdobně jako odhad Pearsonova koreačního koeficienu s ím, že namíso hodno vekorů se používají ransformovaná pořadová čísa r (pořadí pode hodno vekorů), deaině viz (8) v práci [5]: rr j k () r r 9 j k V práci [5] byo ukázáno, že při náhodném vzájemném pořadí eemenů vekoru je odhadnuá koreace náhodná veičina s asympoicky normáním rozděením s nuovou sřední hodnoou a směrodanou odchykou závisou na poču eemenů vekoru: (3) Poče možných hodno, kerých koreační koeficien může nabý, je 6, a yo voří rovnoměrný grid na inervau,. V absouní hodnoě nejmenší chyba koreace je pak dána: min , 0,, V daší práci budeme voi ak, aby byo možné číseně dosáhnou nuové hodnoy. Minimání vzdáenosi mezi dosažienými hodnoami jsou: jinak (5) 3 Znaos normáního rozděení hodno ze využí při sanovení rozděení chyby koreace. Vzhedem k definici chyby je rozděení poonormání, edy husoa a disribuční funkce chyby jsou: x x x f x, F x erf, kde, jsou husoa a disribuční funkce sandardizovaného normáního rozděení a kde x x erf je zv. chybová funkce (error funcion) známá ze saisiky a poču pravděpodobnosi. Inverzní disribuční funkce je dána: p F p erf p (7) Sřední hodnoa a směrodaná odchyka chyby náhodné koreace jsou edy [5]: (4) (6)

4 , (8) Obr. a znázorňují pnými čarami rozděení pravděpodobnosi počáeční hodnoy koreačního koeficienu při náhodném řídění pro dvě různé hodnoy (8 a 04) jde o Gaussovo rozděení se sřední hodnoou nua a směrodanou odchykou danou v (3). Rozděení pravděpodobnosi pro normu chyby koreační maice danou v () je znázorněno čerchovaně jde o poonormání rozděení s paramery definovanými v (8). Obr. a prezenují rovněž husou veičiny, edy změny hodnoy koreace, kerá je sudována v násedující kapioe. Obr. Rozděení pravděpodobnosi,, pro 8 ini Obr. Rozděení pravděpodobnosi,, pro 04 ini 3 ÁHODÁ ZÁMĚA POŘADÍ Sudované agorimy pro zavádění požadované koreace mezi dvěma vekory pracují se záměnami pořadí jednoho vekoru vůči druhému vekoru, ve kerém pořadí eemenů zůsává neknué. Pro rychý výpoče koreace před a po záměně je výhodné sandardizova oba vekory, keré vsupují do vzahu () a násedně yo hodnoy normova čísem. Pak ze oiž bodový odhad koreace psá jako skaární součin, jehož výpoče je mimořádně rychý: x j y j (9) j áhodnou záměnou pořadí dvou hodno vekoru x, jmenoviě x j a x k, vůči vekoru y, vznikne pořeba upravi vzah (9) násedovně: new ini ini xy xy xy xy (0) j j k k j k k j ás zajímá pravděpodobnosní rozděení veičiny Přeznačme nyní x j, x k a y, j, edy změny hodnoy koreace. y k na náhodné veičiny X až X 4. Pak ze říci, že ransformací čyř náhodných veičin X až X 4. Uvažujme nyní siuaci, kdy vzniká je veké a počáeční koreace je přibižně nuová. Pak ze předpokáda, že X až X 4 jsou čyři nezávisé a shodně rozděené náhodné veičiny s rovnoměrným rozděením na inervau bb,, kde 0

5 b 3 Změnu koreace při náhodné vobě dvou hodno vekoru k prohození pořadí ze pak přepsa jako součin dvou veičin Y a Y : X X X X X X X X X X 4 X X 3 YY () Y Y Veičiny Y a Y ze považova za nezávisé náhodné veičiny, keré vznikají rozdíem dvou shodně rovnoměrně rozděených nezávisých veičin. Y a Y mají edy shodné symerické rojúheníkové rozděení na inervau, b b se sřední hodnoou nua a směrodanou odchykou: Y 6 b 3 yní je řeba vyřeši rozděení součinu dvou nezávisých veičin Y a Y. V našem případě anayzujeme rozděení součinu dvou nezávisých veičin s rojúheníkovým rozděením. Řešením je husoa definovaná na inervau mm,, kde m 4b : m f m mn, m m, 0 (4) m Rozděení pravděpodobnosi změny koreačního koeficienu pro dvě různá (8 a 04) je znázorněno na obr. a ečkovaně. Sřední hodnoa změny koreace je nuová: Směrodaná odchyka m f () (3) ( )d 0 (5) m má hodnou: b 3 Je řeba si uvědomi, že odvozené rozděení náhodné změny koreace oproi výchozímu savu paí pouze pro případ, kdy je výchozí koreace (přibižně) nuová: 0. Je zřejmé, že po- ini ini kud mají napříkad oba vekory souhasné pořadí hodno, je počáeční koreace a jakákoiv záměna vede na snížení éo koreace (rozděení je nenuové pouze na záporné pooose a je značně ini nesymerické). My se však spokojíme s rozděením pro 0, neboť nás zajímají výsedky pro veká s náhodným říděním, kde je koreace přibižně nuová (viz výše). 4 PROCES ZÁMĚ POŘADÍ yní, když je deaině popsaná siuace počáeční náhodné koreace, a je jasné, jakou (náhodnou) změnu způsobí záměna pořadí, zajímá nás, zda proudem akových záměn ze dosáhnou cíe, edy minimaizova normu. Uvažujme proces, při kerém se provádí náhodných záměn indexovaných pomocí i, a sedujme proces koreace a rovněž proces doposud nejepší (minimání) hodnoy normy. Tuo sedovanou hodnou nazveme bes : (6)

6 min min, kde bes, i i i i i i,, ria i,, ria Je zřejmé, že na proces ze nahíže jako na náhodnou procházku s veikosí kroku i, kerá je náhodná (rozděení náhodné déky kroku procházky je odvozeno výše v Kap. 3). Pravděpodobnos přijeí ohoo kroku budeme uvažova jako jedna, neboť anayzujeme sav, kdy v meodě uovaného žíhání je na počáku vemi vysoká epoa v Bozmanově pravděpodobnosi přijeí změny a všechny změny pořadí jsou přijímány. (7) Obr. 3 a) áhodná procházka, proces ρ a ρ pro různá b) Auokoreační funkce pro různá. ; Vzhedem k charakeru probému s diskréními hodnoami koreace rovnoměrně rozděenými na inervau, ze probém anayzova aké pomocí Markovských řeězců. V prakických případech je ae vysoké a poče možných savů řeězce je značný. Uchýíme se edy k anaýze náhodného procesu koreací a budeme ho anayzova s přechodem na spojiou náhodnou veičinu. Obr. 3a ukazuje pnou čarou dvě reaizace náhodné procházky (procesu ) pro 00 záměn z počáečního náhodného savu. Porovnání je provedeno pro 8 a 04, a je zřejmé, že zaímco náhodná koreace má směrodanou odchyku úměrnou, náhodná záměna má směrodanou odchyku úměrnou. Pro veké má edy proces reaivně menší krok změn oproi siuaci s maým. Obrázky s reaizacemi připomínají reaizace auokoreovaných náhodných procesů. Vskuku, zjisii jsme, že proces koreace je sacionární Gaussovský náhodný proces se sřední hodnou nua a směrodanou odchykou s exponenciání auokoreační funkcí (obr. 3b): c exp i j, (8) kde čiae značí rozdí v pořadích záměn () a je auokoreační déka. Ověřii jsme, že pro auokoreační déku paí (9) áhodné procesy jsou vidě pro dvě různá (8 a 04) na obr. 3a; hodnoy auokoreačních déek se v ěcho případech rovnají 8 3 a a omo mísě ze znovu zdůrazni, že pokud se náhodná procházka významně odchýí od počáeční hodnoy koreace (přibižně nua), pak se změní i rozděení náhodné změny a proces má endenci nedivergova dáe směrem k vekým absouním hodnoám koreace, ae navrací se zpě směrem k nuové

7 koreaci. Dáe ze zmíni, že sacionaria procesu má vekou souvisos s ím, že počáeční náhodný sav koreace ze dosáhnou např. značným množsvím záměn z ibovoného pořadí, edy i z pořadí, keré vykazuje značnou saisickou závisos mezi vekory. Pokud je edy provedeno přibižně náhodných záměn, ze konečný sav jisě považova za náhodný. 5 PROCES DOSAVADÍHO MIIMA CHYBY KORELACE V předchozí kapioe by proces náhodné koreace při proudu záměn pořadí pně charakerizován. Zajímá nás nyní, jaké vasnosi má proces absouních hodno koreace (Obr. 3a, ečkovaně) a zejména proces dočasných minim jako funkce poču záměn. bes bes pro různá (dvojiě ogarimické měříko); b) Husoa pravděpo- Obr. 4 a) Proces dobnosi pro = 04 po = záměnách. Obr. 4a ukazuje náhodně vybrané reaizace procesů bes pomocí ogarimických souřadnic. Proces dosavadních minim bes je nerosoucí schodoviá funkce, kerá je definována jako minimum ze značného poču náhodných veičin vybraných ze shodného poonormáního rozděení. Pokud zanedbáme auokoreaci procesu z Kap. 4, mohi bychom náhodnou veičinu bes anayzova pomocí eorie exrémních hodno (EVT) nezávisých veičin. Lze oiž očekáva, že pokud je poče záměn, ze viv auokoreace pominou. Obr. 4a vizuaizuje sřední hodnou 4 procesu bes označenou jako bes, kerá je odhadnua z run 0 reaizací procesu bes. Teno numerický odhad je ve sejných obrázcích porovnán s predikci sřední hodnoy získané pomoci eorie EVT (modrá čárkovaná přímka). Too porovnání je zvoeno za pomoci dvojiě ogarimického grafu, kde se mocninné zákony zobrazují jako přímky. Je vidě, že skuečné (odhadnué) sřední hodnoy bes mají pro prvních někoik záměn vodorovnou evou asympou. Pokud poče záměn dosáhne cca, dojde k prudkému pokesu sřední hodnoy chyby bes a pro je vývoj sřední hodnoy dobře aproximovaený sřední hodnoou minima nezávisých náhodných veičin. Provedeme nyní odvození rozděení náhodné chyby koreace bes, kerá je minimem normy po záměnách pořadí dvojic hodno vekoru. Jednoivé savy bes v průběhu procesu jsou náhodné veičiny s poonormání husoou a disribuční funkcí f x, F x. Je známo, že při předpokadu o nezávisosi ze pro disribuční funkci a husou minima bes psá: ria ria bes bes ria F x F x f x f x F x (0) Lze ukáza, že exisuje iminí forma rozděení veičiny bes, edy minima z poonormáních náhodných veičin. Too eemenární rozděení spadá do obasi přiaživosi 3

8 Weibuova rozděení a asympoické rozděení bes pro je Weibuovo (exponenciání) rozděení: x x Fbes xexp fbes x exp () bes bes bes Jedná se edy o sejné asympoické rozděení minim, jako pro rovnoměrné eemenární rozděení. Je o proo, že husoa poonormáního rozděení pro x 0 je rovnoměrná. Sřední hodnoa a směrodaná odchyka ohoo rozděení jsou shodné a jsou aké dány chováním evého chvosu eemenárního rozděení f x, F x pro rosoucí, meodika viz [7]: F erf bes McLaurinův rozvoj funkce erf / 3 / 4 ukazuje, že pro veké počy záměn je dosaečně dobrou aproximací použií pouze prvního (ineárního) čenu. Pak je vidě, že poče uací a poče záměn mají, asympoicky, na hedané minimum chyby bes nezávisý viv: bes bes 4 Průběh éo sřední hodnoy je vyobrazen v obr. 4a zeenou čerchovanou přímkou. fbes bes pomocí empirického hisogramu získaného uačním programem a asympoickou formou rozděení odvozenou v rovnici (). Obr. 4b demonsruje dobrou shodu mezi odhadnuým rozděením 6 ÁHODÝ POČET ZÁMĚ UTÝCH K DOSAŽEÍ POŽADOVAÉ KORELACE Posední oázkou, kerou si ze kás, je, zda ze predikova nuný poče záměn vedoucích k zadané hodnoě koreačního koeficienu, případně k minimání chybě koreace uvedené v rovnici (4). Probém by sudován za pomocí počíačového programu a byy zpracovány hisogramy náhodného poču nuných záměn pro různá a různé hodnoy parameru úrovně cíové koreace c, kerý vyjadřuje poměr mezi hodnoou cíové koreace a minimání vzdáenosí mezi dosažienými hodnoami koreace (5). uové cíové koreaci edy odpovídá c 0. Závisos poču záměn k dosažení požadované koreace, na dané hodnoě požadované koreace (resp. úrovni koreace c) a na poču uací můžeme zkouma na násedujících grafech v obr. 5. Ukázao se, že graf v obr. 5a se jeví jako přímka, pokud je na vodorovnou osu vynesena hodnoa (c + /). To navíc umožňuje zobrazi i hodnoy pro c = 0 (edy = 0) při použií ogarimického měříka. Hodnoy na svisé ose jsou zprůměrované saisiky pro pořebná :. Hisogramy náhodného poču ukazují, že se jedná o veičiny s exponenciáním rozděením, u kerých je shodná sřední hodnoa a směrodaná odchyka. Pro naezení vhodného vzahu vysihujícího závisos poču záměn na a c () (3)

9 bya použia pouze daa znázorněna pnými značkami (pro vysoké hodnoy a nízká c), u kerých je minimání odchyka hisogramu od aproximace exponenciáním rozděením. Obr. 5 Vývoj v závisosi na c a : a) závisos na c pro různá ; b) závisos na pro různá c. V obr. 5b je znázorněna závisos na pro různé hodnoy c. Opě byy hodnoy vynášené na vodorovnou osu upraveny ak, aby se graf jevi jako přímka vynášeny jsou hodnoy. Pro naezení vzahu závisosi na a c byy opě použiy pouze hodnoy s pnými značkami, kde ze upani předpokady o asympoickém chování. Z grafů je parné, že se jedná o viv dvou nezávisých proměnných, a o úrovně c a poču vzorků/uací. avrhujeme edy aproximaci ve varu c k f f c (4) *, c kde dvě funkce určíme zvášť a součinie k pomocí regrese. Z grafu 5a je parný var funkce fc c a z grafu 5b nahédneme snadno na var funkce f. Obě funkce jsou mocninné a hedané mocniny jsou vyznačeny jako skony přímek na obr. 5, akže píšeme: 5 fcc, f (5) c 0.5 Dosazením obou navržených funkcí a sanovením konsany k /9.6 pomocí ineární regrese obdržíme aproximaci ve varu * 5 5 (6) 9.6 c Je edy např. vidě, že průměrný poče náhodných záměn, kerý povede k dosažení nuové * koreace je roven 5,0 0.. Mocninu 5/ u vivu ze aké odvodi přímo uvážením faku, že pro 0 se ve sřední hodnoě dosahuje sřední hodnoy normy počáeční koreace (8) 3 bes 5 0: bes c (7) avržená aproximace (6) nepopisuje vhodně počáeční fázi sudovaného náhodného procesu, jeikož rozděení hodno normy koreace v počáku je poonormání, zaímco aproximace 5

10 (6) odpovídá již rozděení exponenciánímu, kerého se dosahuje při vyšších hodnoách. V hodnoě mocniny u se však obě funkce (6, 7) shodují. 7 ZÁVĚR Havními výsedky předožené sudie jsou asympoické vasnosi cíových proměnných v probému zavádění požadované saisické závisosi mezi vekory hodno reprezenujících náhodné veičiny. Výsedky jsou odvozeny pro manův koreační koeficien pořadové koreace a ze předpokáda, že podobné závisosi budou pai pro Pearsonův koreační koeficien v případě, že rozděení vzorkovaných náhodných budou bízké normánímu rozděení. Sudované vasnosi, pro keré jsou odvozeny pořebné charakerisiky, jsou: (i) rozděení náhodného koreačního koeficienu při náhodném pořadí hodno vekorů, (ii) rozděení změny koreace spojené s prohozením dvojice reaizací v jednom z vekorů, (iii) vasnosi procesu (náhodné procházky), kerý vzniká posoupnosí záměn pořadí, (iv) charakerisiky procesu absouní hodnoy náhodné koreace, (v) rozděení minima absouní koreace (normy chyby koreace) jako funkce poču záměn, (vi) asympoické rozděení poču náhodných záměn, keré vedou ke spnění požadavku předem určené koreace mezi vekory. PODĚKOVÁÍ Příspěvek by reaizován za finanční podpory Granové agenury ČR (prosřednicvím projeku č. P05//385) a Minisersva škosví, mádeže a ěovýchovy (prosřednicvím projeku Specifického vysokoškoského výzkumu pod čísem FAST-J-3-9). LITERATURA [] COOVER, W.J. On a Beer Mehod for Seecing Inpu Variabes, původně nepubikovaná zpráva z roku 975 v Los Aamos aiona Laboraories, reprodukovaná jako Appendix A zprávy Lain Hypercube Samping and he Propagaion of Uncerainy in Anayses of Compex Sysems auor;j.c. Heon and F.J. Davis, Sandia aiona Laboraories repor SAD00-047, isopad 00. [] OWE, A.B.. Conroing Correaions in Lain Hypercube Sampes. Journa of he American Saisica Associaion (Theory and mehods), 89(48):57 5, 994, ISS [3] HUTIGTO, D.E. a C.S. LYRITZIS. Improvemens o and imiaions of Lain Hypercube Samping. Probabiisic Engineering Mechanics, 3(4):45 53, 998, ISS: [4] VOŘECHOVSKÝ, M. a D. OVÁK. Correaion conro in sma-sampe Mone Caro ype uaions I: A uaed anneaing approach. Probabiisic Engineering Mechanics. 009, vo. 4, issue 3, s , ISS [5] VOŘECHOVSKÝ, M. Correaion conro in sma sampe Mone Caro ype uaions II: Anaysis of esimaion formuas, random correaion and perfec uncorreaedness. Probabiisic Engineering Mechanics. 0, vo. 9, s. 05-0, ISS [6] VOŘECHOVSKÝ, M. Correaion in probabiisic uaion. In: FABER, M. H. Sborník příspěvků konference ICASP 0 Zürich, 0, s , ISB [7] CASTILLO, E. Exreme vaue heory in engineering. Boson: Academic Press, c988, xv, 389 p. ISB Oponenní posudek vypracova: Doc. Ing. Maěj Lepš, Ph.D., Kaedra mechaniky, Fakua savební, ČVUT v Praze. Doc. Ing. David Puska, Ph.D., Kaedra konsrukcí, Fakua savební, VŠB-TU Osrava. 6