1 Elektromagnetická vlna

Transkript

1 1 lekromagneická vlna 1.1 lekromagneické vlny V nesacionárním případě, ve kerém veličiny elekromagneického pole mění v ávislosi na čase svoji velikos a případně i směr, eisuje vždy současně elekrická a magneická složka jednoného elekromagneického pole. Tyo složky jsou od sebe navájem neoddělielné. Jejich vájemný vah je vyjádřen dvojicí Mavellových rovnic, keré jsou svým formálním obsahem podobné. První rovnice je obecněný Ampérův ákon celkového proudu v diferenciálním varu (1.1. Na levé sraně vysupuje roace vekorové funkce pro ineniu magneického pole H. Ve vahu pro roaci jsou obsaženy druhé parciální derivace složek éo funkce podle prosorových souřadnic. Operáor roace se edy přímo nevahuje k časovým měnám dané vekorové veličiny, ale je ávislý na prosorovém roložení éo veličiny v určiém časovém okamžiku. Na pravé sraně jsou veličiny elekrického pole: Proudová husoa proudu volných čásic (kondukčního proudu a husoa akvaného posuvného proudu, kerá je dána časovou měnou elekrické indukce D. Teno ákon vyjadřuje důležiou skuečnos, že časové a prosorové měny magneické složky elekromagneického pole jsou váány s časovými měnami elekrické složky pole. D ro H J (1.1 Druhou symericky podobnou rovnici předsavuje Faradayův indukční ákon v diferenciálním varu, kerý má na levé sraně roaci vekorové funkce pro ineniu elekrického pole a na pravé sraně časovou měnu veličiny magneického pole magneickou indukci B. Tao rovnice vyjadřuje skuečnos, že časové a prosorové měny elekrické složky elekromagneického pole jsou váány s časovými měnami magneické složky pole: B ro (1. Z maemaického hlediska voří uvedené rovnice sousavu dvou parciálních diferenciálních rovnic, ve kerých se vyskyuje pě nenámých veličin. Tři veličiny popisující roložení elekrického pole: Inenia elekrického pole, elekrická indukce D a proudová husoa J. Dvě veličiny popisují roložení magneického pole: Inenia magneického pole H a magneická indukce B. Veličiny elekrického a magneického pole však nejsou navájem neávislé. V lineárním ioropním prosředí jsou váány jednoduchými maeriálovými rovnicemi: 1

2 D r B H r J (1.3 Ponámka: V předešlých rovnicích je pořebné si uvědomi, že symboly J,D,,B,H předsavují obecné vekorové funkce, keré popisují be bližší specifikace souřadné sousavy příslušnou veličinu v prosoru a čase. Pokud by se například jednalo o karéskou souřadnou sousavu, budou proměnné paramery vekorové funkce (,y,,, y, a každému časovému v případě ineniy elekrického pole udáva, že každému bodu okamžiku přísluší jedna hodnoa vekoru ineniy elekrického pole (, y,,. Pokud vekorovou veličinu rodělíme na složky ve směru souřadných os, je možné vekorovou funkci apsa v podobě souču skalárních funkcí. Každá skalární funkce popisuje velikos příslušné složky vekoru v prosoru a čase. (, y,, (,y,, y (, y,, (, y,, y Maemaický operáor roace aplikovaný na vekorovou funkci opě dává vekorovou funkci. Obsahuje poue parciální derivace podle souřadnic v prosoru a ne časové derivace. Pro ineniu elekrického pole v karéské sousavě o bude například: ro (,y,, (, y,, y (, y,, y (, y,, (,y,, y y (,y,, (, y,, y (1.4 Pokud si v rovnicích (1.1, (1. volíme jednu veličinu popisující magneické pole (například ineniu magneického H a jednu veličinu popisující elekrické pole (například ineniu elekrického pole, le rovnice (1.1, (1. s použiím rovnic (1.3 skuečně přepsa do podoby sousavy dvou rovnic o dvou nenámých: H ro ro H (1.5

3 Jedná se však o komplikovanou sousavu parciálních diferenciálních rovnic. V každé nich je na levé sraně aplikován operáor roace na vekorovou funkci, na druhé sraně je derivace vekorové funkce podle času. Roace obsahuje parciální derivace vekorové funkce podle souřadnic v prosoru (vi (1.4. Při řešení éo sousavy a hledání rovnice pro jednu veličinu je nuné druhou veličinu e sousavy eliminova. To se podaří ím, když na první rovnici aplikujeme ješě jednou operáor roace: ro ro ro H (1.6 Za člen ro H je možné dosadi druhé rovnice. Po provedení nanačené derivace bude plai: ro ro (1.7 Dosali jsme ak parciální diferenciální rovnici pro ineniu elekrického pole. Dvakrá aplikovaný operáor roace je možné apsa pomocí dalších maemaických operáorů: ro ro grad div (1.8 Gradien a divergence jsou operáory popsané v eu na jiných mísech. Operáor se v karéské sousavě někdy onačuje jako Laplaceův operáor a má uo podobu: y y y y y y y (1.9 Obecnou rovnici pro ineniu elekrického pole nesacionárního elekromagneického problému le přepsa do podoby: grad div (1.1 Následným koumáním se ukáže, že ao rovnice popisuje elekromagneickou vlnu, naývá se vlnová. Člen grad div předsavuje droj elekromagneického vlnění, obsahuje husou elekrického náboje měnící se v prosoru a čase (vi Gaussova věa elekrosaiky : div. Pokud budeme kouma elekromagneický problém mimo oblas drojů, le eno člen vypusi a vlnová rovnice nabude varu: (1.11 3

4 Tao obecná parciální diferenciální rovnice obsahuje parciální derivace hledané vekorové funkce podle prosorových souřadnic i podle času a není v éo podobě jednonačně řešielná, má nekonečně mnoho růných řešení Harmonická elekromagneická vlna Pokud se omeíme na veličiny elekromagneického pole, jejichž ávislos na čase je popsána harmonickými funkcemi ( sin(,cos( a pokud budeme uvažova usálené savy, je možné míso okamžiých hodno veličin avés v fáory, což jsou obray harmonicky časově proměnných veličin v komplení rovině. Fáory, jako komplení hodnoy, v sobě obsahují ampliudu a fáový posun. Tímo posupem se rovnic odsraní ávislos na čase. Ve vekorových funkcích již nebudou vysupova vekory okamžiých hodno veličin, ale jejich fáory (inerpreace veličin v komplení rovině naývají se fáory vekorů. Složkami fáoru vekorů budou fáory složek v daném mísě. (, y, (, y, y (, y, (, y, y První časové derivace jsou nahraeny násobkem j, kde je úhlový kmioče daného harmonického průběhu, druhé časové derivace násobkem j. Operáory roace i operáor ůsanou formálně sejné, časové derivace se de nevyskyují. Rovnice (1.5 přejdou do varu: (případně ro H j j ro jh (1.1 Vlnová rovnice (1.11 přejde do varu: j (1.13 Po úpravě j (j (1.14 Pokud dále použijeme onačení: k j ( j (1.15 a nově avedenou komplení konsanu k naveme konsana šíření : 4

5 k j ( j j (1.16 přejde s použiím éo konsany rovnice (1.14 do podoby, kerou je možno onači jako vlnovou rovnici pro harmonický usálený sav be příomnosi drojů: k (1.17 Poději bude ukááno, že reálná čás ako apsané konsany šíření souvisí s fáovým posuvem veličin, naývá se proo fáová konsana a imaginární čás souvisí s úlumem ampliud veličin, naývá se měrný úlum Rovinná harmonická elekromagneická vlna Rovnice (1.17 je sále parciální diferenciální rovnice s nekonečným počem řešení, poče proměnných veličin hledané funkce se však o jednu snížil (čas, omeil se poue na prosorové souřadnice. Za určiých jednodušujících předpokladů le íska jedno možných řešení éo rovnice, keré popisuje důležiý problém naývaný: Rovinná harmonická elekromagneická vlna. Až e samoných ávěrů a inerpreace výsledků ohoo řešení bude parné, že se skuečně jedná o jev, kerý má vlnovou povahu. Pojem rovinná harmonická elekromagneická vlna vyplyne e ákladního předpokladu, že nebudeme kouma obecné elekromagneické pole, ale pole, keré má elekrickou nebo magneickou složku orienovanou poue v jednom směru. Například ineniu elekrického pole orienovanou v kladném směru osy. Velikos éo složky se navíc nebude měni v prosoru obecně, v našem případě bude funkcí poue souřadnice. (, y, (, y, y y (, y, (, y, (1.18 Velikos elekromagneického pole bude konsanní v rovinách kons a dalšího eu vyplyne, že se bude jedna o pomyslné vlnoplochy elekromagneické vlny, keré se budou šíři ve směru osy (vi Obr.1. 5

6 Obr.1 Vlnoplochy elekromagneického pole Z Laplaceova operáoru na levé sraně vlnové rovnice, ůsane poue jeden nenulový člen: Δ y y y y y y y (1.19 Vlnová diferenciální rovnice pro fáor -ové složky ineniy magneického pole přejde do varu: d ( + k ( = d (1. Jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu s konsanními koeficieny a nulovou pravou sranou. Její řešení, keré le snadno nalé, má jednoduchý var: jk jk ( = C e + C e (1.1 Výsledkem je edy rovnice pro fáor ineniy elekrického pole (, C 1,C jsou obecné komplení konsany, jejichž velikos se určí okrajových podmínek. Pravý člen rovnice předsavuje vlnu šířící se v kladném směru osy, levý člen vlnu šířící se v áporném směru osy. Na ákladě uvedených ponaků však vůbec ješě není parné, že se jedná o elekromagneickou vlnu, naož v jakém směru by se měla šíři. O om, že o ak skuečně je, bude možné se přesvědči poději. Pro jednoduchos le předpokláda, že eisuje poue vlna šířící se v kladném směru osy, keré nesojí nic v cesě a nevnikne vlna odražená: 6

7 ( = C e -jk (1. Komplení konsana C má výnam fáoru ineniy elekrického pole v bodě, a udává velikos ampliudy ineniy elekrického pole a její fáe v omo bodě: m j ( = = C = = e (1.3 m Pro fáor ineniy elekrického pole plaí po dosaení všech paramerů konečný vah: ( e e e k jk j j( j m (1.4 Po pěné ransformaci fáorové do časové roviny bude plai pro okamžiou hodnou ineniy elekrického pole v libovolném mísě a čase finální vah: j j( j j( j j (, Im (e Im m e e e m e Im e m m e Im cos( j sin( e sin( (1.5 Výnam jednolivých členů vlnové rovnice bude dobře parný, když si obraíme funkci pro okamžiou hodnou ineniy elekrického pole ve dvou rovinách procháejících růnými body na ose. Takové časové průběhy by viděli poorovaelé, keří by se nacháeli kdekoliv na ěcho rovinách v elekromagneickém poli posupující vlny, pokud by měli možnos sníma ineniu elekrického pole. Zobraíme-li uo funkci nejprve v počáku pro = vi obráek Obr., jedná se o obyčejný harmonický průběh veličiny s ampliudou m. (, m sin( (1.6 Úhel předsavuje referenční fáový posuv, určuje okamžiou hodnou ineniy elekrického pole v bodě = a čase =: ( m, sin( (1.7 Posoupíme-li dále po ose do bodu =1, bude mí časový průběh popisující ineniu elekrického pole var: 1 ( 1, m e sin( 1 (1.8 Srovnáme-li oba časové průběhy, jisíme, že se inenia elekrického pole při posupu bodu = do bodu =1 ulumila, menšila svojí ampliudu e 1. Je edy vidě, že konsana v eponenciálním členu určuje po vynásobení vdálenosí velikos lumení ampliudy elekrického pole ve směru osy, naývá se proo měrný úlum. Ze naménka mínus v eponenu je dále vidě, že se musí jedna o vlnu posupující v kladném 7

8 směru osy. Jak se věšuje vdálenos, věšuje se i áporný člen v eponenu, vlna se lumí. V opačném případě by o namenalo, že vlna při posupu v kladném směru osy svoji ampliudu věšuje, což není možné. Časový průběh ineniy elekrického pole se navíc při posupu do bodu =1 fáově posune o úhel 1. Znaménko mínus namená, že se veličina o eno úhel podí. Konsana edy určuje fáový posuv veličin, je o v podsaě fáový posuv na jednoku délky a naývá se fáová konsana. Celý jev můžeme jednodušeně inerpreova ak, že elekromagneická vlna, kerá posupuje v kladném směru osy, se posupně lumí a časový průběh se fáově požďuje. Nejprve vlna dospěje do bodu =, poom s určiým požděním do bodu =1, navíc ale ješě s poněkud menší ampliudou. Oba časové průběhy jsou porovnány na obráku Obr.. m m e 1 1 ( 1,. (, Obr. Časové průběhy ineniy elekrického pole veličin rovinné harmonické elekromagneické vlny Ineniu magneického pole jako druhou nenámou veličinu v sousavě rovnic ( vi (1.1 le íska pěným dosaením pomocí fáoru ineniy elekrického pole ( vi (1.4. ro jh (1.9 Roaci na levé sraně le vyčísli ako y y ( ro y y jk ( y (1.3 Roace ineniy elekrického pole má poue složku ve směru osy y. Srovnáním levé a pravé srany rovnice (1.9 je vidě, že původně obecný vekor ineniy magneického pole musí mí aké poue jednu složku, a o ve směru osy y. Osaní složky jsou nulové H,H (vi Obr.3. 8

9 H y (, Obr.3 Vekory ineniy magneického pole na vlnoplochách rovinné harmonické elekromagneické vlny y jk ( jωμ( H ( y H y( H ( (1.31 Pro fáor ineniy magneického pole bude plai: k ( H y ( ( ωμ Z (1.3 V rovnici (1.3 je avedena nová komplení veličina, kerá se naývá vlnová impedance Z. ( ωμ ωμ j Z H ( k j ( j j y (1.33 Vlnovou impedanci, podobně jako libovolnou komplení veličinu, le apsa v polárním varu pomocí absoluní hodnoy Z a. Z dalšího eu vyplyne specifický výnam ěcho čásí: Z j Z e (1.34 Pro fáor ineniy magneického pole bude plai: jk ( e m H y ( e e Z j Z e Z H e H e H m k j( jk jk j( j H (1.35 H je fáor ineniy magneického pole v bodě =, H m je ampliuda ineniy magneického pole. 9

10 j( (1.36 H H( H e m Absoluní hodnoa vlnové impedance udává podíl ampliud ineniy elekrického a magneického pole: m Z. Argumen vlnové impedance udává fáové poždění ineniy magneického pole a H m ineniou elekrického pole. Podobně jako pro ineniu elekrického pole, obdržíme vah pro okamžiou hodnou ineniy magneického pole ransformací fáoru komplení do časové roviny: j y y m H (, Im H ( e H e sin( (1.37 H y m H m (, H y (, Obr.4 Časový průběh ineniy elekrického a magneického pole v bodě Časový průběh ineniy magneického pole je v každém bodě, i v bodě jako na obráku Obr.4, požděn a časovým průběhem ineniy elekrického pole o fáový úhel, kerý je argumenem vlnové impedance Z. Jedná se o velmi podobnou siuaci jako v časovém průběh napěí a proud na indukoru, kde je časový průběh proudu rovněž požděn a časovým průběhem napěí o úhel daný argumenem impedance v obvodu Vlnová délka a fáová rychlos Vlnová délka je nejmenší vdálenos dvou mís, ve kerých jsou veličiny elekromagneického pole ve fái, což namená, že ve sejných časových okamžicích je v ěcho mísech například maimum harmonického průběhu, nulová hodnoa, nebo minimum. Budeme předpokláda, že je s ohledem na předchoí e dán časový průběh ineniy elekrického pole v referenčním bodě rovnicí: (, sin( (1.38 m a v bodě 1 rovnicí 1

11 1 ( 1, m e sin( 1 (1.39 Pokud by měla bý vdálenos 1 rovna vlnové délce, musí v rovnici (1.39 plai: 1 pro vlnovou délku, kerá se obvykle onačuje písmenem poom plaí: 1 (1.4 Vlnová délka nesouvisí s ampliudou veličin v daných mísech. Pokud se vlna ve ráovém prosředí lumí, je ve vdálenosi ampliuda e menší. Mísa s konsanní fáí (vlnoplochy elekromagneické vlny posupují v prosoru rychlosí, kerá se naývá fáová rychlos. Pokud mají bý v mísech vdálených o vlnovou délku veličiny elekromagneického pole ve fái, musí plai v rovnici pro časový průběh veličin - například ineniy elekrického pole: 1 ( 1, m e sin( 1 (1.41 že a čas uraí vlnoplocha vdálenos Pro fáovou rychlos poom vyplývá vah: v f (1.4 Ponámka: Složiějšími úvahami se dá ukáa, že fáová rychlos je rovna rychlosi přenosu energie poue v případě, kdy se jedná o dielekrické beeráové prosředí. V obecném případě se energie přenáší v. skupinovou rychlosí, jejíž velikos se sanoví podle vahu: v s d d (

12 V beeráovém prosředí je fáová i skupinová rychlos sejná Konsana šíření v elekricky dobře vodivém a nevodivém prosředí Pro konsanu šíření, kerá obsahuje měrný úlum a fáovou konsanu, plaí obecný vah: k j (j j (1.44 Tao rovnice je analyicky řešielná. Srovnáním reálných a imaginárních čásí v definičním vahu vyplyne pro činiel úlumu a fáovou konsanu vah: 1 1 ( Pro sudium rovinné elekromagneické vlny je však užiečné posuova vlasnosi konsany šíření přímo definičního vahu. Chování elekromagneické vlny ásadně ovlivňuje vájemný vah mei měrnou vodivosí a členem., kerý se vyskyuje ve obecněném Ampérově ákoně celkového proudu na sejné poici jako vodivos (vi (1.1. Předsavuje pomyslnou vodivos pro akvaný posuvný proud. S ohledem na vájemnou relaci uvedených vodivosí je možné vysledova dva erémní případy pro prosředí, ve kerém se elekromagneická vlna šíří. (1.46 lekricky nevodivé prosředí lekricky dobře vodivé prosředí Plaí-li: Plaí-li: Poom se prosředí chová hlediska šíření elekromagneické vlny jako nevodivé. Říkáme, že se vlna šíří v nevodiči dielekriku Poom se prosředí chová hlediska šíření elekromagneické vlny jako dobře vodivé, říkáme, že se vlna šíří ve vodiči Pro konsanu šíření bude v ěcho speciálních případech plai k j (j j k j (j j 1

13 Konsana šíření má poue reálnou čás, oho vyplývá, že měrný úlum je nulový, vlna se nelumí 1 j k j Pro fáovou konsanu plaí jednoduchý vah r c do kerého je doplněna další konsana, kerou je rychlos svěla 1 8 r Pro konsanu šíření v dobrém vodiči plaí, že má sejně velikou reálnou a imaginární čás. Měrný úlum a konsana šíření je sejně veliká. c 3.1 m / s (1.47 (1.48 (1.49 Pro elekromagneickou vlnu ve vduchu nebo vakuu plaí r 1 c ( Vlnová impedance v elekricky dobře vodivém a nevodivém prosředí Vlnová impedance je veličina, kerá udává vájemný vah mei fáorem ineniy elekrického a magneického pole. Absoluní hodnoa vlnové impedance udává podíl ampliud ineni, argumen vlnové impedance předsavuje fáový posun mei vekorem ineniy elekrického a magneického pole. Vlnová impedance je ávislá na paramerech prosředí a plaí pro ni vah, kerý vyplyne při odvoení Po dosaení a konsanu šíření plaí vah Z H y ωμ k (1.51 j Z ωμ (1.5 k jω(jω jω Podle sejných předpokladů jako v le klasifikova prosředí hlediska vájemného poměru vodivosi a členu. na dobře vodivé a nevodivé. lekricky nevodivé prosředí lekricky dobře vodivé prosředí Z e j Z j jω j j j Z Z e jω e j 4 (

14 Vlnová impedance je reálná, pro absoluní hodnou vlnové impedance plaí vah Z H m m 1 1π Fáový posun mei a H je nulový, inenia elekrického a magneického pole je ve fái r r Pro absoluní hodnou vlnové impedance plaí vah Z Fáový posun mei a H je, inenia elekrického pole edy předbíhá ineniu magneického pole o 45. ( Pro vlnovou impedanci ve vduchu nebo dielekriku je možné vah ješě upravi (1.55 Z r 1 1 1π r r Obr.5 Časový průběh ineniy elekrického a magneického pole v nevodivém prosředí Obr.6 Časový průběh ineniy elekrického a magneického pole v dobře vodivém prosředí Vlnová délka a fáová rychlos v elekricky nevodivém prosředí Pokud do obecného vahu pro vlnovou délku (1.4 dosadíme hodnou fáové konsany v elekricky nevodivém prosředí, bude plai: c r r (1.56 Dosáváme ak námý vah pro vlnovou délku v elekricky nevodivém prosředí: 14

15 f c r (1.57 Ve vduchu nebo ve vakuu pro 1 r c f (1.58 Pokud do obecného vahu pro fáovou rychlos ((1.4 dosadíme hodnou fáové konsany v elekricky nevodivém prosředí, bude plai: v f c r r c r (1.59 lekromagneická vlna edy posupuje ve vduchu nebo vakuu rychlosí svěla Výkon přenášený elekromagneickou vlnou, Poyningův vekor, sřední hodnoa Poyningova vekoru Přenášený výkon je popsán vekorovou veličinou, kerá se naývá Poyningův vekor a předsavuje v určiém mísě plošnou husou výkonu, kerý projde plochou kolmou na směr šíření. Poyningův vekor je obecně definován vahem S H (1.6 Celkový výkon, kerý projde určiou plochou, se dá poom sanovi podle vahu S H d S (1.61 V případě rovinné vlny má inenia elekrického pole poue složku ve směru osy a inenia magneického pole poue složku ve směru y S (, (1.6 H y (, (1.63 Vekory a H jsou na sebe kolmé, výsledný vekor vekorového součinu bude současně kolmý na oba yo vekory, půjde edy ve směru osy. Výkon se bude edy šíři poue ve směru osy, což je logické, neboť o je směr, ve kerém se šíří elekromagneická vlna. Plošná husoa výkonu bude mí okamžiou hodnou 15

16 16, (, (, ( H S y (1.64 Okamžiý výkon nemá moc velký výnam, pro další úvahy je lepší jej roděli na čás, kerá má sřední hodnou (činný výkon, a je ekvivalenní s činným výkonem v elekrických obvodech, podílí se i na kryí rá. Druhá čás, kerá sřední hodnou nemá, je ekvivalenní jalovému výkonu v elekrických obvodech, podílí se na časových měnách energie elekrického a magneického pole. Zapíšeme-li vah pro okamžiý výkon například v bodě = a pro jednoduchos budeme předpokláda nulovou velikos počáečního fáového posunu, kerý udává úhel, bude pro okamžiou hodnou výkonu plai, (, (, ( H S y (1.65 sin( sin( cos( cos( 1 sin( cos( sin( cos( ( (sin sin( sin(, ( m m m m m m H H H S (1.66 Pro sřední hodnou Poynigova vekoru ( plošnou husou činného výkonu bude v bodě = plai: cos( d, ( 1 ( m m sř H S S. (1.67 Podobně v libovolném jiném bodě : cos( 1 cos( 1 ( m m m m sř e H e H e S (1.68 Zcela analogicky jako v elekrických obvodech, kde je možné velikos činného i jalového výkonu vyjádři ekvivalenním vahem pomocí fáorů, je oo možné i u rovinné vlny. Pro správný fyikální výnam ohoo součinu musí bý jedna veličin kompleně sdružená. * ( ( Re 1 ( S sř y H (1.69 O om, že se jedná skuečně o ekvivalenní vah, je možné se snadno přesvědči po dosaení cos( 1 Re 1 Re 1 ( ( Re 1 ( j * j j( j( j j( j * m m m m m m sř e H e e H e e H e e S y H (1.7

17 1.1.8 Výkon přeměněný v jednoce objemu na eplo Procháí-li rovinná elekromagneická vlna vodivým prosředím, vyvolá nenulová hodnoa ineniy elekrického pole elekrický proud ve sejném směru jako je inenia elekrického pole, v našem případě ve směru osy. Proudová husoa bude podle Ohmova ákona J (1.71 Podle Jouleova ákona je výkon, kerý se v jednoce objemu přeměňuje v eplo, dán vahem p J (1.7 Teno vah by doslova plail pro sejnosměrné nebo efekivní hodnoy veličin. V případě rovinné vlny jsou všechny veličiny vyjádřeny pomocí ampliud a plaí: 1 p ef m Ampliuda veličin se navíc lumí při posupu ve směru osy s členem: (1.73 e (1.74 předchoí vah edy plaí poue pro bod =, v obecném bodě by plailo s ohledem na druhou mocninu ineniy elekrického pole: 1 p (. m e (1.75 J p y Obr.7 Zráy v jednoce objemu Bilance činného výkonu rovinné harmonické elekromagneické vlny Zvolíme uavřený prosor vymeený hranolem podle obráku (Obr.8 ak, že budou jeho čelní sěny v rovinách rovnoběžných s osou a y a budou mí jednokovou plochu. Levá sěna je na souřadnici =. Pravá sěna je na souřadnici = 1. Boční sěny jsou rovnoběžné s osou. 17

18 ( A 1m ( A 1m ( S sř S sř ( 1 1 Obr.8 Bilance energie v prosoru s posupující rovinnou harmonickou elekromagneickou vlnou Výkon může vsoupi a vysoupi do ohoo prosoru s ohledem na směr šíření poue čelními sěnami. Vlevo vsoupí výkon se sřední hodnoou 1 Ssř ( mh m cos( (1.76 na druhé sraně vysoupí výkon se sřední hodnoou: 1 Ssř mh ( 1 1 me cos( (1.77 Mělo by plai, že rodíl sředních hodno Poyningových vekorů S sř m e cos( 1 e cos( 1 ( S ( 1 sř mhm Z 1 (1.78 je právě roven výkonu v objemu vyýčeného kvádru, kerý se přemění v eplo. Ke sejnému ráovému výkonu musíme dospě inegrací objemové husoy rá v kvádru P V p dv ( A 1m 1 p ( d 1 1 m e m d 4 1 e 1 (1.79 Srovnáním rovnic vyplyne, že musí plai 4! 1 cos( Z (1.8 Z úpravy pravé srany vyplyne, že ao ekvivalence skuečně plaí: 18

19 1 cos( 1 Z Do vahu bylo dosaeno pomocí éo ekvivalenní rovnice 1 4 (1.81 j j k j (j (1.8 19

20 lekromagneické vlny na rohraní růných prosředí.1 Formální maemaický popis pořebný ke sudiu chování elekromagneických vln.1.1 Vekorová funkce v časovém varu Vekorové veličiny v elekromagneickém poli jsou obecně popsané vekorovými funkcemi, keré přiřaují pro každý bod v sledovaném prosoru a každý časový okamžik vekor dané veličiny. Vekorová funkce (, y,, pro ineniu elekrického pole má v karéské sousavě eno formální var: (, y,, (, y,,, y(, y,,, (, y,,, (.1 Přičemž: (, y,,, (, y,,, (, y,, jsou skalární funkce, keré udávají velikos složky y vekoru v určiém bodě a čase. Pokud budeme uvažova, že je časová ávislos veličin dána harmonickou funkcí, bude pro vekorovou funkci a její složky dále plai: (, y,, [ (, y, sin( (, y,, (, y, sin( (, y,, m my y (, y, sin( (, y, ] my V éo rovnici jsou m (, y,, my (, y,, m (, y, ampliudy složek v daném mísě je úhlový kmioče (, y,, y (, y,, (, y, jsou fáové posuny časových harmonických průběhů jednolivých složek v daném mísě. Pon. Tyo fáové posuny mohou, ale nemusejí, bý sejné. Pokud budou sejné, časové průběhy velikosi složek budou ve fái a koncový bod vekorové veličiny se bude v prosoru pohybova v ávislosi na čase po přímce. V éo souvislosi se u elekromagneické vlny hovoří o lineární polariaci, což bude přesněji specifikováno poději. V omo případě le pro výslednou ampliudu vekoru v daném mísě a ampliudy složek psá: m m my m (.3 Vekorovou funkci le poom upravi pomocí kosinů směrových úhlů průměem vekoru do jednolivých os v karéské sousavě: (.

21 (, y,, m(, y, sin( (, y, cos,cos y,cos (.4 Pon. Pokud by byla například složka ve směru osy nulová a složky ve směru a y byly fáově (časově posunuy o úhel 9 supňů, bude koncový bod vekoru opisova v rovině (,y kružnici, pokud budou ampliudy sejné. Pokud budou ampliudy růné, bude opisova elipsu. Hovoříme o kruhové nebo elipické polariaci elekromagneické vlny..1. Fáory vekorů a vekorové funkce ve fáorovém varu Pokud budeme uvažova harmonický usálený sav a budeme ransformova vekorovou funkci časové roviny do komplení, míso okamžiých časových hodno se objeví fáory veličin, odsraní se ávislos na čase. Vniknou ak vekorové funkce, keré budou míso okamžiých hodno složek obsahova fáory ěcho složek. Fáory v sobě mají v podobě kompleního čísla apsanou ampliudu a fái příslušné složky v daném mísě. O ako maemaicky upravených vekorových veličinách hovoříme poom jako o fáorech vekorů. Pro uvedené fáory vekorů ineniy elekrického pole bude s ohledem na dříve apsané časové hodnoy formálně plai: (, y, (, y,, y(, y,, (, y, j (,y, j (,y, j (,y, m my m y (, y, e, (, y, e, (, y, e (.5 Pokud se budou všechny složky měni ve fái, le funkci apsa pomocí výsledného fáoru (ampliuda j (,y, a fáe příslušně naočeného vekoru v daném mísě : m(, y, e. Složky le apsa pomocí průměů do souřadných os: (, y, (, y, e j (,y, cos m, cos y, cos (.6. Harmonická elekromagneická vlna v ákladní sudované konfiguraci Výše uvedené rovnice musí plai samořejmě i pro rovinnou harmonickou elekromagneickou vlnu. Siuace v předchoí čási se podsaně jednodušila ím, když jsme harmonickou elekromagneickou vlnu orienovali v sousavě souřadnic ak, že rovinná vlnoplocha posupovala ve směru osy a inenia elekrického pole směřovala do směru osy. Vekor ineniy magneického pole byl poom naočen do směru osy y. V omo případě bylo možné apsa vekorovou funkci v časovém varu následujícím působem: m (, y,, e sin( 1,, (.7 nebo jednodušeně poue pro -ovou složku, proože osaní jsou nulové: (, me sin( (.8 Podobně bude plai pro vekorovou funkci ineniy magneického pole: m H (, y,, H e sin(, 1, (.9 1

22 a poue pro nenulovou y-novou složku: y m H (, H e sin( (.1 Pro vekorové funkci ve fáorovém varu: (, y, e e j( 1,, m (.11 (, y, H e e j(, 1, m H (.1 Fáory vekorů ineniy elekrického a magneického pole mají edy rovněž poue jednu složku: j( Ê ( me e (.13 y Ĥ ( H e e j( (.14 m.3 Řešení vlnové (Helmholovy rovnice meodou separace proměnných V čási 1.1 byla odvoena vlnová rovnice pro harmonický usálený sav a bylo ukááno její nejjednodušší řešení pro problém, kerý se naývá rovinná harmonická elekromagneická vlna. Meodou separace proměnných le nalé obecnější řešení éo rovnice, keré le poom použí například pro popis problémů souvisejících s dopady vln na rohraní dvou prosředí, nebo pro popis šíření vlny ve vlnovodu. Homogenní vlnová rovnice pro harmonické časové průběhy veličin, planá pro řešení problémů mimo oblas drojů, má pro ineniu elekrického pole var: k (.15 je vekorová funkce, kerá udává velikos fáoru vekoru ineniy elekrického pole v každém bodě sledované oblasi. V karéské sousavě souřadnic mají jednolivé čási rovnice (.15 po roepsání do složek var: (, y, (, y, (, y, y y(, y, y(, y, y(, y, y y (.16 (, y, (, y, (, y, y k (, y, y (, y, (, y, y V éo rovnici je k konsana šíření: k j (j j Při uvažování elekromagneického pole, keré bude mí poue jednu složku, například Ê, a a se bude měni poue ve směru vyplyne jednoduchá rovnice, jejímž řešením je rovinná harmonická elekromagneická vlna posupující ve směru jak bylo popsáno v 1.1:

23 Ê ( + k ( Obecnější řešení le nalé, pokud se rovnice (.16 rodělí na dílčí rovnice pro jednolivé složky. Poom bude plai sejně pro všechny složky a konkréně například pro složku : (, y, (, y, (, y, + k (, y, y (.17 Velice důležié řešení éo diferenciální rovnice le nalé meodou separace proměnných, kdy se na ačáku předpokládá, že akové řešení bude mí podobu součinu ří funkcí, nichž každá je ávislá poue na jedné souřadnici: (, y, X(Y(yZ( (.18 Poom posupným derivováním očekávaného výsledného řešení (.18 a pěným dosaením do rovnice (.17 dosaneme: X( Y(y Z( Y(yZ( X(Z( X(Y(y k X(Y(yZ( (.19 y y Po jednoduché úpravě poom: 1 X( 1 Y(y 1 Z( k (. X( Y(y y Z( y Rovnice (. se ropadla na ři členy ávislé vždy poue na jedné souřadnici, keré musejí dá po sečení s konsanou nulovou hodnou. To je prakicky splnielné poue v případě, pokud bude každý ěcho členů konsanní. Tyo konsanní hodnoy je užiečné apsa v kvadráu se naménkem mínus, proože následnou úpravou dosaneme ři formálně sejné diferenciální rovnice již dříve řešeného ypu: 1 X( X( k k X( X( (.1 1 Y(y Y(y k y k y Y(y Ŷ(y y y 1 Z( Z( k k Z( Ẑ( (. (.3 Pro konsany k, k y, k musí plai separační rovnice: k k k k (.4 y Řešení jedné e separovaných diferenciálních rovnic, konkréně například pro X(: X( k X( (.5 může mí několik růných varů, keré je možné použí v ávislosi na řešeném problému. Téo rovnici například splňuje řešení: X( A sin(k 3

24 Že o ak je, je možné se přesvědči pěným dosaením do výchoí rovnice (.5: X( X ( k A cos(k k A sin(k k X( ( (.6 Na (.6 je parné, že řešení musí mí u vlasnos, že po dvojnásobném derivování dá ápornou hodnou ohoo řešení vynásobenou kvadráem příslušné konsany. Kromě funkce sinus o splňuje i kosinus a další dovoené funkce (sinh, cosh. Pro úplné řešení apsané pomocí goniomerických funkcí edy například: X( A cos(k B cos(k Další možných varů řešení le nají například v podobě eponenciální funkce: j k j k X( A e B e Výsledné řešení dané součinem separačních funkcí poom může mí řeba var: (, y, X(Y(yZ( C 1 cos(k C cos(k C 3 cos(k y C 4 cos(k y C 5 cos(k C 6 cos(k nebo (, y, X(Y(yZ( j k j k j k j k j k j k C1 e C e C 3 e C 4 e C 5 e C 6 e Řešení v podobě eponenciálních členů, jak je ukááno v.4, je dále použio například při popisu rovinné harmonické vlny, kerá se pohybuje v obecném směru v prosoru: j k j k y y Ĉ e e e C e Kombinované řešení v podobě: (, y, X(Y(yZ( y k r j k j (k,k,k (,y, C e j k r C1 cos(k C cos(k C 3 cos(k y C 4 cos(k y e bude dále použio pro popis vlny ve vlnovodu. První členy budou předsavova roložení elekromagneického pole sojaého vlnění v příčném směru,y, poslední eponenciální člen vlnu posupující vlnovodem ve směru osy. j k.4 Harmonická elekromagneická vlna naočená v karéské sousavě do obecného směru Budeme předpokláda, že se jedná o lineárně polariovanou harmonickou elekromagneickou vlnu: Složky vekorových veličin na vlnoploše jsou ve fái a koncové body vekorů edy opisují v ávislosi na čase přímku. Pokud budeme chí sudova problém, ve kerém elekromagneická vlna dopadá na rohraní dvou prosředí pod jedním úhlem, pod sejným úhlem se odráží a prosupuje pod jiným úhlem, je nuné popsa vlnu posupující v karéské sousavě v obecném směru. V omo případě bude mí vekorová funkce obecně všechny ři složky a jejich velikos se bude měni ve fái. 4

25 Rovinu v karéské sousavě le popsa pomocí normálového vekoru k éo rovině a souřadnic (radiusvekoru alespoň jednoho bodu, kerý na éo rovině leží. Podobný popis bude použi pro vynačení vlnoplochy posupující vlny. Normálový vekor se v omo případě naývá vlnový vekor. Pro další body na éo rovině poom bude plai, že je skalární součin jejich radiusvekorů a vlnového vekoru konsanní. Z podrobného řešení diferenciální rovnice pro rovinnou vlnu posupující v obecném směru meodou separace proměnných (vi.3, vyplyne následující výsledek: j ( e k r (.7 r ( r je fáor ineniy elekrického pole v libovolném mísě k je vlnový vekor, kerý svým směrem ukauje směr posupu vlny a pro jeho absoluní hodnou plaí: k k j j ( j r je radiusvekor libovolného mísa v prosoru, v karéské sousavě plaí pro akové míso: r (, y, je fáor vekoru na vlnoploše, kerá procháí počáek souřadnic =,y=,= Příklad pro ilusraci uvedeného popisu: Rovinná harmonická elekromagneická vlna posupuje v karéské sousavě ve směru, kerý je dán vlnovým vekorem kolmým na vlnoplochu ( Obr.9. Vlna je orienována ak, že vlnový vekor leží v rovině (, a s osou svírá úhel. Vekor ineniy elekrického pole leží rovněž v rovině (,. Vekor ineniy magneického pole má edy jen složku y. Obr.9 Rovinná vlna posupující našikmo v karéské sousavě souřadnic Vlnový vekor (vekor kolmý na vlnoplochu s absoluní hodnoou o velikosi konsany šíření bude v omo případě složky: k (k sin,, k cos k(sin,,cos (.8 Fáor vekoru ineniy elekrického pole na vlnoploše, kerá procháí počákem, bude mí aké složky poue v rovině (,: ( cos,, sin (cos,, sin (.9 5

26 Ê le chápa jako fáor, kerý v sobě obsahuje ampliudu a referenční fái vekoru ineniy elekrického pole na referenční rovině, kerá procháí počákem souřadnic: j Ê me Pro fáor vekoru ineniy elekrického pole v libovolném mísě prosoru s radiusvekorem r le poom psá: j kr j kr ( r e (cos,, sin e (.3 Po roepsání vlnového vekoru a radiusvekoru do složek: j k(sin,,cos (,y, (, y, (cos,, sin e (.31 Po vyčíslení skalárního součinu v eponenu: j k(sin cos (, y, (cos,, sin e (.3 Fáor vekoru ineniy magneického pole po analogickém posupu, bude mí poue složku ve směru osy y: j j ( e k r H (,1, e k r H r H (.33 Po roepsání do složek a vyčíslení skalárního součinu: j k(sin cos H( r H (,1,e (.34 j Fáory Ê a Ĥ jsou navájem váány vlnovou impedancí Ẑ Z e : j Ê me m j j Ĥ e H j m e Z (.35 Z e Z V uvedeném příkladu se jedná poue o jiné naočení os karéské sousavy, všechno osaní musí ůsa sejné, jako při orienaci vlny v ákladním sudovaném směru. Pokud položíme v našem příkladu velikos úhlu, musíme se dosa pě k rovnicím pro rovinnou vlnu v ákladní sudované konfiguraci. Skuečně bude plai: j k( sin cos (, y, (cos,, sin e j k(sin cos Ê (cos,, sin e Ê (1,,e j k (.36 H (, y, H (,1,e j k(sin cos j k( sin cos j k H (,1, e H (,1, e Pro úhel má inenia elekrického pole skuečně jenom složku, inenia magneického pole jenom složku y. Tyo složky jsou poue funkcí : j k ( e (.37 6

27 H ( H e y j k.5 Základní definiční pojmy pořebné pro sudium dopadů vln na rohraní Karéská sousava na obráku (Obr.1 je naočena ak, že osa směřuje dolů, osa doprava, osa y vně nákresny. Veličiny dopadající vlny jsou onačeny indeem i, odražené vlny indeem r, prosupující vlny indeem. Rovina,y, kerá je vedená počákem souřadnic a kerá odděluje horní a dolní poloprosor s odlišnými fyikálními paramery, se naývá Rovina rohraní. Vlnové vekory dopadající, odražené a prosupující vlny jsou pro jednoduchos maemaického popisu položeny do roviny,. Tao rovina se naývá Rovina dopadu a vlnoplochy se v ní obraí jako přímky. Úhly dopadu, odrau a prosupu jsou v omo geomerickém uspořádání definovány ak, že o jsou úhly, keré svírají vlnové vekory a kolmice k rohraní. Obr.1 Základní geomerické uspořádání pro sudium dopadů vln na rohraní Pro chování elekromagneické vlny, kerá dopadá na rohraní, je velice důležiá orienace vekorů ineniy elekrického a magneického pole v prosoru. Podmínky na rohraní jsou oiž dány bilancí ečných složek vekorů k rohraní. Inenia elekrického a magneického pole jsou na sebe kolmé vekory ležící na vlnoploše. Ve vahu k rovině dopadu může bý dvojice ěcho vekorů naočena libovolně. Pro jednoduchos maemaického popisu uvažujeme dva mení případy. V prvním případě je inenia elekrického pole rovnoběžná s rovinou dopadu a hovoříme o rovnoběžné polariaci. Na obráku Obr.11 a u všech dalších odvoených veličin je ao polariace onačena symbolem. Inenia magneického pole je v omo případě na rovinu dopadu kolmá. Ve druhém mením případě je inenia elekrického pole kolmá na rovinu dopadu a hovoříme o kolmé polariaci. V dalším eu bude onačena symbolem. Obecný případ naočení vekoru ineniy elekrického pole je možné v případě pořeby posuova jako superpoici ěcho meních případů. 7

28 Obr.11 Kolmá a rovnoběžná polariace.6 Šikmý dopad rovnoběžně polariované vlny na rohraní dvou prosředí Na obráku Obr.1 je rovnoběžně polariovaná rovinná harmonická elekromagneická vlna, kerá dopadá na rohraní dvou prosředí pod úhlem. V éo čási budou sanoveno, jaká čás éo vlny se odraí a jaká prosoupí a rovněž pod jakým úhlem. i Obr.1 Šikmý dopad rovnoběžně polariované vlny S ohledem na.4 le fáory vekorů ineniy elekrického pole dopadající vlny popsa ve varu: j k 1(sin i,,cos i (,y, i(, y, i(cos i,, sin ie (.38 Po roepsání do složek: 8

29 j k ( sin cos (, y, (cos,, sin e 1 i i (.39 i i i i Pro fáory vekorů ineniy magneického pole dopadající vlny bude plai: j k 1(sin i cos i H i(, y, H i(,1,e (.4 Orienace odražené a prosupující vlny na Obr.1 je sanovena ako: Aby ůsaly splněné podmínky na rohraní, odražená a prosupující vlna nemůže měni svoji polariaci. To namená, že inenia elekrického pole ůsane rovnoběžná s rovinou dopadu, inenia magneického pole kolmá. Při achování orienace vekorů a H s ohledem na směru odražené a prosupující vlny a ok výkonu ( H, připadají například pro orienaci odražené vlny dvě možnosi naočení vekorů a H (vi Obr.13. Podle konvence se však volí orienace na levé sraně obráku, oho vyplynou běžně používané vahy pro činiel odrau a prosupu. Tako volené naočení vekorů je nuné chápa jako referenční kladnou volbu smyslu. Při inerpreaci výsledků je poom nuné uo kladnou volbu respekova. Zcela sejně o je s volbou orienace vekorů prosupující vlny. Obr.13 Volba kladné oreinace vekorů odražené vlny Pro fáor vekoru ineniy elekrického pole odražení vlny bude edy plai: j k 1(sin r,, cos r (,y, r(, y, r(cos r,,sin r e (.41 Po roepsání do složek bude j k 1( sin r cos r (, y, (cos,,sin e (.4 r r r r Pro fáor ineniy magneického pole bude plai analogický vah se shodným eponenciálním členem: j k 1(sin r cos r H r(, y, H r(, 1,e (.43 Pro fáor vekoru ineniy elekrického pole prosupující vlny bude plai: j k (sin,,cos (,y, (, y, (cos,, sin e (.44 Po roepsání do složek bude plai pro fáor ineniy elekrického a magneického pole j k ( sin cos (, y, (cos,, sin e (.45 j k (sin cos (, y, H (,1,e H (.46 9

30 Z podmínek, keré musí bý na rohraní splněny, vyplývá, že se musí rovna ečně složky ineniy elekrického a magneického pole jedné i druhé srany rohraní. Tečné složky k rohraní jsou v našem případě složky a y. Inenia elekrického pole má ale ečnou složku poue ve směru, inenia magneického pole poue ve směru y. Nad rohraním se nacháí dopadající a odražená vlna, pod rohraním je prosupující vlna. Rohraní je popsáno libovolnými body,y pro =. Při pohledu na rovnice (.39,(.4,(.4,(.43,(.45,(.46 je parné, že musí plai pro _ové složky ineniy elekrického pole: cos cos cos (.47 i i r r Pro y-ové složky ineniy magneického pole H H H (.48 i r Rovnici (.48 je možné ješě přepsa pomocí vlnových impedancí prosředí nad a pod rohraním: i r (.49 Z Z Z 1 1 Aby uvedené podmínky navíc plaily na celé rovině rohraní (,y,=, musí pro argumeny eponenciálních členů plai: k sin k sin k sin (.5 1 i 1 r To je důležiý Snellův ákon odrau a lomu, podle kerého je úhel dopadu a odrau shodný: sin sin (.51 i r Pro úhel dopadu a prosupu plaí: k 1 sin i k sin (.5 Vahy (.47 a (.49 předsavují sousavu dvou rovnic o nenámých veličinách řešením dosáváme pro fáor ineniy elekrického pole odražené vlny: Z cos( Z1 cos( i r i R i Z cos( Z cos( 1 i Ê r, Ê. Jejím R je činiel odrau pro rovnoběžně polariovanou vlnu: R R e Z cos( Z cos( Z cos( Z cos( j r 1 i R i 1 i (.53 Činiel odrau, jako komplení veličina, udává svojí absoluní hodnoou podíl ampliudy ineniy elekrického pole odražené a dopadající vlny. r m R (.54 svým argumenem udává fáový posuv dopadající a odražené vlny R i m Řešení uvedené sousavy pro fáor ineniy elekrického pole prosupující vlny dosaneme: Z cos( T (.55 i i i Z cos( Z1 cos( i 3

31 T je činiel prosupu pro rovnoběžnou polariaci: j T Z cos( i T T e (.56 Z cos( Z cos( i 1 i Činiel prosupu, jako komplení veličina, udává svojí absoluní hodnoou podíl ampliudy ineniy elekrického pole prosupující a dopadající vlny. m T (.57 svým argumenem udává fáový posuv dopadající a prosupující vlny T Pro dielekrické prosředí má komplení impedance poue reálnou složku. Ẑ 1 im 1 (.58 r1 Ẑ 1 (.59 r Pro činiel dorau při rovnoběžné polariaci bude v omo případě plai: Pro činiel prosupu: j R r1 cos( r cos( i R R e (.6 cos( cos( r1 r i j T r1 cos( i T T e (.61 cos( cos( r1 r i.7 Šikmý dopad rovnoběžně polariované vlny na rohraní dvou prosředí Na obráku Obr.14 je rovnoběžně polariovaná rovinná harmonická elekromagneická vlna, kerá dopadá na rohraní dvou prosředí pod úhlem. i 31

32 Obr.14 Šikmý dopad kolmo polariované elekromagneické vlny V případě kolmé polariace je odvoení všech veličin analogické s rovnoběžnou polariací. Rodíl je v om, že má inenia elekrického pole poue složku y a a je současně ečná k rohraní. Inenia magneického pole má složky a. K rohraní je ečně poue složka, je nuné provádě průměy do roviny rohraní. Pro fáory vekorů ineniy elekrického a magneického pole plaí : i H (, y, (,1, e i j k ( sin cos i i i i 1 i i (, y, H ( cos,,sin e j k (sin cos 1 i i (.6 Podobně pro vekory fáorů odražené vlny (, y, (,1, e r r j k (sin cos 1 r r H r (, y, H r(cos r,,sin r e a vekory fáorů prosupující vlny: H (, y, H ( cos,,sin e j k ( sin cos 1 r r j k ( sin cos j k ( sin cos (, y, (,1, e (.63 (.64 Argumeny v eponenciálních členech jsou cela sejné jako u rovnoběžné polariace. Jsou ávislé poue na směru posupu vlny. Z rovnosi ěcho členů na rohraní ( pro = opě vyplyne podmínka, kerá musí bý splněna: sin i sin r (.65 k 1 sin i k sin (.66 Z rovnosi ečných složek ineniy elekrického pole po obou sranách rohraní vyplyne: (.67 i r Z rovnosi ečných složek ineniy magneického pole 3

33 H cos H cos H cos (.68 i i r r Po vyjádření pomocí fáorů ineniy elekrického pole: i r cos i cos r cos Z Z Z ( Vahy (.67,(.69 předsavují opě sousavu dvou rovnic o dvou nenámých. Řešením éo sousavy dosaneme vahy pro činiel odrau a prosupu pro kolmou polariaci. R R e j r i 1 R Z cos( Z cos( Z cos( Z cos( i i 1 (.7 T T e j i T Z cos( Z cos( Z cos( i i 1 (.71 Vahy pro činiel odrau kolmé i rovnoběžné polariace jsou dle očekávání formálně velice podobné. Jsou v nich poue prohoeny členy cos( i a cos( T. Fyikální výnam ěcho činielů je rovněž sejný. Pro dielekrické prosředí, ve kerém má komplení impedance poue reálnou složku, le pro činiele odrau a prosupu kolmo polariované vlny psá: R R e cos( cos( j r r1 i r R (.7 Ê cos( cos( i r1 i r T T e cos( j r1 i T (.73 Ê cos( cos( i r1 i r.8 Kolmý dopad vlny na rohraní jako speciální případ šikmého dopadu Pokud dopadne rovinná elekromagneická vlna kolmo na rohraní, bude pro úhel dopadu, odrau a prosupu plai: i r (.74 V omo případě přejde vah pro činiel odrau rovnoběžné polariace (.53 a vah pro činiel dorau kolmé polariace (.7 do společného vahu pro činiel odrau kolmého dopadu vlny: Z Z R R R R e 1 Z Z1 j R (.75 U kolmého dopadu vlny na polariaci neáleží, vekory ineniy elekrického i magneického pole jsou vždy ečné k rohraní. Absoluní hodnoa činiele odrau opě udává podíl ampliud odražené a dopadající vlny: 33

34 Argumen činiele odrau R vlny. Pro činiel prosupu bude plai: r m R (.76 i m udává fáový posun ineniy elekrického pole odražené a dopadající Z j T T T T T e Z Z (.77 1 Absoluní hodnoa činiele odrau udává podíl ampliud prosupující a dopadající vlny: m T (.78 Argumen činiele prosupu prosupující a dopadající vlny. i m T udává fáový posun ineniy elekrického pole Vahy pro činiel odrau a prosupu se velice jednoduší v případě nevodivých dielekrických prosředí po obou sranách rohraní. V omo případě bude pro impedance prosředí plaí: 1 Ẑ (.79 Po dosaení do vahu pro činiel dorau poom: R Ẑ 1 r1 1 (.8 r r1 j r r1 r1 r R R e r Pro absoluní hodnou činiele odrau bude plai R r1 r Argumen činiele odrau je ávislý na velikosi permiivi obou prosředí: r1 r (.81 r1 r (.8 Pro r1 r je hodnoa vahu pro činiel odrau kladná, což načí, že úhel fáového posunu R Pro r1 r je hodnoa činiele odrau áporná, což načí, že je úhel fáového posunu R Pro činiel prosupu bude plai podobně: 1 j T r r1 T T e 1 1 r1 r r1 r (.83 Komplení činiel prosupu je kladné reálné číslo, fáový posun mei dopadající a prosupující vlnou je edy vždy nulový. 34

35 Pro správnou inerpreaci výsledků při výpočech s činielem odrau a prosupu je i v případě kolmého dopadu vlny nuné mí na paměi kladné referenční volby naočení vekorů, jak byly sanoveny při odvoení obecných vahů pro šikmý dopad. Kladný smysl naočení vekorů bude jako na Obr.15. To například namená, že při áporné hodnoě počíaného činiele odrau budou vekory ineniy elekrického pole naočeny naopak proi sobě a vekory ineniy magneického pole budou ve sejném směru. Obr.15 Kolmý dopad vlny.8.1 Bilance činných výkonů dopadající, odražené a prosupující vlny Plošná husoa výkonu dopadající vlny je Plošná husoa výkonu odražené vlny: 1 1 im Si imh im (.84 Z R 1 1 rm 1 im 1 im S r rmh rm R Si R Z1 Z1 Z1 Poměr odraženého a dopadajícího výkonu je edy roven: (.85 i Plošná husoa výkonu prosupující vlny: 1 S r R S (.86 T im 1 1 m 1 1 im r m m Z Z Z 1 im Z1 Z T S 1 i T Z1 Z Z S H T (.87 35

36 Souče výkonu odražené a prosupující vlny je roven výkonu dopadající vlny S 1 r S Si R T Si Z V rovnici (.88 plaí skuečně, že: Z1 Z Z1 Z Z1 Z Z1 4Z1 Z Z Z1 Z Z1 Z Z Z1 R T 1 Z (.88 ( Sojaé vlnění, poměr sojaých vln V prosoru nad rohraním docháí k superpoici dopadající a odražené vlny. Vnikne čásečné, nebo úplné, sojaé vlnění. Sojaé vlnění se vynačuje ím, že se nad rohraním vyvoří charakerisická mísa, kde harmonické průběhy kmiají s růnými ampliudami. Můžeme nalé míso, kde například inenia elekrického kmiá s nejvěší ampliudou, akové míso le nava kmina, a míso kde kmiá s nejmenší ampliudou, akové míso le nava uel. Obr.16 Vnik sojaého vlnění Inuiivně le vnik sojaého vlnění posoudi na časovém a prosorovém roložení ineniy elekrického pole, podobně jako na obráku Obr.16. Na omo obráku je náorněno prosorové roložení pro 4 posupné časové okamžiky (, /,, 3/. Červeně je náorněno roložení ineniy elekrického pole dopadající vlny, modře ineniy elekrického pole odražené vlny. Pro prosorové roložení na obráku se předpokládá, že je činiel odrau áporný. Na rohraní jsou edy ineniy elekrického pole orienovány v proifái. Pokud se bude v počáečním okamžiku předpokláda, že se na rohraní právě seká maimální hodnoa ineniy dopadající vlny i m a odražené vlny R i m, bude výsledná ampliuda ineni dána jejich rodílem 36

37 i m R. Výsledná hodnoa na obráku je vynačena elenou šipkou. Mísa, kde se v omo i m okamžiku sekaly nulové hodnoy, jsou vynačena elenými kroužky. Uvedená mísa se ve směru od rohraní periodicky opakují. V časovém okamžiku / se modrá dopadající vlna posunula v kladném směru osy o / 4. To je pro náornos vynačeno modrou ečkou na sinusovce. O sejnou vdálenos, ale v opačném směru, se posunula odražená vlna. V omo případě se na rohraní sekají nulové hodnoy a je am výsledná nula. Ve vdálenosi / 4 před rohraním se ale sekají ampliudy ve fái a bude am výsledná hodnoa i m R i m. Uvedená mísa se ve směru od rohraní opě periodicky opakují. Pokud se podobným působem vysleduje roložení ineniy elekrického pole i pro časové okamžiky (, 3/, je vidě, že na rohraní, a ve všech bodech posunuých v áporném směru osy o /, se inenia elekrického pole harmonicky mění s minimální hodnoou ampliudy: R min i m i m V bodech / 4 a ve všech dalších opě dále posunuých v áporném směru osy o / kmiá inenia s maimální hodnoou: R ma i m i m Průběhy kmiající s maimální a minimální hodnoou jsou fáově posunuy o /. Při prakickém měření je možné eperimenálně nalé maima a minima periodických průběhů, jejich vdálenosi sanovi vlnovou délku a poměru jejich velikosí sanovi v Poměr sojaých vln (PSV: ma im R im 1 R PSV R 1 R min i m im Z poměru sojaých vln je poom v případě pořeby možné vyčísli i velikos činiele odrau a paramery prosředí. Odraženou vlnu a činiel odrau přímo měři nele. Poměr sojaých vlny nabývá hodnoy od 1 do. Pro R k žádnému odrau nedojde, před rohraním bude poue dopadající vlna, v růných mísech budou sice harmonické průběhy fáově posunué, ale se sejnou ampliudou maima a minima budou sejná. Jejich podíl a edy i poměr sojaých vln je jdnokový. Ve druhém erémním případě pro R 1 dojde k odrau celé vlny. V prosoru před rohraním budou maima kmiající s dvojnásobnou ampliudou a budou am i minima s rvale nulovou hodnoou. Výsledkem podílu maimální a minimální hodnoy je poom hodnoa poměru sojaých vln, kerá limiuje k nekonečnu. V omo případě se hovoří o úplném sojaém vlnění. Poměry vniklé při odrau vlny a vniku sojaého vlnění le eakněji vysvěli pomocí fáorových diagramů dopadající a odražené vlny. Pro opakování je fáor vlny posupující v kladném směru osy popsán rovnicí: ( e e e k jk j j( j m Pokud budeme uvažova dielekrické, elekricky nevodivé prosředí, bude mí konsana šíření poue reálnou hodnou a bude plai: 37

38 k= c Pro fáor ineniy elekrického pole bude plai: j k ( e Ve všech vaích s podobným výnamem le uděla velice důležiou áměnu a s velkou výhodou nahradi skuečnou vdálenos poměrnou vdálenosí, kerá je važena k vlnové délce. Plaí oiž: Po éo úpravě se ve vaích objeví poměrná vdálenos r k (.9 k, kerá je neávislá na konkréních paramerech pro daný kmioče. Mužeme například mluvi o vdálenosi lambda půl, lambda čvr a skuečnou vdálenos vůbec nemusíme vyčíslova. Pro fáor ineniy elekrického pole bude edy plai: j j k ( e e (.91 Obr.17 Fáory vlny posupující v kladném směru osy Pokud budeme předpokláda, že fáor ineniy elekrického pole pro leží na reálné ose, odpovídá mu časový průběh pro na Obr.18. Pro další body v kladném směru osy se fáor naočí o následující úhel v áporném směru ( proi směru hodinových ručiček: Tomu budou odpovída fáově posunué (požděné harmonické průběhy podle obráku Obr

39 Obr.18 Časové průběhy ineniy elekrického pole Pokud se dané skuečnosi použijí pro popis dopadající vlny, kerá jde v kladném směru osy, budou fáory mís před rohraním jako na obráku Obr.19. Při ako naočených fáorech se předpokládá maimální hodnoa ineniy elekrického pole na rohraní v bodě = a čase =. Obr.19 Fáory dopadající vlny v prosoru před rohraním Fáory ineniy elekrického pole odražené vlny, kerá se pohybuje v áporném směru osy, budou před rohraním a předpokladu áporného činiele odrau podle obráku Obr.. Obr. Fáory odražené vlny v prosoru před rohraním 39

40 Výsledný fáor ineniy elekrického pole na rohraní a v růných mísech před rohraním dosaneme sečením fáorů dopadající a odražené vlny. Výslednému fáoru bude odpovída i časový průběh veličin, jak je náorněno na následujících obracích. Fáor a časový průběh dopadající vlny je vynačen modrou barvou, odražené vlny červenou barvou, výsledný fáor a časový průběh elenou barvou. Obr.1 Fáory a časové průběhy na rohraní v mísě Obr. Fáory a časové průběhy před rohraním v mísě 4 Obr.3 Fáory a časové průběhy před rohraním v mísě 4

41 Obr.4 Fáory a časové průběhy před rohraním v mísě lekromagneická vlna kolmo dopadající dielekrika na rohraní s ideálním dokonalým elekrickým vodičem, úplné sojaé vlnění Pro činiel odrau a prosupu plaí i v omo případě univerální vahy: Z Z 1 R (.9 Z Z1 Z T (.93 Z Z1 Pokud budeme předpokláda, že druhým prosředím je vodič s relaivně velkou vodivosí, bude impedance v druhém prosředí podsaně menší, než v prvním: j Z Z Z Z jω Ve vaích (.9, (.93 le Ẑ vůči Ẑ 1 anedba. Činiel odrau se poom bude blíži jedné: R 1 Činiel prosupu bude naopak relaivně malý: T Ze áporného a jednokového činiele odrau vyplývá, že ineniy elekrického pole dopadající a odražené vlny budou na rohraní sejně veliké a budou orienovány proi sobě. Výsledná inenia elekrického pole ěsně nad rohraní bude éměř nulová: 1 i r i R i Inenia elekrického pole pod rohraním, kde je jen prosupující vlna, musí bý sejná, jako nad rohraním 1 Úplně sojaé vlnění, keré vnikne nad rohraním, bude mí edy na rohraní uel (nulovou hodnou pro ineniu elekrického pole. Kdybychom ale posoupili o vdálenos nad rohraní, bude 4 am mí inenia elekrického pole svoji kminu o dvojnásobné hodnoě, než je dopadající vlna. 41

42 Ze áporného a jednokového činiele odrau dále vyplývá, že ineniy magneického pole dopadající a odražené vlny budou na rohraní sejně veliké a budou orienovány ve sejném směru: Výsledná inenia magneického pole na rohraní edy bude: H 1 H i Magneické pole má na rohraní svoji kminu o dvojnásobné hodnoě ineniy magneického pole dopadající vlny. Kdybychom posoupili o vdálenos nad rohraní, bude am mí inenia 4 magneického pole nulovou hodnou, bude am mí uel. Pod rohraním, kde je poue prosupující vlně, musí bý sejná hodnoa ineniy magneického pole, jako nad rohraním H H H i Z éměř nulové hodnoy činiele prosupu by se mohlo jevi, že se jedná o určiou nesrovnalos s elekromagneickým polem prosupující vlny a podmínkami na rohraní obou sran. Plaí sice: T i Činiel prosupu je malý a oho vyplývá relaivně malá hodnoa ineniy elekrického pole prosupující vlny. Po vydělení impedancí v druhém prosoru, kerá je aké poměrně malá, bude pro ineniu magneického pole skuečně plai: T i Z 1 H i i Z Z Z Z1 Z Z Z1 Při uvažování Z 1 Z poom opravdu: Ẑ Ê i Ĥ H Ẑ 1 Na následujících obrácích jsou fáory ineniy elekrického a magneického pole v růných mísech nad rohraním. Modrou barvou jsou onačeny veličiny dopadající vlny, červenou barvou veličiny odražené vlny, elenou barvou výsledné fáory sojaého vlnění nad rohraním. Inenia elekrického a magneického pole výsledného elekromagneického pole (sojaého vlnění nad rohraním má uly a kminy v růných bodech a jejich harmonické průběhy jsou navájem fáově posunuy. Na rohraní je nulová hodnoa ineniy elekrického pole a kmina ineniy magneického pole: i Ve vdálenosi má kminu inenia elekrického pole a nulu inenia magneického pole 4 4

43 4 Ve vdálenosi má nulu inenia elekrického pole a kminu inenia magneického pole Ve vdálenosi 3 má kminu inenia elekrického pole a nulu inenia magneického pole lekromagneická vlna kolmo dopadající dielekrika na rohraní s reálným elekrickým vodičem, proud a ráy ve spodním vodivém poloprosoru Při dopadu vlny dielekrického prosředí kolmo na reálný elekrický vodič bude impedance ve spodním poloprosoru podsaně menší, než v horním poloprosoru, nebude však nulová jako při idealiaci v.8.3. Činiel prosupu nebude rovněž nulový. Do spodního poloprosoru prosoupí elekromagneická vlna a ímo poloprosorem poeče elekrický proud (vi Obr.5.. Dále bude ukááno, že je fáor celkového proudu ve vymeeném pásu pod rohraním roven složce ineniy magneického pole ěsně pod rohraním. Dále, že je možné počía ráy působené ímo proudem jako ráy v ekvivalenní vsvičce o loušťce rovné hloubce vniku, do keré se počeně sousředí celý proud pod rohraním. 43

44 Obr.5 Proud ekoucí spodním poloprosorem Pro impedanci ve spodním vodivém poloprosoru obecně plaí: Z j j (.94 Pokud však bude pro dobře vodivé prosředí plai: le impedanci vyjádři pomocí činiele úlumu ve vodivém prosředí a dále lépe ukáa její fyikální výnam v omo problému: j 1 j (.95 Z 1 j 1 j 1 j V dobrém vodiči je oiž mají měrný úlum i fáová konsana sejnou velikos: (.96 Tako apsaná impedance se někdy onačuje ermínem povrchová a pomocí hloubky vniku ve spodním vodivém poloprosoru je možné ji vyjádři ako: 1 1 Z j j R ef jl ef (.97 Reálná čás impedance je onačena R ef a naývá se efekivní odpor. Je o pomyslný odpor vrsvičky o loušťce rovné hloubce vniku a roměrech 1 1 m. Bude ukááno, že má pro popis uvedeného problému a výpoče rá velký výnam. 44

45 Obr.6 lemen vodivého poloprosoru pod rohraním Činiel prosupu nebude nulový, jako v idealiovaném případě podle.8.3, ale bude poměrně malý: Z T (.98 Z Z1 Do spodního poloprosoru prosoupí elekromagneická vlna, kerá bude mí ěsně pod rohraním ineniu elekrického pole: T i (.99 Pro ineniu magneického pole bude podobně jako v idealiovaném případě.8.3 plai na rohraní: T i Z 1 H i i Z Z Z Z Z Z Z Ẑ 1 1 (.1 Ê i H H i Ẑ1 Ve směru od rohraní do spodního poloprosoru bude fáově naáče a menšova její ampliuda podle rovnice: jk (=.e (.11 Ve vahu je konsana šíření ve spodním poloprosoru: k j j (.1 Spodním poloprosorem poeče proud, kerý bude mí proudovou husou nejvěší na rohraní a její velikos bude posupně klesa a fáe se naáče podle rovnice: jk jk J (=J.e.e (.13 Pokud se ve spodním poloprosoru vykne pás široký h=1 (vi Obr.5, poeče ímo pásem pod rohraním celkový proud: jk I J ( ds h 1.e d S jk e d H jk (1 j Z (.14 Ve spodním prosoru pod rohraním, pásem širokým 1m, edy eče sejně velký proud, jako je inenia magneického pole ěsně pod rohraním. Že o ak musí bý, je parné přímo pomocí aplikace Ampérova ákona celkového proudu na uavřené dráe obemykající celkový proud v vymeeném pásu podle obráku Obr.7: 45

46 Obr.7 Ampérův ákon pro vyčíslení celkového proudu H dl I (.15 Na horní vodorovné hraně vymeené uavřené dráhy je inenia magneického pole Ĥ, na spodní vodorovné hraně ležící v hloubce,kde se vlna ulumila, je nulová. Na levé a právě hraně je inenia kolmá na dráhu, příspěvek k inegrálu je edy nulový: H 1 1 H I (.16 Zráy ve spodním poloprosoru v kvádru s jednou se spodní hranou v a čelní plochou na rohraní l=1,h=1 ( vi Obr.5 le spočía řemi výsledkově rovnocennými působy. Pokud proniká elekromagneická vlna kolmo do spodního prosoru, bude výkon vnikající jednokovou plochou roven sřední hodnoě Poyningova vekoru. Pokud budeme předpokláda, že se pronikající vlna celá ve spodním prosoru ulumí, bude eno výkon současně roven výkonu, kerý se přemění na eplo. Jsou o edy současně i ráy v dané oblasi spodního poloprosoru. m m m S sř mh m cos( cos Z 4 4 m P Ssř 4 (.17 (.18 Zráy je možné alernaivně počía pro danou proudovou husou objemové husoy rá: 46

47 m m m (.19 V P d V e d Nejajímavější výpoče rá, e kerého současně vyplývá výnam hloubky vniku, efekivního odporu (.97. je pomocí Ampliuda celkového proudu, kerý eče pod rohraním je: m I m I H fekivní odpor podle (.97, jako odpor vrsvičky o loušťce rovné hloubce vniku, je: 1 R ef Zráy poom: m m P R ef I m Snellův ákon odrau a lomu a jeho důsledky 47

48 Snellův ákon ( vi (.51, (.5 vyplývá podmínek na rohraní. Pro splnění podmínek na rohraní musí bý úhel odrau roven úhlu dopadu, pro úhel prosupu musí plai rovnice: k 1 sin i k sin (.11 Z rovnice (.11 le pro adaný úhel dopadu vypočía úhel prosupu: k 1 arcsin sin i k (.111 Konsany šíření k 1, k jsou obecně komplení. Úhel dopadu je reálný úhel, pod jakým vlna dopadá na rohraní a nabývá hodnoy v inervalu, /. Hodnoa sin i je edy aké čisě reálná a pohybuje se v inervalu,1. Ze vahů (.11 a (.111 je ale parné, že hodnoa sin a samoný úhel reálné bý nemusí. Nebude se edy jedna vždy o čisě geomerický úhel. V akovém případě je pořebné nají správnou inerpreaci ako vypočené hodnoy úhlu prosupu a charakeru prosupující vlny, kerá je maemaicky popsána rovnicí: ( vi (.45, (.64 j k ( sin cos (.11 (, y, e.8.6 Šikmý dopad vlny na rohraní dvou dielekrických (elekricky nevodivých maeriálů Konsany šíření budou mí v omo případě čisě reálnou hodnou k1 1 r1 k r (.113 c c Vah pro úhel prosupu (.11 přejde do jednoduchého varu: arcsin Počíaný úhel prosupu ávisí na poměru permiivi r1 r sin i r1 r a hodnoě (.114 sin i. Poměr permiivi může nabýva hodnoy menší nebo i věší než jedna. Hodnoa sin i je číslo vždy menší než jedna. Za určiých okolnosí může argumen funkce arcsin nabý hodnoy, kerá je věší než jedna. Úhel prosupu vyjde i v omo případě komplení..8.6.a Vsup prosředí elekricky řidšího do prosředí elekricky husšího lom ke kolmici Pokud bude plai podmínka, že r r1, budou oba členy v ávorce ve vahu (.114 menší než jedna. 48

49 arcsin r1 sin i r 1 1 Výsledkem je reálná hodnoa úhlu s přímou geomerickou inerpreací. Bude navíc plai: Úhel prosupu je menší, než úhel dopadu. V éo souvislosi můžeme hovoři o lomu ke kolmici. Vi Obr.8. i Obr.8 Lom ke kolmici.8.6.b Vsup prosředí elekricky husšího do prosředí elekricky řidšího lom od kolmice Pokud bude plai podmínka, že r r1, bude první člen v ávorce ve vahu (.114 věší než jedna a druhý menší než jedna. arcsin r1 sin i r Pokud však bude výsledný argumen funkce arcsin menší než jedna, bude úhel sále ješě reálný s přímou geomerickou inerpreací úhlu prosupu. V omo případě bude plai: i Úhel prosupu je věší, než úhel dopadu. V éo souvislosi můžeme hovoři o lomu od kolmice. Vi Obr.9. 49

50 Obr.9 Lom od kolmice.8.6.c Dopad vlny pod kriickým úhlem oální odra Pokud bude plai podmínka: r r1, bude první člen v ávorce ve vahu (.114 věší než jedna a druhý menší než jedna. arcsin r1 sin i (.115 r Pokud bude výsledný argumen funkce arcsin roven právě jedné, jedná se o mení bod, do kerého bude úhel ješě reálný s přímou inerpreací geomerického úhlu prosupu. r1 r sin 1 V omo případě hovoříme o om, že vlna dopadla na rohraní pod kriickým úhlem ohoo kriického úhlu bude: r ikr arcsin r1 Pro úhel prosupu poom bude plai: i kr i kr. Velikos (.116 5

51 Obr.3 Kriický úhel dopadu Podél rohraní ve spodním poloprosoru se bude šíři vlna se speciálními vlasnosmi. Naývá se evanescenní a její vlasnosi budou popsány ve vlášní čási. Na omo jevu je však podsané, že od ohoo úhlu bude činiel odrau pro kolmou i rovnoběžnou polariace v absoluní hodnoě roven jedné. Docháí ak k celkovému odrau vlny. Teno jev se naývá oální odra. Pro činiel dorau ( vi (.6 při rovnoběžné polariaci skuečně plaí: r1 cos r cos( ikr j R j R R e 1 1e r1 cos r cos( i kr Pro činiel odrau při kolmé polariaci (vi (.7: r1 cos( ikr r cos j R j R R e 1 1e r1 cos( ikr r cos Pro dopad vlny pod kriickým úhlem je činiel odrau v absoluní hodnoě roven jedné be ohledu na polariaci vlny. R R 1 Dá se jednoduše ukáa, že o bude plai rovněž pro libovolný úhel dopadu, kerý bude věší, než kriický. i ikr Argumen funkce arcsin je v omo případě věší než jedna. V reálném oboru není pro akové hodnoy funkce definována, le ji ale rošíři do oboru kompleních čísel. Výsledkem bude komplení hodnoa úhlu, pro kerou bude nuné nají správnou inerpreaci. arcsin r1 sin i (.117 r Pro další úvahy však není nuné přímo počía úhel, pro dosaení do vahů sačí ná hodnoy sin,cos. Pro sin bude plai přímo e Snellova ákona: 51

52 sin r1 sin i p (.118 r Je o hodnoa věší než jedna a v (.118 je onačena jako veličina p. Pro cos le s uvážením rovnosi, kerá plaí pro goniomerické funkce i v komplením oboru: sin cos 1 psá cos 1 sin 1 sin (.119 r1 i r Pod odmocninou se objeví áporné číslo, vyknuím (-1 a odmocněním le napsa výslednou komplení hodnou, kerá je onačena jako q: r1 cos j sin i 1 j q Po dosaení do vahu pro činiel odrau při kolmé polariaci bude: R R e r cos( j q j r1 i r (.1 R (.11 cos( j q r1 i r Jedná se o lomek, kerý má v čiaeli a jmenovaeli kompleně sdružená čísla. Jejich absoluní hodnoa je sejná: a úhel naočení čiaele (jmenovaele: r1 i r A cos( q (.1 arcan q r1 r cos( Činiel odrau bude mí jednokovou absoluní hodnou a bude naočený o úhel. j i (.13 A e j R 1 e (.14 j A e Docháí edy vždy k úplnému odrau vln (1% ampliudy s ím, že dopadající a odražená vlna obecně fáově posunua. Superpoicí dopadající a odražené vlny se nad rohraním vyvoří elekromagneické pole, keré bude mí v kolmém směru povahu sojaého vlnění a v podélném směru podél rohraní povahu posupující vlny. Na omo principu jsou aloženy dielekrické vlnovody..8.6.d vanescenní vlna Z dalšího roboru vyplyne, že při dopadu vlny na rohraní pod úhlem, kerý je roven kriickému úhlu nebo věší, se bude pod rohraním šíři vlna se speciálními vlasnosmi. Tao vlna se naývá evanescenní a její vlasnosi budou předměem následujícího roboru. Pro prosupující vlnu le psá obecnou rovnici ( vi (.45, (.64: (, y, e j k ( sin cos Po dosaení (.118,(.1 se ohledněním oho, že je nuné ví s ohledem na fyikální realiu rovnice (.1 alernaivně druhý kořen se naménkem mínus, bude plai: 5

53 j k (sin cos j k p (, y, e e e j k j q Po úpravě bude výsledná rovnice pro vlnu pod rohraním (evanescenní vlnu: j k p k q (, y, e e (.15 V éo rovnici má argumen prvního eponenciálního členu výnam fáové konsany pro vlnu posupující ve směru rohraní (osa : k r1 p k sin k sin i r Vhledem k omu, že je číslo p věší než jedna, bude výsledná fáová konsana věší, než by odpovídalo rovinné harmonické vlně posupující v prosředí se sejnými fyikálními paramery a konsanou šíření k. Fáová rychlos evanescenní vlny podél rohraní bude dána vahem: v f k p Fáová rychlos je edy menší, než by odpovídalo elekromagneické vlně ve volném prosoru s paramery ahrnuými v konsaně k. Vlnová délka evanescenní vlny bude k p Sejnou vlnovou délku a fáovou rychlos musí mí rovněž elekromagneická vlna, kerá vnikne superpoicí dopadající a odražené vlny a kerá je vedena nad rohraním. Dielekrické vlnovody aložené na omo principu se proo někdy onačují jako vlnovody s pomalou vlnou. Druhý eponenciální člen v rovnici (.15 má reálný argumen: r1 k q k sin i 1 r Svým výnamem eno argumen předsavuje menšování ampliudy vlny pod rohraním ve směru kolmo na rohraní (. Vlna v omo směru posupně aniká, proo se naývá evanescenní. Zmenšování ampliudy však není jako u rovinné elekromagneické vlny ve ráovém prosředí dáno ím, že by se energie nesená vlnou měnila na eplo. Jedná se o dielekrické, elekricky nevodivé prosředí obou sran rohraní. vanescenní vlna se naývá rovněž neuniformní. Tako jsou oiž obecně onačovány vlny, u kerých se v jiném směru mění fáe ( v našem případě směr osy a v jiném směru se snižuje ampliuda (v našem případě směr osy. Superpoicí dopadající a odražené vlny vnikne nad rohraním elekromagneické pole, keré bude mí charaker sojaého vlnění ve směru osy a posupující vlny nad rohraním ve směru osy. Vlasnosi evanescenní vlny pod rohraním le posoudi podle obráku Obr.31. Pokud bychom mohli jako poorovaelé sledova harmonický průběh veličin pod rohraním na linii kolmé na rohraní pro konsanní hodnou (vi body a,b,3,d,e, uvidíme průběhy se sejnou fáí, proože fáe se mění ve směru osy. Tyo průběhy by ale měly menšující se ampliudou, proože ampliuda se mění ve směru osy. Pokud bychom sledovali harmonické průběhy na linii rovnoběžné s rohraním (body 1,,3,4,5 pro konsanní hodnou na ose, viděli bychom průběhy se sejnou ampliudou, ale fáově posunué, proože fáe se mění ve směru osy. 53

54 Obr.31 vanescenní vlna.8.7 lekromagneická vlna dopadající šikmo dielekrického prosředí na rohraní s obecným ráovým prosředím rovnice pro prosupující vlnu, neuniformní vlna Pokud dopadne elekromagneická vlna dielekrického prosředí na rohraní s obecným ráovým prosředím, bude pro prosupující vlnu opě plai ( vi (.45, (.64 : Ve Snellově ákoně (, y, e k sin k sin j k ( sin cos 1 i bude konsana k 1 obecně reálná a k komplení: k k j j ( j 1 c r1 Člen k cos bude mí rovněž komplení hodnou: k 1 i 1 i k k cos k 1 sin k 1 sin k k sin q j q Po dosaení do rovnice pro prosupující vlnu: (, y, e e e 1 i j k sin j k cos j k sin j (q j q e (.16 54

55 Po ronásobení členů poom výsledný var: 1 i (, y, e e j k sin q q (.17 Výsledná prosupující vlna ve ráovém prosředí bude mí opě charaker neuniformní vlny. Vlnoplochy jako roviny s konsanní fáí budou posupova ve směru daném úhlem: k 1 sin arcan i q Ampliuda se bude menšova ve směru, kerý je kolmý na rohraní. Tlumící fakor bude q. Ponámka: Zpěným dosaením le pro konrolu ověři, že v případě beeráového druhého prosředí bude plai: q j q k k 1 sin i r r1 sin i c q r r1 sin i q c Ampliuda prosupující vlny se nebude měni a vlnoplochy, jako roviny s konsanní fái, budou prosupova pod úhlem, kerý přejde v úhel prosupu vypočený e Snellova ákona pro dielekrická prosředí: k 1 sin i r1 sin i arcan arcan q r r1 sin i r1 sin i r sin arcan arcan T r1 cos T 1 sin i r T.8.8 Činiel odrau a prosupu při šikmém dopadu vlny na elekricky dobře vodivé prosředí Ve vaích pro činiel odrau rovnoběžně i kolmo polariované vlny : j R r Z cos( Z1 cos( i R R e Z cos( Z cos( i 1 i R R e j r i 1 R Z cos( Z cos( Z cos( Z cos( i i 1 le při šikmém dopadu na vodivé prosředí cela sejně jako při kolmém dopadu v.8.3 předpokláda: j Z Z Z Z jω

56 Poom bude plai: R 1 R 1 R R 1 lekromagneická vlna dopadající prakicky pod libovolným úhlem se cela odraí. Na omo faku jsou aloženy kovové vlnovody..8.9 lekromagneická vlna prosupující dielekrického do dobře elekricky vodivého prosředí Pro prosupující vlnu plaí opě sandardní rovnice ( vi (.45, (.64 : j k ( sin cos (, y, e Pro konsany šíření v prosředí nad a pod rohraním plaí: k1 k j j ( j c r1 V případě relaivně velké vodivosi druhého prosředí je možné předpokláda, že bude plai: Ze Snellova ákona poom: k k 1 k sin 1 sin i k cos 1sin 1 j k j (, y, e e e Prosupující vlna bude v prosoru posupova ve směru osy kolmo k rohraní a bude mí fáovou konsanu a činiel úlumu sejně velký, jako rovinná harmonická elekromagneická vlna ve volném prosoru se sejnými fyikálními paramery..8.1 Polariace elekromagneické vlny, Brewserův polariační úhel Cílem je naleení akového úhlu dopadu elekromagneické vlny na rohraní dvou dielekrik, pro kerý bude činiel odrau pro rovnoběžně polariovanou (alernaivně kolmo polariovanou složku elekromagneické vlny nulový. Pro rovnoběžně polariovanou složku akový úhel reálně eisuje, naývá se polariační nebo někdy Brewserův i i _ BR. Maemaicky eisuje akový úhel i pro kolmo polariovanou složku elekromagneické vlny, prakicky je o ale nerealiovaelné. Obecně polariovaná elekromagneická vlna (vi.5 má vekor ineniy elekrického pole naočen vůči rovině dopadu pod libovolným úhlem. Takovou vlnu je možné roděli na složku s kolmou a 56

57 rovnoběžnou polariací. Pokud aková vlna dopadne na dielekrické rohraní pod polariačním úhlem, odraí se poue složka s kolmou polariací odražená vlna je polariovaná. Pon.: Činiel prosupu je obecně nenulový pro rovnoběžně i kolmo polariovanou složku vlny, o namená, že prosoupí vlna s oběma složkami, o není ale předměem daného řešení. Poina je v polariované odražené vlně. Pro naleení akového úhlu musí edy podle (.6 plai: Pro čiael lomku edy: Po dosaení e Snellova ákona: Po dalších úpravách poom: cos( cos( (.18? r1 r ibr R r1 cos( r cos( ibr r1 r ibr? cos( cos( (.19 cos( 1 sin ( cos( 1 sin ( ibr ibr r1 r1 1 sin ibr r 1 sin ibr r r1 r1 1 sin ibr r 1 sin ibr r r1 r r1 r r sin ibr r (.13 (.131 (.13 r 1 ibr arcsin arcsin r1 r 1 r1 (.133 Pon.: Vah (.133 byl odvoen pro rohraní dvou dielekrických maeriálů, keré jsou samořejmě i nemagneické, plaí r1 r 1. Zcela symerický vah le odvodi pro nulový odra složky s kolmou polariací. V omo případě odvoení naopak vyplyne, že musí bý sejné permiiviy maeriálů na rohraní: r1 r. Pro permeabiliy by musela bý splněna podmínka: 1 ibr arc sin 1 r1 Nají akové maeriály je však prakicky nemožné. r 57

58 .9 Vrsvené prosředí Při kolmém dopadu rovinné harmonické elekromagneické vlny s fáorem i prosoru s fyikálními paramery 1 podle obráku Obr.3 na řadu a sebou umísěných vrsev s růnými fyikálními paramery, se vlna mnohačeně odráží a prosupuje. Výsledkem je vlna s fáorem, kerá vysoupí na druhé sraně do prosředí n a vlna s fáorem r, kerá se odraí pě do prosředí 1. Cílem řešení je sanovení vájemného vahu mei dopadající, odraženou a prosupující vlnou, respekive: sanovení výsledného činiele odrau a prosupu. Obr.3 Vrsvené prosředí Too geomerické uspořádání si le předsavi jako řadu po sobě jdoucích rohraní, na kerých docháí k odrau a prosupu, a řadu a sebou jdoucích vlasních vrsev, na kerých docháí k fáovým posunům prosupujících vln. Obr.33 Vrsvy a rohraní Logika následujícího odvoení spočívá v om, že se nalenou a a sebou ařadí maicové vahy, keré budou udáva vájemnou ávislos veličin na jedné i druhé sraně každého elemenu rohraní i vrsvy. Výsup jednoho elemenu je současně vsupem pro druhý elemen. Pro každé rohraní mei vrsvami podle Obr.34 bude v celkovém souču všech odražených a prosupujících vln plai, že rohraním mei j-ou a k-ou vrsvou procháí jedna vlna leva doprava, kerá bude mí na rohraní v daných vrsvách fáory ineni elekrického pole j(, k(. V opačném směru vlna s fáory: j(, k(. Pro činiele odrau a prosupu pro vlnu procháející rohraním mei j ou a k ou vrsvou ve směru od j_é ke k_é vrsvě bude podle (.75, (.77 plai: Z k Z j Z R k j k T j k Z k Z j Z k Z j Pro činiele odrau a prosupu pro vlnu procháející v opačném směru: 58

59 Přičemž: R k j Z Z Z Z Z Z Z j k j Tk j j k j k R j k R k j Obr.34 Onačení veličin na rohraní Při hledání vájemných souvislosí je užiečné sledova vlnu vsupující do rohraní v jednom i druhém směru. Tyo vlny se čásečně odraí a čásečně prosoupí. (vi Obr.35. Obr.35 Dílčí vlny vsupující do rohraní Výsledná hodnoy fáoru ineniy pro vlnu posupující od rohraní doleva Ê j(, i vlnu posupující od rohraní doprava k( Ê, musí bý rovna souču dílčích složek odražených a prosupujících vln v daném směru (vi Obr

60 Obr.36 Dílčí složky vln Pro fáor vlny posupující od rohraní na pravou sranu bude edy plai (vi Obr.36: T R (.134 k( j k j( k j k( Z ohoo vyplyne první hledaná rovnice pro jednu e složek na levé sraně rohraní v ávislosi na složkách pravé srany rohraní: k( R k j k( 1 j( k( R j k k( (.135 Tj k T j k Pro druhou hledanou složku, fáor vlny posupující od rohraní na levou sranu plaí: T R (.136 j( k j k( j k j( Po pěném dosaení a Ê j( a s uvážením rovnosi T k jt j k R j k 1, bude pro hledanou složku na levé sraně plai: 1 j( k j k( j k T R k( R j k k( T j k (.137 R j k k( Tk jt j k R j k 1 k( R j k k( k( T j k T j k T j k Odvoené vahy le finálně apsa v maicové formě, v níž na levé sraně rovnice bude vekor veličin nalevo od rohraní, na pravé sraně rovnice vekor veličin napravo od rohraní: j( 1 1 R j k k( T j( j k R j k 1 k( (.138 Podobná siuace nasává a rohraním na každé vlasní vrsvě. Zde se vlna, kerá posupuje v přímém i pěném směru, fáově požďuje a lumí. 6

61 Cílem dalšího posupu je opě vyjádři veličiny na jedné sraně vrsvy (levé v ávislosi na veličinách na druhé sraně vrsvy (pravé. Užiečně je vyjádři vahy pro vlny posupující od rohraní. Pro vlnu posupující od rohraní vpravo plaí: j k kd k k(p k(l e (.139 Po převedení do požadovaného varu plaí pro jednu hledanou složku levé srany vrsvy: j k kd k k(l k(p e (.14 Pro vlnu posupující od rohraní v opačném směru a současně pro druhou hledanou složku plaí přímo: j k kd k k( L k( P e (.141 Rovnice (.14,(.141 le opě apsa ve společném maicovém varu, ve kerém bude na levé sraně rovnice vekor veličin na levé sraně vrsvy a na pravé sraně rovnice vekor veličin na pravé sraně vrsvy: j k kd k k(l e k(p (.14 j k kd k k( L e k( P Při řešení problému, ve kerém je více růných vrsev, je možné jednolivé maicové elemeny řadi a sebou a íska výslednou převodní maici mei vsupními a výsupními veličinami: 1( X 11 X 1 n( (.143 1( X 1 X V rovnici (.143 je ve vekoru výsupních veličin ve výsupním prosoru n a vrsvami poue fáor vlny posupující v přímém směru jakožo prosupující vlna. Poom po provedení maicových operací v (.143 plaí: 1( X11 n( (.144 X 1( 1 n( Z ěcho rovnic le poom vlasnosí prvků převodní maice odvodi přímo vah pro výsledný činiel odrau a prosupu. Celkový činiel prosupu je: 1( 11 Podobně aké podělením rovnic (.144 celkový činiel odrau : Ê n( 1 T (.145 X 61

62 1( X R 1 (.146 X 1( 11 Příklad: Na obráku Obr.37 jsou náorněny dvě vrsvy, keré jsou onačeny jako prosředí s paramery a 3. Ze vsupního poloprosoru s paramery 1 dopadá rovinná harmonická elekromagneická vlna a vysupuje do prosředí s paramery 4. Vah mei veličinami ve vsupním a výsupním prosoru bude popsán rovnicí, ve keré jsou a sebou řaeny maicové elemeny pro všechna rohraní a všechny vrsvy. Ê Ê 1( 1( j k d j k 3d 3 1 R 1 e 1 R 3 e 1 R 34 j k d j k R d 1 1 e R 3 1 e R T 1 T3 3 3 T 34 Ê. 4( (.147 Na obráku Obr.37 je náorněna sejná rovnice s odkay na míso v obráku, ke kerému se dané Ê 4( míso v rovnici vahuje. Výsupní vekor odpovídá siuaci v oblasi 4 a vrsvami. Po 1 1 R 34 vynásobení ohoo vekoru leva maicí se například dosáváme na míso, keré T 34 R 34 1 leží ěsně před posledním rohraním mei vrsvou 3 a prosorem 4. Sejně ak další mísa. Obr.37 Vrsvené prosředí složené dvou vrsev.9.1 Půlvlnná a čvrvlnná beodraová vrsva Vahy uvedené v předchoí čási je možné v případě jedné dielekrické vrsvy obklopené obou sran dielekrickým prosředím analyicky upravi a jednoduši. Při věším poču vrsev by bylo analyické řešení nepřehledné a je nuné jej nahradi počíačovým. Při hledání jedné vrsvy, kerá by 6

63 se chovala jako beodraová (celkový činiel odrau bude nulový je možné dospě k velmi jednoduchému a ajímavému řešení, jak bude ukááno dále. Maicovou rovnici, kerá udává vah mei vsupními a výsupními veličinami, le v případě jedné vrsvy napsa v následujícím varu: k d 1( 1 1 R 1 e 1 1 R 3 3(. k d 1( T 1 R 1 1 e T 3 R 3 1 (.148 Podobně jako v rovnici (.143 le po vynásobení všechny maice slouči do jedné společné: 1( 1 A11 A 1 3(. T (.149 1( 1T 3 A 1 A Po éo úpravě bude dále plai pro první člen na levé sraně rovnice:  ( ( 3( T1T3 Z oho vyplyne pro celkový činiel prosupu: 4( T 1T 3 T (.151 1( A11 Pro druhý člen bude plai podobně jako v (.146: A 1 A 1T 1T 3 A 1 1( 3( 1( 1( T 1T 3 A 11 A ( Z oho celkový činiel odrau: 1( A R 1 (.153 1( A11 Pro požadované prvky  11 a  1 avedené maice bude plai: 63

64 j k d A 11 A 1 1 R 1 e 1 R 3 j k A d 1 A R 1 1 e R 3 1 j k d j k d e R 1e 1 R R e e j k d j k d R j k d j k d j k d R 3e A e R R e A j k d R 1e Celkový činiel dorau bude edy: j k d A 1 R 1e R 3e R j k A d e R R e 3 j k d j k d Celkový činiel prosupu: T 1T 3 T 1T 3 T j k A d e R R e j k d (.154 (.155 (.156 Pokud má bý činiel odrau nulový, musí plai: A 1 (.157 a dále j k d j k d R 1e R 3e R 1 e j k d 1 R 3 R 1 e j k d 1 (.158 R 3 Pro splnění rovnice (.158 jsou možné dvě variany, keré budou následně popsány. První variana je: R 1 j k d 1 e 1 R 3 Druhá variana alernaivně: R 1 j k d 1 e 1 R 3 Pro poměr činielů odrau ve vahu (.158 plaí: R 1 Z Z1Z 3 Z Z Z 3 Z Z1Z 3 Z1Z R 3 Z Z1Z 3 Z Z Z 3 Z Z1Z 3 Z1Z (.159 R 1 j k d Pro první varianu řešení plaí: 1 e 1 : R 3 Z poměru činielů odrau vyplývá první podmínka, kerá musí bý v omo případě splněna: 64

65 1 Z Z 3 Z Z1Z 3 Z1Z R R Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z (.16 Z Z 3 Z1Z Z Z 3 Z1Z Z1Z Z Z 3 Z1 Z 3 Z eponenciálního vahu vyplývá druhá podmínka: j k d e cos(k d jsin(k d 1 (.161 k d n kde n,1,... Reálnou konsanu šíření ve vrsvě le apsa pomocí vlnové délky v éo vrsvě: k (.16 k Poom dále plaí (.161: d n d n (.163 První naleené řešeni le slovně hodnoi ako: Pokud elekromagneická vlna vsupuje do vrsvy a vysupuje vrsvy do dielekrického prosoru se sejnými permiiviami ( Z1 Z 3 a současně je loušťka vrsvy rovna pro daný kmioče celým násobkům poloviny vlnové délky vlnění ve vrsvě: d n, chová se aková vrsva jako beodraová. Hovoříme o půlvlnné bedoraové vrsvě. R 1 j k d Pro druhou varianu řešení musí bý splněny podmínky: 1 e 1 R 3 Z poměru činielů odrau vyplývá prví podmínka: R 1 Z Z 3 Z Z1Z 3 Z1Z 1 R 3 Z Z 3 Z Z1Z 3 Z1Z Z1Z 3 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 1 3 Uvedenou podmínku le vyjádři rovněž pomocí permiivi: Z eponenciálního členu vyplývá druhá podmínka (.164 r r1 r3 (

66 j k d e cos(k d jsin(k d 1 d n 1 4 k d n 1 kde n,1,... d n 1 (.166 Druhé naleené řešeni le slovně hodnoi ako: Pokud vlna vsupuje do vrsvy a rovněž vysupuje vrsvy do dielekrických prosorů s akovými paramery, že plaí podmínka r r1 r3, a současně je loušťka vrsvy rovna pro daný kmioče lichým násobkům čvriny vlnové délky vlnění ve vrsvě: d n 1, chová se 4 aková vrsva jako beodraová. Hovoříme o čvrvlnné bedoraové vrsvě nebo o čvrvlnném ransformáru, proože vrsva ransformuje paramery prosředí 1 na paramery prosředí 3 ak, že nedojde při průchodu elekromagneické vlny k odrau. 3 Vlnovody a reonáory 3.1 Obdélníkový kovový vlnovod Pokud vybudíme v geomerickém uspořádání, keré má var rubky určiého průřeu dokonale vodivého maeriálu, elekromagneickou vlnu, může bý vlna a určiých podmínek ouo srukurou vedena hovoříme o vlnovodu. Vlnovod může mí obecně růný příčný var, nejčasěji se používají vlnovody kruhového a obdélníkového průřeu. Inuiivně je možné funkci vlnovodu chápa ak, že vybuená vlna šikmo dopadá na vodivé sěny vlnovodu, od kerých se cela odráží, a posupnými odray se šíří v podélném směru vlnovodu. Superpoicí dopadajících a odražených vln vnikne výsledné pole, keré má v podélném směru podobu posupné vlny a v příčném směru sojaého vlnění. Obr.38 Princip vlnovodu Při deailní analýe elekromagneického pole ve vlnovodu se poom jedná o řešení parciální diferenciální vlnové rovnice s okrajovými podmínkami na sěnách vlnovodu, podle kerých musí mí inenia elekrického pole na rohraní s dokonalým vodičem poue normálovou složku (vsupuje kolmo do sěny a inenia magneického pole poue ečnou složku 66

67 H Obr.39 lekrické a magneické pole nad vodičem Řešení vlnové rovnice není jednonačné, možných varů elekromagneických polí, keré uo rovnici i podmínky na rohraní a určiých okolnosí splňují, je nekonečně mnoho. Jednolivá řešení éo rovnice a omu odpovídající vary elekromagneického pole se naývají módy, sarší onačení bylo vidy. To, jaké vary pole (módy se a daných podmínek skuečně vyvoří, ávisí na působu buení a konkréních podmínkách ve vlnovodu, keré budou popsány dále. Obdélníkový vlnovod je možné popsa v karéské sousavě, ve keré je položen příčný průře vlnovodu do roviny, y a vlna posupuje vlnovodem ve směru osy. Délky sěn vlnovodu jsou onačeny jako a,b. Předpokládá se relace a b. y b a Obr.4 Schémaické náornění obdélníkového vlnovodu Ve vlnovodu le vybudi módy, edy příslušné vary elekromagneického pole, keré le roděli na dvě ákladní skupiny: Módy ypu T (ransverálně elekrické, u kerých má vekor ineniy elekrického pole složky ležící poue v příčné rovině ke směru šíření (ransverální rovině. Inenia elekrického pole má edy poue složky,y, vekor ineniy magneického pole může mí v omo případě obecně všechny složky H,Hy,H. Módy ypu TM (ransverálně magneické, u kerých má naopak vekor ineniy magneického pole poue složky ležící v příčné rovině ke směru šíření (ransverální rovině a jsou o složky H,Hy, vekor ineniy elekrického pole může mí všechny složky,y, Sojaé vlnění v příčném směru Charaker sojaého vlnění v příčném průřeu je popsaný v.příčnými konsanami k, k : y 67

68 k m n, k y a a m,n... se naývají čísla módů. Jsou o celá čísla, keré načí obecně poče půlvln vyvořeného sojaého vlnění na hraně vlnovodu a (ve směru osy a na hraně vlnovodu b (ve směru osy y. Pro eno celý poče půlvln sojaého vlnění jsou oiž na sěnách vlnovodu splněny podmínky na rohraní. Pro přesnou specifikaci varu pole ve vlnovodu se k onačení ypu módu (T,TM přidávají ješě čísla módů (m,n: T m,n, TM m,n. Onačení T,TM edy udává charaker pole, čísla módů udávají konkréní poče půlvln sojaého vlnění v příčném směru. (Například T 1, TM Půlvlny sojaého vlnění na sěnách vlnovodu Jedna půlvlna sojaého vlnění ineniy elekrického pole v příčném směru (pro módy T na podélné hraně odpovídá hodnoě m=1. Vekory ineniy elekrického pole mohou v růných časových okamžicích vypada následovně: Obr.41 Jedna půlvlna sojaého vlnění na vodorovné hraně vlnovodu Inenia elekrického pole mění v ávislosi na čase periodicky svojí hodnou se sinusovým prosorovým roložením podél sěny, uprosřed sěny nabývá nejvěší hodnoy je de kmina sojaého vlnění. Inenia elekrického pole musí mí ve syčném bodě se svislou hranou uel sojaé vlny (sále nulovou hodnou. Jiná hodnoa am bý nesmí, neboť by o namenalo ečnou složku ineniy elekrického pole ke svislé sěně a o by bylo v roporu s okrajovými podmínkami. Vekory ineniy elekrického pole pro jednu půlvlnu sojaého vlnění na svislé hraně, což by odpovídalo indeu n=1, by vypadaly ako: Obr.4 Jedna půlvlna sojaého vlnění na svislé hraně A například ři půlvlny sojaého vlnění na vodorovné hraně m=3: 68

69 Obr.43 Tři půlvlny sojaého vlnění na vodorovné hraně Módu T11 odpovídá jedna půlvlna elekrického pole na svislé i vodorovné hraně (Obr.44. Siločáry elekrického pole by do sěn vsupovaly kolmo, na obráku jsou vynačeny učnými šipkami. Velikosi ineniy na hranách v jednom časovém okamžiku jsou vynačeny schemaickými diagramy jako v předchoích obrácích. Obr.44 Siločáry elekrického pole módu T1 Příčné elekrické pole ve vlnovodu (nikoliv však magneické pole může mí i nulový poče půlvln sojaého vlnění ve svislém směru (n=, nebo ve vodorovném směru (m=. Znamená o, že ve směru s nulovým počem půlvln je inenia elekrického pole v daném okamžiku a mísě všude konsanní. Na obráku je jedna půlvlna na vodorovné hraně na svislé linii je nulový poče půlvln. Inenia elekrického pole je podél éo linie všude konsanní (uprosřed maimální, po sranách sále nulová. Teno obráek pole odpovídá módu T1. Šipky na omo obráku předsavují vekory ineniy elekrického pole, keré v daném okamžiku vysupují e spodní sěny a vsupují do horní. Velikos je náorněna schémaickým diagramem. kons Obr.45 lekrické pole módu T1 1půlv ln a sojaého vlnění půlvln sojaého vlnění Půlvlny sojaé vlny magneického pole v příčném směru pro módy ypu TM (Obr.46 vypadají ak, že je siločára magneického pole ečná ke sěnám. Uprosřed sěny má inenia magneického pole nejvěší hodnou (kminu a její směr se cyklicky mění. Ve sykovém bodě svislé a vodorovné sěny musí bý inenia magneického pole nulová, proože na ákladě podmínek na rohraní nesmí mí k vodivé sěně v žádném bodě normálovou složku. Na obráku je náorněn var pole módu TM11 v růných časových okamžicích. (m=1,n=1, což je jedna půlvlna sojaého vlnění a nejnižší možné 69

70 hodnoy indeů. Nulový poče půlvln sojaého vlnění v jednom směru de není možný, siločára magneického pole je vždy uavřená. Obr.46 Půlvlny sojaého vlnění na siločárách magneického pole Siločáry magneického pole v příčném směru pro m TM (m=,n= by vypadaly následovně: Obr.47 Siločáry magneického pole módu TM Posupná vlna v podélném směru Charaker posupné vlny vyjadřuje podélná konsana šíření ve vlnovodu k. Pokud se vlnovod nacháí v režimu, kdy vede elekromagneickou vlnu, má ao konsana podobný výnam, jako fáová konsana u vlny ve volném prosoru. Udává edy fáový posuv mei veličinami elekromagneického pole vedené vlny v podélném směru a poažmo i vlnovou délku a fáovou rychlos elekromagneické vlny ve vlnovodu:, v f k k Při fáorovém popisu le obecně každou vekorovou veličinu elekromagneického pole v každém bodě vlnovodu popsa funkcí, kerá má následující srukuru: jk H(, y,, resp.(, y, f(k,k y y e m n Funkce f(k,k y y s koeficieny k, k y udává roložení sojaého vlnění a a jk v příčném směru s daným počem půlvln, člen e charakeriuje posupnou vlnu ve směru osy, sejně jako u rovinné vlny Podmínky pro vedení vlny příslušného varu elekromagneického pole (módu vlnovodem Pro posouení, da vlnovod s danými roměry a,b při daném kmioču f skuečně povede vlnu s příslušným varem pole a odpovídajícím počem půlvln sojaého vlnění na hranách (módem, je nuné použí vájemný vah mei příčnými a podélnými konsanami ve vlnovodu, kerý vyplyne řešení vlnové rovnice ve vlnovodu. 7

71 Pro konsany v příčném a podélném směru musí plai: y k k k k V omo vahu načí k konsanu šíření, kerá by odpovídala rovinné harmonické elekromagneické vlně ve volném prosoru se sejnými fyikální paramery (, jako má maeriál ve vlnovodu. f k r r r c c Pokud si položíme oáku, da při daném kmioču ve vlnovodu s roměry a,b vnikne posupná vlna, kerá bude mí v příčném směru m a n půlvln sojaého vlnění, musí bý v eponenciálním výrau jk e konsana k reálné číslo. Poom bude mí ao konsana skuečně výnam fáové konsany jako u rovinné vlny a bude popisova fáově se posouvající (požďujících se veličin posupné vlny ve směru osy.. Posupná vlna ve směru osy bude mí vlnovou délku a fáovou rychlos:, v f k k Pokud by byla ao konsana imaginární, v eponenu eponenciálního členu by výsledně vnikl áporný reálný koeficien, kerý by načil úlum ampliudy ve směru osy. Není o ale úlum ve smyslu, že by se energie elekromagneického pole měnila na eplo. Znamená o fyikální skuečnos, že vlnovod akovou vlnu s daným obraem pole při daném kmioču nedokáže vés. Pokud bude konsana k nulová, vnikne poue sojaé vlnění, vlna nebude posupova. Pro adaný kmioče f, adané roměry vlnovodu a,b, var pole se adaným počem půlvln sojaého vlnění m,n bude plai: y k k k k f m n k ( f, m, n r c a b Pokud má bý konsana k reálná, musí plai po dosaení: y k k k f m n r c a b r c m n f a b Pro určiý kmioče, kerý se naývá pro daný mód (pro danou dvojici čísel m,n a dané roměry vlnovodu kriický, je konsana k nulová, je o bod na hranici mei savem, kdy vlnovod vlnu příslušného varu vede a kdy nevede. V omo případě vnikne ve vlnovodu poue sojaé vlnění a ne posupná vlna: f kri( m, n c m n c m n a b a b r Aby vlnovod vlnu s daným obraem pole při daných roměrech vedl, musí bý pracovní kmioče věší, než kriický. r r 71

72 f f kri ( m, n Dominanní mód T1 Pokud budeme pro dané roměry vlnovodu a,b hleda čísla m,n aková, pro kerá bude hodnoa kriického kmioču nejmenší, najdeme při uvažování relace a b hodnoy čísel módů m=1,n=. To je přípusné poue pro módy T, módy TM nemohou mí nulový poče půlvln a nejnižší možná kombinace je TM 11. Obě konsany m,n o nulové velikosi nemají správný fyikální smysl ani pro módy T. Mód T1 ( m=1,n=, kerý má nejnižší kriický kmioče, se naývá dominanní. Kriický kmioče dominanního módu je: f kri( m1, n c a Vlnovod edy funguje jako horní propus, vlnu ačne vés až od kmioču, kdy je splněna podmínka pro vedení dominanního módu (módu s nejnižším kriickým kmiočem. lekromagneické pole má poom podobu T1 (vi následující obráky. Od určiého vyššího kmioču jsou splněny podmínky pro vedení i u dalších módů, keré se k dominannímu módu posupně přidruží (přičou a elekromagneické pole má komplikovanější var. Vlnovody se velice časo využívají pro pracovní kmioče v v. pásmu přenosu s jedním módem. To je kmiočové pásmo, kdy eisuje poue dominanní mód T1 a osaní módy ješě nevnikly. Pracovní kmioče leží v omo případě mei kriickým kmiočem dominanního módu a kriickým kmiočem dalších následujících vyšších módů. lekromagneické pole dominanního módu je náorněno na následujících obrácích: r Inenia elekrického a magneického pole prosorový pohled T 1 y H Obr.48 Siločáry elekrického a magneického pole módu T1 7

73 Inenia elekrického pole příčný ře a T 1 y b ( M N M Obr.49 Inenia elekrického pole v příčném řeu Inenia magneického pole příčný ře a T 1 y b H ( M N M Obr.5 Inenia magneického pole v příčném řeu 73