FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Signály a soustavy

Transkript

1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Signály a sousavy Garan předměu: Prof. Ing. Vladimír Šebesa, CSc. Auoři exu: Prof. Ing. Vladimír Šebesa, CSc. Prof. Ing. Zdeněk Smékal, CSc.

2

3 Signály a sousavy Obsah ÚVOD...7. PŘÍKLADY SIGNÁLŮ Signál EKG Řečový signál Hudební signál Daové signály Obraový signál.... DEFINICE SIGNÁLU..... Bližší vymeení pojmu signál..... Maemaické modely signálu ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY Operace s jedním signálem Operace se dvěma signály SYSTÉMY A JEJICH TŘÍDĚNÍ Definice sysému Třídění sysémů...3 PERIODICKÝ SIGNÁL...5. HARMONICKÝ SIGNÁL Model harmonického signálu Spekrum harmonického signálu...7. OBECNÝ PERIODICKÝ SIGNÁL Definice periodického signálu Fourierova řada SPEKTRA PERIODICKÝCH SIGNÁLŮ Funkce sinc(.) Odvoení vorce pro inegrál Spekrum periodických obdélníkových impulů Poučky o spekrech ZOBECNĚNÍ FOURIEROVY ŘADY SIGNÁLY SE SPOJITÝM SPEKTREM ZAVEDENÍ FOURIEROVY TRANSFORMACE POUČKY O SPEKTRECH Vlasnosi spekrální funkce Linearia obraení Posunuí v čase Změna časového měříka Spekrum konvoluce Spekrální husoa energie SPEKTRA VYBRANÝCH SIGNÁLŮ Jednokový impul Jednokový skok Sejnosměrný signál Harmonický signál Obdélníkový impul Periodický sled jednokových impulů Zpěný obra signálu s obdélníkovým spekrem...49

4 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně 4 SYSTÉMY SE SPOJITÝM ČASEM CHARAKTERISTIKY LINEÁRNÍHO NEPARAMETRICKÉHO SYSTÉMU IDEÁLNÍ PŘENOSOVÝ ČLÁNEK KMITOČTOVÉ FILTRY NÁHODNÉ SIGNÁLY SE SPOJITÝM ČASEM PROČ NÁHODNÉ PROCESY DEFINICE NÁHODNÉHO PROCESU MNOŽINA REALIZACÍ DISTRIBUČNÍ FUNKCE A FUNKCE HUSTOTY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI MOMENTY STACIONARITA ERGODICITA SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA VÝKONU ANALOGOVÉ A ČÍSLICOVÉ SIGNÁLY PROČ? IDEÁLNÍ VZORKOVÁNÍ NÁVRAT OD VZORKŮ K PŮVODNÍMU SIGNÁLU VÝŠKOVÉ KVANTOVÁNÍ A/D A D/A PŘEVOD SIGNÁLY S DISKRÉTNÍM ČASEM DISKRÉTNÍ ČAS ZÁKLADNÍ DISKRÉTNÍ SIGNÁLY Jednokový impul Jednokový skok Harmonický signál Exponenciální posloupnosi OPERACE SE SIGNÁLY Přiřaení periodické posloupnosi posloupnosi délky N Okno Lineární konvoluce Kruhové posunuí Kruhová konvoluce DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA TRANSFORMACE DISKRÉTNÍHO SIGNÁLU DISKRÉTNÍ FOURIEROVA ŘADA Definice diskréní Fourierovy řady Vlasnosi diskréní Fourierovy řady DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE Definice diskréní Fourierovy ransformace Vlasnosi obrau RYCHLÁ FOURIEROVA TRANSFORMACE NÁHODNÉ SIGNÁLY S DISKRÉTNÍM ČASEM DEFINICE NÁHODNÉHO SIGNÁLU S DISKRÉTNÍM ČASEM MNOŽINA REALIZACÍ MOMENTY... 97

5 Signály a sousavy STACIONARITA A ERGODICITA SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA VÝKONU...97 SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM.... LINEÁRNÍ STACIONÁRNÍ SYSTÉM.... IMPULZNÍ CHARAKTERISTIKA....3 SPOJOVÁNÍ DISKRÉTNÍCH SYTÉMŮ LTI PŘENOSOVÁ FUNKCE SYSTÉMU LTI REALIZAČNÍ MOŽNOSTI KMITOČTOVÉ CHARAKTERISTIKY...7 SDĚLOVACÍ SOUSTAVA A JEJÍ CHARAKTERISTIKY.... SDĚLOVACÍ SOUSTAVA.... PŘENOS V ZÁKLADNÍM PÁSMU Binární signál Čyřsavový signál Šířka spekra Signál a rušení Meisymbolové přeslechy... SIGNÁLY PRO PŘENOS V PŘELOŽENÉM PÁSMU...5. ANALOGOVÉ MODULACE Ampliudová modulace Kmiočová modulace...7. ČÍSLICOVÉ MODULACE Ampliudové klíčování Kmiočové klíčování Fáové klíčování SIGNÁLY MNOHOKANÁLOVÝCH SOUSTAV Muliplexy Mnohokanálové přísupy DODATKY OPERACE S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY TRANSFORMACE Z Zavedení ransformace Z Vlasnosi ransformace Z Výpočy obraů KORELACE Korelační funkce periodického signálu Náhodný proces se spojiým časem Náhodný proces s diskréním časem VÝSLEDKY TESTŮ VLASTNOSTI ZOBRAZENÍ V TABULKÁCH ÚVOD DO MATLABU...47

6 4 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně Senam obráků OBRÁZEK.: SIGNÁL EKG... 7 OBRÁZEK.: ŘEČOVÝ SIGNÁL... 8 OBRÁZEK.3: TÓNY FLÉTNY (NAHOŘE) A KLAVÍRU (DOLE)... 9 OBRÁZEK.4: SIGNÁLOVÉ PRVKY NRZ... OBRÁZEK.5: BINÁRNÍ SIGNÁL.... OBRÁZEK.6: OBRAZ SLOŽENÝ Z PIXELŮ... OBRÁZEK.7: DIGITÁLNÍ OBRAZOVÝ SIGNÁL... OBRÁZEK.8: SIGNÁL A JEHO MATEMATICKÝ MODEL... OBRÁZEK.9: SIGNÁL S DISKRÉTNÍM ČASEM... 3 OBRÁZEK.: ZMĚNA ČASOVÉHO MĚŘÍTKA... 4 OBRÁZEK.: POSUNUTÍ V ČASE... 5 OBRÁZEK.: OBRÁCENÍ ČASOVÉ OSY... 6 OBRÁZEK.3: OPERACE SE DVĚMA SIGNÁLY... 7 OBRÁZEK.4: KONVOLUCE... 8 OBRÁZEK.5: KORELACE DVOU SIGNÁLŮ... 9 OBRÁZEK.6: DYNAMICKÝ SYSTÉM... OBRÁZEK.7: PŘÍKLAD ELEKTRICKÉHO SYSTÉMU... OBRÁZEK.8: PRŮBĚH PŘECHODNÉHO DĚJE... OBRÁZEK.9: PŘECHODNÝ DĚJ PŘI NENULOVÉM POČÁTEČNÍM STAVU... OBRÁZEK.: MODEL HARMONICKÉHO SIGNÁLU... 6 OBRÁZEK.: SPEKTRUM MODULŮ... 7 OBRÁZEK.3: SPEKTRUM ARGUMENTŮ... 7 OBRÁZEK.4: SOUČET FOURIEROVY ŘADY SIGNÁLU... 9 OBRÁZEK.5: ČÁSTEČNÉ SOUČTY FOURIEROVY ŘADY... 3 OBRÁZEK.6: FOURIEROVSKÁ ZOBRAZENÍ... 3 OBRÁZEK.7: ZPĚTNÁ FOURIEROVSKÁ ZOBRAZENÍ... 3 OBRÁZEK.8: PERIODICKY SE OPAKUJÍCÍ OBDÉLNÍKOVÉ IMPULZY... 3 OBRÁZEK.9: SPEKTRUM MODULŮ A SPEKTRUM ARGUMENTŮ PERIODICKÉHO SLEDU OBDÉLNÍKOVÝCH IMPULSŮ OBRÁZEK.: HADAMARDOVY FUNKCE OBRÁZEK.: HAAROVY WAVELETY OBRÁZEK 3.: PERIODICKÉ SIGNÁLY S NARŮSTAJÍCÍ PERIODOU OBRÁZEK 3.: MODULY KOEFICIENTŮ FOURIEROVÝCH ŘAD OBRÁZEK 3.3: ZMĚNA ČASOVÉHO MĚŘÍTKA... 4 OBRÁZEK 3.4: SPEKTRUM KONVOLUCE DVOU OBDÉLNÍKOVÝCH SIGNÁLŮ... 4 OBRÁZEK 3.5: SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA ENERGIE... 4 OBRÁZEK 3.6: JEDNOTKOVÝ IMPULZ OBRÁZEK 3.7: MODUL A ARGUMENT SPEKTRÁLNÍ FUNKCE JEDNOTKOVÉHO IMPULZU OBRÁZEK 3.8: JEDNOTKOVÝ SKOK OBRÁZEK 3.9: SPEKTRUM JEDNOTKOVÉHO SKOKU OBRÁZEK 3.: STEJNOSNĚRNÝ SIGNÁL A JEHO SPEKTRÁLNÍ FUNKCE OBRÁZEK 3.: SPEKTRUM HARMONICKÉHO SIGNÁLU OBRÁZEK 3.: OBDÉLNÍKOVÝ IMPULZ OBRÁZEK 3.3: SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULZU OBRÁZEK 3.4: PERIODICKÝ SLED JEDNOTKOVÝCH IMPULZŮ OBRÁZEK 3.5: SPEKTRÁLNÍ FUNKCE PERIODICKÉHO SLEDU JEDNOTKOVÝCH IMPULZŮ OBRÁZEK 3.6: OBDÉLNÍKOVÁ SPEKTRÁLNÍ FUNKCE OBRÁZEK 3.7: ČASOVÝ PRŮBĚH SIGNÁLU S OBDÉLNÍKOVÝM SPEKTREM... 5 OBRÁZEK 4.: ČLÁNEK BUZENÝ ZDROJEM HARMONICKÉHO SIGNÁLU... 5

7 Signály a sousavy 5 OBRÁZEK 4.: MODULOVÁ KMITOČTOVÁ CHARAKTERISTIKA...53 OBRÁZEK 4.3: FÁZOVÁ KMITOČTOVÁ CHARAKTERISTIKA...54 OBRÁZEK 4.4: IDEÁLNÍ FILTRY...55 OBRÁZEK 4.5: TOLERANČNÍ SCHÉMA...56 OBRÁZEK 5.: REALIZACE NÁHODNÉHO PROCESU...58 OBRÁZEK 5.: REALIZACE NORMÁLNÍHO NÁHODNÉHO PROCESU...59 OBRÁZEK 5.3: NESTACIONÁRNÍ NÁHODNÝ PROCES...6 OBRÁZEK 5.4: MĚŘENÍ SPEKTRÁLNÍ HUSTOTY VÝKONU...63 OBRÁZEK 6.: IDEÁLNÍ VZORKOVÁNÍ...65 OBRÁZEK 6.: IDEÁLNÍ VZORKOVÁNÍ V KMITOČTOVÉ OBLASTI...66 OBRÁZEK 6.3: ALIASING V KMITOČTOVÉ OBLASTI...68 OBRÁZEK 6.4: VLIV ANTIALIASINGOVÉHO FILTRU...69 OBRÁZEK 6.5: PŘENOSOVÁ FUNKCE REKONSTRUKČNÍHO FILTRU...69 OBRÁZEK 6.6: REKONSTRUKCE V ČASOVÉ OBLASTI...7 OBRÁZEK 6.7: KVANTOVÁNÍ ZAOKROUHLOVÁNÍM...7 OBRÁZEK 6.8: ANALOGOVĚ DIGITÁLNÍ PŘEVOD...7 OBRÁZEK 6.9: DIGITÁLNĚ ANALOGOVÝ PŘEVOD...73 OBRÁZEK 6.: ALIASING V ČASOVÉ OBLASTI...74 OBRÁZEK 7.: ČASOVÁ OSA DISKRÉTNÍHO SIGNÁLU...75 OBRÁZEK 7.: JEDNOTKOVÝ IMPULZ A JEDNOTKOVÝ SKOK...76 OBRÁZEK 7.3: POSLOUPNOSTI cos(,π n) A 4 cos(,πn,3π)...76 OBRÁZEK 7.4: LINEÁRNÍ KONVOLUCE...78 OBRÁZEK 7.5: LINEÁRNÍ A CYKLICKÉ POSUNUTÍ...79 OBRÁZEK 7.6: KRUHOVÁ KONVOLUCE...8 OBRÁZEK 8.: DISKRÉTNÍ FOURIEROVA ŘADA...84 OBRÁZEK 8.: DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE...85 OBRÁZEK 8.3: OBRÁZEK 8.4: OPERACE VYJÁDŘENÉ POMOCÍ GRAFU SIGNÁLOVÝCH TOKŮ...88 ROVNICE ( 8.5 ) ZAPSANÉ POMOCÍ GRAFŮ SIGNÁLOVÝCH TOKŮ...89 OBRÁZEK 8.5: ALGORITMUS FFT TYPU DIT PRO N = OBRÁZEK 8.6: ALGORITMUS O ZÁKLADU TYPU DIT PRO N = OBRÁZEK 8.7: MOTÝLEK PRO DVĚ SKUPINY ALGORITMŮ...9 OBRÁZEK 8.8: POROVNÁNÍ POČTU OPERACÍ...9 OBRÁZEK 9.: ROZLOŽENÍ OKAMŽIKŮ i NA ČASOVÉ OSE...93 OBRÁZEK 9.: SOUBOR REALIZACÍ...93 OBRÁZEK 9.3: REALIZACE NÁHODNÉHO PROCESU S DISKRÉTNÍ MNOŽINOU HODNOT...94 OBRÁZEK 9.4: DISTRIBUČNÍ FUNKCE...95 OBRÁZEK 9.5: DISTRIBUČNÍ FUNKCE DRUHÉHO PROCESU...95 OBRÁZEK 9.6: HUSTOTA PRAVDĚPODOBNOSTI...96 OBRÁZEK 9.7: ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTÍ...96 OBRÁZEK 9.8: SIGNÁL A JEHO SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA...99 OBRÁZEK.: ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ IMPULZ A OBECNÝ SIGNÁL... OBRÁZEK.: METODA SUPERPOZICE... OBRÁZEK.3: PARALELNÍ SPOJENÍ...3 OBRÁZEK.4: SÉRIOVÉ SPOJENÍ...4 OBRÁZEK.5: OBRÁZEK.6: ZÁKLADNÍ OPERACE VYJÁDŘENÉ GRAFY SIGNÁLOVÝCH TOKŮ...6 GRAF SIGNÁLOVÝCH TOKŮ SYSTÉMU IIR DRUHÉHO ŘÁDU...7 OBRÁZEK.: DVOUBODOVÁ SOUSTAVA... OBRÁZEK.: SMÍŠENÁ SOUSTAVA...3 OBRÁZEK.3: ČÍSLICOVÁ SDĚLOVACÍ SOUSTAVA...4 OBRÁZEK.4: ČTYŘSTAVOVÝ SIGNÁL...6

8 6 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně OBRÁZEK.5: SPEKTRUM AMPLITUD A PŘENOSOVÁ FUNKCE... 7 OBRÁZEK.6: SIGNÁL PŘED A ZA DOLNÍ PROPUSTÍ... 7 OBRÁZEK.7: PŘÍJEM BINÁRNÍHO SIGNÁLU... 8 OBRÁZEK.8: DIAGRAM OKA... 8 OBRÁZEK.9: PODMÍNĚNÉ HUSTOTY... 9 OBRÁZEK.: PŘIZPŮSOBENÝ FILTR... OBRÁZEK.: SIGNÁLY V PŘIZPŮSOBENÉM FILTRU... OBRÁZEK.: VYSÍLACÍ A PŘIJÍMACÍ FILTR... OBRÁZEK.3: KMITOČTOVÁ CHARAKTERISTIKA FILTRU RC... OBRÁZEK.4: IMPULZOVÁ CHARAKTERISTIKA FILTRU RC... OBRÁZEK.5: ODEZVA NA SIGNÁLOVÝ PRVEK... 3 OBRÁZEK.6: ČÍSLICOVÁ FILTRACE... 3 OBRÁZEK.: AMPLITUDOVÁ MODULACE... 5 OBRÁZEK.: SPEKTRUM AM SIGNÁLU... 6 OBRÁZEK.3: SOUČINOVÝ DEMODULÁTOR... 6 OBRÁZEK.4: ASK ČASOVÉ PRŮBĚHY... 8 OBRÁZEK.5: SPEKTRUM ASK... 9 OBRÁZEK.6: KMITOČTOVÉ KLÍČOVÁNÍ... 9 OBRÁZEK.7: FÁZOVÉ KLÍČOVÁNÍ... 3 OBRÁZEK.8: SIGNÁLY V SOUČINOVÉM DEMODULÁTORU... 3 OBRÁZEK.9: SPEKTRUM SIGNÁLU BPSK... 3 OBRÁZEK.: PŘÍJEM ZARUŠENÉHO SIGNÁLU... 3 OBRÁZEK.: VÍCECESTNÉ ŠÍŘENÍ OBRÁZEK 3.: KOMPLEXNÍ ROVINA OBRÁZEK 3.: JEDNOTKOVÁ KRUŽNICE OBRÁZEK 3.3: ZOBRAZENÍ ČÍSLA EXP(Jπ) OBRÁZEK 3.4: AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOST DISKRÉTNÍHO PROCESU... 4 OBRÁZEK 3.5: VZÁJEMNÁ KORELAČNÍ FUNKCE OBRÁZEK 3.6: GRAF SIGNÁLU SE SPOJITÝM ČASEM... 5 OBRÁZEK 3.7: PŘÍKAZ SUBPLOT... 5

9 Signály a sousavy 7 Úvod V návu skrip se vyskyují dva pojmy: signál a sousava. Jsou o pojmy velmi obecné a používají se ve více výnamech. Ve sdělovací echnice se signálem roumí fyikální nosiel informace. Informace je každá práva, sdělení, údaj. Sousavou je éměř každý objek, se kerým se v echnické praxi sekáváme. Signály a sousavy je vžiý náev pro předmě, kerý má sudeny senámi se ákladními vlasnosmi signálů a sousav, jejich popisem a s působením sousav na signál. Pro předmě Signály a sousavy bylo napsáno velké množsví učebnic, keré se vájemně liší svým pojeím i rosahem. Auoři před Vámi ležícího exu si vali a úkol napsa sroumielnou učebnici. Tím není řečeno, že by vládnuí láky nevyžadovalo úsilí sudena. Rosah exu napovídá, že v něm nemůže bý všechno. Jedná se o předmě úvodní. Přeso le říci, že vládnuí učiva přinese sudenovi schopnos používa někeré v echnické praxi velmi užiečné násroje analýy a pracování signálů. Navíc mu pomůže s přehledem proniknou do problemaiky dalších předměů. V dalších čásech éo kapioly budou uvedeny příklady konkréních signálů a sousav, pak budou pojmy signál a sousava blíže vymeeny. V ávěru kapioly se senámíme s někerými ákladními operacemi se signály. S jinými operacemi se signály se sekáme poději.. Příklady signálů.. Signál EKG Signál EKG (Elecrocardiography signal, ECG) poskyuje lékaři důležié informace o činnosi a savu lidského srdce. Signál dravého člověka je přibližně periodický s periodou asi s, Obráek.. Nápadným prvkem v časovém průběhu EKG je pravidla úvar charakerisického varu námý pod onačením QRS komplex. V něm nejvíce vyniká R vlna...8 R vlna.6 u[mv] Obráek.: Signál EKG [s]

10 8 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně V moderních přísrojích se signál EKG vorkuje, aby pak mohl bý vyjádřen posloupnosí čísel a následně číslicově pracován. Sandardní rychlosi vorkování signálu EKG jsou 5 vorků (samples) a sekundu a 5 vorků a sekundu (Sa/s). Vlasní signál EKG je doprováen růnými rušivými složkami. Paří k nim například napěí s kmiočem 5 H naindukované e síťových rovodů kapaciními vabami a magneickou indukcí. Další rušivé signály, keré jsou součásí snímaného napěí, jsou vyvolány svalovými sahy. Příomnos rušivých signálů může bý nepříjemná, proože užiečná složka signálu má rokmi jen asi mv... Řečový signál Řečový signál je akusickým signálem. Má celou řadu specifických vlasnosí a nese roličné informace. Především má nějaký obecný věcný obsah, sdělení, keré by bylo možné vyjádři písmem. Z řečového signálu jsme pravidla schopni ropona, da mluví muž, žena nebo díě, jakým jaykem mluvčí mluví, jakou má náladu a pod. Také jsme schopni na ákladě hlasového projevu ropona nám námou osobu, což je využíváno v bepečnosních sysémech. Při přenosu řeči na velkou vdálenos můžeme klás růné nároky na kvaliu přenosu podle oho, jaké informace chceme přijaého signálu íska. Jakos řečového signálu je dána především kmiočovým pásmem propusnosi sdělovacího sysému. V praxi se usálila elefonní kvalia (elephone speech) s pásmem 3 H až 3 4 H, v USA H až 3 H, rohlasová kvalia (wideband speech) s pásmem 5 H až 7 kh a konečně CD kvalia (wideband audio) s pásmem H až kh sereo. Časový průběh napěí ískaného mikrofonu odpovídající čási hlásky "s" je náorněn na obráku (Obráek.: Řečový signál) v horní polovině, v dolní polovině obráku je nakreslen časový průběh hlásky "i". Časový průběh vyjadřující hlásku "s" je výraně nepravidelný, aímco signál hlásky "i" je skoro periodický. u() "s" u() "i" Obráek.: Řečový signál ime Promluva může bý členěna na jednolivé fonémy. Foném je čás řečového signálu s následující definiční vlasnosí: měnou fonému se mění výnam slova. Foném je pojem blíký pojmu hláska, je však přesněji vymeen. Například kráká samohláska a dlouhá

11 Signály a sousavy 9 samohláska předsavují dva růné fonémy. Fonémy mohou bý říděny podle druhu buení vokálního raku. Pro číslicové vyjádření elefonního řečového signálu se klasicky používá vorkovací kmioče 8 ksa/s. Signál s horním mením kmiočem 7 kh se vorkuje se vorkovacím kmiočem 6 ksa/s. Řečový signál a jeho vnímání člověkem mají řadu vlasnosí, keré jsou využívány pro úsporné vyjádření řečového signálu posloupnosí čísel. Nepříjemným doprovodným efekem je poždění aváděné kódováním a dekódováním. Vývoj v éo oblasi dosud není uavřen. Výnamnou oblasí výkumu je roponávání slov. Někeré výsledky výkumu jsou již aplikovány v praxi, například volba elefonního čísla hlasem. Nikdo by si však asi aím nedovolil be vlášních opaření nasadi do praxe hlasové ovládání jeřábu vedajícího ěžké náklady...3 Hudební signál Vedle řečových signálů je dalším výnamným předsavielem akusických signálů hudba. V ideálním případě by byly jednolivé óny přesně harmonické a kmioče by byl jejich nejvýnamnějším paramerem. Tóny jednolivých násrojů nejsou přísně harmonické, j. kosinusové, dokonce nebývají ani přesně periodické. Například u srunových násrojů se projevuje ávislos rychlosi šíření vuku srunou na kmioču. V důsledku oho v. vyšší harmonické složky mají kmiočy mírně odchýlené od celisvých násobků kmiočů ákladní harmonické složky...5 u() u() -.5 Obráek.3: cilso vorku Tóny flény (nahoře) a klavíru (dole). Přiroený vuk věšiny hudebních násrojů je vyvářen mechanickými kmiy vniklými vybuením nějakého mechanického osciláoru, kerý pak vyvolá vibrace dalších čásí násroje. Například u piana je primární osciláor vořen napnuou ocelovou srunou, kerá je uváděna do kmiání úderem kladívka. Sruna pak vyvolává vibrace v dřevěném ěle piana.

12 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně Pro vorkování Hi-Fi audiosignálu s horním mením kmiočem kh se používá vorkovací kmioče 44, ksa/s, ale aké 48 ksa/s. Pro signál s horním mením kmiočem 5 kh se používá vorkovací kmioče 3 ksa/s. s () D s () T T - D Obráek.4: Signálové prvky NRZ...4 Daové signály V počíačových síích, v moderních rohlasových a eleviních sysémech, v sysémech mobilních elefonů, v sousavách dálkového měření a ovládání jsou přenášeny jednoho mísa na druhé sdělovacími sousavami signálové prvky vyjadřující, přímo nebo prosředkovaně, nuly a jedničky. Příklad signálových prvků daového signálu je nakreslen na obráku Obráek.4. Jedná se o signál naývaný NRZ (nonreurn-o-ero) dvojí polariy. Nula je vyjadřována áporným impulem šířky T a výšky D, jednička je vždy vyjádřena kladným impulem šířky T a výšky D. Při přenosu jsou nejčasěji signálové prvky řaeny jeden a druhým, akže se přenáší /T signálových prvků a sekundu (Obráek.5). Poče signálových prvků přenášených a sekundu se naývá modulační rychlos. Poče dvojkových číslic přenášených a sekundu se naývá přenosová rychlos. V našem případě obě veličiny nabývají sejných číselných hodno. Signál má obvykle v mísě příjmu malý výkon. Je přinejmenším lineárně kreslen. To se projevuje měnou varu signálových prvků. Přiom nám nejvíce vadí věšení doby rvání signálových prvků. Signálové prvky po sobě jdoucí se překrývají a vájemně se ruší. Navíc se ve sdělovacím sysému pravidla k užiečnému signálu přidružují roličné signály rušivé. Hledání algorimů pro správné vyhodnocení přijaého signálu spolu s hledáním vhodných varů vysílaných signálových prvků a jejich efekivních kombinací předsavuje příležios pro uplanění mnoha odborníků na číslicové pracování signálu. u() [V] 8 [ µs] - Obráek.5: Binární signál.

13 Signály a sousavy Obvykle se snažíme, aby přenosová rychlos byla co nejvěší. Proo musí mí signálové prvky krákou dobu rvání. To však je, jak se dovíme v dalších kapiolách skrip, v roporu s druhým obvyklým požadavkem: aby daový signál abíral co nejmenší šířku kmiočového pásma. Daový signál má mí i řadu dalších vlasnosí, ejména by se měl vynačova dobrou rolišielnosí signálových prvků...5 Obraový signál Obraový signál je, na rodíl od předchoích příkladů, signálem dvouroměrným. Obraový signál má původ ve měnách ineniy svěla v rovině, j. ve dvouroměrném prosoru. Analýa a pracování obraových signálů je ajímavým oborem, kerý má široké uplanění. Má svůj maemaický apará, kerý se liší od aparáu jednoroměrných signálů, ač je s ním příbuný. Pro účely přenosu či ánamu nebo pracování může bý dvouroměrný obraový signál roložen na řádky. V klasické elevii snímání scény probíhá po řádcích, a ak se signál převádí na jednoroměrný. Obráek.6: Obra složený pixelů Obráek.7: Digiální obraový signál

14 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně V moderní echnické praxi má signál formu malých plošek uspořádaných do řádků a sloupců. Plošky se naývají obraové prvky, v žargónu pak pixely ( anglického pixel elemen). Obráek.6 předsavuje digiální obráek, kerý má 8 řádků, 8 sloupců, 64 pixelů, je černobílý se 4 supni šedi. Pokud je obra černobílý, můžeme přiřadi jednolivým pixelům čísla vyjadřující příslušný supeň šedi, předsavuje černou a maximální hodnoa, v našem případě 3, předsavuje bílou, Obráek.7. Meilehlá čísla udávají supně šedi. Při poču úrovní 4 můžeme supeň šedi vyjádři binárním číslem se dvěma číslicemi, edy biy. Poče pixelů je 8x8, akže k úplnému popisu obráku pořebujeme 8 x 8 x = 8 biů. Číslicový obraový signál můžeme íska řádkového signálu vorkováním a číselnou repreenací vorků. Signál je ransformován do podoby posloupnosi čísel nebo na maice čísel. Číslicová forma umožňuje aplikova posupy pro kompresi da, lepšení osrosi obrau, polačení šumu, roponání objeků ad. S 8 sloupci a s 8 řádky se v praxi obvykle nespokojíme. Uvažujme proo hodnoy 6 a. Také pro poče supňů šedi budeme uvažova v praxi přijaelnější hodnou 56. Pak bude pro binární ápis obrau apořebí 6 x x 8 = 536 biů. Pokud se rohodneme přenáše 5 akovýcho obráků a sekundu, dosaneme přenosovou rychlos 384 Mbiů a sekundu, a o je docela dos. Navíc bývá vyžadován i přenos informace o barvě. Uvedené okolnosi přiměly echniky k vývoji a avedení meod umožňujících sníži nároky na únosnou míru. u() 3 a) 5-3 b) s() 3 5 Obráek.8: Signál a jeho maemaický model -3. Definice signálu.. Bližší vymeení pojmu signál Předsavy o výnamu slova signál jsou růné. Dokonce ani inženýři elekroechnici nejsou ve výkladu obsahu pojmu signál moc jednoní. Pohled na slovo signál je ávislý na jejich aměření. Náory se mohou liši ejména v hodnocení vájemné váanosi či neávislosi signálu a sysému. Pro obvodáře či odborníka na auomaické říení je signál násrojem pro popis sysému, jeho savu a chování vůči okolí. Naopak pro odborníka na pracování signálů je sysém, ve kerém signál vniká mnohdy vdálený a nenámý nebo

15 Signály a sousavy 3 neajímavý, případně nepopsaelný. Teno odborník se abývá především hledáním efekivních a realiovaelných algorimů pracování signálu např. s cílem jisi někeré informaci nesoucí paramery užiečné složky signálu. Teprve sekundárně, v případě pořeby, navrhuje sysémy algorimus realiující. My budeme signálem roumě veličinu, pravidla fyikální, nesoucí informaci. Pojem informace bude chápán velmi obecně jako každá práva, sdělení nebo údaj. S případem, kdy signálem bude elekrické napěí nebo elekrický proud, se budeme sekáva nejčasěji. To souvisí se skuečnosí, že jsou k dispoici echnické prosředky, keré umožňují elekrické signály pracováva rychle a levně. Také jsou k dispoici prosředky, keré převádějí jiné ypy signálu na signály elekrické, například mikrofon, růná čidla, snímače. Nejčasěji se aké budeme abýva signály, u kerých se bude informaci nesoucí veličina měni v ávislosi na čase..5 s.5 Obráek.9: Signál s diskréním časem n Romanios skuečných signálů vedla k pokusům signály řídi. Takováo řídění jsou nejednonačná a nepřesná, a proo málo přínosná. My se jim vyhneme a řídění avedeme až u maemaických modelů signálů. Maemaické modely signálů jsou vynikajícím a efekivním násrojem pro sudium signálů a hledání násrojů jejich analýy a algorimů jejich pracování. Umožní nám snadno avés užiečné veličiny a pojmy. Suden přiom najde beprosřední uplanění čási svých nalosí sředoškolské a vysokoškolské maemaiky. Z příkladů uvedených v. le vysledova, že skuečné signály jsou vždy více či méně neurčié, jejich průběh není přesně předvídaelný. Přesně pravidelný signál by nenesl informaci. Ukauje se, že při řešení řady úloh v elekroechnice le pominou náhodnos v chování signálu. Proo časo skuečné, v podsaě náhodné, sochasické signály nahraujeme pravidelnými signály s jednonačně definovanými hodnoami v jejich definičním oboru. Někam mei náhodné signály a pravidelné signály můžeme ařadi v. chaoické signály. Je vhodné připomenou, že při řešení někerých úloh náhodný charaker signálu pominou nele.

16 4 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně.. Maemaické modely signálu Maemaickými modely signálů mohou bý funkce včeně posloupnosí nebo náhodné procesy včeně diskréních náhodných procesů. Na model signálu klademe dva požadavky, keré jsou do načné míry proichůdné. Na jedné sraně bychom chěli, aby model dobře vysihoval všechny důležié vlasnosi signálu, na druhé sraně žádáme, aby byl model jednoduchý a výpočově snadno pracovaelný. V praxi pravidla volíme model, kerý je co nejjednodušší, ale umožňuje přiom ješě řeši danou úlohu. Model konkréního signálu, kerý nám bude vyhovova pro jeden účel, nemusí vyhovova pro jiný účel. Funkce jsou deerminisickými modely signálů. Náhodné procesy předsavují sochasické maemaické modely signálů. Deerminisické modely se používají časěji než sochasické, proože se s nimi snáe pracuje. Někeré signály je možné popsa funkcí definovanou nad inervalem. Pro řadu signálů je však akovýo popis naproso nevhodný a jako maemaický model jsou používány posloupnosi. Signály repreenované posloupnosmi budou podrobně analyovány ve druhé polovině skrip. Sochasickými modely signálů se budeme abýva v kapiolách 5 a 9. Je obvyklé a účelné naýva i maemaický model signálu kráce ermínem signál. Maemaické modely, keré jsou funkcemi, včeně nenáhodných posloupnosí, se naývají deerminované signály (Obráek.8b, Obráek.9). Pro deerminované signály můžeme formulova následující definici. Nechť A je množina (pravidla reálných nebo komplexních) čísel a předpokládejme, že T je podmnožina množiny R reálných čísel. Pak každá funkce x: T A se naývá signál se signálovou osou (signal axis) T a s oborem hodno (signal range) A. Signálová osa je nejčasěji inerpreována jako čas. Signál s časovou osou se někdy naývá časový signál (ime signal). s() s() s(,5) Obráek.: Změna časového měříka Časová osa je diskréní, když obsahuje konečnou nebo spočenou množinu okamžiků. Signál je pak signálem s diskréním časem, kráceně signálem diskréním (discree-ime signal, Obráek.9). Časová osa je spojiá, pokud se skládá inervalů R. Signál s akovou

17 Signály a sousavy 5 časovou osou se naývá signálem se spojiým časem (coninuous-ime signal, Obráek.8b). Obdobné definice le avés i u náhodných signálů. Proo sručně shrneme pro náhodné i nenáhodné signály: maemaické modely signálu se spojiou časovou osou, ať už funkce nebo náhodné procesy, jsou naývány signály se spojiým časem. Maemaické modely, keré jsou posloupnosmi nebo diskréními náhodnými procesy, se naývají signály s diskréním časem neboli diskréní signály. Námi uvedenou definici signálu le snadno rošíři na dvojroměrné signály ím, že se množinou T bude roumě podmnožina množiny R. O množině A jsme si aím řekli jen málo. V rámci ohoo kuru o bude věšinou množina R, inerval, spočená podmnožina množiny R, nebo konečná podmnožina množiny R. Množinou A však může bý i množina C nebo množina R n, de n je přiroené číslo. s() s(-) s() Obráek.: Posunuí v čase A jak je o se signály skuečnými? Jejich náev se pravidla vyvouje jejich funkce, oho, jakému účelu yo signály slouží. Skuečný diskréní signál je signál, kerý vyjadřuje posloupnos čísel, skuečný číslicový signál aké vyjadřuje posloupnos čísel, ao čísla však musí mí konečný poče číslic. Je vhodné podoknou, že obecně nele jednonačně vyvodi účel, jakému signál slouží, j. funkci signálu, úseku jeho časového průběhu. V praxi se signály pomocí sysémů růně upravují. Zpracování signálu sysémem je v mnoha případech možné roloži do velmi jednoduchých operací, se kerými se nyní senámíme..3 Základní operace se signály.3. Operace s jedním signálem Pro první ři operace bude společné o, že spočívají v ransformaci časové osy. Sekáme se nimi v omo učebním exu ješě vícekrá.

18 6 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně.3.. Změna časového měříka Změnou časového měříka (ime scaling) roumíme operaci, kerou se signál s() přemění na signál s(m), de m je reálné kladné číslo růné od. Je-li m >, jedná se o časovou kompresi signálu (Obráek. b), při m < předsavuje operace časovou expani signálu (Obráek. c)..3.. Posunuí Posunuí (ime ranslaion, shifing) je operace, kerá signálu s() přiřauje signál s( - τ), kde τ je reálná konsana růná od nuly (Obráek.). Pokud je τ kladná konsana, předsavuje poždění. Slovo poždění má dva výnamy. Buď má výnam právě uvedený, nebo se jím roumí operace posunuí s kladnou hodnoou τ. Obecně le říci, že u sdělovacích sousav s přenosem v jednom směru pravidla poždění signálu není na ávadu. Zao u sousav auomaického říení, kde se avádí pojem ransporní poždění, může poždění velmi nepřínivě ovlivňova funkci sysému. Také ve sdělovacích sysémech obousměrných může bý poždění nežádoucím jevem. Za vlášní a velmi užiečný případ posunuí signálu v čase je možné považova apsání signálu do paměi a jeho následné čení. Příkladem může bý magneofonový ápis a čení Obrácení časové osy Reverací signálu v čase (flipping) roumíme operaci, kerou se signál s() přemění na signál s(-). Signál pak vlasně běží popáku (Obráek. b). Obrácení časové osy s posunuím je operace, kerá signálu s() přiřauje signál s(τ - ), kde τ je reálná konsana růná od nuly (Obráek. c). S obrácenými a případně i posunuými signály se sekáme v dalším výkladu, když budeme kouma výnamnou operaci se dvěma signály, naývanou konvoluce. Ta je důležiým pojmem hlediska eorie sysémů. s() s(-) s(-3) Obráek.: Obrácení časové osy.3..4 Zesílení signálu Zesílení signálu (amplificaion) spočívá v přeměně signálu s() na signál as(), přičemž a je reálná konsana věší než. Pokud by kladná konsana a byla menší než, jednalo by se

19 Signály a sousavy 7 o eslabení signálu (aenuaion). Je vhodné podoknou, že v eorii obvodů se pojem esílení chápe odlišně. Zesílení elekrických signálů ajišťují obvody naývané esilovače, příkladem může bý esilovač napěí realiovaný pomocí operačního esilovače. Zesilovač se např. vyskyuje v každém magneofonu, proože signály sejmué magneofonového pásku jsou velmi slabé a nesačily by k náležiému rokmiání membrány slucháka či reprodukoru. Zeslabení napěí le realiova například pomocí odporového děliče. Pokud by konsana a = -, měnil by se signál s() na signál -s() operací obrácení (invering)..3. Operace se dvěma signály.3.. Souče dvou signálů Mějme dva signály x() a y(). Nový signál () můžeme íska jejich sečením, Obráek.3c). V praxi se nám časo sává, že se k užiečnému signálu s() přiče rušivý signál n(). Na echnikovi pak je, aby nějak vysačil se signálem s()n(), kerý má k dispoici namíso žádoucího signálu s(). Jeho úkol bude ím snaší, čím více oho bude předem o signálech s() a n() námo. x() y() souce soucin Obráek.3: Operace se dvěma signály.3.. Součin dvou signálů V omo učebním exu se několikrá sekáme s aplikací násobení dvou signálů, Obráek.3d). Při pracování signálů se časo používá vlášní případ násobení dvou signálů, kdy jedním e signálů je signál s konečnou dobou rvání, v. signál okénkový w(). Operace okénkování (windowing) převádí signál s() s obecnou dobou rvání na signál s konečnou dobou rvání, kerým je signál w()s(). Signálem s konečnou dobou rvání roumíme signál, kerý je roven nule vně nějakého uavřeného inervalu. S násobením se sekáváme i v rádiových aříeních, například v moduláorech a demoduláorech mobilních elefonů.

20 8 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně Násobení je aké dílčí operací v obraeních naývaných konvoluce a korelace. O ěch se nyní míníme Konvoluce Konvoluce dvou signálů je operace, kerá může bý použia pro maemaický popis lineárního pracování signálu. Hlavně proo se s růnými ypy konvolucí sekáme v dalších kapiolách. Dá se dokonce očekáva, že konvoluce s diskréním časem budou pro sudeny sroumielnější. x y yr yrp xyrp Obráek.4: Konvoluce Konvoluce signálů se spojiým časem je pro případ, že inegrál na pravé sraně konverguje, definována vahem ( ) = x( τ ) y( τ ) dτ, (. ) kde () je konvoluce,

21 Signály a sousavy 9 x() a y() jsou výchoí signály. Obráek.4 náorňuje signály x, y, signál y s obrácenou časovou osou, signál y s obrácenou časovou osou posunuý, součin signálu x s předchoím signálem a konvoluci. Obráek ukauje, že konvoluce signálu y se signálem x působila vyhlaení signálu y, signál neobsahuje náběžné a sesupné hrany Korelace Korelace R ( ) dvou deerminovaných signálů x() a y() může bý definována vahem R y x, y τ x, ( ) = x( ) y( τ ) d. (. ) x y yp xyp R au Obráek.5: Korelace dvou signálů Opě předpokládáme, že inegrál na pravé sraně konverguje.

22 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně Obráek.5, náorňuje po řadě signály x, y, signál y posunuý, součin signálu x s předchoím signálem a korelaci R ( ). Hodnoy korelační funkce jsou ávislé na x, y τ podobnosi či nepodobnosi obou výchoích signálů při jejich vájemném posunuí o τ. Uvedená definice korelace není jediná. V další exu budou definovány korelační funkce pro růné ypy signálů, a o i pro signály náhodné 3.3. K omu, co jsme si aím řekli o operacích se signály, je řeba doda, že ve skuečných sysémech se elemenární operace se signály růně kombinují. V praxi se aké používají mnohé další operace se signály. Příkladem nelineární operace s jedním signálem je jeho umocnění na druhou. V kapiole Základní operace se signály jsme si ukáali, že práce s maemaickými modely je snadná, mnohdy uplaňujeme jen malou čás svých nalosí ákladů maemaiky. Rodíl oproi maemaickým předměům je ale aké v om, že je de jiná čenos aplikace ponaků. V eorii signálu například používáme časo obrácení časové osy s posunuím, v maemaice se obdobné posupy aké vyskyují, ale ne ak časo. V eorii signálu je aké mnohem více než v klasické maemaice asoupena práce s posloupnosmi. Příklad.: Operace se signály Je dán signál s ( n) = pro n =, s ( n) = 3 pro n =, s ( n) = pro osani hodnoy n Z. Nakreslee signály a) s(n), b) s(n-), c) s(n), d) s(-n), e) s(-n), f) s(-n-), g) s(n) pro n v inervalu 4, 4. (.3 ).4 Sysémy a jejich řídění.4. Definice sysému Sysém le chápa jako reálný objek nebo jeho model, kerý je vořen souborem nebo seskupením prvků. Prvky sysému na sebe vájemně působí s cílem plnění požadované funkce. V sysému působí fyikální veličiny, kerými popisujeme vájemné vaby a ovlivňování prvků navájem. Tyo fyikální veličiny jsou signály. Například elekrický obvod (elekrický sysém) může bý sesaven e ákladních prvků R, L a C a droje. Elekromagneické jevy sledujeme časo pomocí signálů napěí a proudů dílčích prvků. Napěí a proud jsou elekrické signály. Sysém může bý spojen s okolím pomocí vsupů a výsupů. Fyikální veličiny, keré vájemně vážou sysém s okolím, se naývají vsupní a výsupní signály. Víceroměrný sysém má více vsupů a výsupů. Definujeme roměr sysému r x s, j. pro sysém, kerý má r vsupů a s výsupů. Úkolem sysému je podle určiých pravidel pracováva signály na svých vsupech a vyváře signály na svých výsupech jako reakci na signály vsupní. Základní vlasnosí dynamického sysému je, že jeho chování v kerémkoliv časovém okamžiku neávisí poue na vsupním (budicím) signálu, jenž na něj právě působí, ale aké ávisí na budicích signálech, keré na něj působily v minulosi. Sysém vykauje určiou servačnos, pamauje si vliv signálů minulosi. Takový sysém se aké onačuje jako servačný sysém. Sav sysému je definován jako okamžiý sav paměi sysému v čase.

23 Signály a sousavy Sav sysému je určen množinou savových veličin. Na obráku Obráek.6 vidíme spojení dynamického sysému s okolím. Znalos savu sysému v libovolném okamžiku společně se nalosí vsupních signálů v omo čase nám umožní urči výsupní signály a sav sysému v kerémkoliv okamžiku. dynamický sysém vsupy okolí savová paměť výsupy Obráek.6: Dynamický sysém Poče neávislých savových veličin definuje řád sysému. Sav sysému u spojiých (analogových) sysémů je spojen s jeho energeickým savem. Savová paměť je realiována prvky, keré jsou schopny shromažďova (akumulova) a uchováva energii. V případě elekrických sysémů jsou o například indukor (ideální cívka), kerý akumuluje magneickou energii a kapacior (ideální kondenáor), kerý akumuluje elekrickou energii. Savovou veličinou indukoru je spjaý magneický indukční ok φ a u kapacioru jde o elekrický náboj q. = s R i C () U u R () C u C () s Obráek.7: Příklad elekrického sysému Bližší vysvělení nám prosředkuje následující příklad. Jesliže apojíme do série reisor s odporem R, kapacior s kapaciou C, ideální spínač a droj sejnoměrného napěí U, ak dosaneme inegrační článek nebo derivační článek podle oho, kerého prvku je brán

24 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně výsupní signál (Obráek.7). Jesliže sepneme v čase = s ideální spínač, pak pro vsupní signál droje U jsou výsupní napěí na reisoru u R () (derivační článek) a na kapacioru u C () (inegrační článek) obraeny na obráku Obráek.8. Předpokládá se, že kapacior nebyl před sepnuím spínače nabi (u C () = ). u, i U R i C () U u C () Obráek.8: Průběh přechodného děje u R () V případě, že je kapacior nabi na nenulové počáeční napěí u C () před sepnuím spínače v čase = s, pak průběhy napěí na kapacioru a reisoru mají var podle obr A4. u U u C () u C () u R () Obráek.9: Přechodný děj při nenulovém počáečním savu Sav sysému je u RC článku definován velikosí náboje v kapacioru, kerý pak určuje velikos elekrické energie kapacioru. V obou případech na obrácích Obráek.8 a Obráek.9 po sepnuí spínače musí plai napěťový Kirchhoffův ákon pro smyčku s na obr. Obráek.7: U u R () u C () =. (.4 )

25 Signály a sousavy 3.4. Třídění sysémů Sysémy můžeme děli podle růných hledisek. Základní dělení sysémů je podle oho, jaký signál pracovávají, na: - spojié (analogové) sysémy - diskréní sysémy Spojié sysémy pracovávají spojiý signál, diskréní sysémy pracovávají diskréní signál. Zvlášním případem diskréních sysémů jsou číslicové sysémy, keré pracovávají číslicové signály. Číslicový signál ískáme diskréního signálu pomocí operace kvanování a po převodu kvanových hodno do volené číselné sousavy (dvojková nebo šesnácková čísla apod.). Další dělení je podle lineariy na: - lineární sysémy - nelineární sysémy Lineární sysémy obsahují poue lineární prvky. Například u elekrického sysému na obráku Obráek.7 musí bý ampérvolová (AV) charakerisika reisoru a coulombvolová (CV) charakerisika kapacioru lineární (přímka procháející počákem souřadnic s nenulovou kladnou směrnicí). U lineárních sysémů plaí princip superpoice, kerý le s výhodou použí pro jejich řešení. Nelineární sysémy obsahují aspoň jeden prvek, jehož charakerisika není lineární. Sysémy le aké děli na: - deerminisické sysémy - náhodné (sochasické) sysémy Chování deerminisického sysému v budoucnu je možné přesně urči, neboť jeho chování je přesně analyicky popsáno (jsou námy maemaické rovnice popisují vahy mei signály v sysému). Maemaické modely však nemusí vysihova všechny podrobnosi chování reálného sysému. Chování náhodného sysému le předpovědě poue s určiou pravděpodobnosí. Model náhodného sysému však se více přibližuje chování reálného sysému, než deerminisický model. Proože jsme de použili pojmu model sysému uvedeme i jeho definici: Jsou dány dva objeky X a Y a poorovael. O objeku X říkáme, že je modelem objeku Y, jesliže poorovael může použí objeku X k ískání odpovědí na někeré oáky, keré se ýkají objeku Y. Sysém může bý absrakním modelem reálného objeku. Podle časových měn le dále děli sysémy na: - sacionární (časově invarianní, neparamerické) - nesacionární (paramerické) Sacionární sysémy mají srukuru a paramery prvků neproměnné s časem. Naopak u nesacionárních sysémů buď srukura sysému, nebo paramery prvků (nebo oboje) se mění s časem neávisle na vniřních signálech sysému. Poslední dělení, keré použijeme, je dělení sysémů na: - kauální (příčinné)

26 4 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně - nekauální Reakce (výsupní signál) na podně (vsupní signál) je u kauálního sysému časově vždy až a ímo podněem. Nejprve edy musí vniknou příčina měny chování a pak eprve odeva na uo příčinu. Velmi časo je kaualia určena na ákladě impulní charakerisiky. Kauální sysém má nulovou čás pro áporné časové hodnoy. Tj. pro spojiý sysém, kerý je kauální, musí plai pro impulsní charakerisiku ao podmínka h () = pro <. (.5 ) Pokud kauální sysém pracovává reálné signály a le jeho model realiova pomocí skuečných prvků, pak hovoříme o fyikálně realiovaelném sysému. U nekauálního sysému může předbíha reakce podně, a edy eno sysém nele reálně realiova. Můžeme poue jeho chování simulova s určiými omeeními např. na počíači.

27 Signály a sousavy 5 Periodický signál. Harmonický signál.. Model harmonického signálu Harmonický signál je nejjednodušším periodickým signálem. Může bý popsán pomocí obecné funkce kosinové: s ) = C cos( ω ), (. ) ( ϕ kde C je kladná konsana naývaná ampliuda, je reálná proměnná, čas, ϕ je reálná konsana, počáeční fáe, j. fáe pro okamžik =, ω je kladná konsana naývaná úhlový kmioče, perioda T je na ni váána vahem π T =. (. ) ω Index se může čenáři jevi jako nadbyečný. Poději se ukáže, že má určiý smysl. Harmonický signál je plně určen řemi konsanami. Rovnice (. ) je náorná, fyikální výnam konsan je jasný. Vyjádření harmonického signálu rovnicí (. ) však má i své nevýhody. Obížně se manipuluje s výray obsahujícími součiny nebo mocniny harmonických signálů. Navíc výra na pravé sraně rovnice (. ) nedovoluje jednoduchý přechod ke varu, kerý je vlasní pro praxi nesmírně výnamné diskréní Fourierově ransformaci 8.4. Nahradíme proo výra na pravé sraně rovnice (. ) rovnocenným součem dvou komplexně sdružených funkcí času. Maemaickým ákladem komplexního vyjádření harmonického signálu je námý vah cos( α) = exp( jα) exp( j α ). (.3 ) Pravá sana se skládá e dvou komplexních výraů, y jsou však komplexně sdružené, a proo je jejich souče reálný. Na ákladě vahu (.3 ) můžeme upravi pravou sranu rovnice (. ): s( ) = C = = Onačíme-li cos( ω ϕ ) = C exp[ j( ω ϕ )] C exp( jϕ )exp( jω ) C exp[ j( ω ϕ )] = C exp( jϕ )exp( jω ). ϕ (.4 ) c = C exp( jϕ) a c = C exp( j ), (.5 ) můžeme harmonický signál definovaný rovnicí (. ) sručně vyjádři ako: s ) = c exp( jω ) c exp( jω ). (.6 ) (

28 6 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně Vah (.6 ) je námi hledaným vyjádřením harmonického signálu dvojicí komplexně sdružených složek. Je řejmé, že nadále budeme muse pečlivě rolišova mei velkým C (ampliudou) a malým (komplexním koeficienem). Ponamenejme, že plaí * c c = c. (.7 ) Souvislos mei ampliudou a počáeční fáí harmonického signálu a komplexními koeficieny je popsána vahy, keré ukaují na jednoduchý fyikální výnam komplexních koeficienů: c c C, c ϕ a c = ϕ. (.8 ) = = arg( ) = arg( ) Opačný přepoče dovolují vahy C = c = c a ϕ = arg( c ) = arg( c ). (.9 ) Modul koeficienu c je edy roven polovině ampliudy a argumen koeficienu c je roven počáeční fái harmonického signálu. a) Im{s} c s( ) Re{s} c b) Im{s} c exp( jω ) - s() Re{s} Obráek.: Model harmonického signálu c exp( jω ) Komplexní vyjádření harmonického signálu je náorněno obrákem Obráek.. Je ilusrováno pomocí harmonického signálu s ampliudou C =, s počáeční fáí ϕ =.44π a s úhlovým kmiočem ω =π. 3. Obráek.a) náorňuje sav v čase = ms, Obráek.b) obrauje sav v čase =, ms.

29 Signály a sousavy 7 Ve vahu (.6 ) se pracuje se áporným kmiočem. Někeří sudeni se s předsavou áporného kmioču obížně smiřují, proože skuečné kmiočy jsou vždycky kladné. Zde se musíme díva na kmioče jako na paramer maemaického modelu. Rohodující je, že model je plně funkční. c 3 -π π ω Obráek.: Spekrum modulů arg( c ) -π π 4 π 4 π ω Obráek.3: Spekrum argumenů Dokonalé pochopení vahu (.6 ) je nebyným předpokladem pro úspěšné sudium dalšího učiva. Měl by k němu napomoci Obráek.... Spekrum harmonického signálu Harmonický signál může bý náorněn dvěma body, jedním v rovině úhlový kmioče - ampliuda, druhým v rovině úhlový kmioče - počáeční fáe. Zobraení signálu v kmiočové oblasi se naývá spekrum signálu. Také koeficieny c a c - můžeme využí pro obraení harmonického signálu v kmiočové oblasi, konkréně v rovinách úhlový kmioče - modul koeficienu a úhlový kmioče - argumen koeficienu. Zjišťujeme, že harmonický signál může bý plně repreenován svým spekrem, vi např. Obráek., Obráek.3. Obdobně omu bude i u osaních nenáhodných signálů. Pojem spekrum se dá bý poněkud ajemný. Je o dáno ím, že exisuje velké množsví růných ypů speker. Někerá spekra dávají úplnou informaci o signálu, jiná jen čásečnou. Znovu konsaujeme, že spekrum je obraení signálu v kmiočové oblasi.

30 8 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně. Obecný periodický signál.. Definice periodického signálu Definice periodického signálu je shodná s definicí periodické funkce. Funkce s() je periodická, exisuje-li kladné číslo T p akové, že pro všechna reálná plaí: s( Tp ) = s( ). (. ) Nejmenší hodnoa T, pro kerou je splněna předchoí podmínka, se naývá ákladní p perioda. Budeme ji onačova symbolem T. Znamená o, že každý periodický signál má nekonečné množsví period, keré jsou rovny celisvým násobkům periody ákladní. Pokud mluvíme o periodě, máme pravidla na mysli periodu ákladní. V echnické praxi se vyskyuje nepřeberné množsví signálů, keré se jeví jako periodické v inervalu mnohem delším, než je ákladní perioda. Jako modely akovýcho signálů pak s úspěchem používáme periodické signály. To však není hlavním důvodem, proč se periodickými signály abýváme. Jak vápěí uvidíme, periodické signály se dají popsa Fourierovou řadou, a a nám prosředkuje další obraení růných signálů v kmiočové oblasi... Fourierova řada Zobecněním rovnice (.6 ) můžeme snadno íska vyjádření signálu obsahujícího ne jednu harmonickou složku, ale více harmonických složek a případně i složku sejnosměrnou. U periodického signálu s periodou T je kmioče ákladní harmonické složky dán vahem π = ω. (. ) Τ Základní harmonická složka přiom může mí nulovou ampliudu, nemusí bý edy v uvažovaném periodickém signálu asoupena. Pokud je periodický signál složen jen harmonických složek a případně složky sejnosměrné, mají osaní harmonické složky úhlové kmiočy, keré jsou celisvými násobky úhlového kmioču ákladní harmonické složky. Úhlový kmioče k-é harmonické složky, >, je dán vahemω kω. Plyne o k k = oho, že ákladní perioda T je vždy jednou period ěcho vyšších harmonických složek. Opě připoušíme, že k-á harmonická složka může mí i nulovou ampliudu. Zobecněním vahu (.6 ) dosáváme následující vyjádření periodického signálu: s( ) = ck exp( jk k= s ω ). (. ) Rovnice (. ) je náma pod návem komplexní var Fourierovy řady. Jaká je ákladní vlasnos koeficienů (.7 ): k * k c? Získáme ji pro k obecněním vahu k c = c. (.3 )

31 Signály a sousavy 9 Koeficien c je vždy reálný a přímo udává hodnou sejnosměrné složky periodického signálu. Analogicky ke vahu (.8 ) bude pro k > plai c c k = Ck, arg( ck ) = arg( c k ) = ϕk, (.4 ) k = kde C je ampliuda k-é harmonické složky a k ϕ k je počáeční fáe k-é harmonické složky. Koeficieny Fourierovy řady pro adaný periodický signál s() můžeme spočía pomocí vorce / T ck = s( )exp( jkω ) d. (.5 ) T T / Vypočíané koeficieny můžeme dosadi do výrau na pravé sraně rovnice (. ). Součem bude signál s s ( ). Pokud by byl periodický signál s() složen jen harmonických složek a případně složky sejnosměrné, bylo by přesně s s () 3 s s ( )= s(). 5-3 Obráek.4: Souče Fourierovy řady signálu Obráek.4, nám ukauje souče odpovídající signálu, kerý je definován obrákem Obráek.8b). Vidíme, že v daném případě je neshoda mei původním signálem a součem jeho Fourierovy řady am, kde byl původní signál nespojiý. To je námá vlasnos, kerá však nijak nevadí při používání Fourierovy řady v echnické praxi. Podsau náhrady periodického signálu s() signálem čásečné součy Fourierovy řady k= K p ( ) = ck exp( jk k=k s s ( ) nám aké mohou přiblíži s ω ), (.6 ) kde K je celé kladné číslo, poče sčíaných harmonických složek. Dá se dokáa, že čásečné součy, při adaném pevném K, předsavují opimální aproximaci signálu s() ve smyslu minimální sřední kvadraické odchylky. Při jiných hodnoách koeficienů c k než ěch, keré byly vypočeny podle vorce (.5 ), by byla aproximace méně dokonalá. Čásečné součy Fourierovy řady pro signál, kerý náorňuje Obráek.8, vyjadřuje Obráek.5 pro K =, 3, 5 a. V sousedsví okamžiků, v nichž má signál s() skokové měny, vyváří součový signál překmiy. Výška překmiu při rosoucím K k nule nekonverguje, šířka ano. Výsky překmiů je nám pod návem Gibbsův jev (Gibbs phenomenon).

32 3 Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií VUT v Brně V jakém vahu jsou obecně signály s() a s s ( )? To le formulova mnoha působy. Je například námo, že když je funkce s ( ) inegrovaelná na inervalu, T, řada na pravé sraně vahu (. ) konverguje, v bodech spojiosi funkce s() je s s ( ) = s(), v bodech nespojiosi plaí vah [ s( ) s( )] s ( ) s = (.7 ) Obráek.5: K= K=3 K=5 K= Čásečné součy Fourierovy řady Roumné maemaické modely signálů s konečným sředním výkonem, signálů fyikálně realiovaelných, podmínku inegrovaelnosi kvadráu na inervalu, T splňují. originál s() nebo s(n) FOURIEROVSKÉ ZOBRAZENÍ ~ jω { c }, S( ω), S ( e ), { S ( k) }, { S( k) } k obra ~ Obráek.6: Fourierovská obraení Bylo by nešťasné, kdyby se čenář nechal odradi maemaickou náročnosí vahu ( 3. ) a ejména pak inegrálu (.5 ). V omo kuru není cílem počíání složiých inegrálů, ale pochopení fyikálního výnamu jednolivých veličin ve vaích vysupujících. U všech Fourierovských obraení, počínaje Fourierovou řadou a konče diskréní Fourierovou ransformací, můžeme použí schéma, keré náorňuje Obráek.6. Při dopředném obraení vsoupí do obdélníku onačeného FOURIEROVSKÉ ZOBRAZENÍ signál. Obdélník něj vyrobí obra. Co předsavuje obdélník, je pravidla vedlejší. Může o bý maemaický výpoče, časěji je o ale naleení výsledku v nějaké abulce v lierauře, nebo

33 Signály a sousavy 3 výpoče na počíači či dokonce výpoče pomocí signálového procesoru. Pro fyikálně realiovaelné signály obra exisuje. Pro případ Fourierovy řady je obraem množina koeficienů {. c k } Při pěném obraení vkládáme do obdélníku ZPĚTNÉ F. ZOBRAZENÍ obra a dosaneme časový průběh signálu, Obráek.7, kerý je shodný s původním signálem, nebo se od něj liší jen v nepodsaných deailech. ~ jω { c }, S( ω), S ( e ), { S ( k) }, { S( k) } k obra ~ ZPĚTNÉ F. ZOBRAZENÍ pěný obra s s () nebo s s (n) Obráek.7: Zpěná Fourierovská obraení.3 Spekra periodických signálů Abychom si ukáali použií vahu (.5 ), volíme si a předmě koumání jeden echnicky nejvýnamnějších periodických signálů, periodický sled obdélníkových impulů. Zkoumáním speker dalších periodických signálů se abýva nebudeme. Spekra le nají v růných příručkách, případně si je suden může spočía pomocí jednoduchého programu. Nám jde hlavně o osvojení si fyikálního výnamu koeficienů Fourierovy řady a o pochopení souvislosí mei měnami v časovém průběhu signálu a v jeho spekru. Ješě než ahájíme vlasní výpoče, uděláme dva přípravné kroky: avedeme funkci sinc (.) a odvodíme vorec pro výpoče inegrálu, kerý se v eorii signálů a sysémů časo vyskyuje..3. Funkce sinc(.) Funkce sinc (x) může bý definována vahem sin x pro x a x sinc( x ) = (.8 ) pro x =. Výra sinx/x není pro x = definován. Proo byla, jak je obvyklé v maemaice v obdobných případech, pro x = dodefinována pro funkci sinc(.) funkční hodnoa, kerá je limiou výrau sinx/x pro x konvergující k nule. Můžee se přesvědči, že v Malabu je funkce sinc(.) definována jinak, působem, kerý byl běžný spíše v minulosi. V definičním vahu (.8 ) je oiž na pravé sraně míso x použio πx.