Exponenciální funkce teorie

Transkript

1 Eponenciální funkce teorie Eponenciální funkce je dána rovnicí f : = a, a ( 0,) (, ) Poznámka: pokud bchom připustili a =, vznikla b funkce konstantní pokud bchom připustili a < 0, nebla b funkce definována pro všechna reálná čísla definiční obor obor hodnot D = R H = R graf: eponenciála + vlastnosti a průběh funkce závisí na hodnotě základu a a > a ( 0,) funkce je prostá, rostoucí, zdola omezená, nemá maimum ani minimum průsečík s osou je bod [,] osa 0, asmptotou je funkce je prostá, klesající, zdola omezená, nemá maimum ani minimum průsečík s osou je bod [,] asmptotou 0, osa je Monotonie funkce ted závisí na základu a. Mezi rostoucí eponenciál patří dekadická se základem 0 a přirozená se základem e. Graf všech základních (neposunutých) 0,. eponenciál se protínají na ose v bodě [ ] Na obrázku porovnejme graf = (červená), = 0 (zelená), = e (modrá)

2 Eponenciální funkce úloh k řešení m Graf funkce = a + n získáme posunutím grafu a m, n. Dále vužíváme předchozích znalostí získaných při konstrukci grafu elementárních funkcí. = o vektor ( ) ) Sestrojte graf eponenciálních funkcí a určete obor hodnot. f : = + g : = h : = 0 + k : = e ) Sestrojte graf funkcí. Vužijte kromě vektoru posunutí i významu absolutní hodnot. Určete obor hodnot. f : = + graf funkce získáme překlopením funkce ke znaménku) a poté posunutím o vektor ( 0,) = kolem os (vzhledem

3 g : = Lze vřešit vužitím sudosti funkce nebo funkci upravit odstraněním absolutní hodnot na dvě funkce a to: Pro 0 získáme g : 0 získáme g = g g g = : =, =

4 h : = + Na základě znalosti mocnin vužijeme a = a. Ted = +. l : = Sestrojíme graf vnitřní funkce l = a vlivem absolutní hodnot tu část grafu, která se nachází pod osou, překlopíme v osové souměrnosti podle os. 4

5 m : = n : = + 5

6 Eponenciální funkce úloh k řešení (užití vlastností) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce v závislosti na základu a. Je-li ( 0,) a funkce klesající a > funkce rostoucí. Eponenciála protíná osu v bodě [,] 0. Oborem hodnot je = a, a 0, a + R. > mění monotonii Řešení následujících úloh provádějte s vužitím náčrtku grafu ep. funkce, případně zdůvodněním vlastností funkce. Rozhodněte, pro který základ a > 0, a se uvedené výrokové form stanou pravdivými výrok. Znázorněte v grafu. ) a > a Návod: uvědomte si, že eponent jsou hodnot proměnné, proto je znázorníme na ose, hodnot mocnin jsou funkční hodnot, proto je nanášíme na osu. Při znázornění funkčních hodnot dodržíme zadanou nerovnost. Řešení: 6

7 ) a < a Řešení: ) a < a 4 Řešení: 7

8 Eponenciální funkce úloh k řešení (užití monotonie) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce v závislosti na základu a. = a, a 0, a > mění monotonii Je-li ( 0, ) a funkce klesající a platí: < a > a a > funkce rostoucí a platí: < a < a Řešení následujících úloh provádějte s vužitím náčrtku grafu ep. funkce, případně zdůvodněním vlastností funkce. Rozhodněte, zda uvedené výrok jsou pravdivé. Rozhodnutí zdůvodněte. ) > Návod : Daná ep. funkce má základ a = rostoucí funkce. >?. Daný výrok je.. Případně lze zdůvodnit z grafu funkce = (zakresli) 8

9 ) < 0, 5 0,5 Základ a = 0, 5 funkce.. <... Daný výrok je ) < Základ a = funkce <.. Daný výrok je.. 9

10 Eponenciální funkce úloh k řešení (další tp) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce v závislosti na základu a. = a, a 0, a > mění monotonii Je-li ( 0, ) a funkce klesající a platí: < a > a < (tj. změna znaku nerovnosti) a > funkce rostoucí a platí: a < a < (tj. bez změn znaku nerovnosti) Řešení následujících úloh provádějte s vužitím náčrtku grafu ep. funkce, případně zdůvodněním vlastností funkce (vliv monotonie na vztah mezi argument a funkčními hodnotami). Určete vztah nerovnosti mezi eponent, pokud platí uvedené nerovnosti mezi funkčními hodnotami. Rozhodnutí zdůvodněte, případně znázorněte v grafu. ) p < 7 7 r Návod : Daná ep. funkce má základ a = < klesající funkce a ted 7 nerovnost mezi eponent ( argument) se mění. Platí ted p > r Případně lze zdůvodnit z grafu funkce = (zakresli pouze v náčrtku) 7 0

11 ) p r 8 8 < Základ a = > funkce. Platí ted. 5 8 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce = 5 (zakresli pouze v náčrtku). m ), <, n Základ a = funkce. Platí ted m.. n. Zakreslete do grafu funkce =,. (pouze v náčrtku)

12 m 4) 0,98 > 0, 98 n Základ a =.. Zakreslete do grafu = 0, 98. (pouze v náčrtku) m 5) ( ) < ( ) n Základ a =.. Zakreslete do grafu ( ) =. (pouze v náčrtku)

13 Eponenciální funkce úloh k řešení (užití znalostí o grafu) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce v závislosti na základu a. = a, a 0, a > mění monotonii Je-li ( 0, ) a funkce klesající a platí: pro R je a > a > funkce rostoucí a platí: pro = 0 je a = + R je a < R je a < = 0 je a = + R je a > Řešení následujících úloh provádějte s vužitím náčrtku grafu ep. funkce, případně zdůvodněním tpu monotonie a vztahu čísla a vzhledem k číslu. Určete, zda je dané číslo (mocnina) větší, menší nebo rovno. Rozhodnutí zdůvodněte, případně znázorněte v grafu. ) ) Návod : Daná ep. funkce má základ Eponent = 4 + R 4 < 5 a = < klesající funkce. 5 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce = (zakresli pouze v náčrtku) 5 Základ a = funkce Eponent = R + 7 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce ) 0,45 5 = 4 Základ a = funkce... Eponent = 0,45.. Zakreslete do grafu funkce 0, 45 (zakresli pouze v náčrtku). =. (pouze v náčrtku)

14 4) ( π ) Základ a = funkce. Eponent =... Zakreslete do grafu = ( π ). ( pouze v náčrtku ) Eponenciální funkce úloh k řešení Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce v závislosti na základu a. = a, a 0, a > mění monotonii Řešení následujících úloh provádějte s vužitím náčrtku grafu ep. fce a vužitím znalostí o monotonii funkce. Doplňte znak nerovnosti tak, ab výrok bl pravdivý. Načrtněte. ) ) Návod : Daná ep. funkce má základ < > 5 a = < klesající funkce. 5 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce = (zakresli pouze v náčrtku) Základ, a = > funkce. 4, 7 < Případně lze zdůvodnit z grafu funkce = (zakresli pouze v náčrtku). 4, ) 0,45 0,45, 5 Základ a =.. funkce,5,5 0,45 0,45 Zakreslete do grafu funkce 4) ( π ) ( π ) 0, 45 =. (pouze v náčrtku) Základ a =..funkce.- ( π ).. ( π ) Zakreslete do grafu ( ) = π. (pouze v náčrtku) 4

15 Eponenciální funkce úloh k řešení (diskuse základu) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce v závislosti na základu a. Je rostoucí pro a 0,. Rozhodněte, pro která a >, je klesající pro ( ) ) = ( k ) k R je daná funkce rostoucí. Návod : Daná ep. funkce má základ = ( k ) = a, a 0, a a. Má-li být rostoucí, musí její základ být větší než. Ted k >. Vřešíme tuto nerovnici a získáme podmínku pro k. k > k > 4 k 4; Závěr: daná funkce je rostoucí pro ( ) ) = ( 5 k ) > mění monotonii základ: 5 k podmínka: 5 k > řešení: závěr: funkce je rostoucí pro všechna. ) = k základ: podmínka:. řešení: anulováním získáme k > 0 a dořešíme podílovou nerovnici k (grafick, tabulkovou metodou nebo soustavou lin.nerovnic ) závěr: 4) = k k + základ: podmínka: řešení: závěr: 5

16 Eponenciální funkce úloh k řešení (diskuse základu) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce v závislosti na základu a. Je rostoucí pro a 0,. Rozhodněte, pro která a >, je klesající pro ( ) ) = ( k + ) k R je daná funkce klesající. Návod : Daná ep. funkce má základ = ( k +) = a, a 0, a > mění monotonii a. Má-li být klesající, musí její základ být větší než 0 a menší než. Ted k + > 0 k + <. Vřešíme tuto soustavu nerovnic a získáme podmínku pro k. k > k < 0 Závěr: daná funkce je klesající pro k ; 0 = 5 k základ:.. podmínka: 0 < 5 k < ( soustava nerovnic) řešení: (vřešte každou nerovnici a určete průnik získaných množin) ) ( ) závěr: funkce je klesající pro všechna ) = k + základ:.. podmínka: řešení: závěr: funkce je klesající pro všechna 4) k = k základ: podmínka: řešení:.. závěr: funkce je klesající pro všechna 6