Větu o spojitosti a jejich užití

Transkript

1 0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě sdělují nprosto zřejmé jsné věci. Snžím se studentům vysvětlit, že otížnou mtemtickou prcí v tomto přípdě neylo si všimnout popisovných vlstností funkcí, le vytvořit celou mtemtickou stvu pod nimi nlezení důkzů. Pedgogická poznámk: Jedním z prolémů této prtie mtemtiky je nprostý chos v pojmenování jednotlivých vět podle slvných mtemtiků, kteří se n jejich formulci důkzu podíleli. Držím se v učenici pojmenování, které je použito v klsických středoškolských učenicích Mtemtik pro gymnázi Diferenciální integrální počet nkldtelství Prometheus (Hruý kol). Upozorňuji, že mimo hrnice ývlého Československ se používá pojmenování jiné, držím se všk toho, co je použito v litertuře nejližší této učenici. Nejdůležitější věty o spojitosti jsou formulovány pro uzvřené intervly ; (tedy množiny { } ; = R; ) Tkovou funkci si můžeme předstvit jko provázek, který držíme ve dvou rukou (provázek může v rukou končit, neo může sht dál, to pro nše účely nehrje roli) Vět Weierstrssov: Je-li funkce f spojitá v uzvřeném intervlu, eistuje lespoň jeden tkový od ; pro všechn ; všechn ; pltí f ( ) f ( ) pltí ( ) ( ). f f, lespoň jeden tkový od ;, že pro Co to vlstně znmená? Vět má dvě části: nejdříve první: Je-li funkce f spojitá v uzvřeném intervlu, eistuje lespoň jeden tkový od ;, že pro všechn ; pltí f ( ) f ( ) v intervlu ; je zvláštní tím, že jeho hodnot ( ) f je větší (neo rovn) hodnotám všech osttních z intervlu spojitá funkce v uzvřeném intervlu nývá lespoň v jednom odě mim f je menší spojitá funkce v uzvřeném intervlu Druhá část věty: to smé, le ( ) nývá lespoň v jednom odě minim, že

2 logické když máme provázek ve dvou rukou nemůže se přilížit k nekonečnu, niž y se přetrhl Př. : N orázku je nkreslen funkce spojitá v uzvřeném intervlu ;. Urči čísl, zmiňovná ve Weierstrssově větě. číslo je číslo, jehož hodnot je v intervlu ; mimální = číslo je číslo, jehož hodnot je v intervlu ; minimální = Důsledek Weierstrssovy věty: Funkce spojitá n uzvřeném intervlu ; je v tomto intervlu omezená. Vět Bolzno-Weierstrssov Je-li funkce f spojitá v ; f ( ) f ( ) čísly f ( ) f ( ), eistuje lespoň jeden tkový od c ( ; ), že f ( c), potom, ke kždému číslu K, které leží mezi = K. funkce spojitá v intervlu ; nývá všech hodnot mezi čísly f ( ) f ( ). logické: pokud provázek není přetržený, musí přejít přes všechny mezihodnoty Drouov vlstnost spojitých funkcí: Je-li funkce f spojitá v ; mjí-li f ( ) f ( ) různá znménk, tj. f ( ) f ( ) 0 potom eistuje lespoň jeden tkový od c ( ; ), v němž pltí f ( c ) = 0. logické: jestliže mjí f ( ) ( ) <, f různá znménk, je nul jednou z mezihodnot funkce ji musí někde dosáhnout. poslední vlstnost už jsme používli ve dvou přípdech (mtemticky to neylo legální, teprve teď y to ylo v pořádku). Numerická metod seprce kořenů při řešení rovnic vyšších řádů Hledáme řešení rovnice + 5 = 0. Hodnoty levé strny nám přilíží funkce y = + 5. Jk vypdá? - pro velká záporná čísl jsou hodnoty záporné (kvůli zápornému výsledku třetí mocniny ) - pro velká kldná čísl jsou hodnoty kldné (kvůli kldnému výsledku třetí mocniny ) grf funkce musí projít přes osu (Drouov vlstnost spojitých funkcí). Místo, kde to udělá, je řešením rovnice.

3 Hledáme toto místo doszováním: dosdíme = 5 kořen je záporné číslo dosdíme - ( ) ( ) + 5 = 6 kořen je v intervlu ( ;0) dosdíme - ( ) ( ) + 5 = kořen je v intervlu ( ; ) dosdíme,5 (,5) (,5) + 5 = 5, 65 kořen je v intervlu (,5; ) dosdíme, (,) (,) + 5 = 0, 06 kořen je v intervlu (,;, 0) A tk ychom se doszovli dál, dokud ychom nezjistili kořen s dosttečnou přesností. Př. : Urči kořen rovnice + = 0 s přesností n dvě desetinná míst. - pro velká záporná čísl jsou hodnoty záporné (kvůli zápornému výsledku třetí mocniny ) - pro velká kldná čísl jsou hodnoty kldné (kvůli kldnému výsledku třetí mocniny ) grf funkce musí projít přes osu (Drouov vlstnost spojitých funkcí). Místo, kde to udělá, je řešením rovnice. Hledáme toto místo doszováním: dosdíme = kořen je kldné číslo dosdíme 0; + = kořen je v intervlu ( ) dosdíme 0,5 ( 0, 5) + ( 0,5) = 0, 65 kořen je v intervlu ( 0,5; ) dosdíme 0,7 ( 0, 7) + ( 0, 7) = 0,67 kořen je v intervlu ( 0,7; ) dosdíme 0,8 ( 0,8) + ( 0,8) = 0,5 kořen je v intervlu ( 0,7;0,8 ) dosdíme 0,75 ( 0, 75) + ( 0, 75) = 0, 0565 kořen je v intervlu ( 0,75;0,8 ) dosdíme 0,76 ( ) ( ) ( 0,75;0,76 ) 0, , 76 = 0, kořen je v intervlu. Řešení nerovnic metodou nulových odů funkce může přejít z kldných do záporných hodnot pouze přes nulu neo v místě, kde je přetržená Zjistíme pro která nejsou liovolné výrzy v nerovnici definovné - výsledky nkreslíme n číselnou osu. Nšli jsme ody přetržení. Vyřešíme rovnici f ( ) = 0 výsledky přikreslíme n osu. Nšli jsme ody přechodu přes osu. N ose vznikly intervly. Z kždého vzniklého intervlu dosdíme do nerovnice liovolné vhodné číslo. Pokud pro něj nerovnice vyjde, vyjde i pro všechny dlší čísl v intervlu. Pokud nevyjde, tk nevyjde pro žádná čísl v tomto intervlu. Nerovnice je vyřešen. Př. : Vyřeš nerovnici.metodou nulových odů.. Zjišťujeme podmínky eistence výrzů n oou strnách nerovnice Oě strny nerovnice jsou definovány vždy.. Hledáme řešení rovnice = (ychom ojevili nulové ody nerovnice), kde funkce přechází přes osu.

4 = = 0 zkusíme levou strnu rozložit n součin: = + = 0 ( ) ( )( ) = 0, =, = - 0 Zkreslíme získné kořeny n osu:. Testujeme jednotlivé intervly, zd splňují nerovnost ; : npříkld číslo intervl ( ) ( ) ( ) 8 nepltí intervl ( ;0 ) : npříkld číslo 0, ( 0,) ( 0,) intervl ( 0; ) : npříkld číslo 0, 0,00 0, pltí 0, 0, 0,00 0, nepltí intervl ( ; ) : npříkld číslo 8 pltí Protože řešená nerovnice má nerovnost přidám k nlezenému intervlu ještě nulové ody K = ;0 ; ) Př. 4: Vyřeš nerovnici + +.metodou nulových odů.. Zjišťujeme podmínky eistence výrzů n oou strnách nerovnice levá strn: pod odmocninou musí ýt nezáporné číslo řešíme nerovnici Nerovnici můžeme řešit pouze pro ; ).. Hledáme řešení rovnice + = + (ychom ojevili nulové ody nerovnice, kde funkce přechází přes osu ). + = + / ( + ) = ( + ) + = = + + = 0 ( )( ) =, = Zkoušk: = L = + = + = P = + = + = L P = L = + = + = P = + = + = L = P jediný kořen = 4

5 - Doplníme získné kořeny n osu:. Testujeme jednotlivé intervly, zd splňují nerovnost ; : pro tto není definován odmocnin, nemusíme je zkoušet, určitě intervl ( ) nejsou řešením. ; : vyereme číslo npříkld 0: intervl ( ) pltí intervl ( ;) je řešením, intervl ( ; ) : vyereme číslo npříkld 6 (kvůli odmocňování): ; není řešením. - nepltí intervl ( ) Protože řešená nerovnice má nerovnost přidáme k nlezenému intervlu ještě nulové ody K = ;. Shrnutí: 5