Gymnázium Jana Nerudy
|
|
- Radim Konečný
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Gymnázium Jana Nerudy Závěrečná práce studentského projektu Metoda Monte Carlo 2014 Marek Šedivý a Noémie Gauthier
2 Prohlášení o vypracování Prohlašujeme, že jsme závěrečnou práci na téma Metoda Monte Carlo vypracovali samostatně s použitím uvedené odborné literatury a pramenů. Datum: Podpis.
3 Anotace Tématem naší práce je popis metody Monte Carlo a její aplikace v ekonomii. Nejdříve se zaměříme na základní pojmy nutné pro pochopení a následnou aplikaci metody Monte Carlo. Následně popíšeme jednu ze základních aplikací této metody a představíme naše experimentální provedení této aplikace. Poté se budeme zabývat historií vzniku této metody a na to navážeme stanovením podmínek pro aplikaci metody Monte Carlo na burzovní obchodování. Závěrem je sestavení algoritmu fungujícím na principu této metody.
4 Obsah Anotace Úvod Pojmy a Algoritmus b Náhodná a pseudonáhodná čísla c Pravděpodobnost Buffonova jehla a Teorie b Experiment Historie Vlastní projekt a Určení kritérii b Algoritmus c Výsledky d Ověření výsledků Závěr Použitá literatura... 16
5 1. Úvod Motivací k výběru metody Monte Carlo byl fakt, že jsme jako téma, hledali nějaký matematický postup, který bychom mohli dále aplikovat v ekonomii. Následovalo stanovení problému, který by byl vhodný pro využití této metody. Právě při tomto jsme narazili na metodu Monte Carlo. Ta se od svého vynalezení ve 40. letech vědci pracujícími na projektu Manhattan stala jednou z nejpoužívanějších metod k určení rizikovosti na akciových trzích. Mimoto má obrovské možnosti uplatnění i v jiných vědních disciplínách (např. fyzice, nebo biologii). Naše rozhodnutí bylo aplikovat tuto metodu při nákupu akcií. Cílem práce je tedy výpočet množství akcií, které splňují námi daná kritéria. Kritéria jsme si určili na základě různých údajů o akciích, snažili jsme vybrat taková, aby akcie nebyla ani příliš riziková, ale aby měla i dostatečný zisk. Metoda je založena na pravděpodobnosti a pseudonáhodných číslech. Budeme tedy generovat náhodná čísla a pomocí algoritmu je rozřadíme, abychom zjistili, kolik akcií by mělo teoreticky naše kritéria splňovat.
6 2. Pojmy V této kapitole definujeme a názorně vysvětlíme základní pojmy, nezbytné pro pochopení a možnost následné aplikace metody Monte Carlo. 2. a Algoritmus Algoritmus je postup, který se má dodržovat při řešení daného problému za daných podmínek. Rozlišujeme dva základní druhy algoritmů a to deterministický a stochastický. Při užití deterministického algoritmu víme, že daný jev nastane za předpokladu, že splníme soubor předem známých podmínek. Naopak splnění všech podmínek u algoritmu stochastického nám dává pouze možnost, že daný jev nastane. Díky tomu můžeme následně počítat pravděpodobnost daného jevu. Stochastické algoritmy jsou využity v metodě Monte Carlo. 2. b Náhodná a pseudonáhodná čísla Náhodná čísla jsou čísla, v jejichž výskytu nemůžeme, na základě předchozích čísel určit číslo následující. Zjednodušeně řečeno, nedá se určit posloupnost, která by vygenerovala danou řadu náhodných čísel. Můžeme je generovat například za využití fyzikálních jevů - radioaktivního rozpadu, šumu elektronky, nebo abecedním seřazením měst s počtem obyvatel nad libovolnou mez. Tyto postupy jsou ovšem časově a v některých případech i finančně náročné. Proto byla vymyšlena čísla pseudonáhodná. Ta jsou sice generována na základě nějaké dané posloupnosti, ale jejich výskyt můžeme považovat za dostatečně náhodný. Také jsou rovnoměrně rozdělena na intervalu, do kterého je generujeme. To je důležité právě při jejich užití v metodě Monte Carlo. Víme-li, že daný jev můžeme modelovat v intervalu [a; b] a v jeho podintervalu [c; d] nastane jev příznivý, tak je důležité, aby čísla, která daný jev modelují, byla rovnoměrně rozdělena na intervalu *a; b+ a ne, aby byla například koncentrována zejména v *c; d+, to by totiž mělo za následek posunutí výsledku nesprávným směrem (příznivý jev by v daném modelu nastal víckrát, než by tomu bylo ve skutečnosti) 2. c Pravděpodobnost Pravděpodobnost jsme definovali dvěma základními způsoby a to - 1) Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti Může-li určitý jev (proces) vykázat n různých disjunktních (vzájemně se vylučujících) výsledků, které jsou stejně možné a jestliže m z těchto pokusů má za následek nevyhnutelně realizaci určitého sledovaného jevu A, a zbylých n-m výsledků, ji vylučuje, potom pravděpodobnost jevu A položíme rovnu číslu m/n a píšeme, což se dá zjednodušeně reformulovat takto pravděpodobnost je poměr počtu případů sledovanému jevu příznivých, k počtu všech případů možných.
7 Její aplikaci můžeme ukázat na jednoduchém příkladu Házíme-li dvěma kostkami (červenou a modrou), přičemž červená udává počet desítek a modrá udává počet jednotek výsledného čísla, jaká je pravděpodobnost, že nám padne prvočíslo (jev A)? Nejdříve si vyjádříme n, tedy počet všech možných výsledků. Protože víme, že na každé kostce nám může padnout 6 různých čísel, můžeme obdržet n různých čísel. Přičemž - Následně vyhodnotíme, kolik z daných jevů odpovídá jevu A, tedy že výsledné číslo je prvočíslo. Tyto jevy si označíme jako m. Všechna prvočísla, která nám mohou padnout, jsou 11, 13, 23, 31, 41, 43, 53, 61. (mohou nám vyjít jen prvočísla, která jsou větší 10 a menší 66, přičemž číslo na místě jejich jednotek musí být menší 6). Z výše uvedeného víme, že n = 36 a m = 8. Tudíž pravděpodobnost, že nastane jev A je 2) Geometrická definice pravděpodobnosti - máme množinu Ω (např. objem, obsah, délka) a její podmnožinu ω, pak pravděpodobnost volby bodu z množiny ω (označíme jako jev A),. Její aplikaci můžeme opět ilustrovat na následujícím příkladu Máme-li přímku D: y = x a generujeme-li náhodná čísla x na intervalu *0;3+ a y na intervalu od *0;3+, která nám udávají souřadnice bodu. Jaká je pravděpodobnost, že se takto generovaný bod bude nacházet pod přímkou D (jev B)? Zadání si můžeme znázornit na následujícím obrázku (Ob. 1) Otázka by se tedy dala položit také takto Jaká je pravděpodobnost, že se bude generovaný bod (výše popsaným způsobem) nacházet v trojúhelníku ABC?
8 Tudíž Nejdříve si vyjádříme hodnotu Ω. Ta je rovna obsahu čtverce ABCD. To je čtverec o straně 3. Následně vyjádříme hodnotu ω. Ta je rovna obsahu plochy pod přímkou D. K zjištění tohoto obsahu můžeme využít integrál. Výše uvedeným postupem jsme zjistili, že Ω = 9 a ω =. Tudíž 3. Buffonova jehla Tato kapitola se bude věnovat několik set let starému pokusu sloužícímu k aproximaci čísla π. Nejprve začneme vysvětlením teorie tohoto pokusu. Následně tento experiment sami vyzkoušíme. 3. a Teorie Pravděpodobnost se dá využít kupříkladu v matematice, ekonomii, či při předvídání jevů v sociologii. Jedno z využití je i aproximace hodnoty čísla π. To se podařilo francouzskému matematikovi Jeanu Louisu Leclerc de Buffon. Ten vymyslel úlohu, díky které je možné aproximovat hodnotu čísla π, díky jeho vlastnostem. George Louis Leclerc de Buffon (1707 Montbard Paris) Francouzský naturalista spisovatel. Zabýval se fyzikou, biologii a matematikou. Podílel se na tvorbě encyklopedií. Je také autorem pokusu s názvem Buffonova jehla. Buffon řešil následující úlohu: Nechť jsou jehly o stejné délce d zcela náhodně házeny na rovnou podložku. Podložka musí být nalinkována rovnoběžnými čarami, vzdálené od sebe stejnou vzdálenosti l pro kterou platí, že d <l. Tímto získáme zcela náhodně ležící jehly, jejichž vzdálenost středu k nejbližší čáře je zcela nahodilá, stejně tak jako jejich orientace, tyto dvě proměnné jsou na sobě nezávislé. Vzdálenost středu, s, jehly k nejbližší čáře nazvěme x a její orientace je dána úhlem α (viz. Ob. 2). Počítáme s tím, že každá jehla může protnout jen jednu čáru (d < l).
9 Je tedy možné pozorovat, že jehla protne čáru jen v případě, že (vyšrafovaná část). Musíme tedy najít pravděpodobnost jevu P ). Pro usnadnění použijeme úhel β jako obecný úhel a znázorníme si všechny možnosti 2 proměnných x (na ose x) a α (na ose α) (Ob. 3). Využijeme tedy souřadnice x a α a vymezíme si část vnitřku obdélníku OPQR, který toto splňuje, tato část je na obrázku vyšrafovaná. Vlastně jsme přiřadili ke každé hodnotě α hodnotu x pro kterou platí, že jehla protne čáru. Musí pro ně tedy platit nerovnost a. Jelikož celý obdélník nám ukazuje všechny možnosti dopadu jehly, a tyto možnosti jsou všechny stejně pravděpodobné, musíme zjistit jaká je pravděpodobnost, že jehla bude splňovat výše uvedené nerovnosti. Tato pravděpodobnost je rovna poměru vyšrafované plochy obdélníku OP a celé jeho plochy. Z obrázku odvodíme že To znamená, že pokud budeme házet jehly o délce d, na linkovaný povrch, kde vzdálenosti mezi čárami jsou rovny d, pravděpodobnost úspěšných hodů bude. Lze tedy jednoduše provést pokus a odvodit číslo π neúspěšných jehel (jehla, která neprotly jednu z rovnoběžných čar)., tedy poměr úspěšných jehel (jehly, která protly čáru) a 3. b Experiment K našemu experimentu jsme použili papír o velikosti A4 a 285 špendlíků. Určili jsme si vzdálenost mezi čáry jako kde je délka jehly. Díky tomuto kroku si můžeme upravit výsledný poměr. (Záznam experimentu je přiložen na poslední stránce této práce). Po náhodném rozhození jehel po papíře jsme měli 216 jehel, které neproťaly žádnou čáru a 69 jehel které proťaly.. Tento výsledek je menší než číslo π, které se rovná 3,1416, ovšem změna jedné jehly (přechod z úspěšných do neúspěšných) by nám dal výsledek 3,1911, který je naopak větší než π.
10 4. Historie Za metodou Monte Carlo tak, jak jí známe dnes, stojí dva muži - Stanislaw Marcin Ulam a Jon von Neumann. Právě jejich spolupráce na amerických vědeckých projektech je přivedla na tento nápad. Jon von Neumann (občas jako John von Neumann) je původem maďarský matematik, narozený v roce 1903 na území Rakouska Uherska. Věnoval se kvantové teorii a byl průkopníkem teorie her. V roce 1929 dostal nabídku učit kvantovou teorii na Princetonu. Tam se stal prvním profesorem v Ústavu pro pokročilé studium (Institute for Advanced Study). Roku 1943 byl přizván Robertem Oppenheimrem k projektu Manhatann. (Ob. 4) (Ob. 5) Stanislaw Marcin Ulam je původem Polák, narozený 1909 na území tehdejšího Rakouska Uherska. Po získání doktorátu, v roce 1933, ve Lvově (nynější Lviv) byl pozván Jonem von Neumannem do spojených států, aby pracoval ve vědeckém ústavu na Princetonu. Po té učil na různých univerzitách, až nakonec získal americké občanství a mohl být zapojen do institutu Los Alamos, kde pracoval na jaderné bombě v rámci projektu Manhattan. Největší spolupráce těchto dvou začala právě díky výzkumu v institutu Los Alamos. Vědci potřebovali spočítat vzdálenost, kterou neutrony mohou urazit, skrze různé materiály. I přes všechna data a výzkumy to nemohli fyzici z Los Alamos spočítat. Problém totiž nastal ve chvíli, kdy se neutron pohltí při srážce s jiným nukleonem. Ulama napadla možnost vypočítat pravděpodobnost odehratelnosti solitairu, tedy pravděpodobnost, že při rozložení karet je možné hru odehrát. To mělo být uskutečněno díky ENIACu (Electronic Numerical Integrator And Computer), na kterém právě pracovali, Ulam s Von Neumannem. Později se rozhodli aplikovat i na neutrony a jejich trasu. Sestavili experiment, ve kterém použili na simulaci cesty atomu rulety. Věděli, že k pohlcení dojde v jednom případu ze 100 a tudíž 1 ze sta políček na ruletě označili jako pohlcení. Následně roztočili ruletu, pokud padlo políčko pohlcení, byl to konec života neutron. V opačném případě se z dalších otočení ruletou určil směr a rychlost neutronu (vše bylo tedy náhodné). Ten samý postup se opakoval stále, dokud nenastalo pohlcení neutronu.
11 Při hledání jména pro svou metodu se inspirovali Ulamovým strýčkem, velkým gamblerem v Monte Carlu. Následně Neumann vymyslel výpočet pseudonáhodných čísel, která je možné využít při aplikování této metody. Od té doby metoda Monte Carlo našla uplatnění v mnoha různých disciplínách, namátkou můžeme zmínit biologii (simulace vývoje hmyzu), fyziku (simulace života neutronu), ekonomie (hodnocení rizikovosti akcií na burze). Tyto problémy musí jednak splnit některé podmínky spojité rozložení pravděpodobnosti a jednak musíme znát pravidla, kterými se daná problematika řídí. Jako jsou například u života neutronu podmínky jeho pohlcení a odražení od určitých prvků. 5. Vlastní projekt Jak je řečeno již v anotaci, naším cílem bylo aplikovat metodu Monte Carlo na nějaký ekonomický problém, a to ideálně z burzovního prostředí. Jako samotný problém k řešení jsme si stanovili odhad počtu akcií, které odpovídají námi zadaným kritériím pro nákup. 5. a Určení kritérii Prvně bylo nutné najít kritéria, podle kterých chceme hodnotit akcie. Vybrali jsme si 4 základní charakteristiky, které jsou veřejně dostupné pro veškeré akcie. Pro stanovení intervalů, ve kterých se daná kritéria pohybují, jsme využili server Patria Direct: 1. Cena akcie je reálná suma, kterou člověk zaplatí za jednu akcii. Jejich rozmezí je velmi různé ovšem určili jsme si rozmezí Kč a podinterval Kč. 2., podle tabulek se následně dá určit jak riziková akcie je, zpravidla čím vyšší P/E poměr tím vyšší rizikovost. Kvalita akcie se dá určit z následující tabulky. My jsme si stanovili podinterval z celkového intervalu 0-50, tudíž chceme potencionálně obchodovat s akciemi, které se považují za stabilní. P/E poměr Závěr vyplívající pro akcii dané firmy Buďto je akcie dané firmy podhodnocena, nebo jsou zisky dané firmy v úpadku. Pro většinu akcií se P/E poměr pohybující v tomto intervalu považuje za dobrou hodnotu.
12 Akcie dané společnosti je buď nadhodnocená, nebo zisk dané společnosti vzrostl oproti posledním publikovaným výsledkům. Společnost, od níž se očekává v budoucnosti velký růst, nebo její letošní zisk byl velmi nízký. Případně mohou její akcie být obětí spekulace. zdroj 3. Dividenda suma, která se vyplácí akcionářům dané firmy ve stanovený termín (tzv. rozhodný den). Její výše není přímo závislá na tom, zda akcie rostla nebo klesala, ale na rozhodnutí valné hromady dané firmy. Zde jsme si stanovili celkový interval a podinterval Tržní kapitalizace tržní hodnota akciové společnosti. Spočítáme ji tak, že objem všech akcií dané firmy na trhu vynásobíme aktuální cenou jedné akcie. Celkový interval byl My jsme si stanovili podinterval b Algoritmus Na základě výše zmíněných kritérií a seřazení jich dle pořadí našeho rozhodování získáme algoritmus. Ten je znázorněn na dolním schématu.
13 Zde vidíme samotný program (psaný v jazyce Java) vycházející z našeho algoritmu function vypocet(){ var pokusy = ; (1) var vyhrajenakupakcie = 0; var prohrajenakupakcie = 0; for(var i = 0;i<pokusy;i++){ (2) var num1 = Math.random() * (1000); var num2 = Math.random() * (50); var num3 = Math.random() * (1000); var num4 = Math.random() * (190)+10; if (nakupakcie(num1, num2, num3, num4) == true) { vyhrajenakupakcie += 1; (3) }else { prohrajenakupakcie += 1; (4)
14 } } Logger.log("Nakup:"+vyhrajeNakupAkcie); Logger.log("Prodej:"+prohrajeNakupAkcie) } function nakupakcie(num1, num2, num3, num4) { (5) if (num1 > 25 && num1 < 500) { (6) if (num2 > 12 && num2 < 30) { (7) if (num3 > 100 && num3 < 500) { (8) if (num4 > 20 && num4 < 100) { (9) return true; (10) }}}} return false; (11) }; Komentář (1) Počet pokusů zde zadáme, kolikrát chceme pokus opakovat, respektive s kolika akciemi chceme pokus provést (jeden pokus = jedna akcie) (2) Generátor pseudonáhodných čísel pro jednotlivé parametry dané akcie, var num1 reprezentuje cenu, var num2 P/E poměr, var num3 Dividendu, var num4 tržní kapitalizaci. Za každou proměnou je stanoven interval, do kterého mají být čísla generována. (3) Přírůst výher pokud je výsledek srovnání parametrů dané akcie označen jako pozitivní, tak program na základě tohoto příkazu připíše 1 k počtu pozitivních výsledků. (4) Přírůst proher - pokud není některá z podmínek splněna, program na základě tohoto příkazu připíše 1 k počtu negativních výsledků. (5) Následuje soubor podmínek, které akcie musí splnit, abychom dostali pozitivní výsledek. (6) Zadání rozpětí ceny zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k další podmínce. Pokud ne tak je srovnání ukončeno. (7) P/E poměr - zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k další podmínce. Pokud ne tak je srovnání ukončeno. (8) Dividenda - zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k další podmínce. Pokud ne tak je srovnání ukončeno.
15 (9) Tržní kapitalizace - zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k dalšímu příkazu. Pokud ne tak je srovnání ukončeno. (10) Pokud akcie splnila všechna srovnání, tak tento příkaz označí výsledek jako pozitivní. (11) Pokud akcie nesplnila některé ze srovnání, tak tento příkaz označí výsledek jako pozitivní. 5. c Výsledky Počet pokusů (akcií) Počet pozitivních výsledků = 0,1674 % Počet negativních výsledků = 99,8326 % 5. d Ověření výsledků Pro ověření výsledků nejdříve spočítáme pravděpodobnost pro získání pozitivního výsledku za námi daných podmínek (6. a) a tou následně vynásobíme počet akcií, se kterým jsme provedli náš experiment. Pravděpodobnost získání pozitivního výsledku u jednotlivých kritérií výběru Cena Počet všech možných výsledků n = 1000 Počet všech příznivých výsledků m = = 175 P/E poměr Počet všech možných výsledků n = 50 Počet všech pozitivních výsledků m = = 11 Dividenda Počet všech možných výsledků n = 1000 Počet všech pozitivních výsledků m = = 200 Tržní kapitalizace Počet všech možných výsledků n = Počet všech příznivých výsledků m = = Tudíž pravděpodobnost, že za námi daných podmínek dostaneme pozitivní výsledek (akcie bude odpovídat všem podmínkám) je
16 Tuto pravděpodobnost vynásobíme počtem pokusů (akcií), se kterými jsme počítali a tím získáme počet akcií, který by měl odpovídat námi zadaným podmínkám. 6. Závěr Námi experimentálně získaný počet se liší o 53 akcií od předpokládaného výsledku (odchylka 5,3 * %). Vzhledem k takto malé odchylce můžeme konstatovat, že náš algoritmus negeneruje chybné výsledky a tudíž se nám podařilo nasimulovat počet akcií, které odpovídají námi zadaným podmínkám. Ovšem je potřeba si uvědomit, že bychom mohli ještě zpřísnit kritéria pro výběr akcie. Také by se mohla použít jinak definovaná pravděpodobnost. 7. Použitá literatura FABIÁN, F, KLUIBER, Z. Metoda Monte Carlo a možnosti jejího uplatnění. Praha: Prospektum s.r.o., s. ISBN Bakalářská práce- Statistická metoda Monte Carlo Bc.Jakub Kupčík, UTB Zlín publikováno 2009 Bakalářská práce- Monte Carlo simulace v ekonometrii Autor: Klára Vopatová VŠE publikováno 2013 HAVLÍČEK, Jiří. Iracionální čísla: Ludolfovo číslo π. In: [online]. [cit ]. Dostupné z: PIVETEAU, Jean. Britannica: Georges-Louis Leclerc, count de Buffon. In: [online]. [cit ]. Dostupné z: Buffon SCHUKLA, Gurav a Chelsey PARROTT-SHEFFER. Britannica: Stanislaw Marcin Ulam. In: [online]. [cit ]. Dostupné z: Ulam O CONNOR, J J a E F ROBERTSON. History at School of Mathematisc and Statistics: John von Neumann. In: [online]. [cit ]. Dostupné z: Wikipedia: John von Neumann. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: JohnvonNeumann-LosAlamos.gif Wikipedia: Stanislaw Ulam. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: Stanislaw_Ulam.tif.jpg
Téma 3: Metoda Monte Carlo
y Náhodná proměnná D Téma 3: Metoda Monte Carlo Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia 1,0 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80 1,00
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceGenerování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Generování pseudonáhodných čísel při simulaci Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky V simulačních modelech se velice často vyskytují náhodné proměnné. Proto se budeme zabývat otázkou, jak při simulaci
VíceBuffonova jehla. Jiří Zelenka. Gymnázium Zikmunda Wintra Rakovník
Buffonova jehla Jiří Zelenka Gymnázium Zikmunda Wintra Rakovník jirka-zelenka@centrum.cz Abstrakt Zaměřil jsem se na konstantu π. K určení hodnoty jsem použil matematický experiment nazývaný Buffonova
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
VícePopisná statistika kvantitativní veličiny
StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali
VíceTéma 2 Simulační metody typu Monte Carlo
Spolehlivost a bezpečnost staveb, 4.ročník bakalářského studia Téma 2 Simulační metody typu Monte Carlo Princip simulačních metod typu Monte Carlo Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA)
VíceCVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
Vícemetodou Monte Carlo J. Matěna, Gymnázium Českolipská, Praha
Výpočet obsahu plošných obrazců metodou Monte Carlo J. Löwit, Gymnázium Českolipská, Praha jakub.lowit@gmail.com J. Matěna, Gymnázium Českolipská, Praha matenajakub@gmail.com J. Novotná, Gymnázium, Chomutov
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VíceGenerátory náhodných čísel V. Bílý Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, Břehová 7, 115 19 Praha 1 bilyvit@fjfi.cvut.cz Abstrakt Během svého experimentu jsem se zajímal a porovnával různé generátory
VíceTeorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika
Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika B. Vlková 1, M.Berg 2, B. Martínek 3, O. Švec 4, M. Neumann 5 Gymnázium Uničov 1, Gymnázium Václava Hraběte Hořovice 2, Mendelovo gymnázium Opava
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceCVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec
VíceBayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat
Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceSEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY
SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY PETROHRADSKÝ PARADOX TEREZA KIŠOVÁ 4.B 28.10.2016 MOTIVACE: K napsání této práce mě inspiroval název tématu. Když jsem si o petrohradském paradoxu zjistila nějaké informace
VíceVýpočet nejistot metodou Monte carlo
Výpočet nejistot metodou Monte carlo Mgr. Martin Šíra, Ph.D. (ČMI, Brno) červen 2012 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. p. 1 Výpočty nejistot
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceCVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
VíceNÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?
NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU
VíceFyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VícePravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceSimulační modely. Kdy použít simulaci?
Simulační modely Simulace z lat. Simulare (napodobení). Princip simulace spočívá v sestavení modelu reálného systému a provádění opakovaných experimentů s tímto modelem. Simulaci je nutno považovat za
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceNÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:
NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceOdhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti
Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti 4. listopadu 203 Kdybych chtěl znát maximum informací o náhodné veličině, musel bych znát všechny hodnoty, které mohou padnout, a jejich pravděpodobnosti. Tedy
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceRegrese. 28. listopadu Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly:
Regrese 28. listopadu 2013 Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly: 1. Ukázat, že data jsou opravdu závislá. 2. Provést regresi. 3. Ukázat, že zvolená křivka
VícePravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceCVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 40 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte pro a 1; 3 hodnotu výrazu 4 + a 3 + a 3 ( 2). 1 bod VÝCHOZÍ TEXT
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceDiagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak
StatSoft Diagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak V tomto článečku si uděláme exkurzi do teorie regresní analýzy a detailně se podíváme na jeden jediný diagnostický graf. Jedná se o graf Předpovědi
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Vícewww.zlinskedumy.cz Střední průmyslová škola Zlín
VY_32_INOVACE_31_01 Škola Název projektu, reg. č. Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Tematický okruh Téma Tematická oblast Název Autor Vytvořeno, pro obor, ročník Anotace Přínos/cílové kompetence Střední
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceK OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy
Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku
VíceJevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VíceCVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově
VíceStatistická teorie učení
Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
VícePravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1
Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
Více1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
VíceAlgoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceIdentifikátor materiálu: VY_32_INOVACE_344
Identifikátor materiálu: VY_32_INOVACE_344 Anotace Autor Jazyk Očekávaný výstup Výuková prezentace. Na jednotlivých snímcích jsou postupně odkrývány informace, které žák zapisuje či zakresluje do sešitu.
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceČasové rezervy. Celková rezerva činnosti
Časové rezervy Celková rezerva činnosti CR Volná rezerva činnosti VR Nezávislá rezerva činnosti - NR Celková rezerva činnosti Maximální počet časových jednotek, které jsou k dispozici pro provedení činnosti,
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 23 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 23 biologové často potřebují najít často se opakující sekvence DNA tyto sekvence bývají relativně krátké,
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceDerivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ ROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 :. dubna 07 D : 807 P P P : 30 M. M. : 30 : 9,0 M. : 7,9 % : -7,3 M. P : -,5 : 5,0 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
VíceUrčeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
VíceVzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení
Vzorová písemka č. rok /6 - řešení Pavla Pecherková. května 6 VARIANTA A. Náhodná veličina X je určena hustotou pravděpodobností: máme hustotu { pravděpodobnosti C x pro x ; na intervalu f x jinde jedná
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika 017 ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 0 úloh a na jeho řešení máte 90 minut čistého času. n V průběhu
Více( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
VíceSTANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ. J. Pruška, T. Parák
STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ J. Pruška, T. Parák OBSAH: 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko. 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015
Více1 Analytické metody durace a konvexita aktiva (dluhopisu) $)*
Modely analýzy a syntézy plánů MAF/KIV) Přednáška 10 itlivostní analýza 1 Analytické metody durace a konvexita aktiva dluhopisu) Budeme uvažovat následující tvar cenové rovnice =, 1) kde jsou současná
VíceVýpočet pravděpodobností
Výpočet pravděpodobností Pravděpodobnostní kalkulátor v programu STATISTICA Cvičení 5 Statistické metody a zpracování dat 1 (podzim 2016) Brno, říjen 2016 Ambrožová Klára Trocha teorie Náhodné jevy mají
VíceDůkazy vybraných geometrických konstrukcí
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
Více7.2.12 Vektorový součin I
7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné
Více