VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA OBTÉKÁNÍ A ODPOR TĚLES

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA OBTÉKÁNÍ A ODPOR TĚLES Jaroslav Janalík Ostrava 008

2 Obsah stran Předmluva Úvod Mezní vrstva Tloušťka mezní vrstvy Prandtlova rovnice pro mezní vrstvu Odtržení proudu Úplav Odpor těles Užití věty o změně hybnosti ke stanovení odporu desku Obtékání desky Laminární obtékání desky Turbulentní obtékání desky Obtékání desky kolmé na vektor rychlosti Obtékání desky šikmé k vektoru rychlosti Obtékání koule Obtékání hladké koule Sedimentační rychlost Obtékání míče Obtékání válce a vybrané aplikace Obtékání válce Kármánova vírová cesta Potenciální obtékání válce Magnusova síla Obtékání profilů Síly a momenty působící na profil Polára profilu Křídlo Obtékání profilů při nadzvukových rychlostech Obtékání automobilů Velikost odporové a vztlakové síly Obtékání karoserie automobilu Obtékání automobilů v aerodynamickém tunelu Spoilery a přítlačná křídla Odpor vybraných těles Aerodynamické tunely Použitá označení Literatura

3 Předmluva Obtékání těles se zabývá problémem, jak proudící tekutina působí v důsledku tohoto pohybu na pevné těleso vystavené dynamickému působení tekutiny. Pokud je proudící tekutina plyn, potom hovoříme o aerodynamice. Chování tekutiny kapaliny nebo plynů se podstatně odlišuje od pevných těles. Členění látek (hmoty) na pevné látky a tekutiny vyplývá z jejich rozdílné odezvy na účinek síly, snažící se změnit původní objem a tvar hmotného elementu. Pevné látky vytvářejí značný odpor proti změnám objemu i tvaru vznikem vnitřních napětí, která s přihlédnutím na Hookův zákon jsou úměrná způsobeným deformacím. Tekutiny naopak podléhají deformacím bez ohledu na velikost působící síly, vnitřní napětí vyvolaná v tekutině jsou podle Newtonovy rovnice úměrná gradientu rychlosti. Kapaliny kladou malý odpor pomalým změnám tvaru a naopak, jejich odpor vůči změnám objemu je velký, protože kapaliny jsou téměř nestlačitelné. Plyn v porovnání s kapalinami podléhá snadno jak změnám objemu tak i tvaru. Vysvětlení rozdílných vlastností pevných látek, kapalin a plynů vyplývá z rozdílné velikosti přitažlivých mezimolekulárních sil, které jsou u pevných látek největší u plynů jsou naopak tyto síly velmi slabé. Tekutiny při řešení úloh z proudění považujeme za spojité kontinuum. Toto platí i pro plyny, protože v jednotce objemu plynu je velký počet molekul, nebo jinak řečeno Avogadrovo číslo je číslo velké. Pro spojité kontinuum předpokládáme, že je homogenní i isotropní, kapalina i plyn jsou charakterizovány svoji hustotou, která udává hmotnost všech molekul v jednotce objemu. V technických i praktických aplikacích je obtékání i odpor těles je úloha velmi častá a důležitá. Jedná se zejména o obtékání samostatných profilů v letectví, raket, projektilů, profilových mříží u hydrodynamických strojů, obtékání automobilů, budov, štíhlých staveb nebo míčů a pod. Obtékání těles je možné řešit pro proudění ideální nestlačitelné tekutiny, nebo nestlačitelné, ale vazké tekutiny, dále pro proudění ideální, ale stlačitelné tekutiny a pro proudění stlačitelné a současně i vazké tekutiny. Recenzent: Doc.RNDr. Milada Kozubková, CSc.

4 1. Úvod Při obtékání těles či pohybu tělesa v tekutině vznikají síly a momenty. Výslednou sílu a moment lze rozložit obecně na tři složky, odpor F x, vztlak F y a boční sílu F z a moment klopivý M z, klonivý M x a zatáčivý M y - obr Při symetrickém obtékání těles pak budou některé z těchto složek rovny nule, obvykle boční síla, klonivý a zatáčivý moment. Obr. 1.1 Síly a momenty působící na obtékané těleso Nachází-li se těleso v rozlehlém proudu tekutiny, nelze již tak snadno určit rychlostní a tlakové pole kolem tělesa a teoretické stanovení např. odporu a vztlaku je velmi obtížná úloha. Jestliže provádíme výpočet s modelem nevazké tekutiny, dostáváme nulový odpor, což je v rozporu s naší zkušeností (D'Alembertův paradox), neboť i při obtékání těles vzduchem, který má velmi malou viskozitu, vzniká vždy odpor, tj. složka paralelní s vektorem rychlosti. Experimentálně bylo zjištěno, že při velkých Reynoldsových číslech sahá vliv viskozity jen do malé vzdálenosti od povrchu tělesa a tato část proudu se nazývá mezní vrstva; úplav je odplavovaná mezní vrstva. Při obtékání těles se setkáváme s různě velkou rychlostí obtékání, nebo s různě velkou velikosti Machova čísla Ma. Z praktického hlediska i názvosloví, je výhodné rozdělit proudění podle velikosti Machova čísla. Možné rozdělení uvádí tabulka 1.1. Tabulka 1.1 Rozdělení proudění podle velikosti Machova čísla Machovo číslo Druh proudění Ma 0,3 nestlačitelná tekutina 0,3 Ma 0,8 subsonické proudění 0,8 Ma 1,4 transsonické proudění 1,4 Ma 5 supersonické proudění Ma ³ 5 hypersonické proudění 3

5 . Mezní vrstva Pojem mezní vrstva byl zaveden Prandtlem a má velký význam v aerodynamice i při obtékání těles, protože metody výpočtu třecího odporu jsou založeny na teorii mezní vrstvy. Pojem mezní vrstva se dá názorně vysvětlit na příkladu obtékání rovinné desky umístěné v rovnoběžném proudu tekutiny, pří čemž deska má stejný směr jako proudnice. Částice tekutiny před deskou mají všechny stejnou rychlost v i směr. Částice, které ulpí na desce mají rychlost nulovou, v blízkosti desky jsou částice tekutiny brzděny pomalejšími částicemi u obtékaného povrchu. Část jejich kinetické energie se přeměňuje třením na teplo. Oblast v těsné blízkosti stěny desky, kde se mění rychlost nebo jinak řečeno, kde existuje gradient rychlosti a tedy v platí nerovnost ¹ 0 se nazývá mezní vrstva. y Tření na desce stále zbrzďuje částice tekutiny, přinášejí se částice vzdálenější od povrchu do mezní vrstvy. Protože do mezní vrstvy vstupují další částice tekutiny, mezní vrstva směrem po proudu stále narůstá. Rychlostní profily mají spojitý přechod od nulové rychlosti na stěně do plné rychlosti ve vnějším proudu. Úloha je názorně uvedena na obr..1 Obr..1 Mezní vrstva na desce Pro další posouzení proudění v mezní vrstvě je vhodné zavést Reynoldsovo číslo Re x definované vztahem, označení veličin je zřejmé z obr..1 v x Rex =. (.1) n V dostatečné vzdálenosti od náběžné hrany jsou si rychlostní profily podobné a nezávislé na vzdálenosti x. Má-li nabíhající proud nulovou turbulenci, vznikne na začátku desky laminární mezní vrstva, která pro Re x = přechází v mezní vrstvu turbulentní s laminární podvrstvou. Mezi laminární a turbulentní mezní vrstvou existuje jistá přechodná oblast. Má-li nabíhající proud určitou turbulenci, potom na počátku desky laminární mezní vrstva nevznikne a turbulentní mezní vrstva se může nastavit již od náběžného bodu..1. Tloušťka mezní vrstvy Na obr.. A je znázorněn vývoj mezní vrstvy při obtékání desky. Jsou znázorněny rychlostní profily pro laminární a turbulentní mezní vrstvu obr.. B, turbulentní rychlostní profil je plnější, toto je způsobeno turbulencí v mezní vrstvě. Gradient rychlosti na stěně je pro laminární mezní vrstvu menší než pro vrstvu turbulentní obr. C. Tloušťka mezní vrstvy δ je obvykle malá ve srovnání s charakteristickým rozměrem obtékaného tělesa, dosahuje setiny nebo tisíciny charakteristické délky tělesa. Tloušťka mezní vrstvy δ obr..3 je kolmá vzdálenost od desky, kde rychlost dosáhne smluvní velikosti, obvykle 99% rychlosti v, proto platí v = 0,99. v. Tloušťka mezní vrstvy není 4

6 pojem přesně definovaný, protože rychlost v mezní vrstvě se od stěny blíží k rychlosti vnějšího proudu asymptoticky. Vedle konvenční tloušťky mezní vrstvy δ existují ještě další definice Obr.. Rychlostní profil u laminární a turbulentní mezní vrstvy Posunovací (odtlačovací) tloušťka mezní vrstvy - δ * udává posunutí obtékaného profilu do proudu tekutiny tak, aby průtok skutečné tekutiny mezní vrstvou a průtok dokonalé Obr..3 Schéma mezní vrstvy pro určení posunovací tloušťky tekutiny kolem posunutého obrysu byl stejný. Je tedy měřítkem relativního úbytku průtoku v mezní vrstvě obr..3 5

7 Definujme objemový průtok, který protéká mezní vrstvou a tento porovnáme s průtokem, který protéká rychlostí v posunovací tloušťkou d Q = òvdy = ( d - d ).1. v, pro tloušťku δ platí 0 d d = ò dy, 0 * úpravou těchto dvou rovnic stanovíme posunovací tloušťku d * v æ v ö d d - ò dy = dy v ò ç1 - v. (.) è ø = 0 0 Obr..4 Schéma mezní vrstvy pro určení impulsní tloušťky Impulsová tloušťka - δ ** je určena obdobně tak, aby se úbytek hybnosti částic skutečné tekutiny v mezní vrstvě vyrovnal hybnosti částic dokonalé tekutiny protékající mezi posunutým obrysem o δ ** a skutečným obrysem. Udává tedy relativní úbytek hybnosti tekutiny. Při odvození vyjdeme z definice průtokové hybnosti - obr.4. ** **. v =. d. v.1. v = r.. H = Qm r d v. Hybnost v impulsové tloušťce a v celé mezní vrstvě musí být stejná, proto platí ** d ** ò - 0 r. d. v.1. v = r. d. v = r.1 ( v v ) v. dy, 6

8 z této rovnice pro impulsovou tloušťku dostaneme ** æ v v ò 1. dy v ö d = ç -. (.3) v 0 è ø Energetická tloušťka mezní vrstvy - J, která udává relativní úbytek energie se odvodí obdobným způsobem a je určena rovnicí æ v v ò dy v ö J = ç 1 -. (.4) è ø v 0.. Prandtlova rovnice pro mezní vrstvu Proudění ideální (nevazké) tekutiny je popsáno Eulerovou rovnicí. Tato rovnice však nerespektuje vliv tření tekutiny na obtékaném povrchu tělesa, kde rychlost tekutiny je nulová. Prandtl předpokládal, že v tenké vrstvě tekutiny na povrchu tělesa roste rychle s rostoucí vzdáleností y od stěny tangenciální složka rychlosti z nulové hodnoty rychlosti na povrchu tělesa až k hodnotě rychlosti v nerozrušeném proudu na vnějším okraji této vrstvy. V proudovém poli vně této tzv. mezní vrstvy převažuje vliv setrvačných sil nad silami vazkými a zde k popisu proudění můžeme použít Eulerovu rovnici. Obr..5 Schéma mezní vrstvy na obtékaném tělese Proudění uvnitř mezní vrstvy je charakterizováno tím, že síly setrvačné a třecí jsou přibližně stejného řádu a proudění je proto popsáno Navierovou-Stokesovou rovnicí. Předpokládejme obtékané těleso, jehož řez je na obr..5. Protože mezní vrstva je velmi tenká, můžeme zanedbat její křivost a pracovat v kartézských souřadnicích. Uvnitř mezní vrstvy uvažujeme ustálené dvourozměrné proudění nestlačitelné tekutiny, charakterizované složkami rychlosti v x a v y. Předpokládejme, že se dále zanedbá vliv vnějších objemových sil, Navierova-Stokesova rovnice se pak zjednoduší a ve vektorovém tvaru se zapíše v grad 1 v = - + udv r gradp, a rovnice kontinuity div v = 0. 7

9 Pro dvojrozměrný případ obtékání tělesa, můžeme vektorové rovnice v kartézském souřadném systému psát v x x v x v + y x v y x 1 p v = - + n( r x x y vx + y v y ), (.5) v y v y 1 p v v x + v y = - + n( + ), (.6) x y r y x y v v x y + = 0 x y (.7) Analytické řešení této soustavy nelineárních parciálních diferenciálních rovnic nám současné matematické prostředky neposkytují. V některých speciálních případech lze rovnice redukovat na obyčejné diferenciální rovnice. Možné je však numerické řešení, prakticky pro libovolné okrajové a počáteční podmínky. Jsou však také možná asymptotická řešení v limitních případech, a to pro tekutinu velmi vazkou nebo pro tekutinu málo vazkou, tedy pro proudění s vysokým Reynoldsovým číslem. Toto provedl Prandtl v roce 1904, získané rovnice nesou jeho jméno. Prandtl předpokládal, jak již bylo řečeno, že v mezní vrstvě proudí vazká tekutina a vně mezní vrstvy je možné zanedbat viskozitu tekutiny a proudění je zde popsáno rovnicí pro ideální tekutinu, tedy rovnicí Eulerovou. Při odvození rovnic Prandtl vychází z úvahy srovnat řád funkcí, jejichž argument nabývá určitých hodnot v uvažovaném oboru, při čemž zanedbává členy vyšších řádů. Dále předpokládá, že : p - tlak podél desky (ve směru x) je konstantní a platí = 0, x p - tlak v mezní vrstvě na kolmici k obtékanému povrchu je stejný (tlak je konstantní) = 0 y Z toho vyplývá, že se tlak z vnějšího proudu přenáší přes mezní vrstvu k povrchu tělesa beze změny. Prandtl v rovnicích (.5), (.6) a (.7) definoval velikosti jednotlivých členů a členy malé řádu δ zanedbal a pro mezní vrstvu dostal zjednodušenou rovnici mezní vrstvy, která nese jeho jméno. v x v x vx vx + vy = n x y y, (.8) v v x y + = 0. x y (.9) Použijeme-li proudovou funkci Ψ jako novou proměnnou, která je definována vztahy známými z potenciálového proudění Y Y v x =, v y =, y x transformují se obě Prandtlovy rovnice a další úpravou se dají převést na rovnici jedinou Y Y Y Y Y - = x x y x y y. (.10) Tato rovnice se dá upravit na obyčejnou diferenciální třetího řádu a je základem pro stanovení součinitele tření při obtékání desky a pro výpočet tloušťky mezní vrstvy na desce. Řešení se dá provést rozvojem v řadu, nebo numericky. 8

10 .3. Odtržení proudu Obr..6 Odtržení mezní vrstvy na zakřiveném povrchu p Při obtékání rovinné desky se statický tlak podél desky nemění, protože = 0. Jiná x situace nastává při obtékání těles zaoblených (např. válec, koule, letecký profil apod.), kde dochází ke změně rychlosti na povrchu tělesa a protože platí Bernoulliho rovnice, mění se i tlak. Sledujme proudění na zakřiveném povrchu podle obr..6. Předpokládejme, že se tlak vnějšího proudu podél povrchu na začátku zmenšuje a v bodě M dosáhne minima, pak se tlak začíná zvětšovat. V prvním úseku je tlakový gradient záporný - p = 0, rychlost uvnitř mezní vrstvy se zvětšuje. Ve druhém úseku je tlakový gradient kladný x p = 0 a rychlost uvnitř mezní vrstvy se zmenšuje. x V oblasti rostoucího tlaku jsou částice tekutiny ubrzďovány, a to vnitřním třením, ale též kladným tlakovým gradientem. Rychlost v mezní vrstvě klesá, rychlostní profil mezní vrstvy se tím deformuje, na rychlostním profilu se objeví inflexní bod, až dojde k tomu, že rychlostní profil svírá se stěnou pravý úhel (má směr normály). V tomto okamžiku se částice tekutiny zastavily. V dalším průběhu nastává účinkem kladného tlakového gradientu, směřujícího proti smyslu proudu u stěny. Při styku se základním proudem vzdalují se pohybující částice od stěny, což vede k odtržení mezní vrstvy. O tom, zda se mezní vrstva odtrhne a ve kterém místě, rozhoduje tlakový gradient podél povrchu tělesa a rovněž skutečnost, zda je v mezní vrstvě proudění laminární či turbulentní. V žádném případě však nemůže nastat odtržení mezní vrstvy při obtékání zakřivené stěny v její první části. Dá se dokázat, že poloha bodu odtržení S nezávisí u laminární mezní vrstvy na Rečísle. Je-li mezní vrstva turbulentní, vzniká intenzivní výměna hybnosti mezi částicemi tekutiny a proto i při zvýšeném tření částice tekutiny ztrácejí kinetickou energii pomaleji. V důsledku tohoto se turbulentní mezní vrstva odtrhne později než laminární..4. Úplav Mezní vrstva, která se na povrchu obtékaného tělesa profilu vytvoří se dá velmi zjednodušeně také představit tak, že na horní i spodní straně vznikají vírová vlákna (vírové provazce), při čemž smysl rotace vírových vláken na horním povrchu je opačný než na povrchu spodním. Vírová vlákna jsou proudící tekutinou unášena za těleso, kde zpomalené částice v mezní 9

11 vrstvě a částice z odtrženého proudu vytvářejí za tělesem úplav. Na obr..7 jsou znázorněny rychlostní profily v úplavu, z obrázku je patrné, že s rostoucí vzdáleností od tělesa se přenosem impulzů mezi částicemi úplav rozšiřuje a vyplňuje. Obr..7 Úplav za obtékaným tělesem Když je těleso obtékáno bez odtržení mezní vrstvy, je úplav tvořen částicemi, které prošly mezi vrstvou tělesa a jejich rychlost je zmenšena. V úplavu není zpětných proudění, je v něm jen pokračování spojených mezních vrstev. V tomto případě je tvar úplavu prakticky stejný jak pro laminární tak i turbulentní mezní vrstvu. V turbulentní mezní vrstvě lze očekávat rychlejší rozšiřování a vyrovnání úplavu. Je-li rychlost nenarušeného proudu v, rychlost v libovolném místě úplavu v, protéká vrstvou tloušťky dy o jednotkové šířce elementární hmotnostní průtok dq m = r. v. dy, elementární úbytek hybnostního toku je dh = r. v( v - v). Odpor (síla způsobující úbytek hybnostního toku) je roven celkovému úbytku hybnostního toku + F r v( v - v)dy. ò = - Součinitel odporu c, vyjádříme-li charakteristickou plochu tělesa součinem délky profilu L a jednotkové šířky b = 1 pak je + r v( v - v) dy F F - c = = = = pps pdl 1 L ò rv L ò + v v v (1- v - ) dy. (.11) Na základě proměření rychlosti v úplavu, je tedy možné určit profilový odpor tělesa, aniž by bylo nutno určit měřením rozložení tlaků na povrchu obtékaného tělesa a počítat tření mezní vrstvy. Předpokladem je, že rychlostní profil je měřen ve vzdálenosti za tělesem, kde je statický tlak vyrovná a má původní hodnotu jako před tělesem. Jestliže tato podmínka není splněna, je nutné provést korekci. Úplav za tělesy obtékanými s odtržením má jiný charakter. Na zadní straně tělesa je podtlak, který se v úplavu za tělesem zvolna vyrovnává na hodnotu tlaku ve vnějším proudu. Celý úplav je prostoupen víry, tvořícími se za tělesem a odnášenými proudem tekutiny. 10

12 Při podkritickém obtékání tupých těles s laminárním odtržením proudu se setkáváme s pravidelným uspořádáním vírů. Víry, které se vytvářejí u stěny obtékaného tělesa za bodem odtržení, se odtrhnou od stěny, jakmile dostatečně narostou a to střídavě na obou stranách obtékaného tělesa. Za tělesem v úplavu se pak seřazují v pravidelnou dvojitou řadu, je to tak zvaná Kármánová vírová cesta. Při nadkritickém obtékání přechází mezní vrstva z laminární do turbulentní, ustává pravidelnost vírů v úplavu a proudění v úplavu je nepravidelné. Podmínky stability těchto vírů zkoumal Kármán. Z průběhu rychlostí v úplavu je patrno, že hybnost proudící tekutiny se snižuje. Tuto hybnost, která je předána obtékanému tělesu a projevuje se jako tvarový (profilový) odpor tělesa, můžeme určit výpočtem z naměřeného průběhu rychlosti za tělesem. 11

13 3. Odpor těles Je-li těleso obtékáno ideální tekutinou (viskozita je nulová), proudnice sledují povrch obtékaného tělesa obr. 3.1, proudové pole je symetrické okolo svislé i vodorovné osy a proto je odpor nulový. Obr. 3.1 Obtékání tělesa ideální tekutinou Při obtékání tělesa skutečnou tekutinou si celkový odpor rozkládáme na odpor třecí (vliv viskozity), daný integrálem tečných sil na povrchu a odpor tlakový, který je způsobený nesymetrickým rozložením tlaku na povrchu tělesa) se mění velikost i směr vektoru rychlosti tekutiny. V důsledku viskozity vznikají silové účinky dané integrálem tečných sil na povrchu obtékaného tělesa. Vzniká také nerovnoměrné rozdělení tlaku na povrchu obtékaného tělesa, což rovněž přispívá ke vzniku odporové síly. Odpor těles je určen rovnicí, kterou definoval Newton v Fx = cxs r, ( 3.1) kde c x - součinitel odporu S - charakteristická plocha, u těles obvykle příčný průřez, u leteckých profilů pak nosná plocha křídla v - rychlost nenarušeného proudu před obtékaným tělesem Jak již bylo uvedeno, odpor těles se skládá z třecího odporu, tvarového odporu a indukovaného odporu. Protože stanovení jednotlivých složek odporu je složité, při výpočtech nebo při měření se stanovuje obvykle pouze odpor celkový. Při obtékání desky, která má směr rychlosti - obr. 3., se uplatňuje v odporové síle především vliv třecího odporu. Součinitel odporu závisí na tvaru desky, Reynoldsově čísle, drsnosti povrchu a na turbulenci nabíhajícího proudu. Obr. 3. Obtékání desky rovnoběžné s vektorem rychlosti 1

14 Pro desku postavenou kolmo na vektor rychlosti - obr. 3.3 dojde k odtržení mezní vrstvy na hranách, bod odtržení nemění v tomto případě svoji polohu. Před deskou je větší tlak než za deskou, vzniklý úplav je velký. V tomto případě je odporová síla tvořena především tvarovým odporem. Součinitel odporu závisí hlavně na tvaru obtékaného tělesa, méně na Reynoldsově čísle. Obr. 3.3 Obtékání desky kolmé k vektoru rychlosti Při obtékání zakřivených těles je typické, že proudící tekutina v důsledku odstředivé síly nemusí sledovat povrch obtékaného tělesa, dochází odtržení mezní vrstvy a vzniká úplav. Rychlostní pole je v tomto případě nesymetrické, protože rychlost a tlak jsou vázány Bernoulliho rovnicí, je rozložení tlaku rovněž nesymetrické. Toto je příčinou tvarového odporu. V tomto případě se také uplatňuje vliv viskozity a vzniká proto i odpor třecí. Je obtížné stanovit podíl odporu tvarového a třecího, třecí součinitel je závislý na tvaru obtékaného tělesa a velikosti Reynoldsova čísla obr Obr. 3.4 Schéma obtékání zakřiveného tělesa Na zakřiveném povrchu dochází jak již bylo uvedeno k odtržení mezní vrstvy, zpravidla tehdy, když tekutina proudí do míst s vyšším tlakem na zadní části tělesa. Tlakové a třecí síly působící proti pohybu částice jsou překonávány setrvačností částice tekutiny, její rychlost proto klesá, až v určitém místě na povrchu tělesa má rychlost nulovou obr Rychlostní profil v tomto místě má inflexní bod. Za tímto bodem mají rychlosti opačný smysl, než je tomu u hlavního proudu. U stěny vzniká zpětné proudění. Při velmi malých Reynoldsových číslech (např. u koule když Re < 1) převládá vliv vazkých sil nad tlakovými, proto nedochází k odtržení mezní vrstvy. Odporový součinitel závisí pouze na Reynoldsově čísle. Při takovém obtékání, často nazývaném plíživé proudění 13

15 Obr. 3.5 Schéma vývoje mezní vrstvy na zakřiveném tělese nelze hovořit o mezní vrstvě, neboť vliv viskozity sahá daleko od stěny tělesa. Tyto úlohy se dají řešit integrací Navierovy - Stokesovy rovnice. U těles osově symetrických postavených vzhledem k proudu pod úhlem větším než nula, dochází ke vzniku vztlakové síly obr. 3.6 A. Vztlaková síla vznikne i u nesymetrických těles obtékaných rovnoběžným proudem obr. 3.6 B a rovněž při obtékání šikmé desky obr 3.6 C. Silové účinky obvykle dělíme na sílu vztlakovou, která působí kolmo na vektor rychlosti nenarušeného proudu a odpor těles, což je síla, která působí ve směru proudění, ale má opačný smysl. Obr. 3.6 Obtékání tělesa se vztlakem a) symetrické těleso b) nesymetrické těleso c) šikmá deska Podle teorie potenciálního proudění je vztlaková síla určena Žukovského rovnicí kde F y = r.v.g, ( 3.) G = ò k v. ds je cirkulace rychlosti Rovnice ( 3.) platí pro tekutinu ideální tak i skutečnou. Pro vztlakovou sílu platí také rovnice (Newtonova) v Fy = cys r, ( 3.3) kde c y je součinitel vztlaku Porovnáním posledních dvou rovnic je součinitel vztlaku určen výrazem. G c y =. ( 3.4) v. S 14

16 4. Užití věty o změně hybnosti ke stanovení odporu desku Vzduch nabíhá na desku skloněnou pod úhlem a rychlostí v. Předpokládejme, že vzduch je tvořen diskrétními částicemi (hmotnými body), které se navzájem neovlivňují a při nárazu na desku se chovají jako plastické koule. Síla F, působící na desku o ploše S skloněnou vzhledem k vektoru v nabíhajícího homogenního proudu pod úhlem náběhu a - obr. 4.1, je za předpokladu, že hmotnostní tok Q m = r S v sin a, předá při plastickém nárazu na stěnu desce svou kolmou složku hybnostního toku F = r S v sin a, F S, protože síla je rovna průtokové hybnosti H = Qm. v. Sílu můžeme rozložit na složku svislou - F y (vztlak) a složku vodorovnou F x (odpor). Označme poměr c / c jako tzv. jemnost. y x Obr. 4.1 Newtonův model vzniku výsledné síly při obtékání šikmé desky Pro výslednou sílu, která má směr normály platí v F = cn. S. r sin a, ( 4.1) odkud pro součinitel odporu c platí n F p - p c n = = = sin a. ( 4.) v v S. r r Obdobně můžeme definovat sílu svislou (vztlak) v Fy = F.cosa = cy. S r sin a. cosa, (4.3) odkud pro součinitel vztlaku F. cos a c y = = sin a. cos a. ( 4.4) v S. r 15

17 Podobně platí i pro sílu vodorovnou (odpor) v 3 Fx = F. sin a = cx. S r. sin a, (4.5) odkud pro součinitel odporu F. sin a 3 c x = = sin a. (4.6) v S. r Následující obr. 4. uvádí závislosti c, c, c, c / c na úhlu náběhu a,vypočtené podle n předcházejících rovnic. Z obr. 4. je zřejmé, že max. součinitele vztlaku nastává při a = 54,70. x y y x Obr. 4. Závislost c, c, c, c / c na úhlu náběhu desky a n x y y x Obr. 4.3 Šlírový snímek hypersonického obtékání modelu návratového modulu systému Apolo Zhruba pod stejným úhlem náběhu vstupují návratová tělesa z kosmu do atmosféry. Toto ukazuje šlírový snímek kosmické lodi APOLO pořízený v hypersonickém aerodynamickém tunelu obr

18 5. Obtékání desky 5.1. Laminární obtékání desky Při řešení tohoto problému vyjdeme z Prandtlových rovnic mezní vrstvy ( 5.1) a ( 5.), předpokládáme ustálené proudění podél rovinné desky rovnoběžné s proudící tekutinou se stálým tlakem podél desky obr v x x v x v x vx + vy = n y y, ( 5.1) v v x y + = 0. x y ( 5.) Obr. 5.1 Schéma mezní vrstvy na desce Použijeme-li proudovou funkci Ψ jako novou proměnnou, která je definována vztahy známými z potenciálového proudění Y Y v x =, v y =, y x transformují se obě Prandtlovy rovnice a další úpravou se dají převést na rovnici jedinou Y Y Y Y Y - =. ( 5.3) x x y x y y Tato rovnice se dá upravit na obyčejnou diferenciální rovnici třetího řádu a je základem pro stanovení součinitele tření při obtékání desky a pro výpočet tloušťky mezní vrstvy na desce. Řešení se dá provést rozvojem v řadu, nebo numericky. Toto řešení provedl Blasius a pro laminární obtékání desky nalezl exaktní řešení. Při řešení této úlohy je možné také vyjít z integrální rovnice mezní vrstvy, odvozené Kármánem. d ** * dv t s = r ( v. d ) + r. d. v, dx dx ( 5.4) kde δ * - posunovací tloušťka mezní vrstvy δ ** - impulsní tloušťka mezní vrstvy 17

19 Pro rychlostní profil při obtékání desky se dají aplikovat všechny poznatky Kármána, které učinil pro proudění tekutiny kruhovým potrubím. Rychlost je funkcí tangenciálního napětí na stěně trubky - τ 0,hustoty ρ a kinematické viskozity n tekutiny. Pro drsnou desku je vliv viskozity malý, přistupuje však vliv absolutní drsnosti stěny k. Řešením Kármán zjistil, že rychlostní profil je možné aproximovat logaritmickou funkcí, její experimentálně určený průběh je na obr. 5.. Funkce na tomto obrázku silně připomíná podobnou funkci experimentálně stanoveno pro potrubí kruhového průřezu. Obr. 5. Závislost v æ * v y ö = f ç. * v è n ø pro obtékanou desku V obrázku je τ 0 y n * t 0 v = - třecí rychlost r - smykové napětí na stěně - vzdálenost od stěny - kinematická viskozita proudící tekutiny Na hranici mezní vrstvy a potenciálního proudění pro rychlosti platí v = v Rychlostní profil v mezní vrstvě je aproximován polynomem 3 stupně 1 + c y + c3. y c4. 3 v = c. + y. ( 5.5) Při řešení platí následující okrajové podmínky: Pro y = 0 v = 0, y = δ v = v, 18

20 v y = δ = 0 y v, y = 0 = 0 y dp, = 0 dx dp, = 0 dy. Pro další řešení zavedeme pro obtékanou desku obr. 5.1 dvě definice Reynoldsova čísla a to: v. x Re x = Reynoldsovo číslo vztažené k obecné souřadnici x n v. L Re L = Reynoldsovo číslo vztažené k celé délce desky L n Řešením Prandtlových rovnic, nebo integrální rovnice Kármánovy pro obtékání desky dojdeme k následujícím exaktním výsledkům. Relativní tloušťku mezní vrstvy d 4,64 =. ( 5.6) x Re x Vztah mezi tloušťkou mezní vrstvy a impulsní tloušťkou d * 39 = d. ( 5.7) 80 Rychlostní gradient na stěně desky æ v ö ç è y ø = 0,33. v v x n. y = 0 Tečné napětí na stěně desky. ( 5.8) v 1 t s = 0,33. h. v = 0,33. r. v. ( 5.9) n. x Re Lokální součinitel třecího odporu c. t s fx = r. v = Střední hodnota součinitele odporu x x 0,664. ( 5.10) Re L 1 1,38 F cx = cd = cf = cfx dx L ò. = =. ( 5.11) Re 1 L 0 r. v b. L Síla působící na desku po její jedné straně (jinak je dvojnásobná) F L n. = ò s. b. dx = 0,664. b. r. v v 0 L t. ( 5.1) Poznámka: konstanta v rovnici ( 5.11) je (1,38) odvozená Blasiusem a má podle novějších měření velikost 1,9 - chyba je cca 3%. 5.. Turbulentní obtékání desky Exaktní řešení tohoto problému není možné, vychází se z experimentálních výsledků a metod založených na větě o změně hybnosti (impulsové větě), je pochopitelně možné i numerické řešení. Při řešení je důležitá znalost rychlostního profilu na desce, předpokládejme, že rychlostní profil je určen mocninovou rovnicí 19

21 v v x æ y ö = ç è ø d 1 n. ( 5.13) S využitím impulsové věty a rovnice rychlostního profilu pro relativní tloušťku turbulentní mezní vrstvy, pro hladkou desku se odvodí rovnice 1 - = 0,381.Re 5 x d x Smykové napětí na stěně desky. ( 5.14) 1-0,097..Re 5 s = v x t. ( 5.15) Lokální součinitel třecího odporu 1 - = 0,0593.Re 5 fx x c. ( 5.16) Střední hodnota součinitele odporu 1 L 1 c. = 0,074.Re - 5 fx L 0 cx = ò dx. ( 5.17) V okrajové podmínce výše uvedené rovnice se při odvození rovnice předpokládalo, že turbulentní mezní vrstva se začne vytvářet hned od náběžné hrany. Ve skutečnosti je však na určité počáteční délce mezní vrstva laminární a teprve po dosažení kritické hodnoty Reynoldsova čísla - Re krit přechází na turbulentní. Tuto skutečnost je možné respektovat korekcí rovnice (.17) ve tvaru 1 - A cx = 0,074.Re 5 -, ( 5.18) ReL kde A - je korekční parametr, který je funkcí kritického Reynoldsova čísla, hodnoty parametru A jsou uvedeny v tabulce 5.1 Tabulka 5.1 Hodnoty korekčního parametru A A v.l Re= n , , Porovnání výše uvedených vztahů s experimentálními údaji pro hladkou desku je na obr. 5.3 Lepší shody s experimentem lze dosáhnout tím, že mocninový rychlostní profil nahradíme logaritmickým rychlostním profilem. V tomto případě obdržíme závislost, která je na předcházejícím obrázku vyznačena plnou čarou. Protože se jedná o vztah matematicky komplikovaný, nahradil jej Schlichting empirickou rovnicí 0,455 c x =. ( 5.19),58 (logrel ) Použitím logaritmického rychlostního profilu byla tedy získána závislost, která platí i pro vysoká Re L. Při respektování vlivu laminárního proudění v náběžné části desky je vhodné ve výše uvedené rovnici zavést korekční člen A uvedený v tabulce 5.1, takže dostaneme vztah 0

22 c x = 0,455 A -,58 (logre ) Re. ( 5.0) L L Obr. 5.3 Odporový součinitel hladké desky pro laminární a turbulentní proudění Pro desku hydraulicky drsnou a turbulentní proudění uvádí Schlichting pro na obr. 5.4 c x graf, který je uveden Obr. 5.4 Odporový součinitel drsné desky pro turbulentní proudění V obrázku je Reynoldsovo číslo definováno vztahem v L Re L =., ( 5.1) n 1

23 relativní drsnost je definována zlomkem k e =, L kde k - je absolutní drsnost stěny desky Obtékání desky kolmé na vektor rychlosti Při obtékání desky kolmo postavené na vektor nabíhající rychlosti dojde již při malých rychlostech (malá Re) k odtržení mezní vrstvy na horní a spodní hraně desky obr. 5.5A. Rychlostní pole není symetrické okolo svislé osy, která je totožná s deskou. Proto podle Bernoulliho rovnice je na přední straně desky přetlak a naopak na zadní straně desky v úplavu je podtlak. Vlivem nesymetrie tlakového pole vzniká výsledná síla (tlakový odpor), jeho velikost je dána rovnicí v F = cx. S r, ( 5.) kde plocha S pro obdélník podle obrázku v tabulce 5. S = a. b Obr. 5.5 Obtékání kolmé desky Velikost součinitel odporu c x pro kolmou desku když nabíhající proud má nulovou intenzitu turbulence uvádí tabulka 5.. Vliv intenzity turbulence nabíhajícího proudu je na obr. 5.5B. Tabulka 5. Součinitel odporu pro obdélníkovou desku kolmou na vektor rychlosti Re = 10 3 až 10 5 a/b oo c x 1,1 1,15 1,19 1, 1,9 1,4 1,5 1,9 Součinitel odporu c x je závislý na poměru stran desky tabulka 5.. Se zmenšujícím se poměrem a/b odpor klesá a dosahuje nejnižších hodnot pro desku čtvercovou. Toto je způsobeno přitékáním tekutiny ze stran do úplavu, čímž se tento zmenšuje. Obr. 5.6 uvádí numericky vypočítané odtržení mezní vrstvy na hranách desky. Je pěkně vidět, že za deskou se tvoří soustava vírů připomínající Kármánovu vírovou cestu.

24 Obr. 5.6 Obtékání kolmé desky odtržení mezní vrstvy 5.4. Obtékání desky šikmé k vektoru rychlosti Rychlostní pole při obtékání desky šikmo postavené k vektoru nabíhající rychlosti ukazuje obr. 5.7, pravá část tohoto obrázku byla získána numerickým modelováním. Obr. 5.7 Obtékání šikmé desky U šikmé desky vedle odporu vzniká i vztlaková síla, velikosti těchto sil jsou dány rovnicemi Obr. 5.8 Polára přímé a dvou prohnutých desek Re =

25 v v v Fx = cx. S r, Fy = cy. S r, F = cn. S r ( 5.3) kde součinitel c x nebo c y je možné stanovit z poláry šikmé desky obr Tento obrázek uvádí i poláry pro dvě geometrie desek prohnutých. Pro šikmou desku podle obr. 5.9 s úhlem náběhu α = 0 až 8 o velikost celkového odporového součinitele můžeme vypočítat z empirické rovnice c n =. p. tana. ( 5.4) Pro šikmou desku s úhlem náběhu α = 8 až 90 o velikost celkového odporového součinitele je určena rovněž empirickou rovnicí 1 c n =. ( 5.5) 0,83 0, + sina Mezi oporovými součiniteli platí známé vztahy Obr. 5.9 Šikmá deska Re > 10 4 c x = c n.sina, c y = c n.cosa ( 5.6) Sílu odporovou F x nebo sílu vztlakovou F y vypočítáme podle rovnice ( 5.3) Je-li deska (např. střecha) podle obr skloněna pod úhlem α > 90 o, potom výpočet sil provedeme s využitím věty o změně hybnosti, stejně jako v kap. 4. Pro reakci R platí ( ) R = r. Q. v1 - r. Q. v = r. Q v1 -v Rovnici spojitosti podle obr zapíšeme ve tvaru r1. Q 1 = r. Q = r. Q = r. S. v. sina Reakci R podle obr můžeme definovat vztahem s využitím rovnice spojitosti v Fn = r1.. Q1. v1.sina = r. S. v.sin a = cn. S r, ( 5.7) kde S - plocha střechy v 1 = v - rychlost přitékajícího vzduchu 4

26 Z rovnice ( 5.7) pro c n jednoduchou úpravou dostaneme vztah c =.sin a. ( 5.8) n Obr Obtékání šikmé desky - střechy domu Vodorovná složka reakce je dána rovnicí 3 v Fx = r. S. v.sin a = cxs r, ( 5.9) odkud pro c x s přihlédnutím k rovnici ( 5.8) platí vztah 3 c = c n. sina =.sin a. ( 5.30) x Některé další vybrané geometrie desek a velikost c x nebo c y jsou uvedeny v kap. 10. Vývoj úplavu při obtékání šikmě desky získaný numerickou simulací uvádí obr Obr Obtékání šikmé desky vývoj úplavu získaný numerickou simulací 5

27 6. Obtékání koule 6.1. Obtékání hladké koule Koule jako jednoduché geometrické těleso je z hlediska obtékání relativně velmi podrobně prozkoumáno, a to jak pro malá Re-čísla (plouživé proudění), tak i pro vysoká Re čísla, kdy Machovo číslo Ma 1. Analytické řešení je možné pouze pro malá Re-čísla Re < 1, pro větší Rečísla je možné poznatky získat pouze experimentálním měřením, např. v aerodynamickém tunelu. Plouživé obtékání koule (Re < 1) řešil jako první Stokes. Při řešení vyšel z Navierovy- Stokesovy rovnice, ve které zanedbal setrvačnou sílu - v. grad v = 0 a obdržel rovnici, která nese jeho jméno a ve vektorovém zápise má tvar v = a udv t r gradp. ( 6.1) Tato rovnice je parciální diferenciální rovnice druhého řádu, je však lineární, její řešení je proto snadnější než řešení rovnice Navierovy-Stokesovy. Stokes integroval tuto rovnici ve sférických souřadnicích pro ustálené proudění a zanedbal ještě vnější objemovou sílu. S přihlédnutím k rovnici spojitosti pro třecí odpor odvodil rovnici F t = 4p. h. r. v = p. h. d. v, a podobně pro tlakový odpor F p = p. h. r. v = p. h. d. v. Celkový odpor je součet odporu třecího a tlakového F = F + F = 6p. h. r. v = 3p. h. d v. ( 6.) t p. Tato rovnice je v literatuře uváděna jako Stokesův zákon. Reynoldsovo číslo je učeno známým vztahem v.d Re =, n Porovnáme li Stokesovu rovnici s klasickou rovnicí pro celkový odpor p v F = 3p. h. d. v = cx d r, ( 6.3) 4 odkud pro součinitel odporu dostaneme 4 c = c x =. ( 6.4) Re Tato rovnice platí přesně pro Re < 0,5, prakticky se používá pro Re < 1. Oseenova linearizace: úplné zanedbání setrvačných sil v Navierově-Stokesově rovnici je možné pouze při malých Re-číslech a v těsné blízkosti povrchu koule. Není však oprávněná v místech od povrchu koule dosti vzdálených, kde velikost vazkých a setrvačných sil je řádově stejná. Oseen linearizoval Navierovu-Stokesovu rovnici trochu jiným způsobem a sice tak, že setrvačný člen aproximoval výrazem, v v. gradv = v, x ( 6.5) kde x - je směr totožný se směrem rychlost v - jsou fluktuace rychlosti ve směru osy x Řešením takto zjednodušené Navierovy-Stokesovy rovnice pro součinitel odporu obdržel 4 æ 3 ö c = c x = ç1 + Re, ( 6.6) Re è 16 ø 6

28 tato rovnice platí pro Re <. Závislost součinitele odporu pro kouli uvádí obr. 6.1, závislost pro Re > 1 byla stanovena měřením v aerodynamickém tunelu. Pro Re > 1 je možné součinitel odporu vypočítat z empirických rovnic uvedených v tab Obr. 6.1 Závislost c x = f (Re) pro kouli Tabulka 6.1 Rovnice pro výpočet součinitele odporu pro hladkou kouli Číslo Autor Rovnice Rozsah Re w 1 Stokes 4 cx = Re Re w < 0,5 Allen c x = k Re Re = 10 až Goldstein é 3 19 ù c = ê1 + Re- Re x +... Re ú ë û Re < 0,687 4 Schiler c 1 [ 1 x = 0,15Re ] Re Re < Fair a Geyer 4 3 cx = + + 0, 34 Re Re Re = 0,5 až Bird c = 18,5.Re 5 x Re = až ,5 7 Kasatkin cx = 0, 6 Re Re = až Mika 0,7 c 4 ( 1 x = 0,15Re ) Re Re < Brauer cx = + + 0, 4 Re < Re Re 10 c x = 0,44 Newton Re = 550 až

29 Obr. 6. Tlakový profil na kouli Rozložení tlaku na kouli při obtékání ideální i skutečnou tekutinou je na obr. 6.. Na závislosti c x = f (Re) je možné pozorovat několik výrazných oblastí, které jsou v dalším textu podrobně popsány a jsou podle obr. 6.1 označeny písmeny 0 až F. Jejich popis je následující: Oblast 0 pro Re < 1 platí Stokesův zákon, jedná se o plouživé proudění, proudové pole je prakticky identické s obtékání koule ideální tekutinou obr Oblast A pro 1 < Re < 100 jedná se o přechodnou oblast, odporový součinitel s rostoucím Re rychle klesá, převládá třecí odpor, pro Re = (5-5) se za koulí vytvářejí víry, tyto se však od koule neodtrhavají, stále převládá třecí odpor nad tlakovým. Obr. 6.3 Závislost úhlu θ = f(re) a délky úplavu L w = f (Re) pro kouli Oblast B pro 100 < Re < je možné pro Re = (5-350) pozorovat odtrhávání vírů za koulí, tyto přecházejí pro Re > 350 v pravidelné a nepřetržité odtrhávání vírů, vzniká Kármánova vírová cesta. Odtrhávání vírů v zadní části koule má za následek pokles součinitele 8

30 odporu c x. Postupně začíná převažovat odpor tlakový nad odporem třecím. V přední části koule je stále laminární mezní vrstva. Bod odtržení mezní vrstvy S s rostoucím Re-číslem se posouvá proti proudu - obr Délka úplavu se s rostoucím Re-číslem rovněž prodlužuje obr. 6.3, velikost (objem) úplavu se zvětšuje. Vývoj úplavu za koulí stanovený numerickým modelováním pro Re = 1000 uvádí obr Obr. 6.4 Vývoj úplavu za koulí pro Re = 1000 Oblast C pro < Re < je charakteristický mírný nárůst součinitele odporu c x, což je možné vysvětlit zvýšením víření v zadní části za koulí. Stále se vytváří Kármánova vírová cesta. Převažuje vliv tlakového odporu.v přední části koule je laminární mezní vrstva až do bodu odtržení mezní vrstvy S obr. 6.5 Obr. 6.5 Úplav za koulí a vyznačení bodu odtržení mezní vrstvy S Oblast D pro < Re < v této oblasti je c x = 0,44 a je prakticky konstantní, tuto velikost c x již znal Newton. V této oblasti dochází k výrazné změně ve způsobu obtékání koule. Laminární mezní vrstva v bodě T přechází v turbulentní mezní vrstvu, při čemž s rostoucím Rečíslem se bod přechodu T přemísťuje k bodu odtržení mezní vrstvy S, neboť se zvyšuje turbulence v zadní vírové oblasti obr. 6.6 Obr. 6.6 Úplav za koulí a vyznačení bodu odtržení mezní vrstvy S a bodu přechodu mezní vrstvy z laminární na turbulentní T 9

31 Oblast E pro < Re < po dosažení kritické hodnoty Re-čísla - Re kr = až splyne bod přechodu mezní vrstvy T s bodem odtržení S - obr. 6.7 Obr. 6.7 Úplav za koulí splynutí bodu T a S Turbulentní mezní vrstva má větší odolnost proti odtržení, protože turbulencí se přivádí do mezní vrstvy více energie, proto se bod odtržení S přemísťuje ve směru proudu a současně se zmenšuje velikost úplavu. Součinitel odporu se z hodnoty c x = 0,5 prakticky skokem sníží na c x = 0,06, c x dosáhne minima pro Re kr = 4, oblast F. S dalším zvyšováním Re-čísla se zvyšuje i součinitel odporu c x. Za kritické Reynoldsovo číslo se považuje taková jeho velikost, při které dosáhne součinitel odporu velikost c x = 0,3. Na obr. 6.8 je schématicky uveden úplav za koulí pro Re podkritické a pro Re kritické, rozdíl ve velikosti úplavu je výrazný. Obr. 6.8 Úplavu za koulí pro Re podkritické a Re kritické Velikost kritického Reynoldsova čísla ovlivňují i další veličiny, hlavně drsnost stěny obtékané koule, turbulence nabíhajícího proudu a stlačitelnost proudící tekutiny. Drsnost povrchu koule výrazně ovlivňuje velikost Re kr, s rostoucí relativní drsností povrchu obtékané koule klesá velikost kritického Reynoldsova čísla, obr. 6.9 uvádí naměřené výsledky. Obr. 6.9 Vliv relativní drsnosti povrchu koule na snížení kritické hodnoty Reynoldsova čísla 30

32 Má-li nabíhající proud větší turbulenci, křivka c x = f (Re) si svůj ráz podrží, posune se však vlevo, úloha se velmi podobá vlivu drsnosti. Pokles kritického Reynoldsova čísla jako funkce intenzity turbulence je na obr Obr Vliv intenzity turbulence na velikost kritického Reynoldsova čísla Tohoto jevu se prakticky využívá při testování turbulence v aerodynamického tunelu. V tunelu se umístní koule, která je provedena podle obr Koule má v přední části otvor, který měří celkový tlak, v zadní části koule pod úhlem jsou otvory pro odběr statického tlaku. Obr Úprava koule pro měření intenzity turbulence v aerodynamickém tunelu Při měření se vychází z předpokladu, že při kritickém Reynoldsově čísle má součinitel odporu koule velikost c x = 0,3. Této velikosti odpovídá poměr naměřeného celkového tlakového rozdílu a dynamického tlaku Dp 1 = 1,. v r Rozdíl tlaku se měří mezi otvorem na přední straně koule a mezi otvory v zadní části koule, jak je patrné z obr Sedimentační rychlost Pohybuje-li se kulová částice průměru d vlivem tíhového zrychlení ve stojící tekutině charakterizované hodnotami hustoty r v, a viskozity η, potom rychlost padání částice se také nazývá sedimentační (usazovací) rychlost. Tekutina zaujímá nekonečně velký poloprostor a na částici působí vedle tíhové síly G ještě vztlaková síla F v a síla odporová F o, tj. odpor částice proti pohybu - obr

33 Obr. 6.1 Rovnováha sil při pohybu částice Předpokládejme, že pevná částice se pohybuje rovnoměrnou rychlostí w, tzn. setrvačná síla F s = 0, potom pro rovnováhu sil platí G = F v + F o, a po dosazení za jednotlivé síly pd pd pd w grp= grv + cx rv, (6.8) 6 4 kde w - sedimentační rychlost koule ρ p ρ v - hustota částice - hustota vody nebo vzduchu Odpor proti pohybu je vyjádřen známou rovnicí w pd w Fo = cxs rv = cx rv. 4 Z rovnice ( 6.5) pro sedimentační rychlost dostaneme x v 4. d( rp - rv ). g w =. ( 6.9) 3. c. r Rozběh částice působením vlastní tíhy. Částice materiálu se nachází v tekutině, jejíž absolutní rychlost je rovna nule. Vlivem vlastní tíhy G se počne částice pohybovat ve svislém směru rychlostí v p., tato se mění od nulové hodnoty v čase t = 0, až po sedimentační rychlost w, které dosáhne teoreticky v čase nekonečně dlouhém. Relativní rychlost obtékání se rovná absolutní rychlosti pohybu částice. Z rovnováhy sil, které na částici působí kde F = F + F G, s v 0-3 dv 3 pd p pd v p. dv p Fs = m. a = rv = rv - setrvačná síla 6 dt 6 dx 3

34 3 pd Fv = g. rv - vztlaková (Archimedova) síla 6 pd v p F0 = cx rv - odporová síla 4 3 pd G = m. g = grp - tíhová síla (tíha) 6 pro dráhu částice odvodíme rovnici w æv p ln1 ö x=- - ç g è w ø kde v p rychlost částice ve směru x w sedimentační rychlost, ( 6.10) Rychlost částice v p z nulové hodnoty dosáhne sedimentační rychlosti w teoreticky na nekonečně dlouhé dráze, prakticky se uvažuje dráha konečné délky, může se volit podmínka, že v p = 0,99. w. Po dosažení této dráhy se již částice nezrychluje a pohybuje se konstantní rychlostí w. Výpočet sedimentační rychlosti. Sedimentační (usazovací) rychlost jedné kulové částice závisí na průměru částice, součiniteli odporu, hustotě částice, dále závisí na hustotě a viskozitě kapaliny a na režimu obtékání. Výpočet sedimentační rychlosti podle rov. ( 6.6) vyžaduje znalost součinitele odporu c x a provádí se iterací, c x se může určit z obr. 6.1 nebo vypočítat z rovnic uvedených v tabulce 6.1. Aby se odstranila při výpočtu sedimentační rychlosti iterace, je vhodné zavést bezrozměrné Archimedovo číslo, které je závislé pouze na fyzikálních veličinách tekutiny a částice a nezávisí tedy na sedimentační rychlosti Ar 3 pd g rp - rv 6n r = v. ( 6.11) Obr Závislost Re = f (Ar) 33

35 Závislost c x = f (Re) např. podle obr. 6.1 se přepočítá do nových souřadnic Re = f (Ar), tato závislost je uvedena na obr Praktický výpočet se provede tak, že se stanoví velikost Archimedova čísla Ar, z obr se odečte velikost Reynoldsova čísla sedimentace Re w a z něj se vypočítá sedimentační rychlost w. d Re w =, n n.rew w =. d Sedimentace nekulové částice. Sedimentační rychlost částice, která nemá kulový tvar, je dána v podstatě stejnými zákony, pouze s tím rozdílem, že její odpor v kapalině bude s ohledem na členitost povrchu větší než kulové částice a tedy sedimentační rychlost bude menší. Pro řešení různých materiálových skupin nelze dát všeobecný návod. Dosavadní experimentální výsledky umožnily sestavit pouze přibližné hodnoty koeficientů c x, zahrnujících vliv tvaru částice. Obvykle se obecná částice převede na ekvivalentní průměr kulové částice, při čemž se předpokládá, že ekvivalentní koule má stejnou hmotnost jako obecná částice. Pro Re < 1 je podle literatury částice orientována během usazování tak, jak byla do kapaliny vložena. Pro větší Reynoldsova čísla je u neizometrických částic naopak pozorována tendence docílit určité stabilní orientace. Např. plochá částice má tendenci se orientovat v prostoru při sedimentaci tak, aby její největší průřez byl kolmý na směr vektoru usazovací rychlosti. Částice může v této oblasti kmitat kolem střední rovnovážné polohy. Jisté zobecnění sedimentace je možné pro tzv. izometrický tvar částic u kterých jsou délkové rozměry ve třech na sobě kolmých směrech zhruba stejné. Definujme součinitel sféricity jako poměr povrchekvivalentní koule Se s = =, povrchobecné částice Sč kde průměr ekvivalentní koule je definován vzorcem 6. V p kde V - je objem obecné částice. d 3 e =, ( 6.1) Obr Závislost f ( Re,s ) c x = pro obecnou částici 34

36 Pro Re < 1 pak odporový součinitel lze vyjádřit empirickým vztahem 4 c x =. s 0,843.log Re 0,065 Tato rovnice pro σ = 1 přejde v rovnici Stokesovu 4 c x =. Re Pro Re > 1000 je odporový součinitel možné aproximovat empirickou rovnicí c x = 5,31-4,88.s. Podle této rovnice je pro kulovou částici pro σ = 1 součinitel odporu c x = 0,43. Tato rovnice je c x = f Re,s. omezena pro σ = 0,67 až 1. Na obr je závislost ( ) Pro vyjádření vlivu orientace částice v prostoru při sedimentaci na hodnotu c x je vhodné zavést poměr e d N kde d e - ekvivalentní průměr částice podle objemu rov.( 6.9) d N - ekvivalentní průměr částice podle průmětu, definovaný jako průměr kruhu, který má stejnou plochu jako průměr částice promítnutý do roviny kolmé na směr pohybu. Pro Re < 1 je součinitel odporu určen rovnicí 4 c x =, K.Re ( 6.13) æ d ö kde faktor ç e K = f s,. Korelací naměřených dat byla stanovena závislost è dn ø - 0,7 æ de ö æ de ö logk = ç -1 + log ç s. 0, 435 æ d ö è d e N ø è dn ø s ç è dn ø Tato rovnice platí pro částice, u kterých je průmětem do roviny kolmé na směr rychlosti pohybu kruh nebo rovnostranný obrazec. Když nejsou splněny výše uvedené podmínky, potom se doporučuje následující korelace æ d ö æ ö ç e d e d + ç e log K = -0,5-1 s log s. è dn ø dn è dn ø L Při usazování válečku s rozměry 0,1 10 D a 00 Re 6.10 dochází při 4 sedimentaci k významnému sekundárnímu pohybu kmitání a rotaci. Součinitel odporu je dán empirickou rovnicí -0,1-0,08 æ r ö ö 0,99ç p æ L cx = ç è rv ø è D ø kde ρ p, ρ v - hustota částice a vody L - délka válečku D - průměr válečku Pro poměr L/D > 1 při usazování válečku byla jeho podélná osa vodorovná, pro poměr L/D <1 byla osa válečku vertikální a pro poměr L/D = 1 je poloha válečku nestabilní, usazovací dráha se odchyluje od svislé přímky, váleček rotuje kolem osy kolmé k ose válečku. 35

37 Obr Schéma omezeného usazování ve vertikální trubce a) neomezené prostředí b) omezené prostředí Omezené usazování - když se částice usazuje v ohraničeném prostoru, např. v potrubí, jehož charakteristický rozměr je srovnatelný s rozměrem částice obr 6.15, potom sedimentační rychlost pro jednu částici vypočtenou pro nekonečně velký prostor je nutné násobit korekčním faktorem k. Pro malé hodnoty poměru d/d platí přibližná empirická rovnice d k = 1-, 104, D pro větší poměr d/d pak rovnice,35 æ d ö é æ d ö ù k = ç1 - nebo k = ê1 - ç ú, è D ø êë è D ø úû pro Re > 1000 pak rovnice 1,5 æ d ö k = 1 - ç. è D ø Vliv koncentrace Obr Rychlostní profil při sedimentaci dvou částic v potrubí Při sedimentační rychlosti více částic se nemůže plně vyvinout rychlostní profil, jak je patrné z obr při padání dvou částic. 36

38 Dalším důvodem zmenšené rychlosti je koagulace částic, sedimentační rychlost pak nezávisí na průměru samotné částice, ale na průměru shluku částic obr Obr Sedimentace shluku částic a rychlostní profil v potrubí Tabulka 6. Vliv koncentrace suspenze na sedimentační rychlost Číslo Autor Vzorec Platnost Poznámka 1 3 Loefler w é = wê êë kc v 3 v Ruth c 1- cv ( 1- c ) Oliver w w( - k c ) Meikl 4 Richardson Zaki 5 Robinson 6 Rouse 7 Steinour 1 + æ ç - k ç è ù ú úû 1 c = 1 1 v 1 3 cv w = 0,149w c ( 1- c ) c ( 1 ) w = w - c w w w c c c c v v m v ( p - v) kd r r = m = w b é ê æ cv ö 1- ç ê è a ø êë w = 0, g ù ú ú úû ( 1- c ) 8 Thomas w w. exp( - 5, 9 ) 9 c v w c c v 3-1 ö ø cv cv c v 0,35 0,4 0,4 Re 0, k - exp. konstanta k 1,k - exp. konstanta c 0,3 m = 4,8 v cv 0,4 0,3 c 0,7 v = 0, 43 c v m - viskozita suspenze k - konstanta a,b - exp. konstanty Mande w = ( 1 - ) b b = f ( Re w ) c c v 37

39 Pro další aplikace má pochopitelně největší význam sedimentační rychlost mraku w c. Znamená to, že sedimentační rychlost, vypočtenou již dříve podle rovnice ( 6.6), musíme ještě dále upravovat o vliv koncentrace c. Vzorce, které určují hledanou opravu jsou rovněž převážně empirické a jejich platnost je omezena na lineární zákon odporu. Přehled těchto vztahů udává tabulka 6. spolu s rozmezím platnosti. Elektrické síly mezi částicemi - pro částice s průměrem d < 100 μm se může výrazně projevit vliv elektrických sil. U částic s průměrem d < 1 μm zpravidla převládají elektrické odpudivé síly natolik, že znemožňují sedimentaci, jedná se o tzv. koloidní suspenze. Eliminace odpudivých sil změnou elektrického náboje částic se prakticky provádí přídavkem vhodného elektrolytu, nebo roztoku polymeru. Pak mezi částicemi převládnou van der Waalsovy přitažlivé síly, začne docházet k tvorbě shluků, tzv. koagulaci nebo flotaci. Ke koagulaci suspenze dochází přidáním látky, které narušují obalovou sféru kolem částice, vznikají přitažlivé síly, čímž se vytvářejí shluky částic. Tyto shluky mají pochopitelně větší charakteristický rozměr a proto se usazují rychleji. Obvyklými koagulanty jsou elektrolyty, nejčastěji roztoky solí, např. hliníku. Při flotaci dochází ke slepování částic, vytvářejí se tzv. vločky, tyto rychleji sedimentují. Jako flokulanty se používají polyakrylamid a aktivovaná kyselina křemičitá. Oba tyto způsoby se využívají při čistění vody. Vliv nespojitosti prostředí pro sedimentaci částic jsme předpokládali spojité prostředí, tato podmínka hlavně u plynu není splněna. U plynů je volná dráha molekul za atmosférického tlaku a pokojové teploty 10-4 až 10-5 mm, u kapalin pak 10-7 mm. Pro vzduch za uvedených podmínek je volná dráha molekul λ = mm, potom hranice použitelnosti Stokesova zákona platí pro částice s průměrem d > 10 μm. Pro tuto oblast lze v literatuře vyhledat korekční faktory. U částic s průměrem d < 0,1 μm se začne projevovat vliv Brownova pohybu, částice se pohybují všemi směry a prakticky se neusazují. Rychlost vznosu - podle obr je to taková rychlost kapaliny v v, když pevná částice nacházející se v této kapalině se nepohybuje, tedy platí v v = w v. Při výpočtu sedimentační rychlosti jsme předpokládali, že kapalina stojí a pevná částice se vlivem tíhové síly pohybuje. Odlišné poměry budou v opačném případě, kdy kapalina bude proudit a pevná částice se bude pohybovat v tomto proudu kapaliny. Je-li proudění laminární, potom sedimentace probíhá jako by kapalina se nepohybovala. Složitější je situace u proudění turbulentního. Obr Rychlost vznosu Sedimentaci podstatně ovlivňují vertikální fluktuace rychlosti. Největší vliv turbulence je na malé částice, jejichž rozměr je srovnatelný s velikostí turbulentních vírů. V tomto případě mohou částice sledovat fluktuace tekutiny a sedimentace se nemusí uskutečnit. Protože ve většině případů je proudění vody i plynů turbulentní, nemusí být hodnota sedimentační rychlosti a rychlosti vznosu stejná. Pouze v oblasti laminárního obtékání jsou tyto dvě rychlosti tekutiny totožné. 38