NUMERICKÁ MATEMATIKA. x n ( 1) x 2n+1 2n + 1., 1 < x < 1, ( 1) n x2n+1. 2n + 1. a(a 1)(a 2) x 3 + = 3! 1 3 (2n 1) 2 4 (2n)

Transkript

1 NUMERICKÁ MATEMATIKA JAN MALÝ. Aproximce ísel K proximci ísel se pouºívá moho metod limití p echod, iter í metody, et zové zlomky, ejzám j²í je metod rozvoje v du. Záme Tylorovy dy elemetárích fukcí, p. e x = + x + x! + x3 3! + = = =0 l + x = x x + x3 3 + = x!, + x, < x, l + x x = x + x3 3 + x5 5 + = x +, < x <, + =0 rctg x = x x3 3 + x5 5 + = + x = + x + rcsi x = x + =0 x +! x x+, x, + x 3 + = 3! x = =0 3 4 =0 x,, < x < x + +. Vzorec pro + x se zývá biomická d, doszeím = dosteme vzorec pro + x. Horerovo schém usd uje výpo et proxim ího polyomu. Je to vzorec 0 + x + x + = 0 + x + x. 0 Pozmeejme, ºe kovergece Tylorovy dy hrici koverge ího itervlu, pokud v bec stává, m ºe být velmi pomlá. Pro efektiv j²í výpo ty je t eb vyuºít rozvoj v bod blízkém ule týká se vý²e uvedeých vzorc, coº jsou vesm s rozvoje se st edem v ule. Úlohy. P i srováváí rychlosti proximce je uºite é p edepst chybu, zstvit výpo et p i dosºeé p esosti porovt po et provedeých úko p. se teých s ítc dy. K odhdu chyby je moºé vyuºít zámé hodoty po íté kostty, le je to esportoví. Kdyº v²k zstvíme výpo et podle vzdáleosti po sob jdoucích proximcí, skute á chyb m ºe být dleko v t²í.. Spo t te proximce ísl e zákld vzorce + i zákld vzorce m k=0. Prove te m! srováí, berte v úvhu prcost výpo tu moci je opkové ásobeí p esost proximce. Pro výpo et dy pouºijte Horerovo schém.. Jk proximovt l? Dosdit do vzorce l + x hodotu x = pro > ejde v bec pro = je trgicky pomlé. Pro =, 3, je pouºitelé l = l = l + x, kde x =. Ale mohem lep²í je l = l +x + x pro x =. Zkuste pro =, K výpo tu π lze pouºít rozvoje rctg x v Tylorovu du. Doszeí x = dává jedoduchý vzorec, le kovergece je trgická. Lep²í je π 4 = rctg = rctg + rctg 3. V litertu e p. [DI, kp. XII.5] lze lézt rovou formuli π 4 = rctg = 4 rctg 5 rctg 39.

2 Zkuste r zé vzorce porovejte rychlost kovergece. 4. Pomocí rozvoje fukce rcsi x v Tylorovu du v bodech x =, x = po ítejte proximci ísl π. Porovejte rychlost proximce. 5. Po ítejte pomocí iter í metody y + = y + y pomocí Tylorov rozvoje fukce + x. Porovejte rychlost proximce. Je-li, volíme x < 0 tk, by bylo + x = pouºijeme vzorec =.. Aproxim í polyomy N²im úkolem je hrdit fukci f fukcí P f, která je blízká f sáze se po ítá. Pomocí zákldích po etích opercí lze p es vy íslit pouze rcioálí fukce. Teorie rcioálí proximce p eshuje rámec kurzu, zde se budeme zbývt polyomiálí proximcí. P edpokládáme zlost Tylorov polyomu: f k x 0 T fx = x x 0 k, k! k=0 kde st ed x 0 volíme ej st ji rove ule, le p. íºe u odvozeí Newtoovy metody budeme pot ebovt obecý tvr. Aby Tylor v polyom dob e proximovl zdou fukci, je t eb hlídt derivce vysokých ád. Dl²í evýhodou je ubývjící p esost s rostoucí vzdáleostí od st edu. P esto p. pro proximci elemetárích fukcí má zásdí výzm poskytuje ejelegt j²í vzorce. V dl²ím budeme e²it úlohu, jk sestrojit proximující polyom, záme-li hodoty fukce v koe moh tzv. uzlových bodech. Uvºujme d leí = x 0 < x < < x m = b itervlu, b body x i budeme zývt uzlovými. Obecý vzorec bude P fx = fx j p j x, kde polyomy p j ezávisí f. j=0.. Lgrgeovy iterpol í polyomy. P irozeá my²lek je volit polyomy p i tk, by hodoty p f v uzlových bodech splývly. Zvolme pro pevé i {0,,, m} fukci f i tk, ºe f i x j = δ ij, kde symbol δ ij tzv. Kroeckerovo delt je deová p edpisem { 0, i j, δ ij =, i = j, Pk musí pltit δ ki = f k x i = P f k x i = f k x j p j x i = δ kj p j x i = p k x i, k, i = 0,,, m. j=0 Hledáme tedy polyomy p i tk, bychom dostli p i x j = δ ij, i, j = 0,,, m. Volme je tk, by stupe byl co ejiº²í. Máme m + d licích bod, z toho m bod mjí být ko ey hledého polyomu p i. Jelikoº p i má být eulový, stupe je spo m. Sdo se p esv d íme, ºe polyom m-tého stup s p edepsými vlstostmi je pro kºdé i práv jede, to j=0 p 0 x = x x x x m x 0 x x 0 x m, p x = x x 0x x x x m x x 0 x x x x m, p m x = x x 0 x x m x m x 0 x m x m, Lgrgeovy polyomy proximují dou fukci p es v uzlových bodech, le mimo uzlové body jsou t ºko ukotrolovtelé. I pro omezeou fukci m ºe mximálí chyb jít k ekoe u, jk ukzuje ásledující p íkld. Dá fukce je sice espojitá, le to je je pro jedoduchost výpo tu. Efekt lze pozorovt i ekoe krát diferecovtelých fukcích.

3 P íkld. Pokusíme se o odhd mximálí chyby p i proximci fukce f, která je itervlu, v²ude rov 0 krom po átku, kde má hodotu. Pro uzlové body k, k {,,,, 0,,,, }, má proxim í polyom, který si pro te oz me L f, tvr L fx = + x + x + x x x x. Uvºujme 3 zvolme x >. Potom x > proto Dále máme odhd x x + x x + x + x > =. = x x x + x + x! 3 x + x! x + x =. Fukce x + x bývá itervlu, mxim v bod t :=, doszeím + dosteme + t + t = > + +, odtud L ft +.. Bersteiovy polyomy. Nep íjemé vlstosti Lgrgeových polyom jsou zp sobey tím, ºe polyomy p i hod kmitjí. Výhodé je, kdyº proxim í p edpis operátor P z p i dí ezáporé fukci tké ezáporou fukci. Je-li víc P =, em ºe se stát, ºe by fukci f, f, p i dil P f s mximálí chybou v t²í eº. Jelikoº operátor je lieárí, máme P f 0, P f = P P f P =, podob P f P =. Polyomy p i, které proximují ezáporá vstupí dt, by m ly být téº ezáporé. Toho se dá docílit jedi tím, ºe v²echy ko ey leºí v dého itervlu. Omezme se yí itervl 0, hledejme polyom -tého stup, který má ejvý²e k ko e v itervlu, 0, ejvý²e k ko e v itervlu,, kde bývá hodoty v osttích bodech itervlu 0, je co ejme²í. Heuristickými úvhmi dojdeme k záv ru, ºe povoleý po et reálých ko e je t eb vyuºít ºe tyto ko ey je t eb strkt co ejblíºe k bod m 0,. Poloºme tedy q k x = c k x k x k. Chytrá volb koeciet c k vede k Bersteiovým polyom m, které jsou dáy vzorcem B fx = f k b,k x, kde k=0 b,k x = Pro fx = dosteme z biomické v ty B x = k k=0 x k x k. k x k x k = x + x =. Bersteiovy polyomy sice eproximují p es v uzlových bodech, le jik dávjí mohem lep²í proximci eº Lgrgeovy polyomy. Pro dou fukci f mximálí chybu σ = mx x fx B fx lze dokázt, ºe f je spojitá = σ 0. Tto vlstost je teoreticky velmi výzmá Bersteiovy polyomy poskytují jede z ejjedodu²²ích d kz moºosti tkové tzv. stejom ré proximce. Chceme-li v²k miimlizovt mximálí chybu p i dém stupi polyomu, existují mohem lep²í proximce, dobré výsledky dávjí tzv. ƒeby²evovy 3

4 polyomy. Problém ejlep²í stejom ré polyomiálí proximce je obtíºý edá se e²it jedoduchou formulkou..3. L proximce Metod ejme²ích tverc I. Místo miimlizce mximálí chyby m ºeme chtít miimlizovt pr m rou chybu. Nejp iroze j²í je miimlizovt pr m r kvdrátu chyby tzv. metod ejme²ích tverc. Ve skute osti ejde o metodu, le o zdáí úlohy, proto vhod j²í by byl pojem L proximce. ƒíslo b / fx gx dx se ve vy²²í mtemtice zývá L -vzdáleost fukcí f g. Hledáme ejme²í hodotu fukce c 0,, c b fx c 0 c x c x c x dx. Tto fukce je kvdrtický polyom prom ých miim bývá tm, kde jsou ulové v²echy prciálí derivce. Derivováím dosteme podmíky 0 = 0 = 0 = 0 = b b b b fx c 0 c x c x c x dx, xfx c 0 c x c x c x dx, x fx c 0 c x c x c x dx, x fx c 0 c x c x c x dx, které se djí uprvit soustvu lieárích rovic o ezámých c 0,, c. P itom je pot eb vy íslit itegrály b xk fx dx, coº m ºe p sobit potíºe..4. Metod ejme²ích tverc II. Nmísto itegrálí vzdáleosti m ºeme v metod ejme²ích tverc m it blízkost fukcí ve vybrých uzlových bodech. Máme-li d leí = x 0 < x < < x m = b itervlu, b ísl κ 0,, κ m > 0 váhy, m ºeme hledt k dé fukci f :, b R polyom p = c 0 + c x + + c x stup ejvý²e tk, by výrz κ i px i fx i i=0 byl co ejme²í. Podob jko v p edchozím p ípd, úloh op t vede soustvu lieárích lgebrických rovic o + ezámých c 0,, c +, kterou odvodíme derivováím podle t chto prom ých. V p ípd m jdeme polyom, který má v bodech x i hodoty fx i, pro = m je teto polyom jedoz ur e je to Lgrge v iterpol í polyom. Úloh z e být ová zjímvá pro < m. T eb v p ípd = pro κ i = lieárí regrese dosteme rovice c 0 + x i c = fx i, x i c 0 + i i i x i c = i i x i fx i..5. Splie pproximtio. V prxi ás ikdo eutí, bychom pouºili jedotý proxim í polyom celém dém itervlu. Tzv. proximce pomocí spli je zloºe my²lece, ºe proximující polyom se m í v kºdém uzlovém bod. Zdáme-li hodoty v sousedích bodech, m ºeme je spojit lieárím polyomem. K dosºeí vy²²í p esosti je kdy vhodé zdt tm i derivce jedoho ebo více ád. ƒím více derivcí p edepí²eme, tím pot ebujeme vy²²í stupe proximujícího polyomu. Hledáí proxim ího polyomu vede soustvu lieárích lgebrických rovic. Uvºujme fukci f :, b R d leí = x 0 < x < < x m = b itervlu, b. Lieárí splie je po ástech lieárí fukce g splývá s fukcí f v uzlových bodech. Tedy itervlu x i, x i je gx = x i x fx i + x x i fx i. x i x i x i x i 4

5 Chceme-li, by fukce g m l s fukcí f v uzlových bodech spole é téº derivce do ádu k, hledáme g jko polyom stup k + coº vede spliy lichého stup. Kubický splie je itervlu x i, x i polyom px = c 0 + c x + c x + c 3 x 3 t etího stup, jehoº koeciety jdeme jko e²eí soustvy ty lieárích rovic px i = fx i, px i = fx i, p x i = f x i, p x i = f x i. Úlohy.. Npi²te progrm grf proximujícího polyomu, mº by k zdým uzlovým bod m hodotám byl vid t sou s Berstei v polyom Lgrge v iterpol í polyom. Zkoumejte citlivost zm u zdé hodoty v jedom bod.. Npi²te progrm grf proximujícího polyomu, mº by bylo vid t srováí Tylorov polyomu polyomu ejlep²í L -proximce pro fukci e x. V²im te si, jk chyb Tylorov polyomu vzr stá s rostoucí vzdáleostí u po átku, ztímco u polyomu ejlep²í L proximce je rovom r ji rozprost e. 3. Npi²te progrm grf proximujícího polyomu, který s dou fukcí itervlu má spole é hodoty derivce v krjích bodech. Porovejte p esost s lieárí iterpolcí p. pro fx = cos x 0,. 3. Soustvy lgebrických rovic Pro dé obec elieárí fukce f i prom ých x,, x máme e²it soustvu rovic f x,, x = 0, f x,, x = 0, f x,, x = 0. Problém zpí²eme ve vektorovém tvru 3 fx = Metod postupých proximcí. Máme dáu rovici ve vektorovém tvru 4 x = gx. N teto tvr lze p evést rovici 3 p. trikem x = x + fx. Metod postupých proximcí je iter í metod podle vzorce x + = gx, V t Bchov o pevém bodu. Nech F R je uzv eá moºi g : F F je zobrzeí. Pokud existuje κ 0, tk, ºe 5 gy gx κ y x, x, y F, potom e²eí rovice 4 existuje, je jedoz é metod postupých proximcí k mu koverguje. Uv domme si, ºe p edpokldy v ty ejsou je formálí je t eb ov it, kdy jsou spl y! Podívejme se yí odhd chyby. Máme Odtud pro m > x x = gx gx 0 κ x x 0, x 3 x = gx gx κ x x κ x x 0, x + x = gx gx κ x x 0. x m x x + x + + x m x m κ + + κ m x x 0. 5

6 Prvou strou m ºeme odhdout zbytkem geometrické dy, tkºe Limití p echod m dává x m x κ κ x x 0. x x Cκ, kde C = x x 0 κ. Tedy ím κ je me²í, tím je rychlost kovergece v t²í. Je dobré si uv domit, ºe metod prcuje pro soustvy, le demostrovt si ji budeme pro jedoduchost stej jedé rovici o jedé ezámé. M jme rovici fx = 0 p edpokládejme, ºe f je diferecovtelá itervlu I s eulovou derivcí. Poloºme gx = x + λfx, kde λ 0 si m ºeme zvolit, ho zvolíme jkkoli, fx = 0 gx = x. Abychom dostli podmíku 5, pot ebujeme st í ám g κ <. Jelikoº g x = + λf x, ejlep²í výsledky dostáváme pro λ blízké hodotám f x. Úlohy.. Npi²te progrm e²eí rovice x = gx metodou postupých proximcí s istruktivím grckým výstupem. N fukci gx = cos x demostrujte kovergeci. Jk to dopde pro gx = x, gx = 3x x? 4. Algebrické rovice o jedé ezámé 4.. Metod p leí itervl. Nech f je spojitá fukce itervlu, b. e²me rovici fx = 0. Zjistíme-li, ºe f < 0 < fb, m ºeme postupovt tkto: Chceme rekuret kostruovt body k, b k tk, by bylo f k 0 fb k, itervly k, b k byly do sebe zo eé rychle se zme²ovly. Pk bude existovt spole á limit c = lim k = lim b k, která bude ko eem fukce f. Poloºme 0 =, b 0 = b. Máme-li k, b k, oz me c k = k + b k bod, který d lí itervl k, b k p l. Jestliºe fc k < 0, poloºme k+ = c k, b k+ = b k. Jestliºe fc k > 0, poloºme k+ = k, b k+ = c k. Jestliºe fc k = 0, m ºeme si svobod vybrt z vý²e uvedeých moºostí, le uv domme si, ºe ko e uº jsme v tom p ípd ²li. Sdo spo ítáme, ºe chybu metody lze odhdout erovostí c k b k k = k b, podob pro c b k. Lze vymyslet rychlej²í metody, le tto je prosto spolehlivá. 4.. Newtoov metod. Nech f je spojit diferecovtelá fukce itervlu, b. e²me rovici fx = 0. Zvolíme po áte í proximci x 0 hledého ko ee. Fukci f hrdíme Tylorovým polyomem prvého stup se st edem v x 0 dosteme p ibliºý vzorec fx f x := fx 0 + f x 0 x x 0. Fukci f hrdíme tímto jejím p iblíºeím f sdo e²íme rovici f x = 0. e²eí zveme x opkujeme proces: f x := fx + f x x x, x je e²eí rovice f x = 0. Dosteme obecý vzorec 6 fx = f x x + x iter í metodu x + = x fx f x Pokusme se odhdout chybu. P edpokládejme, ºe itervlu I, kde hledáme e²eí, je f x /K, f x L. Potom máme f y f x L y x, x, y I. P edpokládejme, ºe x + i x leºí v I. Z v ty o st edí hodot dosteme ξ mezi x x + tk, ºe s vyuºitím 6 tkºe fx + = fx + f ξx + x = f ξ f x x + x, fx + L ξ x x + x L x + x. 6

7 Dále x + x = fx f x K fx, tkºe fx + K L fx. Poloºme y = fx, C = K L ob stry rovice vyásobme C. Dosteme C y + C y, eboli pro z = Cy je z + z. Pod í-li se ám z 0 <, rychlost kovergece je ftstická. Musíme ov²em je²t pohlídt, by se posloupost {x } udrºel v I. Nech x je e²eí rovice. Z v ty o st edí hodot jdeme η tk, ºe y = fx f x = f η x x x x K, tkºe vzorec pro chybu je x x K y K C z. Newtoov metod koverguje velmi rychle, pokud f je dvkrát spojit diferecovtelá, f eí blízké ule pod í se ám uhodout x 0 dostte blízko x. Jik ov²em m ºe velmi sdo divergovt. Úlohy.. Npi²te progrmy e²eí rovice fx = 0 metodou postupých proximcí Newtoovou metodou s istruktivím grckým výstupem. N p íkldech p. fx = x c porovejte rychlost kovergece obou metod Soustvy lieárích rovic V této kpitole budeme e²it soustvy rovic x + + x = b, x + + x = b, m x + + x = b m, ve vektorovém zápisu Px = q. Vektory x q chápeme jko svislé ztotoºíme-li se s mticemi o jedom sloupci, m ºeme po etí úko Px = q iterpretovt jko mticové ásobeí. 5.. P ímé metody. Soustvy 7 se djí e²it p es. Jediým d vodem pro p ibliºé umerické metody je fkt, ºe pro velké soustvy je p ímý výpo et sto del²í, eº p ibliºý výpo et vedoucí k dostte é p esosti. P ipome me tzv. Gussovu elimi í metodu: P ipome me, ºe P se zývá mtice soustvy. Npi²me si je²t mtici o m ádcích + sloupcích, která vzike, kdyº vedle mtice P p ipí²eme zprv vektor q tzv. roz²í eá mtice soustvy. S ádky provádíme ekvivletí úprvy, coº jsou úprvy zchovávjící e²eí soustvy. Jmeovit, m ºeme prohodit po dí ádk, hrdit ádek jeho eulovým ásobkem, ebo hrdit ádek jeho sou tem s lieárí kombicí osttích ádk. M ºeme téº vyecht ádek, kterém jsou smé uly, ebo p idt ádek, který má posledí pozici volitelé íslo. Z hledisk posuzováí ekvivlece soustv tkový ádek vímáme jko podmíku levá str R, tkºe eobshuje ºádé omezeí e²eí soustvy. V kºdém kroku m íme koeciety prvou stru m íme tím výzm ísel ij, b i. Popí²eme yí obecý k-tý krok, k =,,. Rozli²íme dv p ípdy. A Nech existuje i {k,, m} tk, ºe i,k 0. Zvolíme tkové i. Máme-li více moºostí, z hledisk miimlizce zokrouhlovcí chyby je ejlépe volit i tk, by prvek i,q m l co ejv t²í bsolutí hodotu. Pokud jsme zvolili i k, prohodíme i-tý k-tý ádek, tkºe yí je k,k 0. Vyd líme k-tý ádek íslem k,k. Nyí je k,k =. Pro v²ech i = k+,, m uprvíme i-tý ádek tk, ºe od j ode teme ik - ásobek k-tého ádku. Nyí máme i,k = 0 pro i > k. Tím je k-tý krok uzv e. B Pokud i,k = 0 pro v²ech i k, posueme v²echy ádky od k-tého po íje o jedo místo dol k-tou pozici vsueme ádek, který má k-tý prvek, posledí prvek volitelé β k jik smé uly. Po provedeí v²ech krok zhodotíme výsledek. Smºeme p ípdé ulové ádky. Pokud ám zbude jký ádek, který má posledím míst eulu jik smé uly jelikoº kk = pro k, 7

8 tkový ádek musí být spo + -vý, je dá soustv ekvivletí soustv obshující rovici 0 = tudíº emá ºádé e²eí. V op ém p ípd má výsledá mtice ádk, je trojúhelíková, digoále má jedi ky pod digoálou uly. Odpovídjící soustv s ovými koeciety ovou prvou strou má tvr 8 eboli 9 x + x + 3 x x = b, x = b, x + 3 x x = b, x = b, x, x +, x = b, x = b 3 x 3 x, x = b, x = b x 3 x 3 x. Nyí v tzv. zp tém chodu z rovic 9 postup vypo ítáme x,, x. V²im me si, ºe prvé str kºdého ádku se vyskytují je ty ezámé, které uº jsou spo íté. Nech I je moºi idex k, pro º jsme v k-tém kroku lgoritmu postupovli podle vrity B. Potom v 8, 9 je b k = β k, tj. je to volitelé íslo. Pokud dá soustv má e²eí, moºi v²ech e²eí je í prostor, jehoº dimeze je po et prvk moºiy I. V tzv. regulárím p ípd je I prázdá moºi, do výpo tu e²eí evstupují volitelá ísl e²eí je práv jedo. 5.. Iter í metody obec. Budeme uvºovt je p ípd = m, tj. mtice soustvy je tvercová. Mtici soustvy si oz me A, prvou stru b. Rovici Ax = b uprvíme tvr 0 x = Px + q. Nejprimitiv j²í zp sob, jk to ud lt, je volb P = I A, q = b, kde I z í jedotkovou mtici, lle ikde eí e eo, ºe máme pouºít zrov teto p edpis. Úlohu pk e²íme postupými proximcemi x + = Px + q, = 0,, Tto metod emusí kovergovt. N pomezí lieárí lgebry lýzy stojí d leºitá v t, která je mticovou logií v ty o kovergeci geometrické dy. Nejprve le musíme p ipomeout které pojmy spektrálí teorie. ekeme, ºe íslo λ je vlstí íslo mtice P, jestliºe mtice P λi je sigulárí tj. eí ivertibilí. I kdyº P je reálá mtice, je bohuºel t eb se zobírt i komplexími vlstími ísly. Nech λ C. Následující podmíky jsou ekvivletí: i λ je vlstí íslo P, ii rovice Px = λx má eulové e²eí, iii existuje vektor q R tk, ºe rovice Px = λx + q emá e²eí, iv hodost mtice P λi je me²í eº, v detp λi = 0. Následující v tu lze dokázt metodmi lgebry ebo metodmi komplexí lýzy, ob d kzy jsou t ºké. V t 3. Nech pro kºdé vlstí íslo λ mtice P pltí λ <. Potom d =0 P je kovergetí sou et =0 P je iverzí mtice k I P. Iter í metod pk koverguje pro kºdou prvou stru q kºdou volbu po áte í podmíky x 0. 8

9 5.3. Guss-Seidelov metod. Abychom se vyhuli idex m, iter í metodu budeme psát ve tvru y = Px + q, tedy místo x budeme psát prost x místo x +. budeme psát y. M jme soustvu Ax = b. Mtici A si m ºeme rozepst jko A = L + D + U lower-digol-upper, kde L jsou prvky pod digoálou, D prvky digoále U prvky d digoálou. Rovici si uprvíme L + D + Ux = b L + Dx = Ux + b, eboli x = D + L Ux + D + L b Gussov-Seidelov metod je deová pomocí formule y = D + L Ux + D + L b Zdálo by se, ºe kv li pouºití Guss-Seidelovy metody je t eb ivertovt. mtici D + L, le p ekvpiv e. Metodu si p epí²eme zp t do tvru tedy odpovídjící soustv je L + Dy + Ux = b, y + x + 3 x x = b, y + y + 3 x x = b, y + y + 3 y y = b m, e²íme-li úlohu postup shor, v kºdém ádku je tedy je rovice o jedé ové ezámá, která se sdo spo ítá. Následující v t se zbývá symetrickým p ípdem L = T, U = T. Miusy jsou tm proto, ºe se s tím pk lépe po ítá. Guss-Seidelov metod má celkem solidí pom r mezi prcostí výpo tu koverge ími vlstostmi. V t 4. Nech D je digoálí T je dolí trojúhelíková s ulovou digoálou. Je-li A = D T T pozitiv deití P = D T T, pk pro v²ech vlstí ísl λ mtice P pltí λ <. Guss- Seidelov metod pro Ax = b tedy v tomto p ípd koverguje. D kz. M jme x C, oz me y = Px, u = x y. Máme 3 D Ty = T x. k ob m strám 3 p i teme T y dosteme 4 Ay = T x T y = T u. K ob m strám 3 p i teme Ax + T Dy dosteme 5 Ax = D Tu. Rovosti 4 5 vyásobíme u, kºdou z jié stry, se teme. Dosteme 6 u Ax + Ay u = u T u + D Tu u = Tu u + Du u Tu u = Du u. Úprvou levé stry s vyuºitím symetrie A dosteme 7 u Ax + Ay u = x Ax y Ax + Ay x Ay y = Ax x Ay y. Z 6 7 máme 8 Ax x Ay y = Du u. Nech λ je vlstí íslo P x je odpovídjící vlstí vektor. Potom y = λx u = + λx. Máme λ, ebo jik by bylo y = x, z rovice 3 by plyulo Ax = D Tx T x = 0 mtice A by emohl být pozitiv deití. Podle 8 je 9 λ Ax x = Ax x λax λx = Ax x Ay y = Du u = + λdx + λx = + λ Dx x. 9

10 N prvé str 9 je kldý výrz, tedy levé str tké, tkºe λ <. Pozámk 5. M jme úlohu Qx = d s regulárí mticí soustvy. Rovici si vyásobíme mticí Q zlev dosteme Q Qx = Q d. Mtice A = Q Q je pk positiv deití m ºeme pouºít Guss- Seidelovu metodu. Zbývá je sigulárí p ípd, který ám tk sdo kovergetí metodu ebízí. To je celkem pochopitelé, má-li úloh ekoe moho e²eí v lep²ím p ípd!, pk p írod eví, které z ich si má vybrt. Úlohy.. Npi²te progrm e²eí soustvy lgebrických rovic Gussovou elimi í metodou.. Npi²te progrm e²eí soustvy lgebrických rovic Guss-Seidelovou metodou. Máme-li spo ítt itegrál 6. Numerická itegrce b fx dx, v podstt spole á my²lek v²ech metod je hrdit fukci f blízkou fukcí tuto zitegrovt. K tomu m ºeme pouºít výsledky kpitoly. Zde uvedeme metody, blízké my²lece deice Riemov itegrálu. 6.. Obdélíkové metody. M jme d leí = x 0 < x < < x m = b itervlu, b v kºdém itervlu x i, x i m jme je²t zvole bod ξ i. V obdélíkové metod hrdíme itegrál sou tem O = fξ i x i x i. i= N itervlu x i, x i tedy fukci f hrdíme kosttou fξ i po ítáme obsh obdélík o rozm rech x i x i fξ i. Speciálí volbou ξ i dosteme: Levou obdélíkovou metodu: ξ i = x i, prvou obdélíkovou metodu: ξ i = x i, cetrovou obdélíkovou metodu: ξ i = x i + x i. Odhd me yí chybu prvé obdélíkové metody. V t 6. Nech fukce f itervlu 0, spl uje f K. Potom, pouºijeme-li rovom ré d leí itervl, chyb ε prvé obdélíkové metody je odhdut 0 ε K. D kz. N jedotlivém itervlu máme odhd fx fx i Kx i x, tkºe xi xi fx dx fx i x i x i fx fx i dx x i x i Se teím p es v²echy d licí itervly dosteme 0. xi x i Kx i x dx = 0 Kx dx = K 6.. Lichob ºíková metod. M jme op t d leí = x 0 < x < < x m = b itervlu, b. V lichob ºíkové metod itervlu x i, x i fukci f hrdíme lieárím polyomem, který v krjích bodech bývá stejé hodoty jko f. po ítáme obsh lichob ºík o vrcholech [x i, 0], [x i, 0], [x i, fx i ], [x i, fx i ]. Pouºijeme-li vzorec pro obsh lichob ºíku, dosteme Odhd me yí chybu metody. L = i= [fx i + fx i ]x i x i. V t 7. Nech fukce f itervlu 0, spl uje f K. Potom, pouºijeme-li rovom ré d leí itervl, chyb ε lichob ºíkové metody je odhdut ε K 4. 0

11 D kz. Nech g je po ástech lieárí fukce, kterou hrzujeme f. Fukce g m v bodech x i x i stejé hodoty jko f. Poloºme h = f g, s = x i, t = x i. Potom hs = ht = 0. Podle v ty o st edí hodot existuje ξ s, t tk, ºe h ξ 0. Pro derivci fukce h tedy máme odhd Fukce h je tedy odhdut h x K x ξ K. hx K x c, c = s, t. t hx dx s 0 Se teím p es v²echy d licí itervly dosteme. K x dx K 4 3. Pozámk 8. Lichob ºíková metod je tedy pro hldké fukce o ád p es j²í eº prvá i levá metod obdélíková. Je správé se toto porováí podívt kriticky. Co kdyº jsme ve v t 6 pouºili e²ikový odhd, který se dá vylep²it? N p íkldu fukce fx = x se sdo p esv d íme, ºe itegrál je + prvá obdélíková metod dává proximce, tkºe chyb je ádov. Máme-li rovom ré d leí p. itervlu 0, itervl, sdou úprvou dosteme pro -tý sou et tvr L = ztímco obdélíková metod je f0 + f + f + + f + f f + f + + f + f. O = Prcost výpo tu je tedy prkticky stejá. Vidíme, ºe zdáliv zedbtelá úprv metody m ºe p iést z é zlep²eí p esosti. Pozmeejme je²t, ºe cetrová obdélíková metod dává srovtel dobrou p esost jko metod lichob ºíková, otázk je, zd se epo ítjí hodoty fukce sáze v uzlových bodech eº uprost ed mezi imi Simpsoov metod. M jme op t d leí = x 0 < x < < x m = b itervlu, b. V kºdém itervlu x i, x i oz me ξ i jeho st ed, tedy ξ i = x i +x i. Potom itegrál proximujeme výrzem x i x i 6 fx i + 3 fξ i + 6 fx i. i= Výsledek odpovídá tomu, ºe kºdém itervlu hrdíme fukci f kvdrtickým polyomem, který souhlsí s fukcí f v bodech x i, x i ξ i tuto po ástech kvdrtickou fukci zitegrujeme. Tto metod je je²t o dv ády p es j²í eº metod lichob ºíková. Úlohy.. Npi²te progrm umerickou itegrci obdélíkovou lichob ºíkovou metodou porovejte p esost dosºeých výsledk. 7. Numerické e²eí oby ejých difereciálích rovic V této kpitole budeme vy²et ovt difereciálí rovici y = ϕx, y, kde ϕ je dá spojitá fukce prom ých x I, y R, I =, b. e²eím rovice itervlu I budeme rozum t diferecovtelou fukci f : I R, která v kºdém x I spl uje f x = ϕx, fx. v krjích bodech máme mysli jedostré derivce. V bod si víc zdáme tzv. po áte í podmíku 3 f = y 0.

12 7.. Eulerov metod. Uvºujme d leí = x 0 < x < < x m = b itervlu, b. P ibliºé e²eí rovice, 3 budeme hledt tk, ºe derivci hrdíme diferecí. Sestrojíme spojitou fukci g : I R, která bude lieárí itervlech d leí uvit kºdého itervlu x i, x i+ bude spl ovt difereciálí rovici g x = ϕx i, gx i. Tedy dopustíme se té chyby, ºe ϕ ebudeme vy íslovt v x, le v ejbliº²ím d licím bodu zlev x i. Oz me y i = gx i. Protoºe g je lieárí x i, x i+, spl uje zde rovici g x = gx i+ gx i x i+ x i = y i+ y i x i+ x i. Máme jiº zdou po áte í podmíku y 0. Záme-li y 0,, y i, z rovice vypo ítáme y i+ y i x i+ x i = ϕx i, y i y i+ = y i + ϕx i, y i x i+ x i. Odhd chyby budeme demostrovt rovom rém d leí itervlu 0, utoomí rovici y = ψy. V t 9. Nech fukce ψ : R R 0, R spl uje ψ K, ψ L. Potom, pouºijeme-li rovom ré d leí itervl, chyb ε Eulerovy metody mximálí odchylk fx gx, kde f je skute é e²eí je odhdut 4 ε KeL D kz. Uvºujeme d leí 0 = x 0 < < x =, kde x i = i. Oz me z i = fx i. N itervlu x i, x i+ máme g x K, tedy Oz me Potom gx gx i Kx x i, fx y i fx gx + gx gx i fx gx + K, f x g x = ψfx ψy i L fx y i L fx gx + KL hx = l fx gx + K K l h = f x g x fx gx + K L, to je velmi ep esé, protoºe derivce ob s emusí existovt, le dá se to sprvit h0 = 0. Tedy eboli hx Lx, tkºe fx gx + K K e Lx e L, fx gx KeL

13 7.. Iter í metod. Nejjedodu²²í difereciálí rovice je y = hx, e²eím je primitiví fukce k h. e²íme-li úlohu Eulerovou metodou, je to jko kdybychom provád li umerickou itegrci levou obdélíkovou metodou. Víme, ºe lep²í výsledky dává metod lichob ºíková. Alogie lichob ºíkové metody obecou rovici y = ϕx, y je metod zloºeá vzorci 5 y i+ y i x i+ x i = ϕx i, y i + ϕx i+, y i+ Záme-li y i, t ºko m ºeme z rovice 5 p ímo spo ítt y i+, protoºe rovice o ezámé y i+ je implicití. M ºeme le pouºít iter í umerickou metodu pro e²eí lgebrické rovice tím ur it p ibliº y i+, které je lep²í eº bychom dostli z Eulerovy metody. Njít optimálí pom r mezi tím, kolik provád t itercí p i hledáí y i+ jk jemé d leí itervlu pouºít, je velké um í. Tto úvh je je ázkem jk mohou z ít shy o ú i j²í metody e²eí difereciálích rovic. Úlohy.. Npi²te progrm umerické e²eí difereciálí rovice Eulerovou metodou s grckým výstupem.. 3