1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

Transkript

1 . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící xiomy 8. x, y V : x + y = y+ x 2 x, yz, V:( x + y) + z = x+ ( y+ z) 3 o V x V : x + o = x, o = ulový vektor 4 x V ( x ) V : x + ( x ) = o, x = opčý vektor 5 x, y V, R: ( x+ y) = x+ y 6 x V,, b R: ( + b) x = x+ bx 7 x V,, b R: ( b) x = ( bx) : x = x x V 8 Poz. Prvky z V se zýví vektory, reálá čísl skláry. Neběžěší typy vektorových prostorů: ritmetický vektorový prostor: prvky sou uspořádé - tice reálých čísel x = ( x, x2, x3, x ) geometrický model vektorového prostoru: moži všech orietových úseček v roviě ebo v prostoru.. Vět Nechť V e vektorový prostor x V, pk pltí:. 0 x = o 2. z rovosti x + y = o vyplývá x = y x = x 3. ( ) Lieárí závislost ezávislost vektorů.2. Defiice Vektory v, v2 v V zýváme lieárě ezávislé, estliže rovice cv + cv cv = o e splě pouze v přípdě, že skláry c, c c 2 sou všechy rovy ule. Vektory v, v2 v V zýváme lieárě závislé, estliže e splě rovice cv + cv + cv = o, přičemž lespoň ede ze sklárů c c c e růzý od uly ,

2 Poz. Levou stru rovice v v v V., 2 cv + cv + cv = ozýváme lieárí kombicí vektorů 2 2 Dimeze vektorového prostoru.3. Defiice Vektorový prostor V se zývá - dimezioálí ebo tké prostor dimeze, > 0, existue-li ve vektorovém prostoru V - lieárě ezávislých vektorů v, v2 v pltí-li, že kždý vektor z V lze vyádřit ko lieárí kombici vektorů v v 2 v. ozč. V, Báze vektorového prostoru.4. Defiice Kždou možiu lieárě ezávislých vektorů v, v2 v V zpisueme v, v2 v. zýváme bází ve V Poz. Nechť V e vektorový prostor v, v2 v eho báze. Vyádřeí kždého vektoru tvru lieárí kombice vektorů báze e edozčé. Mtice.5. Defiice Schém m reálých (komplexích) čísel u V ve = m m zýváme mticí typu (m,). Poz.. i, - prvek mtice, leží v i tém řádku tém sloupci 2. čtvercová mtice řádu, e-li m= 3. hlví úhlopříčk e tvoře prvky, 22, 33, ulová mtice: všechy prvky mtice i, sou rovy ule 5. edotková mtice E e čtvercová mtice řádu, prvky hlví úhlopříčce sou rovy, osttí prvky sou rovy 0 T 6. e trspoová mtice k mtici, vzike z mtice výměou řádků z sloupce T 7. symetrická mtice: pltí li t. = = i ) 8. troúhelíková mtice typu ( m, má pod hlví úhlopříčkou ulové prvky 2

3 Zákldí operce s mticemi.6. Defiice Rovost mtic: = B = b i m, Součet mtic: C = + B c = + b i m, Násobeí mtice reálým číslem: B = k b = k i m,, k R Pro sčítáí mtic ásobeí mtic reálým číslem pltí:. komuttiví zákoy: + B= B+, k= k, k R 2. socitiví zákoy: ( + B) + C = + ( B+ C), k( l) ( ) 3. distributiví zákoy: k( + B) = k+ kb, ( ) 4. existece ulové mtice: + O = + =O 5. existece opčé mtice: ( ) = kl, kl, R k+ l = k+ l, kl, R Násobeí mtic.7. Defiice Nechť = ( ) e mticí typu ( m, ) B = ( b k ) e mticí typu (, p ). Součiem mtic B v tomto pořdí e mtice C = B= ( c ik ) typu ( mp,, ) kde c = b = b + b b ik k i k i2 2k i k = Pro ásobeí mtic pltí:. socitiví záko: ( B) C = ( BC ) 2. distributiví záko: ( + B) C = C + BC ásobeí zprv C( + B) = C+ CB ásobeí zlev 3. E = E =, kde e mtice řádu 4. O = O= O, kde O e ulová mtice 5. e-li B = O, pk emusí být i = O i B = O 6. existue-li souči mtic B, pk ( B). T T T = B 7. pro ásobeí mtic obecě epltí komuttiví záko: B B. Hodost mtice.8. Defiice Mximálí počet lieárě ezávislých řádků dé mtice zýváme hodostí této mtice. Ozč. h( ), h( B) Měme mtici vytvořme z í mtici B ěkterou z těchto úprv:. vyměíme řádky mtice z sloupce 2. změíme pořdí řádků mtice 3. vyásobíme ěkterý řádek mtice číslem k 0 3

4 4. vyecháme z mtice řádek, který e tvoře ulmi 5. vyecháme z mtice řádek, který e lieárí kombicí osttích řádků 6. přičteme k ěkterému řádku mtice lieárí kombicí osttích řádků Potom mtice B mí steou hodost říkáme, že sou ekvivletí, zčíme Jk vyplývá z bodu () úprvy (2) ž (6) pltí i pro sloupce mtice. Poz. e čtvercová mtice řádu e-li h( ) = zýváme mtici regulárí e-li h( )< zýváme mtici sigulárí Výpočet hodosti mtice:. z dé mtice vyecháme řádky, které sou lieárí kombicí osttích řádků 2. pomocí úprv () ž (6) převedeme dou mtici troúhelíkovou mtici 3. počet eulových řádků e rove hodosti mtice B. Determit.9. Defiice Determitem řádu čtvercové mtice řádu eímiž prvky komplexí čísl, zýváme číslo, které zčíme det ebo. e-li =, pk det = 2. e-li 2, potom e = ( ) + det = = det sou reálá popřípdě defiueme tkto: kde mtice vzike z mtice vyecháím prvího řádku -tého sloupce. Poz.. det zýváme subdetermitem vzhledem k prvku i+ 2. souči ( ) det zýváme lgebrickým doplňkem prvku zčíme.2 Vět (Lplceův rozvo) Pro det řádu pltí: = ( ) i+ det = det rozvo podle i- tého řádku ( ) det = det i= i+ rozvo podle - tého sloupce, kde d et vzike z det vyecháím i-tého řádku resp. -tého sloupce. 4

5 Vlstosti determitů:. hodot determitu se ezměí, změíme-li řádky z sloupce 2. estliže v determitu ede řádek tvoří smé uly, rová se determit ule 3. estliže v determitu vyměíme 2 řádky, determit změí zméko 4. estliže má determit dv řádky steé, rová se ule 5. e-li ěkterý řádek determitu ásobkem iého řádku, e determit rove ule 6. vyásobíme-li ěkterý řádek determitu reálým číslem c 0, dosteme determit pro který pltí det = cdet 7. přičteme-li k ěkterému řádku determitu ásobek iého řádku, determit se ezměí Výpočet determitů: obecě determit vypočteme rozvoem podle libovolého řádku ebo sloupce Je-li. determit řádu = : = 2. determit řádu = 2 : 3. determit řádu = = : počítáme pomocí Srrusov prvidl = determit řádu > 3: počítáme rozvoem podle vybrého řádku resp. sloupce Poz. Determite mtice, která e uprve troúhelíkový tvr, se rová součiu prvků hlví úhlopříčce. Iverzí mtice.0. Defiice Iverzí mticí k čtvercové mtici řádu rozumíme tkovou čtvercovou mtici řádu, pro kterou pltí : = = E, kde E e edotková mtice řádu. Poz. e čtvercová mtice řádu e-li h( ) = zýváme mtici regulárí, t det 0 e-li h( )< zýváme mtici sigulárí, t det = 0 5

6 .3. Vět Nechť e regulárí mtice řádu prvků. Pk pltí ( ) det 2 e mtice utvořeá z lgebrických doplňků T =, kde ( ) T = zýváme dugovou mticí. Potom můžeme psát: =. det Poz. lgebrický doplěk : = ( ) i+ det Mticové rovice: V těchto rovicích hledáme ezámou mtici X. Schemticky tyto rovice můžeme zpst př. tkto: X = B, X= B, XB = C, řešíme pomocí iverzích mtic. Soustvy lieárích rovic.. Defiice Soustv m lieárích rovic o ezámých x x2 x + 2x2 + + x = b x + x + + x = b x + x + + x = b m m2 2 m m, x má tvr kde R zýváme koeficiety soustvy, i m,, b bm e sloupec prvých str. Kždý vektor x ehož složky x, x2 x vyhovuí všem rovicím zveme řešeím soustvy. Je-li b i = 0 ehomogeí. pro i (t. pro i =,2,...,m), pk soustvu zýváme homogeí, ik Soustvu můžeme zpst v mticovém tvru: m m2 m x b x2 = b2 ebo x bm X = B kde = e mtice soustvy, m m2 m 6

7 x x2 x b b2 bm e mtice tvořeá ezámými e mtice tvořeá sloupcem prvých str. Sestvme mtici ve tvru: b b b m m2 m m 2 Tuto mtici zčíme / B zýváme i rozšířeou mticí soustvy..4. Vět (Frobeiov) Soustv X B = má řešeí, právě když h( ) h( / B) Ozčíme-li h( ) = h( / B) = h, pk v přípdě, že =.. h= ( počet ezámých) má soustv edié řešeí 2. h< má soustv ekoečě moho řešeí, která můžeme zpst pomocí h prmetrů Gussov elimičí metod řešeí soustv lieárích rovic: Předpokládeme, že mtice / B vzike z rozšířeé mtice soustvy / Búprvmi:. výměou 2 libovolých řádků 2. vyásobeím libovolého řádku číslem 0 3. vyecháím řádku se smými ulmi 4. přičteím k ásobku ( k 0) řádku k iému řádku Pk soustvy X = B X = B mí steá řešeí. Úprvy () ž (4) eměí hodost mtice i v / B. Frobeiovu větu budeme plikovt ž vhodě uprveou soustvu rovic, t. úprvmi () ž (4) budeme postupě uprvovt / B troúhelíkový tvr. 7

8 .5. Vět Crmerovo prvidlo Je-li mtice řádu e-li det 0, pk má soustv X = B právě edo řešeí. T X = ( det,det 2 det ), det Kde det i, i, e determit, který dosteme z determitu soustvy hrzeím i-tého sloupce sloupcem prvých str. 8