8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.
|
|
- Jaroslav Malý
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x, x,..., x } itervlu, číslujeme tk, že pltí x < x <... < x. Pro fukci f omezeou, ozčíme Je-li f m i,d if fx), M i,d sup fx). x x i, x i x x i, x i fukce omezeá, D {x, x,..., x } děleí itervlu,, pk čísl Sf, D) m i,d x i x i ) S f, D) M i,d x i x i ), zýváme dolím horím Riemovým itegrálím) součtem fukce f,. Vět 8.: Pro kždé děleí D itervlu, pltí Důkz: Zřejmě pltí Sf, D) ) if fx) Sf, D) Sf, D) ) sup if fx). fx) xi xi ) if fx) x i x i ) if Podoě dostáváme i posledí erovost. Nerovost Sf, D) Sf, D) vyplývá přímo z defiice. Děleí D itervlu, zýváme zjeměím děleí D itervlu,, je-li D D. fx) ). Pozámk: Je-li D {x, x,..., x } děleí itervlu, D D { x}, kde x D, pk zřejmě pltí Sf, D ) Sf, D) S f, D ) S f, D). Uvědomíme-li si yí, že jkékoliv zjeměí D dosteme, že i pro toto oecé zjeměí pltí děleí D lze získt z děleí D postupým přidáváím jedoho odu, Sf, D ) Sf, D) S f, D ) S f, D). Vět 8.: Jsou-li D, D děleí itervlu,, pk Sf, D ) Sf, D ). Důkz: Děleí D D D je zjeměím oou děleí D D. Tedy Sf, D ) Sf, D ) Sf, D ) Sf, D ).
2 Je-li sup{ Sf, D) D děleí, } if{s f, D) D děleí, } I, pk číslo I zýváme Riemovým určitým) itegrálem fukce f I přípdě R) používé ázvy:... dolí mez;... horí mez; f... itegrd ) itervlu, píšeme eo stručě je f ). [M-8:P8.] Pozámk: Riemův itegrál je defiová je pro fukce omezeé - pro jié fukce totiž eí defiová horí dolí Riemův součet. Pozámk: Jk uvidíme ve Větě 8.6, emá existeci hodotu Riemov itegrálu vliv, změíme-li hodotu itegrové fukce v koečě moh odech. Díky tomu lze připustit, y itegrová fukce eyl v koečě moh odech itervlu defiová. Mohou totiž stt je dvě možosti: ) t dodefiujeme fukci v odech, kde eyl defiová, jkýmkoliv způsoem, itegrál existovt ude ude pokždé stejý. ) t dodefiujeme fukci v odech, kde eyl defiová, jkýmkoliv způsoem, itegrál existovt eude. Pozámk: Pro kždé děleí D itervlu, zřejmě pltí Sf, D) S f, D). Smozřejmě z předpokldu, že f existuje.) Pozámk: Riemův itegrál lze zvést tké pomocí Riemových itegrálích součtů už e horích dolích). K tomu kromě děleí D {x,..., x } uvžujeme ještě možiu τ {t,..., t }, tkovou, že t i x i, x i, položíme Sf, D, τ) ft i ) x i x i ). Itegrál pk defiujeme jko limitu těchto součtů, pokud půjde orm děleí, tj. mximálí délk itervlu vziklého děleím, k ule. Oě defiice Riemov itegrálu jsou ekvivletí, tedy existuje-li itegrál podle jedé z defiic, existuje i podle druhé jeho hodoty jsou v oou přípdech stejé. Všiměte si, že pro f spojitou odpovídá dolí součet tomu, že z ody t i vyereme ody miim fukce f itervlech x i, x i, pro horí součet logicky volíme ody mxim. Vět 8.3: Itegrál tková, že existuje je rove právě tehdy, když existuje posloupost D ) děleí itervlu, lim Sf, D ) lim Sf, D ). Pozámk: Pro D ) z Věty 8.3 zřejmě pltí Sf, D ) Sf, D ) ). ) lim I když k tomu, y měly dvě poslouposti stejou limitu, oecě estčí, když jejich rozdíl má limitu ulovou uvžujme příkld poslouposti ), které limitu emjí, jejich rozdíl je le ulová posloupost s limitou ul), z vlstostí dolích horích Riemových součtů se dá ukázt, že pokud jdeme posloupost děleí D ) splňující ), pk limity jim odpovídjících dolích horích Riemových součtů existují jsou si rovy. V tkovém přípdě tedy z Věty 8.3 víme, že Riemův itegrál existuje. Je čemu se itegrál rová, ám limit ) eříká. Příkld 8.: Pro k R pevé je k dx k ).
3 Řešeí: Příkld 8.: Řešeí: Pro liovolé děleí D {x, x,..., x } zřejmě pltí Sk, D) kx i x i ) Ukžte, že x dx. k }{{} x i x i ) k ) Sf, D). Necht N. Pk pro posloupost děleí D {,,...,, } tj. x i i ) máme i Sf, D ) i + ) + ), Sf, D ) i Podle Věty 8.3 tedy uvedeá rovost pltí. Příkld 8.3: Itegrál i ) ). dx) dx, kde dx) je Dirichletov fukce viz koec odstvce.), eexistuje. Řešeí: Je-li D liovolé děleí, pk zřejmě pltí Sf, D) Sf, D ) ). Tedy Příkld 8.4: Ukžte, že sup D sg x dx. Sd, D) if D Sd, D). Řešeí: Necht N. Pk pro posloupost děleí D {,, } máme Sf, D ) +, Sf, D ) +. Podle Věty 8.3 tedy uvedeá rovost pltí. Vět 8.4: Je-li fukce f itervlu, spojitá eo mootoí, pk existuje. Důkz pro f mootoí, př. eklesjící: Použijeme Větu 8.3 s děleími D {, + pro která máme Sf, D ) Sf, D ) fx i) i fx) fx ) fx )... fx ) ) Děleím, která jsme použili, se říká ekvidisttí eo též rovoměrá.) 8. Vlstosti fx i) Vět 8.5 ditivit itegrálu vzhledem k itegrčímu ooru) Necht < < c. Pk Necht < existuje Dále defiujeme existuje, právě když existují. Pk defiujeme +.., + f) f) ) pro. [M-8:P8.3],..., + ), },, v tomto přípdě pltí
4 Pozámk: Předpokld < < c ve Větě 8.5 lze hrdit předpokldem existece itegrálu α mi{,, c} mx{,, c}. Vět 8.6: Necht existuje gx) dx pltí [M-8:P8.4] α, kde. Jestliže se g liší od f, v ejvýše koečě moh odech, pk existuje gx) dx. Důkz: Necht c < c <... < c k jsou právě ty ody z itervlu, ), ve kterých f g. Pk opkovým použitím Věty.5 dosteme f f + f... f + f f. c c c k Položme c, c k+ h f g. Pro i {,..., k + }, N uvžujme posloupost děleí D i, {c i, c i + ci ci, c i ci ci, c i} 3 3 itervlu x i, x i. Předpokládejme příkld, že hc i ) >, hc i) < jik ychom postupovli podoě). Pk protože hx) c i, c i), máme ci ci 3 )ci ci ) ci ci ci ci Sh, D i,) + + hc i) hc i), ci ci 3 )ci ci ) ci ci ci ci Sh, D i,) hc i ) + + hc i ) Protože posloupost dolích součtů posloupost horích součtů mjí stejou limitu t je rov ule, je podle Věty 8.3 i hx) dx. Tedy podle Věty 8.5 o ditivitě itegrálu vzhledem k itegrčímu ooru máme c i hx) dx k+ i c i hx) dx. Nyí už stčí je využít toho, že itegrál z rozdílu je rozdíl itegrálů viz části ), ) ásledující Věty 8.7), dosteme Pozámk: gx) dx fx) hx)) dx N zákldě vět 8.4, stčí k existeci hx) dx., když je fukce f spojitá tj. má tm je koečě moho odů espojitosti v ich má koečé jedostré limity). Vět 8.7:, po částech Necht existují, gx) dx c R. Potom ) f + g)x) dx + gx) dx, ) c f)x) dx c. Je-li víc <, pk c) je-li f,, pk, Důkz: Zřejmé sčítáme ezáporá čísl. d) je-li f g,, pk gx) dx tzv. mootoie itegrálu), Důkz: g f,, tedy podle ), ), c) je ) ) ) g f). e) existuje fx) dx pltí fx) dx, Důkz odhdu: fx) fx) fx) pro kždé x,, tedy ) f d) f ) d) B f) je-li f M,,, B,, pk M B. Důkz: ) pro B zřejmé; ) pro < B : f M MB ) M B ; B e) B d) B 3) pro B < : B ) M B M B. B B
5 Vět 8.8 itegrál jko fukce horí meze): Necht existuje ft) dt c,. Pk pro fukci pltí: ) F c je spojitá,, F c c). F c x) ) Je-li f spojitá v x,, pk F cx ) fx ). c ft) dt, x, [M-8:P8.5] Existuje-li je jedostrá limit fukce f v x, pk je rov odpovídjící jedostré derivci fukce F v x. ) Pozámk: Z Věty 8.8 vyplývá, že fukce spojitá itervlu I má I primitiví fukci viz Větu 7.). Je-li totiž c I, pk F c x) I pltí Příkld 8.5: Pro fukci fx) kokávity. c ft) dt je primitiví fukcí k f I. Nvíc pro liovolou primitiví fukci F F x) F c x) + F c) Vět 8.9 Newto-Leiizov formule): Jestliže existuje Píšeme: c ft) dt + F c). e t e 4) dt vyšetřete ody lokálích extrémů, itervly mootoie, kovexity F je primitiví fukce k f, ), pk pltí F ) F +) lim F x) lim x x + F ) F +) [ F x) ]. ) F x). Pozámk: N volě primitiví fukce ve Větě 8.9 ezáleží. Jsou-li totiž F, F primitiví fukce k f, ), pk existuje c R tk, že F F + c, ), tedy [ F x) ] F ) F +) F ) + c) F +) + c) F ) F +) [ F x) ]. k f Příkld 8.6: ) k dx [ k x ] k k k ), ) x dx [ x ]. Příkld 8.7: Pro fukci fx) cos x + 3 vypočtěte. Řešeí: Fukce f je spojitá,, tedy itegrál existuje. Podle Příkldu 7.3 je Gx) rctg tg x primitiví fukce k f, ovšem pouze itervlech k ), k + ) ), k Z, e tedy celém itervlu, ). Musíme proto rozdělit áš itegrál dv: Je tké možé použít fukci + F x) ) + která je, opět podle Příkldu 7.3, primitiví fukcí k f F ) F +) [ rctg tg x ] [ + rctg tg x ] )). rctg tg x, ) pro x rctg tg x +, ) lim x celém itervlu, ). Pk dosteme ) rctg tg x ). rctg tg x + lim x + Pozámk: Už před výpočtem jsme si mohli všimout, že fukce f je zdol omezeá kldou kosttou, tedy
6 hledý itegrál musí ýt kldý. Kokrétěji máme cos x + 3, tedy podle Věty 8.7 d) je 4 4 dx 4 >!!. [M-8:P8.6] Přitom G ) G+), tkže kdyychom zpoměli zkotrolovt, zd je G primitiví fukcí k f celém itervlu, ), mohli ychom tkto odhlit chyu, které jsme se dopustili. Bohužel ám tkováto kotrol epomůže vždy. Přesto je doré si ji udělt. Pozámk - Newtoův itegrál: Je-li F primitiví fukce k fukci f itervlu, ) existují-li limity lim x + F x), lim x F x), pk defiujeme Newtoův itegrál fukce f, ) předpisem N) lim x F x) lim F x) F ) F +) ) x + smozřejmě, je pokud je rozdíl F ) F +) defiová). Existují-li Riemův i Newtoův itegrál, pk si jsou rovy. 8.3 Itegrce per prtes metod sustituce komice Newto-Leiizovy formule metod pro eurčitý itegrál!! při použití metody sustitice je zde uté přepočítt meze itegrálu!! Příkld 8.8: Pro fukci fx) x e x vypočtěte 4. Řešeí: Fukce f je itervlu, 4 spojitá tj. i omezeá), tedy itegrál existuje. Máme: t 4 x e x dx dx dt t) e t ) dt 4 t e t dt 4 t e t dt 4 u t v e t PP [t 4 e t ] ) u v e t e t dt 4 e ) e ) e e ) ) e. Příkld 8.9: Předpokládejme, že existuje dopočítejme prví itegrál: Dosteme tk, že pltí ) f x t dx dt ft) dt ft) dt + ft) dt je sudá eo lichá. Rozepišme f t) dt pro f lichou, pro f sudou. pro f lichou, ft) dt pro f sudou. f t) dt Tohoto využijete v druhém semestru při výpočtu koeficietů Fourierových řd sudých lichých fukcí.)
7 [M-8:P8.7] Příkld 8.: Předpokládejme, že f je periodická s periodou T po částech spojitá R. Pk pro k Z, < T α kt + pltí ) +T ft) dt +T ft) dt + ft) dt T }{{} ft T ) ft) dt + fu) du protože ezáleží ozčeí itegrčí proměé v určitém itegrálu), u t T du dt T + T ft) dt ) α+t α }{{} fx kt ) t x kt dt dx α α kt α + T + T +T ft) dt ) ft) dt. Tedy při itegrci periodické fukce ezáleží tom, přes který itervl délky periody itegrujeme. Itegrál je vždy stejý. B) Je-li víc d R, pk +d fx) }{{} fx+kt ) dx t x + kt dt dx + kt α + d α + d α+d α ft) dt. Tedy posu itervlu o ásoek periody itegrál ezměí. Příkld 8.: Vypočtěte, kde fx) + si x. Řešeí: Fukce f je spojitá itervlu,, tedy itegrál existuje. Vhodá sustituce zde je t tg x. Fukce tges všk eí defiová celém itervlu,. Proto áš itegrál roztrheme ěkolik itegrálů: Fukce f f 3 f + f + 3 je -periodická, tedy podle Příkldů máme f + 3 f + 3 f. f Př. 8.B 3 f + 3 f + 3 f Př. 8.B f + 3 f + f 4 f. Hodotu itegrálu f vypočteme v Příkldu Vět o středí hodotě Vět 8. o středí hodotě): Necht f je spojitá,. Pk existuje c, ) tk, že fc) ). fc)... středí hodot fukce f itervlu,
11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
VíceZákladní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.
Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
Více1.2. MOCNINA A ODMOCNINA
.. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste
Více8. Elementární funkce
Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá
VíceVerze z 17. května 2018.
Verze z 7. květ 8. Úvodí pozámk Tto sbírk byl sepsá se záměrem vytvořit sezm výpočetích postupů triků pro řešeí úloh, které se probírjí ve druhém semestru kurzu mtemtické lýzy. Sezm, v ěmž s devdesátiprocetí
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY,
POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé
Vícep = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:
ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VícePřehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+
Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
Více9. Racionální lomená funkce
@ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro
VíceMatematická analýza II
Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Mtemtická lýz II látk z II semestru iformtiky MFF UK podle předášek Roert Šáml Zprcovli: J Ztr Štěti,
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
Více8.2.7 Geometrická posloupnost
87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9009 Příkld : Spočtěte itu poslouposti 3 + + + 4 + 50 + 00 + 0 0 3 + + Řešeí:Ozčíme : +, b : 4 + 50 + 00 Zlomek,tvořící + 0 0,rozšířímevýrzem ++,čežvytkemeejvyššímociu
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceAnalytická geometrie
Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
VíceCílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.
Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou
Více8.3.1 Pojem limita posloupnosti
.3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
Více1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů
.8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
VícePosloupnosti a řady. Obsah
Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti
VíceMatematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána
Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
VícePosloupnosti na střední škole Bakalářská práce
MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceVEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceKKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij
VíceKuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně
Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceD = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n
/9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9..009 Příkld : Spočtěte limitu poslouposti lim + ) 7 + 8 5 + ) 4 4 +) 5). Ozčme : + 7 +, b 8 : 5 +) 4 4 +) 5,zjímáástedy lim b. Máme 7 8 + 7 + + 7 ) + 8
Více6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů
6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.
VíceAnalytická geometrie
7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika
Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceŘídicí technika. Obsah. Laplaceova transformace. Akademický rok 2019/2020. Připravil: Radim Farana
kdemický rok 9/ Připrvil: Rdim Fr Řídicí techik Oh (L-trformce) předtvuje velmi účiý átroj při popiu, lýze ytéze pojitých lieárích ytémů řízeí. Účelem trformce je převét ložitý prolém z protoru origiálů
Více1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26
Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých
VíceCílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.
temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
VíceStřední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl
Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor
. LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceNapíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.
8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
Více