Základní elementární funkce.

Transkript

1 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou fukcí.. Odečítáí dvou fukcí. 3. Násobeí dvou fukcí. 4. Děleí dvou fukcí. 5. Vtvořeí fukce prciálí. 6. Vtvořeí fukce iverzí k fukci dé, která je spojitá rze mootóí ějkém it. 7. Skládáí fukcí. Zákldí elemetárí fukce (všech defiové pro všech reálá čísl):. = k, kde k je libovolá kostt;. = ; 3. = si() ; 4. = e. Pozámk: Kždá fukce musí mít defiičí obor. Dvě fukce, které mjí růzé defiičí obor, jsou růzé, i kdž mjí stejý fukčí předpis. Argumet fukce = si() se zdává v obloukové míře!!! Oborem hodot je itervl <-; >. Fukce je rostoucí kždém z itervlů á- + kp; + kpñ klesjící kždém z itervlů á- + (k+ ) p; + (k+ ) pñ, kde k je libovolé celé číslo. Fukce má bsolutí miimum bsolutí mimum +. Obou etrémích hodot bývá v ekoečě moh bodech, miim v bodech p = - p + k mim v bodech = p kp +. Epoeciálí fukce = e je rostoucí defiičím oboru D( f ) = R, obor hodot H(f) = (0; ), emá bsolutí etrém, if e = 0, sup e = +.

2 Eulerovo číslo e =, má ekoečý desetiý rozvoj, je to ircioálí číslo. Některé speciálí elemetárí fukce.. = moci s přirozeým epoetem je vtvoře z fukce = ( -) ásobým opkováím operce ásobeí, defiičí obor D = R. Je-li moci = (k+) liché číslo Þ fukce je lichá, obor hodot H = R, k fukce roste D, if + = - ; sup k+ = + ; emá etrém. Je-li moci = k sudé číslo Þ fukce je sudá, obor hodot H = <0; + ); (- ; 0> je fukce klesjící, <0;+ ) rostoucí, mi k = 0 = if k, sup k = +.. Polom rcioálě lomeé fukce. Defiice: Polomem zýváme fukci, která vzike koečým počtem opercí součet, rozdíl souči s fukcemi = k å =. k - P ( ) = k = , k= 0 ¹ 0, je stupeň polomu, zápis polomu je uspořádá vzestupě podle moci. Příkld: P ( ) b = +, ¹ 0, polom.stupě - lieárí polom; P b c ( ) = + +, ¹ 0, polom.stupě kvdrtický polom. Polom jsou spojité fukce, defiové celé číselé ose. Jestliže dv polom spolu sečteme, odečteme ebo vásobíme, dosteme opět polom. Polom můžeme mezi sebou tké dělit, pk výsledkem je rcioálě lomeá fukce P ( ) R( ) = Q ( ) m Rcioálě lomeé fukce dělíme dvě skupi podle vzájemého vzthu stupě čittele jmeovtele: je-li < m, pk se jedá o rze lomeou rcioálí fukci, je-li ³ m pk je to erze lomeá rcioálí fukce tu je možo děleím uprvit součet polomu rze lomeé rcioálí fukce z( ) R( ) = P( ) + Q ( ) m. Protože děleí ptří mezi zákldí operce s fukcemi, je rcioálě lomeá fukce elemetárí. Je defiová celé číselé ose kromě bodů, v ichž je jmeovtel rove ule.

3 Defiice: Nechť P je ějký polom. Číslo, pro které je P( ) = 0, se zývá koře polomu P výrz ( - ) je kořeový čiitel polomu P. Podle této defiice koře polomu jdeme z rovice P ( ) = 0. Tuto rovici umíme vřešit pro polom.. stupě. Pro polom všších stupňů jde o složitější úlohu, kterou umíme vřešit v ěkterých speciálích přípdech. Velmi čsto se koře polomů hledjí umerickými metodmi. Polom je beze zbtku dělitelý kždým svým kořeovým čiitelem, tj. je-li ějký koře polomu P, pk lze psát - P ( ) = ( - ) P ( ), ozčíme-li koře polomu P ( ) -, pk P -( ) = ( - ) P -( ), tkže P ( ) = ( - )( - ) P ( ), td. - Po krocích dosteme rozkld polomu souči kořeových čiitelů P ( ) = ( - )( - ) ( - ). Vět: Kždý polom lze rozložit zákldí souči, přičemž je teto souči ž evetuálí pořdí čiitelů jedozčý. Defiice: Pltí-li P( ) = ( - ) k P -k ( ), kî N, pk říkáme, že je k-ásobý koře polomu P( ). Pozámk: Místo jed ásobý koře budeme říkt jedoduchý koře polomu. 3. Odmoci jsou fukce iverzí k mociám s přirozeým epoetem Pro sudé eí fukce prostá, musíme omezit defiičí obor tk, b se fukce stl prostou. Z itervlů (- ; 0> <0; + ) volíme te s kldými hodotmi, proto D = <0; + ). 3

4 Defiice: Nechť fukce f je defiová předpisem f ( ) = itervlu <- ; + ) pro lichá itervlu <0; + ) pro sudá. Fukce iverzí k fukci f se zývá -tá odmoci z zčí se. Pro = se používá ozčeí. 4. Fukce epoeciálí logritmické. Epoeciálí fukce je fukce dá předpisem H = (, ) 0. Číslo je tzv. zákld, epoet. =, kde > 0, ¹. D = (- ),, Zákld = vlučujeme z toho důvodu, že fukce = je kosttí má ěkteré vlstosti dosti odlišé od vlstostí osttích epoeciálích fukcí, ikoliv proto, že b teto výrz ebl defiová. V celém defiičím oboru je epoeciálí fukce prostá, rze mootóí ohričeá zdol. Pro > je = rostoucí, pro 0< < je = klesjící. Důležité vzorce: Pro kždé, Î R,, b> 0 pltí: æ ö æ ö b = ( b), = = = = = = ç, ç,,, b è bø è ø ( ) Logritmická fukce je fukce dá předpisem = log, kde > 0. Lze ji odvodit jko iverzí fukci k fukci epoeciálí, defiičí obor D = (, ) -,. hodot H = ( ) Pozámk: Ní je zřejmé, proč jsme vloučili přípd =. Fukce eeistuje k í ted fukce iverzí. 0, obor eí prostá V celém defiičím oboru je logritmická fukce prostá, eomezeá zdol i shor, pro > rostoucí, pro 0< < klesjící grf prochází bod [,0], [0,]. 4

5 Grf můžeme sestrojit jko souměrou křivku ke grfu fukce =. = vzhledem k přímce Pozámk: = 0, f: = = e =,78 f: = 0, f - : = log dekdický logritmus e, f - : = l přirozeý logritmus Prvidl pro logritmováí: l( b) = l + l b, l = l - l b, l = l. b Pozámk: l e = ; l e = ; log0 = ; log 0 = ; ( ) l( + ) + = e ; = e pod. 3 3l 5. Goiometrické fukce Fukce = cos vzike ze zákldí elemetárí fukce = si složeím fukce sius æp ö rozdílu ç - è ø A. si B., tj. si( p - ) = cos. = D = (- ) = cos D = (- ),, H = -,,, H = -,. Fukce = si i = cos jsou periodické s periodou p=p, tz.si = si( + kp ), cos = cos( + kp ), k je celé číslo. Dlší goiometrické fukce vzikou podílem dvou elemetárích fukcí, tkže jsou tké elemetárí. C. si tg = cos =, Ï( k+ ) p, kîz, p = p, H = R. Fukce je rostoucí itervlu (- + kp; + kp ), kîz. 5

6 D. cos = cotg =, Ï kp, kîz, p = p, H = R si Fukce je klesjící itervlu (0 + kp; p + kp), kîz. 6. Cklometrické fukce jsou iverzí k fukcím goiometrickým. Protože goiometrické fukce jsou periodické, tudíž ejsou prosté, lze iverzí fukce jít pouze ke vhodým prciálím fukcím, omezujeme se defiičí obor, který je souvislý,co ejblíže k počátku, kde je prciálí fukce prostá. A. f: = si je rostoucí, ted prostá D = < - ; >, H = <-; >, f : = rcsi, D = <-; >; H = < - ; >. B. f: = cos je klesjící, ted prostá D = <0; p>, H = <-; > f : = rccos, D = <-; >, H = <0; p>. C. f: = tg je rostoucí, ted prostá D =( - ; ); H = (- ; + ); f : = rctg D = (- ; + ); H = (- ; ). D. f: = cotg je klesjící, ted prostá D = (0; p); H = (- ; + ); f : = rccotg D = (- ; + ); H = (0; p). 6

7 Zákldí vlstosti cklometrických fukcí:. si(rcsi ) =, cos(rcos ) =, pro Î<-; >; tg(rctg ) =, cotg(rccotg )=, pro Î R.. rcsi(si ) = pro Î<- ; >; rccos(cos ) =, pro Î<0; p>; rctg(tg ) = pro Î(- ; ); rccotg(cotg ) =, pro Î(0; p). 3. rcsi + rcos = p, pro "Î<-; >; rctg + rccotg = p, pro "ÎR; rctg = rccotg, pro >0; rccotg = rctg, pro >0. 4. rcsi(-) = - rcsi ; rctg(-) =- rctg rccos(-) = p- rcos ; rccotg(-) = p- rccotg. 5. rccos = rcsi - ; rcsi = rccos -, pro Î<0; >; rcsi = rctg - ; rcos = rccotg -, pro Î(-; ). 7