Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Transkript

1 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedeí pojmu určitý itegrál (kpitol ) Dále předpokládáme, že záte zákldí metod výpočtu určitého itegrálu Výkld Jk již lo uvedeo v úvodu kpitol, existuje epřeeré možství prolémů, při jejichž řešeí je používá itegrálí počet V průěhu studi se sezámíte s použitím itegrálů ve fzice v dlších odorých předmětech V této kpitole se omezíme pouze jedoduché plikce v mechice Půjde o výpočet sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti hmotých křivek roviých olstí V oecém přípdě, kd veliči závisí dvou eo třech proměých se k výpočtu používjí dvojé eo trojé itegrál Podroosti lezete v textu Mtemtik III Těžiště momet setrvčosti soustv hmotých odů Připomeňme si, jk je v mechice defiová sttický momet momet setrvčosti Uvžujme v roviě jede hmotý od A= ( x, ) s hmotostí m Or 5 Hmotý od A v roviě Sttický momet hmotého odu k liovolé ose o je dá vzthem So = rm momet setrvčosti uvedeého odu při jeho rotci kolem os o je

2 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Io = r m, kde r je vzdáleost odu od os o (or 5) Pokud je uvžovou osou os x, je r = pro osu je r = x Mějme v roviě soustvu hmotých odů Ai = ( xi, i) s hmotostmi mi, i =,, Celková hmotost soustv ude sttický momet k ose x ude m= m, S i= x = imi, i= i sttický momet k ose ude S xim i i= = momet setrvčosti udou I x i mi i= =, I xm i i i= = Těžiště T = ( ξ, η) je od s touto vlstostí: Kd do ěj l soustředě všech hmot soustv, pk teto od měl stejé sttické momet k souřdicovým osám, jko dá soustv hmotých odů Ted pro těžiště pltí ξ m= S η m= Sx Odtud dostáváme pro souřdice těžiště vzth S S ξ =, η = x m m Při výpočtu souřdic těžiště hmoté křivk eo rovié olsti udeme postupovt jko při zvedeí určitého itegrálu Křivku (olst) rozdělíme mlé elemet Sttické momet (hmotost) dosteme jko součet sttických mometů (hmotostí) těchto elemetů Limitím přechodem pro přejdou sum itegrál Těžiště momet setrvčosti rovié křivk Křivku v roviě si můžeme předstvit jko kus drátu z mteriálu, který má kosttí délkovou hustotu σ Chceme lézt souřdice těžiště této křivk (or 5)

3 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Or 5 Těžiště rovié křivk Předpokládejme, že je křivk dá prmetrickými rovicemi x = ϕ() t, = ψ () t, t <, >, přičemž fukce ϕ ( t) ψ ( t) mjí spojité derivce itervlu <, > s t t dt Její délk (vět ) je = [ ϕ ()] + [ ψ ()] Hmotost křivk dosteme jko souči délk hustot: m= σs = σ [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt Křivku můžeme proximovt lomeou čárou složeou z úseček Δ si, i=,,, Úsečk udou mít hmotosti mi = σ Δ si, i =,,, V přípdě mlých elemetů si můžeme předstvit, že hmotost je soustředě do jedoho odu A = ( x, ), který leží dé úsečce Δ s, i =,,, Sttické momet této lomeé čár udou i x = i i = σ iδsi, i= i= S m S = x m = σ x Δs i i i i i= i= i i i Je zřejmé, že pro zvětšující se počet úseček udeme dostávt přesější proximce sttických mometů Pro dosteme (logick jko v kp ) Sx = σ ψ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt, S = σ ϕ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt

4 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Podoě odvodíme vzth pro momet setrvčosti při rotci kolem os x, resp Vět 5 Nechť je křivk dá prmetrickými rovicemi x = ϕ( t), = ψ ( t), t <, >, přičemž fukce ϕ ( t) ψ ( t) mjí spojité derivce itervlu <, > Je-li délková hustot σ křivk kosttí, pk má křivk hmotost m= σ [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt Pro sttické momet pltí: Sx = σ ψ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt, S = σ ϕ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt Momet setrvčosti této křivk dosteme ze vzthů: Ix = σ ψ () t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt, I = σ ϕ () t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt S S Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice ξ =, η = x m m Je-li speciálě křivk grfem fukce = f( x) s kosttí délkovou hustotou, pk je [ ] ds = + f ( x) dx (vět ) Dostáváme ásledující modifikci vět 5 Vět 5 Nechť je hmotá křivk určeá explicití rovicí = f( x) se spojitou derivci f ( x) itervlu <, > kosttí délkovou hustotou σ Pk má křivk hmotost [ ] m= σ + f ( x) Pro sttické momet pltí: dx

5 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce [ ] S = σ f( x) + f ( x) x [ ] S = σ x + f ( x) dx dx, Momet setrvčosti této křivk dosteme ze vzthů: [ ] Ix = σ f ( x ) + f ( x ) dx, [ ] I = σ x + f ( x ) dx S S Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice ξ =, η = x m m Těžiště momet setrvčosti rovié olsti Uvžujme hmotou roviou olst ohričeou zdol grfem fukce grfem fukce gx ( ), shor f ( x ), ( gx ( ) f( x) ) pro x <, > Předpokládejme, že je plošá hustot σ v kždém odě tohoto orzce kosttí hustot: Hmotost rovié olsti dosteme jko souči oshu ploch olsti (vět ) ( ( ) ( )) m= σ f x g x dx Alogick jko při zvedeí určitého itegrálu (kpitol ) rozdělíme orzec rovoěžkmi s osou proužků (or 5) Kždý proužek můžeme proximovt úzkým odélíčkem šířk Δ x, i =,,,, který je zdol ohričeý fukčí hodotou i gx ( i ) shor fukčí hodotou f ( x i ) Teto odélíček hrdíme těžištěm ležícím ve středu odélíčku Pro odélíček ude soustředíme hmotost celého odélíčku i A = ( x, ) i i i f ( xi) + g( x i ) = Do tohoto odu

6 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Or 5 Těžiště rovié olsti Hmotost i - tého odélíčku ude [ ( ) ( )] =, i =,,, mi σ f xi g xi Δxi Sttické momet celé olsti udou přiližě rov f( xi) + g( x ) S i x = imi = σ [ f( xi) g( xi) ] Δ xi = σ f ( xi) g ( xi) Δx i, i= i= i= S = ximi = σ xi[ f( xi) g( xi) ] Δx i i= i= Je zřejmé, že pro zvětšující se počet odélíčků udeme dostávt přesější proximce sttických mometů Pro Δ dosteme limitím přechodem Sx = σ f ( x) g ( x) dx S = σ x f x g x [ ( ) ( )] dx x i, Podoě odvodíme vzth pro momet setrvčosti při rotci kolem os x, resp Vět 5 Nechť je hmotá roviá olst ohriče křivkmi gx ( ) f ( x ), kde gx ( ) f( x) itervlu <, > Pk hmotost této olsti s kosttí plošou hustotou σ je m= f x g x σ [ ( ) ( )] dx

7 Mtemtik II Pro sttické momet pltí: 5 Fzikálí plikce Sx = σ f ( x) g ( x) dx, S = σ x f x g x [ ( ) ( )] dx Momet setrvčosti této rovié olsti dosteme ze vzthů: Ix = σ f ( x) g ( x) dx, I = σ x [ f( x) g( x) ] dx Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice S S ξ =, η = x m m Řešeé úloh Příkld 5 Vpočtěte souřdice těžiště homogeí půlkružice x + = r, Řešeí: Prmetrické rovice půlkružice jsou (viz příkld ): x = rcost, = rsi t, t <, > Or 54 Souřdice těžiště homogeí půlkružice Je-li délková hustot σ kosttí, je hmotost rov součiu hustot délk půlkružice: m= σ s= σ r = σr - -

8 Mtemtik II Sttické momet jsou: 5 Fzikálí plikce Sx = σ ψ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt = σ r sit [ r sit] + [ r cos t] dt = σr sit dt = = σr [ cost] = σr, S = σ ϕ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt = σ r cost [ r sit] + [ r cos t] dt = σr cost dt = = σ r si t = [ ] Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice S S ξ = = x σ r r η m = m = σr = T Pozámk r (, ) = Sttický momet S jsme emuseli počítt, protože je evidetí, že pro dou půlkružici musí těžiště ležet ose, ted je S = Příkld 5 Vpočtěte momet setrvčosti homogeí půlkružice z příkldu 5 k souřdicovým osám Řešeí: Momet setrvčosti půlkružice k ose x: I = σ ψ t ϕ t + ψ t dt = σ r t r t + r t dt x () [ ()] [ ()] si [ si ] [ cos ] = cost σ r sit σr = σr si tdt = σr dt = t = Momet setrvčosti půlkružice k ose : I = σ ϕ t ϕ t + ψ t dt = σ r t r t + r t dt () [ ()] [ ()] cos [ si ] [ cos ] = + cost σ r sit σr = σr cos tdt = σr dt = t + = - -

9 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Příkld 5 Vpočtěte souřdice těžiště trojúhelík s vrchol O = (,), A = (,) B = (,) Řešeí: Str AB dého trojúhelík leží přímce x = ( x ), tj = Roviá olst je ohriče shor grfem fukce ( ) x f x = zdol grfem fukce gx= ( ) or 55 Or 55 Těžiště trojúhelík Je-li plošá hustot σ kosttí, je hmotost rov součiu hustot oshu trojúhelík: m= σ P= σ = σ Sttické momet jsou (připomíáme, že gx= ( ) ): x x Sx = σ f ( x) dx= σ ( ) dx= σ ( x+ ) 4 dx= x x = σ x + = σ ( + ) = σ x x x x S = σ x f ( x) dx = σ x ( ) dx = σ ( x ) dx σ = = 6 4 = σ = σ Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice S σ σ S ξ = = = η = x = = m σ m σ - -

10 Mtemtik II T = (, ) Pozámk 5 Fzikálí plikce Těžiště trojúhelík leží v průsečíku těžic (spojic vrcholů středů str) Těžiště rozděluje těžici v poměru : Z podoých trojúhelíků je zřejmé, že x ová souřdice těžiště musí ležet v str OB ová souřdice těžiště musí ležet v str OA Proto ξ = = η = = Příkld 54 Vpočtěte momet setrvčosti homogeího trojúhelík z příkldu 5 při rotci kolem os x, resp Řešeí: Momet setrvčosti trojúhelík k ose x: x x x x Ix = σ ( ) ( ) ( ) f x dx = σ dx = σ dx + = x x x = σ x + = σ ( + ) = σ = σ Momet setrvčosti trojúhelík k ose : 4 x x x x = σ ( ) = σ ( ) = σ ( ) σ = = 8 I x f x dx x dx x dx 8 = σ = σ Příkld 55 Vpočtěte souřdice těžiště roviého orzce ohričeého křivkou = 6 osou x x x Řešeí: Grfem prol = 6x x jsme se podroě zývli v příkldu Prol protíá osu x v odech x = x = 6 - -

11 Mtemtik II Roviá olst je ohriče shor křivkou 5 Fzikálí plikce = zdol křivkou gx= ( ) f ( x) 6x x or 56 Or 56 Těžiště roviého orzce ohričeého křivkou = 6 osou x x x Je-li plošá hustot σ kosttí, je hmotost rov součiu hustot ploch olsti ohričeé prolou osou x: 6 6 x = σ (6 ) = σ = σ(8 6) = 6 σ P x x dx x Sttické momet jsou (připomíáme, že gx= ( ) ): Sx = σ ( ) (6 ) (6 ) f x dx= σ x x dx σ x x x = + dx= x x 6 = σ x x + = σ x ( x+ ) = σ 6 ( 8 + ) = = σ8 = σ, x = σ ( ) = σ (6 ) = σ (6 ) = σ = 4 S x f x dx x x x dx x x dx x 4 6 = σ 6 = σ6 ( ) = 8σ 4 Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice 648 S σ 8σ S 8 ξ = = = η = x = 5 = m 6σ m σ T = (, ) 5-4 -

12 Mtemtik II Pozámk Sttický momet 5 Fzikálí plikce S jsme emuseli počítt Protože je orzec souměrý podle os x =, musí těžiště ležet této ose, x - ová souřdice těžiště musí ýt ξ = Kotrolí otázk Uveďte vzth pro sttický momet momet setrvčosti hmotého odu Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté křivk dé prmetrickými rovicemi Jk vpočtete souřdice těžiště homogeí hmoté křivk dé prmetrickými rovicemi? 4 Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté křivk dé explicití rovicí 5 Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté rovié olsti hričeé křivkmi gx ( ) f ( x ), kde gx ( ) f( x) itervlu <, > 6 Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté rovié olsti hričeé grfem spojité fukce f( x) osou x itervlu <, > 7 Jk vpočtete souřdice těžiště homogeí hmoté rovié olsti ohričeé křivkmi gx ( ) f ( x ), kde gx ( ) f( x) itervlu <, >? Úloh k smosttému řešeí Vpočtěte souřdice těžiště homogeího roviého orzce ohričeého křivkmi ) ) c) d) = x x ; = = 6; x x= 5 = 4; x x= ; = 4 = x ; x= e) = x ; = + x f) = si x; = ; x g) x = si x; = ; = - 5 -

13 Mtemtik II h) = si x; = ; x 5 Fzikálí plikce i) x + = 4; Vpočtěte souřdice těžiště homogeího roviého orzce ) ohričeého ckloidou ( ) ( ) x= t si t, = cos t, t osou x ) který leží v prvím kvdrtu jeho hrici tvoří steroid x 4 + = oě souřdé os c) ohričeého křivkou x = t t, = t + t osou x Vpočtěte souřdice těžiště homogeího olouku dé křivk: ) ) c) x = + ; x x = l x ; x 4 t x= t, = t ; t d) x= cos t, = si t; t 6 6 e) x= cos t, = si t; t f) ( ) ( ) x= t si t, = cos t ; t g) x= cost+ tsi t, = si t tcos t; x Výsledk úloh k smosttému řešeí 6 ) ; ; ) ( ; ) ; c) ; 5 5 ; d) 9 9 ; ; e) ; ; f) ; 8 ; ( ) g) + ; ( ) ; h) ; 4 8 ; i) ; ) ; ; - 6 -

14 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce ) ; 5 5 ; c) 8 9 ; d) ; ; e) 6 ; 5 ; f) 8 ; ) ( ;,97 ) ; ) ( ) ( 6) ; g) 6 ;,5;,97 ; c) 7 ; 5 4 ; Kotrolí test Vpočtěte momet setrvčosti vzhledem k ose homogeí hmoté olsti ohričeé křivkmi ) =, = x + x 8 σ ( + ), ) 5 8 σ ( ), c) 5 8 σ ( ), d) 5 8 σ ( + ) 5 Vpočtěte momet setrvčosti vzhledem k ose homogeího hmotého olouku křivk dé prmetrick ) x t t t =, = pro t 98, ) 5 σ 89 σ, c) 5 8 σ, d) σ ) Vpočtěte sttický momet vzhledem k ose x homogeího hmotého olouku křivk = x pro x σ σ σ σ ) ( + ), ) ( ), c) ( ), d) ( + ) ) Vpočtěte momet setrvčosti homogeí hmoté olsti tvru rovormeého trojúhelík výšk v zákld velikosti vzhledem k jeho zákldě ) v v 4 σ, ) σ, c) 4 v v σ, d) σ 5) Vpočtěte momet setrvčosti homogeí hmoté olsti ohričeé elipsou x ) + =, < < kost vzhledem k její hlví ose σ, ) 4 4 σ, c) σ, d) 6) Vpočtěte momet setrvčosti homogeího hmotého olouku křivk pro x e vzhledem k ose σ x = l x 4-7 -

15 Mtemtik II ) c) σ ( 8 e e ) 4 +, ) σ ( 8 e e ) 4 +, d) σ 4 ( ) 8 e + e +, σ 4 ( ) 8 e + e + 7) Vpočtěte souřdice těžiště homogeího hmotého olouku steroid = cos, = si t, > kost pro t x t ),, ) 5,, c) 5, 5, d) 5 Fzikálí plikce, 5 8) Vpočtěte souřdice těžiště homogeí hmoté olsti ohričeé křivkmi = si x = pro x mximálě z itervlu (, ) ) c) +, 8( ), ) +, 8( ), d) 8( ), +, 8( ), + 9) Vpočtěte souřdice těžiště homogeí hmoté olsti ohričeé křivkmi x = = x ) 5,, ) 7 5,, c) 7 4,, d) 7 ) Vpočtěte souřdice těžiště homogeího hmotého olouku křivk pro t 4, 7 x = t, = t t ) 7, 4 5, ) 5, 7, c) 5, 7, d) 7, 5 4 Výsledk testu ); ); ); 4 c); 5 ); 6 c); 7 d); 8 ); 9 ); d) - 8 -

16 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Průvodce studiem Pokud jste správě odpověděli ejméě v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčém přípdě je tře prostudovt kpitolu 5 zovu Shrutí lekce Itegrálí počet je používá v moh disciplíách i tm, kde chom to eočekávli (př ekoomie) V této kpitole jsme se omezili jedoduché plikce v mechice Odvodili jsme vzth pro výpočet sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti křivek roviých olstí Při výpočtech jsme se omezili homogeí křivk olsti s kosttí hustotou S výpočt sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti křivek v prostoru, roviých olstí, těles i v přípdech, kd se hustot spojitě měí, se sezámíte v Mtemtice III Z ejdůležitější v této kpitole povžujeme metodu, jk lze odvodit potřeé vzth Z fzikálích zákoů se odvodí vzth pro velmi mlé elemet Provede se součet hodot pro všech elemet Limitím přechodem pro počet elemetů přejdou sum itegrál Pochopeím tohoto pricipu můžete odvozovt vzth pro dlší veliči Stejým způsoem postupovli i tvůrci itegrálího počtu Newto Leiiz - 9 -

17 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Místo pro pozámk - -