PRUŽNOST A PEVNOST 2 V PŘÍKLADECH

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 Název: PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Autoři: doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP, Ing. Milan Sivera, Ing. Richard Klučka, Ing. Josef Sedlák, Ing. Luboš Pečenka, Ing. Michal Šofer. Vydání: první, 013 Počet stran: 94 Náklad: 5 Jazyková korektura: nebyla provedena. Tyto studijní materiály vznikly za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Název: Modernizace výukových materiálů a didaktických metod Číslo: Realizace: CZ.1.07/..00/ Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP, Ing. Milan Sivera, Ing. Richard Klučka, Ing. Josef Sedlák, Ing. Luboš Pečenka, Ing. Michal Šofer. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN CZ.1.07/..00/

3 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Kvadratický moment a těžiště průřezu nosníku doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

4 OBSAH 1 KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU Obecný postup řešení Příklad CZ.1.07/..00/

5 Kvadratický moment a těžiště průřezu nosníku 3 1 KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU OBSAH KAPITOLY: Obecný postup řešení. Kvadratický moment průřezu. Těžiště průřezu nosníku. CÍL: Těžiště obecné plochy, kvadratický moment průřezu, hlavní centrální kvadratický moment průřezu. CZ.1.07/..00/

6 Kvadratický moment a těžiště průřezu nosníku OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ 1/Libovolně si zvolíme souřadný systém /Pomocí tohoto zvoleného souřadného systému vypočítáme souřadnice těžiště y T n i1 y Ti. S i n, z T n i1 z Ti. S i n. (1.1) i1 S i i1 S i 3/Vzhledem k těžištním osám vypočítáme kvadratický moment průřezu J y a J z, případně pokud průřez nemá ani jednu osu symetrie, pak vypočítáme i deviační moment J yt A z da, J zt y da A, J ytzt yzda. A (1.) 4/Vypočítáme hlavní centrální kvadratické momenty a polohu natočení hlavních os kolem středu v těžišti plochy J Tmax,min J yt + J zt ± J yt J zt 4 θ T 1 atan J ytzt J zt J yt. + J ytzt, (1.3) 1. PŘÍKLAD 1 Odvoďte obecně vztahy pro kvadratické momenty obdélníkového průřezu. CZ.1.07/..00/ Obr. 1.1 Rozměry průřezu Souřadný systém si zvolíme do těžiště průřezu, jedná se o obdélníkový průřez o šířce B a výšce H (Obr. 1.1) se dvěmi osami symetrie. Pro výpočet kvadratických momentů průřezu pak využijeme vztahů (budou použity i v následujících příkladech) J yt z da A, J zt y da. (1.4) A Pro odvození vztahů vyjmeme z obdélníkového průřezu ve výšce z element výšky dz a šířky dy ve vzdálenosti y od osy z. Jelikož máme souřadný systém umístěný v těžišti plochy, pak

7 Kvadratický moment a těžiště průřezu nosníku 5 integrační meze v ose y jsou velikosti H/ v kladném i záporném směru a v ose z pak B/ taktéž v záporném i kladném směru osy Obr. 1. Vyjmutí elementu H J yt z dydz z dz 1dy z3 H B B H H B B H 3 H B [y] B BH3 1. (1.5) H J zt y dydz 1dz y dy [y] H B B H H B B H z3 H B 3 B HB3 1. (1.6) Deviační moment setrvačnosti u symetrického průřezu, kde souřadné osy, vůči nimž počítáme moment setrvačnosti, tvoří osy symetrie je nulový. CZ.1.07/..00/

8 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Kvadratický moment I doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

9 OBSAH KVADRATICKÝ MOMENT I Příklad Příklad Příklad CZ.1.07/..00/

10 Kvadratický moment I 3 KVADRATICKÝ MOMENT I OBSAH KAPITOLY: Kvadratický moment průřezu a těžiště plochy. Steinerova věta. CÍL: Kvadratický moment průřezu k posunutým osám, kvadratický moment průřezu k pootočeným osám, deviační moment průřezu, hlavní centrální kvadratický moment průřezu. CZ.1.07/..00/

11 Kvadratický moment I 4.1 PŘÍKLAD Odvoďte obecně vztahy pro kvadratické momenty kruhového průřezu. Obr..1 Rozměry průřezu Jedná se o kruhový průřez o poloměru R. Souřadný systém si opět zvolíme do těžiště průřezu, tudíž do středu kruhu. Kvadratický moment průřezu určíme z elementu (Obr..), který vyjmeme ve vzdálenosti r od středu o tloušťce dr a v úhlové vzdálenosti φ a úhlovém výseku dφ. Kvadratické momenty průřezu J y a J z lze spočítat pomocí transformace do polárních souřadnic. Transformační rovnice mají následující tvar Obr.. Vyjmutí elementu Kde J je jakobián transformace y r cos φ, z r sin φ, J r. J yt (r sinφ) rdrdφ 0 π 0 R (.1) (.) CZ.1.07/..00/

12 Kvadratický moment I 5 (sinφ) dφ r 3 dy 1 φ 1 4 sin (φ) 0 0 π 0 R π J zt (r cosφ) rdrdφ (cosφ) dφ r 3 dy 1 φ sin(φ) 0 0 π 0 R 0 π 0 R π r4 R 4 πr4 4 πd4, 64 0 r4 R 4 πr4 4 πd (.3) Pro integraci výrazu (sinφ) a (cosφ) jsou využity následující vztahy a integrace pomocí substituce (sinφ) 1 1 cos(φ), (cosφ) cos(φ). (.4) Polární kvadratický moment setrvačnosti je pak prostým součtem kvadratických momentů průřezu J y a J z J p J yt + J zt πd πd4 64 πd4 3. (.5). PŘÍKLAD 3 Odvoďte obecně vztahy pro kvadratické momenty čtvrtkruhového průřezu. Obr..3 Rozměry průřezu CZ.1.07/..00/

13 Kvadratický moment I 6 Obr..4 Vyjmutí elementu Podobně jako v předchozím příkladě se jedná o kruhový průřez, nyní ale pouze v rozmezí 0 90, jde tedy o čtvrtkruh o poloměru R. Souřadný systém zde není zaveden to těžiště, ale je orientován podél spodní a levé hrany průřezu. K odvození vztahů pro kvadratický moment průřezu plochy použijeme opět element o rozměrech dφ a dr vyjmutý ve vzdálenosti r od středu a φ od osy y (Obr..4). K odvození využijeme opět transformaci do polárních souřadnic rovnice (.1) a vztahy pro výpočet kvadratických momentů průřezu (rovnice (1.4)) π π R J yt (r sinφ) rdrdφ R (sinφ) dφ r 3 dy 1 φ 1 4 sin (φ) πr4 16 πd4 56. π 0 π 0 R π r J zt (r cosφ) rdrdφ R (cosφ) dφ r 3 dy 1 φ sin(φ) πr4 16 πd π r R 1 π R4 4 R 1 π R4 4 (.6) (.7) CZ.1.07/..00/

14 Kvadratický moment I 7.3 PŘÍKLAD 4 Odvoďte obecně vztahy pro kvadratické momenty trojúhelníkového průřezu. Obr..5 Rozměry průřezu V tomto příkladě je nutné nejprve upozonit na jinou orientaci zvoleného souřadného systému. Kladná osa z směřuje podél levé hrany dolů, osa y pak doprava od vrcholu trojúhelníku. Z trojúhelníku opět vyjmeme element ve vzdálenosti z od osy y výšky dz a ve vzdálenosti y od osy z šířky dy (viz Obr..5). Elementární plocha pak je da dy dz. Horní integrační mez pro souřadnici y je nutné určit z podobnosti trojúhelníků, a to y z B B z y H H. (.8) CZ.1.07/..00/ Obr..6 Vyjmutí elementu Pro výpočet kvadratických momentů setrvačnosti použijeme opět vztahy (1.4.), v tomto případě se jedná o průřez, který nemá osu symetrie, tudíž musíme vypočítat i deviační moment setrvačnosti H J yt 0 J zt 0 H B z H 0 B z H 0 H B z z dydz z [y] H 0 dz B H z4 4 BH 3 0 4, (.9) 0 B z H y dydz y3 3 H B 3 H dz 3 H 3 z4 4 HB 3 0 1, (.10) 0 0 H

15 Kvadratický moment I 8 J ytzt 0 H B z H 0 H yzdydz z y 0 0 B z H dz B H. H z4 4 0 B H 8. (.11) CZ.1.07/..00/

16 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Kvadratický moment II doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

17 OBSAH 3 KVADRATICKÝ MOMENT II Příklad Příklad CZ.1.07/..00/

18 Kvadratický moment II 3 3 KVADRATICKÝ MOMENT II OBSAH KAPITOLY: Kvadratický moment průřezu a těžiště plochy. Steinerova věta. CÍL: Těžiště obecné plochy, kvadratický moment průžezu, kvadratický moment průřezu k posunutým osám, hlavní centrální kvadratický moment průřezu. CZ.1.07/..00/

19 Kvadratický moment II PŘÍKLAD 5 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného složeného průřezu na Obr. 3.1 s jednou osou symetrie. Zadané hodnoty jsou t 5mm; a 10mm; b 0mm. Obr. 3.1 Rozměry průřezu Nejprve si zvolíme souřadný systém (viz Obr. 3.1) za pomocí něhož vypočítáme těžiště obrazce. Složený obrazec si rozdělíme na základní tvary, u nichž známe momenty setrvačnosti (obdélník, čtverec, kruh, ). Pomocí nám může být zapis souřadnic těžišť a ploch jednotlivých elementárních útvarů do tabulky. Rozdělení složeného obrazce na jednotlivé základní tvary a těžiště dílčích ploch je naznačeno na Obr. 3. Obr Obr. 3. Rozdělení na jednotlivé základní tvary CZ.1.07/..00/

20 Kvadratický moment II 5 Obr. 3.3 Těžiště dílčích ploch Tab. 1 Polohy těžiště dílčích ploch i[ ] y Ti [mm] z Ti [mm] S i [mm ] ,5 100 Těžiště složeného obrazce y T y b i1 Ti S i a t + b b t i1 S i a t + b t z T z a i1 Ti S i a t + t + a b t i1 S i a t + b t 10 mm mm, (3.1) , (3.) CZ.1.07/..00/ Obr. 3.4 Poloha těžiště složeného obrazce Do tohoto těžiště (Obr. 3.4) pak rovnoběžně posuneme souřadný systém a počítáme kvadratické momenty setrvačnosti J yt t a3 + a t z 1 T a + b t3 + b t z 1 T + t mm 4, (3.3)

21 Kvadratický moment II 6 t b3 a t3 J zt , 5 mm Zadaný průřez má jednu osu symetrie, která je zároveň i těžištní osou, proto pro výpočet kvadratického momentu setrvačnosti kolem osy z - J zt není potřeba použití Steinerovy věty. První a třetí člen ve výpočtu kvadratických momentů setrvačnosti J yt je moment setrvačnosti základního tvaru, tudíž obdélníku vůči jeho vlastnímu souřadnému systému procházejícím těžištěm základního obrazce označenému na Obr. 3.3 T 1 a T. Druhý a čtvrtý člen jsou pak důsledkem Steinerovy věty a jsou součinem obsahu dané elementární plochy a kvadrátu vzdálenosti těžištní osy elementárního souřadného systému od souřadného systému celého složeného obrazce. Průřez má jednu osu symetrie, kterou tvoří těžištní souřadný systém, proto je deviačmí moment setrvačnosti nulový. 3. PŘÍKLAD 6 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného složeného průřezu na Obr. 3.5 s jednou osou symetrie. Zadané hodnoty jsou B 70mm; H 100mm; D 30mm; a 15mm. Obr. 3.5 Rozměry průřezu a rozdělení na jednotlivé základní tvary Opět si zvolíme souřadný systém, jehož počátek je tentokrát umístěn v levém dolním rohu průřezu. Tentokrát máme obdélník, který má uvnitř vyřezanou kruhovou díru, tudíž při výpočtu těžiště i kvadratických momentů setrvačnosti budeme kruhovou plochu odečítat. Pomocí zvoleného souřadného systému vypočítáme těžiště CZ.1.07/..00/

22 Kvadratický moment II 7 Obr. 3.6 Těžiště dílčích ploch y T i1 y Ti S i i1 S i z T 100 B B H B πd 4 B H πd 4 i1 z TiS i i1 S i π 30 4 π mm, H B H H πd + a 4 B H πd 4 π π ,3 mm. (3.4) (3.5) Obr. 3.7 Poloha těžiště složeného obrazce J yt B H3 1 + B H z T H + πd πd 4 a + H z T (3.6) CZ.1.07/..00/

23 Kvadratický moment II , π π , mm 4, H B3 J zt 1 + πd π mm 4. (3.7) Zadaný průřez má jednu osu symetrie, která je zároveň i těžištní osou, proto pro výpočet kvadratického momentu setrvačnosti kolem osy z - J zt není potřeba použití Steinerovy věty. Průřez má jednu osu symetrie, kterou tvoří těžištní souřadný systém, proto je deviačmí moment setrvačnosti nulový. CZ.1.07/..00/

24 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

25 OBSAH 4 HODNOTY KVADRATICKÝCH MOMENTŮ ZÁKLADNÍCH PRŮŘEZŮ Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů... 4 CZ.1.07/..00/

26 Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů 3 4 HODNOTY KVADRATICKÝCH MOMENTŮ ZÁKLADNÍCH PRŮŘEZŮ OBSAH KAPITOLY: Kvadratický moment základních průřezů. CÍL: Hlavní centrální kvadratické momenty vybraných plochy. CZ.1.07/..00/

27 Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů HODNOTY KVADRATICKÝCH MOMENTŮ ZÁKLADNÍCH PRŮŘEZŮ Tab. 1 Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů Tvar průřezu J zt [m 4 ] Tvar průřezu J zt [m 4 ] bh 3 1 BH 3 bh 3 1 πd 4 64 πr4 4 bh 3 1 πd4 64 π(d 4 d 4 ) 64 π(d 4 d 4 ) 64 Pro a + d D πba 3 4 bh 3 48 h 3 (a + b + 4ab) 36(a + b) bh 3 48 CZ.1.07/..00/

28 Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů 5 h 3 (a + b + 4ab) 36(a + b) bh 3 48 π π D4 bh 3 36 π π D4 bh 3 36 bh 3 (b s)(h h 1 ) 3 1 a 4 1 h 1 b 3 + (h h 1 )s 3 1 a 4 1 CZ.1.07/..00/

29 Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů 6 bh 3 + (H h)b D 4 56 r D bh 3 + (H h)b 3 1 H 4 h 4 1 πd [4(H D) + D ] 64 + D(H D)[(H D) + D ] 1 r D ; H D BH 3 (B b)h [BH (B b)h ] [BH (B b)h] BH 3 (B b)h [BH (B b)h ] [BH (B b)h] CZ.1.07/..00/

30 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Příklady I doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

31 OBSAH 5 PŘÍKLADY I Příklad CZ.1.07/..00/

32 Příklady I 3 5 PŘÍKLADY I OBSAH KAPITOLY: Kvadratický moment průřezu a těžiště plochy. Steinerova věta. CÍL: Těžiště obecné plochy, kvadratický moment průžezu, kvadratický moment průřezu k posunutým osám, kvadratický moment průřezu k pootočeným osám, deviační moment, centrální moment průžezu, konstrukce Mohrovy kružnice. CZ.1.07/..00/

33 Příklady I PŘÍKLAD 7 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného průřezu (viz Obr. 5.1). Zadané hodnoty jsou a 8 mm; b 4 mm; c 8 mm; h 40 mm; t 1 6 mm; t 3 mm; t 3 4 mm. Obr. 5.1 Rozměry průřezu Zvolíme si souřadný systém, jehož počátek je umístěn v levém dolním rohu (viz Obr. 5.1). Pomocí zvoleného souřadného systému vypočítáme těžiště a kvadratické momenty průřezu ke zvoleným osám. y T 3 i1 y Ti S i 3 i1 S i a a t 1 + (h t 1 t ) t 3 t 3 + c + b t b + c a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t (5.1) (40 6 3) (40 6 3) ,8 mm, z T 3 i1 z Ti S i 3 i1 S i h t 1 a t 1 + (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t t a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t (40 6 3) (40 6 3) ,68 mm. (5.) CZ.1.07/..00/

34 Příklady I 5 Obr. 5. Rozdělení na jednotlivé základní tvary J y a t a t 1 h t 1 + (h t 1 t ) 3 t (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t (40 6 3) (40 6 3) mm 4, 3 J z t 1 a 3 + t 3 3 (h t 1 t ) + (h t t ) t 3 t 3 + c + + t b b t b + c (40 6 3) 1 + (40 6 3) mm 4, J yz a t 1 a h t 1 + (h t 1 t ) t 3 t 3 + c h t 1 t + t + + b t b + c t (40 6 3) mm4. (5.3) (5.4) (5.5) CZ.1.07/..00/

35 Příklady I 6 Obr. 5.3 Poloha těžiště složeného obrazce Zadaný průřez nemá osu symetrie, k výpočtu kvadratických momentů průřezu k těžištním osám lze použít například Steinerovu větu. J yt J y [a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] z T [8 6 + (40 6 3) ] 3, mm 4 (5.6), J zt J z [a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T 8875 [8 6 + (40 6 3) ] 13, mm 4 (5.7), J ytzt J yz [a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] z T y T 1114 [8 6 + (40 6 3) ] 3,68 13,8 (5.8) mm 4. K určení hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu a úhlu pootočení od těžištní osy lze použít grafické řešení, které spočívá v konstrukci Mohrovy kružnice (viz Obr. 5.4). CZ.1.07/..00/

36 Příklady I 7 Obr. 5.4 Konstrukce Mohrovy kružnice Obr. 5.5 Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/

37 Příklady I 8 Obr. 5.6 Konstrukce Mohrovy kružnice Obr. 5.7 Výsledná Mohrova kružnice Z daného řešení lze také odvodit následující vztahy. J max J yt + J zt + J yt J zt + J ytzt (5.9) CZ.1.07/..00/

38 Příklady I J min J yt + J zt J yt J zt + J ytzt + ( 7013) mm 4, (5.10) ( 7013) mm 4, α 1 arctg J ytzt 1 J yt J zt arctg ( 7013) 6, 59. (5.11) Obr. 5.8 Zobrazení polohy hlavních centrálních os CZ.1.07/..00/

39 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Příklady II doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

40 OBSAH 6 PŘÍKLADY II Příklad Příklad CZ.1.07/..00/

41 Příklady II 3 6 PŘÍKLADY II OBSAH KAPITOLY: Kvadratický moment průřezu a těžiště plochy. Steinerova věta. CÍL: Těžiště obecné plochy, kvadratický moment průžezu, kvadratický moment průřezu k posunutým osám, kvadratický moment průřezu k pootočeným osám, deviační moment, centrální moment průžezu, konstrukce Mohrovy kružnice. CZ.1.07/..00/

42 Příklady II PŘÍKLAD 8 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného průřezu (viz Obr. 6.1). Zadané hodnoty jsou a 8 mm; b 4 mm; c 8 mm; h 40 mm; t 1 6 mm; t 3 mm; t 3 4 mm. Obr. 6.1 Rozměry průřezu Zvolíme si souřadný systém, jehož počátek je umístěn v levém dolním rohu (viz Obr. 6.1). Pomocí zvoleného souřadného systému vypočítáme těžiště a kvadratické momenty průřezu ke zvoleným osám. y T 3 i1 y Ti S i 3 i1 S i a a t 1 + (h t 1 t ) t 3 t 3 + b t b a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t (6.1) (40 6 3) (40 6 3) ,5 mm, z T 3 i1 z Ti S i 3 i1 S i h t 1 a t 1 + (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t t a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t (40 6 3) (40 6 3) ,68 mm. (6.) CZ.1.07/..00/

43 Příklady II 5 Obr. 6. Rozdělení na jednotlivé základní tvary J y a t a t 1 h t 1 + (h t 1 t ) 3 t (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t (40 6 (6.3) 3) (40 6 3) mm 4, 3 J z t 1 a 3 + t 3 3 (h t 1 t ) + t b (40 6 3) + 3 (6.4) mm 4, J yz a t 1 a h t 1 + (h t 1 t ) t 3 t 3 h t 1 t + t + + b t b t (40 6 3) (6.5) mm4. Zadaný průřez nemá osu symetrie, k výpočtu kvadratických momentů průřezu k těžištním osám lze použít například Steinerovu větu. CZ.1.07/..00/

44 Příklady II 6 Obr. 6.3 Poloha těžiště složeného obrazce J yt J y [a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] z T [8 6 + (40 6 3) ] 3, mm 4 (6.6), J zt J z [a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T [8 6 + (40 6 3) ] 9, mm 4 (6.7), J ytzt J yz [a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T z T 9908 [8 6 + (40 6 3) ] 9,5 3, mm 4 (6.8). K určení hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu a úhlu pootočení od těžištní osy lze použít grafické řešení, které spočívá v konstrukci Mohrovy kružnice (viz Obr. 6.4 až Obr. 6.7). Obr Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/

45 Příklady II 7 Obr Konstrukce Mohrovy kružnice Obr Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/

46 Příklady II 8 Obr Výsledná Mohrova kružnice Z daného řešení lze také odvodit následující vztahy. J max J yt + J zt J yt J zt + J ytzt mm 4, (6.9) J min J yt + J zt J yt J zt + J ytzt mm 4, (6.10) α 1 arctg J ytzt 1 J yt J zt arctg , 06. (6.11) Znaménko pro úhel α se stanoví na základě platné znaménkové dohody (viz přednáškové texty z předmětu Pružnost a pevnost ). V tomto případě je úhel α 11,06. CZ.1.07/..00/

47 Příklady II 9 Obr. 6.8 Zobrazení polohy hlavních centrálních os 6. PŘÍKLAD 9 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného průřezu (viz Obr. 6.9). Zadané hodnoty jsou b 4 mm; h 40 mm; t 1 6 mm; t 3 mm; t 3 4 mm. Obr. 6.9 Rozměry průřezu CZ.1.07/..00/

48 Příklady II 10 Zvolíme si souřadný systém, jehož počátek je umístěn v levém dolním rohu (viz Obr. 6.9). Pomocí zvoleného souřadného systému vypočítáme těžiště a kvadratické momenty průřezu ke zvoleným osám. y T 3 i1 y Ti S i 3 i1 S i b b t 1 + (h t 1 t ) t 3 t 3 + b t 3 + b t b b t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t (6.1) (40 6 3) (40 6 3) ,65 mm, z T 3 i1 z Ti S i 3 i1 S i h t 1 b t 1 + (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t t b t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t (40 6 3) (40 6 3) ,74 mm. (6.13) Obr Rozdělení na jednotlivé základní tvary J y b t b t 1 h t 1 + (h t 1 t ) 3 t (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t (40 6 3) (40 6 3) mm 4, (6.14) CZ.1.07/..00/

49 Příklady II 11 J z t 1 b t 3 3 (h t 1 t ) 1 + (h t 1 t ) t 3 b t 3 + t b (40 6 3) 3 1 (40 6 3) mm 4, J yz b t 1 b h t 1 + (h t 1 t ) t 3 b t 3 h t 1 t + t + + b t b t (40 6 3) mm4. (6.15) (6.16) Zadaný průřez nemá osu symetrie, k výpočtu kvadratických momentů průřezu k těžištním osám lze použít například Steinerovu větu. Obr Poloha těžiště složeného obrazce J yt J y [b t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] z T [4 6 + (40 6 3) ], mm 4, J zt J z [b t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T [4 6 + (40 6 3) ] 15, mm 4, J ytzt J yz [b t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T z T [4 6 + (40 6 3) ] 15,65, mm 4. (6.17) (6.18) (6.19) CZ.1.07/..00/

50 Příklady II 1 K určení hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu a úhlu pootočení od těžištní osy lze použít grafické řešení, které spočívá v konstrukci Mohrovy kružnice (viz Obr. 6.1 až Obr. 6.15). Obr Konstrukce Mohrovy kružnice Obr Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/

51 Příklady II 13 Obr Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/ Obr Výsledná Mohrova kružnice Z daného řešení lze také odvodit následující vztahy. J max J yt + J zt + J yt J zt + J ytzt (6.0)

52 Příklady II J min J yt + J zt J yt J zt + J ytzt + ( 55) mm 4, (6.1) ( 55) mm 4, α 1 arctg J ytzt 1 J yt J zt arctg ( 55) 5, 31. (6.) Znaménko pro úhel α se stanoví na základě platné znaménkové dohody (viz přednáškové texty z předmětu Pružnost a pevnost ). V tomto případě je úhel α +5,31. Obr Zobrazení polohy hlavních centrálních os CZ.1.07/..00/

53 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Příklady III doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

54 OBSAH 7 PŘÍKLADY III Příklad Příklad CZ.1.07/..00/

55 Příklady III 3 7 PŘÍKLADY III OBSAH KAPITOLY: Kvadratický moment průřezu a těžiště plochy. Steinerova věta. CÍL: Těžiště obecné plochy, kvadratický moment průžezu, kvadratický moment průřezu k posunutým osám, kvadratický moment průřezu k pootočeným osám, deviační moment, centrální moment průžezu, konstrukce Mohrovy kružnice. CZ.1.07/..00/

56 Příklady III PŘÍKLAD 10 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného průřezu (viz Obr. 7.1). Zadané hodnoty jsou b 4 mm; c 8 mm; h 40 mm; t 1 6 mm; t 3 mm; t 3 4 mm. Obr. 7.1 Rozměry průřezu Zvolíme si souřadný systém, jehož počátek je umístěn v levém dolním rohu (viz Obr. 7.1). Pomocí zvoleného souřadného systému vypočítáme těžiště a kvadratické momenty průřezu ke zvoleným osám. y T 3 i1 y Ti S i c + t 3 3 i1 S i (c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 c + t 3 + b t c + b (c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t (8 + 4) 6 + (40 6 3) (8 + 4) 6 + (40 6 3) ,61 mm, z T 3 i1 z Ti S i 3 i1 S i h t 1 (c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t t (c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t (8 + 4) 6 + (40 6 3) (8 + 4) 6 + (40 6 3) ,90 mm. (7.1) (7.) CZ.1.07/..00/

57 Příklady III 5 J y (c + t 3) t (h t 1 t ) t 3 h t 1 t Obr. 7. Rozdělení na jednotlivé základní tvary + (c + t 3 ) t 1 h t 1 + (h t 1 t ) 3 t t + b t (40 6 3)3 4 + (8 + 4) 63 + (8 + 4) (40 6 3) J z t 1 (c + t 3 ) (h t 1 t ) t 3 c + t 3 6 (8 + 4)3 3 (40 6 3) t 3 3 (h t 1 t ) (40 6 3) 1 J yz (c + t 3 ) t 1 (c + t 3) mm 4, t b b t c + b mm 4, h t (h t 1 t ) t 3 c + t 3 h t 1 t + t + + b t c + b t (8 + 4) (8 + 4) (7.5) + + (40 6 3) mm4. Zadaný průřez nemá osu symetrie, k výpočtu kvadratických momentů průřezu k těžištním osám lze použít například Steinerovu větu. (7.3) (7.4) CZ.1.07/..00/

58 Příklady III 6 Obr. 7.3 Těžiště dílčích ploch J yt J y [(c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] z T [(8 + 4) 6 + (40 6 3) ] 18,90 (7.6) mm 4, J zt J z [(c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T 4877 [(8 + 4) 6 + (40 6 3) ] 11, mm 4 (7.7), J ytzt J yz [(c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T z T [(8 + 4) 6 + (40 6 3) ] 11,61 18,90 (7.8) mm 4. K určení hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu a úhlu pootočení od těžištní osy lze použít grafické řešení, které spočívá v konstrukci Mohrovy kružnice (viz Obr. 7.4 až Obr. 7.7). CZ.1.07/..00/

59 Příklady III 7 Obr Konstrukce Mohrovy kružnice Obr Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/

60 Příklady III 8 Obr Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/

61 Příklady III 9 Obr Výsledná Mohrova kružnice Z daného řešení lze také odvodit následující vztahy. J max J yt + J zt J yt J zt + J ytzt ( 1774) mm 4, (7.9) J min J yt + J zt J yt J zt + J ytzt ( 1774) mm 4, (7.10) α 1 arctg J ytzt 1 ( 1774) arctg 19, 61. (7.11) J yt J zt Znaménko pro úhel α se stanoví na základě platné znaménkové dohody (viz přednáškové texty z předmětu Pružnost a pevnost ). V tomto případě je úhel α +19,61. CZ.1.07/..00/

62 Příklady III 10 Obr. 7.8 Zobrazení polohy hlavních centrálních os 7. PŘÍKLAD 11 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného průřezu (viz Obr. 7.9). Zadané hodnoty jsou a 8 mm; b 4 mm; c 8 mm; d 7 mm; h 40 mm; Obr. 7.9 Rozměry průřezu Zvolíme si souřadný systém, jehož počátek je umístěn v levém dolním rohu (viz Obr. 7.9). Pomocí zvoleného souřadného systému vypočítáme těžiště a kvadratické momenty průřezu ke zvoleným osám. y T y a πd i1 Ti S i a a b 4 (7.1) i1 S i a a πd 4 CZ.1.07/..00/

63 Příklady III 11 8 π ,48 mm, π z T z a πd i1 TiS i a a c 4 i1 S i a a πd 4 8 π ,31 mm. π (7.13) J y a4 3 πd πd 4 c 84 3 π J z a4 3 πd πd 4 b 84 3 π Obr Rozdělení na jednotlivé základní tvary + π mm 4, + π mm 4, (7.14) (7.15) J yz a a a a πd b c (7.16) π mm4. Zadaný průřez nemá osu symetrie, k výpočtu kvadratických momentů průřezu k těžištním osám lze použít například Steinerovu větu. CZ.1.07/..00/

64 Příklady III 1 J yt J y a a + πd 4 z T J zt J z a a + πd 4 y T Obr Poloha těžiště složeného obrazce π , mm 4, π , mm 4, (7.17) (7.18) J ytzt J yz a a + πd 4 y T z T (7.19) π ,48 14,31 48 mm4. K určení hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu a úhlu pootočení od těžištní osy lze použít grafické řešení, které spočívá v konstrukci Mohrovy kružnice (viz Obr. 7.1 až Obr. 7.15). CZ.1.07/..00/

65 Příklady III 13 Obr Konstrukce Mohrovy kružnice Obr Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/

66 Příklady III 14 Obr Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/

67 Příklady III 15 Obr Výsledná Mohrova kružnice Z daného řešení lze také odvodit následující vztahy. J max J yt + J zt J yt J zt + J ytzt mm 4, (7.0) J min J yt + J zt J yt J zt + J ytzt mm 4, (7.1) α 1 arctg J ytzt 1 J yt J zt arctg 48 30, 96. (7.) Znaménko pro úhel α se stanoví na základě platné znaménkové dohody (viz přednáškové texty z předmětu Pružnost a pevnost ). V tomto případě je úhel α 30,96. CZ.1.07/..00/

68 Příklady III 16 Obr Zobrazení polohy hlavních centrálních os CZ.1.07/..00/

69 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Vzpěr doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

70 OBSAH 8 VZPĚR Obecný postup... 4 CZ.1.07/..00/

71 Vzpěr 3 8 VZPĚR OBSAH KAPITOLY: Pojem stabilita. Pružný vzpěr přímého nosníku. CÍL: Základní příklady Eulerova vzpěru, stanovení kritické síly a kritického napětí. CZ.1.07/..00/

72 Vzpěr OBECNÝ POSTUP Nejprve je nutné ze zadaných veličin stanovit, zda lze použít Eulerovu teorii pro pružný vzpěr nebo využít vzorce pro nepružný vzpěr (např.tetmayer, Jasinský, ). Na Obr. 8.1 lze vidět průběh kritického napětí v závisloti na mezní štíhlosti. Obr. 8.1 Obecné rozdělení vzpěru Mezní štíhlost pak vypočítáme pomocí veličin charakterizující materiál Koeficient n stanovíme dle Tab. 3. Tab. 1 Základní případy vzpěru axiálně zatížených nosníků λ mez π n E σ u. (8.1) SCHÉMA A TVAR PRŮHYBU POPIS Základní případy vzpěru axiálně zatížených nosníků 1. případ. případ 3. případ 4. případ 5. případ 6. případ Vetknutí a volný konec Kloub a posuvný konec Vetknutí posuvný konec a Vetknutí vertikálně posuvné vetknutí a Kloub a horizontáln ě posuvné vetknutí Vetknutí a horizontáln ě posuvné vetknutí KOEFICIENT n Teoretický Praktický CZ.1.07/..00/

73 Vzpěr 5 Štíhlost pak ze zadání vypočítáme pomocí vztahů λ L red j min, j min J Tmin S. (8.) Kritickou sílu pak vypočítáme ze vztahů, dle Eulera (pro λ λ mez ) F krit π E J Tmin. (8.3) L red V případě že se nejedná o pružný vzpěr λ λ mez, zvolíme pro výpočet kritické síly a kritického napětí vztahy podle Tetmayera (8.4) nebo Jasinského (8.5) σ krit a bλ, (8.4) σ krit a bλ + cλ. (8.5) Jasinského vztah nemá smysl v případě, že se jedná o ocel a dřevo kde konstanta c 0MPa. CZ.1.07/..00/

74 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Příklady IV doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

75 OBSAH 9 PŘÍKLADY IV Příklady Příklad CZ.1.07/..00/

76 Příklady IV 3 9 PŘÍKLADY IV OBSAH KAPITOLY: Výpočet pružného vzpěru přímého prutu. CÍL: Stanovení kritické síly a kritického napětí případ uložení prutu. CZ.1.07/..00/

77 Příklady IV PŘÍKLADY 1 Určete kritickou sílu při vzpěru prutu délky L zobrazeného na Obr. 9.1, jež má mezikruhový průřez a je vyroben z oceli. Zadané hodnoty jsou E, MPa, σ u 10 MPa, D 50 mm, d 36 mm, L 1,5 m. Obr. 9.1 Zadání úlohy Na základě materiálových vlastností nejdříve spočítáme mezní štíhlost λ mez π n E π 105,1. σ u ,35. (9.1) Déle z rozměrů konstrukce vypočítáme štíhlost zadaného prutu a porovnáme s mezní štíhlostí. Na základě těchto hodnot potom zvolíme vztah, podle něhož budeme počítat kritickou sílu v prutu. Jelikož se jedná o případ z Tab. 3, volíme konstantu n 1 J min π (D4 d 4 ) π ( ) mm 4. (9.) Obsah mezikruží S π (D d ) π (50 36 ) 945,6 mm. (9.3) 4 4 Minimální poloměr kvadratického momentu plochy j min J Tmin S Štíhlost zadaného prutu ,6 15,4 mm. (9.4) λ L red j min ,4 97,4. (9.5) λ < λ mez nepružná oblast Tetmayerův vztah (9.6) Jelikož je mezní štíhlost menší než štíhlost zadaného prutu, nacházíme se v nepružné oblasti a pro výpočet kritické síly musíme použít Tetmayerův vztah (8.4). σ krit a bλ 30 1, 97,4 03,1MPa. (9.7) Konstanty a a b pro ocel jsou dané (a 30 MPa, b 1, MPa) Kritickou sílu, kterou konstukce ještě přenese, aniž by došlo ke ztrátě stability tvaru, pak vypočteme pomocí již známé hodnoty σ krit F krit σ krit S 03,1 945, N 19 kn. (9.8) CZ.1.07/..00/

78 Příklady IV 5 9. PŘÍKLAD 13 Prut na Obr. 9. je na jedné straně vetknut a na druhé straně umístěn vertikálně posuvně a má výšku h m. Prut je vyroben ze dřeva o materiálových vlastnostech E MPa, σ u 19,5 MPa. Průřez prutu nemá žádnou osu symetrie a je zobrazen na Obr. 9.. Obr. 9. Zadání úlohy Pro uložení dřevěného prutu z Obr. 9. je koeficient n 0,5 dle Tab. 3. Nejprve spočítáme mezní štíhlost prutu λ mez π n E π σ u 19,5 17,3. (9.9) Minimální poloměr kvadratického momentu plochy Štíhlost zadaného prutu je j min J Tmin S 5 818,6 68 4,66 mm. (9.10) λ h red 0, ,6, j min 4,66 (9.11) λ > λ mez pružná oblast Eulerův vztah. (9.1) Jelikož je mezní štíhlost prutu menší než štíhlost prutu, nacházíme se v pružné oblasti a pro výpočet kritické síly můžeme použít Eulerův vztah F krit π E J Tmin π ,6 h red (0,5 000) 459 N. (9.13) CZ.1.07/..00/

79 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Příklady V doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

80 OBSAH 10 PŘÍKLADY V Příklady CZ.1.07/..00/

81 Příklady V 3 10 PŘÍKLADY V OBSAH KAPITOLY: Výpočet pružného vzpěru přímého prutu. CÍL: Stanovení kritické síly a kritického napětí případ uložení prutu. CZ.1.07/..00/

82 Příklady V PŘÍKLADY 14 Vetknutý prut vyrobený z oceli je zahříván a tímto působením může dojít ke ztrátě stability tvaru prutu. Určete teplotní rozdíl, při kterém ke ztrátě stability dojde a jaká je tímto kritickým působením vyvinuta síla. Zadané hodnoty jsou E, MPa, σ u 10 MPa, α C 1. Rozměry průřezu jsou zadané na Obr Obr Zadání úlohy Kritickou hodnotu síly, kterou zahřívaný prut přenese, aniž by došlo se ztrátě stability tvaru, vypočteme za pomocí vztahu pro tepelnou deformaci F krit σ t S E ε t S E α ΔT S. (10.1) Tuto kritickou sílu můžeme vypočítat i pomocí vztahů pro ztrátu stability tvaru F krit π E J Tmin. (10.) L red Porovnáním vztahů (10.1) a (10.) pak můžeme vypočítat rozdíl teploty ΔT, při které dojde ke ztrátě stability tvaru ΔT π J Tmin. (10.3) α S L red Nejprve je opět nutné posoudit konstrukci z hlediska možnosti použítí Eulerovi nebo Tetmayerovy teorie. Mezní štíhlost pro ocel, kde vetknutý prut má konstantu n λ mez π n E π 105,1. σ u 10 49,68. (10.4) Pro štíhlost zadaného prutu musíme nejdříve určit minimální kvadratický moment průřezu. Jelikož se jedná o průřez s jednou osou symetrie (viz Obr. 10.1), je nutné vypočítat nejdříve těžiště a poté spočítat kvadratické momenty průřezu vůči těžištním osám. Výpočet těžiště y T 5mm, (10.6) (10.5) z T 40mm. (10.7) Výpočet kvadratických momentů průřezu J yt (40 5) (55 40) 1 1 (10.8) mm 4, CZ.1.07/..00/

83 Příklady V (10.9) J zt mm 4 J 1 1 Tmin. Tímto jsme stanovili hodnotu minimálního kvadratického momentu průřezu a to J Tmin mm 4. Obsah plochy průřezu S mm. (10.10) Minimální poloměr kvadratického momentu průřezu Štíhlost zadaného prutu j min J Tmin S ,4 mm. (10.11) λ L red ,3. (10.1) j min 10,4 λ > λ mez pružná oblast Eulerův vztah (10.13) Jedná se o pružný vzpěr tudíž lze použít Eulerovu teorii pro výpočet kritické síly F krit π E J Tmin π, L red (.1000) N. (10.14) Ze vztahu (10.3) pak určíme maximální rozdíl teplot ΔT π J Tmin π α S L red ,3 C. (10.15) CZ.1.07/..00/

84 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Obecný postup řešení vzpěru v pružně plastické oblasti doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

85 OBSAH 11 OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ VZPĚRU V PRUŽNĚ PLASTICKÉ OBLASTI Obecný postup řešení vzpěru v pružně plastické oblasti... 4 CZ.1.07/..00/

86 Obecný postup řešení vzpěru v pružně plastické oblasti 3 11 OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ VZPĚRU V PRUŽNĚ PLASTICKÉ OBLASTI OBSAH KAPITOLY: Obecný postup řešení vzpěru v pružně plastické oblasti. CÍL: Vzpěr v pružně plastické oblasti, síly a kritického napětí. CZ.1.07/..00/

87 Obecný postup řešení vzpěru v pružně plastické oblasti OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ VZPĚRU V PRUŽNĚ PLASTICKÉ OBLASTI Vzpěr v pružně plastické oblasti V oblasti pružně plastické oblasti je možné vzpěr řešit metodami, které je možné rozdělit podle principu na: Metodu redukce modulu pružnosti. Metodu nahrazení závislosti σ krit λ experimentálně získanými konstantami. Metodu využívající součinitel vzpěrnosti. První z uvedených metod rozšiřuje platnost vztahů odvozených pro oblast pružných deformací zavedením tzv. redukovaného modulu pružnosti, který je možné vyjádřit ve tvaru E red E t dσ dε. (11.1) Kde E t je tzv. tangenciální modul pružnosti (viz Obr. 11.1). Pro obdélníkový profil podle Kármana platí Obr Závislost modulu pružnosti na poměrné deformaci E red 4 E E t E + E t. (11.) Tento vztah je pak možno použít i pro jednoduché plné průřezy jiného tvaru zavedením korekčního faktoru η. Kritickou sílu pak dostáváme ve tvaru F krit η π E red J Tmin. (11.3) L red V mnoha případech se křivka diagramu σ krit λ pro pružně plastickou oblast nahrazuje experimentálně získanou závislostí. Nejčastěji se však používá výpočet podle Tetmayera, který předpokládá tvar funkce σ krit (λ) pro houževnaté materiály ve tvaru σ krit a b λ. Pro křehké materiály (litina) přidává Tetmayer další člen CZ.1.07/..00/ (11.4) σ krit a b λ + c λ. (11.5)

88 Obecný postup řešení vzpěru v pružně plastické oblasti 5 Kde a, b, c jsou konstanty. Pokud ale tyto konstanty neznáme, je možné přímku grafu proložit bodami A: (λ 0 ; σ krit σ k ); B: (λ λ m ; σ krit σ k ). Někdy se σ krit σ k může považovat až po hodnotu λ 30. Poslední z uvedených metod má svoje uplatnění tam, kde je variabilita používaných materiálů malá (stavebnictví). Hodnoty kritických napětí jsou pro jednotlivé štíhlosti, materiály a typy průřezů spracované v tabulkách. Údaje jsou společné pro oblast pružných i pro pružně plastických deformací. V tabulkách uvedených v normách ČSN jsou místo absolutních hodnot napětí bezrozměrná čísla φ nebo c, které nazýváme součinitele vzpěrnosti. Pevnostní podmínka při namáhání na vzpěr má podle normy tvar N S φ R (11.6) Kde je: N výpočtová osová síla S neoslabená plocha průřezu φ součinitel vzpěrnosti odpovídající štíhlosti prutu λ, uložení prutu a tvaru prutu R základní výpočtová pevnost podle ČSN N S c σ D (11.7) Kde σ D je dovolené napětí pro daný materiál, c je součinitel vzpěrnosti. CZ.1.07/..00/

89 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Příklad VI doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

90 OBSAH 1 PŘÍKLAD VI Příklad Příklad CZ.1.07/..00/

91 Příklad VI 3 1 PŘÍKLAD VI OBSAH KAPITOLY: Řešení vzpěru v pružně plastické oblasti přímého nosníku. CÍL: Základní příklad Tetmayerova vzpěru, stanovení kritické síly dle ČSN normy. CZ.1.07/..00/

92 Příklad VI PŘÍKLAD 15 Duralová trubka o délce L 1,8 m s venkovním průměrem pruřezu D 60 mm, vetknutá na obou koncích je zatížena osovou silou F 100 kn. Určete potřebnou tloušťku stěny trubky, pokud je koeficient bezpečnosti k a konstanty dle Tetmayera jsou: a 336 MPa, b,8 MPa. Uvažujme vnitřní průměr trubky rovno d 50 mm. Napětí v trubce s ohledem na koeficient bezpečnosti budeme kontrolovat s kritickým napětím určeným dle Tetmayera. k N k 4 N σ S π(d d ) π( ,5 MPa (1.1) ) Štíhlost prutu pro zvolený vnitřní průměr má hodnotu: β L β L 4 β L λ j min π(d 4 d 4 ) 4 64 π(d d ) Tomu odpovídá dle Tetmayera kritické napětí: 4 0,5 1, ,1. D d (1.) σ krit a b λ 336,8 46,1 06,94 MPa. (1.3) Protože napětí v trubce σ je vetší jak kritické σ krit je zřejmé že trubka na vzpěr nevyhovuje. Opakujeme tedy výpočet pro vnitřní průměr d 48 mm. k N k 4 N σ S π(d d ) π( ,5 MPa (1.4) ) β L β L 4 β L 4 0,5 1,8 103 (1.5) λ 46,85. j min π(d 4 d 4 ) D d π(d d ) σ krit a b λ 336,8 46,1 04,8 MPa. (1.6) Trubka s vnitřním průměrem d 48 mm, tedy s tloušťkou stěny 6 mm VYHOVUJE. 1. PŘÍKLAD 16 Sloup vyrobený z oceli o délce L 6 m s průřezem složeným z dvou profilů U a dvou pásnic 30x10 mm (viz obr Obr. 1.1) je na obou koncích kloubově uchycen a zatížen osovou sílou F. Jednotlivé části jsou spojeny nýty s průměrem d 0 mm. Rozměry potřebné pro výpočet jsou zobrazeny na obr Obr Dle ČSN normy určete největší přípustnou hodnotu zátěžné síly, pokud je základní výpočtová pevnost válcovaných profilů R 10 MPa a hodnota součinitele vzpěrnosti je φ 0,89. CZ.1.07/..00/

93 Příklad VI 5 CZ.1.07/..00/ Obr. 1.1 Rozměry průřezu Určíme nejmenší centrální kvadratický moment průřezu. Geometrická charakteristika pro válcovaný profil U je dle normy: J y mm 4 Plocha celého průřezu je rovna J z mm 4 S 3, mm S (3, ) 13, mm. (1.7) Podle Steinerovy věty platí J y ( ) , mm 4. (1.8) J z ,4 3, , mm 4 Protože J y > J z je minimální poloměr kvadratického momentu průřezu (1.9) j min j z j J z S 98,79 mm. (1.10) Štíhlost zadaného prutu β L λ ,7. (1.11) j min 98,79 Největší přípustná hodnota osové síly je N φ R S 0, ,17 kn. (1.1) Pro zeslabený průřez provedeme kontrolu pevnosti na tlak

94 Příklad VI 6 Přičemž σ max N S osl R (1.13) S osl S 4 0(10 + 1,5) 1080 mm (1.14) Vyjádříme výpočtovou osovou sílu N R S osl ,8 kn (1.15) Největší přípustná hodnota zátěžné síly je rovna F krit N 536,8 kn (1.16) CZ.1.07/..00/