Digitální učební materiál

Transkript

1 Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ..07/.5.00/ Inovujeme, inovujeme III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_3_INOVACE_CH9 ŠVP Podnikání RVP 64-4-L/5 Podnikání Ročník 3. Předmět Cvičení z matematiky Zpracoval(i) Mgr. E. Pokorná, Mgr. P Jurtíková, Mgr. M. Vašíčková, Mgr. G. Vargová, Mgr. M. Zichová, Mgr. L. Šíbl, Mgr. J. Bukvaldová Kdy II/03 Tematická oblast Algebra Téma Goniometrické funkce Klíčová slova Algebra/Goniometrické funkce, rovnice a výrazy/goniometrie, rovnice, výraz, slovní úloha, funkce, sin, cos, tg, cotg, graf Toto dílo obsahuje citace v souladu s 3 odst. písm. c) zákona č. /000 Sb., o právu autorském a může být použito výhradně při vyučování. Anotace DUM obsahuje dva druhy pracovních listů na téma Goniometrické funkce. Jeden pracovní list je učitelským listem, kde jsou všechny příklady řazeny za sebou, pro rychlý přehled učitele. Na konci tohoto přehledu jsou výsledky všech příkladů. Druhým pracovním listem je pracovní list pro studenty. Zde jsou identické příklady jako v učitelském listu, navíc je zde prostor pro samotné výpočty studentů. Typ interakce: frontální Soubor název VY_3_INOVACE_CH9 Goniometrické funkce_ul.docx VY_3_INOVACE_CH9 Goniometrické funkce_pl.docx Soubor popis obsahu Učitelské listy s přehledem a výsledky příkladů Pracovní listy s příklady, prostorem pro výpočty a výsledky příkladů Metodický list Se studenty je dané téma probráno teoreticky. Následuje procvičení daného tématu pomocí pracovních listů. Tyto listy se řeší přímo jako cvičení v hodině. Každý student má své pracovní listy sám pro sebe a vpisuje řešení hned do nich. Je možné zadat i některé úlohy jako samostatnou práci v hodině či jako úlohu na domácí výpočty. Student k řešení smí používat kalkulátor i matematické tabulky. Píše propisovací tužkou, obyčejná tužka nesmí být používána mimo náčrtky. Pro kontrolu výsledků souží přehled výsledků na konci každého pracovního listu. Učitel může sám rozhodnout, zda výsledky pro studenty zpřístupní či nikoli. Jako zpětná vazby slouží monotematické testy na dané téma v inovaci VY_3_INOVACE_CH9 Goniometrické funkce.

2 Oba typy pracovních listů jsou zveřejněny a zpřístupněny na Moodle školy ( v kurzu Mgr. Jurtíkové Matematika, heslo je matematika. Studenti jsou dále rozděleni do skupin podle tříd pro větší přehlednost. Učitel může dále sledovat aktivitu studentů, zda se o dané téma zajímali. Veškeré příklady byly čerpány z následujících dostupných zdrojů: AUTOR NEUVEDEN. Testy a zadání [online]. [cit ]. Dostupný na WWW: FUCHS, Eduard; KUBÁT, Josef a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 00, ISBN SÝKORA, Václav a kol. Matematika sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky (základní obtížnost). Praha: Tauris, 00, ISBN HEJKRLÍK, Pavel. Matematika rovnice a nerovnice. Opava: Nakladatelství SSŠP, 006, ISBN HEJKRLÍK, Pavel. Matematika rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. Opava: Nakladatelství SSŠP, 007, ISBN HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 00, ISBN

3 . GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY. GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE, VÝRAZY ) V obdélníku svírá úhlopříčka se stranou a délky cm úhel cos α = 0,8. Jaká je délka druhé strany b obdélníku? ) Jakou hodnotu má funkce cotg x, jestliže tg x = 0,4 a x 0; π? 3) Vrchol věže V sledujeme z místa A pod úhlem α a z místa B, které je v horizontálním směru o x metrů blíže k patě věže, pod úhlem β (viz obrázek). Vztah mezi uvedenými veličinami a výškou věže v je vyjádřen vzorcem x = v v. tg α tg β a) Pro hodnoty α = 45, β = 60, v = 50 m vypočtěte vzdálenost x. Výsledek vyjádřený v metrech zaokrouhlete na celé číslo. b) Z uvedeného vztahu x = v tg α v tg β vyjádřete výšku věže v obecně. 4) Součástí parcely je část cesty TR. Majitel platí za její zimní úklid. Účtuje se každý započatý 0metrový úsek cesty. Kolik 0metrových úseků je majiteli zaúčtováno?

4 5) Na plánu jsou vyznačeny údaje pořízené při zaměřování vrtné věže V ze dvou stanovišť A a B. a) Pod jakým zorným úhlem je možné od paty věže V sledovat obě stanoviště A a B současně?. GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY b) Určete s přesností na celé metry přímou vzdálenost stanoviště B od vrtné věže V. 6) Jak dlouhý stín vrhá člověk vysoký 80 cm na vodorovnou podložku, jestliže světelné paprsky svírají s podložkou úhel 50? (Situaci zobrazte) A) 80 sin 50 B) 80 sin 50 C) 80 cos 50 D) 80 tg 50 E) 80 tg 50 7) V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C má úhel CAB velikost α = 60. Strana AC má délku b = 6 3. a) Vypočtěte délku strany BC b) Vypočtěte velikost výšky v na přeponu AB

5 8) Určete hodnotu výrazu V(a) = sin α, je-li cotg α =. cos α. GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY 9) V pravoúhlém trojúhelníku jsou délky odvěsen a. Úhel φ leží proti delší odvěsně. Ke každé z goniometrických funkcí úhlu φ uvedených v úlohách a) d) vybírejte odpovídající hodnotu z nabídky A) F). a) tg φ b) cotg φ c) sin φ d) cos φ A) 3 B) 3 C) D) 3 E) 3 4 F) 4 0) V rovnoběžníku ABCD se středem S má strana AB velikost a = 5 cm, úhel ABS je pravý a úhlopříčka BD má velikost f = cm. a) Proveďte náčrtek. b) Vypočtěte obvod o čtyřúhelníku ABCD. c) Vypočtěte velikost vnitřního úhlu α rovnoběžníku ABCD při vrcholu A. Zaokrouhlete na stupně. d) POZOR! Bez náčrtku nebude úloha ohodnocena!

6 . GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY ) Řešte rovnice a proveďte zkoušku a) sin x + = 3 sin x b) cos x = 3,4 c) sin(3x ) = d) sin 4x = 3 e) sin 3x = 0 f) cos x π 4 = 0

7 . GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY ) Řešte rovnici a proveďte zkoušku a) sin 3x sin 3x = 0 b) sin 5x cos x = 3 cos x c) cos x = d) 4sin 3x = 3 e) cos x cos x + tg x 3 = 0 f) ( sin x) + 3 = 7 cos x

8 . GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY 3) Upravte a) sin x cos x = b) 5 sin x cos x = c) tg x cos x sin x cos x + sin x = d) cotg x+ +tg x = e) (sin x sin 3 x) (cos x cos 3 x ) = f) sin x cos x cos x sin x =

9 . GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY 4) Nejmenší kladné číslo x, pro něž má funkce y = cos x stejnou funkční hodnotu jako pro x = 5 π, je: 6 A) 4 π B) 6 π C) 7 6 π D) 7 4 π E) 5 6 π 5) Maximální hodnota funkce y = tg x cotg x je: A) 0 B) C) π D) π E) neexistuje 6) Množina všech x 0; π), pro která platí sin x < cos x, je: A) 4 π; π 5 4 π; π B) 4 π; π 4 π; 3 4 π C) 4 π; 3 4 π 5 4 π; π D) 4 π; 5 4 π E) 4 π; 3 4 π 7) Počet řešení rovnice tg x = 0 v intervalu 0; π) je: A) 0 B) C) D) 3 E) 4 8) Jestliže cos α = 3, potom číslo sin α je rovno: A) B) - C) nebo D) 3 nebo E) 3

10 9) Zjednodušením výrazu tg α cos α. GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY pro přípustné hodnoty dostaneme: A) cos α B) sin α C) sin α D) cos α E) tg α 0) Zjednodušením výrazu dostaneme: sin x sin x = pro přípustné hodnoty cos x +sin x A) sin x cos x B) tg x C) cos x sin x D) cotg x E) tg x sin x

11 . GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY Výsledky: ) 9 cm ),5 3) a) m; b) 4) 3 x tg α tg β tg β tg α 5) a) 35 ; b) 849 m 6) E 7) a) 8; b) 9 8) 9) a) C; b) F; c) D; d) A 0) a) Nákres; b) 36 cm; c) 67 ) a) π 6 + kπ; 5π 6 + kπ b) nemá řešení; c) 9 + k 0 ; 49 + k 0 d) 60 + k 90 ; 75 + k 90 e) kπ 3 f) π + (k + ) π = 3 π + kπ 4 4 ) a) kπ ; π + kπ ; b) (k + ) π ; π + 4kπ ; 4π + 4kπ c) π + kπ d) π + kπ ; 4π + kπ e) π 4 + kπ;,49 + kπ f) π 3 + kπ; 5π 3 + kπ 3) a) b) 5( + cos x) c) 4) E 5) B 6) D 7) C 8) C 9) D 0) A d) cotg x e) tg x f) tg x

12 . GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY. GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE, VÝRAZY ) V obdélníku svírá úhlopříčka se stranou a délky cm úhel cos α = 0,8. Jaká je délka druhé strany b obdélníku? ) Jakou hodnotu má funkce cotg x, jestliže tg x = 0,4 a x 0; π? 3) Vrchol věže V sledujeme z místa A pod úhlem α a z místa B, které je v horizontálním směru o x metrů blíže k patě věže, pod úhlem β (viz obrázek). Vztah mezi uvedenými veličinami a výškou věže v je vyjádřen vzorcem x = v v. tg α tg β a) Pro hodnoty α = 45, β = 60, v = 50 m vypočtěte vzdálenost x. Výsledek vyjádřený v metrech zaokrouhlete na celé číslo. b) Z uvedeného vztahu x = v tg α v tg β 4) Součástí parcely je část cesty TR. Majitel platí za její zimní úklid. Účtuje se každý započatý 0metrový úsek cesty. Kolik 0metrových úseků je majiteli zaúčtováno? 5) Na plánu jsou vyznačeny údaje pořízené při zaměřování vrtné věže V ze dvou stanovišť A a B. a) Pod jakým zorným úhlem je možné od paty věže V sledovat obě stanoviště A a B současně? b) Určete s přesností na celé metry přímou vzdálenost stanoviště B od vrtné věže V. vyjádřete výšku věže v obecně. 6) Jak dlouhý stín vrhá člověk vysoký 80 cm na vodorovnou podložku, jestliže světelné paprsky svírají s podložkou úhel 50? (Situaci zobrazte) A) 80 sin 50 B) 80 sin 50 C) 80 cos 50 D) 80 tg 50 E) 80 tg 50 7) V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C má úhel CAB velikost α = 60. Strana AC má délku b = 6 3. a) Vypočtěte délku strany BC b) Vypočtěte velikost výšky v na přeponu AB

13 8) Určete hodnotu výrazu V(a) = sin α, je-li cotg α =. cos α. GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY 9) V pravoúhlém trojúhelníku jsou délky odvěsen a. Úhel φ leží proti delší odvěsně. Ke každé z goniometrických funkcí úhlu φ uvedených v úlohách a) d) vybírejte odpovídající hodnotu z nabídky A) F). a) tg φ b) cotg φ c) sin φ d) cos φ A) 3 B) 3 C) D) 3 E) 3 4 F) 4 0) V rovnoběžníku ABCD se středem S má strana AB velikost a = 5 cm, úhel ABS je pravý a úhlopříčka BD má velikost f = cm. a) Proveďte náčrtek. b) Vypočtěte obvod o čtyřúhelníku ABCD. c) Vypočtěte velikost vnitřního úhlu α rovnoběžníku ABCD při vrcholu A. Zaokrouhlete na stupně. d) POZOR! Bez náčrtku nebude úloha ohodnocena! ) Řešte rovnice a proveďte zkoušku a) sin x + = 3 sin x b) cos x = 3,4 c) sin(3x ) = d) sin 4x = 3 e) sin 3x = 0 f) cos x π 4 = 0 ) Řešte rovnici a proveďte zkoušku a) sin 3x sin 3x = 0 b) sin 5x cos x = 3 cos x c) cos x = d) 4sin 3x e) cos x cos x + tg x 3 = 0 f) ( sin x) + 3 = 7 cos x

14 . GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY 3) Upravte a) sin x cos x = b) 5 sin x cos x = c) tg x cosx sin x cos x + sin x = d) cotg x+ +tg x = e) (sin x sin 3 x) (cos x cos 3 x ) = f) sin x cos x cos x sinx = 4) Nejmenší kladné číslo x, pro něž má funkce y = cos x stejnou funkční hodnotu jako pro x = 5 π, je: 6 A) 4 π B) 6 π C) 7 6 π D) 7 4 π E) 5 6 π 5) Maximální hodnota funkce y = tg x cotg x je: A) 0 B) C) π D) π E) neexistuje 6) Množina všech x 0; π), pro která platí sin x < cos x, je: A) 4 π; π 5 4 π; π B) 4 π; π 4 π; 3 4 π C) 4 π; 3 4 π 5 4 π; π D) 4 π; 5 4 π E) 4 π; 3 4 π 7) Počet řešení rovnice tg x = 0 v intervalu 0; π) je: A) 0 B) C) D) 3 E) 4 8) Jestliže cos α = 3, potom číslo sin α je rovno: A) B) - C) nebo D) 3 nebo E) 3 9) Zjednodušením výrazu tg α cosα pro přípustné hodnoty dostaneme: A) cos α B) sin α C) sin α D) cos α E) tg α 0) Zjednodušením výrazu sin x = pro přípustné hodnoty dostaneme: sin x cos x +sin x A) sin x cos x B) tg x C) cos x sin x D) cotg x E) tg x sin x

15 . GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A VÝRAZY Výsledky: ) 9 cm ),5 3) a) m; b) 4) 3 x tg α tg β tg β tg α 5) a) 35 ; b) 849 m 6) E 7) a) 8; b) 9 8) 9) a) C; b) F; c) D; d) A 0) a) Nákres; b) 36 cm; c) 67 ) a) π 6 + kπ; 5π 6 + kπ b) nemá řešení; c) 9 + k 0 ; 49 + k 0 d) 60 + k 90 ; 75 + k 90 e) kπ 3 f) π 4 + (k + ) π = 3 4 π + kπ ) a) kπ ; π + kπ ; b) (k + ) π ; π + 4kπ ; 4π + 4kπ c) π 8 + kπ 4 d) π + kπ ; 4π + kπ e) π + kπ;,49 + kπ 4 f) π + kπ; 5π + kπ 3 3 3) a) b) 5( + cos x) c) d) cotg x e) tg x f) tg x 4) E 5) B 6) D 7) C 8) C 9) D 0) A