Jihoeská univerzita v eských Budjovicích Pedagogická fakulta

Transkript

1 Jihoeská univerzita v eských Budjovicích Pedagogická fakulta Konstrukní úlohy ešené pomocí Cabri geometrie Miroslava Lutzová Finanní matematika Vedoucí diplomové práce: Mgr. Pavel Leischner Most, 26. bezna 2004

2 Anotace Název: Konstrukní úlohy ešené pomocí Cabri geometrie Vypracovala: Miroslava Lutzová Vedoucí práce: Mgr. Pavel Leischner Klíová slova: Cabri geometrie, planimetrie, Apolloniovy úlohy, Pappovy úlohy. Cílem této práce je vyešit Apolloniovy a Pappovy úlohy mén známými metodami (Gergonnova metoda, dilatace ) a ešení zpracovat jako interaktivní obrázky v Cabri geometrii

3 Dkuji panu Mgr. Leischnerovi za pomoc pi vypracování této bakaláské práce a za prohloubení vdomostí ohledn metod a dkaz v této bakaláské práci

4 Prohlašuji, že jsem bakaláskou práci vypracovala samostatn s použitím uvedené literatury a zdroj informací. V eských Budjovicích 26. bezna podpis - 4 -

5 Obsah 1. Úvod Apollonios z Pergy Historití ešitelé Apolloniových úloh Pehled všech Apolloniových a Pappových úloh 6 2. Pehled základních poznatk Stejnolehlost Stejnolehlost kružnic Konstrukce sted stejnolehlosti Mocnost bodu ke kružnici Vty o mocnosti Význam ísla m(m,k) v analytické geometrii Vty o chordále Jak sestrojit chordálu Mongeova vta Polární vlastnosti kružnice Polarita v souvislosti s kruhovou inverzí Dležité vlastnosti polarity Dilatace Užití dilatace pi sestrojování teen dvou kružnic Gergonnovo ešení obecné Apolloniovy úlohy Pappovy úlohy Úloha typu Bp B Úloha typu pp B Úloha typu kp B Úloha typu Bk B Úloha typu pk B Úloha typu kk B Apolloniovy úlohy Úloha bod-bod-bod Úloha bod-bod-pímka Úloha bod-bod-kružnice Úloha bod-pímka-pímka Úloha bod-pímka-kružnice Úloha bod-kružnice-kružnice Úloha pímka-pímka-pímka Úloha pímka-pímka-kružnice Úloha pímka-kružnice-kružnice Úloha kružnice-kružnice-kružnice Podrobnjší konstrukce desáté Apolloniovy úlohy 47 Závr 48 Seznam použité literatury

6 1. ÚVOD 1.1 Apollonios z Pergy Apolloniovy úlohy se jmenují podle eckého geometra Apollonia z Pergy (kolem r. 200 p. Kr.). Apolloniova úloha spoívá v sestrojení kružnice, která se dotýká tí daných geometrických útvar (bod, pímek, kružnic). Apollonios formuloval znní tchto úloh pro ti zadané kružnice ve své knize O dotycích (De tactionibus). Tento spis se bohužel nezachoval, takže není bezpen známo, jaké ešení tento velký geometr provedl. Soudí se však, že podal ešení i pro obecný pípad, a zdá se, že využil dilataci asi tak, jak to uveejnil r v Paíži francouzský matematik Viéte ve spise Apollonius Gallus. 1.2 Historití ešitelé Apolloniových úloh Jedním z dalších ešitel Apolloniovy úlohy byl Viétv vrstevník Adrian van Roomen. Ten ešil úlohu pomocí kuželoseek. Dalšími slavnými ešiteli byli Fermat, Newton, Euler, Carnot, pozdji Plücker, Casey a jiní. Ti ešili úlohy cestou syntetickou i analytickou. ešením zvlášt jednoduchým a elegantním pispl francouzský matematik Gergonne, pak Gaultier a pozdji Fouché. Nmecký geometr W. Fiedler provedl ešení užitím cyklografie. Dalším ešitelem byl i eský geometr J. Sobotka. Profesor karlínské reálky F. Machovec odvodil Gergonnovo ešení deskriptivní geometrií a V. Jarolímek geometrií projektivní, a to kolineací. 1.3 Pehled všech Apolloniových a Pappových úloh Obecn lze Apolloniovu úlohu formulovat nap. takto: Jsou dány ti útvary k 1, k 2, k 3, které mohou být kruhové kivky (tj. kružnice nebo pímky) nebo body. Sestrojte kružnici k, která se tchto útvar k 1, k 2, k 3 dotýká. Je zejmé, že vstupní objekty mžeme kombinovat, ímž získáme 10 typ zadání Apolloniových úloh oznaovaných podle vstupních objekt: 1. BBB tzn. bod, bod, bod 2. BBp tzn. bod, bod, pímka 3. BBk tzn. bod, bod, kružnice 4. Bpp tzn. bod, pímka, pímka 5. Bpk tzn. bod, pímka, kružnice 6. Bkk tzn. bod, kružnice, kružnice 7. ppp tzn. pímka, pímka, pímka 8. ppk tzn. pímka, pímka, kružnice 9. pkk tzn. pímka, kružnice, kružnice 10. kkk tzn. kružnice, kružnice, kružnice. V souasnosti se nkteré (ty nejjednodušší) typy Apolloniových úloh objevují již v uivu základních škol. S první Apolloniovou úlohou se žáci setkávají v šestém roníku. Jde o úlohu bbb, jejímž ešením je kružnice opsaná trojúhelníku. V uivu vyšších roník ZŠ bychom dále nalezli nap. nkteré varianty úloh bkk, ppp i pkk. Všechny tyto úlohy žáci eší pomocí metody množin bod dané vlastnosti

7 S dalšími typy, nap. bpp nebo ppk, se žáci setkávají na stedních školách. Konkrétn ešení jmenovaných dvou úloh bývá pojímáno, jako cviení na využití stejnolehlosti. V souvislosti s Apolloniovými úlohami nemžeme opomenou tzv. Pappovy úlohy. Jsou pojmenovány po eckém matematikovi a filozofovi Pappovi z Alexandrie (pelom 3. a 4. století n. l.). Pappovy úlohy jsou konkretizací úloh Apolloniových. Musí být zadán alespo jeden bod a alespo jedna kivka tak, že daný bod leží na kivce, které se má hledaná kružnice dotýkat. Tchto úloh existuje šest: 1. Bp B tzn. bod, pímka na které leží bod 2. pp B tzn. pímka, pímka na které leží bod 3. kp B tzn. kružnice, pímka na které leží bod 4. Bk B tzn. bod, kružnice na které leží bod 5. pk B tzn. pímka, kružnice na které leží bod 6. kk B tzn. kružnice, kružnice na které leží bod

8 2. Pehled základních poznatk V této kapitole je uveden pehled poznatk, které budeme potebovat k ešení Apolloniových úloh v této práci. Vty, které jsou na stedních školách obvykle uvádny, nedokazujeme. Pi dkazech ostatních vt vycházíme ze znalosti stedoškolského uiva. 2.1 Stejnolehlost Definice stejnolehlosti Stejnolehlost (homotetie) se stedem S a koeficientem stejnolehlosti 0 je podobné zobrazení definované takto: a) obrazem bodu S je bod S = S b) budu X S piazuje bod X takový, že platí: SX = SX, piemž bod X leží na polopímce SX pro > 0, na polopímce opané k polopímce SX pro < Stejnolehlost kružnic Vta 1: Obrazem kružnice k(o;r) ve stejnolehlosti H(S;), je kružnice o polomru r = r. Vta 2: Každé dv kružnice k(o;r), k (O ;r ) s rznými polomry jsou stejnolehlé práv dvma zpsoby a to podle sted stejnolehlostí E (vnjší sted stejnolehlosti) a I (vnitní sted stejnolehlosti), které lze sestrojit podle obr Jsouli kružnice Obr. 2.1 soustedné, splývají stedy obou stejnolehlostí se spoleným stedem tchto kružnic (což, pokud máte elektronickou podobu této bakaláské práce, si mžete vyzkoušet tahem bodu O do bodu O u obr. 2.1) Konstrukce sted stejnolehlosti Máme v rovin dv kružnice l, l s rznými stedy O, O (obr. 2.1). Jestliže existuje stejnolehlost zobrazující jednu z nich na druhou, leží sted stejnolehlosti na pímce OO. Na první kružnici zvolíme libovolný bod X (neleží na pímce OO ) a na druhé sestrojíme bod X tak, aby byly pímky OX, O X rovnobžné. Sted hledané stejnolehlosti je prseíkem pímek OO, XX. K danému bodu X máme dv - 8 -

9 možnosti volby konstrukce bodu X. Proto takto narýsované kružnice mají dva stedy stejnolehlosti E(vnjší) a I(vnitní). Vta 3: Stedy stejnolehlostí S 1 a S 2 leží na pímce procházející stedy kružnic a koeficienty stejnolehlostí jsou 1 = r /r, 2 = - r /r. Vta 4: Mají-li dv kružnice spolené teny, pak tyto teny procházejí píslušnými stedy stejnolehlosti, jestliže se kružnice dotýkají, je jedním stedem stejnolehlosti bod dotyku obou kružnic (obr. 2.2). Vta 5: V pípad dvou shodných kružnic existuje jen jedna stejnolehlost, která zobrazuje jednu kružnici na druhou. Jestliže dv neshodné kružnice mají spolené teny, pak vnjší teny procházejí vnjším stedem a vnitní teny procházejí jejich vnitním stedem stejnolehlosti. 2.2 Mocnost bodu ke kružnici Vty o mocnosti Obr. 2.2 Definice mocnosti Mocností bodu M ke kružnici k(o,r) nazýváme íslo m = m(m,k) = d 2 r 2, kde d = OM. Vta 6: Vedeme-li bodem M pímku, která je senou kružnice k pak mocnost m(m,k) bodu M ke kružnici k platí: m = MA.MB, kde A, B jsou prseíky seny s kružnicí (pokud takto vedeme více seen mocnost se nemní). Vedeme-li bodem M navíc tenu s bodem dotyku T, platí: m = MA.MB = MT 2. Dkaz: Je dán bod M a kružnice k(o,r). a) M je vnjší bod kružnice k Tuto vtu dokážeme pomocí obr Máme dv seny. Jedna prochází body M, A a B, druhá prochází body M, C a D. Máme dokázat, že platí rovnost MA.MB = MC.MD = m. Tuto rovnost dokážeme pomocí podobnosti trojúhelník. Z vty o obvodových úhlech plyne, že úhel pi vrcholu B má stejnou velikost jako úhel pi vrcholu D. Jde o obvodové úhly píslušného oblouku AC. Poté podle vty uu dostáváme, že jsou podobné trojúhelníky AMC a - 9 -

10 MDA, jelikož mají stejný ješt úhel pi vrcholu M. Platí tedy tato rovnost: MB/MD = MC/MA, odtud MA.MB = MC.MD. Obr. 2.3 Zavedeme-li, že úseka MO má délku d, pak platí rovnost MA.MB = (d - r).(d + r) = d 2 r 2 = m (M,k) mocnost bodu M ke kružnici k. Podle obr. 2.4 máme dokázat, že platí MA.MB = MT 2. Dkaz provedeme pomocí Pythagorovy vty. Z obr. 2.4 je patrné, že platí MT 2 = d 2 r 2, tzn. MA.MB = MT 2. Obr. 2.4 Poznámka: Je-li M vn kružnice k, pak m = m(m,k) > 0. b) M je uvnit kružnice k (obr. 2.5) Dkaz provedeme stejn jako jsme dokazovali první vtu. Akorát se nám pak zmní tato rovnost: MA.MB = (r - d).(r + d) = r 2 d 2 = - m (M,k). Obr. 2.5 Poznámka: Je-li bod M uvnit kružnice k, pak m = m(m,k)<

11 c) M leží na kružnici k Dkaz je zejmý z obr Vidíme, že d = r, proto r 2 d 2 = 0. Platí tedy m = m(m,k) = 0. Obr Význam ísla m(m,k) v analytické geometrii Mocnost bodu ke kružnici úzce souvisí s analytickým vyjádením kružnice. Víme, že m(m,k) = MO 2 r 2. Délku úseky MO analyticky vyjádíme takto: MO = (x u) 2 + (y v) 2 (obr. 2.7). Po dosazení získáme rovnici m(m,k) = (x u) 2 + (y v) 2 r 2 a ta v rovnosti s nulou není nic jiného než rovnicí kružnice. Pokud M leží na k (m = 0), pak platí (x u) 2 + (y v) 2 r 2 = 0. Pokud M je vnjší bod k (m > 0), pak platí (x u) 2 + (y v) 2 r 2 > 0. Pokud M je vnitní bod k (m < 0), pak platí (x u) 2 + (y v) 2 r 2 < 0. Obr Vty o chordále Vta 7: Množinou všech bod v rovin, které mají tutéž mocnost ke dvma daným kružnicím k 1, k 2 je pímka kolmá na spojnici sted obou kružnic k 1, k 2. Nazývá se chordála kružnic k 1, k 2 a v tomto pípad ji budeme oznaovat ch(k 1, k 2 ). Jsou-li dány ti kružnice k 1, k 2, k 3, pak chordály píslušné dvojicím (k 1, k 2 ), (k 2, k 3 ) a (k 1, k 3 ) jsou bu navzájem rovnobžné, nebo se všechny ti protínají v jediném bod (tzv. potenním stedu kružnic k 1, k 2, k 3 ). Dkaz: Hledáme množinu bod v rovin, které mají stejnou mocnost ke dvma daným kružnicím k a s. Už víme, že m(m,k) = (x u) 2 + (y v) 2 r 1 2 (viz. Význam ísla m(m,k) v analytické geometrii). Analogicky vyjádíme i m(m,s), takže m(m,s) = (x d) 2 + (y e) 2 r 2 2 (obr. 2.8). Jestliže množina bod má mít stejnou mocnost ke dvma daným kružnicím, musí platit (x u) 2 + (y v) 2 r 1 2 = (x d) 2 + (y e) 2 r 2 2. Po upravení získáme rovnici (d u).x + (e v).y + c = 0. Položíme (d u) = a a (e v) = b a dostaneme rovnici pímky a.x + b.y + c = 0 (normálová rovnice

12 chordály). Souadnice (a,b) patí vektoru OS a zárove jsou souadnicemi normálového vektoru chordály, takže jsme zjistili, že chordála je pímka kolmá na pímku OS. Obr. 2.8 Máme zadané kružnice k(o,r 1 ), s(s,r 2 ) a bod M Jak sestrojit chordálu Jsou dány dv kružnice k(s,r 1 ) a l(o,r 2 ). Jestliže se kružnice k, l protínají v bodech A, B, je jejich chordálou pímka AB, nebo body A, B mají k obma kružnicím stejnou mocnost (nulovou). Tento pípad mžete vidt na obr Dotýkají-li se kružnice k, l, je jejich chordálou jejich spolená tena t ve spoleném bod T (obr. 2.10). Každý bod X pímky t má totiž k obma kružnicím stejnou mocnost rovnající se íslu XT 2. Obr. 2.9 Obr Pokud se kružnice k, l ani neprotínají, ani nedotýkají, musíme zvolit libovolnou kružnici k, která ob kružnice k, l protíná (obr. 2.11). Prseík chordály kružnic k, k a chordály l, k má pak stejnou mocnost ke všem tem kružnicím k, l, m, a musí jím tedy procházet i chordála kružnic k, l. O této chordále víme, že je kolmá ke spojnici sted kružnic k, l, a mžeme jí tedy sestrojit. Sted pomocné kružnice k nesmíme zvolit na spojnici OS, jelikož by byla chordála kružnic k, k s chordálou kružnic l, k rovnobžná

13 Obr P potenní bod Mongeova vta Vta 8 (Mongeova): Jsou-li dva útvary stejnolehlé s tetím, pak jsou stejnolehlé i mezi sebou. Pitom stedy tí stejnolehlostí leží na téže pímce. Dkaz: Nech jsou útvary U 2, U 3 stejnolehlé s útvarem U 1. Oznaíme H ij stejnolehlost, která pevádí útvar Ui na útvar Uj, její sted pak S ij a koeficient k ij. V útvaru U 1 zvolme pevn bod A 1 tak, aby pro jeho obrazy A 2, A 3 ve stejnolehlostech H 12, H 13 platilo A 2 A 3. Na pímce A 2 A 3 dále zvolme bod M tak, aby platilo MA 3 = k 13 / k 12. MA 2 1. Snadno ovíme, že útvar U 3 je obrazem útvaru U 2 ve stejnolehlosti H 23 se stedem S 23 = M a koeficientem k 23 = k 13 / k 12. Jsou-li totiž B 2 a B 3 obrazy libovolného bodu B 1 útvaru U 1 ve stejnolehlostech H 12 a H 13, je úseka A 3 B 3 rovnobžná s A 2 B 2, nebo jsou ob rovnobžné s A 1 B 1. Pro jejich délky platí A 3 B 3 / A 2 B 2 = ( k 13. A 1 B 1 ) / ( k 12. A 1 B 1 ) = k 23, a orientace je urena znaménkem koeficientu k 23, to je dáno znaménky koeficient k 12 a k 13. Mohou nastat práv 4 rzné situace, jež jsou znázornny na obr a, b, c, d. Pomocí tchto obrázk pak již snadno ovíme, že pro libovolný bod B 1 útvaru U 1 a jeho obrazy B 2, B 3 platí S 23 B 3 = k 23. S 23 B 2. Je tedy B 3 obrazem B 2 ve stejnolehlosti H 23. Zbývá dokázat, že S 23 leží na pímce S 12 S 13. Pidejme k útvaru U 2 bod S 23. Jeho obrazem ve stejnolehlosti H 12 nech je bod S. Protože je S 23 samodružný ve stejnolehlosti H 23, je obrazem bodu S ve stejnolehlosti H 13 opt bod S 23. To jsme chtli dokázat. 1 Symbolem XY rozumíme orientovanou úseku s poátením bodem X a koncovým bodem Y

14 Obr a) k 12 > 0, k 13 > 0, pak k 23 > 0 Obr b) k 12 < 0, k 13 > 0, pak k 23 < 0 Obr c) k 12 > 0, k 13 < 0, pak k 23 < 0 Obr d) k 12 < 0, k 13 < 0, pak k 23 > 0 Dsledek vty 8: Z dkazu vty 6 plyne, že koeficienty zmínných stejnolehlostí H 12, H 13 a H 23 jsou bu všechny ti kladné, nebo jsou práv dva záporné a jeden kladný (obr. 2.13). Každou ze ty pímek, na nichž leží nkterá z trojic sted stejnolehlostí (E 12, E 13, E 23 ), (E 12, I 13, I 23 ), (E 23, I 12, I 13 ) a (E 13, I 13, I 12 ) kružnic k 1, k 2, k 3 nazveme osou podobnosti kružnic k 1, k 2 a k 3 (viz. obr. 2.13). Obr

15 Dsledkem vty 8 je i následující vta: Vta 9: Nech jsou dány kružnice k 1, k 2. Jejich stedy stejnolehlosti ozname E, I. Pak pro každou kružnici l, která se dotýká kružnic k 1, k 2 v bodech T 1, T 2 platí: Pímka T 1 T 2 prochází práv jedním z bod E, I (obr. 2.14). Obr a) Obr b) Obr c) Obr d) Vta 10: Sted stejnolehlosti kružnic k 1, k 2 má stejnou mocnost ke každé kružnici dotýkající se kružnic k 1, k 2 tak, že body dotyku leží na stejné pímce jako tento sted. Dkaz: V tomto dkazu využijeme podobnost stejnolehlých trojúhelník EU 1 S 1, ET 2 S 2 a ES 1 T 1, ES 2 U 2 (obr a)). Vyjdeme z rovností r 1 /r 2 = U 1 S 1 /T 2 S 2 = EU 1 /ET 2 a r 1 /r 2 = S 1 T 1 /S 2 U 2 = ET 1 /EU 2, odtud vyjádíme EU 1 /ET 2 = ET 1 /EU 2 a poté EU 1.EU 2 = ET 1.ET 2. Když použijeme druhou mocninu m(e,l) bude platit rovnost m 2 (E,l) = (ET 1.ET 2 ) 2 = (ET 1.ET 2 ).(EU 1.EU 2 ) = (ET 1.EU 1 ).(ET 2.EU 2 ). Víme, že ET 1.EU 1 = m(e,k 1 ) a ET 2.EU 2 = m(e, k 2 ), a proto m(e,l) = ( m(e,k 1 ). m(e, k 2 )). A tento vztah je vyjádením geometrického prmru. 2.3 Polární vlastnosti kružnice Mám zadaný bod P a kružnici l(o,r). Pokud bod P leží vn kružnice l, lze vést ke kružnici dv teny, tím získáme dva body dotyku T 1 a T 2. Sena procházející obma body T 1 a T 2 se nazývá polára p bodu P vzhledem ke kružnici, bod P nazýváme pólem pímky p jdoucí body T 1 a T 2 (obr a)). Pokud bod P leží na kružnici l, pak zárove leží i na své poláe p, která je tenou vedenou bodem P ke kružnici l

16 (obr b)). Nakonec pokud bod P leží uvnit kružnice l, je jeho polárou pímka p, která je kolmá na pímku OP a procházející prseíkem pímky OP a teny vedené bodem T 1, kde pod T 1 je prseík kolmice na OP vedené bodem P a kružnice l (obr c)). Obr a) P vn kruhu Obr b) P na kružnici Obr c) P uvnit kruhu Polarita v souvislosti s kruhovou inverzí Na obr vidíme sdružené póly P, Q a k nim sestrojené chordály p, q vzhledem ke kružnici l(o,r). Pojmenujeme si délku úseky PO písmenkem x a délku úseky QO písmenkem x. Použijeme-li Euklidovu vtu o odvsn pro trojúhelník POT, vyjde nám vztah x. x = r 2, a odtud x = r 2 / x. Kruhová inverze vzhledem ke kružnici l je transformace, pi níž vzor i obraz leží na téže polopímce s poátením bodem ve stedu kružnice inverze, pi emž vzdálenosti tchto bod od stedu kružnice mají tu vlastnost, že jejich souin je roven tverci polomru inverze. A to je pesn náš vztah x.x = r 2. Obr Poznámka: Polárn sdružené body jsou vlastn vzor a obraz v kruhové inverzi

17 2.3.2 Dležité vlastnosti polarity Vta 11: Jestliže se kružnice k dotýká kružnic l 1 a l 2, pak pól P spojnice dotykových bod vzhledem ke kružnici k leží na chordále kružnic l 1 a l 2 (obr. 2.17). Dkaz: Na obr vidíme, že bod P je prseík teen kružnice k vedených dotykovými body T 1 a T 2. Jeho polárou je pímka T 1 T 2. Obr Je známo, že délky teen z vnjšího bodu ke kružnici se rovnají, tedy PT 1 = PT 2 a to znamená, že bod P má stejnou mocnost m = PT 1 2 = PT 2 2 ke kružnicím l 1, l 2. Leží tedy na jejich chordále. Vta 12: Pól Q chordály dvou kružnic l 1 a l 2 vzhledem ke kružnici k, která se prvých dvou dotýká, leží na spojnici dotykových bod - polára pólu P (obr. 2.18). Dkaz: Takže máme dokázat, že bod Q leží na spojnici bod T 1 a T 2, tato spojnice je polárou p pólu P. Vím že pól P leží na chordále q kružnic l 1 a l 2. S využitím vztahu x.x = r 2 dostáváme: SQ.SQ = r 2 = SP.SP, odtud SQ/SP = SP/SQ. Všimnme si, že velikost úhlu QSP je rovna velikosti úhlu PSQ, a proto tedy trojúhelníky SQ P a SP Q jsou podobné podle vty sus. Jsou tedy úhly SQ P a SP Q stejn velké a to znamená pravé, nebo úhel SQ P je pravý. Pímka QP je proto kolmá na pímku SP, a tak Q leží na pímce T 1 T 2 = p. Obr

18 2.4 Dilatace Definice dilatace Dilatací rozumíme transformaci, pi které se pímky posunují o danou délku λ ve smru k nim kolmém v pímky s pvodními rovnobžné. Délku λ nazýváme velikostí dilatace. Kružnice o polomru r se dilatací zobrazí na soustednou kružnici o polomru (r + r nebo r - r). Ve zvláštním pípad mže pejít dilatací kružnice v bod, nebo naopak bod v kružnici Užití dilatace pi sestrojování teen dvou kružnic Zadání: Máme sestrojit k zadaným kružnicím l 1 (O 1,r 1 ) a l 2 (O 2,r 2 ) teny. ešení: Pi ešení tohoto úkolu dilatací použijeme transformaci kružnice l 1 do bodu O 1 (to znamená, že kružnici l 1 zmenšíme do bodu O 1 o její polomr r 1 ). Tím pádem se nám polomr r 2 druhé kružnice l 2 zvtší nebo zmenší o polomr r 1 první kružnice l 1. Zmenšením polomru r 2 kružnice l 2 o polomr r 1 kružnice l 1 se zabývá obr a) a druhým pípadem obr b). V obou pípadech užitím dilatace pevedeme úlohu nalezení teen dvou kružnic na úlohu nalezení teen vedených z bodu O 1 ke kružnici l 2. V tomto pípad si sestrojíme Thaletovu kružnici th nad úsekou O 1 O 2, v prseíku s transformovanou kružnicí l 2 nám vzniknou body dotyku T a T a tudíž mžeme sestrojit pro tento pípad teny t a t procházející body dotyku a bodem O 1. Toto ešení je na obrázcích znázornno svtle modrou barvou. Po návratu kružnic l 1 a l 2 do pvodního stavu se nám teny t a t posunou do pímek T 1 T 3 a T 2 T 4. Takže je zejmé, že teny T 1 T 3 a T 2 T 4 sestrojíme jako rovnobžky k tenám t, t procházející bodem T 3 a T 4. Body T 3 a T 4 sestrojím jako prseíky pímek O 2 T 3 a O 2 T 4 se zadanou kružnicí l 2. Obr a)

19 Obr b) 2.5 Gergonnovo ešení obecné Apolloniovy úlohy Gergonnovo ešení je velice zajímavé a vychází z poznatk uvedených v kapitolách pedešlých. Ukážeme si již zde toto ešení pro Apolloniovu úlohy typu kkk, protože je budeme potebovat pro speciální pípady Apolloniových úloh v kapitole 4. Zadání: Jsou dány ti kružnice l 1 (O 1,r 1 ), l 2 (O 2,r 2 ) a l 3 (O 3,r 3 ). Máme sestrojit kružnici k, která se dotýká všech tí kružnic. ešení: Tuto úlohu vyeším jen pro jednu osu podobnosti a to pro tu, která protíná jen vnjší stedy podobnosti (obr 2.20). Z obr je patrné, že ti kružnice mají tyi osy podobnosti. K jedné ose se dají nalézt dv kružnice. To znamená, že pro všechny tyi osy je dohromady osm ešení (takže úloha má osm ešení). Z vty 10 plyne, že pokud se výsledné kružnice dotýkají kružnic zadaných, prochází chordála tchto kružnic stedy podobnosti Obr

20 kružnic l 1, l 2, l 3, to znamená že je osou podobnosti o. Z vty 10 také vyplývá, že sted podobnosti výsledných kružnic k 1, k 2 leží na chordále každé dvojice zadaných kružnic. To znamená, že tento sted je potenním bodem P zadaných kružnic. Odtud také tedy plyne, že stedy S 1 a S 2 leží na kolmici s spuštné z potenního stedu P na jejich osu podobnosti o. Z vty 12 vyplývá, že spojnice dotykových bod výsledných kružnic s každou z kružnic l 1, l 2, l 3 prochází píslušným pólem Q i osy podobnosti o (chordály výsledné kružnice k vzhledem k zadaným kružnicím). A z vty 9 plyne, že stejná spojnice (spojnice dotykových bod) prochází stedem podobnosti výsledných kružnic, to znamená bodem P. Takže takto získáme body dotyku zadaných kružnic s výslednými kružnicemi. Z mého obrázku je patrné, že jsem nemusela sestrojovat pímku s, protože by stailo sestrojit výsledné kružnice jako kružnice opsané trojúhelníkm U 1 U 3 U 5 a U 2 U 4 U 6 (našla jsem póly ke všem zadaným kružnicím)

21 3. Pappovy úlohy 3.1 Úloha typu Bp B Zadání: Sestrojte kružnici k, která se dotýká dané pímky p v daném bod T a prochází dalším daným bodem B. ešení: Použijeme metodu množin bod dané vlastnosti. Sted S hledané kružnice leží na kolmici, která prochází bodem T. Tato kolmice je množina sted všech kružnic dotýkajících se pímky p v bod T. Pokud bod B neleží na pímce p, úseka BT je ttivou hledané kružnice k a bod S tedy leží na ose o této úseky (množina sted všech kružnic, jejichž ttivou je úseka BT). Tím je sted S uren jednoznan (obr. 3.1 a)). Pokud by bod B ležel na pímce p a byl rzný od T nemla by úloha žádné ešení. Pokud by bod B ležel na pímce p a byl totožný s bodem T, mla by úloha nekonen mnoho ešení (obr. 3.1 b)). Obr. 3.1 a) Obr. 3.1 b) 3.2 Úloha typu pp B Zadání: Sestrojte kružnici k, která se dotýká dvou daných pímek p, q a prochází daným bodem T, který leží na jedné z pímek. ešení: ešení provedeme metodou množin bod dané vlastnosti. Sted S hledané kružnice k leží na pímce m kolmé k pímce p vedené bodem T (tato kolmice je množina sted všech kružnic dotýkajících se pímky p v bod T) a zárove na ose o soumrnosti daných dvou pímek. Platí tedy S m o. Rozlišíme dv možnosti: a) pq, pak má úloha jediné ešení (obr. 3.2 a)). b) Jsou-li p, q rznobžky, pak mají dv osy soumrnosti (o 1 a o 2 ). Úloha má dv ešení, pokud T neleží v prseíku V pímek p, q, jak vidíme na

22 obr. 3.2 b). Je-li T = V, spluje podmínky úlohy pouze jediná kružnice nulového polomru (bod V). 3.3 Úloha typu kp B Obr. 3.2 a) Obr. 3.2 b) Zadání: Sestrojte kružnici k, která se dotýká dané kružnice l(o,r) a dané pímky p v daném bod T. ešení 1: ešení provedeme užitím dilatace (obr. 3.3 a)). Tuto úlohu pevedu na úlohu typu Bp B. Narýsujeme si pímky p a p, ty jsou rovnobžné s pímkou p a jsou od ní vzdáleny o polomr r zadané kružnice l. Zadaná kružnice se mi zmenší o její polomr r na bod O. Tím mi vzniknou dv nové úlohy: Op B a Op B (Bp B ). Ty vyeším metodou výše uvedenou (metoda množin bod dané vlastnosti). Kružnice, které nám vyjdou, nakonec zmenšíme (resp. zvtšíme) opt o polomr zadané kružnice. Obr. 3.3 a) b)). ešení 2: Druhé ešení provedu pomocí mocnosti bodu ke kružnici (obr. 3.3 Nejprve si sestrojíme pímku m (množina sted kružnic, které se dotýkají pímky p v bod T), která je kolmá na pímku p v daném bod T. Na této kolmici bude ležet sted S pomocné kružnice k, která prochází zadanou kružnicí dvma body X, Y a dotýká se pímky p v bod T. Sestrojíme pímku XY, ta je chordálou

23 kružnic k, l. Tam, kde nám protne pímku p, leží potenní bod P kružnic k, l, k, protože pímka p je chordálou kružnic k, k. Bodem P povedeme teny ke kružnici l, protože to jsou chordály ke kružnicím l, k. Stedy hledaných kružnic jsou zejm prseíkem pímky m a normál kružnice l v bodech dotyku sestrojených teen. Obr. 3.3 b) ešení 3: Tentokrát tuto úlohu vyeším stejnolehlostí (obr. 3.3 c)). Na obr. 3.3 c) je opt sestrojena kolmice m (množina sted všech kružnic, které se dotýkají pímky p v daném bod T) kolmou na pímku p v bod T. Hledané kružnice jsou pi takovémto rozložení zadaných objekt dv, a proto také budou dva stedy stejnolehlosti P, P (body dotyku zadané kružnice l s hledanými kružnicemi k 1 a k 2 ). V tchto homotetiích se zobrazí hledané kružnice do kružnice l, pímka m do pímky m (ta je kolmá na pímku p a prochází bodem O) a pímka p do pímky p Obr. 3.3 c) a p. Bod T se zobrazí do bodu T (ten leží na kružnici l tam, kde jí protíná pímka p ) a do bodu T (leží na kružnici l tam, kde jí protíná pímka p ). Protože ve stejnolehlosti leží vzor, sted a obraz na jedné pímce, sestrojíme bod P jako prnik kružnice l a pímky TT a bod P jako prnik kružnice l a pímky TT. Stedy S 1, S 2 hledaných kružnic k 1 a k 2 leží na pímkách OP, OP (množiny sted všech kružnic stejnolehlých ke kružnici l podle sted stejnolehlostí P a P ) a zárove na pímce m. Pokud zadaná pímka p zadanou kružnici l neprotíná, má úloha dv ešení. Pokud zadaná pímka p je tenou zadané kružnice l a bod T neleží na kružnici l, má úloha jedno ešení a pro T l nekonen mnoho ešení

24 Pokud zadaná pímka p zadanou kružnici l protíná ve dvou bodech, má úloha dv ešení pokud T l p, a žádné ešení pro T l p. 3.4 Úloha typu Bk B Zadání: Sestrojte kružnici k, která se dotýká dané kružnice l(o,r) v daném bod T a prochází dalším bodem B. ešení: V této úloze povedeme daným bodem T zadané kružnice tenu k této kružnici (obr. 3.4), pevedeme úlohu na úlohu typu Bp B. A vyešíme metodou množin bod dané vlastnosti. Obr. 3.4 Pokud by bod B ležel uvnit kružnice l, mla by úloha také jedno ešení. Pokud by bod B ležel na kružnici l, byla by ešením daná kružnice l v pípad T B. Pokud by bod B ležel na kružnici l v bod T, mla by úloha nekonen mnoho ešení. 3.5 Úloha typu pk B Zadání: Sestrojte kružnici k, která se dotýká dané kružnice l(o,r) v daném bod T a dané pímky p. ešení: Pi ešení si tuto úlohu pevedeme na úlohu typu pp B a vyešíme jí pomocí metody množiny bod dané vlastnosti. Vedeme-li daným bodem T zadané kružnice tenu t této kružnice (obr. 3.5), pevedeme úlohu na úlohu typu pp B. Obr. 3.5 Pokud by pímka protínala kružnici ve dvou bodech (byla by její senou) a ani jeden z tch bod by nebyl bod T, pak by úloha mla práv jedno ešení. Pokud by jeden s bod byl bod T, pak by úloha nemla ešení

25 Pokud by pímka p byla tenou zadané kružnice a procházela by bodem T, pak má úloha nekonen mnoho ešení. Pokud by neprocházela bodem T, pak by úloha nemla žádné jiné ešení, než je zadaná kružnice. 3.6 Úloha typu kk B Zadání: Sestrojte kružnici k, která se dotýká dvou daných kružnic l 1 (O 1,r 1 ), l 2 (O 2,r 2 ) a prochází bodem T, který leží na jedné z kružnic. ešení: Tuto úlohu pevedeme na úlohu kp B tak, že povedeme daným bodem T kružnice l 1 tenu k této kružnici (obr. 3.6). Potom si mžete zvolit na další postup v ešení jednu z metod uvedenou v kapitole 3.3. Já jsem si pro další postup zvolila metodu dilatace. Obr. 3.6 Pokud kružnice nemají spolený bod, má úloha dv ešení. Pokud by zadané kružnice mly spolený jeden bod, nemla by úloha ešení. Pokud by tím spoleným bodem byl bod T, mla by úloha nekonen mnoho ešení. Pokud by zadané kružnice mly spolené dva body, mla by úloha dv ešení. Pokud by jedním z tch bod byl bod T, nemla by úloha žádné ešení. Tato tvrzení platí i v pípad, kdy kružnice jsou soustedné nebo jedna leží uvnit druhé (nezáleží na poadí)

26 4. Apolloniovy úlohy 4.1 Úloha bod-bod-bod Zadání: Jsou dány ti body X, Y, Z. Sestrojte kružnici, která tmito temi body prochází. ešení: ešení provedeme užitím metody množin bod dané vlastnosti (obr. 4.1). Sted S hledané kružnice k musí mít od všech tí daných bod stejnou vzdálenost (r). Bod S náleží prniku pímek o1 a o2, kde o1 je osou úseky XY (tzn. množina všech bod, které mají od bod X a Y stejnou vzdálenost) a o2 je osou úseky YZ (tzn. množina všech bod, které mají od bod Y a Z stejnou vzdálenost). Jde o sestrojení kružnice opsané trojúhelníku XYZ. Je patrné, že body X, Y, Z nesmí ležet na jedné pímce (úloha by nemla ešení). Obr Úloha bod-bod-pímka Zadání: Jsou dány dva body X a Y a pímka p. Sestrojte kružnice, která tmito dvma body X, Y prochází a dotýká se pímky p. ešení: Rozlišíme následující situace: a) Body X, Y leží na pímce p. V tomto pípad nemá úloha ešení. b) Na pímce p leží práv jeden z bod X, Y. Tím dostáváme zadání Pappovy úlohy typu Bp B. c) Žádný z bod X, Y neleží na pímce p. Pro pípad, kdy bod X leží v polorovin opané k polorovin py, nemá úloha ešení. Pro pípad druhý, tzn. že oba body leží v téže polorovin, je nutno rozlišit dv možnosti, a to jednak, že pímka XY je rovnobžná s pímkou p (obr. 4.2 a)) a jednak, že pímky XY, p jsou rznobžné (obr. 4.2 b)). V pípad prvním je ešením práv jedna kružnice k. Obr. 4.2 a)

27 Pípadem, kdy jsou pímky XY, p rznobžné, se budeme zabývat nyní. ešení provedeme s využitím algebraickogeometrické metody. Jestliže jsou pímky XY a p rznobžné, ozname jejich prseík P. Pímka p je tenou kružnice k, z ehož vyplývá existence páv jednoho spoleného bodu T, který je neznámým pomocným bodem. Jelikož leží body X, Y na kružnici k, Obr. 4.2 b) lze mocnost bodu P ke kružnici vyjádit vztahem: m =PX.PY. Pro dotykový bod T pímky p a kružnice k potom platí: PT 2 =PX.PY, a odtud PT=(PX.PY). Pokud si sestrojíme kružnici se stedem P a polomrem PT protne nám pímku p ve dvou bodech T 1, T 2, ímž vzniknou dva trojúhelníky XYT 1, XYT 2 a dv kružnice k 1, k 2 jim opsané. Úloha má dv ešení. 4.3 Úloha bod-bod-kružnice Zadání: Jsou dány body X, Y a kružnice l(o;r). Sestrojte kružnici k, která prochází body X, Y a dotýká se kružnice l. ešení: Rozlišíme následující situace: a) Bod X nebo bod Y leží na kružnici l. V pípad, že na kružnici l leží oba dané body X, Y, nemá úloha ešení. Pokud leží na kružnici l práv jeden z bod X, Y, získáme Pappovu úlohu typu Bk B. b) Žádný z bod X, Y neleží na kružnici l. Pro možnost, kdy jeden z bod leží ve vnitní oblasti kružnice a druhý ve vnjší, nemá úloha opt ešení. Pro možnost druhou, tzn. že oba body jsou budˇ ve vnitní nebo ve vnjší oblasti kružnice, je úloha dále ešena (obr. 4.3 a, b). K ešení využijeme mocnost bodu ke kružnici

28 Obr. 4.3 a) body v kružnici Obr. 4.3 b) body vn kružnice Kružnice k prochází body X, Y, její sted S proto leží na ose o úseky XY. Hledaná kružnice k se dotýká kružnice l v bod T. Potom tena kružnice l v bod T je spolenou tenou kružnic l a k v bod T a zárove jejich chordálou. Zvolme nyní libovolnou kružnici k, která prochází body X, Y a protíná kružnici l ve dvou bodech A, B. Pímka XY je chordálou kružnic k, k. Najdeme-li potenní sted P kružnic k, k a l, pak chordála kružnic k, l (procházející potenním stedem P) je tenou z bodu P ke kružnici l. Bod dotyku této chordály a kružnice l je hledaný pomocný bod T. Sted hledané kružnice k leží na pímce OT (tzn. na množin sted všech kružnic dotýkajících se v bod T kružnice l). V pípad, že osa o úseky XY neprochází stedem O kružnice l, jsou chordály kružnic l, k rznobžné pímky a existuje tedy jediný bod P. Z nj se dají spustit práv dv teny (chordály kružnic k, l) na kružnici l, ímž získáme dva dotykové body T 1, T 2. V pípad, že osa o úseky XY prochází stedem O kružnice l, jsou chordály kružnic l, k, k rovnobžné pímky kolmé na osu o (obr. 4.3 c)). Neexistuje tedy potenní sted P. Spolená tena (a zárove chordála) kružnic k, l je kolmá na stednou tchto kružnic a prochází prseíkem osy o a kružnice l. Takové prseíky existují práv dva (T 1, T 2 ). Úloha má vždy dv ešení. Obr. 4.3 c) 4.4 Úloha bod-pímka-pímka Zadání: Je dán bod X a pímky p, q. Sestrojte kružnici k, která prochází bodem X a dotýká se pímek p, q

29 ešení: Rozlišíme dva pípady polohy zadaných objekt: a) Pímky p, q jsou rovnobžné. V pípad, že bod X leží na jedné z pímek p nebo q, získáme Pappovu úlohu typu pp B. V pípad, že bod X neleží v rovin vymezené pímkami p, q, nemá úloha žádné ešení. Pokud bod X leží v rovin vymezenému pímkami p, q, má úloha dv ešení (obr. 4.4 a)). Úlohu vyešíme metodou množin bod dané vlastnosti. Sestrojíme si osu o rovinného pásu vymezeného pímkami p, q (je to množina sted všech kružnic, které se dotýkají pímky p a zárove pímky q). Po té si sestrojíme kružnici se stedem v bod X a polomrem ureným vzdáleností osy o od pímky p. Obr. 4.4 a) b) Pímky p, q jsou rznobžné. Je-li bod X prseíkem pímek p, q, nemá úloha ešení. Leží-li bod X na jedné z pímek, dostáváme opt Pappovu úlohu pp B. V poslední možnosti, kdy bod X neleží ani na pímce p ani na pímce q, má úloha dv ešení (obr. 4.4 b)). K ešení použijeme metodu geometrického zobrazení, konkrétn využijeme stejnolehlosti. Omezíme se na úhel vymezený pímkami p, q, jehož prvkem je daný bod. Obr. 4.4 b) Hledáme sted S kružnice k. Pímky p, q jsou teny vedené z jejich prseíku V ke kružnici k. Sestrojíme libovolnou pomocnou kružnici k, pro kterou platí, že pímky p, q jsou jejími tenami. Hledaná kružnice k a pomocná kružnice k jsou stejnolehlé. Protože bod X leží na kružnici k, bude na kružnici k ležet s ním stejnolehlý bod X. Sted, vzor a obraz leží v homotetii na jedné pímce, bod X tedy nalezneme jako prseík pímky VX a kružnice k. Jelikož jsou ve stejnolehlosti všechny smry samodružné, budou pímky SX, S X rovnobžné. Sted S hledané kružnice k leží na pímce vedené bodem X rovnobžn s pímkou S X a zárove na ose o úhlu vymezeného v rovin pímkami p, q. Pímka VX protne kružnici k ve dvou bodech X, které urují dv stejnolehlosti. Ty pevedou kružnici k na dv kružnice k. Úloha má tedy dv ešení

30 4.5 Úloha bod-pímka-kružnice Zadání: Je dán bod X, pímka p a kružnice l. Sestrojte kružnici k, která prochází bodem X a dotýká se pímky p a kružnice l. ešení: I u této úlohy rozlišíme více situací polohy vstupních objekt: a) Pokud by bod X byl spolený bod pímky p a kružnice l, navíc pímka p by byla senou kružnice l, nemá úloha ešení. Pokud by pímka p byla tenou kružnice l, mla by tato úloha nekonen mnoho ešení. b) Pokud by bod X ležel na pímce p a neležel na kružnici l nebo by ležel na kružnici l a neležel na pímce p, dostáváme v obou pípadech zadání Pappovy úlohy (typu kp B, resp. pk B ). c) Pokud bod X neleží ani na pímce p ani na kružnici l, máme ti možnosti. První z nich je pípad, kdy pímka p neprotíná kružnici l a kružnice l leží v polorovin opané k polorovin px. Pi této poloze prvk nemá úloha ešení. Druhou možností je, že pímka p neprotíná kružnici l a bod X leží uvnit kružnice l. Ani nyní nemá úloha ešení. Tetí možností (sted O kružnice l leží v polorovin px) se budeme zabývat nyní (obr. 4.5). Obr. 4.5 K vyešení této úlohy jsem použila metodu odvozenou z Gergonnova ešení. Na obrázku vidíte pímku m, ta je kolmá na pímku p a prochází stedem O zadané kružnice l. Body Y, Y, které nám vzniknou protnutím pímky m s kružnicí l, jsou v tomto pípad stedy podobnosti kružnic l, p, jestliže si pímku p pedstavíme jako kružnici s nekoneným polomrem. Ponvadž bod X je také stedem podobnosti kružnic l, X (kružnice s nulovým polomrem), resp. X, p, spojením XY a XY získáme osy podobnosti o a o. K tmto osám sestrojíme póly O 1, O 2 vzhledem ke kružnici l (viz. kapitola 2.3). Pímka ch je chordálou kružnic X, l a platí pro ni, že je kolmá na úseku XO a plí vzdálenost bodu X od jeho poláry vzhledem k dané

31 kružnici. Chordálu ch jsme sestrojili proto, abychom našli potenní bod P, ten leží na této chordále ch a zárove na zadané pímce p. Pímky PO 1 a PO 2 nám protnou zadanou kružnici l v bodech U 1, U 2 (vnjší body dotyku hledaných kružnic s kružnicí l) a v bodech U 3, U 4 (vnitní body dotyku hledaných kružnic s kružnicí l). Nakonec sestrojíme body dotyku hledaných kružnic s pímkou p V 1, V 2, V 3, V 4 tak, že k bodm U 1, U 2 sestrojíme body stejnolehlé V 1, V 2 se stedem stejnolehlosti Y (a víme, že musí ležet na pímce p) a k bodm U 3, U 4 sestrojíme body stejnolehlé V 3, V 4 se stedem stejnolehlosti Y (také musí ležet na pímce p). Nakonec sestrojíme hledané kružnice k tak, že je opíšeme trojúhelníku XUV. 4.6 Úloha bod-kružnice-kružnice Zadání: Sestrojte kružnici k, která se dotýká daných kružnic l 1 (O 1,r 1 ), l 2 (O 2,r 2 ) a prochází daným bodem X. ešení: V této úloze už je mnoho zpsob rozložení vstupních objekt: a) Kružnice l 1 (O 1,r 1 ), l 2 (O 2,r 2 ) jsou soustedné. Vezmeme v úvahu kdy r 1 < r 2. Pokud by bod X ležel vn kružnice l 2 nebo uvnit kružnice l 1, nemla by úloha žádné ešení. Pokud by bod X ležel na jedné z kružnic l 1, l 2, získali bychom Pappovu úlohu kk B. A nakonec pokud by bod X ležel v rovin ohraniené kružnicemi l 1, l 2, mla by úloha tyi ešení (obr. 4.6 a)). Úlohu vyešíme metodou množin bod dané vlastnosti. První touto množinou jsou kružnice m 1, m 1 (jsou to množiny sted všech kružnic, které se dotýkají kružnice l 1 a zárove kružnice l 2 ), jejich stedem je sted O 1, resp. O 2. Velikost polomru kružnice m 1 (r 1 + r 2 )/2 je a kružnice m 1 je (r 2 - r 1 )/2. Druhou množinou bod dané vlastnosti jsou kružnice m 2, m 2, jejich stedem je bod X a velikost polomru kružnice m 2 je (r 2 - r 1 )/2 a kružnice m 2 je (r 1 + r 2 )/2. Stedy hledaných kružnic leží na prniku kružnic m 1, m 2 a m 1, m 2. Obr. 4.6 a) b) Kružnice l 1 (O 1,r 1 ), l 2 (O 2,r 2 ) jsou nesoustedné, ale l 2 leží uvnit l 1. Pokud by bod X ležel uvnit kružnice l 2 nebo vn kružnice l 1, nemla by úloha žádné ešení. Pokud by bod X ležel na jedné z kružnic, opt bychom získaly Pappovu úlohu kk B. Pokud by bod X ležel v rovin ohraniené

32 kružnicemi l 1, l 2, mla by úloha tyi ešení (obr. 4.6 b)). ešení této úlohy je podrobnji popsáno v bod f) této kapitoly. Obr. 4.6 b) c) Kružnice l 1 (O 1,r 1 ), l 2 (O 2,r 2 ) mají vnitní dotyk a l 2 leží uvnit l 1. Pokud by byl bod X bodem dotyku kružnic l 1, l 2, mla by úloha nekonen mnoho ešení. Pokud by bod X ležel na jedné z kružnic l 1, l 2, získaly bychom Pappovu úlohu kk B. Pokud by bod X ležel vn kružnice l 1, mohli bychom sestrojit tenu vedenou bodem dotyku kružnic l 1, l 2 a úlohu ešit jako Pappovu úlohu Bp B. A nakonec pokud by bod X ležel v rovin vymezené kružnicemi l 1, l 2, mla by úloha ti ešení (obr. 4.6 c)). Na tomto obrázku je vidt, že kružnice k 1 má sted S 1 Obr. 4.6 c) na prniku pímek O 1 O 2 a o (o je osa seny XI, množina sted všech kružnic procházejících body X a I). Dále je úloha ešena analogicky jako úloha v bod f) této kapitoly

33 d) Kružnice l 1 (O 1,r 1 ), l 2 (O 2,r 2 ) mají vnjší dotyk. Pokud by bod X ležel na jedné z kružnic l 1, l 2, získaly bychom Pappovu úlohu kk B. Pokud tento bod X ležel v bod dotyku kružnic l 1, l 2, mla tato Pappova úloha nekonen mnoho ešení. Pokud by bod X ležel uvnit jedné z kružnic l 1, l 2, mla by úloha jedno ešení (sted S hledané kružnice k by ležel na prniku pímek O 1 O 2 množina sted všech kružnic které se dotýkají daných kružnic l 1, l 2 v bod I a osy o osa seny XI, kde I je bod dotyku zadaných kružnic l 1, l 2, osa o je množina sted všech kružnic procházejících bodem X a zárove bodem I). Nakonec pokud by bod X ležel vn kružnic l 1, l 2, mla by úloha ti ešení (obr. 4.6 d)). Na tomto obrázku vidíme, že kružnice k 1 má sted S 1 tam, kde se protíná pímka O 1 O 2 (množina sted všech kružnic které se dotýkají daných kružnic l 1, l 2 v bod I) s osou o 1 (sena XI, množina sted všech kružnic procházejících bodem X a zárove bodem I). Pro nalezení této kružnice k 1 bych mohla také použít Gergonnovu metodu, kterou využíváme pi nalezení k 2, k 3, ale je to zbyten zdlouhavé. Peci jenom to tu trošku popíšu. Musela bych si sestrojit osu podobnosti XI a k této ose bych sestrojila pól nap. vzhledem ke kružnici l 2. Spojením potenního bodu P a tohoto pólu by nám vznikla pímka, která by zadanou kružnici protínala v bod dotyku kružnic l a k. Naším bodem dotyku by ale nebyl žádný jiný než bod I (dotykový bod zadaných kružnic). Prnikem stedné (kolmice na osu podobnosti procházející bodem P v pípad ešeném na obrázku je to osa o 1 seny XI) a pímky O 1 I (je totožná s pímkou O 1 O 2 ) nám vznikne sted hledané kružnice S 1. Zbytek ešení je analogicky opt podrobnji popsán v bod f) této kapitoly. Jde o ešení Gergonnovo. Obr. 4.6 d)

34 e) Kružnice l 1 (O 1,r 1 ), l 2 (O 2,r 2 ) se protínají v bodech A, B. Pokud by bod X ležel na jedné z kružnic l 1, l 2, získaly bychom Pappovu úlohu kk B. Pokud by tento bod X ležel ješt ke všemu v bod A nebo v bod B, nemla by tato Pappova úloha žádné ešení. Pokud by bod X ležel uvnit jedné z kružnic l 1, l 2, mla by úloha jedno ešení. A nakonec pokud by bod X ležel vn kružnic l 1, l 2, mla by úloha dv ešení (obr. 4.6 e)). ešení je opt analogické s ešením z bodu f) této kapitoly. Obr. 4.6 e) f) Kružnice l 1 (O 1,r 1 ), l 2 (O 2,r 2 ) se nijak neprotínají ani nedotýkají. Pokud by bod X ležel uvnit jedné ze zadaných kružnic l 1, l 2, nemla by úloha žádné ešení. Pokud by bod X ležel na jedné z kružnic l 1, l 2, získaly opt bychom Pappovu úlohu kk B. A pokud by bod X ležel vn kružnic l 1, l 2, mla by úloha tyi ešení (obr. 4.6 f)). Obr. 4.6 f) Gergonnovo ešení: Na obr. 4.6 f) vidíme body E, I, to jsou stedy podobnosti (stejnolehlosti) zadaných kružnic l 1, l 2, a zadaný bod X, to je sted podobnosti vzhledem k zadaným kružnicím. Naším úkolem je najít póly O, O (os podobnosti) vzhledem ke kružnici a potenní bod P. Osy podobnosti o 1, o 2 jsou pímky procházející body X, E a X, I. K ose o 1 jsem sestrojila pól

35 O vzhledem ke kružnici l 1 a k ose o 2 jsem sestrojila pól O vzhledem ke kružnici l 2 (viz. kapitola 2.3). Potenní bod P leží na prniku pímek ch 1 a ch 2, jsou to chordály kružnic X a l 1, pop. l 2 (kde X je kružnice s nulovým polomrem). Chordála ch 1 prochází stedem teny (vedená z bodu X ke kružnici l 1 ) a je kolmá na stednou XO 1. Analogicky je sestrojena i chordála ch 2. Takže už máme potenní bod P a póly O a O. Sestrojíme pímky PO a PO. PO nám protne kružnici l 1 v bodech U 1, U 2 (body dotyku zadané kružnice l 1 s hledanými kružnicemi k) a PO nám protne kružnici l 2 v bodech U 3, U 4 (body dotyku zadané kružnice l 2 s hledanými kružnicemi k). Stedy hledaných kružnic leží na stedných s 1 a s 2 (pímky kolmé na píslušnou osu podobnosti o 1, o 2 a procházející potenním bodem P) v prniku s píslušnou pímkou vedenou bodem dotyku U i a stedem O i zadané kružnice. 4.7 Úloha pímka-pímka-pímka Zadání: Sestrojte kružnici k, která se dotýká tí daných pímek p, q, r. ešení: Podle vzájemné polohy daných pímek vznikají tyto situace: a) Všechny ti pímky p, q, r jsou vzájemn rovnobžné. Pokud nastane tato situace, úloha nemá ešení. b) Dv pímky p, q jsou rovnobžné a tetí r je s nimi rznobžná. V tomto pípad má tato úloha dv ešení (obr. 4.7 a)). Tuto situaci vyešíme metodou množin bod dané vlastnosti. První množinou bod dané vlastnosti je osa o, na této ose leží stedy všech kružnic, které se dotýkají pímky p a zárove pímky q. Druhou množinou bod dané vlastnosti je osa úhlu pi vrcholu V, z obr. 4.7 a) je patrné, že tyto osy jsou dv, osa o 1 (množina sted všech kružnic, které se dotýkají pímky q a zárove r) a osa o 2 (množina sted všech kružnic, které se dotýkají pímky q a zárove r). Stedy hledaných kružnic leží na prniku osy o s o 1 a o 2, vidíme, že jsou dva S 1, S 2. Kolmice m 1 a m 2 (kolmé na pímku p a procházející body S 1, S 2 ) jsem si sestrojila, abych našla body dotyku hledaných kružnic k 1, k 2 se zadanými pímkami p, q. Obr. 4.7 a)

36 c) Žádná z pímek p, q, r není s žádnou jinou rovnobžná. Pokud by se tyto dané pímky protínaly v jednom bod, nemla by úloha žádné ešení. Pokud by se pímky protínaly ve tech rzných bodech, mla by úloha tyi ešení (obr. 4.7 b)). Úlohu vyešíme analogicky množinami bod dané vlastnosti (osy úhl) jako v pedchozím bod b) této kapitoly. Obr. 4.7 b) 4.8 Úloha typu pímka-pímka-kružnice Zadání: Sestrojte kružnici k, která se dotýká pímek p, q a kružnice l(o,r). ešení: U takto zadané úlohy mžeme rozlišit následující situace polohy vstupních objekt: a) Pímky p, q jsou rovnobžné. Pokud kružnice l neleží v rovin vymezené pímkami p, q, nemá úloha žádné ešení. Pokud se kružnice l dotýká jedné z pímek p, q, ale neleží v rovin vymezené tmito pímkami, má úloha pouze jedno ešení (obr. 4.8 a)). Pokud se kružnice l dotýká jedné z pímek p, q, ale leží alespo z ásti v rovin vymezené tmito pímkami, má úloha ti ešení (obr. 4.8 b)). Pokud kružnice l protíná jednu z pímek p, q ve dvou bodech, má úloha dv ešení (obr. 4.8 a)). A nakonec pokud kružnice l protíná každou z pímek p, q ve dvou bodech, má úloha tyi ešení (obr 4.8 c)). V pípadech, kdy má úloha ti nebo tyi Obr. 4.8 a) ešení, jsem použila dilataci. To znamená, že jsem zadanou kružnici l transformovala (zmenšila o její polomr r do jejího stedu O) a zadané pímky p, q posunula kolmo od nich práv o polomr zadané kružnice r,

37 piemž takto nov vzniklé pímky p, p, q, q jsou se zadanými pímkami p, q rovnobžné. Tím nám vznikly dv nové úlohy typu "bpp" (v tchto pípadech "q p O" a "q p O"), které jsou vyešeny v kapitole 4.4. Nakonec kružnice (na obrázkách jsou znázornny ržovou barvou) které nám vyjdou vyešením této úlohy "bpp", transformujeme je nazpátek o polomr r kružnice l. Obr. 4.8 b) Obr. 4.8 c) b) Pímky p, q jsou rznobžné. Pokud by zadaná kružnice l mla s jednou z pímek p, q spolený bod mla by úloha ti ešení. Pokud by kružnice l mla s jednou z pímek p, q spolený bod a druhou pímku by protínala ve dvou bodech a navíc pokud by spolený bod P zadaných pímek ležel vn kružnice l, mla by úloha šest ešení. Pokud by tím spoleným bodem byl bod P (prseík zadaných pímek p, q), mla by úloha tyi ešení. Pokud by kružnice l nemla s žádnou z pímek p, q spolený bod, úloha by mla tyi ešení. Pokud by kružnice l mla s jednou ze zadaných pímek spolené dva body, mla by úloha tyi ešení. Pokud by kružnice l mla s každou ze zadaných pímek dva body dotyku a bod P by ležel vn kružnice l, mla by úloha osm ešení (obr. 4.8 d)). Pokud by kružnice l protínala zadané pímky p, q ve tyech bodech a bod P by ležel uvnit

38 kružnice l, mla by úloha také osm ešení. Pokud máte elektronickou podobu této bakaláské práce, mžete všechny polohy vstupních objekt vyzkoušet tahem za sted O zadané kružnice l, použijte k tomu obr. 4.8 d)). Úloha na obr. 4.8 d) je ešena Gergonnovo metodou. Takže aby jsme našli stedy podobnosti, musíme sestrojit kolmice m 1 (kolmá na pímku p a vedená bodem O) a m 2 (kolmá na pímku q vedená bodem O). Tím získáme stedy podobnosti X, X, Y a Y a osy podobnosti X Y, X Y, X Y a X Y. K tmto osám sestrojíme póly Q 1, Q 2, Q 3 a Q 4 vzhledem ke kružnici l. Naším potenním bodem nyní bude spolený bod P zadaných pímek p, q (zadané pímky jsou chordály výsledných kružnic). Sestrojíme pímky PQ i a tím nám vzniknou body dotyku U 1,, U 8 kružnice l s výslednými kružnicemi k 1,, k 8. Stedy výsledných kružnic leží na osách o 1, o 2 úhl, které svírají zadané pímky p, q, protože jsou to stedné, které jsou kolmé na píslušné osy podobnosti vedené bodem P. A zárove stedy výsledných kružnic leží na pímkách OU 1,, OU 8. Obr. 4.8 d) 4.9 Úloha typu pímka-kružnice-kružnice Zadání: Jsou dány kružnice l 1 (O 1,r 1 ), l 2 (O 2,r 2 ) a pímka p. Máme sestrojit kružnici k(s,d) tak, aby se dotýkala daných kružnic a dané pímky p. ešení: Opt mohou nastat tyto možnosti vzájemné polohy vstupních objekt:

39 a) Kružnice l 1, l 2 jsou soustedné. Kružnice l 2 leží uvnit kružnice l 1, takže r 1 >r 2. Pokud pímka p neprotíná ani jednu ze zadaných kružnic l 1, l 2, nemá úloha žádné ešení. Pokud pímka p protíná alespo jednu ze zadaných l 1, l 2, má úloha tyi ešení (obr. 4.9 a)). Pokud pímka p je tenou kružnice l 1, má úloha jedno ešení. Pokud je pímka p tenou kružnice l 2, má úloha ti ešení. Úloha na obr. 4.9 a) je ešena metodou množin bod dané vlastnosti. Jednou množinou je kružnice k (množina sted všech kružnic, které se dotýkají kružnice l 1 a zárove kružnice l 2 ), která plí vzdálenost bod Obr. 4.9 a) kružnice l 1 od bod kružnice l 2, a druhou množinou bod jsou pímky p a p, které jsou rovnobžné s p a vzdálené od pímky p tak jako teba kružnice k od kružnice l 1 (množiny sted všech kružnic, které se dotýkají pímky p s daným polomrem). b) Kružnice l 1, l 2 jsou nesoustedné, ale l 2 leží uvnit kružnice l 1. Takže opt r 1 >r 2. Pokud pímka p neprotíná ani jednu ze zadaných kružnic l 1, l 2, úloha nemá ešení. Pokud kružnice l 1, l 2 nemají žádný Obr. 4.9 b) spolený bod, a pímka p je tenou kružnice l 1, má úloha dv ešení. Pokud kružnice l 1, l 2 nemají žádný spolený bod, a pímka p je tenou kružnice l 2, má úloha tyi ešení. Pokud kružnice l 1, l 2 nemají žádný

40 spolený bod, a pímka p protíná alespo jednu z kružnic l 1, l 2, má úloha tyi ešení (obr. 4.9 b)). Opt na tomto obrázku mžete vyzkoušet všechny výše uvedené pípady polohy vstupních objekt, pokud by se v krajních pípadech výsledná kružnice neobjevila, myslím, že si ji snadno v duchu pedstavíte. Úloha na obr. 4.9 b) je ešena opt Gergonnovo metodou. V tomto pípad jsme využily osy podobnosti EX, EX, IX a IX. Stedy podobnosti E, I patí zadaným kružnicím l 1, l 2 a stedy podobnosti X, X patí zadané pímce p a kružnici l 2. Pak si opt sestrojíme póly Q i k tmto osám, potenní bod P (prseík pímky p, jakožto teny - chordály výsledných kružnic, s chordálou zadaných kružnic l 1, l 2 - kapitolka 2.2.4) a spojením bod P a Q i pak body dotyku výsledných kružnic k i s kružnicí l 2. Nakonec stedy S i výsledných kružnic k i leží v prniku stedných s i (pímky kolmé na píslušnou osu podobnosti vedené bodem P) s pímkami O 2 U i. c) Kružnice l 1, l 2 jsou nesoustedné, ale protínají se ve dvou bodech. Pokud je pímka p tena kružnice l 1 (r 1 >r 2 ) a kružnici l 2 neprotíná, má úloha ti ešení. V tom samém pípad, jen ale pokud pímka p bude protínat kružnici l 2, má úloha tyi ešení. A naposled pokud by pímka p byla zárove tenou kružnice l 2, mla by úloha ti ešení. Pokud by pímka p protínala jen jednu ze zadaných kružnic l 1, l 2, mla by úloha tyi ešení. A nakonec pokud by pímka p protínala ob dv zadané kružnice l 1, l 2, mla by úloha osm ešení (obr. 4.9 c)). Obr. 4.9 c) je vytvoený z obr. 4.9 b) tahem za rzné vstupní objekty (napíklad stedy O 1, O 2, pímkou p a podobn). To znamená, že tuto úlohy vyešíme analogicky Gergonnovo metodou. Obr. 4.9 c) d) Kružnice l 1, l 2,se protínají v jednom bod. Platí r 1 >r 2. Pokud zadané kružnice mají spolený jeden bod a navíc pokud pímka p je tenou k tmto kružnicím v jejich spoleném bod, má tato úloha nekonen mnoho ešení. Pokud tato pímka p je tenou kružnice l 1 (a neprochází spoleným bodem zadaných kružnic), má úloha dv ešení. Pokud je