ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ STATISTIKA. Semestrální práce

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ STATISTIKA Semestrální práce Lukáš Sůva, Jakub Culek (2 31) 20/2013

2 Ú vod Předmětem naší semestrální práce jsme si zvolili průzkum překračování povolené rychlosti motorových vozidel v obci Lomnice nad Popelkou. Cílem zkoumání byl počet motoristů, který nedodržel předepsanou rychlost a v jakém rozmezí se pohybují průměrné rychlosti projíždějících vozidel. Podmí nky mě ř ění Místem měření jsme si určili okrajovou část města Lomnice Popelkou na příjezdové silnici II. třídy č. 286 z Jičína ve směru do centra (Jičínská ulice). Jedná se o nejvýznamnější průtah tímto malým městem s 6000 obyvateli. Hodnoty byly zaznamenávány během dvou měření. První jsme provedli v pátek 23. listopadu po dobu tří hodin hod. a druhé v pátek 7. prosince od hod. K jejich získání bylo využito v tomto místě nacházejícího se statického informativního radaru. Protože se však při projíždění vozidla hodnota na displeji radaru několikrát zaktualizuje, zaznamenávali jsme hodnotu zobrazenou zhruba při patnáctimetrové vzdálenosti vozidla od radaru.

3 Těořiě Bodové odhady Metoda maximální věrohodnosti označuje jednu z centrálních metod matematické statistiky. Úlohou matematické statistiky je, zjednodušeně řečeno, odhad neznámých veličin v závislosti na pozorovaných (experimentálních) datech. Metoda maximální věrohodnosti je univerzální metoda pro konstrukci odhadů parametrů. V tomto případě se bude jednat o alternativní rozdělení, které lze napsat ve tvaru: Z toho odvození věrohodnostní funkce L: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Úkolem je odhadnout hodnotu parametru p a to tak, že věrohodnostní funkci L zderivujeme a položíme rovnu 0. Výsledkem bude parametr p, který odpovídá hodnotě pravděpodobnosti, a po vynásobení 100 získáme hodnotu v %. Intervalové odhady Metoda maximální věrohodnosti označuje jednu z centrálních metod matematické statistiky. Úlohou matematické statistiky je, zjednodušeně řečeno, odhad neznámých veličin v závislosti na pozorovaných (experimentálních) datech. Metoda maximální věrohodnosti je univerzální metoda pro konstrukci odhadů parametrů. V tomto případě se bude jednat o alternativní rozdělení, které lze napsat ve tvaru: Z toho odvození věrohodnostní funkce L: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Úkolem je odhadnout hodnotu parametru p a to tak, že věrohodnostní funkci L zderivujeme a položíme rovnu 0. Výsledkem bude parametr p, který odpovídá hodnotě pravděpodobnosti, a po vynásobení 100 získáme hodnotu v %.

4 Počet vozidel v rozmezí rychlostí Počet vozidel v rozmezí rychlostí Testy hypotézy Na základě výběru srovnáváme dvě tvrzení o hodnotě určitého parametru θ rozdělení f (x, θ). První tvrzení (které většinou obsahuje stávající stav věcí) se nazývá nulová hypotéza a značí se H 0, druhé tvrzení (které většinou prosazuje, že se věci změnily) je alternativní hypotéza označená H A. Nulová hypotéza něco tvrdí, např. že střední hodnota µ je rovna µ 0 a alternativní hypotéza ji odporuje. Tvrzení testujeme na základě testové statistiky, kterou je statistika pro bodový odhad podle H 0. Pro parametrické testy lze podstatu testování vyložit v souvislosti s IS následujícím způsobem (pro jednoduchost budeme uvažovat test pro střední hodnotu a se známým rozptylem souboru). Nulová hypotéza říká, že µ=µ 0. Jestliže je tato hypotéza pravdivá a kolem bodu µ 0 sestrojíme α IS, tam by také s pravděpodobností 1-α měl padnout bodový odhad, pořízený z výběru. Pokud tam padne, hypotézu H 0 nezamítáme řekneme, že data neprokázala její neplatnost. Pokud bodový odhad padne mimo IS, hypotézu H 0 zamítneme. Jediný (formální) rozdíl testů intervalů je v tom, že při intervalu používáme nenormovaný tvar statistiky, např. pro středí hodnotu se známým rozptylem je to výběrový průměr Y, zatímco pro test použijeme normovaný výběrový průměr z =( ) Jeho realizaci označíme z r. Namě ř ěna data Skupiny rychlostí [km/h] Počet vozidel Listopad (3h) Prosinec (1h) <= =141 > = Skupiny rychlostí [km/h] Listopad (3h) 32 8 Prosinec (1h) Skupiny rychlostí [km/h]

5 Zpřacova ní K výpočtům jsme využili software MatLab. Bodový odhad parametru p pro dodržení nebo naopak nedodržení rychlosti >> x = [0 1] %0.. dodržení rychlosti 1..překročení 50 x = 0 1 >> c = [ ] %četnost c = >> syms p n sx >> L = p^sx*(1-p)^(n-sx) % věrohodnostní funkce L = p^sx*(1 - p)^(n - sx) >> Lp = diff (L,p) % derivace funkce Lp = p^(sx - 1)*sx*(1 - p)^(n - sx) - p^sx*(n - sx)*(1 - p)^(n - sx - 1) >> solve (Lp,p) % porovnání derivace funkce s 0 ans = 1 0 sx/n >> odhad1 = (c*x')/sum(c) % pravděpodobnost překročení rychlosti odhad1 = >> odhad0 = 1-odhad1 % pravděpodobnost dodržení rychlosti odhad0 =

6 Intervalový odhad rychlosti Z naměřených dat jsme usoudili, že se jedná o studentovo rozdělení. Hladinu významnosti jsme zvolili α=5%. Rozptyl je neznámý. >> x=[ ] % naměřená data >> n=length(x) % počet vozidel n = 301 >> prumer=sum(x)/length(x) % průměr hodnot prumer = >> s=sqrt(1/(n-1)*sum((x-prumer).^2)) % směrodatná odchylka výběru s = >> t2=t_inv( ,n-1) t2 = >> odhad_mi_rychlost=[prumer-t2*s/sqrt(n),prumer+t2*s/sqrt(n)] % výpočet intervalu stř. hod. µ odhad_mi_rychlost = Testy hypotézy Rozhodli jsme se otestovat hypotézu, že předepsaná rychlost 50km/h, (ne)bude zpravidla dodržována v obou měsících stejně. K ověření použijeme dva intervalové odhady, jeden pro zjištění průměrné rychlosti vozidel v listopadu a druhý v prosinci. >> x=[ ] LISTOPAD PROSINEC >> n=length(x) n = n = >> prumer=sum(x)/length(x) prumer = prumer= >> s2= 1/(n-1)*sum((x-prumer).^2)) s2= s2=

7 >> mi0=50 mi0 = mi0 = >> t_r=(prumer-mi0)/sqrt(s2/n) t_r = t_r = >> t2=t_inv( ,n-1) t2 = t2 = >> obor_prijeti=[-t2,t2] obor_prijeti = obor_prijeti = >> odhad=[prumer-t2*sqrt(s2/n),prumer+t2* sqrt(s2/n)] odhad = odhad = V jednom z případů (listopad) není µ 0 prvkem intervalového odhadu, a proto hypotézu zamítáme. Za vě ř V semestrální práci jsme pracovali v programu MatLab, díky kterému jsme po zpracování naměřených dat došli k zajímavým zjištěním. Při bodovém odhadu jsme zjistili, že k porušování předepsané rychlosti dochází v 60,33% a pouze 39,97% motoristů ji dodrží. Otázkou nyní je, zdali by pověřené orgány neměly přistoupit k radikálnějšímu řešení problematiky překračování rychlosti v obci. Intervalový odhad podpořil výsledek bodového odhadu. Průměrná rychlost, kterou motoristé v daném místě projíždění, se pohybuje přibližně v intervalu km/h v kterém není obsažena maximální povolená. Při testu hypotéz jsme dospěli k nejspíš nejzajímavějšímu zjištění. Předpokládali jsme, že pokud rychlost není dodržována v jednom ze dvou měření, nebude dodržována ani jindy. Při druhém prosincovém měření se však hodnota µ 0 (50km/h) vešla do intervalového odhadu. Možných vysvětlení se nabízí několik. Možností je vyšší opatrnost řidičů způsobená přicházejícím zimním obdobím a nízké teplotě. Dalším vysvětlením může být všeobecná nepřesnost způsobu měření ovlivněná například času zaznamenávání. Použité zdroje 60,33 % NAGY I., KRATOCHVÍLOVÁ J., Matematická statistika texty k přednáškám 39,67 %