Toky v sítích. Kapitola 1

Transkript

1 Kapiola Toky v íích Moivace (pro oky): Ve měě Žízeň je velký nedoaek vody. Měo je propojeno porubní íí vodní nádrží Kupavody, kde je vody doaek. Schéma vodovodní íě je na obrázku. Každá rubka je jinak široká a proo je ve chémau u každé rubky napán maximální poče lirů, kerý rubkou proeče za jednu minuu. Vaším úkolem je zjii, kolik nejvíce lirů doeče z přehrady do měa. Toky v íích nejou jen o vodě v porubí. V analogických íích může proéka elekrický proud, aua ve měě, elefonní hovory, peníze nebo pakey v počíačových íích. 2 Moivace (pro řezy): V Hádavém královví jou někeré dvojice mě pojeny přímou ilnicí. Po ilniční íi e dá doa z každého měa do libovolného jiného. Jak už o am bývá zvykem, dvě velká měa Velezdroje a Huooky e pohádala o o, z keré rany e loupe banán. Radní obou mě chějí rozkopa někeré ilnice ak, aby už nebylo možné doje po ilnici z jednoho měa do druhého. Prý ím zabrání šíření španých názorů. Keré ilnice mají ilničáři překopa, aby plnili úkol a zároveň překopali co nejméně ilnic? Je zajímavé, že do kuečného porubí ačí vodu pui a ona už ama poeče ak, aby jí proeklo co nejvíce. 2 Problém oků v íích zkoumali už v 5. leech výzkumníci Air Force T. E. Harri a F. S. Ro. Sudovali přeun maeriálu po železniční íi ze Sověkého Svazu do aeliních zemí východní Evropy. Minimální řezy železniční íě jou raegická mía pro americké bombardéry. Jejich výzkum byl a příně ajný a odajněn byl až v roce 999.

2 2 KAPITOLA. TOKY V SÍTÍCH Proože je kapiola o ocích v íích poměrně rozáhlá, pojďme i ručně předavi obah hlavních ekcí.. Maximální ok a minimální řez úvodní kapiola, ve keré zavedeme důležié pojmy a vyvělíme základní eorii..2 Algorimy vylepšující cey hioricky arší algorimy (Ford-Fulkeronův, Dinicův, Edmon-Karpův, 3 Indů), keré pro nalezení maximálního oku využívají eorii o vylepšujících ceách..3 Goldbergův Puh-Relabel algorimu novější a prakicky rychlejší algorimu, kerý není přímočarou aplikací eorie o ocích..5 Aplikace oků v íích ukázka několika problémů, keré e dají vyřeši převodem na hledání maximálního oku. Toky v íích mají ohromné množví aplikací. S dalšími aplikacemi e eznámíme ve cvičeních na konci kapioly.

3 .. MAXIMÁLNÍ TOK A MINIMÁLNÍ ŘEZ 3. Maximální ok a minimální řez Definice: Síť (G,,, c) je orienovaný graf G = (V, E), kerý má dva peciální vrcholy: zdroj a pořebič V (z anglického ource a arge), a každá hrana e má kapaciu c(e), kde kapacia je funkce c : E R +. Spořebič je někdy označován jako ok. Tok f je funkce f : E R +, kerá plňuje i) f(e) c(e) pro každou hranu e E ii) f(xv) = f(vx) pro každý vrchol v V \ {, } xv E vx E Čílu f(e) říkáme ok po hraně e nebo aké průok hranou e. První podmínka říká, že průok hranou je nezáporný a nemůže překroči kapaciu hrany. Druhá podmínka říká, že co do vrcholu přieče, o z něj zae muí odéci. Druhé podmínce e aké říká zákon zachování oku, proože e ok ve vrcholech ani nezrácí 3, ani nepřibývá (kromě zdroje a pořebiče). V analogii v elekrických obvodech e druhé podmínce říká Kirchhoffův zákon. Pokud chceme explicině vyjádři, že mluvíme o oku ze zdroje do pořebiče, ak ok označíme jako (, )-ok. Proože e v eorii o ocích vykyuje rozdíl mezi příokem do vrcholu v a odokem z vrcholu v hodně čao, ak i zavedeme zkrácené označení f(v) = xv E f(xv) vx E f(vx). Čílu f(v) budeme říka bilance vrcholu v nebo aké přebyek oku ve vrcholu v. Při čení náledujícího exu budeme mue bý malinko oparní na o, co je argumenem f(), proože f(e) nebo f(uv) je průok hranou e = uv, ale f(v) je bilance vrcholu v. Druhou podmínku z definice oku můžeme jednoduše vyjádři jako f(v) =. Veliko oku f je množví oku, keré proéká ze zdroje do pořebiče. Proože e ok ve vrcholech ani nezrácí ani nepřibývá, ak ho můžeme počía jako f = f(). Tedy jako ok, kerý přiéká do pořebiče. Sejně bychom mohli veliko oku měři jako f(), což je veliko oku, kerý vyéká ze zdroje. Doplněk množiny R V značíme R. Tedy R = V \ R. Množinu orienovaných hran δ(r) = {vw E v R & w R} nazveme řezem určeným množinou R V. Řez je (, )-řez, pokud R a R. Tedy pokud řez odděluje zdroj od pořebiče. Řez určený jediným vrcholem v budeme zjednodušeně znači δ(v) mío δ({v}). Kapacia řezu c(δ(r)) := e δ(r) c(e). Pozor, je rozdíl mezi řezem v orienovaném grafu a řezem v neorienovaném grafu. Řez určený množinou R v orienovaném grafu obahuje jen hrany, keré z R vychází ven. Na proi omu řez určený množinou R v neorienovaném grafu obahuje hrany, keré mají jeden konec v R. Pokud chceme hleda maximální ok nebo minimální řez v neorienovaném grafu, ak nahradíme každou neorienovanou hranu dvojicí šipek jdoucích proi obě. Kapaciy obou šipek budou ejné jako kapacia původní hrany. Maximální ok a minimální řez v ako vyvořeném orienovaném grafu odpovídá oku a řezu v původním neorienovaném grafu. Pro jednoducho budeme v celé kapiole o ocích pracova pouze orienovanými grafy. 3 To už o pražké vodovodní íi říci nejde. Před ley e uvádělo, že e zraí až pěina vody, kerá e do porubí puí. R R

4 4 KAPITOLA. TOKY V SÍTÍCH Příklad: Na náledujícím obrázku je íť. U každé hrany e jou uvedeno f(e)/c(e). 2/3 a 2/4 c /2 / /2 b 2/2 d 2/2 Veliko oku v íi na obrázku je 3. Veliko řezu určeného vrcholy {, a, b} je 6 a veliko opačného řezu, o je řezu určeného vrcholy {c, d, }, je. Plaí věa, že v každém grafu exiuje maximální ok. Přímý důkaz věy vyžaduje pokročilejší znaloi maemaické analýzy a proo ho neuvedeme. Věu dokážeme nepřímo ím, že i ukážeme algorimy, keré maximální ok najdou. Lemma Pro každý (, )-ok f a každý (, )-řez δ(r) plaí f(δ(r)) f(δ(r)) = f() Důkaz: Spočíáme X = v R f(v) dvěma způoby. Jednou pře přípěvky vrcholů, podruhé pře přípěvky hran. Bilance všech vrcholů kromě zdroje a pořebiče je rovna nule. Množina R obahuje jen pořebič a proo X = f(). Na druhou ranu e podívejme na přípěvky od jednolivých hran. Hrana e = vw oběma konci v R připívá do bilance vrcholu v hodnoou f(e) a do bilance vrcholu w hodnoou f(e). Proo je její celkový přípěvek do X roven nule. Jediné hrany, keré připívají do X něčím nenulovým, jou y keré mají jeden konec v R a druhý v R. Můžeme je rozděli na hrany δ(r) vedoucí z R ven a na hrany δ(r) vedoucí z venku do R. Jejich přípěvky do X jou f(δ(r)) f(δ(r)). Důledek Pro každý (, )-ok f a každý (, )-řez δ(r) plaí f() c(δ(r)) Důkaz: Z lemma doáváme f() f(δ(r)) c(δ(r)). Druhá nerovno plaí, proože kapacia hrany je horním odhadem na průok hranou. Veliko každého (, )-řezu je horním odhadem na veliko oku. Řez je zároveň jednoduchým a nadno ověřielným cerifikáem, jak dokáza, že v íi věší ok neexiuje. Dokonce plaí náledující věa, kerá byla objevena Fordem a Fulkeronem v roce 956 a nezávile Kozigem 4 v émže roce. Věa (o maximálním oku a minimálním řezu) Pokud exiuje maximální (, )-ok, pak max{ f : f je (, )-ok } = min{c(δ(r)) : δ(r) je (, )-řez } Společně důkazem věy i ukážeme i základní myšlenku, jak zvěšova veliko oku. Předpokládejme, že už známe nějaký ok f. Pokud v grafu najdeme orienovanou ceu P akovou, že pro každou hranu e cey P je f(e) < c(e), ak zvěšíme průok ceou P a ím zvěšíme i ok f. Tao myšlenka ale ama o obě neačí. Proč? 4 Kozig byl Slovák půobící na brailavké Vyoké škole ekonomické.

5 .. MAXIMÁLNÍ TOK A MINIMÁLNÍ ŘEZ 5 Pokud ze pořebiče do zdroje vede hrana průokem f() >, ak celkový ok zvěšíme ím, že z do pošleme ok o velikoi f() po hraně v proiměru. Ve kuečnoi nic v proiměru nepoeče. Průoky hranou jdoucí proi obě e odečou. Mío oho, aby e z poílal do ok o velikoi f() (původní ok po hraně) a zároveň z do ok o velikoi f() (přidávaný ok po hraně), ak e vrcholy a dohodnou, že i každý nechá ok o velikoi f(). Nebudou i nic vyměňova, proože o vyjde na ejno. Množví oku, keré můžeme pola po měru hrany e, nazveme rezerva po měru hrany. Její veliko je c(e) f(e). Množví oku, keré můžeme pola proi měru hrany e, nazveme rezerva proi měru hrany. 5 Její veliko je f(e). v e e 2 e 3 e 4 e k v k Ceou v náledující definici vylepšující cey mylíme ceu, u keré ignorujeme orienaci hran. Hranu cey zorienovanou měrem od zdroje do pořebiče nazveme dopřednou a opačně orienovanou hranu nazveme zpěnou. Cea v e v e 2 v 2... e k v k je vylepšující cea pro ok f, pokud pro každou dopřednou hranu e cey plaí f(e) < c(e) a pro každou zpěnou hranu plaí f(e) >. Ceu vedoucí ze zdroje do pořebiče budeme zkráceně označova jako (, )-ceu. Lemma 2 Pokud v íi exiuje vylepšující cea P pro ok f vedoucí ze zdroje do pořebiče, ak ok f není maximální. Důkaz: Tok f můžeme vylepši podél vylepšující cey P. Nechť ε = min{ε, ε 2 }, kde ε = min{c(e) f(e) e P je dopředná} a ε 2 = min{f(e) e P je zpěná}. Slovy e dá říci, že ε je nejvěší ok, kerý e dá pola ze zdroje do pořebiče podél cey P. Vylepšením oku f podél cey P doaneme ok f. f(e) + ε, e P je dopředná hrana, f (e) := f(e) ε, e P je zpěná hrana, f(e), e P. Funkce f je opě ok, proože plňuje definici oku (ověře). Důkaz: (Věy o maximálním oku a minimálním řezu) Každý ok je menší nebo roven velikoi libovolného řezu (důledek ). To dokazuje R první nerovno. Pro důkaz druhé nerovnoi vezmeme maximální ok f a budeme chí nají řez ejné R velikoi. V íi neexiuje vylepšující cea ze zdroje do pořebiče, proože jinak e doaneme do poru lemmaem 2. Nechť R = {v V do kerých vede vylepšující cea z }. Množina δ(r) je (, )-řez, proože z do vede vylepšující cea nulové délky, ale z do žádná vylepšující cea nevede. Pro každou hranu řezu δ(r) je f(e) = c(e) a pro každou hranu řezu δ(r) je f(e) =. Jinak by šla vylepšující cea prodlouži do vrcholů mimo R. Podle lemmau je veliko oku f() = f(δ(r)) f(δ(r)) = c(δ(r)), což jme chěli ukáza. Důledek 2 Tok f je maximální neexiuje vylepšující cea pro ok f. Předchozí důkaz nám dokonce ukazuje, jak nají minimální řez, kerý dovědčí, že věší ok neexiuje. 5 Později (u Dinicova algorimu) rozšíříme graf G ak, aby ke každé hraně uv exiovala opačná hrana vu, a díky omu zavedeme rezervy rochu jednodušším způobem.

6 6 KAPITOLA. TOKY V SÍTÍCH.2 Algorimy vylepšující cey.2. Ford-Fulkeronův algorimu Důkaz věy o maximálním oku a minimálním řezu je zároveň i návodem jak hleda maximální ok. Začneme nulovým okem a poupně budeme hleda vylepšující cey, podél kerých zvěšíme akuální ok. Když už nebude exiova vylepšující cea, ak máme maximální ok. Doáváme ak Ford-Fulkeronův algorimu (z roku 957). Ford-Fulkeron: f := while exiuje vylepšující cea P z do do vylepši ok f podél cey P reurn f Jak hleda vylepšující cey i vyvělíme až v další ekci u Dinicova algorimu. Podívejme e, jak je o konečnoí Ford-Fulkeronova algorimu. Pokud má íť celočíelné kapaciy, ak v každém kroku oupne veliko oku alepoň o jedna. Souče všech kapaci, kerý je horním odhadem na veliko oku, je konečné čílo a proo e algorimu po konečně mnoha krocích zaaví. Pokud má íť racionální kapaciy, ak je můžeme přenáobi nejmenším polečným jmenovaelem a ím úlohu převedeme na předchozí případ (průběh algorimu e ím nezmění). Je zajímavé, že důkaz konečnoi nemůžeme rozšíři na íě iracionálními kapaciami. Dokonce exiují íě iracionálními kapaciami, ve kerých e algorimu zacyklí (viz řeí z náledujících příkladů). V celočíelné íi zvýšíme ok podél vylepšující cey vždy o celé čílo. Proo doáváme náledující důledek. Důledek 3 V íi celočíelnými kapaciami hran exiuje maximální ok, kerý je celočíelný. Příklad: (průběh algorimu) Najděe maximální ok v íi na náledujícím obrázku. 6 a 7 d 8 2 c 9 2 b 6 e 5 2 Budeme poupova podle Ford-Fulkeronova algorimu. Začneme nulovým okem a poupně budeme hleda vylepšující cey. Průběh algorimu je naznačen na náledujících obrázcích (po řádkách). Každý obrázek zachycuje av po vylepšení oku podél vyznačené vylepšující cey. 2/6 / a / /7 d 2/2 /8 c /2 /9 b /6 / e 2/5 /2 2/6 / a / /7 d 2/2 /8 c /2 /9 b /6 / e 2/5 /2

7 .2. ALGORITMY VYLEPŠUJÍCÍ CESTY 7 3/6 / a / /7 d 2/2 /8 c /2 2/9 b /6 / e 2/5 2/2 4/6 / a / /7 d 2/2 /8 c /2 3/9 b /6 / e 3/5 2/2 Po čvrém vylepšení už vylepšující cea neexiuje. Proo je nalezený ok velikoi 5 maximální. Pokud bychom chěli nají minimální řez, ak můžeme poupova podle návodu z důkazu věy o maximálním oku a minimálním řezu. Vylepšující cea ze zdroje vede jen do vrcholů {, a, c, d, e} a y aké určují minimální řez velikoi 5. Příklad: (poče ierací závií na ohodnocení) Doba běhu algorimu může značně závie na velikoi kapaci. Podívejme e na náledující íť. Pokud budeme řídavě nacháze vylepšující ceu P a vylepšující ceu P 2, ak budeme mue prové 2N vylepšení, než doaneme maximální ok. N a N P N b N P 2 Na příkladu je aké vidě, že ačilo vybra dvě vhodné vylepšující cey. Jednu vedoucí horem a druhou vedoucí podem. To ná přivádí k vylepšení, keré provedl Edmond a Karp. Ukázali, že e je výhodné hleda vylepšující ceu nejmenším počem hran. Příklad: (zacyklední, Uri Zwick) Pokud jou kapaciy hran reálná číla, ak e algorimu může zacykli. Uvažme íť na náledujícím obrázku. Dvě hrany íě mají kapaciu jedna, še hran má kapaciu N, kde N je doaečně velké čílo, a jedna hrana má kapaciu Φ = ( 5 )/2.68. Čílo Φ je zvoleno ak, aby Φ = Φ 2. Přenáobením rovnice členem Φ k doaneme Φ k Φ k+ = Φ k+2. N N N v v 2 v 3 Φ v 4 P P 2 N N N P 3 P 4 V průběhu Ford-Fulkeronova algorimu budeme na vodorovných hranách ledova rezervy po měru hrany a zapiova je zleva doprava do upořádané rojice. Připomeňme, že rezerva po měru hrany e je c(e) f(e). Začneme nulovým okem. Vylepšením oku podél cey P doaneme na vodorovných hranách rezervy (,, Φ). Dále budeme pracova jednolivých ieracích. V každé ieraci poupně provedeme čyři vylepšení podél ce P 2, P 3, P 2, P 4. Předpokládejme, že na začáku ierace jou rezervy vodorovných hran (Φ k,, Φ k ).

8 8 KAPITOLA. TOKY V SÍTÍCH V ieraci poupně zvěšíme ok o Φ k, Φ k, Φ k+ a Φ k+. Rezervy na vodorovných hranách poupně budou P 2 (Φ k+, Φ k, ) P3 (Φ k+,, Φ k ) P2 (, Φ k+, Φ k+2 ) P4 (Φ k+,, Φ k+2 ) Na konci n-é ierace (o je po 4n + vylepšeních) budou rezervy vodorovných hran Φ 2n 2,, Φ 2n. S rooucím počem vylepšení konverguje veliko nalezeného oku k hodnoě + 2 Φ i = 2 Φ = < 5. i= Na druhou ranu je zřejmé, že veliko maximálního oku je 2N +, kde N je libovolně velké čílo..2.2 Dinicův/Edmond-Karpův algorimu Pokud budeme ve Ford-Fulkeronově algorimu voli nejkraší vylepšující ceu ( nejmenším počem hran), ak e dramaicky zlepší čaová ložio celého algorimu. Teno nápad uvedli ve vé práci už Ford a Fulkeron, ale popali ho jako heuriiku. Jako první provedl analýzu éo heuriiky ruký maemaik Dini (čao překládán jako Dinic) v roce 97. Edmond a Karp nezávile publikovali labší analýzu v roce 972. Ale proože o byla první anglicky publikovaná analýza, ak e algorimu čao označuje jako Edmond-Karpův. Dinic navíc přišel vrevnaou (čiou) íí a blokujícím okem a pomocí něj ukázal rychlejší implemenaci algorimu. Proo budeme algorimu označova jako Dinicův. Ve kuečnoi je ejně ěžké nají vylepšující ceu jako nají nejkraší vylepšující ceu. Oboje můžeme řeši průchodem do šířky. Proo je vylepšení algorimu ak jednoduchou modifikací, že bychom ji ve Ford-Fulkeronově algorimu použili, aniž bychom o om věděli. Nejprve i ukážeme, jak jednoduše hleda nejkraší vylepšující ceu. ) Máme íť grafem G a okem f 5/5 (původní íť). Pro zjednodušení výkladu 6/ předpokládejme, že v G ke každé hraně uv exiuje opačná hrana vu. Pokud ne, ak do G přidáme hranu vu nulovou kapaciou. /3 Původní íť G Too rozšíření grafu G nijak nezmění akuální, ani maximální ok, ale zjednoduší e zavedení a práci rezervou hrany. 2) Chceme vyvoři pomocnou íť, kerá nám zjednoduší hledání vylepšující cey. Nechceme e díva na hrany v proiměru, ani nechceme, aby v íi exiovaly náobné orienované hrany. Tuo íť vyvoříme na základě původní íě a oku f. Nazveme ji íť rezerv G f. Rezerva r(uv) říká, jak velký ok prolačíme z u do v, a odpovídá ouču rezervy 5 hrany uv po měru a rezervy hrany vu 4 v proiměru. Spočíá e jako 6 r(uv) = (c(uv) f(uv)) + f(vu). 3 Do íě rezerv dáme jen y hrany (rozšířené) původní íě, keré mají nenulovou Síť rezerv G f rezervu, a ohodnoíme je rezervou. Každá orienovaná cea v íi rezerv odpovídá vylepšující ceě v původní íi.

9 .2. ALGORITMY VYLEPŠUJÍCÍ CESTY 9 3) Na základě íě rezerv vyvoříme čiou íť G f. Do čié íě dáme jen y hrany íě rezerv, keré leží na nejkraší ceě ze zdroje do pořebiče. Můžeme ji zkonruova pomocí průchodu do šířky, kerý roz- dělí vrcholy do vrev podle vzdálenoi Čiá íť G f od zdroje. Proo e éo íi někdy říká vrevnaá íť. Hrana e původní íě je naycená vzhledem k oku f, pokud r(e) = (hranou e = uv i opačnou hranou vu v proiměru proéká nejvěší možný ok měrem z u do v). Orienovaná cea je naycená, pokud obahuje naycenou hranu. Naycená cea je edy opakem vylepšující cey. Analýza Dinicova/Edmond-Karpova algorimu Délkou orienované cey mylíme poče hran na ceě. Vzdáleno z vrcholu x do vrcholu y je délka nejkraší orienované cey z x do y v íi rezerv G f. Označíme ji d f (x, y). Pro cey vedoucí ze zdroje píšeme zkráceně d f (y) mío d f (, y). Klíčové lemma říká, že po vylepšení oku podél nejkraší vylepšující (, )-cey neklene v íi rezerv délka nejkraší cey ze zdroje do pořebiče. Vylepšením oku podél vylepšující cey e někeré hrany nayí. Jejich rezerva klene na nulu a proo zmizí ze íě rezerv. Tím délka nejkraší cey v G f určiě neklene. Na druhou ranu e v íi rezerv mohou objevi nové hrany. Jou o hrany, keré měly nulovou rezervu, ale při vylepšení oku jme po opačné hraně polali nenulový ok. Každá nová hrana vede z i-é vrvy čié íě do (i )-ní (pro nějaké i). Každá (, )-cea používající alepoň jednu novou hranu, muí alepoň jednou koči o vrvu zpě, ale nikdy nemůže koči více než o jednu vrvu dopředu. Proo je nová cea alepoň o 2 delší, než byla délka cey, podle keré jme vylepšovali ok. Lemma zformulujeme malinko obecněji a ukážeme, že po vylepšení neklene žádná vzdáleno ze zdroje do libovolného vrcholu v. Lemma 3 Nechť f je ok a f je ok, kerý vznikne vylepšením f podél nejkraší vylepšující cey P. Poom pro každý vrchol v V plaí d f (v) d f (v). Důkaz: Označme vrcholy na nejkraší vylepšující ceě P v íi G f jako = v, v,..., v k =. Předpokládejme pro por, že exiuje vrchol v akový, že d f (v) < d f (v). Ze všech akových vrcholů i vybereme en nejmenším d f (v). Určiě plaí v. Nechť w je předpolední vrchol na nejkraší ceě do v v íi G f, poom d f (v) = d f (w) +. Z volby vrcholu v plaí d f (w) d f (w). Hrana wv e muela v grafu objevi až po vylepšení, jinak bychom průchodem po hraně wv v íi G f doali d f (v) d f (w) + d f (w) + d f (v). Proo je wv opačnou hranou k hraně v i v i na ceě P, pro nějaké i. Poom je d f (w) = i a d f (v) = i. Na druhou ranu je d f (v) d f (w) + i +. To je por. Náledující lemma říká, že pokud po vylepšení oku podél nejkraší vylepšující (, )-cey nevzroe délka nejkraší (, )-cey, bude nová čiá íť podgrafem původní čié íě. Proo ačí akualizova původní čiou íť a nemuíme ji po každém vylepšení počía znova.

10 KAPITOLA. TOKY V SÍTÍCH Lemma 4 Nechť f je ok a f je ok, kerý vznikne vylepšením f podél nejkraší vylepšující cey. Pokud d f () = d f (), ak G f G f. Důkaz: Čiá í obahuje právě hrany ležící na nejkraší ceě ze zdroje do pořebiče. Nechť k := d f (). Během vylepšování oku podél cey e mohou objevi nové hrany. Z předchozího důkazu ale vyplývá, že každá cea ze zdroje do pořebiče používající novou hranu je alepoň o dva delší než k. Proo e žádná nová hrana nemůže objevi v čié íi a edy čiá íť G f je podgrafem předchozí čié íě G f. Lemma 5 Dinicův/Edmond-Karpův algorimu provede vylepšení podél nejvýše mn vylepšujících ce. Důkaz: Délka nejkraší vylepšující cey v průběhu algorimu nekleá. Proo můžeme běh algorimu rozděli do fází podle délky nejkraší vylepšující cey. Fází je nejvýše olik, kolik je různých délek ce a o je nejvýše n. Podle lemma 4 do čié íě během fáze nepřibudou žádné hrany. V každé fázi provedeme nejvýše m vylepšení, proože e při každém vylepšení nayí apoň jedna hrana a zmizí z čié íě. Dinicův algorimu Na čiou íť G f rezervami e můžeme díva jako na obyčejnou íť kapaciami (kapaciou každé hrany je veliko rezervy) a můžeme v ní hleda ok. Graf čié íě je acyklický orienovaný graf. Tok φ v acyklické orienované íi je blokující ok, pokud je každá orienovaná (, )-cea v G f naycená. Důležié je lovo orienovaná. Cea obahující hranu v proiměru není přípuná. Blokující ok nemuí bý maximální ok, proože může exiova vylepšující cea používající hrany v proiměru. Blokující ok můžeme nají pomocí vylepšujících ce, keré nevyužívají rezervy v proiměru. Blokující ok φ v čié íi G f je roven oku, o kerý zvěšíme f během jedné fáze Dinicova algorimu, j. při vylepšování oku f podél vylepšujících ce ejné délky. : Dinic: 2: zvol počáeční ok, například f := 3: repea 4: počíej íť rezerv 5: počíej čiou íť 6: nalezni blokující ok v čié íi a přiči ho k f 7: unil počíaná čiá íť obahovala hrany 8: reurn f Když nově počíaná čiá íť neobahuje hrany, ak můžeme konči, proože neexiuje cea ze zdroje do pořebiče v G f, edy ani žádná vylepšující cea v G. V en momen máme maximální ok. Repea-cyklu proběhne nejvýše n-krá, proože v každé ieraci e zvěší délka nejkraší vylepšující cey. Provedení kroků 4 a 5 bude rva ča O(n + m), proože oba kroky provedeme pomocí průchodu grafu. Jak e provede krok 6 i ukážeme za chvilku. Ukážeme, že krok 6 rvá ča O(nm). Dohromady doaneme čaovou ložio Dinicova algorimu O(n 2 m). : nalezení blokujícího oku v čié íi:

11 .2. ALGORITMY VYLEPŠUJÍCÍ CESTY 2: while čiá íť obahuje hrany do 3: najdi v čié íi ceu ze zdroje do pořebiče 4: počíej hodnou nejmenší rezervy na ceě 5: vylepši ok f podél cey a uprav čiou íť 6: dočii čiou íť Krok 3 provedeme hladově například průchodem do hloubky. Při návrau v průchodu do hloubky můžeme rovnou počía krok 4. Proo budou oba kroky rva ča O(n). Sejně ak vylepšení oku podél nalezené cey. Jak budeme upravova a dočiťova čiou íť? Pro každý vrchol i budeme pamaova jeho vupní a výupní upeň. Vylepšením oku klene rezerva někerých hran na nulu. Takové hrany muíme z čié íě vymaza. Muíme i ale dá pozor, aby nám vymazáním někerých hran nevznikly lepé uličky. To jou cey vedoucí do vrcholů, ze kerých už nejde pokračova dál. Proo při vymazávaní každé hrany vložíme její konce do frony. Při dočišťování čié íě poupně probíráme vrcholy ve froně a pokud mají vupní nebo výupní upeň nula, ak vymažeme všechny hrany z nich vedoucí. Druhé konce mazaných hran vkládáme opě do frony a při om akualizujeme vupní a výupní upně ěcho vrcholů. Po zpracování frony doaneme korekní čiou íť, ve keré můžeme znova začí hleda vylepšující ceu. Ča za zpracování frony budeme účova jednolivým hranám. Každý vrchol, kerý byl vložen do frony, odpovídá jedné mazané hraně. Hrana mohla do frony vloži nejvýše vé dva koncové vrcholy. Z oho vyplývá, že čaová ložio všech provedení kroků 6 je O(m). While-cyklu proběhne nejvýše m-krá, proože pokaždé vymažeme alepoň jednu hranu čié íě. Celková čaová ložio nalezení blokujícího oku v čié íi je O(mn). Poznámky k implemenaci Ve kuečnoi nepořebujeme rozlišova mezi íí rezerv a čiou íí. V ieraci nám ačí jen jedna íť. Nejprve počíáme íť rezerv. V é provedeme průchod do šířky, během kerého umazáváme hrany neležící na nejkraší ceě ze zdroje do pořebiče. Nechť S je množina vrcholů ležících na nějaké nejkraší ceě ze zdroje do pořebiče. Výpoče čié íě provedeme náledovně. Na začáku je S = {}. Síť rezerv procházíme do šířky a při každém návrau po hraně uv hranu mažeme, pokud v S, jinak přidáme u do S a hranu necháme v čié íi. Tím doaneme čiou íť. Také není pořeba provádě dokonalé dočišťování čié íě. Do vrcholů, do kerých nevede žádná cea, e nemáme jak doa. Proo akové vrcholy a cey z nich vedoucí můžeme v íi necha. Odraňování vrcholů na lepých uličkách, ze kerých nevede cea dál, můžeme prové podobným rikem, jako při hledání čié íě. Čiou í nebudeme dočišťova v kroku 6, ale až v kroku 3 při dalším průběhu cyklu. V kroku 3 hledáme ceu ze zdroje do pořebiče v čié íi. Hledání provedeme pomocí průchodu do hloubky. Pokud bychom při průchodu do hloubky přešli po hraně uv akové, že z v nelze pokračova dál, ak při návrau hranu uv mažeme. Mazání naúčujeme mazaným hranám. Ve peciálních íích má Dinicův algorimu ješě lepší čaovou ložio. O om e ale dozvíe více ve cvičeních. Zájemce aké můžeme odkáza na Schrijvera [] nebo Mareše [9]..2.3 Meoda ří Indů Indové Malhora, Kumar a Mahehawari v roce 978 vymyleli efekivnější algorimu, jak naléz blokující ok v čié íi. Jejich meoda běží v čae O(n 2 ), což

12 2 KAPITOLA. TOKY V SÍTÍCH zlepšuje ča Dinicova algorimu na O(n 3 ). Pro každý vrchol i počíáme, jak velký ok může proéka krz vrchol. Někdy mío průok krz vrchol říkáme, jak velký ok jde prolači krz vrchol. Nejvěší možný průok pře vrchol v nazveme rezervou vrcholu v a označíme ho R(v) := min{r + (v), R (v) }, kde R + (v) = r(xv), v xv E R (v) = vx E r(vx). R + (v) R (v) : nalezení blokujícího oku v čié íi (podle ří Indů): 2: počíej R(v) pro každý v V 3: while V do 4: v := vrchol v V minimálním R(v) 5: if R(v ) = hen 6: V := V \ {v } 7: uprav R(v) pro ouedy v 8: ele 9: najdi ok velikoi R(v ) procházející vrcholem v pomocí prolačení doleva a doprava a uprav hodnoy R(v) Kroky 5 7 odpovídají pročišťování čié íě. Z grafu vyloučíme vrchol v i hranami, keré vedou z v nebo do v. Kromě odranění vrcholů zpracovaných v předchozím průběhu cyklu e ako odraňují i lepé uličky (rozmylee i, jak mohou lepé uličky vzniknou a jak je algorimu odraní). Krok 2 bude rva O(m). Cyklu proběhne n-krá, proože v každé ieraci vyhodíme z množiny vrcholů jeden vrchol. Oaní kroky, kromě kroku 9 jou provedielné v čae O(n). Čaovou ložio kroku 9 budeme počía zvlášť a budeme ji účova hranám a vrcholům íě. Jak probíhá krok 9? Ukážeme i jen prolačování oku doprava. Prolačení oku doleva proběhne ymericky. Prolačování provádíme po vrvách měrem od v. v 3 v 2 v /2 /3 /2 v / 4/4 2/3 /5 v v 2 v 3 / / 3/3 2/3 /4 / v 5 v 6 v 7 2/3 2/2 2/2 /2 /3 v 8 v 9 v v 4 Na začáku dáme do frony jen v. Vrcholy z frony poupně zpracováváme náledujícím způobem. Předavme i, že už jme ve vrcholu v, do kerého jme dolačili přebyek oku o velikoi K. Poupně probíráme hrany, keré vedou z vrcholu v doprava, a nažíme e po nich pola co nejvěší ok. Pokud bude přebyek oku ve v věší, než rezerva probírané hrany, ak hranu nayíme a pooupíme k další hraně. Z vrcholu vždy vede další hrana, po keré můžeme ok pola, proože K R(v ) R (v). Druhé konce hran, po kerých jme polali nějaký ok, vložíme do frony. Práci hranami, keré jme nayili, naúčujeme hranám (naycené hrany zmizí z čié íě). Práci polední hranou, po keré jme polali nějaký ok, ale nemueli jme ji nayi, naúčujeme vrcholu v. Celkem jme během algorimu naúčovali

13 .2. ALGORITMY VYLEPŠUJÍCÍ CESTY 3 každé hraně nejvýše jednu jednoku práce a každému vrcholu nejvýše n jednoek práce. Proo je celková čaová ložio kroku 9 rovna O(n 2 + m). Čaová ložio celého algorimu na nalezení blokujícího oku podle meody ří Indů je O(n 2 ). To dává čaovou ložio nalezení maximálního oku O(n 3 ). Poznámka k implemenaci Můžeme e vyhnou použií frony při prolačování oku. Během kroku 2 i v čae O(m) počíáme opologické upořádání vrcholů čié íě (opologické upořádání hledáme pro čiou íť pouze jednou). Během prolačování oku doprava poupně v opologickém pořadí probíráme vrcholy, keré jou opologicky věší než v a pokud mají kladný přebyek oku, ak přebyek prolačíme do ouedních vrcholů. Podobně při prolačování oku doleva.

14 4 KAPITOLA. TOKY V SÍTÍCH.3 Goldbergův Puh-Relabel algorimu V algorimech vylepšující cey e ok podél jedné hrany poupně načíává z oků podél vylepšujících ce. Těcho ce může bý poměrně mnoho a nalezení zlepšující cey může rva až O(n). Proo e nakýá myšlenka, jeli nemůžeme ok podél hrany pola naráz. Ukážeme i algorimu, kerý je založen na daleko jednodušší myšlence než jou vylepšující cey. Algorimu používá dvě základní operace: prolačení oku po hraně (puh) 6 a zvýšení výšky vrcholu (relabel). Proo e algorimu nazývá puh-relabel. Algorimu vymylel Goldberg v roce 985. Variana, kerou i ukážeme je podle Goldberga a Tarjana z roku 988. Připomeňme, že G je orienovaný graf, jehož hrany jou ohodnoceny kapaciami c : E R +. Graf G rozšíříme ak, aby ke každé hraně uv exiovala opačná hrana vu. Přidávané hrany budou mí kapaciu nula, akže nijak neovlivní ok v íi (ve kuečnoi žádné hrany přidáva nemuíme, používáme je jen pro zjednodušení definice rezervy). Rozšířenému grafu budeme říka původní íť. Budeme pracova pomocným grafem G f (íť rezerv) podobně jako v algorimech pracujících vylepšující ceou. Pro dvojici G a f dáme do grafu G f každou hranu původního grafu nenulovou rezervou. Připomeňme, že rezerva hrany uv je r(uv) = (c(uv) f(uv)) + f(vu). Rezerva r(uv) znamená, že můžeme krz hranu uv, případně hranu vu, prolači r(uv) jednoek oku z vrcholu u do vrcholu v. Aby v původním grafu po dvojici hran uv, vu neproudil ok am i zpě, ak nejprve prolačíme co nejvěší čá oku v proiměru po vu a pak eprve zbyek oku po uv. Změnou oku e změní i pomocný graf G f. Dále připomeňme, že f(v) značí bilanci vrcholu v, nebo aké přebyek oku ve vrcholu v. Myšlenka prolačování Nejprve zavedeme jeden klíčový pojem. Funkce f : E R + je praok 7, pokud plňuje i) f(e) c(e) pro každou hranu e E ii) f(v) pro každý vrchol v V \ {, } Řekneme, že vrchol v V \ {, } je akivní, pokud f(v) >. Tedy pokud do vrcholu přiéká více, než z něj odéká. Vrcholy, nejou nikdy akivní. Jak e liší praok od oku? V definici oku plaí druhá podmínka rovnoí (f(v) = pro každý vrchol v V \ {, }). Podívejme e na základní myšlenku puh-relabel algorimu. Nejprve prolačíme ze zdroje co nejvěší ok do ouedních vrcholů. Dále budeme probíra akivní vrcholy a naži e prolači přebyek oku v nich do ouedních vrcholů měrem ke pořebiči. Při prolačování oku nemíme překroči kapaciu hran. Prolačování bude probíha pouze po hranách nenulovou rezervou. Poupně budeme chí prolači všechny přebyky oku až do pořebiče. Když o nepůjde, ak je prolačíme zpáky do zdroje. Podívejme e na příklad íě na obrázku, ve keré najdeme maximální ok pomocí prolačování oku po hranách a b c 6 Prolačování oku po hraně je podobné prolačování oku v meodě ří Indů. 7 z anglického preflow

15 .3. GOLDBERGŮV PUSH-RELABEL ALGORITMUS 5 Průběh prolačování oku i můžeme předavi jako vlnu, kerá e šíří ze zdroje do pořebiče. Tam e odrazí a valí e zpáky do zdroje. Jednolivé kroky prolačování jou na náledujících obrázcích. U každé hrany na obrázku je hodnoa f(e)/c(e). Ve vrcholech je uvedeno jméno vrcholu a akuální přebyek oku. V první fázi poupně prolačujeme co nejvíce oku ze zdroje měrem ke pořebiči. Ve zdroji je nekonečně mnoho vody a ak po hraně a prolačíme 5 jednoek oku do a. V dalším kroku prolačíme po hraně ab co nejvěší čá přebyku f(a). Dále poupujeme podobně a o ak dlouho, dokud nedorazíme do pořebiče /5 a /4 b /2 c /3 5 5/5 a 4/4 b /2 c /3 4 5/5 a 4/4 b 2/2 c / /5 a 4/4 b 2/2 c 2/3 2 2 Do pořebiče jme dolačili nejvěší možný ok, ale vrcholy a, b jou ále akivní. V grafu G f nevede orienovaná cea z akivních vrcholů do pořebiče a proo naane druhá fáze, ve keré dolačíme přebyek oku z akivních vrcholů zpáky do zdroje /5 a 2/4 b 2/2 c 2/3 3 2/5 a 2/4 b 2/2 c 2/3 2 2 Skončili jme maximálním okem. Na ceě je hledání oku jednoduché, ale v jakém pořadí provádě jednolivá prolačení v obecném grafu? Muíme i dá pozor, abychom e nezacyklili. Například by e mohlo á, že budeme neuále prolačova ok po jedné hraně am a zpáky, am a zpáky,... Rozhodování, podél kerých hran budeme ok prolačova, provedeme na základě odhadu vzdálenoí v G f. Přebyky oku budeme prolačova po nejkraších ceách do pořebiče. Za chvíli i vyvělíme, co je o výška každého vrcholu. Dolním odhadem vzdálenoi dvou vrcholů poom bude jejich výškový rozdíl. Samoný algorimu nebude přemýšle nad nejkrašími ceami do pořebiče, ale bude ok poíla po libovolné hraně vedoucí z kopce dolů. Plané označkování a výšky vrcholů Vekor d (N { }) n nazveme plané označkování 8 vrcholů vzhledem k oku f, pokud i) d() = n, d() =, ii) d(v) d(w) + pro každou hranu vw E(G f ). Pod hodnoou d(v) i budeme předavova výšku, ve keré e vrchol v nachází. Prolačování oku budeme provádě podél hran vedoucích z kopce dolů. To je ak, jak voda přirozeně eče. Plané označkování říká, že zdroj bude vždy ve výšce n, 8 z anglického valid labeling

16 6 KAPITOLA. TOKY V SÍTÍCH pořebič ve výšce. Neklade žádná omezení na oupání, ale říká, že žádná hrana G f nevede příliš rmě dolů. 9 Hrana může klea nejvýše o jedna. Z exience planého označkování vrcholů vyplývá důležiá vlano praoku, kerá říká, že praok naycuje jiý řez. Řez δ(r) je naycený, pokud pro každou hranu e δ(r) je f(e) = c(e) a pro každou hranu δ(r) je f(e) =. Připomeňme, že ok je vždy menší roven velikoi řezu. Pokud pro ok f najdeme řez δ(r) naycený okem f, ak víme, že je ok maximální (plaí c(δ(r)) = f ). Lemma 6 Nechť f je praok a d je plané označkování pro f. Poom exiuje naycený (, )-řez δ(r). Důkaz: Proože má graf G f jen n vrcholů, ak exiuje hodnoa k, < k < n, aková, že d(v) k pro všechny vrcholy v V. Položme R = {v V : d(v) > k}. Poom R a R, proože d() = n a d() =. Z bodu ii) definice planého označkování plyne, že žádná hrana G f nevede z R ven, proože nemůže klenou o více než jedna. Důledek 4 Pokud exiuje plané označkování pro ok f, ak je ok f maximální. Důledek nám dává podmínku pro zaavení algorimu. Puh-relabel algorimu i neuále udržuje planý praok a plané označkování (edy i naycený řez). Skončí v momeně, kdy e z praoku ane ok. V jiém mylu je duální k algorimům vylepšující cey, proože y i udržují planý ok a končí, až e někerý řez nayí. Připomeňme, že d f (v, w) je orienovaná vzdáleno v grafu G f, j. poče hran na nejkraší orienované ceě z v do w. Ukážeme i, že rozdíl výšek dvou vrcholů je dolním odhadem jejich vzdálenoi v G f. Lemma 7 Nechť f je praok a d plané označkování. Poom pro každé dva vrcholy v, w V plaí d f (v, w) d(v) d(w). Důkaz: Pokud je d f (v, w) =, ak lemma plaí. Předpokládejme edy, že je d f (v, w) konečné. Uvažme nejkraší orienovanou (v, w)-ceu v G f. Pro každou hranu pq orienované cey z definice planého označkování plaí d(p) d(q). Sečením ěcho nerovnoí podél hran orienované cey doaneme výledek. Ve peciálním případě lemma říká, že d(v) je dolním odhadem na d f (v, ) a že d(v) n je dolním odhadem na d f (v, ). Poznamenejme, že d(v) n znamená, že d f (v, ) =. Tedy že v G f nevede orienovaná cea z v do pořebiče a proo by e měl v omo případě poíla přebyek oku ve v zpáky do zdroje. Bez ohledu na veliko d(v) budeme prolačova ok z kopce dolů. Tedy z vrcholu v do vrcholů w d(w) < d(v), proože e ím podle odhadů doane ok z v blíže k míu určení. Poznámka: (o výpoču planého označkování) Důkaz lemmau nám naznačuje, jak i počía plané označkování, pokud bychom ho neznali. Nejprve e podívejme na peciální případ, kdy ze všech vrcholů kromě exiuje v íi rezerv G f orienovaná cea do. Za výšky d(v) zvolíme délku nejkraší cey z v do, jinými lovy d(v) := d f (v, ). Poom označkování vrcholů d(v) plňuje vlanoi planého 9 Naycené hrany zmizí ze íě rezerv G f. Proo e na ně nevahuje omezení kleání. Z důkazu je vidě, odkud e vzala druhá podmínka v definici planého označkování. Pořebujeme, aby ohle lemma plailo.

17 .3. GOLDBERGŮV PUSH-RELABEL ALGORITMUS 7 označkování až na podmínku d() = n. Hodnou d() i můžeme zvoli jak chceme, proože v íi G f nevede z žádná hrana do oaních vrcholů. Jinak by v G f exiovala i cea z do. (Všechny hrany vedoucí z jou naycené a udíž nejou v íi G f ). V obecném případě zvolíme d(v) := min{d f (v, ), n + d f (v, )}. Důkaz, že ako doaneme plané označkování, necháme jako cvičení. Poznamenejme jenom, že množina vrcholů, ze kerých v G f vede orienovaná cea do, určuje naycený řez. Výpoču planého označkování využijeme později v heuriice na raně 23. Puh-Relabel algorimu Inicializace: Začneme počáečním praokem f akovým, že f(e) = c(e) pro hrany e E vedoucí ze zdroje a f(e) = pro oaní hrany. Položme d() = n a d(v) = pro všechny oaní vrcholy v. Označkování d je planým označkováním pro praok f, proože všechny hrany G f mají oba konce ve výšce nula. Hlavním úkolem ve zbyku algorimu je likvidova akivní vrcholy, proože až v grafu nebude exiova akivní vrchol, ak e praok ane okem. Při zpracování vrcholů nám pomohou náledující operace. Operace prolač: Operaci prolačení oku po hraně vw E(G f ) nazveme prolač(vw) (anglicky e nazývá puh). Jak už jme řekli, přebyek oku budeme prolačova pouze po hranách vedoucích z kopce dolů. Tedy při prolačení oku po hraně vw E(G f ) je d(w) < d(v). Proože hrany íě rezerv nemohou klea nejvíce o jedna, muí bý d(v) = d(w) +. Abychom měli co prolačova, ak muí bý ve v kladný přebyek oku. To znamená, že v muí bý akivní vrchol. Prolačování proo může probíha pouze po hranách, keré vedou z akivních vrcholů a kleají právě o jedna. Takové hrany nazveme přípuné. Hrana uv e při prolačení buď nayí a zmizí z G f, nebo e nenayí a zůane v G f. Do íě rezerv přibude zpěná hrana wv, kerá vede do kopce. Jiné změny v G f nejou a proo po prolačení oky po vw zůane označkování d plané. Operace zvýšení: Předpokládejme, že v je akivní, ale z v už v G f nevede žádná přípuná hrana. Poom můžeme zvýši d(v) na min{d(w) + vw E(G f )}, aniž bychom porušili plano označkování. Téo operaci budeme říka zvýšení vrcholu v (anglicky e označuje relabel nebo lif). Jinými lovy, akivní vrchol v zvedáme o jedničku ak dlouho, dokud někerá hrana z vrcholu vycházející nepovede z kopce. Je poua výledků o om, v jakém pořadí e mají operace provádě. My i předvedeme obecnější verzi algorimu. Jakmile vybereme akivní vrchol v, ak budeme provádě operaci prolač po přípuných hranách G f ak dlouho, dokud e vrchol v neane neakivním a nebo dokud ho nezvýšíme. Tuo poloupno operací označíme jako zpracování vrcholu. Zpracuj(v): while v je akivní a exiuje přípuná hrana vw E(G f ) do Prolač co nejvěší čá přebyku ve v po hraně vw if v je akivní hen Zvyš vrchol v Samoný algorimu poom můžeme vyjádři náledovně. Puh-Relabel: Inicializuj f a d while f není ok do Vyber akivní vrchol v Zpracuj v

18 8 KAPITOLA. TOKY V SÍTÍCH Je několik různých pravidel pro výběr akivního vrcholu. Vybereme vrchol v maximálním označením d(v). Algorimu ímo pravidlem e označuje jako maximum diance puh-relabel. Too pravidlo e používá nejčaěji, proože garanuje nejlepší čaovou ložio algorimu. Akivní vrcholy vkládáme do frony. Akivní vrcholy zpracováváme v pořadí, jak jou ve froně. (Pokud vrchol zůal po zpracování akivní, ak e ocine na konci frony). Algorimu ímo pravidlem e označuje jako FIFO puhrelabel. Algorimu i v průběhu udržuje planý praok a aké plané označkování. Při popiu operací jme ověřili, že e provedením operace plano označkování nezmění. Proo z důledku 4 doáváme, že pokud nebude exiova akivní vrchol, ak e algorimu zaaví a končí maximálním okem. Příklad Na náledujícím obrázku je graf, ve kerém chceme nají maximální ok pomocí algorimu puh-relabel. Použijeme pravidlo, keré i vždy vybere akivní vrchol nejvěším d(v). Pokud mají dva vrcholy ejnou hodnou d(v), ak vybereme en abecedně menší. V každém vrcholu v probíráme přípuné hrany vw v abecedním pořadí podle w. c a d b 4 Nejprve provedeme inicializaci a doaneme ohodnocený graf na náledujícím obrázku vlevo. Pozor, hodnoa u vrcholu v není rezerva, ale výška d(v). Po inicializaci jou vrcholy c, d akivní. Vybereme i c a zvýšíme d(c) na. V dalším kroku prolačíme po hraně ca ok velikoi. Po omo kroku už jou všechny kroky algorimu janě určeny. Doporučujeme čenáři, aby i odkrokoval zbyek algorimu. Akivní vrcholy zvolené algorimem jou c, a, d, d, a, a, d, a, d, a, d, a, d, c, b a poupně algorimu prolačuje ok po hranách ca, a, db, da, ac, ad, da, ad, da, ad, d, cb, b (akivní vrchol věšinou zvedáme o, párkrá o 2 a v předpoledním případě vůbec). Pro lepší pochopení i v každém kroku načněe graf G f, ať vidíe, keré hrany jou naycené a vypadly. Algorimu končí okem a označkováním na náledujícím obrázku vpravo. 2 Maximum diance proo, že hodnoa d(v) e označuje jako diance label. 2 Všimněme i zdlouhavého prolačování oku mezi vrcholy a,d. Nejprve prolačíme přebyek oku z a do d, pak en amý ok zpáky z d do a a ak několikrá dokola. Vypadá o jako pingpong, kerý hrajeme ak dlouho, dokud výška jedno z vrcholů nepřekročí 6. V průběhu pingpongu v G f neexiuje cea do pořebiče. Proo kdybychom rovnou zvedli výšky vrcholů a, d na 6, ak bychom neporušili plano označkování a ušeřili i ping-pong. Jak éo myšlenky využí e dozvíe v heuriice na raně 23.

19 .3. GOLDBERGŮV PUSH-RELABEL ALGORITMUS 9 6 / 4/4 c d / / / / a /3 /3 b / /4 6 / 3/4 c 2/3 2/3 d 7 / / / / a 7 b / 3/4 Výledné označkování neobahuje žádný vrchol d(v) = 5 a proo množina R = {, d, a} určuje minimální řez (viz lemma 6). Analýza Puh-Relabel algorimu Naším cílem je dokáza náledující věy. Věa 2 Algorimu puh-relabel provede O(n 2 ) zvýšení vrcholů a O(mn 2 ) prolačení po hraně. Věa 3 Algorimu maximum diance puh-relabel provede O(n 2 ) zvýšení vrcholů a O(n 3 ) prolačení po hraně. První věu dokážeme řadou lemma. Lemmaa plaí pro obecný puh-relabel algorimu. Akorá lemma 2 plaí pouze pro maximum diance pu-relabel algorimu. Jeho přidáním k předchozím lemmaům dokážeme věu 3. Lemma 8 Je-li f je praok a w je akivní vrchol, poom v G f exiuje orienovaná cea z w do zdroje. Důkaz: Sporem, nechť z w nevede orienovaná cea do. Označme jako R množinu vrcholů, ze kerých v G f vede orienovaná cea do zdroje. Poom v G f nevede žádná hrana z R do R a proo f(δ(r)) =. Sečěme nerovnoi f(v) pro všechny v R a doaneme X := v R f(v). Na druhou ranu, když ečeme přípěvky přebyků po hranách, ak doaneme X = f(δ(r)) f(δ(r)) (každá hrana uv oběma konci v R připěje do f(v) kladně a do f(u) záporně a proo je její přípěvek do X roven nule). Proože f(δ(r)) =, ak z nerovnoi f(δ(r)) f(δ(r)) doáváme f(δ(r)) =. Souče nerovnoí plaí rovnoí a proo i každá nerovno plaí rovnoí. To je por ím, že pro w R je f(w) >. Lemma 9 V každém kroku algorimu pro každý vrchol v V je d(v) 2n. Každý vrchol e zvýší nejvýše 2n krá a edy celkem proběhne nejvýše O(n 2 ) zvýšení. Důkaz: Každé zvýšení proběhne alepoň o jedna. Zvyšovány jou pouze akivní vrcholy a z ěch vždy vede cea do zdroje (lemma 8). Tedy d f (v, ) n. Z lemmau 7 víme, že d f (v, ) d(v) n. Kombinací obou nerovnoí doaneme d(v) 2n. Operace prolačení rozdělíme na dva ypy podle oho, jeli e při ní hrana nayila a nebo ne. Prolačení po hraně vw je naycující, pokud byl přebyek ve v věší než rezerva hrany vw. Po naycujícím prolačení zmizí hrana vw z G f. V opačném případě je prolačení po hraně vw nenaycující a v omo případě přeal bý vrchol v akivní.

20 2 KAPITOLA. TOKY V SÍTÍCH Lemma Poče naycujících prolačení během algorimu je nejvýše 2mn. Důkaz: Podívejme e na pevný pár (v, w) akový, že vw E nebo wv E. Po naycujícím prolačení po hraně vw hrana vw zmizí z G f. Proo mezi dvěma naycujícími prolačeními po hraně vw muí proběhnou prolačení po opačné hraně wv, aby e hrana vw opě objevila v G f. v w v Prolačování probíhá pouze po přípuných hranách, vedoucích z kopce o jedna dolů. Hodnoa d(v) nikdy nekleá a proo muí bý mezi dvěma naycujícími prolačeními po vw alepoň jedna operace zvýšení vrcholu v. Zvýšení d(v) bude alepoň o 2 a proo podle lemmau 9 může proběhnou nejvýše n krá. Celkem po hraně vw může proběhnou nejvýše n naycujících prolačení. Podobně po opačné hraně wv může proběhnou aké nejvýše n naycujících prolačení. Celkem edy pro všechny hrany v původní íťi G proběhne nejvýše 2mn naycujících prolačení. Lemma Poče nenaycujících prolačení během algorimu je nejvýše O(mn 2 ). Důkaz: Nechť A je množina akivních vrcholů vzhledem k praoku f a D = d(v). Na začáku algorimu je D = a nikdy není záporné. v A Každé zvýšení vrcholu zvěšuje D. Naycující prolačení po hraně vw může zvěši D až o 2n, proože v může zůa akivní a vrchol w e může á akivním. Podle lemma 9 je d(w) 2n. Nenaycující prolačení po vw zmenší D. Vrchol v přeane bý akivní. Proo e D zmenší buď o d(v) nebo o d(v) d(w) =, pokud e zároveň w ane akivním. Všechny zvěšení D během algorimu jou kvůli zvýšení vrcholů a nebo kvůli naycujícím prolačením. Podle lemma 9 a lemma během celého algorimu vzroe hodnoa D o nejvýše (n 2)(2n ) + 2mn(2n ) = O(mn 2 ). Každý nenaycující prolačení níží uo hodnou alepoň o jedna a proo proběhne nejvýše O(mn 2 ) nenaycujících prolačení. Lemma 2 Poče nenaycujících prolačení během maximum diance puh-relabel algorimu je nejvýše O(n 3 ). Důkaz: Každé nenaycující prolačení po vw deakivuje vrchol v. Proože vždy zpracováváme vrchol v nejvěším d(v), ak je d(w) d(v) pro všechny akivní vrcholy w. Před ím, než e v ane znovu akivním, muí proběhnou zvýšení nějakého oueda v (a prolačení oku z ohoo oueda do v). Z oho doáváme, že když proběhne n nenaycujících prolačení a žádné zvýšení vrcholu, ak žádný vrchol není akivní a algorimu končí. Proo je poče nenaycujících prolačení nejvýše n krá věší než poče zvýšení a o je nejvýše O(n 3 ). w v w Poznamenejme, že jou i další pravidla pro výběr akivních vrcholů a dávají aké odhad O(n 3 ) na celkový poče prolačení (například FIFO puh-relabel). My jme i vybrali pravidlo maximum diance z oho důvodu, že pro něj Tunçel v roce 994 dokázal lepší analýzu a ukázal odhad O(n 2 m) na poče prolačení (viz lemma 3).

21 .3. GOLDBERGŮV PUSH-RELABEL ALGORITMUS 2 Tunçelův odhad na poče nenaycujících prolačení Lemma 3 Poče nenaycujících prolačení během maximum diance puh-relabel algorimu je nejvýše O(n 2 m). Důkaz: Připomeňme, že d(v) nazýváme výškou vrcholu v. V průběhu algorimu H označuje maximální výšku akivního vrcholu. Výpoče algorimu rozdělíme do fází mezi změnami hodnoy H. Změna fáze naane když dojde ke zvýšení vrcholu, kerý ležel ve výšce H, a nebo když e přebyky všech vrcholů ležících ve výšce H níží na nulu. Nyní ukážeme, že celkem proběhne nejvýše 4n 2 fází. H, roe pouze při zvýšení vrcholu a o o jedna. Celkový poče zvýšení H je nejvýše poče zvýšení vrcholů a o je nejvýše 2n 2 (lemma 9). Poče pokleů H je nejvýše olik, kolik celkem proběhne zvýšení H. Celkový poče změn H (zvýšení nebo pokleů) a edy i poče fází je nejvýše 4n 2. Poče nenaycených prolačení počíáme pomocí poenciálu. Pevně i zvolíme paramer K N. Později ukážeme, že opimální volba je K := m. Zvolme poenciál Ψ := f(v)> ϑ(v) K, kde ϑ(v) := {w V d(w) d(v)} je poče vrcholů ve výškách nejvýše d(v). Fázi nazveme levnou, pokud během ní proběhne nejvýše K nenaycených prolačení, a drahou jinak. Levných fází je nejvýše olik, kolik je všech fází a o je nejvýše 4n 2. Celkem během levných fází proběhne nejvýše 4Kn 2 nenaycených prolačení. Teď odhadneme poče nenaycujících prolačení během drahých fází. Podívejme e, co e děje poenciálem Ψ při náledujících operacích. Zvýšení vrcholu. Při zvýšení vrcholu v e ϑ(v) zvýší nejvýše o n. ϑ(w) oaních vrcholů w může jen klenou (vždy zvyšujeme vrchol v maximálním d(v)). Proo e Ψ zvýší nejvýše o n/k. Naycující prolačení po hraně uv. Proože neměníme výšky vrcholů, ak můžeme Ψ ovlivni pouze ím, že přibude nebo ubude akivní vrchol. Můžeme ubra číanec ϑ(u)/k a přida ϑ(v)/k n/k. Naycující prolačení edy zvýší Ψ nejvýše o n/k. Podle lemma je poče naycujících prolačení během celého algorimu nejvýše 2mn. Nenaycující prolačení po hraně uv. Po prolačení bude f(u) = a edy z Ψ ubyde ϑ(u)/k. Dále může přibý ϑ(v)/k. Celkový úbyek Ψ bude nejvýše (ϑ(u) ϑ(v))/k. Proože H = d(u) = d(v) + (uv je přípuná hrana), ak (ϑ(u) ϑ(v)) odpovídá poču vrcholů ve výšce H. Poče vrcholů ve výšce H e během fáze nemění. Nemůže klenou, proože pouze zvyšujeme vrcholy a povýšením někerého vrcholu na výšku H + ukončíme fázi. V průběhu fáze dojde nejvýše k olika nenaycujícím prolačení, kolik je akivních vrcholů ve výšce H. V drahé fázi proběhne alepoň K nenaycujících prolačení. Maemaicky vyjádřeno K #nenaycujících prolačení #vrcholů ve výšce H = ϑ(u) ϑ(v). Proo je (ϑ(u) ϑ(v))/k. Tedy nenaycující prolačení níží Ψ alepoň o. Celkový ouče přírůků Ψ je nejvýše (2n 2 +2nm)n/K. Po inicializaci algorimu bylo Ψ nejvýše n 2 /K. Proože Ψ je ále kladné a každé nenaycující prolačení níží Ψ alepoň o, je poče nenaycujících prolačení v drahých fázích nejvýše

22 22 KAPITOLA. TOKY V SÍTÍCH n 2 /K + (2n 2 + 2nm)n/K 5n 2 m/k. Při odhadu jme použili nerovno n m. Dohromady je poče nenaycujících prolačení v levných i drahých fázích nejvýše pro volbu K = m. 4n 2 K + 5n 2 m/k 5n 2 (K + m/k) n 2 m Implemenace algorimu Puh-Relabel Zaím jme ukázali odhady na poče provedení operací zvýšení vrcholu a prolačení oku po hraně. Abychom mohli něco vrdi o čaové ložioi, ak ješě muíme upřeni, jak proběhne nalezení přípuné hrany a jak poznáme, že je ča zvýši vrchol. O maximum diance puh-relabel algorimu budeme mue ješě ukáza, jak nají akivní vrchol v maximálním d(v). Pozorování Nechť v V je akivní a hrana vw není přípuná. Před ím, než e hrana vw ane přípunou, bude mue proběhnou zvýšení vrcholu v. Důkaz: Pokud hrana vw není přípuná, ak buď d(v) d(w) a nebo r(vw) =. Druhý případ e může změni pouze prolačením oku po opačné hraně wv, ale poom bude d(w) = d(v) +. Proo bude v obou případech plai d(v) d(w) a jenom zvýšení vrcholu v o může změni. Pro každý vrchol i pamaujeme eznam ouedů Souedi(v). Zpracování vrcholu v proběhne ak, že poupně projdeme w Souedi(v) a provedeme prolačení po přípuných hranách vw. Průchod eznamu ouedů končí buď ak, že e v ane neakivním, nebo ím, že dojdeme na konec eznamu Souedi(v). V momeně, kdy dorazíme na konec eznamu, ak už z v nevede žádná přípuná hrana a proo zvýšíme v. Ke zvýšení vrcholu pořebujeme zná minimum z d(w) pro všechny w Souedi(v). Too minimum i můžeme počía už během průchodu eznamu ouedů. Zvýšení vrcholu v dokonce proběhne právě ehdy, když e doaneme na konec eznamu Souedi(v). Když bude v znovu vybrán ke zpracování, ak podle pozorování nemohly od poledního zvýšení v přibý nové přípuné hrany. Proo při zpracování vrcholu v nemuíme procháze eznam Souedi(v) od začáku, ale můžeme začí am, kde jme napoledy končili (pro každý vrchol muíme pamaova akuální pozici v eznamu ouedů). Proože každý vrchol můžeme zvýši nejvýše 2n krá, ak projdeme eznam ouedů každého vrcholu aké nejvýše 2n krá. Z oho důvodu je celkový ča rávený hledáním přípuných hran roven O( v V n Souedi(v) ) = O(nm). Celkový ča rávený nad zvyšováním vrcholů je ejný. Celkový ča rávený nad operacemi prolačení je O(N), kde N je poče všech prolačení. Ča nalezení dalšího akivního vrcholu je konanní, proože nám nezáleží na pořadí akivních vrcholů a můžeme i je dáva do frony. Akivní vrchol hledáme nejvýše olikrá, kolik je všech operací prolačení a zvýšení vrcholu. Celkem edy hledání akivních vrcholů zabere ča O(N + n 2 ) a o je podle věy 2 nejvýše O(n 2 m). Právě jme i ukázali, že puh-relabel algorimu může bý implemenován ak, aby běžel v čae O(n 2 m). Podívejme e na případ maximum diance puh-relabel algorimu. Není jané, jak implemenova výběr akivního vrcholu maximálním d(v) ak, aby celkem

23 .4. SROVNÁNÍ ALGORITMŮ PRO HLEDÁNÍ MAXIMÁLNÍHO TOKU 23 běžel v čae O(N). To v průměru odpovídá konannímu čau na jednu operaci prolačení. Jednoduché řešení projde všechny vrcholy, ale o rvá ča O(n) na jedno nalezení akivního vrcholu. Provedeme o jinak. Všechny akivními vrcholy d(v) = k i uložíme do frony D k. Fronu realizujeme jako obouměrný pojový eznam. Ten umožní provádě vkládání a mazání v konanním čae. Navíc i pro každý vrchol budeme pamaova ukazael, kerý nám umožní příup k položce ve právné froně v konanním čae (pro akivní vrcholy). Po provedení zvýšení vrcholu jednoduše přeuneme vrchol do jiné frony. Pokud prolačení oku po hraně vw akivuje w, ak ho vložíme do právné frony. Pokud prolačení deakivuje vrchol v, ak ho vyřadíme z frony. Tyo operace proběhnou v konanním čae. Proč je ak jednoduché nají akivní vrchol maximálním d(v)? Po zvýšení v zůane vrchol v akivní a maximálním d(v). Dejme omu, že d(v) = k. Pokud prolačení po vw deakivuje v, ak e nejprve podíváme do frony D k. Když je prázdná, ak e podíváme do frony D k. Skoro vždy v ní najdeme akivní vrchol, proože polední prolačení po vw plňovalo d(w) = k. Vrchol w muí bý akivní, jinak je w = nebo w =. Případ w = je riviální, proože poom není žádný vrchol akivní a algorimu končí. Jediný případ, kdy neupějeme hledáním akivního vrcholu, naane, když zpracujeme vrchol z D n+ a obě frony D n+, D n jou prázdné. Než ao iuace naane znova, ak e bude mue nějaký vrchol doa do frony D n+. Neboli jeho d(v) bude mue překroči n. To může naa pro každý vrchol nejvýše jednou a proo eno španý případ naane nejvýše n krá. V omo španém případě budeme mue prohleda všechny frony D k k < n. Špané případy celkem připějí do hledání akivních vrcholů čaem O(n 2 ). Celkem hledání akivních vrcholů zabere ča O(N + n 2 ), kde N je poče všech prolačení. Ukázali jme i, že maximum diance puh-relabel algorimu může bý implemenován ak, aby běžel v čae O(n 3 ). Pokud bychom použili odhad O(n 2 m) na poče prolačení, ak dokonce v čae O(n 2 m). Heuriika zrychlující Puh-Relabel algorimu Ješě zmíníme heuriiku, keré nemá vliv na odhad čaové ložioi, ale v praxi podaně zrychlí výpoče. Pravidelně, řekněme po n/2 zpracováních vrcholů, přepočíáme plané označkování. Ukazovali jme i, že plané označkování d(v) je dolním odhadem na d f (v, ) a že d(v) n je dolním odhadem d f (v, ). Zvolme proo nové označkování jako d(v) := min{d f (v, ), n + d f (v, )}. Ukaže, že oo označkování je plané a v jiém mylu nejlepší možné. Také i rozmylee, jak rychle ho můžeme počía. Poznámka: Předvýpoče planého označkování e vyplaí už při inicializaci puh-relabel algorimu..4 Srovnání algorimů pro hledání maximálního oku Přehled čaových ložioí varian algorimu vylepšující cey.