ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Praha, 0 Ing. Per BUBLA

2

3 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ Sudijní program: Specializace v pedagogice Sudijní obor: Učielví odborných předměů (bakalářký) Teorie auomaického řízení v příkladech Theory of conrol engineering in example BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Auor: Ing. Per BUBLA Vedoucí BP: prof. RNDr. Emanuel Svoboda CSc. V Praze, dne XX. xxxx 0 i

4 SEM VLOŽ ORIGINÁLNÍ ZADÁNÍ ii

5 Prohlášení Prohlašuji, že jem voji bakalářkou práci vypracoval amoaně a na základě konzulací vedoucím a odborným konzulanem bakalářké práce. Veškeré podklady (lierární zdroje, inerneové ránky a ofware), keré jem v bakalářké práci využil, jou uvedené v přiloženém eznamu. Souhlaím použiím éo bakalářkého práce jako školního díla ve mylu 60 zákona č. /000 Sb., o právu auorkém, o právech ouviejících právem auorkým a o změně někerých zákonů (auorký zákon). V Praze, dne podpi auora iii

6 Poděkování Na omo míě i dovoluji poděkova všem, kdo mi pomáhali při vorbě éo bakalářké práce, ať už přímo nebo nepřímo. Zvlášě pak děkuji prof. RNDr. Emanuelovi Svobodovi CSc. A Ing. Pavlovi Vorubcovi za odborné vedení diplomové práce, vřícný příup a podněné konzulace. Velice aké děkuji vým rodičům, prarodičům, ourozencům, příelkyni a mým kamarádům za podporu a inpiraci nejen během vzniku éo bakalářké práce, ale i během celého doavadního udia. iv

7 Název Teorie auomaického řízení v příkladech Abrak Laplaceova ranformace je jedním ze základních maemaických nárojů eorie auomaického řízení. Umožňuje ranformaci funkcí z čaové oblai do oblai komplexní. Důledkem je kuečno, že ložié maemaické operace v okruhu diferenciálních rovnic, keré bychom mueli vykona při analýze a ynéze yémů řízení, mohou bý nahrazeny mnohem jednoduššími operacemi algebraickými. Pojeí bakalářké práce e zaměřuje na základy eorie auomaického řízení. Důraz je kladen na prakickou čá, bakalářká práce obahuje množví příkladů, keré by měly polouži k pochopení ložié problemaiky Laplaceovy ranformace ředoškolkým udenům na Sřední průmylové škole rojní a elekroechnické, přípěvková organizace Relova 5, Úí nad Labem, v oboru 6-5-M/0 Elekroechnika, zaměření: Auomaizace a počíačové aplikace v předměu Auomaizace, kerý e vyučuje ve řeím a čvrém ročníku. Klíčová lova: Laplaceova ranformace, diferenciální rovnice, přenoová funkce, přechodová charakeriika, idenifikace v

8 Tile Theory of conrol engineering in example Abrac Laplace ranform i one of he baic mahemaical ool of conrol engineering. Enable ranformaion funcion from he ime domain o he complex domain. Reul of i ha complicaed mahemaical operaion wihin of differenial equaion, which we had o ue he analyi and ynhei of conrol yem can be replaced a much impler algebraic operaion. The concep of bachelor hei i focue on he baic of he heory conrol engineering. Emphai i placed on he pracical par. Bachelor hei conain numer of example, which hould erve o underand complicaed iue of he Laplace ranform high chool uden a he High echnical chool of Mechanical and Elecrical Engineering, conribuory organiaion, Relova 5, Úí nad Labem, in he field 6-5-M/0 Elerical Engineering, pecializaion: Auomaion and Compuer Applicaion in he ubjec Auomaion, which i augh in he hird and fourh year. Key word: Laplace ranform, differenial equaion, ranfer funcion, ep funcion, idenificaion vi

9 Obah Obah... vii Seznam obrázků... ix Seznam abulek... xi Seznam použiých zkraek xiii Seznam použiých ymbolů xv Úvod... Laplaceova ranofmace.... Pierre Simon de Laplace Maemaický zápi.. 5. Vlanoi Laplaceovy ranformace Výpoče obrazů z definičního inegrálu 9.5 Slovník Laplaceovy ranformace.6 Laplaceova ranformace impulu.7 Zpěná Laplaceova ranformace.7. Rozklad na parciální zlomky Algorimu pro rozklad na parciální zlomky Přehled meod pro zíkání koeficienů Náobící meoda Doazovací meoda Zakrývací meoda Doazovací meoda - rozšíření Liminí meoda Lineární fakory I Lineární fakory II.. 5 vii

10 OBSAH Kvadraické fakory I Kvadraické fakory II.. 6 Příklady na Laplaceovu ranformaci.. 9. Příklady na přímou Laplaceovu ranformaci Příklady na obraz impulu.. 8. Příklady na zpěnou Laplaceovu ranformaci Zpěná ranformace obrazů impulů Prakické užií Laplaceovy ranformace (řešení diferenciálních rovnic) Čaové charakeriiky Přenoová funkce.... XX 4. Impulní charakeriika. XX 4. Přechodová charakeriika. XX 4.4 Idenifikace přenou z přechodové charakeriiky. XX 4.4. Program Idenifikace 0... XX 5 Frekvenční charakeriiky.. XX 5. Bodeho frekvenční charakeriika.. XX 6 Závěr. XX Lieraura XX Příloha A Obah přiloženého CD.. I viii

11 Seznam obrázků OBRÁZEK. Schémaické znázornění LT 4 OBRÁZEK. RLC článek čaová obla 8 OBRÁZEK. Čaový průběh výupního napěí RLC článku po odeznění přechodového 8 děje OBRÁZEK. RLC článek operáorová obla 8 OBRÁZEK.4 Čaový průběh proudu RLC článku po odeznění přechodového 84 děje ix

12 SEZNAM OBRÁZKŮ x

13 Seznam abulek TABULKA. Vlanoi LT 8 TABULKA. Slovník LT xi

14 SEZNAM TABULEK xii

15 Seznam použiých zkraek ZKRATKA ILT LT VYSVĚTLIVKA Zpěná Laplaceova ranformace Laplaceova ranformace xiii

16 SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK xiv

17 Seznam použiých ymbolů SYMBOL VYSVĚTLIVKA JEDNOTKA f ( ), g ( ) F ( ), G ( ) p, L { } Předmě Laplaceovy ranformace Obraz Laplaceovy ranformace, přeno, přenoová funkce Komplexní proměnná Laplaceovy ranformace (operáor) Čaová proměnná (funkce čau) Označení Laplaceovy ranformace L { } Označení zpěné Laplaceovy ranformace R N Obor reálných číel Obor přirozených číel δ Diracův impul H ( ), ( ) Jednokový kok i, j A, B, C, D, E, F, G, H, I Imaginární (komplexní) čílo Koeficieny rozkladu na parciální zlomky D Dikriminan kvadraické rovnice, Kořeny kvadraické rovnice S A, B, C, D Maice ouavy rovnic o více neznámých Maice zíkaná z maice S nahrazeným i-ým loupcem pravých ran ouavy rovnic λ, Kořeny charakeriické rovnice ˆx ( ) Parikulární řešení diferenciální rovnice xv

18 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ xɶ Obecné řešení přidružené diferenciální rovnice I r ( A ) Jednoková maice (na diagonále jou jedničky) Sopa maice R Odpor [ Ω ] L Indukčno [ H ] C Kapacia [ F ] U 0 Veliko napěťového koku [ V ] C ( 0) u Hodnoa napěí na kondenzáoru v čae 0 L ( 0) i Hodnoa proudu na cívce v čae 0 [ V ] [ A ] u ( ) Vupní napěí [ V ] u ( ) Výupní napěí [ V ] i ( ) Proud proékající obvodem [ A ] xvi

19 xvii SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ

20 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ xviii

21 Kapiola Úvod Laplaceova ranformace je jedním ze základních maemaických nárojů eorie auomaického řízení. Proo je nezbyné pochopi její základy, na kerých e dá později avě ložiější analýza a ynéza regulačních obvodů. Při řešení lineárních diferenciálních rovnic a jejich ouav konanními koeficieny můžeme použí inegrální ranformace, keré nahrazují operace derivování a inegrování náobením či dělením a vlaní řešení diferenciální rovnice je převedeno na řešení ouavy lineárních rovnic. Téma bakalářké práce bylo pečlivě vybráno a konzulováno Ing. Pavlem Vorubcem, kerý vyučuje předmě Auomaizace na Sřední průmylové škole rojní a elekroechnické, přípěvková organizace Relova 5, Úí nad Labem. Jednolivá émaa na ebe navazují podle výchovně vzdělávacích cílů na uvedené škole. Cílem bakalářké práce je rozumielnou formou eznámi udeny maemaickým nárojem pro řešení diferenciálních rovnic a jejím užiím v eorii auomaického řízení. Bakalářká práce je napána a koncipována ak, aby e z ní mohli udeni prezenční formy udia připravova na výuku předměu auomaizace. Každá kapiola obahuje na vém začáku eoreický rozbor probírané láky a náledně je doplněna o několik ypově řešených příkladů. Předkládaná práce nemá za cíl opiova definice důkazy nebo vzorečky, keré již byly několikrá publikovány a rozebrány do nejmenších deailů i přílušnými důkazy. Hlavním přínoem by měla bý forma jakou jou eoreické závěry vyvěleny na nejrůznorodějších příkladech. Z vlaních zkušenoí vím jaké nejvěší problémy činí udenům eorie auomaického řízení. Je pořeba i uvědomi, že udeni mají na pochopení a ovojení přílušné lá- - -

22 KAPITOLA. ÚVOD ky eorie auomaického řízení bez přílušných maemaických základů zhruba ři měíce. Někeří udeni budou poé pokračova ve udiu v příbuzném oboru i na vyoké škole, kde na probrání láky je i několik emerálních kurzů. Práce i klade za cíl ukáza užií základů Lapaceovy ranformace na příkladech a pomoci udenům k základnímu počenímu ovojení při práci Laplaceovou ranformací v eorii auomaizačního řízení. Bakalářká práce bude organizována náledovně: v kapiole bude proveden popi Laplaceovy ranformace, budou definovány hlavní věy ranformace a rozklad na parciální zlomky, keré jou pořeba pro zpěnou ranformaci. Kapiola obahuje příklady na přímou a zpěnou Laplaceovu ranformaci a příklady na prakické využií Laplaceovy ranformace při řešení diferenciálních rovnic. V kapiole 4 jou uvedeny základní čaové charakeriiky v z eorie auomaického řízení a jou zde probrány meody idenifikace přenoové funkce z přechodové charakeriiky, např. podle prof. Srejce. Kapiola 5 obahuje eoreickou a prakickou čá z konrukce frekvenčních charakeriik v logarimických ouřadnicích. Celou práci ukončí závěr v kapiole 6. Předkládaná práce je pouze úzkým výběrem na dané éma eorie auomaického řízení a nepokrývá celou láku vyučovanou v uvedeném předměu. - -

23 Kapiola Laplaceova ranformace Laplaceova ranformace v maemaice označuje jednu ze základních inegrálních ranformací. Je jedním ze základních maemaických nárojů nejen eorie auomaického řízení. Tranformaci odvodil již roku 8 francouzký maemaik Pierre Simon de Laplace (749-87). Již dříve 77 však uo ranformaci použil Leonhard Euler při řešení jiých obyčejných diferenciálních rovnic. Používá e k řešení někerých obyčejných diferenciálních rovnic, zejména ěch, jež e objevují při analýze chování elekrických obvodů, harmonických ociláorů a opických zařízení. V echnice e ní ekáme při udiu vlanoí yému pojiě pracujících v čae (v omo mylu je Laplaceova ranformace proějškem Z-ranformace pro dikréní yémy). Výhodné užií LT počívá v možnoi nadného převodu funkcí z čaové oblai do oblai komplexní. Důledkem oho e pak ložié maemaické operace v okruhu diferenciálních rovnic, jenž bychom mueli ložiě počía při analýze a ynéze yémů řízení, mohou nahradi mnohem jednoduššími algebraickými operacemi. Jinými lovy řečeno: užiečno Laplaceovy ranformace počívá v om, že převádí funkce reálné proměnné na funkce komplexní proměnné způobem, při němž e mnohé ložié vzahy mezi původními funkcemi radikálně zjednoduší. Je o maemaický apará, kerý umožňuje poměrně nadno řeši úlohy pojié lineární regulace. Význam použií Laplaceovy ranformace v eorii regulace je však hlubší. S její pomocí můžeme oiž velmi jednoduše popa lineární pojié regulační yémy mío diferenciálních rovnic použijeme zv. přenoové funkce. Dle obrázku (.) pojem ranformace funkce znamená, že každé funkci f ( ) z jedné množiny proměnné přiřadíme funkci F ( ) z množiny funkcí komplexní proměnné. U pojmu ranformace - -

24 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE přiřadíme zv. originálu (zde funkci čau ) určiým předpiem zv. obraz (je funkcí komplexní proměnné ). Při řešení lineárních diferenciálních rovnic a jejich ouav konanními koeficieny můžeme použí inegrální ranformace, keré nahrazují operace derivování a inegrování náobením či dělením a vlaní řešení diferenciální rovnice je převedeno na řešení ouavy lineárních rovnic.. Pierre Simon de Laplace Pierre Simon de Laplace (. března března 87) byl francouzký maemaik, fyzik, aronom a poliik, člen Francouzké akademie věd, královké polečnoi v Londýně a Komie pro míry a váhy. Za ebou zanechal monumenální dílo již vým rozahem. Zabýval e maemaickou analýzou, eorií pravděpodobnoí, nebekou mechanikou, eorií poenciálu, zavedl pojem Laplaceovy ranformace, užil zv. Laplaceův operáor (v parciální diferenciální rovnici pro poenciál ilového pole). Je auorem eorie o vzniku luneční ouavy z roující mlhoviny (Kanova-Laplaceova eorie) a mnoha dalších meod mnoha aplikacemi. OBRÁZEK.: Schémaické znázornění LT - 4 -

25 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE. Maemaický zápi Nechť je funkce f ( ) pojiá (nebo alepoň po čáech pojiá) a definována na inervalu ) { } 0,. Pak Laplaceova ranformace L f funkce vzahem: f je definována inegrálním kde funkce f F { f } f e d lim f e d A 0 0 ) F L, (.) : 0; R je předmě, ; C je obraz. kde je komplexní nezávilá proměnná. Je zřejmé, že vzah (.) e po inegraci ává pouze { } funkcí a doaneme L f F. Obraz funkce f při Laplaceově ranformaci je funkce jedné komplexní proměnné, čao ji značíme F ( ). Definičním oborem je obla konvergence inegrálu. Funkce f ( ) nazýváme originálem (předměem) a funkci F ( ) obrazem funkce f ( ). Laplaceova ranformace je inegrální ranformace, kerá konverguje jeliže exiuje limia. Přiřazení f F { } nazýváme přímou Laplaceovou ranformací a budeme ji znači F L f. Inverzní ranformaci F f Laplaceovou ranformací a budeme ji označova ymbolem f F nazýváme zpěnou L. { } Laplaceova ranformace je příklad ložiějšího zobrazení, než jou funkce obrazy a vzory nejou číla, ale funkce. Takovýmo zobrazením e říká operáory. Vzory v Laplaceově ranformaci značíme obvykle malým a jejich obrazy přílušným velkým pímenem. Argumen Laplaceovy ranformace budeme uzavíra do ložených závorek případně budeme používa peciální ymbol odpovídá f F ručněji zapiova pomocí ymbolu L : f F. Vzah mezi předměem a obrazem budeme někdy. Mío označení funkcí používáme přímo jejich vyjádření (funkční předpi), argumen předměu značíme pímenem (a za definiční obor pokládáme inerval 0, ) ), argumen obrazu budeme v éo práci znači pímenem. Namío operáoru e někdy používá operáor p. Pokud bychom e podívali na použiou lierauru ak zjiíme, že operáor p e používá věšinou v čeké lierauře [8], především v - 5 -

26 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE maemaice a eorii elekrických obvodů. Operáor e používá v eorii řízení a v maemaice [,, 7, ]. Poznámka: f ( ) reprezenace funkce v čaové oblai (vzor, předmě) F reprezenace funkce v operáorové oblai (obraz), je komplexní funkce komplexní proměnné Proměnná je ice komplexní, ale při výpoču běžných obrazů počíáme podle ejných pravidel jaká jme používali při inegrování a derivování reálných funkcí reálné proměnné. Při počíání obrazů můžeme předpokláda, že je reálná kladná proměnná.. Vlanoi Laplaceovy ranformace Exience i v případě, že funkce f ( ) je na celém inervalu 0, ) pojiá a definovaná, nemuí její obraz exiova. Jeliže oiž má mí definiční inegrál konečnou hodnou, muí f ( ) plňova kriérium konvergence lim f e 0 podmínku neplňuje, a proo její obraz neexiuje.. Například funkce f e uo Obla konvergence - pro danou funkci f e množina hodno, pro něž inegrál v Laplaceově ranformaci konverguje, nazývá obla konvergence. Lze ukáza, že jeliže inegrál konverguje pro f v bodě 0, pak konverguje v každém bodě, pro kerý Re > Re( ). Obla konvergence Laplaceovy ranformace je edy ;Re 0 R je dáno chováním funkce f ( ) pro. { R} >, kde { } Vzah k inverzní Laplaceově ranformaci - pro každou funkci f ( ) akovou, že L f exiuje, plaí: { { } } L L f f Vzah k derivaci - výhodou použií Laplaceovy ranformace pro počíání diferenciálních rovnic je její vzah k derivaci: n { } n { } ( ) L f L f f f f ( ) n n n

27 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE Vzorec lze odvodi pomocí inegrace per pare a plaí právě ehdy, když jednolivé derivace exiují. Teno vzah umožňuje přímé začlenění počáečních podmínek do výpoču řešení diferenciálních rovnice. Obvykle při řízení proceů e uvažují Laplaceovy obrazy pro akové funkce definované na R, keré jou nulové na inervalu (,0). Nezávilá proměnná jako ča nabývá vždy jen kladných hodno. Jeliže je edy nějaká funkce f ( ) definována na celém inervalu R a (např. funkce f e ), pak funkci chápeme ve mylu f pro 0 f 0 pro < 0 f kerou podrobujeme Laplaceově ranformaci,. Což e dá zapa pomocí zv. Heaviidovy funkce (jednokový kok) jako a a e H e. Obvykle e však i v akovémo případě používá (nepřený) zápi a e. Výhodou je v někerých případech jednodušší popi, akže budeme eno předpoklad podle pořeby aké využíva. Jinými lovy můžeme napa, že definiční inegrál Laplaceovy ranformace má inegrační meze 0 a j. definiční obor funkce v čaové oblai je 0; ) funkce f ( ) je VŽDY náobena jednokovým kokem a Např. F je edy obrazem funkce f ( ) e ( ) + a a e ; 0 0 ; < 0 nikoliv však f e. funkce a Pro dané funkce f ( ) a g ( ) a jejich přílušné Laplaceovy ranformace F ( ) a G ( ) náledující abulka hrnuje vlanoi Laplaceovy ranformace: Přímá i zpěná Laplaceova ranformace je ranformace lineární L{ af + bg } al{ f } + bl{ g } { af + bg } a { F } + b { G }, > max {, } f g L L L Věa o počáeční hodnoě f + ( 0 ) lim F (.) (.) - 7 -

28 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE Věa o konečné hodnoě Konvoluce funkcí f, g ( ) : f lim F (.4) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 { } f g g f f u g u du f u g u du { } { } L f g F G, kde F L f, G L g (.5) TABULKA.: Vlanoi LT Předmě Obraz Popi f ( ) F ( ) f F, > f Derivace obrazu n f ( ) n ( n ) F, > f n-á derivace obrazu n ( ) f, n d F d n > f n-á derivace obrazu, jiný možný zápi f ( ) f L F d F ( q) dq, > f Inegrál obrazu inegrační konana e určí z podmínky F lim 0 a f e F ( a), > f + a Pounuí v obrazu a ( a) e F f f ( a ) f f F, > a. f a a + F f ( 0 ), max{ 0, f } F f ( 0 + ) f ( 0 + ) ( n ) n n f ( ) Pounuí v originále Změna měříka > Obraz. derivace Obraz. derivace ( n ) F f 0 f 0 Obraz n-é derivace F f ( u) du 0 ( > { }), max 0, f Obraz inegrálu - 8 -

29 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE f ( u). g ( u) du F. G ( ) 0 a. ( ) f H a. Obraz konvoluce e L { f + a }, > f Tranlace, a 0 a f a H a e F, > f Tranlace, a 0 F > Tp e T f ( ), 0 Obraz periodické funkce.4 Výpoče obrazů z definičního inegrálu Pokud bychom chěli počía jednolivé obrazy elemenárních funkcí dle definiční inegrálu narazíme na vážný problém značně ložiých inegrálu. Z ohoo důvodu e používá zv. Laplaceův lovník, kerý nám určuje jednolivé obrazy pro elemenární funkce v originále. Pro iluraci ložioi jou níže vypočeny obrazy pro nejpoužívanější funkce v originále. Příklad. Určee Laplaceovy obrazy náledujících funkcí pomocí definičního inegrálu:.) f a, a R u u e F f e d a. e d v e v 0 0 u. v d u. v u. v d e e a a a a a d e e (.6) f e a R a.), F f e d e e d e d e a ( a+ ) ( a+ ). (.7) ) f in a, co, f a a R a a Dvojím použiím meody per pare doaneme pro každé R rovnici pro primiivní funkci: - 9 -

30 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE in. F f e d e d e in d u e u. e u e u. e.in v in v co I e d e.co e.co d v co v in u. v d u. v u. v d u. v d u. v u. v d e.co e.in e.in d e co +.in I (.8) Řešením éo rovnice je: ( co +.in ) + ( co +.in ) e ( co +.in ) I + c I e I I I e + (.9) p > je limia e ( ) Pro 0 Pro 0 lim co +.in 0.omezeno 0 + p limia lim e ( co.in ) + nπ ( π π ) lim n π e co n +.in n lim e n. n + + neexiuje, proože neexiuje limia p > 0 je limia n + Poé doáváme L { in } e ( co + in ) 0 ( ) > (.0) Sejným způobem bychom počeli i Laplaceův obraz funkce f co a Pro výpoče Laplaceova obrazu základních goniomerických funkcí můžeme použí aké Eulerovu formuli: L ja { e } ja { } { } { } ja e co a + j in a L e L co a + jl in a + ja + ja a + j ja ja + ja + a + a + a (.) - 0 -

31 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE Srovnáme reálnou a imaginární čá a doaneme: { co } a L a, L { in a}, > 0 (.) + a + a.5 Slovník Laplaceovy ranformace TABULKA.: Slovník LT Předmě Obraz Předmě Obraz δ in ω ω > 0, ω R + ω ( ) coω > 0, ω R + ω ω inhω ω coh ω ω ω R ω R n n n! n N + a e a a R n n n n N a e + a a R a e a a R in ω ω + ω ω R a e a a R coω ω ( + ω ) ω R n a e n e a n ( n )! ( a) n! a R, n N a + a R, n N n a e a e in co ω ω a + ω a ω a + ω ω, a R ω, a R Pozn.: Pomocí derivace obrazu můžeme počía někeré obrazy pro dané předměy: - -

32 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE f inω L f F ( ω ) ω ω ω 0.. { } + ω + ω + ω f coω L f F + ( ω ) ω.. { } + ω + ω + ω + (.) (.4).6 Laplaceova ranformace impulu Při hledání obrazu funkce f ( ), kerá je definována na omezeném inervalu nebo je dána několika vzorci na různých inervalech ze vého definičního oboru používáme při výpoču přímo vzorec pro obraz a nebo používáme vrzení o obrazu pounué funkce. Too vrzení e nazývá věa o ranlaci. Symbolem H ( ) označíme funkci jednokový kok, kerý je definován předpiem H 0, pro < 0, pro 0 (.5) Na příkladech v další kapiole i ukážeme výpoče obrazu funkcí popaného ypu. Připomeňme, že ále předpokládáme, že uvažované předměy jou definovány pouze pro nezápornou hodnou argumenu..7 Zpěná Laplaceova ranformace Tranformace originál obraz je přímá ranformace. Exiuje amozřejmě k ní zpěná ranformace, edy ranformace obraz originál, kerá k obrazu F ( ) přiřazuje opě originál f ( ). Inverzní Laplaceova ranformace je dána vzahem: c+ j f L { F } F e d F e d π j π j { c+ ju; u R} c j kde c je libovolné reálné čílo ležící v oblai konvergence (pak celá přímka Re (.6) c, pře níž e inegruje, leží v oblai konvergence). Vzah (.6) znamená vyčílování křivko- - -

33 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE vého inegrálu po uzavřené křivce c, kerá v obě uzavírá všechny ingulární body funkce F ( ). Too vyčílování je možné reiduovou věou (nuná znalo komplexní analýzy), ale věšinou e nepoužívá a v praxi e zpěná ranformace provádí použiím lovníku Laplaceovy ranformace. Při provádění zpěné ranformace (hledání f ( ) k danému F ( ) ) e běžně vykyuje funkce F ( ) jako zlomek racionálně lomená funkce. Takovou funkci amozřejmě nenajdeme ve lovníku a proo ji muíme rozloži nejprve v parciální zlomky a eprve pak k nim nají ve lovníku originál. Rozklad v parciální zlomky lze provádě několika způoby, keré jou dále důkladně rozebrány a na vzorovém příkladu ukázány. Obecný poup:. Vypočía kořeny jmenovaele (póly funkce).. Rozloži jmenovaele na oučin kořenových činielů.. Rozloži funkci na parciální zlomky 4. POZOR rozklad na parciální zlomky v případě n-náobného kořenu obahuje pro eno náobný kořen n členů, j. parciálních zlomků kořenovým činielem ve všech mocninách 0 n. 5. Naléz odezvy k jednolivým zlomkům. 6. Aplikace věy o lineariě celková odezva je dána oučem dílčích odezev. Předpokládáme, že obraz F ( ) je ryze lomená racionální funkce a hledáme předmě L F f { }. Výpoče vzorů v LT a užií abulek popiujících LT však vyžaduje jiou počení ruinu, kerou je nuné i alepoň v jednoduchých případech nacviči, jak bude ukázáno dále. Při rozkladu na parciální zlomky e můžeme eka náledujícími ypy jmenovaelů, kerým muíme přiřadi právně čiaele pro rozklad. Jak je vidě z náledujícího rozkladu vůbec nezáleží na varu čiaele původního loženého zlomku..7. Rozklad na parciální zlomky Rozklad na parciální zlomky e používá aké u inegrace racionálně lomené funkce. Racionální lomená funkce má var R Q je polynom upně n. Je-li navíc m, P kde Q P je polynom upně m, < n řekneme, že racionální lomená funkce je ryzí. Polynom ve - -

34 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE jmenovaeli rozložíme v reálném oboru. Každou ryzí racionálně lomenou funkci lze rozloži na ouče parciálních zlomků, přičemž každému reálnému kořenu k parciálních zlomků varu ( ) a náobnoí k, paří A Ak,, k a (.7) a Dvojici komplexně družených kořenů, b ± ci náobnoí l, paří l parciálních zlomků varu M + N,, M + N l ( b + b + c ) ( b + b + c ) l l (.8) Jmenovaele e nažíme rozloži na fakory co nejvíce je o možné, např. n n n m N a a an + α + β + α M + βm P mm (.9) zde již nelze kvadraické fakory dále rozloži na lineární fakory (nemají reálné kořeny) a všechny fakory v rozkladu jou různé. Cílem je rozloži eno podíl na ouče parciálních zlomků. Funkci F ( ) rozložíme na parciální zlomky ypu: ( λ ) ( ) n P A B C C D D D F a b c + E + E + λ + µ ( λ µ ) a b ( b) c ( c) ( c) Parciální zlomky podle nejčaějších jmenovaelů: A, ; A + B ; A + B ; A + B ; A + B n N ω + ω + ω + ω n ( a) + ( a) ( ) ( a) (.0) (.) V případě parciálního zlomku kvadraickým polynomem ve jmenovaeli (bez reálného kořene) upravíme eno polynom doplněním na čverec a v čiaeli doplníme případný člen o ejnou konanu: F + B + A B + A n ( + B + C ) + B + C B 4 n (.) Jak je vidě z předchozího vzahu (.) ne vždy nám bude rozklad na parciální zlomky čini nejvěší poíže při zpěné LT. Při rozkladu na parciální zlomky můžeme obdrže jmeno

35 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE vaele, kerý e nedá dále rozloži na oučin kořenových činielů z důvodu, že kořenem je komplexní čílo. V omo případě muíme alepoň vědě do jakého varu bychom měli zlomek upravi, ak aby nám připomínal nějaký vzor ze lovníku v nejčaějších případech goniomerické funkce náobené exponenciálou. Z ohoo důvodu i v další kapiole uvedeme několik výpočů ěcho pecifických příkladů. Nejdůležiější věc při zpěné ranformaci je a, že e muíme podíva na jmenovaele a pokui e nají podobný výraz ve lovníku. Pokud akový výraz ve lovníku nemáme, pak muíme začí algebraickými úpravami. Pokud i upravíme jmenovaele, zkonrolujeme v jakém varu je čiael a popřípadě ho aké upravíme, jeliže hledaný výraz není podobný žádnému ve lovníku..7.. Algorimu pro rozklad na parciální zlomky Krok. Pro každý fakor ( + a) n přideje do rozkladu n parciálních zlomků Pro každý fakor ( α β ) A A A a a a n n (.) m + + přideje do rozkladu m parciálních zlomků B + C B + C Bm + Cm + α + β + α + β + α + β ( ) ( m m ) m (.4) V předcházejících odavcích jme konany značili pomocí indexů, ale dále budeme pro věší přehledno znači konany po obě jdoucími pímeny. Všimněe i, že poče neznámých pímen vždy odpovídá upni jmenovaele. Všimněe i aké, že čiael P ( ) nemá na var parciálních zlomků žádný vliv. Krok. Určee neznámé konany A, B, C, objevující e v parciálních zlomcích pomocí znaloi..7.. Přehled meod pro zíkání koeficienů K určení neznámých konan je několik meod, dále pokryjeme y nejdůležiější. Všechny zde používané meody jou převzay z [4]. K jejich iluraci výpoču použijeme náledující přenoovou funkci

36 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE F + 5 (.5) Funkce je ryze lomená, proože upeň polynomu v čiaeli je menší než ve jmenovaeli. Nejprve rozložíme jmenovael na kořenové činiele. Použijeme buď vzorec pro kořeny kvadraické rovnice, Hornerovo chéma nebo odhad oučinu. + (.6) Každému kořenovému činieli příluší jeden parciální zlomek. Doáváme edy dva parciální zlomky, obecně + 5 A B Teď nám zbývá urči neznámé konany A, B. (.7).7... Náobící meoda Rovnici (.7) danou hledaným rozkladem vynáobíme jmenovaelem zlomku, vykráíme na pravé raně (což vždycky jde) a pak roznáobíme. Polední krok je hromáždi ejné mocniny na pravé raně, akže am vznikne polynom neznámými koeficieny. Vynáobíme rovnici polečným jmenovaelem ( )( ) +. ( )( + ) ( )( + ) A B A + + B + 5 A + B + A B. (.8) Neznámé koeficieny v rozkladu vypočíáme meodou neurčiých koeficienů. Tao meoda e opírá o věu o rovnoi polynomů dva polynomy jou i rovny, rovnají-li e jejich koeficieny u ejných mocnin. Doáváme ak ouavu rovnic A + B (.9) A B 5. Řešením éo ouavy rovnic je A, B, akže rozklad na parciální zlomky má pak var (.0) - 6 -

37 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE.7... Doazovací meoda Pro určení neznámých koeficienů můžeme použí kromě porovnávání koeficienů u jednolivých mocnin i doazovací meodu, kerou i ukážeme na náledujících řádkách (éo meodě e aké říká meoda zakrývací a její obměnu i ukážeme dále) + 5 A + + B (.) rovno plaí pro každé, edy i pro kořen, poé doáváme pro druhý kořen doáváme B + 5 A B B B + 5 A A A (.) (.) je vidě, že jme při použií obou meod doáhli ejných výledků. Tímo je rozklad hoov a my můžeme přioupi k zpěné Laplaceovy ranformaci. Teno rik je jediná opravdu polehlivá meoda. Vždy funguje, díky čemuž je velice důležiá. Nevýhodou je, že může bý velice zdlouhavá a pracná pro ruční výpoče, proože obecně je poče neznámých a poče rovnic, keré obdržíme, rovný upni jmenovaele Zakrývací meoda Vyjdeme z původní rovnice: + 5 A B (.4) Chceme-li zná A, zakryjeme na levé raně odpovídající fakor ( ) a do vzniklého výrazu doadíme přílušný kořen. Doaneme A. / / / / 4 ( + ) x Podobně zakryím ( + ) a doazením doaneme (.5) B. / / / / 4 ( ) (.6) Doáváme edy ejný rozklad jako předím a prakicky zdarma. Too je nejlepší meoda zíkávání neznámých koeficienů, zkušený rozkladač i jen napíše u základní rovnici obecným - 7 -

38 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE rozkladem, pak i v ní prem zakrývá fakory a rovnou píše výledky. Zkue i o ami na náledujícím příkladu: A B C (.7) Proože oo bude evidenně naše nejoblíbenější meoda, podíváme e na ni blíže. Předpokládejme, že máme podíl polynomů p q že pak máme náledující obecný rozklad A An An n ( a) ( a), a že ( a)n je jeden z fakorů q. Teorie nám říká, p P n (.8) q a Q Podíl P / Q am reprezenuje ouče oaních parciálních zlomků, Q je vlaně ejný polynom jako q ale bez fakoru ( a výledné rovnice doadíme hodnou ( ) q n ) n. Teď uo rovno vynáobíme ímo fakorem a pak do a. n n n ( ) Q p a P a A a + + A a + A + n, p q ( a) n a P a.0 A An.0 + An +, Q a (.9) p q ( a) n a A. n Napravo jme doali neznámý koeficien (zakrýváme) fakor ( a ) n řádek edy vlaně dává obecný vzah pro uo meodu. A n, ve jmenovaeli nalevo vlaně odebíráme, akže oo je vkuku princip zakrývacího riku. Teno polední Teď aké vidíme hlavní omezení éo meody. První problém naane, když je n věší než, proože pak nejme chopni doa další odpovídající konany. Například k zíkání A bychom měli ve jmenovaeli zakrý, n a ale pak by am pořád ve jmenovaeli zůávalo ( a) n a enokrá už není možné doadi a za. V ěch příkladech výše byly vždy - 8 -

39 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE lineární fakory jen v první mocnině, což je pro zakrývací rik en nejlepší možný případ. Teď e podíváme na něco ložiějšího. Příklad: Uvažuje náledující rozklad. Všimněe i, že + + A B C. není ireducibilní kvadraický fakor, ale lineární člen ( 0) (.40) na mocninu dva, akže jme ním podle oho zacházeli (ireducibilní polynom je akový polynom, kerý nelze rozloži na oučin jednodušších polynomů). Teď určíme konany, začneme ím nejjednodušším způobem, edy zakrývací meodou. Zakryím členu ( ) na levé raně a doazením zíkáme C. Zakryím a doazením 0 doaneme B. Nelze ale zakrý jen jedno a doadi nulu, neboli zakrývací meoda elže u konany A. Obráíme e edy na polehlivou meodu náobící, ale proože už známe dvě hodnoy, ak nebudeme mue řeši yém ří rovnic, ale bude ači pouze jedna. To nám podaně zjednoduší práci. A + + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( + ) + ( ) A A A A + A. + + ( ) (.4) Podobně poupujeme v případě, kdy jou i kvadraické fakory. To je druhé omezení zakrývací meody, nedá nám koeficieny odpovídající kvadraickým fakorům. Důvod je jednoduchý, není reálný kořen, kerý by šlo doadi. Poup i ukážeme na příkladě níže, nejprve i o hrneme. Algorimu pro určování koeficienů parciálních zlomků: Krok. pokud jou am nějaké lineární fakory, pak pro každý fakor ( a) n najděe koeficien odpovídající parciálnímu zlomku nejvyšší mocninou pomocí zakrývací meody: a) zakryje fakor n a ve jmenovaeli dané funkce, b) doaďe a do výrazu, kerý zbyl. Pokud má daná funkce pouze lineární fakory v mocnině, je hoovi

40 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE Krok. pokud je doali nějaké koeficieny v Kroku, doaďe je do obecného rozkladu, kerý určujee. Pak najděe zbývající koeficieny pomocí náobící meody: a) vynáobe obě rany rozkladu polečným jmenovaelem a zkraťe na pravé raně b) přepiše výraz napravo jako polynom, c) rovnáním koeficienů polynomů nalevo a napravo odvoďe olik rovnic, kolik zbývá urči proměnných, d) vyřeše yo rovnice. Než ukážeme další příklad, ukážeme dvě pomocné meody. Není nuné je zná (en algorimu výše obvykle funguje velice dobře), ale někeří lidé by mohli oceni, že unadňují zíkávání rovnic při náobící meodě Doazovací meoda rozšíření Při éo meodě vyjdeme z rovnice, kerou jme doali vynáobením rozkladu při náobící meodě. V příkladě výše o je rovnice (.4) označená ( ). Tao rovnice má plai pro všechna, udíž i pro nějakou konkréní hodnou, kerou i vybereme. Pokud do éo rovnoi doadíme nějaké konkréní čílo za, doaneme rovnici neznámými koeficieny. Kolik rovnic pořebujeme, olikrá doadíme za nějaké čílo. Komplikace může vzniknou, pokud by někeré ako vzniklé rovnice nebyly nezávilé, ale o e pozná v průběhu řešení a proě e doazením jiného přidá další rovnice. Doazením kořenů lineárních fakorů je ekvivalenní zakrývací meodě. Pokud jme ji edy již před náobící meodou použili, pak je pro doazovací meodu řeba použí jiné hodnoy než kořeny. Vraťme e k polednímu příkladu. Když doadíme do rovnice (.4) ( ) něco jiného než 0 a, například, ak doaneme rovnici pro A. A + + (.4) A + A A (.4) Liminí meoda Tao meoda začíná původní rozkladovou rovnoí. Ta e kládá z racionálních lomených funkcí a my dobře víme, jak e yo funkce chovají v nekonečnu. V rovnici jou všechny racionální lomené funkce ryzí, akže jou upně v čiaelích menší než ve jmenovaeli a v nekonečnu jdou podíly k nule. Nicméně jou am vždy někeré, u nichž je upeň v čiaeli - 0 -

41 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE přeně o jedničku menší než ve jmenovaeli. Pokud u základní rovnici vynáobíme proměnnou a pak přejdeme do nekonečna, určíme nadno limiu všech podílů. Ty, keré mají pořád menší upeň v čiaeli, půjdou k nule, ale y, u kerých e eď upně rovnaly, půjdou k podílu koeficienů u nejvyšších mocnin. Zae e vráíme k příkladu výše a vyzkoušíme o, nejprve vynáobíme všechny členy a pak o pošleme do nekonečna A B C + + ( ) B C A + + ( ) (.44) A + C Doali jme rovnici koro zadarmo, zkušený řešič o dokáže, aniž by i dokonce u vynáobenou rovno pal, proě e podívá na u původní rozkladovou a rovnou píše rovnici. Čao o už ačí, i zde jme již všechny oaní neznámé zíkali zakrývačkou, akže rovnou dopočíáme i A a máme rozklad. Jak už jme pali, yo dvě pomocné meody není opravdu nuné zná. Někeří udeni nelibě neou, když e věci komplikují a muí e víc rozhodova, vyloženě jim vyhovuje en algorimu výše, proě e naučí zakrývací a náobící meodu a zvládnou ím všechno, i když řeba obča muí více počía. Nicméně mnozí udeni, keří e cíí v éo oblai jií, e čao nebojí i rozhodovací poup zkomplikova a ocení, když znají i pár riků, keré dokáží někdy výrazně zkrái výpočy. Pro ně jme zde předavili y dvě pomocné meody, budeme je na vhodných míech používa jako alernaivní poup. Triků dokonce exiuje mnohem víc, několik pokročilejších, ale ai i méně prakických meod i ukážeme dále. Uvažujme náledující rozklad: 0 A B C + D ( ) ( + 4) ( ). (.45) Jeden koeficien jme dokázali nají zakrývací meodou, zakryli jme vlevo ( ) a do zbyku doadili. Tím jme ale končili, je ča na náobící meodu. Nejprve vynáobíme polečným jmenovaelem a pokráíme rovnici: A C D (.46) - -

42 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE Sandardní poup je eď vynáobi rovnici (.46) označenou hvězdičkou jmenovaelem, roznáobi pravou ranu, přepa ji jako polynom, pak porovna obě rany a doaneme čyři rovnice, při jejíchž řešení pomůže, že už známe B : 0 A C A C D 4A C D 4A D (.47) a edy A + C A C D + 4A + C D 0 4A + D A 0, C, D ( ) ( + 4) ( ) (.48) (.49) Kde by e ady mohl projevi doazovací rik? Namío roznáobování na pravé raně je možné začí rovnicí (.46) a doa ři rovnice (olik jich pořebujeme) doazením ří hodno za (libovolně malých), pokud možno malých. A C D A + D 0A 5 4C + 4D 0 8A 4 + C + D (.50) 0 4A + D 0A 4C 4D A + C + D 4 Zdá e, že bylo nadnější ako zíka ři rovnice, na druhou ranu eno poup čao dává rovnice velkými koeficieny, což není ak pěkné, když dojde na jejich řešení. Další pomocná meoda používala limiu. Vynáobíme základní rovno výrazem a pak přejdeme do nekonečna A B C D ( ) ( + 4) ( ) (.5) A C. Je o jen jedna rovnice, ale koro zadarmo. Všimněe i, že je ejná, jako jme doali u náobící meody při porovnání koeficienů u nejvyšší mocniny. Není o náhoda, ak o vyjde vždycky. - -

43 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE Rozlože na parciální zlomky: (.5) Funkce není ryze lomená, proože upeň polynomu v čiaeli je ejný (nebo věší), než ve jmenovaeli. Podělíme polynomy v čiaeli a jmenovaeli : ( ) ( ) ( ) (.5) Na parciální zlomky budeme rozkláda pouze ryze lomený zbyek. Jmenovael rozložíme na kořenové činiele a doáváme + + A B + ( + ) ( + ) Vynáobíme rovnici polečným jmenovaelem ( + ). (.54) Rozlože na parciální zlomky: + A + + B A + A + B A, + B B ( + ) + ( + ) ( )( + ) (.55) (.56) (.57) Funkce je ryze lomená, proože upeň polynomu v čiaeli je menší, než ve jmenovaeli. Jmenovael již je rozložen na kořenové činiele, proože A B + C + ( )( + ) má pouze komplexní kořeny. (.58) Každému kořenovému činieli příluší jeden parciální zlomek, nerozložielnému kvadraickému činieli aké. Vynáobíme rovnici polečným jmenovaelem. rovno plaí pro každé, edy i pro kořen A + + B + C (.59) : A A (.60) další kořeny nemáme. Buď doadíme jiné čílo nebo porovnáme koeficieny. - -

44 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE : 0 A + B + B B (.6) zbývá vyjádři C. Proože C e objevuje u první i nulé mocniny, můžeme i mocninu vybra. Vezmeme např.. : B + C + C C (.6) parciální rozklad pak je + + ( )( + ) ( ) ( + ) Další meody budeme ilurova na rozkladu (.6) 0 A B C + D ( ) ( + 4) ( ) (.64) Jednu konanu jme již určili zakrývací meodou, proože a je nejjednodušší a nemá myl hleda k ní alernaivu. Oaní konany bychom andardně určili náobící meodou, což je přeně chvíle, kdybychom ocenili nějakou alernaivu Lineární fakory I Začneme problémem nalezení A, obecně hledáním konan u lineárních fakorů, keré e objevují ve vyšší mocnině. První zajímavá meoda je založena na elkém rozumu. Pomocí zakrývací meody určíme A n odpovídající nejvyšší mocnině jiého lineárního fakoru ( a ) n. Jakmile eno koeficien známe, ak lze přeunou celý parciální zlomek nalevo a poji původním podílem, eď e An ává koeficienem nejvyšším mocninou napravo a můžeme k jeho nalezení použí zakrývací meodu ( novou levou ranou). Jakmile ak učiníme, přeuneme zae eno zlomek doleva a pokračujeme ímo způobem, dokud nedoaneme všechny koeficieny odpovídající omuo lineárnímu fakoru. Pak e přeuneme k dalšímu ad., akže e ako nakonec dají urči všechny konany u parciálních zlomků založených na lineáře. Jak o zabere u našeho příkladu? A C + D 0 + ( ) ( + 4) + 4 ( ) 0 A C + D ( ) ( + 4) ( ) (.65) - 4 -

45 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE + A C + D ( ) ( + 4) ( ) ( + 4) ( )( + 4) A C + D A C + D (.66) + A 0. (/ / / / /)( + 4) Takže jme A našli, ale úprava podílu nalevo dala ai víc práce než celá náobící meoda. Mohou ale bý příklady, kde oo pomůže Lineární fakory II Zde e pokuíme zobecni zakrývací meodu. Připomeňme, že je založená na náledujícím poupu. Vezmeme rozklad, kerý e ouředí na nějaký lineární fakor ( a ) n, a vynáobíme jej ímo fakorem. A An An n ( a) ( a) p ( ) q P n q a Q n n n n ( ) Q p a P a A a + + A a + A + n (.67) Pak jme doadili za obě rany éo rovnoi, čímž a a doali A n. Dá e nějak doa i An? Ano, můžeme derivova A n zmizí a n udělá. Zae o použijeme na náš příklad A B C + D ( ) ( + 4) ( ) 0 + A( ) + ( ) + 4 C D ( + 4) ( + 4) A ak bude jako konana, akže doazení už o 5 4 A + ( ) + ( ) C + D C + D 0 D C + D A A (.68) - 5 -

46 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE Oobně bych raději volil náobící meodu. Pokud derivujeme vícekrá, doaneme aké další konany. To je zajímavé z eoreického hledika, proože doáváme obecný vzorec pro všechny konany u zlomků lineárami. (Pokročilejší čenáři mohou vidě zajímavou ouvilo rezidui a obecně Laureáovým rozvojem komplexních funkcí.) n k d n p Ak n k ( a ) ( n k )! d q a. (.69) Kvadraické fakory I Zde je možné použí zajímavou verzi doazovacího riku. Konany u lineárních fakorů (u nejvyšších mocnin) lze zíka doazováním kořenů lineár, u konan z kvadraických parciálních zlomků nejvyšších mocnin zae zabere doazení komplexního kořene. U našeho příkladu má komplexní fakor kořen i, jeho doazením doaneme A B C D i 4i 8C D 6C + 4 D i. (.70) Porovnáním reálné a imaginární čái zíkáme rovnice 8C D a 4 6C + 4D, keré hravě vyřešíme a doaneme C a D. V případě, že by jeden kvadraický člen byl příomen vícekrá, zíkáme zae pouze koeficieny u nejvyšší mocniny Kvadraické fakory II Pokud vám nevadí komplexní výpočy, nabízí e ješě jeden rik. Pokud povolíme komplexní kořeny, ak lze každou ryzí racionální funkci rozloži na parciální zlomky založené na lineárních členech neboli na ěch nejpříjemnějších. Vzniknou pak i komplexní koeficieny. V našem příkladě doaneme 0 A B C D ( ) ( + 4) ( ) i + i (.7) eď můžeme použí zakrývací rik přílušnými kořeny a doaneme B, C a D u poledních dvou o bude - 6 -

47 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE 0 4i C i, 6 i ( ) ( + i) ( ) ( i) i + i 0 4 D + i. 6 + i i Polední konanu A 0 zíkáme například jednou z meod výše, akže i + i i + i ( ) ( + 4) ( ) (.7) (.7) zíkali jme ak rozklad, jehož další výhodou je, že nemá kvadraické členy. Nevýhody jou dvě. Mueli jme provádě komplexní výpočy, což možná někerým nebude až ak vadi. Věším problémem je, že výledek inegrace obahuje komplexní číla, jenže zadaná funkce je reálná. Výledek by edy měl bý rovněž reálný, akže e zíkaný komplexní výledek ješě muí upravova do reálného varu, což nemuí bý jednoduché. Snad z oho důvodu e eno rik komplexním rozkladem nepoužívá v reálném oboru

48 KAPITOLA. LAPLACEOVA TRANSFORMACE - 8 -

49 Kapiola Příklady na Laplaceovu ranformaci Na omo míě bych rád poznamenal, že někeré zde použié příklady byly převzay ze zdrojů, keré jou uvedeny na konci éo práce. Věšinou e jednalo o zahraniční maemaicky zaměřené weby nebo išěné publikace. Ale byly vždy publikovány jako neřešené bez uvedení výledků, keré bylo nuné vypočía a uvé poup řešení. Na přiloženém CD naleznee cany výpoču jednolivých příkladů, keré byly v rámci práce vymyšleny a počeny.. Příklady na přímou Laplaceovu ranformaci Příklady: Pomocí základních vzahů ranformace a využiím uvedených obrazů někerých f. funkcí určee obraz F ( ) k předměu Příklad čílo: f 4 + e e f 4 + e e Výledek 4 6 F { } { 4 } { 4} { } { } F L f L + e e L + L e + L e 4 6 4L{ } + L{ e } L{ e } ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (.) - 9 -

50 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Příklad čílo: f in 5 co in 5 co L{ } L{ in 5 co } L{ in 5 } L { co } f F f Výledek F ( ) ( ) ( + 5)( + 4) (.) Příklad čílo: f in Výledek F in L{ } L{ in } L{ } L { in } f F f ( + ) (.) Příklad čílo: 4 f + 4e + co f + 4e + co Výledek 4 F { } { 4 co } { } { } 4 { 4 } { co } F L f L + e + L L + L e + L! (.4) Příklad čílo: 5 f 4e + e + in 4 f e + e + in Výledek F { } { 4 in } 4 { } { } { in } F L f L e + e + L e + L e + L ( + )( + ) + ( )( + ) + ( )( + ) (.5) - 0 -

51 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Příklad čílo: 6 L + e + co in 4 { } L{ co in 4 } { e } { e } { } { } ( + ) ( + ) Výledek 8 F ( + ) f + e + co in 4 e + e + co in 4 F f e + e + L + L + L co L in 4 (.6) Příklad čílo: 7 f in + 4co Výledek F ( + 4) ( + 9) Teno příklad můžeme řeši dvěma způoby, ukážeme i zde jeden a u dalšího příkladu i ukážeme oba způoby řešení (v omo případě použijeme ložiější způob). f in + 4co in + 4 co { } { in 4 co } { in } 4 { co } F L f L + L + L ( ) (.7) Příklad čílo: co f + 4 co co + co Výledek { } { co co } { co } { co } F L f L + L + L (.8) - -

52 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI ( ) ( 4) { coω} L ( ) ω ( + ω ) ( ) ( ) (.9) Příklad čílo: 9 L{ f } + 4 co Výledek f + e + + in e + e e + in + in F! ( + ) ( + ) (.0) Příklad čílo: 0 e + co f e + co e + co co Výledek { } { co co } { } { co } { co } F L f L e + L e + L L ( + ) + + { co } L ω ( + ω ) ( + ) ( + 4) ( + ) ( + 4) (.) (.) - -

53 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Příklad čílo: 4 co ( ) ( ) f e f e co 4 Výledek { } { co } { co } F L f L e L e (.) Příklad čílo: e co 4in 5 ( co 4in 5 ) co 4 in 5 ( + ) + 4 ( ) ( ) ( ) ( ) f e e e Výledek { } { co 4 in 5 } { co } 4 { in 5 } F L f L e e L e L e (.4) Příklad čílo: f e e + in 4 f e e in 4 + Výledek { } { in 4 } { } { in 4 } { } F L f L e e + L e L e + L ( ) ( ) ( ) ( ) (.5) Příklad čílo: 4 in 4 + ( ) f e Výledek

54 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI in 4 + ( ) f e F L f L + e + e L L { } in 4 ( ) { in 4 } ( ) 4 4. lim + ( e ) ( ) + { inω} L ω ( + ω ) ( + 6) ( + ) ( + 6) (.6) (.7) Příklad čílo: 5 f e in + e co d 0 Výledek f e in + e co d e e in + e co d 0 0 { } { } { } L L in + co L L in + L co (.8) F f e e e d e e e d ( + ) ( + ) + ( ) + ( + ) Příklad čílo: 6 f e + 4 e L{ f } F f e + 4 e Výledek 8 + +! ( + ) ( ) ( + ) ( ) (.9) Příklad čílo: 7 f + co 4co Výledek

55 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI f co + 4co L f F ( + ) + ( + ) 9 4 { } (.0) Příklad čílo: 8 f in + 4e L{ f } F f in + 4e Výledek ! ( + ) ( + ) 4 4 (.) Příklad čílo: 9 f 4e e in 4 L{ f } F 4 f e e in 4 Výledek (.) Příklad čílo: 0 ( in + co ) f { } L f F f in + co Výledek ( + ) ( + ) ( + 4) ( + 9) (.) Příklad čílo: f e + 5 Výledek

56 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI f e + 5 e + 0e 4e L f F! 0 4 { } ( ) ( ) ( ) ( ) (.4) Příklad čílo: L f 4 f e + e co f + 4 e e co e + 4e e co F! + { } ( ) + ( ) Výledek (.5) f e in 5 L{ f } F Příklad čílo: f e in 5 ( ) ( ) Výledek (.6) Příklad čílo: 4 L f f e in + 4co f e in + 4co 4e in + 8e co F Výledek { } ( ) ( ) ( ) ( ) (.7) Příklad čílo: 5 f e in + e co Výledek ( ) ( ) ( ) + 9 ( + )

57 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI f e in + e co L{ f } ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) + 9 ( + ) + 4 ( ) ( ) + 9 ( + ) + 4 ( ) + 9 ( + ) + 4 ( ) ( ) ( ) + 9 ( + ) + 4 Pozn.: Doažený výledek i můžeme dovoli zobecni a doaneme náledující předpi: L L a { f } L{ e inω} a { f } L{ e coω} ω ( a) ( a) ( a) ( a) + ω ω + ω (.8) (.9) Příklad čílo: 6 f +, 0 4 Výledek F 8 f +, 0 4 L { f } ( F ) F 4 8 (.0) Příklad čílo: 7 f + 4, 0, 0 f + 4, 0, 0 L { } ( ) Výledek F f F F + 4F F (.) Příklad čílo: 8 f + +, 0, 0, 0 Výledek F

58 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI f + +, 0, 0, 0 L { f } F ( F ) ( F ) F F ( ) (.) Příklad čílo: 9 ( τ ) τ f + f d, 0 0 Výledek F + 4 ( τ ) τ f + f d, 0 L { } 0 f ( F ) + F F + 4 (.).. Příklady na obraz impulu Příklad čílo: 0 f 0 0 < Výledek F e f 0 0 < (.4) Podle definice LT můžeme pá, že L { f } F f e d e d ( e ) e (.5) Pomocí věy o ranlaci a známých vzorců můžeme eno obraz naléz pomocí náledujícího poupu. Plaí, že f H H ( ), použijeme-li vzah { } a f a H a e F můžeme i dovoli pá, že L a věu o ranlaci { } { } F L f L H H e ( e ) (.6) - 8 -

59 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Příklad čílo: f 0 0 < Výledek e e F f 0 0 < (.7) Podle definice LT můžeme pá, že L u u f F f e d e d e 0 0 v e v { } e e e e e e e e 0 d e e (.8) Pomocí věy o ranlaci a známých vzorců můžeme eno obraz naléz pomocí náledujícího poupu. Plaí, že odud plyne, že ( ) ( ) ( ) H ( ) H ( ) 6H ( ) f H H H + H 6 F L{ f } e e e e (.9) (.40) V dalších úlohách budeme hleda obraz impulu pomocí věy o ranlaci. Přímý výpoče z definice využívá inegračních meod, především per pare, keré nejou předměem procvičení v éo práci. Příklad čílo: 0 0 f e < 4 0 > f e < 4 0 > 4 Výledek F e e + 4 (.4) Pomocí věy o ranlaci a známých vzorců můžeme eno obraz naléz pomocí náledujícího poupu. Plaí, že - 9 -

60 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI ( ) ( ) ( ) ( ) f e H H e H e H e e H e e H 4 4 odud plyne, že L e e 4 4 { } F f e e e e (.4) (.4) Příklad čílo: f f π 0 in 0 π > π 0 in 0 π > Výledek π F e + (.44) Pomocí věy o ranlaci a známých vzorců můžeme eno obraz naléz pomocí náledujícího poupu. Plaí, že f in H H π ( in ) H in π π π + odud plyne, že π π F L{ f } e e (.45) (.46) Příklad čílo: 4 f 0 < < 0 > Výledek F e e + e f 0 < < 0 > (.47) Pomocí věy o ranlaci a známých vzorců můžeme eno obraz naléz pomocí náledujícího poupu. Plaí, že

61 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) ( ) H ( ) ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) ( ) H ( ) H ( ) ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) ( ) H ( ) + ( ) H ( ) f H H H H H H odud plyne, že L e e e { } F f + e e + e (.48) (.49). Příklady na zpěnou Laplaceovu ranformaci Příklady: Rozlože funkci na parciální zlomky a pomocí základních vzahů ranformace a využiím uvedených obrazů někerých funkcí určee předmě f ( ) k obrazu F ( ). Příklad čílo: 5 Výledek F f 5 in 5 F f L { F } L in + 9 L + L + (.50) Příklad čílo: 6 F ( + ) Výledek f e F ( + )!! f L { F } L L L e ( + ) ( + ) ( + ) (.5) Příklad čílo: 7 F Výledek f co + in - 4 -

62 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI + F f L { F } L co in L + 4 L + (.5) Příklad čílo: 8 Příklad (dva různé reálné kořeny) F F Jmenovael rozložíme na oučin kořenových činielů: D b ac, b ± D 8 ± 5 a Výledek 5 8 f e e (.5) (.54) Rozklad přenoové funkce na parciální zlomky je: F 5 5 A B uo rovnici vynáobíme jmenovaelem ( )( 5) a doaneme: (.55) 5 A 5 + B (.56) Do éo rovnici poupně doadíme všechny reálné kořeny jmenovaele a doáváme pro: 5 B 5. A A A 8 B 5.5 A B B Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: F (.57) (.58) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). f { F } e e 5 L 8 L L 8 5 (.59) - 4 -

63 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Příklad čílo: 9 Příklad (ři různé reálné kořeny) F + 4 Výledek f + e e F + 4 vykneme fakor a jmenovael rozložíme na oučin kořenových činielů: Rozklad přenoové funkce na parciální zlomky je: F (.60) D b 4ac 4. 9 (.6) b ± D ±, a A B C uo rovnici vynáobíme jmenovaelem ( )( ) + a doaneme: A B C (.6) (.6) Do éo rovnici poupně doadíme všechny reálné kořeny jmenovaele a doáváme pro: 0 : 4 A. A 8 : B. B : 4 C C Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: F (.64) (.65) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). L L L L + (.66) { } f F + + e e - 4 -

64 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Příklad čílo: 40 F Příklad (jeden jednoduchý a jeden dvojnáobný kořen) Výledek 4 + f e jmenovael rozložíme do varu: F Rozklad přenoové funkce na parciální zlomky je: F (.67) 4 4 (.68) A B C uo rovnici vynáobíme jmenovaelem ( 4) a doaneme: (.69) A 4 + B 4 + C (.70) Do éo rovnici poupně doadíme všechny reálné kořeny jmenovaele (zde máme pouze dva různé, proo řeí čílo muíme zvoli, např. ) a doáváme pro: 0 : 4 A 4 A 4 : C 6 C : A + B. + C.4 4B + 8 4B + 6 B Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: F (.7) (.7) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). 4 f L { F } L e + + L L 4 (.7) Příklad čílo: 4 F Příklad (jeden jednoduchý a jeden rojnáobný kořen) Výledek f e e + e

65 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI F (.74) jmenovael rozložíme na oučin kořenových činielů, nejprve vykneme fakor a poé použijeme binomický vzorec ( a b) použí Hornerovo chéma pro rozklad polynomu.. Pokud bychom ve výrazu neviděli vzorec mueli bychom F A B C D ( ) ( ) ( ) (.75) uo rovnici vynáobíme jmenovaelem ( ) a doaneme: 0 8 A B C D (.76) Do éo rovnici poupně doadíme všechny reálné kořeny jmenovaele (zde máme pouze dva různé, proo muíme dvě číla zvoli, např., ) a doáváme pro: 0 : A A : B B A + B. + C. + D. : + C + D C + D A + B + 6C + D : 6 + 6C + D 0 6C + D (.77) Nyní muíme řeši rovnici o dvou neznámých abychom doali neznámé koeficieny C, D : C + D/ : 0 6C + D C + D 0 6C + D C D D + D D (.78) Pouze pro iluraci i můžeme dovoli použi i jinou meodu zíkání neznámých koeficienů u rozkladu. Pokud roznáobíme rovnici (.76) a porovnáme koeficieny u jednolivých mocnin, doaneme ouavu lineárních rovnic o čyřech neznámých

66 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI A + B + C + D A + + B + C C + D D + D + A + D + A + C D + A + B C + D + A : : : : A + D D A 0 A + C D C C 8 A + B C + D B + + B A A Dopěli jme ke ejnému závěru a je na každém z Vá, ke keré meodě e přikloníe. Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: (.79) (.80) F ( ) ( ) ( ) (.8) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). f F e e e L { } L L L + L + (.8) ( ) ( ) ( ) Příklad čílo: 4 F Výledek Příklad (jeden reálný a dva komplexní kořeny) F e f e + in co (.8) jmenovael rozložíme na oučin kořenových činielů, budeme mue použí Hornerovo chéma. Celočíelnými kořeny daného polynomu mohou bý pouze dělielná číla a n edy a ±. Poupujeme od menších číel k věším. n (.84) Kořenem je edy čílo. Z řeího řádku rozkladu vyplývá, že čílo je jednoduchým kořenem. Koeficieny ve řeím řádku nám pak dávají zbyek polynomu po vyknuí fakoru

67 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Polynom ( ) + + (.85) + + obahuje komplexní kořeny a nebudeme ho dále rozkláda. D b ac, Rozklad na parciální zlomky je F 4 4 < 0 + i b ± D ± i a i A B + C ( )( + + ) + + a doaneme uo rovnici vynáobíme jmenovaelem ( )( ) (.86) (.87) (.88) A B C Do éo rovnice poupně doadíme všechny reálné kořeny jmenovaele (v omo případě máme pouze jeden, proo muíme dvě číla zvoli, např. 0, ) a doáváme pro: A ( B C) : A. + B + C.0 A 0 : 7 A + C C (.89) : 5 7A + B + C 5 4 B 5 B Pouze pro iluraci i můžeme dovoli použi i jinou meodu zíkání neznámých koeficienů u rozkladu. Pokud roznáobíme rovnici (.88) a porovnáme koeficieny u jednolivých mocnin, doaneme ouavu lineárních rovnic o čyřech neznámých A + A + A + B B + C C A + B + A B + C + A C : 5 A + B : 6 A B + C 0 : 7 A C (.90) (.9) Muíme řeši ouavu rovnic o řech neznámých. Pro výpoče použijeme např. Cramerovo pravidlo:

68 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI A dea des A 5 deb B B de 0 0 C 7 S S 0 6 C 5 6 dec des 0 0 (.9) Dopěli jme ke ejnému závěru a je na každém z Vá, ke keré meodě e přikloníe. Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: F ( )( + + ) (.9) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). 5 L L L + + (.94) { F } f První výraz najdeme ve lovníku LT, ale druhý výraz budeme mue nejprve upravi. Jmenovael muíme upravi na čverec a do čiaele pořebujeme doa lineární fakor ze jmenovaele (.95)

69 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI { F } f L L L + L L + L e e e co + e in e in co + (.96) Příklad čílo: 4 Příklad (ři různé reálné kořeny) F Výledek 8 + f 6 4e e F vykneme fakor a jmenovael rozložíme na oučin kořenových činielů D b ac, b ± D ± 5 8 a (.97) (.98) Rozklad na parciální zlomky je: F A B C uo rovnici vynáobíme jmenovaelem ( 8)( ) a doaneme: A 8 B 8 C (.99) (.00) Do éo rovnici poupně doadíme všechny reálné kořeny jmenovaele a doáváme pro: 0 : 44 A 4 A 6 : A.0 + B 5 + C.0 B 4 8 : A.0 + B.0 + C.8.5 C Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: (.0)

70 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI F (.0) Vykneme konany před zlomky abychom obdrželi základní vary,keré nadno najdeme ve lovníku. U prvního výrazu zíkáme konanu a poé dvě exponenciály, kde a, a 8. Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). f { F } e e 8 L L L L 8 (.0) Příklad čílo: 44 Výledek F F f 4e e + 4 jednolivé zlomky muíme upravi do varu, keré nalezneme ve lovníku. F 4! 4! 4 + 4! 4 + ( ) 5 5 4! (.04) (.05) 5 4! f F e e 4 L { } 4L L L (.06) 4! 4 Příklad čílo: 45 Výledek F F f 4co5 in 5 5 (.07) Ve jmenovaeli jou komplexní kořeny, podle jmenovaele je vidě, že originál bude goniomerická funkce, zlomek rozdělíme a upravíme náledujícím způobem: F (.08)

71 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI 5 f L { F } 4 L 4co5 in L (.09) Výledek Příklad čílo: F + in inh f F + (.0) Ve jmenovaeli jou komplexní kořeny, podle jmenovaele je vidě, že originál bude goniomerická funkce, zlomky upravíme náledujícím způobem a doaneme: F ( ) ( 4) 4 ( ) ( 4) (.) f L { F } L in inh 4 + L (.) ( ) ( 4) 4 4 Výledek Příklad čílo: F f co 5 in F (.) + 5 Ve jmenovaeli jou komplexní kořeny, podle jmenovaele je vidě, že originál bude goniomerická funkce, zlomek rozdělíme a upravíme náledujícím způobem: F ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 5 5 (.4) f F + ( 5) 5 ( 5) 5 L { } L + L co 5 in 5 (.5) Ne vždy doaneme mocninu nějakého číla jako v předcházejících příkladech

72 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Příklad čílo: 48 Výledek F F f e 7in co (.6) Ve jmenovaeli jou komplexní kořeny, podle jmenovaele je vidě, že originál bude goniomerická funkce náobená exponenciálou, zlomek rozdělíme a upravíme náledujícím způobem, jmenovael upravíme na čverec: F (.7) nyní pořebujeme upravi čiaele abychom doali var a, j. +. F (.8) Zlomek rozdělíme a upravíme abychom doali v čiaeli ω : 4 4( + ) 4 4( + ) ( + ) F ( ) ( + ) ( ) 4 ( + ) 4 f L { F } L 4 in 4 co L e e ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) e 7in co (.9) (.0) Příklad čílo: 49 Výledek F F e 7 7 f 7 coh + inh (.) Ve jmenovaeli jou komplexní kořeny, podle jmenovaele je vidě, že originál bude goniomerická funkce náobená exponenciálou, zlomek rozdělíme a upravíme náledujícím způobem, jmenovael upravíme na čverec

73 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI F 6 4 ( ) (.) nyní pořebujeme upravi čiaele abychom doali var a, j F Zlomek rozdělíme a upravíme abychom doali v čiaeli ω : F L L + L { F } f e e coh e inh 7 coh inh (.) (.4) (.5) Příklad čílo: 50 Příklad (ři různé reálné kořeny) F 4 47 Výledek 4 + f e e e F 4 47 (.6) jmenovael rozložíme na oučin kořenových činielů, budeme mue použí Hornerovo chéma. Celočíelnými kořeny daného polynomu mohou bý pouze dělielná číla a n edy a ±, ±, ±, ± 4, ± 6, ±. Poupujeme od menších číel k věším. n - 5 -

74 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI (.7) Jednonáobným kořenem je edy čílo -. Koeficieny ve řeím řádku nám pak dávají zbyek polynomu po vyknuí fakoru + : Ješě muíme urči kořeny polynomu ( ) + (.8) D b ac, Rozklad na parciální zlomky je: F, vypočeme dikriminan a určíme kořeny: > 0 b ± D ± 7 4 (.9) a A B C ( + )( ) uo rovnici vynáobíme jmenovaelem ( )( )( 4) + + a doaneme: 4 47 A 4 B 4 C (.0) (.) Do éo rovnici poupně doadíme všechny reálné kořeny jmenovaele a doáváme pro: : A. 5 A : B 7 B 4 : C.5.7 C (.) klidně i můžeme dovoli doadi čílo, keré není kořenem, řeba čílo (a doaneme ejný výledek): : 4 47 A 4 + B + C A 6B + 6C 6 + 8C C (.) Pouze pro iluraci i můžeme dovoli použi i jinou meodu zíkání neznámých koeficienů u rozkladu. Pokud roznáobíme rovnici (.) a porovnáme koeficieny u jednolivých mocnin, doaneme ouavu lineárních rovnic o čyřech neznámých A A A B B B C C C A B C A B C A B C : 4 A + B + C : A B + 4C 0 : 47 A 4B C + (.4) (.5)

75 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Muíme řeši ouavu rovnic o řech neznámých. Pro výpoče použijeme např. Cramerovo pravidlo: A 4 B B 4 4 dea des A 4 deb de 70 4 C 47 S 4 S 4 Zakrývací meoda: C dec des A ( + ) ( + )( + )( 4 ) ( )( 5 ) B ( + ) ( + )( + )( 4 ) ( )( 7 ) C ( 4) ( + )( + )( 4 ) (.6) (.7) Dopěli jme ke ejnému závěru a je na každém z Vá, ke keré meodě e přikloníe. Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: F ( + )( ) (.8) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky)

76 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI f { F } + e + e e L L L L 4 (.9) Příklad čílo: 5 F Výledek f e 4co F (.40) jmenovael rozložíme na oučin kořenových činielů, budeme mue použí Hornerovo chéma. Celočíelnými kořeny daného polynomu mohou bý pouze dělielná číla a n edy a ±, ±, ±, ± 6. Poupujeme od menších číel k věším. n (.4) Jednonáobným kořenem je edy čílo -. Koeficieny ve řeím řádku nám pak dávají zbyek polynomu po vyknuí fakoru + : Polynom ( ) (.4) + je v reálném oboru ireducibilní (dále nerozložielný), F A B C ( + )( + ) uo rovnici vynáobíme jmenovaelem ( )( ) + + a doaneme (.4) A + + B + C + (.44) Do éo rovnici poupně doadíme všechny reálné kořeny jmenovaele (dva kořeny i budeme mue libovolně zvoli, např. 0, ) a doáváme pro: : A.7 A 0 : 9 A + C C 0 : A + B + C 4 + 8B B 4 (.45)

77 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI V omo případě i můžeme zkui doadi komplexní kořen (Meoda kvadraické fakory I) i : 8 i A + ib + C i + 8 i B + ib + ic + C (.46) Porovnáním reálné a imaginární čái doaneme ouavu rovnic o dvou neznámých, kerou vyřešíme a doaneme neznámé koeficieny + B B + C C 0 8 i ib + ic (.47) 8 i ib + 6 i + ib 7 4 i ib B 4 Pouze pro iluraci i můžeme dovoli použi i jinou meodu zíkání neznámých koeficienů u rozkladu. Pokud roznáobíme rovnici (.44) a porovnáme koeficieny u jednolivých mocnin, doaneme ouavu lineárních rovnic o čyřech neznámých. + A + + B + C A A B B C C A B B C A C (.48) + : A B + : 8 B C + 0 : 9 A C (.49) Muíme řeši ouavu rovnic o řech neznámých. Pro výpoče použijeme např. Cramerovo pravidlo: A 0 A 0 C 9 S 0 8 dea des deb des B 8 B 4 0 (.50)

78 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI C 0 8 dec des Dopěli jme ke ejnému závěru a je na každém z Vá, ke keré meodě e přikloníe. Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: 0 F ( + )( + ) (.5) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). f L { F } L 4L e 4co (.5) + + ( ) Příklad čílo: 5 F Výledek f ( ) e + + co + e in F Jmenovael rozložíme na oučin kořenových činielů, nejprve vykneme fakor 5 4 Ješě muíme urči kořeny polynomu ( 4 5) Polynom ( 4 5). (.5) (.54) D b ac + +, vypočeme dikriminan a určíme kořeny < 0 (.55) + + je v reálném oboru ireducibilní (dále nerozložielný) A B C D E F ( ) (.56) Jelikož v omo případě známe jen jeden reálný kořen a o 0 muíme pro výpoče oaních kořenů čyři číla libovolně zvoli. Z ohoo důvodu použijeme meodu rovnání koeficienů u jednolivých mocnin a náledně pro konrolu meodu doazením komplexních kořenů

79 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Rovnici (.56) vynáobíme jmenovaelem ( 4 5) + + a doaneme A B C D + E A + 4A + 5A + B + 4B + 5B + C + 4C + 5C + D + E C D B 4C E A 4B 5C 4A 5B 5A (.57) Uděláme porovnání koeficienů u jednolivých mocnin a jednoduchým způobem vyřešíme ouavu rovnic o pěi neznámých. C + D D C 4 : B + 4C + E E B 4C 4 : 0 A 4B A + 4B + 5C C : 5 5 4A 0 : 4A + 5B B : 5 5A A Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var F ( ) ( ) ( + ) ( + ) + ( + ) + ( ) ( ) ( ) ( ) (.58) (.59) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). ( + ) f L { F } L + L L L + L e co + e in (.60) Příklad čílo: 5 F Výledek + f e e e F (.6) Jmenovael rozložíme na oučin kořenových činielů, budeme mue použí Hornerovo chéma. Celočíelnými kořeny daného polynomu mohou bý pouze dělielná číla a n 6 edy a ±, ±, ±, ± 6. Poupujeme od menších číel k věším. n

80 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI (.6) Dvojnáobným kořenem je edy čílo -. Koeficieny ve čvrém řádku nám pak dávají zbyek polynomu po vyknuí fakoru ( + ) Polynom ( 6) (.6) dále rozložíme na oučin kořenových činielů do varu: D b ac, b ± D ± 5 a (.64) F A B C D ( + ) ( )( + ) ( + ) A ( + ) ( + ) ( + )( ). ( 4 ) d B ( + )! d ( ) ( )( ) ( )( ) ( 6 6)( 6) ( 8 6 )( ) ( 6) ( + 6 6)( + 6) ( )( ) ( )( 4) ( 4)( ) ( + 6) ( 4) ( 4) C ( + ) ( + ) ( + )( ) ( ). ( 5 ) 5 (.65) (.66) (.67) (.68) D ( ) (.69) Nebo můžeme použí doazovací meodu. Rovnici (.65) vynáobíme jmenovaelem ( ) ( )( ) + + a doaneme

81 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI 8 6 A + + B C + + D + + (.70) Do éo rovnici poupně doadíme všechny reálné kořeny jmenovaele (jeden i budeme mue libovolně zvoli, např. 0 ) a doáváme: : A 4 A : 8 + C 5 C : D ( 4) ( 5) D 80 0 : 6A 6B C + D 6 6B 4 B 0 (.7) Pouze pro iluraci i můžeme dovoli použi i jinou meodu zíkání neznámých koeficienů u rozkladu. Pokud roznáobíme rovnici (.70) a porovnáme koeficieny u jednolivých mocnin, doaneme ouavu lineárních rovnic o čyřech neznámých. [ ] [ ] [ ] [ ] A + + B C + + D B C D A C 4D A B 5C 5D 6A 6B C D 0 : : : : B + C + D 8 A C + 4D 6 A B 5C + 5D 6A 6B C + D (.7) Muíme řeši ouavu rovnic o čyřech neznámých. Pro výpoče použijeme např. Cramerovo pravidlo: A des dea A B 5 deb 6 0 B 5 5 C 6 des D 0 4 S (.7) - 6 -

82 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI C C des D de ded des Dopěli jme ke ejnému závěru a je na každém z Vá, ke keré meodě e přikloníe. Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: F ( + ) ( )( + ) ( + ) (.74) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). f L { F } L e e e + L L + (.75) ( + ) + Příklad čílo: 54 F Výledek 5 f + e + e in 5 F jmenovael rozložíme na oučin kořenových činielů, nejprve vykneme fakor 4 a doaneme: (.76) (.77) dále budeme mue použí Hornerovo chéma. Celočíelnými kořeny daného polynomu mohou bý pouze dělielná číla a n 0 edy a n ±, ±, ± 5, ± 0. Poupujeme od menších číel k věším

83 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI (.78) Trojnáobným kořenem je edy čílo. Koeficieny v páém řádku nám pak dávají zbyek polynomu po vyknuí fakoru ( ) (.79) (.80) Jednonáobným kořenem je čílo. Koeficieny v páém řádku nám dále dávají již v reálném oboru ireducibilní polynom. Rozklad jmenovaele na oučin kořenových činielů má pak var: (.8) F ( ) ( + )( + 5) A B C D E F G H I + J ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + 5) A 4 4 ( ) ( + )( + 5) d B 4! d ( ) ( + )( + 5) ( ) ( + )( + 5) (.8) (.8) (.84) ( )( ) ( + )( + 5) ( )( ) ( ) ( + )( + 5)

84 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI d C 4! d ( ) ( + )( + 5) ( ) ( + )( + 5) d D 4! d ( ) ( + )( + 5) ( ) ( + )( + 5) E ( ) 4 ( ) ( )( 5) F d ( )! d 4 5 ( ) ( + )( + ) ( + )( + 5) ( ) ( + )( + 5) ( )( ) 4 ( + )( + 5) (.85) (.86) (.87) (.88) H ( + ) 4 ( ) ( )( 5) (.89) Pro výpoče koeficienů I, J použijeme meodu kvadraické fakory I, rovnici (.8) vynáobíme jmenovaelem a do vzniklé rovnice doadíme 5i I + J I + J (.90) Porovnáním reálné a imaginární čái doaneme ouavu rovnic o dvou neznámých, kerou vyřešíme a doaneme neznámé koeficieny. V omo případě jme pro výpoče mueli použí výpočení echniku a hledané kořeny jou: I 0 J Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: (.9)

85 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI F ( ) ( + ) ( + 5) ( ) ( + )( + 5) A B C D E F G H I + J Přenoovou funkci F ( ) upravíme do varu: ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + 5) (.9) 4 5 F ( ) ( + ) ( + 5) ( ) ( + ) 5 + ( 5) 4 4 (.9) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). 5 f L { F } 4L 4 + L + L L ( ) ( ) 5 + ( + ( 5) ) 4 + e + e in 5 + e + e in 5!! 5 5 (.94) V předcházejících příkladech jme i ukázali všechny probrané meody pro rozklad přenoové funkce na parciální zlomky a náledného zíkání originálu LT. V dalších příkladech budeme používa kombinace meod pro zíkání co nejjednoduššího výpoču. Příklad čílo: 55 Výledek F F + 5 ( + )( + 4) + 5 ( + )( + 4) f e e (.95) jmenovael je již rozložený na oučin kořenových činielů, provedeme rozklad přenoové funkce na parciální zlomky a určíme neznámé koeficieny. Přenoová funkce má reálné kořeny. F + 5 A B C uo rovnici vynáobíme jmenovaelem ( )( 4) + + a po jednoduchých úpravách doaneme: (.96)

86 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI + 5 A B C A B B C C A B C A B C A (.97) Nyní i ukážeme několik možných meod řešení: Meoda zakrývací Podíváme e na zlomek (.96), ve jmenovaeli i poupně zakryjeme výrazy, keré příluší jednolivým neznámým konanám a do zbyku doadíme přílušný kořen, pro: 0, 5 5 A.4, B. (.98) 4, 5 5 C 4 4 Meoda doazovací Do rovnice (.97) poupně doadíme všechny reálné kořeny jmenovaele a doáváme pro: + A( + )( + ) + B ( + ) + C ( + ) : 5 5 A A ( ) + ( ) A( + )( + ) + B ( ) ( + ) + C ( ) ( + ) : B A ( ) + ( ) A( + )( + ) + B ( ) ( + ) + C ( ) ( + ) : 5 5 4C A 4 (.99) Meoda rovnávací (porovnání koeficienů u jednolivých mocnin) Pokud roznáobíme rovnici (.97) a porovnáme koeficieny u jednolivých mocnin, doaneme ouavu lineárních rovnic o řech neznámých A B C A B C A : A B C : 7A 4B C : 5 5 A A B + C B C 4 (.00) B + C 4C + C C C

87 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Muíme řeši ouavu rovnic o řech neznámých. Pro výpoče můžeme použi i např. Cramerovo pravidlo: A 4 dea des A deb B B de 0 0 C 5 S 7 4 S 0 0 C dec des (.0) Dopěli jme ke ejnému závěru a je na každém z Vá, ke keré meodě e přikloníe. Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: F + 5 A B C (.0) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky) f F e e L { } L L + L + (.0) Příklad čílo: 56 F + 5 ( + )( + ) Výledek + ( 6 ) f e e F + 5 ( + )( + ) (.04)

88 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI jmenovael je již rozložený na oučin kořenových činielů, provedeme rozklad přenoové funkce na parciální zlomky a určíme neznámé koeficieny. Přenoová funkce má reálné kořeny. F + 5 A B C ( + )( + ) ( + ) (.05) uo rovnici vynáobíme jmenovaelem ( )( ) + + a po jednoduchých úpravách doaneme + 5 A + + B + + C A B + B + C A + C + A + B + C + A + B + C Nyní i ukážeme několik možných meod řešení: (.06) Podíváme e na zlomek (.05), ve jmenovaeli i poupně zakryjeme výrazy, keré příluší jednolivým neznámým konanám a do zbyku doadíme přílušný kořen, pro: + 5 8, A , B 6 (.07) Do rovnice (.06) bychom mohli poupně doadi všechny reálné kořeny jmenovaele (v omo případě máme jenom dva kořeny, ale ři neznámé koeficieny z ohoo důvodu muíme jeden kořen libovolně zvoli např. 0 ) a doali by jme ejné koeficieny jako jme zíkali výše. Zaměříme e nyní jen na zíkání koeficienu C, kerý vypočeme několika způoby: + A + + B + + C : 5 0 : 5 A B C C C (.08) Nebo neznámý koeficien C zíkáme porovnáním koeficienů u někeré mocniny proměnné. Připomeňme, že volíme nejvyšší nebo nejnižší mocniny. Ty obvykle mají jednodušší vyjádření. Zvolíme z rovnice (.06) podmínku rovnoi pro a doaneme: : A + C C A (.09) Polední použiá meoda pro zíkání neznámých koeficienů je náledující: A ( + ) B ( + ) 6 ( + )( + ) ( ) (.0)

89 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI d C ( + )! d ( )( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) (.) Dopěli jme ke ejnému závěru a je na jakém z Vá, ke keré meodě e přikloníe. Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: F ( + )( + ) ( + ) (.) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). f L { F } L 6L e e + L + ( 6 ) (.) + ( + ) + Příklad čílo: 57 F 4 + ( + )( + 4) Výledek 5 5 f e + co + in F 4 + ( + )( + 4) (.4) jmenovael je již rozložený na oučin kořenových činielů, provedeme rozklad přenoové funkce na parciální zlomky a určíme neznámé koeficieny. Přenoová funkce má jeden reálný kořen a dvojici komplexně družených z ohoo důvodu muíme zvoli náledující rozklad. F 4 + A B + C + ( + )( + 4) + ( + 4) (.5) Podíváme e na zlomek (.5), ve jmenovaeli i poupně zakryjeme výraz, kerý příluší neznámé konaně A a do zbyku doadíme přílušný kořen, pro: 8 5, A + (.6) Zbývající koeficieny určíme např. porovnáním koeficienů u vhodné mocniny proměnné v náledující rovnici. Rovnici (.5) vynáobíme jmenovaele ( )( 4) + + a doaneme

90 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI 4 + A B + C A A B B C C 4 + A + B + B + C + 4A + C (.7) 5 : A A B B A 0 : 4A C C (.8) Nebo jme mohli použí meodu kvadraické fakory I. Doadíme do rovnice (.7) komplexní kořen. V našem případě je i a doazením zíkáme 4 + A B + C + 8i + 4B + 4Bi + Ci + C + 8i 4B + C + 4B + C i (.9) Porovnáním reálné a imaginární čái zíkáme ouavu dvou rovnic o dvou neznámých, kerou hravě vyřešíme a doaneme neznámé koeficieny B + + C 5 + C C 8 4B + C B B 8 (.0) Dopěli jme ke ejnému závěru a je na každém z Vá, ke keré meodě e přikloníe. Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: A B + C F ( + )( + 4) + ( + 4) + ( + 4) 8 + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (.) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). 5 5 f { F } ( ) 8 + ( + ) 5 5 e + co + in L L + L + L (.)

91 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Příklad čílo: 58 F + 6 ( + ) 4 Výledek + f e F + 6 ( + ) 4 zlomek muíme upravi do varu, kerý nalezneme ve lovníku. F ( + ) ( + ) Originál pak je: f L { F } L L 4 e e ( + ) ( + ) ( )! ( 4 )! e + e e (.) (.4) (.5) Příklad čílo: 59 F ( + ) Výledek ( 4 + ) f e F ( + ) zlomek muíme upravi do varu, kerý nalezneme ve lovníku. ( + ) ( + ) ( + ) F (.6) (.7) Originál pak je: f L { F } L 4L + L ( + ) ( + ) ( + ) 4 e e + e e 4e + e e 4 +!! ( ) ( ) (.8) - 7 -

92 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Příklad čílo: 60 F ( + ) Výledek f 6 e e 9 ( ) F ( + ) (.9) jmenovael je již rozložený na oučin kořenových činielů, provedeme rozklad přenoové funkce na parciální zlomky a určíme neznámé koeficieny. Přenoová funkce má ři reálné kořeny a rozklad bude vypada náledovně: F A B C + + ( + ) ( + ) ( + ) (.0) Podíváme e na zlomek (.0), ve jmenovaeli i poupně zakryjeme výraz, kerý příluší neznámé konaně A, B a do zbyku doadíme přílušný kořen, pro: 0, A 9, B (.) Zbývající koeficien určíme např. doazením libovolné konany v omo případě zvolíme. Rovnici (.0) vynáobíme jmenovaele ( + ) a doaneme: A + + B + C A B : A 4 + B + 4C C nebo jme mohli porovna koeficieny u nejvyšší mocniny: (.) : 0 A + C C A (.) 9 Dopěli jme ke ejnému závěru a je na každém z Vá, ke keré meodě e přikloníe. Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: F A B C ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (.4) - 7 -

93 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). f L { F } L L L 9 ( + ) 9 ( + ) ( 6 e e e e ) (.5) Úlohu můžeme aké řeši jinak, jeliže použijeme vzah F f u du můžeme i dovoli pá: u u u u u u e e ue du u u e u du ( ) ( ) + 0 v e v F u u u u e u + e du ue e e e + 6e e 0 (.6) Příklad čílo: 6 Výledek F F f e ( 8co + in ) Jmenovaele přenoové funkce zkuíme vyjádři v oučinu kořenových činielů. D b ac, b ± D ± 4i a + i i (.7) (.8) Ve jmenovaeli jou komplexní kořeny, jmenovaele budeme mue upravi do varu, ze kerého bude vidě Laplaceův obraz goniomerická funkce náobené exponenciálou, zlomek rozdělíme a upravíme náledujícím způobem: F (.9) - 7 -

94 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI ( ) ( ) + ( ) + f L { F } 4L 4e co e in + L + e ( 8co + in ) (.40) Příklad čílo: 6 F + ( + 4) Výledek f 6 ( 6 co + in + 8 in ) F + ( + 4) (.4) Ve jmenovaeli jou komplexní kořeny, jmenovaele budeme mue upravi do varu, ze kerého bude vidě Laplaceův obraz goniomerická funkce náobená proměnnou, zlomek rozdělíme a upravíme náledujícím způobem (při řešení ohoo ypu příkladu už předem muíme zná do jakého varu pořebujeme doa přenoovou funkci), ačí nám upravi jmenovaele a zíka am akové fakory, keré e nám podaří po rozdělení přenoové funkce vykrái e jmenovaelem: F 8 ( ) ( + ) ( + ) ( + ) (.4) ( ) { }. f L F L + L + L 8 ( ) 8 ( + ) + ( + ) co + in + in ( 6 co + in + 8 in ) (.4) Příklad čílo: 6 F 4 ( + ) ( + ) Výledek f e e e

95 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI F 4 ( + ) ( + ) (.44) jmenovael je již rozložený na oučin kořenových činielů, provedeme rozklad přenoové funkce na parciální zlomky a určíme neznámé koeficieny. Přenoová funkce má reálné kořeny. F 4 A B C D E ( + ) ( + ) ( + ) (.45) 4 A ( + ) ( + ) 0 (.46) B d 4 4 4( + ) ( + ) ( 4 )( ) (.47)! d ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) C ( + ) 7 ( + ) ( + ) (.48) ( ) ( 4 )( 4) d + + D ( + )! d ( + ) ( + ) + (.49) + 4 E ( + ) ( + ) ( + ) 4 (.50) Samozřejmě konany jme mohli urči i jinou meodou. Pro někoho kdo nemá rád derivace by byla přijaelnější meoda kdybychom rovnici (.45) vynáobili jmenovaelem a do vzniklé rovnice doadili za operáor libovolné koeficieny a nebo by jme vzniklou rovnici roznáobili a rovnali koeficieny u jednolivých mocnin. To už i můžee vyzkouše každý ám. Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: F ( + ) ( + ) ( + ) (.5)

96 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). f L { F } L 7 + L L L L 4 ( + ) ( + ) 4 ( + ) + 7e e e 4 4 (.5) Příklad čílo: 64 F F ( + ) ( + ) Výledek f in (.5) jmenovael je již rozložený na oučin kořenových činielů, provedeme rozklad přenoové funkce na parciální zlomky a určíme neznámé koeficieny. Přenoová funkce má reálné i imaginární kořeny a rozklad bude vypada náledovně: F A B C + D + + ( + ) ( + ) A ( + ) 0 (.54) (.55) Zbývající koeficieny určíme např. porovnáním koeficienů u vhodné mocniny proměnné v náledující rovnici. Rovnici (.54) vynáobíme jmenovaelem A + + B + + C + D A + A + B + B + C + D B C A D B A B C C B A D D A 0 : : 0 + : 0 B : A + a doaneme (.56) (.57) Nebo jme mohli použí meodu kvadraické fakory I. Doadíme do rovnice (.56) komplexní kořen. V našem případě i a doazením zíkáme:

97 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI A + + B + + C + D i C + D + 0i Ci D Porovnáním reálné a imaginární čái zíkáme koeficien D. (.58) Dopěli jme ke ejnému závěru a je na každém z Vá, ke keré meodě e přikloníe. Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: F ( + ) ( + ) (.59) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). f { F } L L in L (.60) ( + ) Příklad čílo: 65 F F ( + ) ( + ) Výledek f + co + in (.6) jmenovael je již rozložený na oučin kořenových činielů, provedeme rozklad přenoové funkce na parciální zlomky a určíme neznámé koeficieny. Přenoová funkce má reálné i imaginární kořeny a rozklad bude vypada náledovně: F A B C + D + + ( + ) ( + ) A ( + ) 0 (.6) (.6) Zbývající koeficieny určíme např. porovnáním koeficienů u vhodné mocniny proměnné v náledující rovnici. Rovnici (.6) vynáobíme jmenovaele + a doaneme:

98 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI A + + B + + C + D A + A + B + B + C + D B + C + A + D + B + A B C C B A D D A 0 : 0 + : 0 + : B : A (.64) (.65) Nebo jme mohli použí meodu kvadraické fakory I. Doadíme do rovnice (.64) komplexní kořen. V našem případě je i a doazením zíkáme: A + + B + + C + D + i C + D i Ci D Porovnáním reálné a imaginární čái zíkáme koeficien C, D. Dopěli jme ke ejnému závěru a je na každém z Vá, ke keré meodě e přikloníe. Rozklad funkce F ( ) na parciální zlomky má pak var: F ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (.66) (.67) Po zpěné ranformaci doáváme originál ve varu (užijeme věu o lineariě a konany vykneme před závorky). f F ( + ) ( + ) L { } L + L L + L + co + in (.68) Příklad čílo: 66 F 4 ( + ) 6 Výledek 0 5 e f F 4 ( + ) 6 jednolivé zlomky muíme upravi do varu, keré nalezneme ve lovníku. F 6! 4 4 6! 4 6! 4 6! 6! ( ( ) ) ( ( ) ) 6! ( ( ) ) 0 ( ( ) ) 0 ( ( ) ) (.69) (.70)

99 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI 6! 5 f L { F } L e 5+ (.7) 0 ( ( ) ) 0.. Zpěná ranformace obrazů impulů Při hledání předměu k funkcím, keré obahují výraz kerou inerpreujeme náledovně: a e, používáme věu o ranlaci, a Rozdělíme danou funkci na ouče členů varu F e, kde k funkci F ( ) známe předmě. a Je-li f F, pak hledaný předmě k funkci F e je funkce f ( a) H ( a), 0. Výraz a e je pouze v omo případě informaivní, kerý ná upozorňuje na o, že v zíkaném předměu provedeme pounuí. Ukážeme i způob výpoču na níže uvedených příkladech. Příklad čílo: 67 e F e F Výledek f 0 0 > 0 (.7) f L { F } L e ( ) H ( ), 0 (.7) Funkci f ( ) lze aké zapa jako: f 0 0 > 0 (.74) Příklad čílo: 68 F e e ( + ) Výledek f 0 < 0 > e e F e + e + (.75) ( )

100 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI e e L { } L + ( ) + ( ) + ( ) ( ) f F H H H H Funkci f ( ) lze aké zapa jako: f 0 < 0 > (.76) (.77) Příklad čílo: 69 F e e + ( ) Výledek 0 0 f e < 0 > e e F ( e e ) e e ( ) ( ) f L { F } L e e H ( ) e e H ( ), Funkci f ( ) lze aké zapa jako: 0 0 f e < 0 > (.78) (.79) (.80). Prakické užií LT (řešení diferenciálních rovnic) Níže i uvedeme ilurační příklad na řešení diferenciální rovnice přechodného děje klaického RLC článku. Jako první meodu použijeme klaické řešení diferenciální rovnice. Druhá meoda bude počíva v řešení algebraické operáorové rovnice, kerou doaneme z diferenciální za použií Laplaceovy ranformace. Každý čenář nechť i udělá ám obraz o jednoduchoi řešení náledující diferenciální rovnice pomocí Laplaceovy ranformace. Nechť máme RLC článek uvedenými konanami a chceme zná čaový průběh napěí na výupu poé co na vup přivedeme jednokový kok. Všechny zde uváděné pojmy při řešení diferenciálních rovnic daleko přeahují rámec učebních onov pro řední školy a mají louži pouze pro iluraci ložioi řešení diferenciálních rovnic

101 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI OBRÁZEK.: RLC článek čaová obla Paramery RLC článku: [ ] 0 [ ] [ ] c [ ] [ µ ] [ ] R 000 Ω U 0 V L H u 0 5 V C 8 F i 0 5 ma L (.8) Pro eavení inegrodiferenciální rovnice použijeme druhý Kirchhoffův zákon, kerý nám pro elekrické obvody formuluje zákon zachování energie, a říká nám, že ouče úbyků napěí na pořebičích e v uzavřené čái obvodu (myčce) rovná ouču elekromoorických napěí zdrojů v éo čái obvodu. Jinými lovy éž algebraický ouče napěí ve myčce e rovná nule. Inegrodiferenciální obvodová rovnice: di Ri + L + uc ( 0) + i ( τ ) dτ U0 0 d C (.8) 0 Celou rovnici derivujeme o doaneme diferenciální homogenní rovnici.řádu konanními koeficieny, kerá e řeší pomocí charakeriického polynomu a charakeriických číel, z nichž e zíká fundamenální yém a obecné řešení homogenní rovnice. d i R di i 0 L + + (.8) d d C Charakeriická rovnice éo diferenciální rovnice má po jednoduché úpravě var LCλ + RCλ + 0 (.84) Kořeny charakeriické rovnice jou RC ± RC 4LC λ, (.85) LC - 8 -

102 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI po vyčílení doáváme jednolivé kořeny ve varu λ 46,4 λ 85,6 (.86) Fundamenální yém řešení (báze množiny řešení homogenní lineární rovnice) je edy na- λ λ příklad { e, e }, λ určují pouze obecné řešení pro i i u, obecné řešení éo diferenciální rovnice e dá vyjádři ve varu u uˆ +ɶ u, kde funkce û (parikulární) řešení dané diferenciální rovnice a funkce u homogenní diferenciální rovnice. Pro náš příklad doáváme: λ λ 0 je jedno ɶ je obecné řešení přidružené u c e + c e + U, vyjádříme první derivaci a doadíme počáeční podmínky λ λ λ λ u c e + c e, po doazení počáečních podmínek doáváme dvě rovnice o dvou neznámých. u ( 0) uc ( 0) 5[ V ] il ( 0) u u C duc ic il C d 5 c + c , 4c 85, 6c Řešením ouavy lineárních algebraických rovnice je (, ) ( 0,5;5,5 ) diferenciální rovnice je ve varu: 46,4 85,6 (.87) (.88) c c, hledané řešení u 5,5e + 0,5e + 0 (.89) u ()[V] OBRÁZEK.: Čaový průběh výupního napěí RLC článku po odeznění přechodového děje [] - 8 -

103 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Při řešení éo úlohy RLC článkem pomocí Laplaceovy ranformace můžeme poupova dvěmi způoby řešení. Za prvé i můžeme obrázek (Obr..) překreli z čaové oblai do operáorové oblai a eavi i algebraickou obvodovou rovnici pro napěí U počíáme přímo U, píše pře napěťový dělič. A nebo použijeme již diferenciální rovnici (.8), kerou vyřešíme pomocí Laplaceovy ranformace a při použií zpěné Laplaceovy ranformace zíkáme čaový průběh proudu i ( ) v RLC článku. OBRÁZEK.: RLC článek operáorová obla Mějme edy diferenciální rovnici d i R di i 0 L + + počáečními podmínkami d d C ( 0) 0, ( 0) ( 0) 0, 005 a jednokový kok o hodnoě [ ] i i i L obraz druhé derivace a věu o lineariě. Nechť L i { } I ma. Použijeme vzorec pro, poé muí plai, že d i di i 0, 00 L L + R + L( I i ( 0) i ( 0) ) + R( I i ( 0) ) + I d d C C 0, 00 I L + R + + i ( 0) + i ( 0) + Ri ( 0) C (.90) Pomocí vzahů mezi obrazem funkce a obrazem jejich derivací jme převedli diferenciální rovnici na lineární rovnici pro obraz. Obrazem řešení bývá obvykle racionální funkce jak i ukážeme níže. Po doazení počáečních podmínek a jednoduchých úpravách doáváme 0,00 + i ( 0) + i ( 0) + Ri ( 0) 0, 00 ( 0) ( ( 0) ( 0) ) 0, 005 0, 00 + i + i + Ri + I 6 L + R + LC( + 85, 6)( + 46, 4) 8.0 ( + 85, 6)( + 46, 4) C (.9) Po rozkladu na parciální zlomky, při použií zakrývacího pravidla a zpěné Laplaceovy ranformace doáváme čaový průběh proudu i ( ). { } 46,4 85,6 i L I 0,886e 0,886e + 0, 00 (.9) - 8 -

104 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI i()[a] [] OBRÁZEK.4: Čaový průběh proudu RLC článku po odeznění přechodového děje je vhodné zdůrazni, že plaí λ, zn. póly přenoové funkce jou oožné vlaním číly charakeriického polynomu. Nyní počíáme čaový průběh výupního napěí podle obrázku (Obr..). Algebraická operáorová obvodová rovnice má var RI LI Li Výupní napěí určené pře napěťový dělič: ( 0) I u U C (.9) U u 0 C ( 0) ( 0) ( 0 0 ) ( 0) ( 0) C uc U uc uc U + LiL + LiL ( 0) + + R + L + LC ( )( ) C uc 0 LiL 0 U0 uc 0 LiL 0 + U0 uc 0 uc LC LC LC Po vyčílení konan, doáváme rozklad na parciální zlomky ve varu U 0, A B C , 6 46, 4 85, 6 46, ,5 5,5 + + ( + )( + ) ( + ) ( + ) ( + 85,6) ( + 46, 4) (.94) (.95) Při použií zpěné Laplaceovy ranformace doáváme čaový průběh výupního napěí u. { } u U 0 5,5e + 0,5e 46,4 85,6 L (.96) Jak je vidě z (.96) dopěli jme ke ejnému výledku jako při řešení pře charakeriický polynom

105 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Nalezení fundamenálního yému řešení homogenní lineární diferenciální rovnice může bý značně obížné, jak i ukážeme na dalších příkladech. Další příklady již nebudou založeny na fyzikálních podkladech, louží pouze pro iluraci řešení diferenciálních rovnic pomocí Laplaceovy ranformace. Druhý příklad bude o něco náročnější jelikož e bude jedna o nehomogenní diferenciální rovnici ve varu: Příklad čílo: 70 e ɺɺ x ' xɺ + x, x 0, xɺ e Výledek ln x e Rovnici budeme řeši meodou variací konan (Lagrangeova meoda), kerá počívá v nalezení fundamenálního yému řešení přidružené homogenní diferenciální rovnice. Obecné řešení přidružené homogenní diferenciální rovnice lze pak zapa ve varu: + xɶ c x c x (.97) 0, ɺɺ x xɺ + x x e λ λ λ λ λ e λe + e 0 λ λ + 0 x e, x e, Obecné řešení přidružené homogenní diferenciální rovnice je: + λ (.98) xɶ c e c e (.99) Parikulární řešení hledáme ve ejném varu, mío konan c, c proměnné. xˆ c x c x c e c e R uvažujeme funkce + + (.00) Vyjádříme derivace funkce ˆx ( ) až do řádu n, v našem případě. U derivací až do řádu n položíme výraz, kerý obahuje derivace funkcí ci ( ), roven nule zjednodušíme ak výpoče derivace náledujícího řádu. xˆɺ c e + c e + c e + c e + e 0 0 ɺɺ xˆ c e + c e + c e + c e + c e + c e + e Tao vyjádření doadíme do diferenciální rovnice a doaneme: (.0)

106 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI ɺɺ e xˆ xɺ ˆ + xˆ c e + c e + c e + c e + c e + c e + e e { c e + c e + e } + c e + c e e c e + c e + c e (.0) Spolu rovnoi, keré jme zavedli v průběhu derivování doaneme ouavu dvou algebraických rovnic pro dvě neznámé funkce, rovnice: c c. Řešíme edy ouavu algebraických c e + c e 0 e c e + c e + c e (.0) Deerminan éo ouavy e nazývá Wronkián a je nenulový, udíž ouava má právě jedno řešení. Řešení éo ouavy můžeme nají například použiím Cramerova pravidla. Spočíáme deerminan maice ouavy a deerminany pro jednolivé neznámé: e e D e e e e ( + ) 0 e D c e e ( e + e ) (.04) (.05) e 0 e c e (.06) D Funkce c, c ( ) počeme inegrací a doadíme do vyjádření funkce e ˆx. Dc c c d d d D (.07) Dc c c d d d ln D Parikulární řešení diferenciální rovnice je edy: + + ( ) { } xˆ c e c e e e ln e ln, R 0 (.08)

107 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Obecné řešení dané nehomogenní diferenciální rovnice lze pak zapa ve varu a určíme jeho derivaci. Počáeční podmínky doadíme do daného obecného řešení a vyřešíme ouavu lineárních algebraických rovnic pro neznámé koeficieny c, c. ( ;, ) ɶ + ˆ + + ( ln ) x c c x x c e c e e xɺ c e + c e + c e e e + e ln + e ln + e + ( ln ) ( ln ) c e + c e + e c e + c e + c e e + e ln + e ln 0 c e + c e e e c e + c e e ce + ce e c 0, c ce + ce e x e e e ln (.09) Pokud bychom chěli řeši diferenciální rovnici pomocí Laplaceovy ranformace narazíme na problém, kerý e krývá v ranformaci pravé rany. Pro přímou i inverzní ranformaci muíme umě pracova Eulerovo Gama funkcí a Eulerovou konanou laplaceovým obrazem přirozeného logarimu. Níže i ukážeme pouze někeré kroky řešení diferenciální rovnice pomocí Laplaceovy ranformace. Mějme diferenciální rovnici ve varu: e ɺɺ x ' xɺ + x, x 0, xɺ e (.0) Označme X ( ) obraz hledaného řešení x a zobrazme rovnici v Laplaceově ranformaci. Použijeme věu obrazu derivace a věu o lineariě a doaneme: X e X X e + L (.) Laplaceova ranformace pravé rany je náledující, pro výpoče inegrálu použijeme ubiuční meodu a nemíme zapomenou na přepočíání mezí inegrálu. Díky horní mezi e jedná o nevlaní inegrál a jeho určení není jednoduché a proo zde bude uveden pouze výledný var. e f ( ) d d L L F d L { e } d d d ln ( ) ln ( ) (.) Algebraickými úpravami doáváme:

108 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI + ln ( ) X + e ln ( ) e ln ( ) e ln ( ) + ( ) X e X X X Zpěnou Laplaceovou ranformací doáváme: { } ln ( 0, ) (.) x L X e (.4) Jak je vidě, ne vždy nám použií Laplaceovy ranformace přinee zjednodušení. Jak jme i ukázali, řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice konanními koeficieny meodou variací konan může bý značně pracné. Ve peciálních případech pro pravou ranu e dá výpoče zjednoduši pomocí kvazipolynomů. Mío řešení ouavy algebraických rovnic pro neznámé funkce, c c a inegrování ěcho funkcí ačí řeši ouavu lineárních algebraických rovnic pro vhodná neznámá číla. Při hledání parikulárního řešení zapíšeme polynom neurčiými koeficieny a doadíme do diferenciální rovnice. Doaneme rovno dvou funkcí. Exponenciální funkce e zkráí, porovnáme polynomy u ejných goniomerických funkcí (edy koeficieny u jednolivých mocnin ěcho polynomů) a vyřešíme vzniklou ouavu lineárních algebraických rovnic. Příklad čílo: 7 ( 0), xɺ ( 0) ɺɺ x + xɺ + 5x e in x Výledek co + in x e e Mějme nehomogenní diferenciální rovnici konanními koeficieny a peciální pravou ranou, na keré i ukážeme ři meody určení jejího řešení. ɺɺ x + xɺ + 5x e in x 0, xɺ 0 (.5) Jako první meoda řešení bude použia již zde ukázaná meoda variací konan. Řešení přidružené homogenní rovnice (aociovaná homogenní rovnice) je: λ 5 0, ɺɺ x + xɺ + x x e λ λ λ λ e + λe + 5e 0 λ + λ ± j x e co, x e in, λ (.6) Charakeriická rovnice má dva komplexně družené kořeny. Obecné řešení přidružené homogenní diferenciální rovnice je (fundamenální yém): + xɶ c e co c e in (.7)

109 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Parikulární řešení hledáme ve ejném varu, mío konan c, c proměnné. R uvažujeme funkce xˆ c x + c x c e co + c e in (.8) Vyjádříme derivace funkce ˆx ( ) až do řádu n, v našem případě. U derivací až do řádu n položíme výraz, kerý obahuje derivace funkcí ci ( ), roven nule zjednodušíme ak výpoče derivace náledujícího řádu. xˆɺ c e c e co c e in c e c e in c e co ɺɺ (.9) xˆ co c ( ) e + c e c e 4c ( ) e + + in c e c e + 4c e c e Tao vyjádření doadíme do původní diferenciální rovnice a doaneme ɺɺ x + xɺ + 5x e in ˆ ˆ ˆ c e co e in c + e co e in e in (.0) Spolu rovnoi, keré jme zavedli v průběhu derivování doaneme ouavu dvou algebraických rovnic pro dvě neznámé funkce, rovnice: c c. Řešíme edy ouavu algebraických c e co + c e in 0 c e co e in c + e co e in e in (.) Deerminan éo ouavy e nazývá Wronkián a je nenulový, udíž ouava má právě jedno řešení. Řešení éo ouavy můžeme nají například použiím Cramerova pravidla. Spočíáme deerminan maice ouavy a deerminany pro jednolivé neznámé: x x e co e in D x x e e co e in e co e in (.) 0 e in D e c e in e co e in ( in )( in ) (.) e co 0 D e c e co e in e in ( co )( in ) Funkce c, c ( ) počeme inegrací a doadíme do vyjádření funkce inegrálů muíme použí vzorce pro goniomerické funkce: (.4) ˆx. Pro výpoče

110 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI inα co β co co α β α + β inα co β in ( α β ) in ( α β ) + + in inα ( α ) Dc co co in in c c d d ( in )( in ) d d D 4 Dc in in co co c c ( ) d d ( in)( co ) d + d D 4 Parikulární řešení diferenciální rovnice po doazení a úpravách edy je: in in co co xˆ ( ) c e co + c ( ) e in e co + e in 4 4 e in, R (.5) (.6) (.7) Obecné řešení dané nehomogenní diferenciální rovnice lze pak zapa ve varu: ˆ x ; c, c xɶ + x c e co + c e in + e in (.8) Nyní řešíme počáeční úlohu, určíme derivaci obecného řešení. Počáeční podmínky doadíme do daného obecného řešení a vyřešíme ouavu lineárních algebraických rovnic pro neznámé koeficieny c, c. xɺ c e co c e in c e in + c e co e in + e co c c + c + c 0 Řešení ouavy lineárních rovnic je [ c, c 0] (.9). Doazením vypočených hodno do obecného řešení zíkáme parikulární řešení zadané diferenciální rovnice. co in x e + e (.0) Nyní ejnou nehomogenní diferenciální rovnici e zadanými počáečními podmínkami díky peciální pravé raně vyřešíme použiím kvazipolynomu. Nejprve nalezneme obecné řešení rovnice a poom použijeme počáeční podmínky pro nalezení řešení parikulárního. Obecné řešení aociované homogenní diferenciální rovnice e určí ejným způobem jako v předchozím řešení. Fundamenální yém řešení je například (dvě lineárně nezávilá řešení) { e co, e in } + (.) xɶ c e co c e in (.) Pravá rana původní diferenciální rovnice má var kvazipolynomu: α α in β + in β, kde α β P Q P e Q e,,, 0,

111 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI kořen λ α ± β j je komplexní čílo λ ± j a oo čílo není kořenem původní charakeriické rovnice aociované homogenní diferenciální rovnice řešení hledáme ve varu: λ + λ Parikulární xˆ e Ain + B co (.) První a druhá derivace parikulárního řešení po úpravě je: xˆɺ Ae Be in + Ae Be co ɺɺ xˆ e Aco + e Bin Doazením do původní rovnice (.5) a jednoduchých úpravách doaneme (.4) e Ain + e B co e in (.5) Porovnáním koeficienů u jednolivých polynomů zíkáme ouavu lineárních algebraických rovnic Ain + B co in A A B 0 B 0 Řešení éo ouavy rovnic je ( A, B ) (,0 ), parikulární řešení rovnice je (.6) xˆ e in (.7) Obecné řešení nehomogenní diferenciální rovnice je oučem parikulárního řešení a obecného řešení aociované homogenní rovnice ˆ x ; c, c xɶ + x c e co + c e in + e in (.8) ɺɺ + ɺ + 5 in 0, ɺ 0, určíme Nyní řešíme počáeční úlohu x x x e x x derivaci obecného řešení. Doazením počáečních podmínek doáváme ouavu lineárních rovnic, uo ouavu lineárních algebraických rovnic vyřešíme pro neznámé koeficieny c, c. xɺ c e co c e in c e in + c e co e in + e co c c + c + c 0 Řešení ouavy lineárních rovnic je [ c, c 0] (.9). Doazením vypočených hodno do obecného řešení zíkáme parikulární řešení zadané diferenciální rovnice. co in x e + e (.40) - 9 -

112 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Jinou použiou meodou pro řešení nehomogenní diferenciální rovnice jme dopěli ke ejnému závěru. Nyní budeme ejnou rovnici řeši za použií Laplaceovy ranformace. Mějme nehomogenní diferenciální rovnici počáečními podmínkami: ɺɺ x + xɺ + 5x e in x 0, xɺ 0 (.4) Označme X ( ) obraz hledaného řešení x a zobrazme rovnici v Laplaceově ranformaci. Použijeme věu obrazu derivace a věu o lineariě a doaneme: 6 5 L{ in } X X X e X X X ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + + (.4) Jak je vidě jmenovael, kerý vznikl vydělením levé rany má ejné póly jako jou kořeny charakeriické rovnice. Pro použií Laplaceova lovníku muíme rozloži polední rovnici na ouče parciálních zlomků. První člen rozložíme na ouče dvou zlomků, keré jednoduše najdeme ve lovníku pro zpěnou ranformaci. Tvar čiaele jme zvolili podle jmenovaele, kerý e kládá z komplexně družených kořenů. ( + ) + 4 A + B C + D X ( + ) + 4 ( + ) + ( + ) (.4) Pro první dva členy výrazu nadno nalezneme obraz v čaové oblai. Pro určení neznámých koeficienů použijeme náobící meodu: A + B C + D + ( + ) + ( + ) + 4 ( + ) + ( + ) + 4 ( A B) ( ) ( C D) ( ) A C B D A B C D B D (.44) Porovnáním jednolivých koeficienů od nejvyšší mocniny doaneme ouavu lineárních rovnic o čyřech neznámých, kerou hravě vyřešíme např. Cramerovým pravidlem

113 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI X de D A de D A + C 0 de D B A + B + C + D 0 de D 5A B C D 0 D 5B + D de D de D D de D de C Po doazení vypočených konan doáváme ( ) { X } ( + ) ( ) ( ) ( ) x L L + L x e co + e in (.45) (.46) Při vynaloženém minimu úilí jme dopěli ke ejným výledkům jako při řešení nehomogenní diferenciální rovnice variací konan a nebo použiím kvazipolynomů. Příklad čílo: 7 xɺ x x, x 0 xɺ x + x, x 0 Výledek x e co + e in, R e in e co Polední příklad, kerý i uvedeme v éo kapiole bude na řešení ouavy diferenciálních rovnic. Řeše ouavu diferenciální rovnic počáečními podmínkami: xɺ x x, x 0 xɺ x + x, x 0 (.47) Rovnici můžeme řeši řemi způoby, všechny i zde přehledně ukážeme. Najdeme odpovídající lineární diferenciální rovnici.řádu pro funkci x. Z první diferenciální rovnice vyjádříme funkci x ( ) : x x + x ɺ (.48) a oo vyjádření doadíme do druhé diferenciální rovnice. Poupnými úpravami doaneme: - 9 -

114 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI xɺ + x xɺ + x x + ɺɺ x xɺ xɺ + x + x + ɺɺ x xɺ + 0x 0. Doazením bodu do první diferenciální rovnice dopočíáme počáeční podmínku: (.49) xɺ 0 x 0 + x (.50) Doáváme edy diferenciální rovnici. řádu počáečními podmínkami, kerá má řešení: ɺɺ x xɺ + 0x 0, x 0, xɺ 0 5 (.5) λ Konany c a ɺ. Derivace rovnice 0 0, ɺɺ x xɺ + x x e λ λ λ λ e λe + 0e 0 λ λ ± j x c e co + c e in, R., c určíme doazením počáečních podmínek do rovnice x ( ) a x x c e co + c e in je λ (.5) xɺ c e co c e in + c e in + c e co (.5) doazením počáečních podmínek zíkáme rovnici o dvou neznámých pro hledané konany c a c, Řešením rovnice je: Funkci x její eliminaci): x c 4 c + c c (.54) x e co + e in (.55) dopočíáme doazením do jejího vyjádření (keré jme použili na začáku pro x e co + e in (.56) e co e in + e in + e co + e co + e in xɺ + x e in e co e in e co, R Vekorový zápi řešení ouavy diferenciálních rovnic je: (.57)

115 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI x e in + e co x, R. (.58) x e in e co Při řešení předcházející úlohy jme nemueli dopočíáva počáeční podmínku xɺ ( 0). Mohli jme nají obecné řešení pro funkci x ( ), vyjádři obecné řešení pro funkci x (doali bychom obecné řešení ouavy) a až poé doazova počáeční podmínky, jak i ukážeme níže. Vekorový zápi obecného řešení je: x ce co + ce in x, R, (.59) x ce in ce co doazením počáečních podmínek doáváme vekorový zápi rovnice pro výpoče konany c a c : c x 0,. c R (.60) Doazením ěcho konan do rovnice (.59) doaneme ejný výledek jako (.54). Druhá meoda počívá v řešení charakeriické rovnice maice ouavy a v nalezení vlaních vekorů přílušných vlaních číel. Budeme edy řeši ejnou ouavu diferenciálních rovnic počáečními podmínkami. Charakeriická rovnice maice ouavy je: ( A λi) de 0 λ 0 de 0 0 λ λ de λ + 9 λ λ λ de Pro maice velikoi x můžeme pá (.6) A λi λ raλ + de A, kde I je jednoková maice přílušné dimenze, ra je opa maice ouavy (ouče prvků na hlavní diagonále). Výledný polynom e nazývá charakeriickým polynomem dané maice. Kořeny charakeriické rovnice e nazývají vlaní číla dané maice. Pro každé vlaní čílo maice A nazýváme homogenní ouavu lineárních algebraických rovnic: ( λ ) A I c 0 (.6) charakeriickou ouavou a její nenulová řešení vlaními vekory maice A přílušnými vlanímu čílu λ. Maice charakeriické ouavy je ingulární, ao ouava má edy nenulová řešení, akže každému vlanímu čílu exiují vlaní vekory

116 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI Vlaní číla charakeriické maice ouavy jou λ, ± j. Sačí uvažova jedno z dvojice komplexně družených číel λ + j najdeme bázi jejího řešení:. Seavíme charakeriickou ouavu a j 0 λ + j j 0 (.6) vlaní vekor přílušející vlanímu čílu λ je j. Přílušné řešení ouavy diferenci- álních rovnice uvažujeme v komplexním oboru: ( + j) e co + je in e j je co + e in (.64) Fundamenální maice řešení obahuje za jednolivé loupce reálnou a imaginární čá éo vekorové funkce. Obecné řešení doaneme jejich lineárními kombinacemi: e co e in X (.65) e in e co ce co + ce in x X. c, ( c, c ) R R (.66) ce in ce co doazením počáečních podmínek doáváme vekorový zápi rovnice pro výpoče konany c a c : c x 0,. c R (.67) doazením do obecného řešení doáváme konečné řešení ouavy diferenciálních rovnic počáečními podmínkami: e co + e in x, R (.68) e in e co Polední způob řešení je pomocí Laplaceovy ranformace. Označme { } L X x X x, { } L a za použií věy o lineariě a obrazu derivace zobrazíme ouavu v Laplaceově ranformaci. Doaneme + + X X X X X X Po úpravě doaneme ouavu algebraických rovnic: (.69)

117 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI ( ) X X X ( ) X + + (.70) Přepáním ouavy rovnic do maicové podoby a použiím Cramerova pravidla doáváme řešení éo ouavy ve varu: p X p X X p p + p + p p + 9 p + 9 p + 9 p p p p p p + 9 p + 9 p + 9 p (.7) Zpěnou Laplaceovou ranformací doaneme: L { } L { co in } { } { in co } x X e + e x L X L e e x e co + e in, 0, e in e co ) Výledek e opě hoduje předešlými výledky z různých způobů řešení. (.7) Jak je vidě při řešení diferenciálních rovnic pomocí Laplaceovy ranformace nemuíme nic vědě o fundamenálním yému nebo vekorovém prooru. Sačí nám pouze znaloi ohledně řešení kvadraických rovnic, ouav rovnic o více neznámých a rozkladu racionálních funkcí na parciální zlomky. Více o řešení diferenciálních rovnice e lze dočí v [8]. Není nuné umě řeši diferenciální rovnice olika způoby jelikož jejich řešení není zahrnuo v rámcových vzdělávacích programech pro Váš udijní obor. Tao podkapiola měla za cíl ukáza jednoducho použií Laplaceovy ranformace při řešení určiých ypů diferenciálních rovnic oproi klaickému řešení

118 KAPITOLA. PŘÍKLADY NA LAPLACEOVU TRANSFORMACI

119 Kapiola 4 Čaové charakeriiky V éo kapiole bude nejprve probrána přenoová funkce a v dalších podkapiolách na ní navážou čaové charakeriiky jako je impulní a přechodová charakeriika. Hlavní náplní éo kapioly je zíkání aproximačního přenou z naměřené přechodové charakeriiky. Pro porozumění dané problemaiky aproximace přechodové charakeriiky je však nuná znalo základních vzahů a výrazů, keré popiují přechodovou charakeriiku, ale dají e i odečí z přenoové funkce. 4. Přenoová funkce 4. Impulní charakeriik 4. Přechodová charakeriika

120 KAPITOLA 4. ČASOVÉ CHARAKTERISTIKY 4.4 Idenifikace přenou z přechodové charakeriiky Pro analýzu a ynézu regulačních obvodů je dobré zná základní popi zkoumané regulační ouavy. Jednou z meod jak zíka popi regulované ouavy je idenifikace aproximačního přenou z naměřené přechodové charakeriiky. Níže použié meody nejou jedinými meodami, keré lze pro idenifikaci přenou použí. Pro ulehčení práce při výpoču aproximačního přenou byl vyvořen program názvem Idenifikace 0, kerý naleznee na přiloženém CD. Program zíkává aproximační přeno podle meod, keré jou uvedeny v lierauře. - Aproximace přenou meodou prof. Srejce [9] - Aproximace přenou relaivním lumením v inervalu (0, [, 6] 4.4. Program Idenifikace 0 Program byl vyvořen pro ulehčení zíkání aproximačního přenou z přechodové charakeriiky. Podle meod vypočíává aproximační přenoy ze zadaných údajů, keré uživael zíká z naměřené přechodové charakeriiky. Pro vyvoření aplikace byl zvolen programovací jazyk C#, jako programovací proředí byl zvolen ofwarový produk [7]. Aplikace je určena pro operační yém Window, na kerém je nainalován.net Framework ve verzi minimálně 4.5. Program byl oeován na operačních yémech Window XP, Window Via, Window 7. Program byl podroben inenzivnímu eování a měl by odchyi všechny neandardní vupy, keré může uživael zada. Zároveň program dokáže rozpozna nemylně zadané údaje a uživaele upozorni na vzniklou iuaci. Uživael pro zíkání aproximačního přenou nepořebuje žádné hlubší znaloi eorie auomaického řízení, program mu ám říká, kerou hodnou od uživaele očekává a jak ji má uživael zíka. Program obahuje nápovědu, kerou i může uživael necha zobrazi a řídi e inrukcemi, keré jou v nápovědě obažené Popi programu Po pušění programu Idenifikace_0.exe e nám zobrazí základní úvodní obrazovka názvem programu, verzí a logem univerziy. Tao obrazovka je zobrazena 5 ekund

121 KAPITOLA 4. ČASOVÉ CHARAKTERISTIKY OBRÁZEK 4.X: Úvodní obrazovka programu Idenifikace_0 Po uplynuí čau 5 ekund e nám zobrazí hlavní okno celé aplikace. Hlavnímu oknu dominuje okno pro zobrazení zíkané přechodové charakeriiky. Hlavní okno jako jediné umožňuje naavení uživaelké velikoi, zároveň je ho možné maximalizova a minimalizova na lišu. Na horní lišě i může uživael zobrazi nápovědu a okno o aplikaci. Sikem křížku e aplikace uzavře (uživael bude v dialogovém oknu vyzván k povrzení uzavření aplikace). Všechny okna oevřené z hlavního okna jou zobrazeny do ředu obrazovky. V pravé čái hlavního ona i uživael zvolí jaký yp přechodové charakeriiky chce idenifikova. Při iknuí jednoho ze ří lačíek bude oevřeno okno, kde bude uživael vyzván, aby vloži hodnoy odečené z přechodové charakeriiky. Pokud má uživael oevřeno nějaké okno pro zíkání aproximačního přenou, oaní lačíka nelze iknou. Po výpoču aproximačního přenou je v hlavním okně zobrazena přechodová charakeriika a hlavní charakeriická číla charakeriiky, popřípadě aproximační přeno. Zobrazené údaje jou závilé na ypu přechodové charakeriiky. OBRÁZEK 4.X: Hlavní okno programu Idenifikace_0-0 -

122 KAPITOLA 4. ČASOVÉ CHARAKTERISTIKY Jak již bylo napáno po iku jednoho ze ří lačíek dojde k oevření přílušného okna, kde bude uživael vyzván k zadání hodno. Po iknu lačíka Ukaž přeno dojde ke konrole zadaných hodno. V případě, že program vyhodnoí zadané hodnoy jako nemylné, upozorní uživaele na zadaný údaj, kerý e muí změni (přílušné pole zčervená, objeví e výražný dialogový box, do informaivního okna e vypíše hláška popiem chyby a její nápravou). Jeliže jou všechny zadané údaje v požadovaném formáu poče e aproximační přeno, inverzní LT, charakeriické údaje přechodové charakeriiky a nakonec dojde k vykrelení přechodové charakeriiky. Okno pro zíkání aproximačního přenou kmiavou ložkou obahuje dvě výpočové meody a je na uživaeli, kerou i vybere. Níže jou zobrazeny ceeny jednolivých obrazovek. OBRÁZEK 4.X: Okno nápovědou OBRÁZEK 4.X: Zíkání aproximačního přenou ouavy bez kmiavé ložky OBRÁZEK 4.X: Zíkání aproximačního přenou ouavy kmiavou ložkou - 0 -

123 KAPITOLA 4. ČASOVÉ CHARAKTERISTIKY OBRÁZEK 4.X: Zíkání aproximačního přenou ouavy aaimem OBRÁZEK 4.X: Chybová dialogová okna 4.4. Příklady na zíkání aproximačního přenou - 0 -