MODELOVÁNÍ KMITÁNÍ DYNAMICKÉ SOUSTAVY S VÍCE STUPNI VOLNOSTI

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF SOLID MECHANICS, MECHATRONICS AND BIOMECHANICS MODELOVÁNÍ KMITÁNÍ DYNAMICKÉ SOUSTAVY S VÍCE STUPNI VOLNOSTI MODELLING OF DYNAMICS SYSTEMS WITH MULTI DEGREES OF FREEDOM BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR VÁCLAV ONDRA Ing. DANIEL DUŠEK, Ph.D. BRNO

2 Vysoé učení technicé v Bně, Faulta stojního inženýství Ústav mechaniy těles, mechatoniy a iomechaniy Aademicý o: / ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE student(a): Václav Onda teý/teá studuje v aalářsém studijním pogamu oo: Stojní inženýství (R6) Ředitel stavu Vám v souladu se záonem č./998 o vysoých šolách a se Studijním a zušením řádem VUT v Bně učuje následující téma aalářsé páce: v anglicém jazyce: Modelování mitání dynamicé soustavy s více stupni volnosti Modelling of dynamics systems with multi degees of feedom Stučná chaateistia polematiy olu: Soustava s více stupni volnosti má oecně nvlastních fevencí a tomu odpovídající počet nvlastních tvaů. V ámci páce y měl ýt student schopen sestavit nejdříve pohyové ovnice soustavy a poté je vyřešit. Cíle aalářsé páce: Po zadanou soustavu s více stupni volnosti sestavte a řešte pohyové ovnice ve fevenční i časové olasti. Řešení ověřte pomocí MKP.

3 Seznam odoné liteatuy: Slaví, J., Stejsal, V., Zeman, V., Zálady dynamiy stojů, ČVUT Paha, Paha, 997. Katochvíl, C., Slaví, J., Dynamia, VUT Bno, Bno, 997. Bepta, R., Půst, L., Tue, F., Mechanicé mitání, Sootáles, Paha, 994. Vedoucí aalářsé páce: Ing. Daniel Duše, Ph.D. Temín odevzdání aalářsé páce je stanoven časovým plánem aademicého ou /. V Bně, dne.. L.S. pof. Ing. Jindřich Petuša, CSc. Ředitel stavu pof. RND. Mioslav Doupovec, CSc. Děan faulty

4 ABSTRAKT Cílem této páce je po zadanou dynamicou soustavu s více stupni volnosti sestavit a vyřešit pohyové ovnice. V vodu páce jsou shnuty záladní poznaty o dynamicých mitavých soustavách, jejich ozdělení, způso matematicého popisu apod. V další části jsou po zadanou soustavu hmotných odů sestaveny ovnice metodou Lagangeových ovnic duhého duhu. Řešení ovnic ve fevenční olasti je povedeno v matematicém systému MAPLE. K učení polohy těles v čase yl využit systém MATLAB. Výsledy řešení jsou gafy amplitudové a fevenční chaateistiy a gaf polohy hmotných odů v čase. Je povedena disuse vlivu paametů soustavy na mitání. V závěu páce je sovnání analyticého řešení s řešením metodou onečných pvů v systému ANSYS. ABSTRACT The aim of this wo is fo a dynamic system with multiple degees of feedom to assemle and solve the euations of motion. In the eginning of wo ae summaized the asic nowledge aout the dynamic oscillating systems, thei distiution, method of mathematical desciption etc. In the following pat of wo ae fo the given set of paticles assemled euations using Lagange euations of the second ind. The solution of euations is made in mathematical system MAPLE fo feuency domain. To detemine the position of paticles in time was used MATLAB. Reseach esults ae gaphs of amplitude and feuency chaacteistics and gaph of positions of paticles in time. Thee is discussion on the influence of systems paametes on oscillation. The conclusion is a compaison of analytical solution with the solution of finale elements conclusion in ANSYS. KLÍČOVÁ SLOVA Mechanicé mitání, více stupňů volnosti, analyticé řešení KEY WORDS Mechanical oscillation, mutli degees of feedom, analytic solution 4

5 BIBLIOGRAFICKÁ CITACE ONDRA, V. Modelování mitání dynamicé soustavy s více stupni volnosti. Bno: Vysoé učení technicé v Bně, Faulta stojního inženýství,. 4 s. Vedoucí aalářsé páce Ing. Daniel Duše, Ph.D. 5

6 PROHLÁŠENÍ Pohlašuji, že jsem tuto aalářsou páci na téma Modelování mitání dynamicé soustavy s více stupni volnosti vypacoval samostatně a použitou liteatuu jsem označil a uvedl v přiloženém seznamu.... Václav Onda 6

7 PODĚKOVÁNÍ Tímto ych ád poděoval Ing. Danielu Dušovi Ph.D. za jeho vedení, připomíny a pomoc při tvoě této aalářsé páce. 7

8 OBSAH ÚVOD... 9 MECHANICKÉ KMITÁNÍ Rozdělení podle použitého matematicého modelu Lineání soustavy Nelineání soustavy Rozdělení podle ozložení paametů..... Modely se soustředěnými paamety..... Modely se spojitě ozloženými paamety.... Rozdělení podle počtu stupňů volnosti..... Soustavy s jedním stupněm volnosti..... Soustavy s více stupni volnosti....4 Rozdělení podle povahy mitání Volné mitání Buzené mitání... ŘEŠENÁ SOUSTAVA... VLASTNÍ ŘEŠENÍ Volné netlumené mitání Volné tlumené mitání Buzené tlumené mitání... 4 VÝSLEDKY ŘEŠENÍ Vliv počátečních podmíne na polohu těles v čase Vliv fázového posunu síly Vliv tlumení na mitání Vliv tuhosti na amplitudu mitů SROVNÁNÍ ANALYTICKÉHO ŘEŠENÍ S MKP Sovnání amplitudových chaateisti Sovnání výchyle v čase... 9 ZÁVĚR... SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ... SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ... SEZNAM PŘÍLOH

9 ÚVOD Vlastností většiny mechanicých soustav jsou mitavé pohyy, jimž říáme mitání. Polém mitání se vysytuje ve většině technicých apliací. Často se jedná o nežádoucí mity související s vysoým výonem stojů a náůstem jejich ychlosti. Nežádoucí mity způsoují hlučnost stojů a zvýšené namáhání, případně pošozování jejich částí. Mechanicé mitání nemusí ýt vždy šodlivé. Používají se stoje, jejichž pincip je založen pávě na mitání. Jedná se napřílad o viační dopavníy, viační pily, střásací stoje apod. Teoie mechanicého mitání je velmi ozsáhlá a patří mezi nejdůležitější části mechaniy samotné. MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mechanicé mitání se ozděluje z ůzných hledise podle jeho chaateu, vzniu, půěhu a typu fyziálních chaateisti mechanicé soustavy. Podle chaateu řešené soustavy a požadovaných výsledů řešení vytváříme mechanicé modely se soustředěnými (disétními) paamety neo modely se spojitě ozloženými paamety. Podle vzniu ozeznáváme mitání volné, uzené a samouzené. Podle duhu disipované enegie dělíme mitání na netlumené a tlumené. Podle duhu matematicého modelu na lineání a nelineání. Mnohá z těchto dělení lze dále zpřesňovat. Napřílad mitání soustavy s disétně ozloženými paamety lze dále dělit na mitání s jedním stupněm volnosti a s n stupni volnosti. Buzení neoli vynucené mitání lze dělit na silové uzení, inematicé uzení apod. []. Rozdělení podle použitého matematicého modelu.. Lineání soustavy Složité mechanicé soustavy se často zjednodušují pomocí ůzných předpoladů a omezení ta, ay jejich matematicý popis yl jednodušší. Lineání soustavy jsou popsány systémem lineáních difeenciálních ovnic s onstantními oeficienty. Soustavy mohou ýt homogenní či nehomogenní s udící funcí na pavé staně. V případě mitání s jedním stupněm volnosti je polém popsán pouze jednou difeenciální ovnicí. Toto zjednodušení vša není možné vždy. U spousty polémů y popis pomocí lineáního modelu špatně chaateizoval sutečný dynamicý jev. V taových případech se systém ovnic doplňuje nelineáními členy. Tyto členy popisují nelineání pojevy mechanicé soustavy, především pužné a tlumící činy... Nelineání soustavy Každá eálná mechanicá soustava je více či méně nelineání. Nelineání mechanicá soustava je taová, teá osahuje alespoň jeden nelineání pve popsatelný nelineání závislostí silových, inematicých neo defomačních veličin. Matematicý model těchto systémů je soustava nelineáních difeenciálních ovnic doplněných o soustavy matematicých elací. Řešení těchto soustav není ani dnes jednoduché především poto, že nelze použít pincip supepozice. 9

10 . Rozdělení podle ozložení paametů.. Modely se soustředěnými paamety Lineání soustavy se soustředěnými (disétními) paamety se vyznačují těmito jednoduchými (disétními) pvy hmotnými ody neo tuhými hmotnými tělesy, jež jsou nositelami ineticé enegie nehmotnými pužinami, jež jsou nositelami potenciální enegie nehmotnými tlumiči, jež disipují enegii, tj. mění mechanicou enegii na teplo Kominací uvedených disétních pvů jsou vytvářeny výpočtové modely, přičemž se požaduje, ay jejich dynamicé vlastnosti co nejvěněji vystihovaly dynamicé vlastnosti eálného díla. Výpočtové modely se zísávají vesměs z ontinua jeho disetizací ůznými metodami. Např. soustředěním hmotnosti ontinua do vhodně zvolených míst a svázáním tato vznilých hmotností nehmotnými pužinami a tlumiči vzniají výpočtové modely, teé jsou schematicy zoazitelné jao soustavy hmotných odů neo tuhých těles popojených pužinami a tlumiči. Jinou možností disetizace ontinua je použití metody onečného pvu. [] Lineání soustavy se soustředěnými paamety lze dále třídit napřílad podle stupňů volnosti (s jedním neo více stupni), podle chaateu uzení soustavy (s deteministicým či náhodným uzením) apod. Modely se soustředěnými paamety mají onečný počet stupňů volnosti, teý odpovídá počtu neznámých paametů. Počet lineáních difeenciálních ovnic tvořící model je stejný jao počet stupňů volnosti... Modely se spojitě ozloženými paamety Každá stojní onstuce je ojetem se spojitě či po částech spojitě ozloženou hmotou. V řadě případů nelze s uspoojením použít disetizaci a použít modely po soustavy s disétními paamety. Jedná se především o stuny, lana, puty, desy, sořepiny apod. Stoj neo onstuce je zpavidla složena z ůzných onstučních pvů, z nichž aždý má své vlastní fevence, oyčejně jiné než má stoj jao cele. Poušení teéhooliv z těchto staveních pvů může znamenat poušení funce celého stoje. Poto je znalost mitání záladních jednoduchých pvů velmi důležitá. [] S těmito pvy se často pacuje v metodě onečných pvů. Dělení těles na pvy závisí na typu onétního ojetu a duhu mitání. Pvů může ýt liovolné množství a to i neonečně mnoho. Poto mají soustavy se spojitě ozloženými paamety až neonečně stupňů volnosti. Matematicý model popisující mitání ontinua je tvořen paciálními difeenciálními ovnicemi.. Rozdělení podle počtu stupňů volnosti.. Soustavy s jedním stupněm volnosti Nejjednodušším disétním modelem je model s jedním stupněm volnosti. Tento model se často používá jao velmi hué přilížení složitějších mechanicých soustav a to v případech, dy se zajímáme o nejnižší vlastní fevence soustavy. Celou řadu technicých zařízení lze znázonit modelem s jedním stupněm volnosti.[]

11 .. Soustavy s více stupni volnosti Soustavy s více stupni jsou složitější technicé soustavy. Poud má soustava více stupňů volnosti, pa jednoznačnému popisu polohy těles v soustavě nestačí znát polohu jednoho z nich, jao v případě soustav s jedním stupněm volnosti, ale je třea znalosti n nezávislých paametů, přičemž n odpovídá počtu stupňů volnosti. Popis těchto soustav je složitější než popis soustavy s jedním stupněm volnosti..4 Rozdělení podle povahy mitání.4. Volné mitání Volné mitání soustavy vzniá, jeli soustava po vychýlení z ovnováhy uvolněna a ponechána v pohyu ez činu vnějších sil (uzení). Poušení ovnováhy nastane, udělíme li jednomu neo více hmotným tělesům soustavy výchylu neo ychlost, popřípadě oojí. Výpočet volného mitání se povádí z homogenních pohyových ovnic a nenulové počáteční podmíny se uplatní při učování integačních onstant. Z výpočtu zísáme daje o vlastních fevencích esp. vlastních hodnotách mitající soustavy, jaož i o výchylách a ychlostech mitajících hmotných těles. Volné mitání je u lineáních soustav lineání ominací vlastních mitů. [].4. Buzené mitání Vynucené mitání vzniá, jeli pohy soustavy vyvolán a udžován činem udících sil vnějších neo vnitřních neo jeli soustava uzena inematicy. Pod pojmem vynucené mitání se často uvažuje pouze ustálené vynucené mitání vyvolané činem peiodicých sil neo peiodicým inematicým uzením po utlumení přechodových dějů vznilých při poušení ovnovážného stavu soustavy. [] Kinematicé uzení je v technicé paxi poměně časté. Jedná se především o pohyy ámu, se teým jsou spojeny pvy stojní onstuce pomocí pužin a lineáních tlumičů. Silové i inematicé uzení lze ozdělit podle půěhu udící funce (půěh síly, poloha ámu) v čase na uzení: peiodicé, de udící funce je oecnou funcí času tzn. její hodnota se mění peiodicy s peiodou, tedy po V tomto případě lze funci ozvinout do Fouieovy řady a použít model hamonicého uzení hamonicé, de udící funce je součtem hamonicých funcí w případně w stochasticé (náhodné) je zcela ez peiodicé závislosti. Při řešení se využívá poznatů matematicé statistiy. Při učité nepřesnosti lze v něteých případech apoximovat stochasticé uzení peiodicou funcí.

12 ŘEŠENÁ SOUSTAVA O.. Schéma zadané soustavy Jedná se o soustavu s disétními paamety složenou ze tuhých těles o hmotnostech. Tato tělesa jsou spojena a připojena ámu lineáními nehmotnými pužinami o tuhostech a lineáními tlumiči o součinitelích tlumení. Tělesa a jsou uzena hamonicými silami. V soustavě jsou pouze lineání pvy, jedná se tedy o lineání mitání. Soustava má stupně volnosti. Polohy těles jsou učeny zoecněnými souřadnicemi. Soustava mitá pouze ve vetiálním směu. K matematicému popsání systému slouží pohyové ovnice. Tyto jsou sestaveny metodou Lagangeových ovnic. duhu. d dt æ E ç è & i ö E ø i E & D i E p i W = i po i =,, Kineticá enegie soustavy E K & = ( m & m& m )

13 Disipační enegie soustavy ] ) ( ) ( [ E D & & & & & = Potenciální enegie soustavy ] ) ( ) ( ) ( [ E p = Páce neonzevativních sil Q Q W = Po dosazení do Lagangeových ovnic dostaneme pohyové ovnice ) ( Q m = & & & & ) ( Q m = & & & & ) ( ) ( = m & & & & & Řešení ovnic v tomto tvau y ylo složité a nepaticé. Poto se ovnice upavují do maticového zápisu. Q(t) K B M = & && de, &,& & jsou sloupcové vetoy zychlení, ychlosti a polohy û ù ë é = Matice M je matice hmotnosti û ù ë é = m m m M Matice B je maticí tlumení û ù ë é = B

14 4 Matice K je matice dynamicé tuhosti û ù ë é = K Veto Q je veto amplitud silových udících hamonicých funcí û ù ë é = Q Q Q

15 VLASTNÍ ŘEŠENÍ. Volné netlumené mitání Při řešení volného netlumeného mitání pacujeme se soustavou ez udících sil a tlumících pvů. O.. Schéma soustavy při volném netlumeném mitání Pohyová ovnice taové soustavy, zapsaná v maticovém tvau, ude vypadat M & K = (..) Předpoládáme, že mitání soustavy je hamonicé, potom řešení udeme hledat ve tvau i t = ue W (..) de u je veto amplitud hamonicých mitů a W je hlová fevence. éuù u u = (..) M ëu n û 5

16 Po dosazení (..) do ovnice (..) a po pavě dostaneme ( K W Μ) u= (..4) Tato ovnice představuje soustavu homogenních lineáních ovnic po neznámé amplitudy. Po netiviální řešení ( u¹ ), musí ýt deteminant soustavy nulový tj. det K W M = (..5) Tomuto deteminantu se říá fevenční deteminant a jeho ozvinutím odžíme fevenční ovnici (polynom) ntého stupně po neznámé W n ( n) an W a( n) W... aw a = (..6) Vyřešením této ovnice odžíme vlastní hlové fevence soustavy, teé se řadí vzestupně W W W.... Poud jsou matice M a K pozitivně definitní, pa jsou vlastní hlové fevence eálné, nezáponé hodnoty. Pouze těmito fevencemi může mechanicá soustava mitat hamonicy. [] Po výpočet vetoů amplitud u dosadíme postupně vlastní fevence do ovnice (..5) a z ní odžíme veto amplitud. Po W označíme odpovídající veto amplitud u ( K W M) u = n (..7) Poněvadž soustava těchto lineáních ovnic je singulání, dostali ychom neonečně mnoho řešení vetou u. Poto lze učit pouze vzájemné poměy pvů vlastního vetou. u u u u n,,, L, neo taé u u u u u u u u n,,, L, apod. u u u u Tímto způsoem lze najít n ůzných posloupností. Zpavidla volíme taovou z těchto posloupností, ay hodnota příslušného vetou yla ovna jedné. Tomuto postupu se říá nomování. Znomovaný veto označíme v. Tyto vetoy definují vlastní tvay mitání. Poto se jim říá vlastní vetoy neo taé modální vetoy. Při nomování vetou se používá něoli tzv. noem. Nejčastěji se používá Eulidova noma v T v = V mechanice se používají i jiné fomy noem. Noma přes matici hmotnosti v T Mv = 6

17 neo noma přes matici tuhosti v T Kv = Kmitáli soustava tým tvaem, jsou jednotlivé výchyly dány ovnicemi ~ iwt = v e (..8a) označení ~ značí ovnice v omplexním tvau, teé lze přepsat do eálného = v sin( Wt j ) (..8) Oecné řešení je dáno lineání ominací jednotlivých vlastních tvaů de ~ n iw t ~ = åc v e (..9a) = C ~ jsou omplexní integační onstanty. V eálném tvau řešení vypadá Integační onstanty n å = C v sin( W t j (..9) = ) C a j lze učit z počátečních podmíne t = t = & = & Vlastní vetoy lze sestavit do tazvané modální matice [] V = [ v, v, L v ], n = év v M ëvn v v L O v v v n n nn ù û Vlastní hlové fevence se sestavují do spetální matice Ω éw = M ë W L O ù W nû 7

18 . Volné tlumené mitání Při řešení volného tlumeného mitání pacujeme se soustavou ez udících sil, ale s tlumícími lineáními pvy. O... Schéma soustavy při volném tlumeném mitání Volné tlumené mitání je popsáno ovnicí M & B& K = (..) Řešení předpoládáme na záladě řešení netlumeného mitání ve tvau = n å = C e lt v (..a) de v je vlastní veto netlumeného pohyu a tuhosti l M lb K l jsou vlastní hodnoty tzv. matice dynamicé Vlastní hodnoty l lze vypočítat z chaateisticé ovnice, teé vznine ozvinutím deteminantu matice dynamicé tuhosti a položením ovno nule, tedy detl M lb K = (..) 8

19 Hodnoty l jsou nejčastěji omplexně sdužená čísla ve tvau l = d ± iw Vlastní fevence tlumeného mitání se učí jao veliosti vlastních hodnot = W W d (..4) Poud l jsou omplexně sdužená čísla lze celové řešení ovnice (..) oecně popsané ovnicí (..a) upavit na záladě Euleova vztahu do tvau n d t =åe ( A cosw t B sinw t) = v (..) neo taé n d t =åc e sin( Wt j v = ) (..c) Výsledný pohy ude peiodicý, přičemž integační onstanty učí z počátečních podmíne A, B espetive C j, se t = t = & = & 9

20 . Buzené tlumené mitání Buzené tlumené mitání je nejčastější případ mitání, se teým se můžeme v paxi setat. Řešená soustava osahuje udící síly. O.. Soustava s tlumícími a udícími činy Tento typ mitání je popsán soustavou difeenciálních ovnic M & B& K = Q(t) (..) Jeliož se jedná o nehomogenní soustavu, je její řešení vyjádřeno jao součet řešení homogenního a patiuláního = h p (..) Homogenní řešení je dáno řešením volného tlumeného mitání (..). Po výpočet patiuláního řešení udeme předpoládat, že uzení je ealizováno hamonicou sílou, tedy Q = (..a) ( ) e iw t t Q neo v eálném tvau Q t) = Q sin( w t ) (..) ( j de Q je amplituda udící síly a j je fázový posun udící síly.

21 Na záladě znalosti udící síly (..a) udeme předpoládat patiulání řešení ve tvau ~ i w t = s e (..4) p de s ~ je omplexní veto amplitud. Dosazením (..4) do (..) a po pavě dostaneme ( K M wb ) ~ s = Q z této ovnice můžeme učit omplexní veto amplitud Hodnoty amplitud jsou dány vztahem w i (..5) ( K M B) Q ~ s = w i w (..6) s = ~ Im( ~ (..7) Re( s ) s ) teým odpovídají fáze Patiulání řešení v eálném tvau je vyjádřeno Im( ~ s ) Re( ~ j p = actg (..8) s ) p = s sin( w t j j p) (..9) Po dosazení ovnic (..) a (..9) do (..) dostaneme celovou odezvu soustavy v eálném tvau = n d t å[ Ce sin( Wt j ) v s sin( wt j j p )] = Integační onstanty C, j učíme z počátečních podmíne t = t = & = &

22 4 VÝSLEDKY ŘEŠENÍ Řešení zadané soustavy ylo povedeno na záladě výpočtu popsaného v předešlé apitole. Vlastní pogam je vytvořený ta, ay ylo možné měnit hmotnosti těles, tuhosti pužin, amplitudu, udící fevenci a fázový posun udících sil popřípadě i počáteční podmíny. K vyeslení amplitudových a fázových chaateisti je použit matematicý softwae MAPLE. Pohoda těles v čase je řešena pomocí MATLABu. Paamety soustavy: m m m. = g = g = g = Nm = 4Nm = 4Nm = 5Nm = Nm = Nm = Nm s s s Budící síly: Q =.sin( w.t ) Q = 5.sin( w.t ) O. 4. Amplitudová chaateistia

23 O. 4. Fázová chaateistia Amplitudová chaateistia je závislost amplitudy (výchyly) hmotných odů na hlové fevenci udící síly. Budeli hodnota hlové fevence udící síly ovna vlastní uhlové fevenci jednoho z těles, výazně stoupá výchyla všech těles, to poto, že tělesa jsou navzájem popojená pužinami. Tento stav se nazývá ezonance. Poud y systém neyl tlumený, výchyla y při ezonanci yla neonečná, ja je vidět na oázu 4.9. Vlastní (hlové) fevence těles w w w = ad. s =.99ad. s = 8.6ad. s ( f ( f ( f =.59Hz) =.47Hz) =.7Hz) Poloha odů v čase po hlovou udící fevenci = ad. s ( f =. 8Hz) počáteční podmíny w a nulové O. 4. Poloha odů v čase Zvolená udící fevence se nachází mimo olast ezonančních fevencí, a poto soustava mitá s elativně malými výchylami.

24 Výchyla těles v čase po vlastní fevence a nulové počáteční podmíny po vlastní fevenci pvního tělesa O. 4.4 Poloha odů v čase po vlastní fevenci pvního tělesa po vlastní fevenci duhého tělesa O. 4.5 Poloha odů v čase po vlastní fevenci duhého tělesa po vlastní fevenci třetího tělesa O. 4.6 Poloha odů v čase po vlastní fevenci třetího tělesa Z vyeslených půěhů mitání při vlastních fevencích je vidět, že nacházíli se systém v ezonanci, výchyly všech hmotných odů jsou výazně větší než při mitání neezonanční 4

25 fevencí. Amplituda mitů se teoeticy pořád zvětšuje až neonečnu, ale vůli tlumení se ustálí na onečné hodnotě. Tuto hodnotu nejsnáze odečteme z amplitudové chaateistiy. Při ezonanci soustava mitá hamonicy. 4. Vliv počátečních podmíne na polohu těles v čase Počáteční podmíny: =.5m =.5m = m v v v =m. s = m. s = m. s O. 4.7 Přechodová olast při nenulových počátečních podmínách Počáteční podmíny mají výazný vliv na mitání mechanicých soustav, ale po učité doě dojde ustálení. Přechodová olast je i při nulových počátečních podmínách, ale ustálení dojde podstatně dříve. 4. Vliv fázového posunu síly počáteční podmíny jsou nulové a w = ad. s ( f =. 8Hz) Budící síly: =.sin( w.t ) = 5.sin( w.t ) p O. 4.8 Fázový posun udící síly pvního tělesa 5

26 Fázový posun pvní síly je opoti duhé doře vidět na oázu 4.8. p, poto i fázový posun výchyly je p, ja je 4. Vliv tlumení na mitání ez tlumení O. 4.9 Amplitudová chaateistia po netlumenou soustavu Tento stav je spíše teoeticý, potože aždý systém je více či méně tlumený. Buď postřednictvím tlumičů, neo pomocí tření, odpou vzduchu, vlastního odpou mateiálu a podoně. Poud y se netlumený systém dostal do stavu ezonance, výchyla hmotných odů y ostla nade všechny meze. Poto je stav ezonance nechtěný u málo tlumených i doře tlumených mechanicých systémů. Po netlumenou soustavu platí v ovnici (..4) d =. naditicé tlumení O. 4. Naditicé tlumení 6

27 Naditicé tlumení je stav systému, při teém jsou pomocí tlumičů potlačeny všechny vlastní fevence a systém se poto nemůže dostat do ezonance. Po tato tlumenou soustavu platí v ovnici (..4) d > W. 4.4 Vliv tuhosti na amplitudu mitů Při změně tuhosti pužin se mění vlastní fevence i ostatní veličiny systému. Při velé tuhosti všech pužin v systému dojde e zvýšení vlastních hlových fevencí a e snížení amplitud vynucených mitů. Naopa při malých tuhostech se vlastní fevence sníží a amplituda vynucených mitů zvýší. Kdyy yla tuhost pužin extémně vysoá, choval y se systém, jao dyy měl pouze jeden stupeň volnosti a hmotné ody y mitaly jao jeden. Při extémně malé tuhosti y se hmotné ody neovlivňovali. zvýšení tuhosti pužiny mezi tělesy a O. 4. Amplitudová chaateistia po velou tuhost pužiny mezi a Zvýšení tuhosti pouze jedné pužiny se pojeví na celém systému. Ja je vidět na předcházejícím oázu, při velé tuhosti pužiny mezi tělesy a se tělesa chovají jao jedno. Jejich amplitudové chaateistiy splývají v jednu. zvýšení tuhosti pužiny O. 4. Amplitudová chaateistia po velou tuhost pužiny Při této onfiguaci těleso, vzhledem ostatním, téměř nemitá. 7

28 5 SROVNÁNÍ ANALYTICKÉHO ŘEŠENÍ S MKP Metoda onečných pvů (MKP) je iteační metoda po řešení inženýsých polémů. Mezi nejznámější a nejpoužívanější pogamy, teé jsou založeny na této metodě, patří ezespou ANSYS. Zadaná soustava yla vymodelována a řešena taé v ANSYSu. I přesto, že se jedná o numeicou metodu, lze zísané výsledy považovat za přesné. 5. Sovnání amplitudových chaateisti O. 5. Sovnání výsledů z analyticého a numeicého řešení Z předešlého oázu je (i přes neshody v měřítu) jasně patná shoda analyticého a numeicého řešení amplitudové chaateistiy. 8

29 5. Sovnání výchyle v čase Následující oáze je po udící hlovou fevenci ad/s a nulové počáteční podmíny. Paamety soustavy zůstávají nezměněny. O. 5. Sovnání výsledů řešení analyticého modelu v Matlau a numeicého řešení v Ansysu po neezonanční udící fevenci Na oázcích 5. a 5. je poovnání výsledů z Matlau a z Ansysu. V oou případech je řešení numeicé s tím ozdílem, že soustava difeenciálních ovnic, teá je řešena Matlaem, je sestavena na záladě Lagangeových ovnic duhého duhu. V pogamu Ansys se vytvoří model a pogam sám sestaví a vyřeší vše potřené. I přes ozdílné měříto a avy půěhů výchyle v čase je jasná shoda mezi řešením pohyových ovnic a řešením soustavy metodou onečných pvů. 9

30 O. 5. Sovnání výsledů řešení analyticého modelu v Matlau a numeicého řešení v Ansysu po ezonanční udící fevenci

31 ZÁVĚR Páce předládá výsledy analýzy mitání mechanicé soustavy s více stupni volnosti. Vyeslené chaateistiy jsou oomentovány a je povedena disuse o vlivu paametů soustavy na vlastní mitání. V páci nejsou z pochopitelných důvodů ozeány všechny případy a ominace stavů, teé mohou v mitající soustavě nastat. Přesto lze na záladě analýzy soustavy zísat doý přehled o vlastnostech mitání. Nejdůležitější chaateistiou ze zde vyeslených je amplitudová chaateistia, potože na ní jsou vidět největší možné výchyly, což je v paxi nejdůležitější. To, ja soustava mitá v čase, nemusí ýt ve spoustě případů podstatné. Pohyové ovnice jsou řešeny analyticy. Toto je vša u složitých soustav nemožné a i u těch jednoduchých ompliované. Poto je v dnešní doě mnohem výhodnější použít vhodný softwae numeicému řešení difeenciálních ovnic (MATLAB,..) neo softway přímo učené řešení inženýsých polémů spojených nejen s mitáním (ANSYS, ADAMS). Použití taového softwau ušetří čas a minimalizuje možnost chyy při analyticém výpočtu.

32 SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ [] SLAVÍK, Jaoslav, STEJSKAL, Vladimí, ZEMAN Vladimí. Zálady dynamiy stojů. Paha: Vydavatelství ČVUT, 997. ISBN 866. [] KRATOCHVÍL, Ctiad, SLAVÍK, Jaomí. Mechania těles: Dynamia. 4.vyd. Bno: Aademicé naladatelství CERM, 7. ISBN [] BREPTA, Rudolf, PŮST Ladislav, TUREK, Fantiše. Mechanicé mitání. Paha: Sootáles, 994. ISBN [4] SLAVÍK, Jaoslav. Počítačové metody mechaniy I. Bno: Aademicé naladatelství CERM,. ISBN 84 [5] ŠVANCARA, Pavel, HOUFEK, Luomí, MALENOVSKÝ, Eduad: Studijní opoy z dynamiy [online], [cit.. 5. ], dostupný z: <

33 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ Symol Popis veličiny Jednota A integační onstanta B integační onstanta C integační onstanta B matice tlumení Nm s paamet itého tlumiče i Nm s E ineticá enegie J E D disipační enegie J E P potenciální enegie J f fevence Hz K matice tuhosti Nm tuhost ité pužiny i Nm M matice hmotnosti g m i hmotnost itého tělesa g Q veto amplitud udících sil N Q amplituda ité síly N i eálný veto poloh těles m ~ omplexní veto poloh těles m h homogenní řešení m patiulání řešení m p i poloha itého tělesa m s omplexní veto amplitud m T peioda s t čas s u veto amplitud m V modální matice m v nomovaný veto amplitud m W páce J l vlastní hodnoty j fázový posun ad j integační onstanta ad j fáze odezvy ad p Ω spetální matice ad. s W vlastní hlová fevence itého tělesa i ad. s W hlová fevence ad. s w hlová udící fevence ad. s

34 SEZNAM PŘÍLOH příloha mitani.mw, mitani.mws souo příazů po systém MAPLE příloha ovnice.m, eseni.m souo příazů po systém MATLAB příloha složa Ansys datové souoy po systém ANSYS 4