CVIČNÝ TEST 42. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 42 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na číselné ose jsou zakresleny obrazy čísel X a Y. max. 2 body 1 Najděte přesně na číselné ose obraz čísla Z, pro něhož platí Z = X + Y. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Šest poboček jisté renomované advokátní kanceláře působící v šesti českých městech vykázalo v roce 2014 a v roce 2015 počty svých exkluzivních klientů. Údaje o počtu klientů zobrazuje tabulka. V tabulce ale byla data z ostravské pobočky omylem vymazána Brno Ostrava 1250 Praha Plzeň Třebíč Cheb max. 2 body 2.1 Kolik měli v Ostravské pobočce klientů v roce 2015, jestliže se jednalo o stejný počet klientů, jako byl průměrný počet klientů ve všech pobočkách včetně Ostravy v roce 2015? 2.2 Určete, o kolik procent oproti roku 2014 narostl počet klientů v tom městě, kde je tento nárůst největší. 2 Maturita z matematiky 07

3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dán čtverec ABCD. Dále jsou dány bod X, který je středem strany AB, bod Y, který je středem úsečky CD, a bod Z, který dělí úsečku AD v poměru 1 : 1. max. 3 body 3.1 V jakém poměru p : 1, kde p je přirozené číslo, je obsah čtverce ABCD k obsahu čtyřúhelníku XBYZ. 3.2 O kolik cm bude obvod čtyřúhelníku XBYZ kratší než obvod čtverce ABCD, bude-li obvod čtverce ABCD měřit 16 cm? (Výsledek zaokrouhlete na desetiny centimetru.) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Z dřevěného válce o výšce 4 dm a průměru podstavy 11 dm je vyříznut ve směru jeho výšky jiný válec tak, že nejkratší vzdálenost kruhového otvoru od hrany válce je 0,5 dm a nejdelší 4,5 dm. 4 Jaký byl objem vyříznuté části? 1 bod 1 bod 5 Určete a R tak, aby přímka q: 4ax + (a 2 + 8)y + 16 a 2 = 0 byla kolmá na přímku p: 3x + 2y 2 = 0 a procházela počátkem soustavy souřadnic. 6 Určete pro x R maximální hodnotu výrazu F(x) = 30 6x 3x 2. 1 bod Maturita z matematiky 07 3

4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Pan Novotný si vložil na začátku roku na účet v jisté bance Kč, banka mu na konci roku při 6,5% roční úrokové sazbě přičte k částce úrok snížený o zákonnou daň 15 %. Další rok, který nechá pan Novotný peníze v bance, provede banka tutéž operaci, na konci roku opět přičte k částce, která se nachází na účtu, sjednaný úrok snížený o zákonnou daň. Na začátku následujícího roku pan Novotný peníze vybral. Inflaci a jiné další procesy, které ovlivňují skutečnou hodnotu peněz na účtu, zanedbejte. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Pan Novotný měl v den vybrání k dispozici částku Kč. 7.2 Kdyby banka příjem z úroku nedanila, byl by úrok o vyšší. 7.3 Banka zaplatila na daních z úroku méně jak Kč. 7.4 Čistý zisk, kterého pan Novotný uložením peněz do banky dosáhl, byl alespoň Kč. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Součet dvou sousedních přirozených čísel je o 11 menší než součin čísel k nim opačných. 2 body 8 Která z možností A E určuje interval, v němž leží daná různá přirozená čísla? A) (2, 7) B) (6, 12) C) (4, 8) D) (9, 13) E) (16, 18) 2 body 9 Která z možností A E určuje pouze takové hodnoty parametru p, pro které má soustava rovnic s neznámými x, y R { x + py = 1 2x y = 2 vždy právě jedno řešení. A) p R B) p ( ; 2) C) p (, 0) (2, + ) D) p (, 0) (0, + ) E) p (, 1) (2, + ) 4 Maturita z matematiky 07

5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dán pro přípustné hodnoty výraz V(x): x 9 3 x. max. 4 body 10 Přiřaďte každé hodnotě h ( ) taková x (A F), pro něž platí, že h = V(x) h = h = h = h = 0 A) x {0} B) x {9} C) x {6} D) x {4} E) x { 18 5 } F) x {3} KONEC TESTU Maturita z matematiky 07 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na číselné ose jsou zakresleny obrazy čísel X a Y. max. 2 body 1 Najděte přesně na číselné ose obraz čísla Z, pro něhož platí Z = X + Y. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení. Vztah, který pro číslo Z platí, vyjadřuje součet velikostí čísel X a Y, tedy součet jejich vzdáleností od počátku. Hledané číslo najdeme tak, že narýsujeme úsečku OZ tak, že O je počátek a pro bod Z platí, že OZ = OY + OX = a Z leží na polopřímce OY. Řešení: VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Šest poboček jisté renomované advokátní kanceláře působící v šesti českých městech vykázalo v roce 2014 a v roce 2015 počty svých exkluzivních klientů. Údaje o počtu klientů zobrazuje tabulka. V tabulce ale byla data z ostravské pobočky omylem vymazána Brno Ostrava 1250 Praha Plzeň Třebíč Cheb max. 2 body 2.1 Kolik měli v Ostravské pobočce klientů v roce 2015, jestliže se jednalo o stejný počet klientů, jako byl průměrný počet klientů ve všech pobočkách včetně Ostravy v roce 2015? 6 Maturita z matematiky 07

7 Označíme-li počet klientů v Ostravě v roce 2015 neznámou x, pak platí: x = x x = 6x 6205 = 5x 1241 = x. V Ostravě měli v roce 2015 celkem 1241 klientů. Řešení: Určete, o kolik procent oproti roku 2014 narostl počet klientů v tom městě, kde je tento nárůst největší. Na první pohled vidíme, že v Třebíči se jedná o dvojnásobný nárůst, v ostatních městech je evidentně nižší, v Plzni dokonce klientů ubylo. Řešení: 100 % VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dán čtverec ABCD. Dále jsou dány bod X, který je středem strany AB, bod Y, který je středem úsečky CD, a bod Z, který dělí úsečku AD v poměru 1 : 1. max. 3 body 3.1 V jakém poměru p : 1, kde p je přirozené číslo, je obsah čtverce ABCD k obsahu čtyřúhelníku XBYZ. Pokud vhodně rozdělíme čtverec ABCD, zjistíme, že čtyřúhelník XBYZ tvoří dvě osminy a jednu čtvrtinu celého obsahu čtverce, dohromady tedy = 2 = 1 celého obsahu čtverce ABCD. Jde tedy o poměr 2 : 1. Řešení: 2 : 1 Maturita z matematiky 07 7

8 3.2 O kolik cm bude obvod čtyřúhelníku XBYZ kratší než obvod čtverce ABCD, bude-li obvod čtverce ABCD měřit 16 cm? (Výsledek zaokrouhlete na desetiny centimetru.) Je-li obvod čtverce ABCD dlouhý 16 cm, je jedna jeho strana dlouhá 4 cm. Určíme strany čtyřúhelníku XBYZ. Strana XZ je polovina délky úhlopříčky BD, strana ZY je polovina úhlopříčky AC a strana XB je polovinou úsečky AB. Zbývá tedy pomocí Pythagorovy věty spočítat délku strany BY. Určíme obvod o čtyřúhelníku. o = ( ) cm = ( ) cm 12,129 cm Rozdíl délek obvodů je 16 cm 12,129 cm 3,9 cm. Řešení: 3,9 cm VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Z dřevěného válce o výšce 4 dm a průměru podstavy 11 dm je vyříznut ve směru jeho výšky jiný válec tak, že nejkratší vzdálenost kruhového otvoru od hrany válce je 0,5 dm a nejdelší 4,5 dm. 4 Jaký byl objem vyříznuté části? 1 bod Protože průměr podstavy původního válce je 11 dm, určíme průměr d podstavy vyříznuté části odečtením vzdáleností od okrajů. d = 11 dm (4,5 dm + 0,5 dm) = 6 dm Je-li výška v válce rovna 4 dm, objem V vysoustruženého válce spočteme dle vzorce. V = π d2 v = π 36 dm2 4 dm = 36π dm Objem vyříznuté části je 36π dm 3. Řešení: 36π dm 3 8 Maturita z matematiky 07

9 1 bod 5 Určete a R tak, aby přímka q: 4ax + (a 2 + 8)y + 16 a 2 = 0 byla kolmá na přímku p: 3x + 2y 2 = 0 a procházela počátkem soustavy souřadnic. Přímka q je kolmá na přímku p, takže její normálový vektor je kolmý na normálový vektor přímky p, tj. jejich skalární součin je roven 0 (rovnice I.). Dále přímka q prochází bodem O[0, 0] (rovnice II.). I. 12a + 2a = 0 II. 16 a 2 = 0 Z rovnice II. přichází v úvahu jen dvě možné hodnoty a, a = 4 nebo a = 4. Dosadíme obě možnosti do rovnice I. a zjistíme, zda ji splňují. a 2 + 6a + 8 = 0 (a + 4)(a + 2) = 0 Z řešení rovnice II. odpovídá řešení rovnice I. jen a = 4. Řešení: a = 4 6 Určete pro x R maximální hodnotu výrazu F(x) = 30 6x 3x 2. Výraz F(x) lze chápat jako předpis kvadratické funkce. Určíme její vrchol a průběh a odvodíme, zda vůbec nějaké globální maximum má. 30 6x 3x 2 = 3(x 2 + 2x 10) = 3[(x + 1) ] = 3(x + 1) Funkce f: y = 3(x + 1) by byla pro x R konkávní funkcí a vrchol jejího grafu, bod V[ 1, 33], by byl globálním maximem funkce, funkce by byla shora omezená, horní hranicí by byla hodnota 33. Výraz tedy může nabývat maximální hodnoty 33. Pokud bychom provedli úpravu na čtverec, F(x) = 3(x + 1) je patrné, že část 3(x + 1) 2 bude pro každé x R nekladná. Celý výraz F(x) tedy nemůže mít hodnotu vyšší než bod Řešení: 33 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Pan Novotný si vložil na začátku roku na účet v jisté bance Kč, banka mu na konci roku při 6,5% roční úrokové sazbě přičte k částce úrok snížený o zákonnou daň 15 %. Další rok, který nechá pan Novotný peníze v bance, provede banka tutéž operaci, na konci roku opět přičte k částce, která se nachází na účtu, sjednaný úrok snížený o zákonnou daň. Na začátku následujícího roku pan Novotný peníze vybral. Inflaci a jiné další procesy, které ovlivňují skutečnou hodnotu peněz na účtu, zanedbejte. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Pan Novotný měl v den vybrání k dispozici částku Kč. 7.2 Kdyby banka příjem z úroku nedanila, byl by úrok o vyšší. 7.3 Banka zaplatila na daních z úroku méně jak Kč. 7.4 Čistý zisk, kterého pan Novotný uložením peněz do banky dosáhl, byl alespoň Kč. ANO NE Maturita z matematiky 07 9

10 Situaci si rozepíšeme 1. rok Kč + 6,5 % Kč % 6,5 % Kč = Kč Kč 975 Kč = Kč. 7.1 Je evidentní, že pan Novotný má již po roce na účtu částku Kč, takže další rok, kdy si bude peníze vybírat, bude částka vyšší (o další úrok bez daně). Tvrzení je nepravdivé. 7.2 Daně se vypočítávají z úroku, nikoliv z vložené nebo cílové částky. Kdyby banka úrok nezdanila, byl by Kč, takto je o 975 Kč nižší. Ani ve druhém roce, kdy se bude úročit vložená částka zvýšená o zdaněný úrok za 1. rok, nebude rozdíl mezi úrokem a jeho daní tak vysoký. Tvrzení je nepravdivé. 7.3 Jen v prvním roce na daních zaplatil pan Novotný 975 Kč, v druhém roce se úročí vklad zvýšený o zdanění úrok, tedy úrok i daň z něho bude ještě vyšší. Tvrzení je nepravdivé. 7.4 Čistý zisk je rozdíl mezi vloženou a cílovou částkou. Jestliže je zisk za 1. rok Kč, bude ve 2. roce ještě vyšší, a proto čistý zisk jistě převýší hranici Kč. Tvrzení je pravdivé. Řešení: NE, NE, NE, ANO VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Součet dvou sousedních přirozených čísel je o 11 menší než součin čísel k nim opačných. 2 body 8 Která z možností A E určuje interval, v němž leží daná různá přirozená čísla? A) (2, 7) B) (6, 12) C) (4, 8) D) (9, 13) E) (16, 18) Označíme čísla a, a + 1, a N. Sestavíme rovnici, která odpovídá zadání úlohy. a + a = ( a)( a 1) Rovnici vyřešíme. 2a + 12 = a 2 + a a 2 a 12 = 0 (a + 3)(a 4) a = 4 Jedná se tedy o čísla 4 a 5. Správná je možnost A. Řešení: A 10 Maturita z matematiky 07

11 2 body 9 Která z možností A E určuje pouze takové hodnoty parametru p, pro které má soustava rovnic s neznámými x, y R { x + py = 1 2x y = 2 vždy právě jedno řešení. A) p R B) p ( ; 2) C) p (, 0) (2, + ) D) p (, 0) (0, + ) E) p (, 1) (2, + ) Soustava rovnic může mít právě jedno, nekonečně mnoho, nebo žádné řešení. { x + py = 1 2x y = 2 Z první rovnice vyjádříme neznámou x. x = 1 py Dosadíme ji do rovnice druhé a pokusíme se vyjádřit neznámou y. 2(1 py) y = 2 2 2py y = 2 0 = 2py + y 0 = y(2p + 1) Kdyby bylo p = 1, měla by soustava nekonečně mnoho řešení. Pro ostatní p má rovnice právě jedno 2 řešení, a to [1, 0]. Pro žádné p nenastane situace, že by rovnice neměla řešení žádné. Takové p leží v každém z intervalů A D. Správně je tedy možnost E. Řešení: E VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dán pro přípustné hodnoty výraz V(x): x 9 3 x. max. 4 body 10 Přiřaďte každé hodnotě h ( ) taková x (A F), pro něž platí, že h = V(x) h = h = h = h = 0 A) x {0} B) x {9} C) x {6} D) x {4} E) x { 18 5 } F) x {3} Maturita z matematiky 07 11

12 Definičním oborem výrazu jsou čísla 3; 9). Postupovat můžeme dvěma způsoby. Tak, jak uvádíme u řešení 10.1, nebo tak, jak uvádíme u zbylých řešení Budeme-li postupně dosazovat x z možností A F, můžeme najít jednotlivá přiřazení nejspíše rychleji. x = 6 V(6) = = 3 3 = 1 = 1 Řešení: C = x 9 3 x 5(3 x) = x x = x 9 24 = 6x x = 4 Řešení: D = x 9 9(3 x) = x x = x 9 36 = 10x x = 18 3 x 5 Řešení: E = x 9 3 x 0(3 x) = x 9 0 = x 9 x = 9 Řešení: B KONEC TESTU 12 Maturita z matematiky 07

13 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 Vztah, který pro číslo Z platí, vyjadřuje součet velikostí čísel X a Y, tedy součet jejich vzdáleností od počátku. Hledané číslo najdeme tak, že narýsujeme úsečku OZ tak, že O je počátek a pro bod Z platí, že OZ = OY + OX = a Z leží na polopřímce OY. max. 2 body Řešení: bod % 1 bod : 1 max. 2 body 3.2 3,9 cm 1 bod 4 36π dm 3 1 bod 5 a = 4 1 bod bod Maturita z matematiky 07 13

14 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 NE 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 NE 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 NE 7.4 ANO 8 A 2 body 9 E 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b C 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b D 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b E 10.4 B 14 Maturita z matematiky 07

15 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 1 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 max. 2 body bod bod max. 2 body bod 4 1 bod 5 1 bod 6 1 bod Maturita z matematiky 07 15

16 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b body 9 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 07