Třídění množin a definice závislostí.
|
|
- Hana Valentová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Třídění množin a definice závislostí. Stránka v kapitole 1 Třídění množin a definice závislostí. Tato kapitola charakter spíš popisný a doplňující k hlavní osnově důkazů, ale dotýká se velmi úzce zejména kapitoly Pravděpodobnosti systémů, jako obecnému pojmu pravděpodobnosti vůbec. Týká se změny jako fenoménu obecně a jeho podstaty. Původní definice pravděpodobnosti jevů budoucích (pouze tyto mají pravděpodobnost, protože ještě kauzálně nevznikly) byla dána jako statistická relativní četnost. Je to chyba, ale jen metodicky. Málo závislé systémy mají taktéž málo závislé tvary uspořádání k do obrazů modifikací. Nikde není řečeno, že málo závislé množiny a systémy musí to, a nesmí zase ono. Mohou prostě vše. Jejich opak, vysoce závislé množiny a systémy už něco musí a nebo nesmí. Jenže žádná množina není jen nezávislá, nebo jen závislá. Takže jde o to jak a v jakém poměru. Závislost vnitřní je zpravidla vyvážena vnější nezávislostí a naopak. Závislost pak dává svou charakteristiku k dispozici prakticky jen opakováním. O extrémech jsme si už řekli hodně. Budou nás stále provázet. Je tomu tak také nyní. Extrémní množiny ve smyslu závislosti mohou mít extrémy modifikací typu M1 a poslední modifikace. Mohou tedy mít jedinou podobu a jediný výskyt (neopakují se tak jak jsme zvyklí, ale setrvávají počtem déle ve svém jediném tvaru a výskytu) definovaný jako M1. Takové tvary jsou potom vysoce závislé zevnitř (vysoce závislé prvky). Zvenčí jsou takové systémy téměř nezávislé. Jejich opak je zase závislý velice na svém prostředí (n) tedy z venku. Zevnitř půjde naopak o systém nezávislých prvků, což většinou znamená také to, že prvky nejsou svému systému vlastní. Po kvantifikaci se dostaneme k určitým paradoxům. Oba extrémy jsou s rostoucím počtem prvků systému C(k z n) klesající na pravděpodobnosti. U velmi mohutných systémů jsou zanedbatelnými položkami. Jejich pravděpodobnost je v součtu infimem vývoje. Průměrně závislé systémy C(k z n) zvenčí a zevnitř jsou těmi nejméně závislými systémy, a jejich množiny se uspořádají průměrně mezi modus a medián. Projdou li extrémy, mohou setrvávat libovolně na tvarech modifikací, které mají četnost mediánu. U mohutných systémů pak hodnotu mediánu má více různých modifikací. Dalším efektem je růst počtu modifikací od mediánu k modusu v tomto smyslu: S rostoucím počtem prvků systému roste počet modifikací za hodnotou aritmetického, geometrického, a nakonec i harmonického průměru, až se systém dostane do pozice majoritních mediánů s velikostí větší než harmonický průměr. Všechny modifikace menší nežli harmonický průměr v součtu jsou infimem. Budeme vyjadřovat míru stability jako určitou velikost tělesa na systému. Takto stabilizované systémy jsou stabilní neotřesitelně, což znamená prakticky nezvratně. Tímto způsobem definovaná závislost a nezávislost je statickým jevem množin obecně jako součástí systémů (M K a M N ). Tyto nezávislosti a závislosti jsou také taktovacím prostředkem pro závislost a nezávislost systémů, které jsou dány jako DS kombinací, tedy nějakého vztahu mezi množinami M K a M N. Mechanizmem je vlastně velikost změny, kterou lze systému přidělit. To, co vztah mezi těmito množinami M K a M N dynamizuje je změna. Abych příliš složitě nepopisoval změnu, ukážu opět tabulkou jako obrázkem co je změna.
2 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Třídění množin a definice závislostí. Stránka v kapitole 2 Definice nejmenší změny mezi dvěma různými stavy stejného systému M N p 0 Σ p 0 M K P 1 Σ p 1 C(k z n) P 1 p 0 Σ stavů Každý jeden různý stav se odlišuje od jiného nejméně jednicí. Ukážeme si změnu o jeden prvek stav 1 p 0 Původní stav 2 P 1 p 0 P 1 p 0 Změněný Tabulka 1: Třídění množin a definice závislostí Definice nejmenší změny mezi dvěma stavy Každý by měl pochopit, že změna na systému může probíhat nejméně o 1 prvek a nejvíc samozřejmě o všechny prvky, pokud k 1/2n. Změna větší než 1/2n v relaci jednic není myslitelná. Z hlediska matematiky se na to můžeme dívat poněkud odlišně. Mohou to být podmnožiny systému jen s jinými kvalitami. Mají stejný výpočet kvantifikace (sigmaaditivní princip). Pak je můžeme zaměnit. Funkce k zaměníme za n-k (změnu konáme pomocí prvků p 0, zatímco původně byly nositeli změny prvky p 1 ). Jen si představte takovou změnu v relaci výše uvedené tabulky. Tabulka ukazuje, že prvků n-k (p 0 ) je jen 7, zatímco prvků (p 1 ) je 9. Jak by se mohlo devět zaměnit se sedmi když se podmínečně párují? Nesmysl samozřejmě. Největší změna na systému je dána jako rozdíl jednic, tedy velikostí menší z množin k a n-k. Změna v relaci jednic systému konverguje na 1/2n. To je axiom pokud k tomu přidáme doplnění, že při podmínce zachování původního DS. Věta : Na systému se skalárním DS (k z n) konverguje maximální změna k hodnotě ½ n. Změnou větší je systém změněn, nebo zcela zanikne podle parametrů svých závislostí. Takové změny, které by měly velikost nad ½ n vedou ke skokové změně DS. Stačí si uvědomit kolik k-tic degraduje změna jediného prvku za polovinou n. Takže taková změna nastat může, ale pouze jednou jedinkrát. Systém zjevně zanikne nějakou transformací (nemůže existovat opakování změn ani původní DS), proto taková změna nebude na původním systému dokončena. Připodobnit toto k loterii lze a budu kritizován. Jenže loterie není vůbec ani zdaleka systém nezávislý, a už vůbec nelze takový systém ztotožňovat s principem přirozeného rozvoje množiny, nebo systému. Je to strojený systém závislý jak zvenčí, tak zevnitř. V podstatě se jedná o jedinou množinu prvků, tedy počet n. Nositelem změny jsou fakticky prvky n. Rozdělování takových množin (nic jiného to není) spadá nejblíže do kategorie rozvojů přirozených množin od Ex1 do Ex Σ sloupce Změna nastala u 2 prvků jednic Zůstalo 8 z původně 9 = 0,89 0,12 Zůstalo 6/7 = 0,86 14 z celku 16 =0,88 dvojic Zůstalo 28 z původně 36 = 0,78 a 0,25 Zůstalo 15/21 = 0,71 43 z celku 57 =0,75 trojic Zůstalo 56 z původně 84 = 0,67 a 0,36 Zůstalo 20/35 = 0,57 76 z celku 119 =0,64 čtyřčísel Zůstalo 70 z původně 126 = 0,56 a 0,47 Zůstalo 15/35 = 0,43 85 z celku 161 =0,53 pětičísel Zůstalo 56 z původně 126 = 0,44 a 0,58 Zůstalo 6/21 = 0,29 62 z celku 147 =0,42 šestičísel Zůstalo 28 z původně 84 = 0,33 a 0,68 Zůstalo 1/7 = 0,14 29 z celku 91 =0,32 sedmičísel Zůstalo 8 z původně 36 = 0,22 a 0,78 Zůstalo 0/1 = 0 8 z celku 36 =0,22 osmic Zůstalo 1 z původně 9 = 0,11 a 0,89 1 z celku 9 =0,11 devítek Zůstalo 0 z původně 1 = 0 a 1 0 z celku 1 =0 Celkově Změny na podmnožinách k, a n-k Změna na potenciálu Změna stavu o jediný prvek (nejmenší možná) vyvolá vysokou deformaci poměrů potenciálů. Vzniká nám kvalitativní zůstatek (existující) na 2 podmnožinách a velikost vlastní změny = 0,12. Zřejmě se už nebudeme podivovat tomu, že změna má také část existující a neexistující. Jedná se o zánik potenciálních k-tic a to je příznakem deformace nadsystému. Je-li tedy něco v řízení změny pravidelné, má to souvislost s jeho rozdělením. Navenek se to projeví opakováním.
3 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Třídění množin a definice závislostí. Stránka v kapitole 3 Se systémem C(k z n) mají všechny takové operace a důkazy hodnotu podmnožiny, nikoliv celého systému. To, co odlišuje takové systémy nejsou jen uměle napodobené parametry, ale také skutečnost pořadí prvků. Důkazy jsou prováděné na prvcích netotožně stejných, tedy neodlišených například popisem, barvou a zejména ne číslem. Proto nelze srovnávat ani na této úrovni. Navíc je pro modely loterních množin typická ještě jedna věc, kterou vůbec nemůžeme přehlédnout. Po vylosování jsou prvky jako míčky, nebo jiné elementy navráceny zpět. S ničím takovým pro chování přirozených množin a systémů nepočítáme. Nezávislými prvky jsou přibližně jen všechny míčky před vhozením do osudí. Při míchání již projeví své odchylky fyzikálních parametrů. Nakonec je několik jakoby vloženo do jiné mísy, přičemž se tak děje variačním, nikoliv kombinačním principem. Prostě jde jen o realizaci napodobení části rozvoje přirozené množiny, nikoliv systému, navíc s označením. Podobný paradox jsme ukazovali jako operace na pomocném systému C(k z k), a zjistili jsme, že modifikace jsou plnými systémy. Každá jednotlivě má hodnotu M1 a stává se sama sobě nadsystémem. To má nesporně výhodu v tom, že každé následné losování je jakoby losování první. Výsledkem takového posouzení je, že loterie užívají systémy s nevlastními prvky. Do jaké míry je toto žádoucí, nebo nikoliv probereme pravděpodobně také ve specializovaných kapitolách mimo rámec základů. Důležitou pasáží pro pochopení teorie systému je část kapitoly Rozdělení množin, kde se zabýváme způsobem realizace náhradních schemat. Tedy metodikou ztvárnění ekvivalentů různých druhů množin zejména pro účely přiřazení. Do této kategorie námětově patří takové připomínky. To o čem hovořím v souvislosti s možnou záměnou (k) a (n- k) je podobné skutečnosti dvou mís ve kterých je celkem n prvků, a každá mísa může pojmout všechny prvky naráz. Pak ale platí také zásada rozvoje přirozených množin, že totiž nadsystém je dán jako n = 2k. Pro loterii to ale neplatí. Obě mísy mohou mít dohromady jen schopnost pojmout n. Takže nejvýš mohou být stejné. Pokud je jedna větší, nežli druhá, nemůžeme napěchovat větší počet do menšího. Popravdě řečeno mohou udělat změnu na místě (vrátit se tam odkud byly vzaty, ale pak nepůjde o změnu vůbec, nebo jen částečně transparentní.) Vysvětlování podob a vztahů v souvislosti se změnou je dáno jako poměr velikostí. Měli bychom argumentovat, že největší počet stavů má k = 1/2n, protože počet je sigmaaditivní. C(1 z celku n) = C(k=n-1 z celku n) C(2 z celku n) = C(k=n-2 z celku n) přitom C(1 z celku n) < C(2 z celku n) Počet může stoupat jen k ½ n Takže největší změna je dána také největším počtem potenciálních a různých stavů. To zase znamená nepřímo, že změna je záležitostí celého systému, nikoliv jen jednoho, nebo několika stavů, tak jak jsme ukazovali na tabulce definice změny. Musíme se zabývat tím, zda je možné změnu jako těleso na systému i na množinách tohoto ovlivnit přetříděním, tedy určitým druhem uspořádání tak, aby buď došlo k co největšímu, nebo naopak k co nejmenšímu počtu následných opakování prvků RS. Tabulka zobrazující princip změny je dána jako 9 z celku 16, tedy k > ½n. Je proto logické, že nejde o největší možnou změnu na systému. Ta by byla dána pro C(8 z celku 16). Použitý příklad otočíme v zadání. Postavme dva následné stavy tak, aby byla změna co největší, pokud možno rovná 2k (žádný prvek se neopakuje). Takže náš fiktivní systém ukazuje problém k > ½ n. To nám musí postačit jako vyjádření pomocí existence. Takový systém nemůže nabývat plné změny. Ale problém nejmenší změny je problémem systému. Budeme ho formulovat otázkou: Je možné uspořádat všechny příslušné stavy tak, aby docházelo vždy k úplné změně v rámci etalonu?
4 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Třídění množin a definice závislostí. Stránka v kapitole 4 Definice největší změny mezi dvěma různými stavy stejného systému Každý jeden různý stav se odlišuje od jiného nejvíce o 7p z 9p stav 1 p 0 Původní stav 2 p 0 P 1 Změněný Σ sloupce Změna nastala u 7 prvků jednic Zůstalo 2 z 9 = 0,22 0,75 Zůstalo 2 ze 7 = 0,29 4 z celku 16 25,00% dvojic Zůstalo 1 z 36 = 0,03 0,96 Zůstalo 1 z 21 = 0,05 2 z celku 57 3,51% trojic Zůstalo 0 z 84 = 0 1 Zůstalo 0 z 35 = 0 0 z celku 119 0,00% čtyřčísel Zůstalo 0 z 126 = 0 1 Zůstalo 0 z 35 = 0 0 z celku 161 0,00% pětičísel Zůstalo 0 z 126 = 0 1 Zůstalo 0 z 21 = 0 0 z celku 147 0,00% šestičísel Zůstalo 0 z 84 = 0 1 Zůstalo 0 z 7 = 0 0 z celku 91 0,00% sedmičísel Zůstalo 0 z 36 = 0 1 Zůstalo 0 z 1 = 0 0 z celku 36 0,00% osmic Zůstalo 0 z 9 = 0 a 1 0 z celku 9 0,00% devítek Zůstalo 0 z původně 1 = 0 a 1 0 z celku 1 0,00% Celkově Změny na podmnožinách k, a n-k Změna na potenciálu Změna stavu o 7p (největší možná) vyvolá malou deformaci poměrů potenciálů. Ta nemůže být nulová. Vzniká nám kvalitativní zůstatek (existující) na 2 podmnožinách a velikost vlastní změny = 6,71. Zase máme část změny vyjádřenou jako neexistující, je to velikost 2 (součet černých polí). Jedná se o zánik potenciálních k-tic a to je příznakem deformace nadsystému. Je-li tedy něco v řízení změny pravidelné, má to souvislost s jeho rozdělením. Navenek se to projeví opakováním. Tabulka 2: Třídění množin a definice závislostí Definice největší změny mezi dvěma stavy Na otázku existuje správná odpověď, ale nežli ji uvedeme zamyslíme se nad tím jakou úlohu hraje poměr mezi k a n. Je zřejmé, že k > ½ n neumožní v žádném případě plnou změnu. Když ale bude k = ½ n, dostaneme se do možnosti realizovat plnou změnu, ale jen jednu ob jako přes jeden stav. Tři následné stavy musí mít vlastnost opakování stejné k-tice. V tomto případě vždy prvé. Pokud by tedy systém vynucoval na každém stavu největší změnu (plnou) na systému kombinací C(k = ½ n), bude opakovat hekticky pouze dva různé stavy. Je to vlastně také binarita systému. Překlápěl by se neustále ve svých dvou podobách, což znamená DS C(1 ze 2). Takže řešení není nikde jinde, nežli ve správném poměru mezi k a n. Je to dáno přesně limitním počtem k = sqrt (n). Tento počet jsem také připravil jako důkaz. Důkaz slouží opět jako ve většině příkladů k vícero účelům, takže před jeho uvedením si ještě povíme, že určitě lze dosáhnout pomocí třídění (nyní už rozpisu v pravém slova smyslu) plné změny na systému pokud je k < sqrt (n) Takto definované systémy mohou dosahovat za určitých předpokladů plné změny, a proto patří mezi nejméně stabilní systémy. S rostoucím rozdílem mezi k << sqrt (n) se zvětšuje pravděpodobnost přirozeného výskytu plných změn. Jinak řečeno znamená to, že roste nestabilita. Získáváme limity pro oblast stability obecných přirozených systémů a jejich množin. Poměrně velká k mohou systém degradovat nejméně formou nezjevného potenciálu všech k-tic. Ve fyzikálním měřítku to znamená například dodat víc energie formou změny, nežli může systém vydržet. Prakticky to znamená ve fyzice explozi. Dovolím si to připodobnit k výbuchu supernovy. Po explozi supernovy zůstává na původní množině jen menší původní část hmoty kvalitativně odlišná od původního uskupení. Množina totiž podle této terminologie realizovala změnu skokem na úroveň závislosti a velikost původně nezjevně deformovaného n. Upozorňuji, že na této úrovni jde pouze o příměr, ale budeme ho také dokazovat ve fyzikálním rozměru a ve specializované práci, která bude pravděpodobně vydána klasickým způsobem knižně. Práce bude pojednávat o principu gravitace a časoprostorové mechaniky. Za tuto poznámku se předem omlouvám, ale je to až příliš motivující a průhledné pro každého, kdo jen slyšel, nebo četl o tom, jak se projevuje časoprostor.
5 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Třídění množin a definice závislostí. Stránka v kapitole 5 Věta : Stabilita systémů je dána velikostí poměrnou k/n v závislosti na velikosti n. Stabilita je dána limitní hranicí pro k(od n do ½ n). Velikostmi k pod hodnotou n je systém nestabilní realizací nezávislosti podmnožin. Velikosti k přes hodnotu ½ n degradují systém ve smyslu DS. Věta : Stabilita prvků systému je dána podobně jako stabilita systémů, a je omezena výrazným počtem DS C (2 ze 4), který zaručuje skutečnost, že n = ½ n. Největší změna je rovná hranici stability systému. Ten potom může existovat jen ve dvou podobách které se mohou obměňovat. Mimo toho může prvek jen existovat v současnosti jako binární RS. Poznámka: Definici matematického prvku můžeme také přirovnat k fyzikální skutečnosti. Abychom přiblížili matematickou podstatu prvku musíme zahrnout dvojí binaritu jako nadsystém který tento prvek tvoří. Jde o prvky ( p 1 ); ( p 0 );(ap 1 );(ap 0 ). Existující prvek se vyskytuje jako dvojí forma existence v současnosti forma 1: p 1 = ( p 1 )+(ap 0 ); p 0 = (ap 1 )+( p 0 ); v současnosti diskrétní (buď p 1, nebo p 0 ) forma 2: p 1 = ( p 1 )*( p 0 ); p 0 = (ap 1 )*(ap 0 ); v současnosti kontinuální (existuje nebo ne) Podobně také forma existence v minulosti, nebo budoucnosti, nebo neexistence obecně. Existenční výroky o prvku mají 6 podob (6 kombinací 2. třídy z celku 4) ve dvou variantách tvaru (+) a (*) pro diskrétní a kontinuální prvky. Víme už z dřívějška, že jde o vyjádření hodnoty a velikosti která má také určitou obdobu v teorii uspořádaných množin (prvek v uspořádání). Což je rámcově uvnitř této práce dáno jako současnost existence vlastní velikosti diskrétního prvku, nebo také jako současnost velikosti hodnoty kontinuálního prvku. Fyzikálně je to vyjádřeno jinak. Mohli bychom to přirovnat k existenci protikladů jako dříve definovaných vyloučených nebo podmíněných jevů pravděpodobnosti. Zajímavé na fyzikálním pojetí tohoto vyjádření prvku jako n = ½ n je velikost impulzu, který by měl prvek rozbít. Prvku není možné dodat větší impulz, nežli ½ n, a při tom tento impulz prvek ještě snese. Veškerý impulz se pak projeví jako vnější pohyb, nikoliv jako vnitřní změna. Princip rozbití na cyklotronech a podobných zařízení spočívá v tom, že je částicím dodána větší energie nežli je uvnitř. Srážkou dvou protisměrných částic dojde na okamžik k vytvoření sytému C(4 z 8). Při úspěšné srážce dojde k rozpadu kontinuálního nadsystému a transformaci diskrétního. Je jen pochopitelné, že je výhodnější bombardovat těžká jádra urychlenými částicemi které jsou méně hmotné, než docílit srážky dvou stejných částic v určitém cílovém prostoru. Stabilita na mnohočetných systémech má také různé stupně. Existují také systémy, které jsou rozměrově nestabilní, ale počet prvků umožňuje vznik stabilních podmnožin. To je celkem pochopitelné vzhledem k definici prvku. Ale jedná se také o vysoce stabilní podmnožiny prvků málo stabilních systémů. Abychom vůbec mohli pochopit co to znamená, musíme se vrátit k těm základním pojmům které jsou v záhlaví kapitoly. Vše vychází z definicí k ve vztahu k n. U rozvoje přirozených množin jsme si popsali prvky nadsystému jako prvky prázdné. Přirozené k = sqrt(n), je množinou prvků prázdných. To je zase rozdíl od množiny rozvíjené jako diskrétní k. Je to tak. To co je dáno binomickým k je příznak změny. Z pohledu této teorie dost nešťastně vyjádřené, ale neměl jsem příliš na výběr. Nyní to už můžeme trošku upřesnit. Binomické k je jednicový příznak změny. Změna sama se vztahuje k celému systému etalonu a záleží na třídění tohoto. Spolu s tím ještě také hrají úlohu další parametry.
6 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Třídění množin a definice závislostí. Stránka v kapitole 6 Třídění samo o sobě je spíš v povědomí jako třídění podle velikosti buď vzestupné, nebo sestupné. My si zde zavedeme ještě další druh třídění. Je to třídění různých k-tic tak, aby byly různé prvky a podmnožiny rozloženy pravidelně, tedy průměrně a nikoliv extrémně tak jak jsme zvyklí. Extrémní přetřídění rozpisu DS(2 z 9), souřadnice nadsystému 3x3 Rozpis etalon vzestupný Rozpis random (průměrný) Rozpis etalon sestupný S Opakování 1 S S Opakování 9 S Opakování 1 S S Opakování 9 S Opakování 1 S Opakování 7 S Opakování 9 S Opakování 1 S Opakování 7 S Opakování 9 S Opakování 2 S S Opakování 8 S Opakování 2 S Opakování 9 S Opakování 8 S Opakování 2 S Opakování 9 S Opakování 8 S Opakování 3 S S Opakování 7 S Opakování 3 S Opakování 8 S Opakování 7 S Opakování 3 S Opakování 8 S Opakování 7 S S S S S S Opakuje 4x jednotku Opakuje 1x devítku Opakuje 4x devítku Dvojice 6 Dvojice 1 Dvojice 6 Trojice 4 Trojice 4 Čtyřčísla 1 Čtyřčísla 1 Opakuje 3x dvojku Opakuje 1x osmičku Opakuje 3x osmičku Dvojice 3 Dvojice 1 Dvojice 3 Trojice 1 Trojice 1 Opakuje 3x trojku Opakuje 1x sedmičku Opakuje 3x sedmičku Dvojice 3 Dvojice 1 Dvojice 3 Trojice 1 Trojice 1 Opakuje celkem k-tic Opakuje celkem k-tic Opakuje celkem k-tic Dvojice 12 Dvojice 3 Dvojice 12 Trojice 6 Trojice 0 Trojice 6 Čtyřčísla 1 Čtyřčísla 0 Čtyřčísla 1 Tabulka extrémních uspořádání ukazuje jak může ovlivnit třídění počet opakování. Opakování na RS každého prvku jako k-tice. Zde je zobrazení provedeno k obrazem. Jednice se nemůže sama opakovat 1x, pouze ve vyšších k-ticích. Dotek mohou mít nejméně 2 prvky, proto je jednicí dvojice. Největší možné opakování na etalon tříděném rozpise 12 dvojic, 6 trojic a 1 čtyřčíslo. Nejmenší možné opakování na random tříděném rozpise 3 dvojice Tabulka 3: Třídění množin a definice závislostí Extrémní třídění systému DS C(2z9) Klasické třídění jsou typická extrémní uspořádání. Stačí si promítnout jak vypadá vzestupně setříděná množina (například stavů) a zjistíme, že se nejmenší prvek (infimum) bezprostředně opakuje za sebou, až je jeho potenciál zcela vyčerpán. Jeho RS obsahuje jen samé jednice za sebou, a pak následují samé nuly. Při tom je největší prvek střídán poměrně velmi pravidelně. Takovému třídění budeme říkat také třídění typu etalon. Znamená to extrém buď vzestupně, nebo sestupně. Princip názvu vychází z toho, že typická množina hrušky + jablka + broskve nemá velikost, ani pořadí tak jako čísla. Jednoduše je některý prvek určen na první pozici a jiný na poslední. Když bychom zaměnili asociativně obrázky za písmenka, nebo čísla, tak etalon třídění bude statistickým vzestupně, nebo sestupně. Princip je logický a grafický. Naproti tomu existuje jiná potřeba. Kuchařka musí vydat dětem polévku, hlavní chod, moučník, kakao a ovoce na svačinu, tedy 6 druhů potravin. Může dát těm prvním z dětí jen každému 6x polévku a jinému jen 6x ovoce? Nemůže. Musí pravidelně rozdělit jídlo tak, aby každý dostal vše stejně jako jiný strávník. A to je podstatou třídění typu random (také wheeling). Jedná se o určitý druh rozpisu, který pravidelně zvyšuje pravděpodobnost a jde o pojem převzatý přímo z oblasti hazardních her autora pojmu neznám.
7 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Třídění množin a definice závislostí. Stránka v kapitole 7 Oba základní typy tedy etalon a random jsou si protikladné. Přes to oba typy obsahují znaky toho druhého typu třídění. U typu etalon jsme si uvedli, že při vzestupném třídění je velice pravidelně rozmístěno suprémum. Naproti tomu je cyklické random třídění uzavřeno do násobků jednic, vyšší uspořádání jednicových matic vyčerpá všechny dvojice a tak dál až jsou vyčerpány všechny různé největší k-tice bez opakování (každá jen 1x). Na jednotlivých maticích jednic je však patrné třídění etalon. Jinak to ani nejde. Třídění jako operace může být aplikována na libovolnou množinu. Tedy také na etalon jako skutečný výpis všech různých bez opakování (například etalon s tříděním etalon, nebo etalon tříděný jako random). Pomocí obou druhů třídění si ukážeme limity opakování. Typ třídění etalon zastupuje maximální možné opakování, a typ třídění random zase nejmenší možné opakování tak jak nám to demonstruje tabulka extrémních uspořádání rozpisu všech dvojic z celku 9. Výše uvedená tabulka rozpisu DS (2 z 9) souřadnice 3 2 je pomocným zobrazením pro důkaz tříděním, který je dále uveden, ale vzhledem k poměrně malým znakům může být nečitelný. Proto použijeme tabulku DS (2 z 9) souřadnice 3 2 jako zvětšenou část plného systému C(3 z 9). Vlastní důkaz plného systému C (3 z 9) se skládá ze dvou sloupců, které obsahují stejné trojice v n zobrazení, protože zobrazení typu k nevyhovuje přehledností. Výsledkem důkazu je zjištění, že maximální setřídění podle extrému etalon může mít na celém etalonu 177 opakování na RS. Nejméně tedy 2 opakování jednic na každém řádku. Některé řádky mají také opakování 3. Nejedná se o opakování trojice, ale dvě jednice se opakují s jednicí předchozího stavu a jedna s jednicí následujícího. Vyjádření na řádek je relativní ze dvou důvodů. Prvním důvodem je vztah jednotky opakování mezi dva stavy systému. Znamená to, že opakování patří jakoby mezi dva různé stavy stejného systému. Také by bylo možné vyjádřit, že opakování se šíří na jednotlivý stav velikostí ½. Druhým důvodem je relativnost počátku a konce. Pokud máme první stav, tak má jen vazby se svým následným stavem, takže mu může scházet i většina vazeb. Totéž se týká posledního stavu výpisu všech různých (etalonu). V tomto případě se můžeme rozhodnout dvěma způsoby. Buď se jedná o velký počet opakování stejného etalonu, a to se děje při silně ovlivněných systémech zvenčí, a pak je správné započítat vazby jako kdyby za poslední modifikací následovala první. Nebo tyto vazby nezapočítávat. K takovému postupu bychom se přiklonili například v případě, že jsou střídány různé etalony (mění se DS, ale nedochází k vícenásobnému následnému opakování etalonu každého různého systému), nebo když je množina všech stavů tak mohutná, že není předpokladu reálného opakování všech stavů. V takových případech také tato skutečnost splývá natolik, že nehraje žádnou úlohu. Opakování je vyznačeno žlutou barvou, která propojuje obě následná opakování. Tento mechanizmus může fungovat právě jenom na zobrazení typu n. Za nepřehlednost důkazu se omlouvám, ale množina C (3 z 9) je nejmenší kterou lze setřídit na čistý random tvar. Je proto potřebné vidět celý sloupec naráz, aby bylo možné pochopit in natura. Sloupec třídění typu random ukazuje 48 opakování jednic. Ale tento počet je velice zkreslující. Musíme si to představit jako analýzu RS. Počet 48 dvojic je zanedbatelným počtem proti typu etalon. Ten jenom na čísle 1 utvořil k-tici 28 následných opakování, což znamená 378 dvojic. Definitivním závěrem tohoto důkazu je to, že tříděním je možné změnit počet opakování.
8 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Třídění množin a definice závislostí. Stránka v kapitole 8 Důkaz tříděním množiny všech trojic z celku 9 P. Uspořádání "Etalon" P. Uspořádání "Random" č Σ č Σ sl. SL p o p o p o p o p o p o p o p o p o p o p o p o p o 4 p o p o p o p o p o 2 72 p o p o p o 4 p o p o 7 8 p o p o p o 5 p o p o p o p o 2 77 p o p o p o p o 5 6 p o p o 9 1 C(1 z 9) p o p o p o 6 p o p o p o p o p o 4 5 p o p o p o p o p o p o p o p o 7 p o p o 2 48 p o 2 p o p o p o p o 7 p o p o p o p o p o p o 8 p o 2 6 o p o 3 p o p o 6 p o 8 p o 1 C(1 z 9) A p o p o p o p o p o p o p o p o p o p o 6 7 p o p o 1 C(2 z 9) 8 1 p o 3 4 p o p o p o p o p o 2 42 p o 2 p o p o 5 p o p o 8 p o p o 3 p o 5 p o p o p o p o 2 54 p o p o 3 4 p o p o p o p o 9 1 C(1 z 9) 10 1 p o 3 p o p o 6 p o p o p o p o p o p o p o p o p o p o 3 p o p o p o 7 p o p o 2 36 p o 2 p o 4 p o 6 p o p o p o p o 3 p o p o p o p o 8 p o 2 56 p o p o 3 p o 5 p o 7 p o p o 0 C(1 z 9) 13 1 p o 3 p o p o p o p o p o p o 4 p o p o p o p o p o p o p o 4 5 p o p o p o p o 2 64 p o p o 3 p o p o p o p o p o p o 4 p o 6 p o p o p o 2 75 p o p o p o p o p o p o 1 C(1 z 9) 16 1 p o p o 4 p o p o 7 p o p o p o 3 p o 5 p o p o p o p o p o p o 4 p o p o p o 8 p o 2 47 p o 2 p o p o p o p o 7 8 p o p o p o 4 p o p o p o p o p o p o p o 4 p o 6 p o p o 9 1 C(1 z 9) B 19 1 p o p o p o 5 6 p o p o p o p o p o p o p o 6 p o 8 p o 1 C(2 z 9) 20 1 p o p o p o 5 p o 7 p o p o 2 43 p o 2 p o p o 5 p o p o p o p o p o p o 5 p o p o 8 p o 2 52 p o p o 3 4 p o p o 7 p o p o 1 C(1 z 9) 22 1 p o p o p o 5 p o p o p o p o p o p o p o p o 7 p o p o p o p o p o 6 7 p o p o 2 31 p o 2 3 p o p o 6 p o p o p o p o p o p o p o 6 p o 8 p o 2 67 p o p o p o 4 5 p o p o 8 p o 1 C(1 z 9) 25 1 p o p o p o p o 6 p o p o p o p o 5 p o p o p o p o p o p o p o p o p o 7 8 p o 2 63 p o p o 3 p o p o p o 7 p o p o p o p o p o p o 7 p o o p o p o 4 p o 6 p o 8 p o 1 C(1 z 9) 28 1 p o p o p o p o p o p o p o 3 4 p o p o p o p o p o 1 29 p o p o p o p o p o p o 2 44 p o 2 p o p o p o 6 7 p o p o o 2 3 p o 5 p o p o p o p o 2 8 o p o p o p o 5 p o p o C(1 z 9) C 31 p o 2 3 p o p o 6 p o p o p o p o p o p o p o 6 p o p o 9 1 C(2 z 9) 32 p o 2 3 p o p o p o 7 p o p o 2 33 p o 2 3 p o p o p o p o 8 p o p o 2 3 p o p o p o p o 8 p o 2 66 p o p o p o 4 5 p o 7 p o p o 1 C(1 z 9) 34 p o 2 3 p o p o p o p o p o p o p o p o p o p o 7 8 p o 1 35 p o 2 p o 4 5 p o p o p o p o 2 39 p o 2 p o 4 p o p o p o p o p o 2 p o 4 p o 6 p o p o p o 2 55 p o p o 3 p o 5 6 p o p o p o 1 C(1 z 9) 37 p o 2 p o 4 p o p o 7 p o p o p o p o p o 6 p o p o p o 1 38 p o 2 p o 4 p o p o p o 8 p o 2 57 p o p o 3 p o 5 p o p o 8 p o p o 2 p o 4 p o p o p o p o p o p o p o 4 p o p o 7 p o 9 1 C(1 z 9) 4 o 2 p o p o 5 6 p o p o p o p o 3 p o p o p o 7 p o p o 1 41 p o 2 p o p o 5 p o 7 p o p o 2 49 p o 2 p o p o p o p o p o p o 2 p o p o 5 p o p o 8 p o 2 65 p o p o p o p o p o p o 1 C(1 z 9) D 43 p o 2 p o p o 5 p o p o p o p o p o 4 p o p o p o 8 p o 1 C(2 z 9) 44 p o 2 p o p o p o 6 7 p o p o 2 41 p o 2 p o p o 5 p o 7 p o p o p o 2 p o p o p o 6 p o 8 p o 2 61 p o p o 3 p o p o 6 p o p o 9 1 C(1 z 9) 46 p o 2 p o p o p o 6 p o p o p o p o p o 5 p o p o p o p o 2 p o p o p o p o 7 8 p o 2 29 p o p o p o p o p o p o p o 2 p o p o p o p o 7 p o p o p o p o p o p o p o 1 C(1 z 9) 49 p o 2 p o p o p o p o p o p o p o p o p o 7 p o p o 1 5 o p o p o p o p o p o 2 5 o p o p o p o p o p o p o p o 3 4 p o 6 p o p o p o 2 83 p o p o p o p o p o 6 p o C(1 z 9) 52 p o p o 3 4 p o p o 7 p o p o p o 3 p o p o 6 p o p o p o 1 53 p o p o 3 4 p o p o p o 8 p o 2 38 p o 2 p o 4 p o p o p o 8 p o p o p o 3 4 p o p o p o p o p o p o p o p o 5 p o 7 p o 9 1 C(1 z 9) E 55 p o p o 3 p o 5 6 p o p o p o p o p o 4 p o p o p o p o 9 1 C(2 z 9) 56 p o p o 3 p o 5 p o 7 p o p o 2 4 o 2 p o p o 5 6 p o p o p o p o p o 3 p o 5 p o p o 8 p o 2 62 p o p o 3 p o p o p o 7 8 p o 1 C(1 z 9) 58 p o p o 3 p o 5 p o p o p o p o p o p o 5 p o p o 8 p o 1 59 p o p o 3 p o p o 6 7 p o p o 2 34 p o 2 3 p o p o p o p o p o o p o 3 p o p o 6 p o 8 p o 2 69 p o p o p o 4 p o 6 7 p o p o 0 C(1 z 9) 61 p o p o 3 p o p o 6 p o p o p o p o p o p o p o 8 p o 0 62 p o p o 3 p o p o p o 7 8 p o 2 59 p o p o 3 p o p o 6 7 p o p o p o p o 3 p o p o p o 7 p o p o p o p o 4 5 p o p o p o 9 1 C(1 z 9) 64 p o p o 3 p o p o p o p o p o 3 p o p o p o p o p o p o p o p o p o p o p o 2 37 p o 2 p o 4 p o p o 7 p o p o p o p o p o 4 5 p o 7 p o p o 2 76 p o p o p o p o 5 6 p o 8 p o 1 C(1 z 9) F 67 p o p o p o 4 5 p o p o 8 p o p o p o 4 p o 6 p o p o p o 1 C(2 z 9) 68 p o p o p o 4 5 p o p o p o o 2 3 p o 5 p o p o p o p o p o p o p o 4 p o 6 7 p o p o 2 84 p o p o p o p o p o p o C(1 z 9) 7 o p o p o 4 p o 6 p o 8 p o p o p o p o 5 p o 7 p o p o 1 71 p o p o p o 4 p o 6 p o p o p o 2 p o p o p o 6 p o p o p o p o p o 4 p o p o 7 8 p o 2 53 p o p o 3 4 p o p o p o 8 p o 0 C(1 z 9) 73 p o p o p o 4 p o p o 7 p o p o p o p o p o p o p o p o p o p o 4 p o p o p o p o p o 3 4 p o 6 p o p o p o p o p o p o p o p o p o 2 78 p o p o p o p o 5 p o 7 8 p o 1 C(1 z 9) 76 p o p o p o p o 5 6 p o 8 p o p o 3 p o p o p o p o 8 p o 1 77 p o p o p o p o 5 6 p o p o p o 2 p o 4 5 p o p o p o p o p o p o p o p o 5 p o 7 8 p o 2 82 p o p o p o p o p o 6 7 p o 9 1 C(1 z 9) G 79 p o p o p o p o 5 p o 7 p o p o p o 4 p o p o 7 p o p o 1 C(2 z 9) 8 o p o p o p o 5 p o p o p o 2 p o p o p o 6 p o 8 p o p o p o p o p o p o p o 3 58 p o p o 3 p o 5 p o p o p o 9 1 C(1 z 9) 82 p o p o p o p o p o 6 7 p o p o p o p o 5 6 p o p o p o 1 83 p o p o p o p o p o 6 p o p o 2 3 p o p o p o 7 p o p o p o p o p o p o p o p o p o p o p o 4 p o p o p o C(1 z 9) 84 Celkem opakování za etalon Celkem opakování za random Tabulka 4: Třídění množin a definice závislostí Důkaz tříděním Důkaz přetříděním ukazuje, že vliv třídění je zcela zásadní záležitostí pro kvantifikace těles stability na systémech. Oba případy jsou extrémní, a lze předpokládat, že průměrně závislé systémy budou mít také počet opakování někde mezi těmito extrémy. Tento poznatek má hodnotu zejména v tom, že jsme dokázali určit kvantifikační limity a způsob výpočtu diskrétním způsobem ryze kontinuální množiny závislosti. Zásada pro výpočet extrému třídění etalon je dána jako k referenčního systému, které jsme schopni vyjádřit pomocí DS takto: M K (RS) = C(k-1 z celku n-1). Množina M K se pak rozpadá postupně na menší díly podle kombinatorických zásad. Je to počet dvojic. Pro číslo 1 platí plná k-tice. Číslo 2 už má také 2 menší uskupení, jejichž počet je dán rozdílem: C(k-1 z celku n-1)-c(k-2 z celku n-2) Číslo 3 má 3 uskupení z nichž dvě mají velikost C(k-2 z celku n-2)-1, a zbytek je dán jako rozdíl do počtu C(k-1 z celku n-1). A tak dál, jak nám ukazují žluté sloupce extrému etalon. Nesmírně cenné je také zjištění, že na každý jednotlivý stav systému se vztahuje přepočet podílu všech dvojic systému. Je to dáno takto: Počet všech stejných krát počet všech různých dvojic lomeno počtem stavů. Tedy : C(k-2 z celku n-2)*c(2 z celku n)/c(k z n) Výpočet platí pro všechny DS třídění etalon stejně. To už se nedá tvrdit o výpočtu pro třídění typu random. Systém musí být uspořádán podle přísného předpisu rozvoje přirozené množiny, tedy k n = sqrt (n), a nositel změny k S = k n. Pak je počet opakování dán jako: {C(k z n)/k}- {-1+C(2 z n)/c(2 z k)} Počet je již přímo počtem jednic interakcí na RS. Přepočet na jeden stav je dvojnásobek tohoto počtu lomený počtem všech různých C(k z n). Otázkou je počet na jiných systémech, které mnohdy ani nejdou seřadit jako ideální random. Otázka kdy lze a kdy nikoliv třídit na čistý random je otázkou teorie stavby rozpisu. Ta bude zveřejněna jako klasická kniha a měla by být vydána pod názvem Kombinatorické konstrukce.
9 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Třídění množin a definice závislostí. Stránka v kapitole 9 Jenom útržkovitě poznamenáme, že ne všechny druhé odmocniny se dají interpretovat jako čtverce, a ne všechny čisté čtverce lze sestrojit jako random třídění celého systému. Ale existuje důvod tvrdit, že to jde u všech čtverců prvočísel. Proto například pro tyto účely posuzujeme analytické rozpisy jen jako prvočíselné čtverce. Potřeby analýz se pak realizují pro obor čísel N v řadě prvočíselných čtverců. (Například 100 má druhou odmocninu celočíselnou, ale musí se postavit jako obdélník ve čtverci To pak vytvoří komplikaci s podobou nestejně velkých stavů, ale i na to je určitá korekční metoda.) Tento konkrétní důkaz má opět mnoho významů různého charakteru mimo již zmiňovaného důkazu že třídění ovlivní opakování. Z toho vyplývá, že je to také projev závislosti měřitelný diskrétním výpočtem na úrovni Bernoulliho schemat. Dále tímto podáváme také důkaz o projevu přirozené množiny. Bez ideálně rozděleného nadsystému bychom důkaz tohoto typu nemohli realizovat zcela. Dostali bychom se jen k extrému typu etalon, ale kde je druhá limita, by bylo na dohadech. Už samotné ztvárnění random dokazuje, že množina C(k n =sqrt(σp 0 ) z celku n =Σp 0 ) a její nadsystém má svou reálnou podstatu, odezvu a podobu. Teprve nyní se můžeme dostat k vlastnímu analytickému mechanizmu. Ten budeme také muset nejprve určit podle účelu. Vedle tabulky důkazu tříděných systémů je uvedeno několik údajů, ze kterých budeme vycházet. Skutečnou závislostí, která je dána opakováním na RS jednotlivých prvků jsme schopni určit nezjevnou deformaci nadsystému. Tu však ve většině případů ani nepotřebujeme, protože mezi nejméně závislé systémy se dostane jedině kosmologie a příbuzné obory. Proto zůstane postačujícím ukazatelem pouze počet interakcí, tedy dvojic na RS, a také tento údaj bude většinou přebytečný. Budeme se mu více věnovat, ale nejprve si vysvětlíme přepočítávanou závislost na jediný stav. Znamená to, že posuzování budeme zakládat více na současných projevech mezi jednotlivými stavy samostatně. Nepotřebujeme celou plejádu etalonů. To už je poměrně velice praktické, protože máme k dispozici vždy extrém typu etalon buď podle předpokladů, nebo podle zjevných příznaků systému, a nebo i zkusmo, protože přepočet na jednotlivý stav je typickým ukazatelem. Je sice pravda, že každý jeden případ může ukazovat na vícero DS, ale pokud je možné vycházet z dostatečného počtu následných projevů systému, můžeme dobře selektovat například podle příznaků zjevnosti souřadnice. Také případ od případu lze určit jaké DS ještě přichází, nebo již nikoliv do úvahy. V každém případě je proměnlivost opakování závislá na něčem co hodláme najít, nebo zohlednit pro určení změnového systému. Metoda nám umožní vyhodnocovat také kolaborující systémy, které jsou změnovou složkou pro DS. Výhodou také je, že můžeme současnosti převádět jako vlastnost roznášenou na průměrný prvek, což je hodnota podobná k hodnotě získané za pomoci RS. Máme li k dispozici v současnosti střídavý počet prvků a nevíme ani, zda DS je konstantní, zjištěné opakování přepočítáme na poměr jednoho prvku. Mezi dvěma následnými stavy stejného prvku vznikne opakování, a my už víme, že jej můžeme započítat polovinou na jediný stav. Toto pak sečteme za všechny současné prvky a vydělíme jejich počtem. Mělo by nám zůstat nějaké číslo < 1. Bez zábran tyto podíly sečteme za celý interval sledování a vyjádříme průměr na sledovaném intervalu RS. Samostatně by mělo být provedeno sledování vlastního opakování prvku. Získali jsme jednak údaj pro osu x jako údaj o počtu závislosti (opakování) na ostatních prvcích systému, a také údaj o vlastním opakování, tady průmět RS, které náleží ose y. Oba tyto systémy nezávisle na sobě vypovídají o DS. Za vyšetřování pravděpodobnosti na systémech však musíme považovat v prvé řadě operace s výsledky frekvence prvku a jeho nuly, tedy šetření RS prvku. Součet p 1 a p 0 dávají přímý poměr DS. Rozpad na k-tice umožňuje vyšetřovat přímo frekvence, které udávají závislost.
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 1. Stránka v kapitole 1
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 1. Stránka v kapitole 1 Příklad 1. Výpočet pomocí rozšířeného Bernoulliho schematu. Příklad řeší výpočtem rozložení prvků losovaných
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 1. Příklad 2. Modifikace M systému k=6p.
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 1 Příklad 2. Výpočet pomocí rozšířeného Bernoulliho schematu. Příklad řeší výpočtem rozložení prvků losovaných
VíceKomentáře Schema 2 Vlastní provedení. Příklad 2.
Příklad 2. Popíšeme předpoklady výpočtu pravděpodobnost výsledků hodu několika kostkami. Příklad prvého schematu ukázal, že rostoucím počtem mincí se mění relativní četnosti jednotlivých tvarů. Nyní tuto
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 1
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 1 Příklad 5. Výpočet pomocí Bernoulliho schematu demonstrující existenci systémové výhody určitého druhu. Obsažným
VíceVyšetřování pravděpodobnosti na systémech
Základy teorie pravděpodobnosti. Kapitola: Pravděpodobnost systémů Strana v kapitole 1 Vyšetřování pravděpodobnosti na systémech Hovoříme li o Teorii pravděpodobnosti, měli bychom se pravděpodobnosti jako
VíceKombinatorický předpis
Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti Kapitola: SPP (statistická pracovní plocha). Stránka v kapitole 1
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: SPP (statistická pracovní plocha). Stránka v kapitole 1 Statistická pracovní plocha Statistická pracovní plocha (SPP) je podstatou průsečíkový graf ploch do kterého
VíceTypy množin, systémů a jejich rozdělení.
Základy teorie pravděpodobnosti. Kapitola: Typy množin, systémů a jejich rozdělení. Strana v kapitole 1 Typy množin, systémů a jejich rozdělení. V této práci rozlišujeme předmět šetření pravděpodobnosti
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
VíceKomplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice
VíceDůkaz, který si vyžádaly teorie SUSY a GUT.
Gravitace: SUSY a GUT Petr Neudek 1 Důkaz, který si vyžádaly teorie SUSY a GUT. V souvislosti s rozvojem kosmologie došli vědci k poznání, že vesmír se pravděpodobně zrodil tak jak popisuje teorie velkého
VíceGravitace : Komentáře Petr Neudek 1. Cesta k průměru.
Gravitace : Komentáře Petr Neudek 1 Cesta k průměru. Jedná se o určité zamyšlení nad tím, co je to průměr, nebo střední hodnota. Obecně je problematika brána z mnoha pohledů, a lze narazit v každé kapitole
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VícePříklad z učebnice matematiky pro základní školu:
Příklad z učebnice matematiky pro základní školu: Součet trojnásobku neznámého čísla zvětšeného o dva a dvojnásobku neznámého čísla zmenšeného o pět se rovná čtyřnásobku neznámého čísla zvětšeného o jedna.
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VícePosloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
VíceKombinatorický strom
Základy teorie pravděpodobnosti. Kapitola: Kombinatorický strom Strana v kapitole 1 Kombinatorický strom Kombinatorickým stromem rozumíme uspořádání kombinatorických pojmů. Účelem je vytvořit jednoznačnou
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VícePosloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceKomentáře Schema 3 Vlastní provedení. Příklad 3.
Příklad 3. Určování řídících systémů úvod do kombinatorických problematik. V předcházejícím příkladu jsme popisovali mimo jiné také problematiku kombinatorických pojmů výrokem, že kombinatorické pojmy
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti Kapitola: Pascalův trojúhelník. Stránka v kapitole 1
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Pascalův trojúhelník. Stránka v kapitole 1 Upravený Pascalův trojúhelník. Pascalův trojúhelník zná snad každý. Přes to si ho opíšeme kvůli rozpomenutí se. Je to
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceMatematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě
Řeší s porozumněním rovnice s parametrem Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řovnice, nerovnice a jejich soustavy Třetí, 24 hodin Zvolí vhodnou metodu řešení rovnice nebo nerovnice Vysvětlí zvolený způsob
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceKombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy
VíceKOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)
KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceII. Úlohy na vložené cykly a podprogramy
II. Úlohy na vložené cykly a podprogramy Společné zadání pro příklady 1. - 10. začíná jednou ze dvou možností popisu vstupních dat. Je dána posloupnost (neboli řada) N reálných (resp. celočíselných) hodnot.
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Více3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceMatematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3
Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
Více2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná
.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná Předpoklady: 0080 Př. : Doplň tabulku (všechny sloupce je možné vypočítat bez kalkulačky). 00 x 0 0,0004 00 900,69 6 8 x 0,09 0, x 0 0,0004 00 x 0 0,0 0 6 6 900 0 00
VíceCykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.
Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VícePro zvládnutí této kapitoly budete potřebovat 4-5 hodin studia.
Úvod (Proč se zabývat statistikou?) Statistika je metoda analýzy dat, která nachází široké uplatnění v celé řadě ekonomických, technických, přírodovědných a humanitních disciplín. Její význam v poslední
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VíceTermojaderná syntéza. A neb jak je to s pohonem sluncí.
Gravitace : Termojaderná syntéza Petr Neudek 1 Termojaderná syntéza. A neb jak je to s pohonem sluncí. Pohon slunce má příčinu v setrvávání systému. Systém sluneční soustavy je vysoce závislý jak uvnitř
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceJednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.
Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceProgramy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE
Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceVýroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).
Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před
VíceStatistika pro geografy
Statistika pro geografy 2. Popisná statistika Mgr. David Fiedor 23. února 2015 Osnova 1 2 3 Pojmy - Bodové rozdělení četností Absolutní četnost Absolutní četností hodnoty x j znaku x rozumíme počet statistických
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VícePůvodní nalezení vztahu který ukazoval na rovnost středních hodnot MOD = MED.
TP TG stabilita množstvím: Mod=Med_původní Petr Neudek 1 Původní nalezení vztahu který ukazoval na rovnost středních hodnot MOD = MED. Modus Medián, nebo také Modus = Modulo, a Medián = Modulo vznikl při
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceJednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
VíceKombinatorika. Michael Krbek. 1. Základní pojmy. Kombinatorika pracuje se spočitatelnými (tedy obvykle
Kombinatorika Michael Krbek. Základní pojmy. Kombinatorika pracuje se spočitatelnými (tedy obvykle konečnými) strukturami a patří kvůli tomu mezi nejstarší oblasti matematiky. Je těžké podat přesný výčet
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceZáklady popisné statistiky
Základy popisné statistiky Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 26 Obsah 1 Základy statistického zpracování dat 2
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
Více10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda
@112 10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda Jedna z metod, která se používá při řešení soustavy lineárních rovnic, se nazývá substituční. Nejlépe si metodu ukážeme na příkladech. Příklad:
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceZákladní statistické charakteristiky
Základní statistické charakteristiky Základní statistické charakteristiky slouží pro vzájemné porovnávání statistických souborů charakteristiky = čísla, pomocí kterých porovnáváme Základní statistické
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceNezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.
Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška
VíceMatematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
Více23. Matematická statistika
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 23. Matematická statistika Statistika je věda, která se snaží zkoumat reálná data a s pomocí teorii pravděpodobnosti
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceMomenty setrvačnosti a deviační momenty
Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VícePožadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků
Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceSemestrální projekt. Vyhodnocení přesnosti sebelokalizace VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Semestrální projekt Vyhodnocení přesnosti sebelokalizace Vedoucí práce: Ing. Tomáš Jílek Vypracovali: Michaela Homzová,
VíceV roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:
Příklad 1 V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Skupina Počet ženichů Počet nevěst 15-19 let 11 30 20-24 let 166 272 25-29 let 191
VíceCvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky
VícePopisná statistika kvantitativní veličiny
StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceRenáta Bednárová STATISTIKA PRO EKONOMY
Renáta Bednárová STATISTIKA PRO EKONOMY ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ POJMY Statistika Statistický soubor Statistická jednotky Statistický znak STATISTIKA Vědní obor, který se zabývá hromadnými jevy Hromadné jevy
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceCVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec
VíceKolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
Více