Vybraný matematický aparát pro modelování fyzikálních polí
|
|
- Václav Beránek
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Vybraný matematický aparát pro modelování fyzikálních polí Milan Hokr Technická univerzita v Liberci Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií 19. ledna 2009 Obsah 1 Úvod do modelování 3 2 Matematický aparát pro popis pole Vektorová algebra Vektorová analýza Využití analogií potenciálového pole 6 4 Formulace a řešitelnost okrajových úloh Klasifikace rovnic Klasifikace a význam okrajových podmínek Podmínky existence a jednoznačnosti řešení okrajových úloh Literatura a odkazy 11 1
2 Předmluva Tento text je ve stádiu vytváření a měl by se v budoucnu stát učebním textem pro studenty doktorského studia na FM, rozšiřující teoretický základ a poskytující širší rozhled o souvislostech mezi různými obory studia a různými oblastmi aplikace modelování a numerických simulací. Práce je podpořena projektem GAČR 102/08/H081. 2
3 1 Úvod do modelování Termínem model v širším smyslu označujeme reprezentaci reality, která se snaží zachovat vybrané vlastnosti (tj. jen některé, které jsou v danou chvíli důležité). Modelem tedy je např. zmenšenina nějakého stroje či stavby, jakož i matematická rovnice popisující určitý děj. Termínem modelování v našem kontextu (v užším smyslu) budeme rozumět výpočet fyzikálních vlastností reálných objektů a probíhajících dějů, na základě vhodně zjednodušeného popisu jak zkoumaných objektů, tak příslušných fyzikálních principů (i obecně známé rovnice difuze, vedení tepla, elektromagnetismu jsou jen přiblížením reality, mimo jiné už z důvodu reprezentace hmoty jako kontinua). Hledané i zadané veličiny pak chápeme jako funkce u(x, y, z, t), tj. pole rozložení veličiny v prostoru, případně i čase (podle toho rozlišujeme stacionární nebo nestacionární procesy). Zkoumané jevy jsou pak typicky popsány a řízeny parciálními diferenciálními rovnicemi. Obecné přesné řešení takové úlohy ve formě tzv. analytického řešení (tj. nalezením explicitního zápisu hledané funkce u(x, y, z, t) matematickým vzorcem) je však možné nalézt jen v hodně speciálních případech, např. pravidelné geometrie tělesa (čtverec, kruh) a homogenního materiálu. V současnosti nejběžnější a obecně uznávaný postup je tzv. numerické řešení, tedy řešení přibližné, které spočívá v tom, že původní nekonečněrozměrná úloha je nahrazena konečněrozměrnou úlohou (tzv. diskretizace), kterou je již možné vyřešit přesně (v praxi je obvykle i tato úloha řešena přibližně, ale to v tomto kontextu není podstatné). 3
4 2 Matematický aparát pro popis pole 2.1 Vektorová algebra Na úvod připomeneme ve zjednodušené formě definice nejběžnějších typů fuzikálních veličin Skalár veličina určená svou velikostí, tj. jedním číslem (např. teplota, energie, délka) Skalární pole funkce která každému bodu oblasti (podmnožiny roviny nebo prostoru) přiřazuje hodnotu skaláru Vektor veličina určená svou velikostí, směrem a smyslem v prostoru, tj. ve zvoleném souřadném systému popsána dvěmi složkami v rovině a třemi v prostoru (např. síla, rychlost, magnetická indukce) Vektorové pole funkce která každému bodu oblasti (podmnožiny roviny nebo prostoru) přiřazuje hodnotu vektoru Tenzor veličina dále zobecňující pojem vektoru (přesnou definici neuvádíme), nejběžnější tenzor druhého řádu je v prostoru vyjádřen devíti složkami s definovanými transformačními vztahy, ve smyslu definice je skalár tenzorem nultého řádu a vektro tenzorem prvního řádu Tenzorové pole funkce která každému bodu oblasti přiřazuje hodnotu tenzoru Operace (doplnit) Vyjádření ve složkách Vlastnosti komutativnost, asociativnost, distributivnost sčítání a násobení skalárem Velikost vektoru Skalární součin + geometrický význam Vektorový součin + geometrický význam 2.2 Vektorová analýza Operátor nabla : Laplaceův operátor = ( x, y, z ) = i x + j y + k z = = 2 x y z 2 4
5 Tok vektoru orientovanou plochou S AdS. Slovo tok má obecnější význam, operace může znamenat jak skutečný tok (např. u proudění kapaliny popsaného polem rychlosti bude výsledkem operace průtok vyjádřený jako objem za jednotku času) ale i méně názorné případy (doplnit příklad) Křivkový integrál po orientované křivce c Adl. Příklad: práce síly na pohybující částici. Gradient udává maximální směrovou derivaci skalárního pole v daném bodě: gradϕ = ϕ = ( ϕ x, ϕ y, ϕ z ) Divergence vyjadřuje objemovou hustotu zdroje (zřídla) vektorového pole: diva = A = Ax x + Ay y + Az z Rotace vyjadřuje vírovost vektorového pole rota = A Potenciání (konzervativní, nevírové) pole... 3 ekvivaletní vyjádření: je gradientem, nulová rotace, křivkový integrál závisí jen na koncových bodech Nezřídlové pole ekvivalentně lze vyjádřit podmínkou diva = 0 nebo A = rotb (B je pak tzv. Vektorový potenciál ) Vybrané vzorce Integrální věty Gaussova-Ostrogradského, Stokesova 5
6 vedení tepla elektrostatické elektrický proud difuze pole u teplota [K] el. potenciál [V] napětí[v] koncentrace [kg/m 3 ] K tepelná vodivost permitivita [F/m] 1/resistivita [Ωm] difuzní koef. [W/m/K] [m 2 /s] q tepelný tok elektrická indukce hustota proudu hmotnostní tok [W/m 2 ] [C/m 2 ] [A/m 2 ] [kg/m 2 /s] u intenzita el. pole [V/m] f zdroje tepla hustota náboje zdroje látky [W/m 3 ] [C/m 3 ] [kg/m 3 /s] rozměr rovnice Tabulka 1: Veličiny potenciálového pole pro jednotlivé konkrétní fyzikální jevy. 3 Využití analogií potenciálového pole Potenciálové pole je jedním ze základních popisů mnoha fyzikálních jevů a vyjadřuje jejich vzájemné analogie. Rovnice potenciálového pole je též vhodným příkladem pro demonstraci použití numerických metod pro řešení fyzikálních úloh ve spojitém prostředí, např. úloh vedení tepla, vedení elektrického proudu, elektrostatiky, difuze, a částečně též úloh pružnosti a magnetostatiky. Potenciálové pole je popsáno systémem parciálních diferenciálních rovnic q = f q = K u (1) kde u je potenciál, q je rychlost toku, f je hustota zdrojů a K je koeficient úměrnosti (vlastnost prostředí). První rovnice vyjadřuje bilanci veličiny (lokální rozdíly toků jsou v rovnováze se zdroji), druhá rovnice vyjadřuje fakt, že tok je úměrný gradientu potenciálu (odtud termín potenciál. Zatímco první vztah (bilance) je obvykle fundamentálním zákonem fyziky (zákon zachování hmoty, hybnosti, energie), druhý vztah je obecně jen přibližný, jde o empirickou závislost, vlastnost materiálu, přesně platí jen pro dokonalé materiály (např. v případě elektrostatického pole ve vakuu). V závislosti na typu úlohy a materiálu může být konstanta úměrnosti buď skalár (izotropní materiál) nebo tenzor (anizotropní materiál) - v tom případě nemusí být vektor gradientu a vektor toku rovnoběžné. V tabulce 1 jsou uvedeny konkrétní interpretace vztahů pro jmenované fyzikální úlohy (názvy veličin, rozměr) - analogie mezi jednotlivými veličinami je výhodnou pomůckou při formulaci úloh, volbě okrajových podmínek a kontrole konzistentnosti dalších vstupních dat (např. fyzikální rozměr). Do uvedené sady analogií potenciálového pole zapadají i rovnice pružnosti, tj. úloha určení deformace a napjatosti těles při daném upevnění a zatížení. Rovnice elesticity (doplnit...) jsou sice mnohem složitější, ale uvedená analogie je založena právě na tom, že veličiny hrají v rovnicích podobnou roli, např. v tom smyslu že jedna je derivací druhé apod. a podobnou strukturu jako kombinace bilančního vztahu (rovnice rovnováhy sil) a konstitutivního vztahu typu 6
7 potenciálové proudění pružnost u skalár pole posunutí vektor K skalár/tenzor 2.ř. modul pružnosti tenzor 4.ř. q vektor t. napětí tenzor 2.ř. u vektor t. deformace tenzor 2.ř. f skalár objemové síly vektor Tabulka 2: Tabulka vyjadřující analogii mezi veličinami obecného modelu potenciálového pole a veličinami teorie pružnosti. úměrnost. Základní rozdíl od něhož se vše odvíjí je ten, že na místě skalárů vystupují vektory a na místě vektorů tenzory (tabulka 2). Další méně přímá ale užitečná analogie je pro dvourozměrné (rovinné) úlohy magnetostatiky: při zavedení vektorového potenciálu (viz definice nezřídlového pole) mají rovnice stejnou strukturu, jen místo gradientu a divergence vystupují operace rotace. Rovnice, konkrétní příklad, a interpretace veličin budou doplněny. Doplnit: obdobně vyjádřené analogie u okrajových podmínek (budou netriviální případy u elektromagnetismu) 7
8 4 Formulace a řešitelnost okrajových úloh 4.1 Klasifikace rovnic Rovnice potenciálního proudění (a rovnice elasticity) jsou případem eliptických parciálních diferenciálních rovnic 2.řádu. Obecně dělíme parciální rovnice druhého řádu do tří typů, z nichž všechny mají konkrétní fyzikální aplikace. eliptická parabolická hyperbolická 2 u x u y 2 = f (2) u t + 2 u x 2 = f (3) 2 u t 2 2 u x 2 = f (4) uvedené jsou jen speciální jednoduché tvary, ale zaklasifikovat do jednoho z typů lze každou lineární PDE 2.řádu (např. se smíšenými derivacemi a prvními derivacemi). Eliptické rovnice vyjadřují stacionární fyzikální jevy, parabolické rovnice nestacionární jevy nevratné (difuze, vedení tepla) a hyperbolické rovnice vlnění (tj. dynamické varianty úloh elektromagnetizmu a elasticity) nebo transport (advekce). Zařazení rovnic v rámci této klasifikace má význam pro správnou formulaci okrajových (a počátečních) podmínek a umožňuje dále využít analogie a vzájemné souvislosti. 4.2 Klasifikace a význam okrajových podmínek Je známo, že úlohy popsané diferenciálními rovnicemi (obyčejnými i parciálními) se skládají jednak z příslušné rovnice, jednak z dodatečných podmínek, podle kontextu nazvaných okrajové nebo počáteční. Z přirozenosti věci plyne, že při zkoumání jevů v systému se neobejdeme bez specifikace interakce systému s okolím - v našem případě diferenciální rovnice popisuje fyzikální podstatu a okrajová podmínka interakci s okolím. Pro eliptické rovnice 2.řádu rozlišujeme tyto tři typy okrajových podmínek: 1. 1.druhu (Dirichletova) předepsaná hodnota potenciálu (tj. teploty, el. napětí, posunutí) u = u D (6) 2. 2.druhu (Neumannova) předepsaná hodnota toku (tj. tepelného toku, hustoty el. proudu, mechanického napětí síly) (5) (K u) n = q N (7) 3. 3.druhu (Cauchyova, Newtonova) kombinace potenciálu a toku (K u) n + λu = q 3 (8) 8
9 Podmínku 3.druhu je nejpřirozenější chápat jako závislost toku přes hranici na rozdílu hodnoty potenciálu uvnitř (neznámá) a vně (referenční zadaná hodnota). Vztah lze ekvivalentně zapsat (K u) n = λ(u u 3 ) q 3 = λu 3 (9) což je obvyklá forma pro zadání parametrů ve výpočetních softwarech. Pro hodnoty λ 0 se podmínka transformuje na 2.typ, pro hodnoty λ se podmínka transformuje na první typ. Podmínku lze s výhodou užít tam, kde bychom předepsali podmínku prvního typu, ale jakoby ve smyslu doporučení místo nařízení (příkazu) a hodnota λ vyjadřuje míru přísnosti. V úlohách vedení tepla popisuje podmínka 3.druhu přestup tepla (tepelný tok je úměrný rozdílu teploty povrchu tělesa a okolí zahrnuje v sobě jevy v tenké přípovrchové vrstvě), v úlohách mechaniky popisuje pružné uložení. 4.3 Podmínky existence a jednoznačnosti řešení okrajových úloh Při konstrukci nějakého modelu v podobě okrajové úlohy pro diferenciální rovnici má smysl se ptát, zda takto zadaná úloha vůbec má nějaké řešení a zda toto řešení je jednoznačné, tj. zda nemůže existovat více různých řešení. Přirozená intuice nám sice říká, že když modelujeme nějaký reálný systém, tak ten přece existuje a má určité vlastnosti a ne jiné a to je tedy ono jednoznačné řešení naší úlohy. Problém je v tom, že na papíře nebo v počítači řešíme úlohu, která je jen modelem reality a takto zjednodušená úloha již nemusí mít všechny potřebné vlastnosti původního reálného systému (možná jsme zanedbali nějakou vlastnost, která je ve skutečnosti pro probíhající děje, tedy pro existenci správného řešení, klíčová). Z pohledu přesné matematické formulace je problematika existence a jednoznačnosti řešení docela složitá. Zde zmíníme jen hlavní aspekty, důležité při zadávání úloh do výpočetního software. Například přesné splnění diferenciálních rovnic a okrajových podmínek vyžaduje hodně přísné podmínky na spojitost neznámých funkcí (pole počítané veličiny), parametrů (rozložení materiálových vlastností) a tvaru oblasti, které reálně ani nemohou být splněny (těleso má rohy a hrany, na sebe navazují dva různé materiály apod.), a nelze je tedy požadovat při zadávání úloh do výpočetních programů. Některé matematické podmínky tedy nejsou tak podstatné pro získání rozumného řešení pomocí modelovacího software, některé však je nutno dodržet, nebo alespoň vědět, jaké případné závady v řešení při jejich nedodržení hrozí. Základní pravidlo pro jednoznačné řešení: u eliptické rovnice 2. řádu (tj. modely stacionárního vedení tepla, elektrostatiky, elasticity, atd.) musí být alespoň na jedné části hranice předepsána okrajová podmínka prvního nebo třetího druhu (tj. nelze formulovat úlohu jen s podmínkami druhého druhu). U úlohy s předepsanou podmínkou 2.druhu nastávají dva případy: 9
10 Zadané toky dovnitř a ven z oblasti jsou v rovnováze se zdroji, tj. Γ q N ds f = 0, potom má úloha nekonečně mnoho řešení, které Ω se navzájem liší o aditivní konstantu (v úloze jsme všude zadali jen derivace, takže po přičtení konstanty zůstávají hodnoty všech derivací stejné). Hodnoty potenciálu tedy nejsou jednoznačně určeny, ale hodnoty toku (derivace) již jednoznačně určeny jsou. Zadané toky dovnitř a ven z oblasti nejsou v rovnováze se zdroji, tj. Γ q N ds f 0, potom úloha nemá žádné řešení a nemá ani rozumný Ω fyzikální smysl (takové zadání nemohlo vzniknout přílišným zjednodušením reality, ale spíše zcela chybnou úvahou). Úlohy s předepsanou podmínkou 2.druhu splňující podmínku rovnováhy toků (podmínka kompatibility) tedy svůj význam mít mohou: např. známe celkový tok, zajímá nás jeho rozložení v prostoru, a přitom nás nezajímají hodnoty potenciálu. To jak na takové zadání reaguje použitý software je různé: buď ohlásí, že je zadáno málo okrajových podmínek (nedourčená úloha) a odmítne výpočet provést nebo v tichosti spočítá výsledek s tím, že si automaticky použil nějakou předdefinovanou hodnotu potenciálu. Každopádně je však lepší mít jistotu co počítáme a tuto hodnotu si raději zvolit sami tj. předepsat okrajovou podmínku 1. druhu v jednom zvoleném referenčním bodě. V úlohách mechaniky (pružnosti) odpovídá splnění uvedených podmínek tomu, že těleso je ve statické rovnováze (nemůže se vlivem zadaných sil začít pohybovat). 10
11 5 Literatura a odkazy Tera Analysis Ltd.: QuickField Finite Element Analysis System, User s Guide, 2006, Kvasnica J.: Matematický aparát fyziky, Academia Mauch Sean: Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, online book, sean/book/unabridged.html (stav leden 2009) 11
Obsah PŘEDMLUVA 11 ÚVOD 13 1 Základní pojmy a zákony teorie elektromagnetického pole 23
Obsah PŘEDMLUVA... 11 ÚVOD... 13 0.1. Jak teoreticky řešíme elektrotechnické projekty...13 0.2. Dvojí význam pojmu pole...16 0.3. Elektromagnetické pole a technické projekty...20 1. Základní pojmy a zákony
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
VíceVEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
VíceMechanika s Inventorem
Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah přednášky: Lagrangeův
VíceMechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin
Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování
VícePočítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice. - laminární tok -
Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice - laminární tok - Základní pojmy 2 Tekutina nemá vlastní tvar působením nepatrných tečných sil se částice tekutiny snadno uvedou do pohybu (výjimka některé
VíceRozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.
Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí
VíceMetoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)
Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.
VíceVýpočtové nadstavby pro CAD
Výpočtové nadstavby pro CAD 4. přednáška eplotní úlohy v MKP Michal Vaverka, Martin Vrbka Přenos tepla Př: Uvažujme pro jednoduchost spalovací motor chlazený vzduchem. Spalováním vzniká teplo, které se
VíceNelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP Obsah přednášky Lineární a nelineární úlohy Typy nelinearit (geometrická, materiálová, kontakt,..) Příklady nelineárních problémů Teorie kontaktu,
VíceOTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6
OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 18 Vektorová analýza a teorie pole Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 18 Vektorová funkce jedné
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceParciální diferenciální rovnice
Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s
VíceTERMIKA II. Stacionární vedení s dokonalou i nedokonalou izolací; Obecná rovnice vedení tepla; Přestup a prostup tepla;
TERMIKA II Šíření tepla vedením, prouděním a zářením; Stacionární vedení s dokonalou i nedokonalou izolací; Nestacionární vedení tepla; Obecná rovnice vedení tepla; Přestup a prostup tepla; 1 Šíření tepla
VícePotenciální proudění
Hydromechanické procesy Potenciální proudění + plíživé obtékání koule M. Jahoda Proudění tekutiny Pohyby elementu tekutiny 2 čas t čas t + dt obecný pohyb posunutí lineární deformace rotace úhlová deformace
VíceMatematika pro chemické inženýry
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní
VíceDynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině.
Dynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině. Přehled proudění Vazkost - nevazké - vazké (newtonské, nenewtonské) Stlačitelnost - nestlačitelné (kapaliny
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceNetradiční výklad tradičních témat
Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi
VíceÚvod do analytické mechaniky
Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.
VíceELT1 - Přednáška č. 6
ELT1 - Přednáška č. 6 Elektrotechnická terminologie a odborné výrazy, měřicí jednotky a činitelé, které je ovlivňují. Rozdíl potenciálů, elektromotorická síla, napětí, el. napětí, proud, odpor, vodivost,
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
Více14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta
14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n
VíceNumerické metody. Numerické modelování v aplikované geologii. David Mašín. Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky
Numerické modelování v aplikované geologii David Mašín Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Přírodovědecká fakulta Karlova Univerzita v Praze Přednášky pro obor Geotechnologie David
VíceMatematické modely a způsoby jejich řešení. Kateřina Růžičková
Matematické modely a způsoby jejich řešení Kateřina Růžičková Rovnice matematické fyziky Přednáška převzata od Doc. Rapanta Parciální diferencíální rovnice Diferencialní rovnice obsahujcí parcialní derivace
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VícePočítačová dynamika tekutin (CFD) Řešení rovnic. - metoda konečných objemů -
Počítačová dynamika tekutin (CFD) Řešení rovnic - metoda konečných objemů - Rozdělení parciálních diferenciálních rovnic 2 Obecná parciální diferenciální rovnice se dvěma nezávislými proměnnými x a y:
VíceOkruhy, pojmy a průvodce přípravou na semestrální zkoušku v otázkách. Mechanika
1 Fyzika 1, bakaláři AFY1 BFY1 KFY1 ZS 08/09 Okruhy, pojmy a průvodce přípravou na semestrální zkoušku v otázkách Mechanika Při studiu části mechanika se zaměřte na zvládnutí následujících pojmů: Kartézská
VícePružnost a plasticita II CD03
Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah
VíceMatematika 2 (2016/2017)
Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VícePOŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
VíceU Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
VíceElektřina a magnetismus UF/01100. Základy elektřiny a magnetismu UF/PA112
Elektřina a magnetismus UF/01100 Rozsah: 4/2 Forma výuky: přednáška Zakončení: zkouška Kreditů: 9 Dop. ročník: 1 Dop. semestr: letní Základy elektřiny a magnetismu UF/PA112 Rozsah: 3/2 Forma výuky: přednáška
VíceAproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy
Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1.
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceMATEMATIKA V MEDICÍNĚ
MATEMATIKA V MEDICÍNĚ Tomáš Oberhuber Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Matematika pro život TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Vícekteré charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.
1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh.
VícePružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14
Pružnost a pevnost zimní semestr 2013/14 Organizace předmětu Přednášející: Prof. Milan Jirásek, B322 Konzultace: pondělí 10:00-10:45 nebo dle dohody E-mail: Milan.Jirasek@fsv.cvut.cz Webové stránky předmětu:
VícePodle povahy dělíme obvykle fyzikální veličiny do tří skupin, na extenzivní, intenzivní a protenzivní veličiny.
Extenzivní, intenzivní a protenzivní veličiny Skalární, vektorové a tenzorové veličiny Extenzivní, intenzivní a protenzivní veličiny Podle povahy dělíme obvykle fyzikální veličiny do tří skupin, na extenzivní,
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VícePřednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012
Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012 Robert Mařík 23. ledna 2015 2 Obsah 1 Přednášky 2012 5 2 Písemky 2012 9 3 4 OBSAH Kapitola 1 Přednášky 2012 1. prednaska, 16.2.2012 -----------------------
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
VíceTvorba výpočtového modelu MKP
Tvorba výpočtového modelu MKP Jaroslav Beran (KTS) Modelování a simulace Tvorba výpočtového modelu s využitím MKP zahrnuje: Tvorbu (import) geometrického modelu Generování sítě konečných prvků Definování
VíceINOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ
INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ CZ.1.07/1.1.00/08.0010 NUMERICKÉ SIMULACE ING. KATEŘINA
VíceD - Přehled předmětů studijního plánu
D - Přehled předmětů studijního plánu Vysoká škola: Součást vysoké školy: Název studijního programu: Název studijního oboru: Slezská univerzita v Opavě Matematický ústav v Opavě Matematika Obecná matematika
VíceAnalýza napjatosti PLASTICITA
Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném
VíceCAD/CAE. Fyzikální model. (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely)
CAD/CAE ÚNOD: Jan Tippner, Václav Sebera, Miroslav Trcala, Eva Troppová. Fyzikální model (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely) Podpořeno projektem Průřezová inovace
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
Více3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky
3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -
VíceMatematika I. dvouletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy
VíceVáclav Uruba home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF
Václav Uruba uruba@fst.zcu.cz home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF 13.10.2014 Mechanika tekutin 1/13 1 Mechanika tekutin - přednášky 1. Úvod, pojmy,
Více1 Vedení tepla stacionární úloha
1 VEDENÍ TEPLA STACIONÁRNÍ ÚLOHA 1 1 Vedení tepla stacionární úloha Typický představitel transportních jevů Obdobným způsobem možno řešit například Fyzikální jev Neznámá Difuze koncentrace [3] Deformace
Více21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
VícePřehled látky probírané v předmětu Elektřina a magnetismus
Přehled látky probírané v předmětu Elektřina a magnetismus 1 Matematický aparát 1.1 Skalární a vektorová pole Skalární pole, hladina skalárního pole, vektorové pole, siločára, stacionární a nestacionární
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
VíceFyzika, maturitní okruhy (profilová část), školní rok 2014/2015 Gymnázium INTEGRA BRNO
1. Jednotky a veličiny soustava SI odvozené jednotky násobky a díly jednotek skalární a vektorové fyzikální veličiny rozměrová analýza 2. Kinematika hmotného bodu základní pojmy kinematiky hmotného bodu
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
VíceZS: 2018/2019 NMAF063 F/3 Josef MÁLEK. Matematika pro fyziky III
ZS: 2018/2019 NMAF063 F/3 Josef MÁLEK Matematika pro fyziky III OBECNÉ INFORMACE A SYLABUS Přednášející: Cvičící: Josef Málek Tomáš Los, Michal Pavelka, Michal Pavelka, Vít Průša Termíny přednášek: čtvrtek
Více1 Zatížení konstrukcí teplotou
1 ZATÍŽENÍ KONSTRUKCÍ TEPLOTOU 1 1 Zatížení konstrukcí teplotou Časově proměnné nepřímé zatížení Klimatické vlivy, zatížení stavebních konstrukcí požárem Účinky zatížení plynou z rozšířeného Hookeova zákona
Více4. Napjatost v bodě tělesa
p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.
VíceCAD/CAE. Fyzikální model. (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely)
CAD/CAE ÚNOD: Jan Tippner, Václav Sebera, Miroslav Trcala, Eva Troppová. Fyzikální model (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely) Podpořeno projektem Průřezová inovace
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška
ANALÝZA KONSTRUKCÍ 5. přednáška Nosné stěny rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti: Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(,y), v(,y) Výchozí rovnice: statické Silovou metodou Primární neznámá:
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceModelování zdravotně významných částic v ovzduší v podmínkách městské zástavby
Modelování zdravotně významných částic v ovzduší v podmínkách městské zástavby Jiří Pospíšil, Miroslav Jícha pospisil.j@fme.vutbr.cz Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Energetický
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
Více1. Úvod do pružnosti a pevnosti
1. Úvod do pružnosti a pevnosti Mechanika je nejstarší vědní obor a její nedílnou součástí je nauka o pružnosti a pevnosti. Pružností nazýváme schopnost pevných těles získat po odstranění vnějších účinků
VíceTERMOFYZIKÁLNÍ VLASTNOSTI. Radek Vašíček
TERMOFYZIKÁLNÍ VLASTNOSTI Radek Vašíček Základní termofyzikální vlastnosti Tepelná konduktivita l (součinitel tepelné vodivosti) vyjadřuje schopnost dané látky vést teplo jde o množství tepla, které v
VícePropojení matematiky, fyziky a počítačů
Propojení matematiky, fyziky a počítačů Název projektu: Věda pro život, život pro vědu Registrační číslo: CZ..7/.3./45.9 V Ústí n. L., únor 5 Ing. Radek Honzátko, Ph.D. Propojení matematiky, fyziky a počítačů
VíceU218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze
Seminář z PHTH 3. ročník Fakulta strojní ČVUT v Praze U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky 1 Přenos tepla 2 Mechanismy přenosu tepla Vedení (kondukce) Fourierův zákon homogenní izotropní prostředí
VíceZákladní vlastnosti ploch
plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie
VíceZáklady tvorby výpočtového modelu
Základy tvorby výpočtového modelu Zpracoval: Jaroslav Beran Pracoviště: Technická univerzita v Liberci katedra textilních a jednoúčelových strojů Tento materiál vznikl jako součást projektu In-TECH 2,
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMartin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017
Martin NESLÁDEK Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague 14. listopadu 2017 1 / 22 Poznámky k úlohám řešeným MKP Na přesnost simulace pomocí MKP a prostorové rozlišení výsledků má vliv především:
VíceŠíření tepla. Obecnéprincipy
Šíření tepla Obecnéprincipy Šíření tepla Obecně: Šíření tepla je výměna tepelné energie v tělese nebo mezi tělesy, která nastává při rozdílu teplot. Těleso s vyšší teplotou má větší tepelnou energii. Šíření
VíceKatedra geotechniky a podzemního stavitelství
Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda okrajových prvků (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního
VíceMATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011
MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);
VíceELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA
ELEKTRICKÝ PROD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA 1 ELEKTRICKÝ PROD Jevem Elektrický proud nazveme usměrněný pohyb elektrických nábojů. Např.:- proud vodivostních elektronů v kovech - pohyb nabitých
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceBIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY
BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky
Matematika III Základy vektorové analýzy Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Skalární a vektorový součin Skalární součin Vektorový součin
VíceGenerování sítě konečných prvků
Generování sítě konečných prvků Jaroslav Beran Modelování a simulace Tvorba výpočtového modelu s využitím MKP zahrnuje: Tvorbu (import) geometrického modelu Generování sítě konečných prvků Definování vlastností
VíceMFT - Matamatika a fyzika pro techniky
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů
VíceMomenty setrvačnosti a deviační momenty
Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují
VíceNelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy
VíceDvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace
Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17 Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace
Více