ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Ampérův zákon

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Ampérův zákon Peter Dourmashkin MIT 26, překla: Jan Pacák (27) Obsah 5 AMPÉRŮV ZÁKON 3 51 ÚKOLY 3 52 ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ 3 ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ PLÁŠŤ 3 OTÁZKA 1: PROUD TEKOUCÍ UZAVŘENOU SMYČKOU 4 OTÁZKA 2: PLOCHA VODIČE V UZAVŘENÉ SMYČCE 4 OTÁZKA 3: OKRAJOVÉ HODNOTY 4 OTÁZKA 4: KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 4 OTÁZKA 5: AMPÉRŮV ZÁKON 4 OTÁZKA 6: VNITŘNÍ OBLAST VODIČE 4 OTÁZKA 7: VNĚJŠÍ OBLAST VODIČE 4 OTÁZKA 8: PRŮBĚH MAGNETICKÉ INDUKCE 4 ŘEŠENÍ ÚLOHY 1: VÁLCOVÝ PLÁŠŤ 4 OTÁZKA 1: PROUD TEKOUCÍ UZAVŘENOU SMYČKOU 4 OTÁZKA 2: PLOCHA VODIČE V UZAVŘENÉ SMYČCE 5 OTÁZKA 3: OKRAJOVÉ HODNOTY 5 OTÁZKA 4: KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 5 OTÁZKA 5: AMPÉRŮV ZÁKON 5 OTÁZKA 6: VNITŘNÍ OBLAST VODIČE 5 OTÁZKA 7: VNĚJŠÍ OBLAST VODIČE 5 OTÁZKA 8: PRŮBĚH MAGNETICKÉ INDUKCE 5

ÚLOHA 2: DESKA 6 OTÁZKA 1: POLE VE STŘEDU DESKY 6 OTÁZKA 2: UZAVŘENÁ SMYČKA 6 OTÁZKA 3: PROUD V UZAVŘENÉ SMYČCE 6 OTÁZKA 4: KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 6 OTÁZKA 5: MAGNETICKÉ POLE NAD DESKOU 6 OTÁZKA 6: UZAVŘENÁ SMYČKA 6 OTÁZKA 7: PROUD V UZAVŘENÉ SMYČCE 6 OTÁZKA 8: KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 6 OTÁZKA 9: MAGNETICKÉ POLE V DESCE 6 OTÁZKA 1: GRAF 7 ŘEŠENÍ ÚLOHY 2: DESKA 7 OTÁZKA 1: POLE VE STŘEDU DESKY 7 OTÁZKA 2: UZAVŘENÁ SMYČKA 7 OTÁZKA 3: PROUD V UZAVŘENÉ SMYČCE 7 OTÁZKA 4: KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 7 OTÁZKA 5: MAGNETICKÉ POLE NAD DESKOU 7 OTÁZKA 6: UZAVŘENÁ SMYČKA 7 OTÁZKA 7: PROUD V UZAVŘENÉ SMYČCE 8 OTÁZKA 8: KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 8 OTÁZKA 9: MAGNETICKÉ POLE V DESCE 8 OTÁZKA 1: GRAF 8 ÚLOHA 3: KOAXIÁLNÍ VODIČ 8 ŘEŠENÍ ÚLOHY 3: KOAXIÁLNÍ VODIČ 9 2

5 Ampérův zákon 51 Úkoly (a) Využití Ampérova zákona pro počítání magnetické inukce v prostoru symetricky rozložených prouů (b) Výpočet magnetické inukce pro prou tekoucí pláštěm válce o vnitřním průměru a a vnějším průměru b (c) Výpočet magnetické inukce pro prou tekoucí eskou 52 Algoritmus pro řešení problémů Ampérův zákon postuluje, že integrál B s po uzavřené křivce je přímo úměrný celkovému prouu, který touto křivkou protéká B s= µ I Pro výpočet magnetické inukce Ampérovým zákonem použijte násleující postup: 1 Ientifikace symetrií v rozložení prouů 2 Určení směru magnetického pole 3 Určení počtu oblastí, které bueme zvlášť vyšetřovat Ampérovým zákonem Pro kažou takovou oblast: 4 Zvolte uzavřenou smyčku, na které je inukce konstantní nebo nulová 5 Spočítejte prouy tekoucí uvnitř smyčky 6 Spočítejte křivkový integrál B s 7 Dejte o rovnosti integrál B s s prouem µ I a vyjářete B Úloha 1: Válcový plášť Uveený postup použijeme pro násleující úlohu Mějme utý měěný válcový voič o poloměru b, ke utinu tvoří souosý válec o poloměru a< b Prou I je rovnoměrně rozložen v měěném průřezu (tečkovaná oblast), teče směrem pře nárysnu Spočítejte magnetickou inukci v oblasti a< r < b Pro řešení použijeme postup popsaný výše: Jaká je symetrie problému? Válcová (v řezu kruhová) Jaký je směr magnetické inukce? Po nebo proti směru chou hoinových ručiček, azimutální Jaký je počet oblastí? Tři: r < a, a< r < b, r > b Zakreslete smyčku, na které je inukce konstantní Viz obrázek vpravo 3

V alším kroku bychom měli spočítat prou uzavřený ve zvolené smyčce Protože je prouová hustota ve voiči konstantní, k výsleku veou vě cesty Můžeme vzít stejný íl prouu, jako íl voiče uzavřený ve smyčce ku celkovému povrchu voiče, nebo můžeme spočítat plošnou prouovou hustotu voiče a vynásobit ji ve smyčce uzavřenou plochou Pro srovnání byste měli ve výpočtu použít obě metoy Otázka 1: Prou tekoucí uzavřenou smyčkou Jaká je honota plošné hustoty prouu J v oblasti a< r < b? Přepokláejte, že prou je homogenně rozprostřen v průřezu celého voiče a< r < b Plošná prouová hustota je efinována jako prou protékající jenotkovou plochou Poku znáte prouovou hustotu, spočítejte celkový prou tekoucí uzavřenou smyčkou o poloměru r Otázka 2: Plocha voiče v uzavřené smyčce Spočítejte poíl uzavřené části voiče na celkové ploše voiče Spočítejte prou tekoucí uzavřenou smyčkou o poloměru r Otázka 3: Okrajové honoty Prou v uzavřené smyčce by měl být nulový pro r = a a měl by mít honotu I pro r = b (proč?) Splňuje Váš vztah tyto pomínky? Otázka 4: Křivkový integrál Spočítejte křivkový integrál B s Otázka 5: Ampérův zákon Dejte o rovnosti výsleky získané v přechozích boech a spočítejte honotu magnetické inukce Otázka 6: Vnitřní oblast voiče Spočítejte magnetickou inukci pro oblast r Otázka 7: Vnější oblast voiče Spočítejte magnetickou inukci pro oblast r < a > b Otázka 8: Průběh magnetické inukce Zakreslete B v závislosti na r Řešení úlohy 1: Válcový plášť Otázka 1: Prou tekoucí uzavřenou smyčkou I I J = = A π b a ( ), Iuz = JAuz = r a = I π ( ) ( ) I r a π π b a b a 4

Otázka 2: Plocha voiče v uzavřené smyčce Otázka 3: Okrajové honoty n I π ( r a ) ( b a ) uz =, π = b a r a uz I Výše uveené vztahy pomínky splňují Smyčkou neprotéká žáný prou, poku r = a, naopak poku r = b, tak smyčkou protéká prou všechen, tey I uz = I Otázka 4: Křivkový integrál ( π ) B s = B 2 r Otázka 5: Ampérův zákon r a µ I r a B s = B( 2 π r) = µ Iuz = µ I B = 2 r b a π b a Směr inukce magnetického pole je proti směru chou hoinových ručiček Otázka 6: Vnitřní oblast voiče V oblasti r < a je I uz = a tey i pole B = Otázka 7: Vnější oblast voiče V oblasti r > b je I uz = I a tey µ I B( 2 π r) = µ I B= 2πr Směr inukce magnetického pole je i ze proti směru chou hoinových ručiček Otázka 8: Průběh magnetické inukce 5

Úloha 2: Deska Využijte Ampérův zákon a spočítejte inukci magnetického pole B vytvořeného eskou, kterou y teče prou o hustotě J = 2J z, ˆ ke jenotka konstanty J je [A/m 2 ] Deska je nekonečně louhá a široká v rovině xz, její tloušťka v ose y je Otázka 1: Pole ve střeu esky Jaká je honota magnetické inukce ve střeu esky pro y =? Otázka 2: Uzavřená smyčka Jakou zvolíte uzavřenou smyčku pro y > /2? Zakreslete ji o obrázku nahoře, na náčrtku vyznačte její rozměry Otázka 3: Prou v uzavřené smyčce V alším kroku potřebujeme znát prou, který prochází zvolenou uzavřenou smyčkou Nápověa: prou, který je uzavřený ve smyčce je roven ploše vynásobené příslušnou prouovou hustotou Otázka 4: Křivkový integrál Spočítejte křivkový integrál B s pro y > /2 Otázka 5: Magnetické pole na eskou Z honot spočítaných v přechozích otázkách osaďte o Ampérova zákona a spočítejte B pro y > /2 Otázka 6: Uzavřená smyčka Jakou zvolíte uzavřenou smyčku pro < y< / 2? Zakreslete ji o obrázku nahoře, na náčrtku vyznačte její rozměry Otázka 7: Prou v uzavřené smyčce Nyní spočítejte prou, který prochází zvolenou uzavřenou smyčkou z 6 otázky Otázka 8: Křivkový integrál Spočítejte křivkový integrál B s pro < y< /2 Otázka 9: Magnetické pole v esce Z honot spočítaných v přechozích otázkách osaďte o Ampérova zákona a spočítejte B pro < y< /2 6

Otázka 1: Graf Zakreslete B x v závislosti na y Využijte symetrie úlohy a oplňte graf i pro y < Označte osy Řešení úlohy 2: Deska Otázka 1: Pole ve střeu esky Ze symetrie úlohy je na střeu esky pole nulové Otázka 2: Uzavřená smyčka Otázka 3: Prou v uzavřené smyčce Prou tekoucí uzavřenou smyčkou spočítáme integrací: /2 2J y 2J J Iuz = A yy = = 4 Otázka 4: Křivkový integrál Smyčka se skláá ze čtyř částí, v otázce 1 jsme si již zůvonili, že na sponí části smyčky je pole nulové, na bočních částech je pole kolmé na smyčku, proto příspěvek i těchto částí je nulový B s= B ( y ) + + + = B Otázka 5: Magnetické pole na eskou µ J µ J B s = B = B= 4 4 Směr pole je naznačen na obrázku u opověi na otázku 2 (míří oleva) Otázka 6: Uzavřená smyčka 7

Otázka 7: Prou v uzavřené smyčce Prou procházející smyčkou spočítáme obobně jako u otázky 3: y 2J y 2J J y Iuz = A= y y = 2 Otázka 8: Křivkový integrál Křivkový integrál B s vyje pro oblast uvnitř esky stejně, jako u otázky 4 (příspěvky sponí a bočních stran jsou nulové), B s = B Otázka 9: Magnetické pole v esce J y J y µ µ B s = B = B= Směr pole je naznačen na obrázku u opověi na otázku 2 (míří oleva) Otázka 1: Graf Úloha 3: Koaxiální voič Koaxiální voič je složen z vnitřního plného válce o poloměru a, který je obklopen souosým válcovým pláštěm o vnitřním poloměru b a vnějším poloměru c Oběma voiči teče stejný prou I, který je homogenně rozprostřen na celém průřezu obou voičů Určete inukci magnetického pole v závislosti na vzálenosti r o osy válců Do obrázku načrtněte zvolenou smyčku pro Ampérův zákon Výsleky znázorněte o grafu, nezapomeňte označit osy 8

(a) r Řešení úlohy 3: Koaxiální voič < a: (b) a< r < b: (c) b< r < c: 2 r µ I r B s = 2 π rb= µ I B= a 2πa µ I B s = 2 π rb= µ I B= 2πr r b µ I r b B s = 2π rb= µ I 1 B 1 = 2 r c b π c b Ve všech přípaech vektor magnetické inukce míří proti směru chou hoinových ručiček () graf: 9