Veronika Chrastinová, Oto Přibyl
|
|
- Jaroslava Matějková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno
2 Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový integrál ve skalárním poli 10 4 Křivkový integrál ve vektrovém poli Přímým výpočtem Nezávislost na integrační cestě Greenova věta
3 1 Dvojný integrál Vypočtěte: ln(x y 2 ) dxdy, kde D = {[x, y] R 2 ; 1 x 2 + y 2 e 2 }. x 2 +y 2 D [polární souřadnice, meze konstantní, restrikce lze použít, substituce ln ρ = t; vyjde 2π] 1.2 Statický moment S y pro homogenní oblast D vymezenou křivkou y = sin x a úsečkou spojující body [0, 0], [ π 2, 1]. (Hustota pro homogenní oblast σ(x, y) k R +.) [bez transformace, nekonstantní meze proměnné y, per partes; vyjde: k(1 π2 12 )] 1.3 Těžiště T homogenní oblasti D = {[x, y] R 2 ; x 2 + y 2 r 2, y 0}. (r > 0) [ ] [polární souřadnice, konstantní meze, restrikce možná; vyjde T = 0, 4r 3π, x T ihned.] 1.4 Hmotnost rovnoběžníka D vymezeného přímkami y = x, y = x + 2, y = 2, y = 6 s hustotou σ(x, y) = x 2 + y 2. [bez transformace, pozor na meze prommené x; vyjde 224] 1.5 (9x 2 + 4y 2 + 4)dxdy, kde D = {[x, y] R 2 ; 9x 2 + 4y 2 36}. D [zobecněné polární souřadnice, konstantní meze, restrikce možná; vyjde 132π] 1.6 Obsah plochy obrazce D = { [x, y] R 2 ; x 2 + y 2 4y, x 2 + y 2 2y, x 0, y 3x }. [polární souřadnice, pozor na nekonstantní meze proměnné ρ; vyjde 1 2 ( π ) ] 1.7 (2x y + 3)dxdy, kde D D = { [x, y] R 2 ; 0 x 4, 0 y x, y 4 }. x [bez transformace, nutno rozdělit na 2 integrály; vyjde ln 2] 3
4 1.8 Moment setrvačnosti I y homogenní oblasti D = {[x, y]; 6x + y 6, 2x + y 6, y 0}. 1.9 [bez transformace, který způsob (pořadí) integrace je lepší? vyjde 13k] xy 2 dxdy, kde oblast D je vymezena parabolou y 2 = 2px a částí D přímky x = p. (p > 0) 2 [bez transformace, můžeme použít restrikce; vyjde p5 21 ] 1.10 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 r 2, x 2 + y 2 + (z r) 2 r 2 }. [těžší příklad, polární souřadnice s konstantními mezemi, restrikce lze 8x, subst. = t; vyjde 5πr3 12 ] 1.11 Objem tělesa Ω ohraničeného plochami az = a 2 x 2 y 2, z = 0. (a > 0) [polární souřadnice, restrikci lze použít, nakreslete si také zde obrázky v R 3 i v rovině xy; vyjde πa3 2 ] 1.12 Objem tělesa Ω ohraničeného plochami z = x 2 +y 2, z = 0, x = 0, y = 0, x + y = 1. [bez transformace, stačí obrázek projekce do roviny xy (x = 0,y = 0,x + y = 1); snadno vyjde 1 6 ] 1.13 Obsah plochy rotačního paraboloidu x 2 +y 2 = 2z uvnitř válce x 2 + y 2 1. [polární souřadnice, ( konstantní meze, restrikce lze použít, subst. odmocninová ; vyjde 2π 3 2 ) 2 1 ] 1.14 Obsah plochy z = 4 x 2 y 2 uvnitř kužele 3x 2 + 3y 2 = z 2. [polární souřadnice, opět ( si nakreslete obrázek v R 3 i v souř. rovině xy, restrikce lze; vyjde 4π 2 ) 3 ] 1.15 Težiště homogenní oblasti D = {[x, y] R 2 ; x 2 +y 2 1, 0 y x+1}. [bez transformace, [ které ] pořadí integrace je jednodušší? 2x subst. metoda; vyjde T = 2 3π+6, 2 π+2 ] 4
5 1.16 Souřadnici x T težiště T [x T, y T ] oblasti D = {[x, y] R 2 ; 1 x 2 + y 2 4, 0 y x} s danou hustotou σ(x, y) = xy. [polární souřadnice; bez problémů vyjde 124(4 2) 225 ] 1.17 Moment setrvačnosti I z homogenní oblasti D ohraničené přímkami x + y = 2, x = 2 a y = 2. [bez transformace; snadno vyjde 8k] 1.18 Momenty setrvačnosti I x, I y, I z homogenní oblasti 1.19 D = {[x, y] R 2 ; x 2 y x} [bez transformace; integrací polynomů bez problémů I x = k 28, I y = k 20, I z = 3k 35 ] (x 2 + y 2 )dxdy, je-li D = {[x, y] R 2 ; x 2 + y 2 a 2, y x}. (a > 0) D [polární souřadnice s konstantními mezemi, můžeme i restrikcí; πa4 4 ] 1.20 Težiště oblasti D = {[x, y] R 2 ; 4x 2 + y 2 4, x 0, y 0} s danou hustotou σ(x, y) = x. [ ] [zobecněné polární souřadnice; snadno vyjde T = 3π 16, 3 4 ] 1.21 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x 2 + y 2 = 4z, z = 4. [polární souřadnice, nakreslete si obrázek v R 3 i projekci, nejlépe restrikcí; vyjde 32π] 1.22 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x 2 +y 2 = 1, z = 0, z = x 2 + y [polární souřadnice, ( stačí obrázek projekce, jaké jsou meze proměnné z? Restrikcí; 2π 3 2 ) 2 1 ] 1.23 Obsah části plochy z = x 2 + y 2 nad oborem D = {[x, y]; x 2 + y 2 2y}. [pokud si napíšete správně integrand, pak vyjde okamžitě: 2π] 1.24 Hmotnost oblasti D = { [x, y]; 1 } 4 (x 3)2 + (y 1) 2 1 s danou hustotou σ(x, y) = (x 3) 2 (y 1) 2. [zobecněné polární souřadnice s posunutím do počátku, raději bez restrikce; vyjde π 3 ] 5
6 1.25 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x 2 = y, x 2 = 4 3y, z = 0, z = 9. [nakreslete si projekci do roviny xy ( x 2 = y, x 2 = 4 3y ), bez transformace, restrikce ano; vyjde 16 ] 1.26 Těžiště T oblasti s hustotou σ(x, y) = x 2. D = {[x, y]; x 2 + y2 4 1, x2 + y2 4 4, y 0} [zobec. polár. [ souřadnice ] x = ρ cos ϕ, y = 2ρ sin ϕ, pozor na meze ρ, restrikce lze; T = ] 0, π 1.27 Objem tělesa Ω vymezeného plochami z = 4 x 2 +y 2, z = 0, x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4. [stačí projekce do roviny xy (mezikruží) (zkuste obr. i v R 3 ), polár. souřadnice s restrikcí; 8π ln 2] 1.28 Obsah plochy z = x 2 + y 2 uvnitř válce x 2 + y 2 = r 2. (r > 0) [nakreslete si obrázek v R 3 i projekci, polární souřadnice s restrikcí, substituce ( odmocninová, ) upravíte-li dobře integrand, pak bez problémů vyjde (1 + 4r 2 ) ] π Obsah rovinného obrazce D = {[x, y]; y 1, y 4x, y 8}. x [bez transformace, které pořadí integrace je lepší? Meze x nekonstantní; vy- 2 ln 2] jde Moment setrvačnosti I y homogenního kruhu D = {[x, y]; (x a) 2 + y 2 a 2 }, (a > 0). [polární souřadnice s restrikcí, nekonstantní mez ρ, cos 6 ϕ = ( cos 2 ϕ ) 3 =...; vyjde 5πka4 4 ] 1.31 Obsah části kužele y 2 + z 2 = x 2 uvnitř válce x 2 + y 2 a 2. (a > 0) [těžší příklad, polární souřadnice s konstantními mezemi, restrikce 8x, obrázky nutné; vyjde 2πa 2 ] 1.32 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x2 4 + y2 9 = z2, x2 4 + y2 9 = 2z. [ Ω tedy vymezeno eliptickým kuželem a eliptickým paraboloidem, obrázek v R 3 ani projekce nejsou obtížné, zobecněné polární souřadnice, restrikce 4x; vyjde 8π] 6
7 2 Trojný integrál Vypočtěte f(x, y, z) dx dy dz, kde: Ω 2.1 f(x, y, z) = xy, Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 0, y 0, z 0, x + y 1, z x 2 + y }. [bez transformace, stačí obrázek projekce do roviny xy, zkuste také obrázek v R 3 ; integrací polynomů vyjde ] 2.2 f(x, y, z) = z 2, Ω je vymezena rovinami x = 2, y = 5, x + z = 6 v 1. oktantu. [bez transformace, nakreslete obrázek projekce i obrázek v R 3 ; integrací polynomů vyjde ] 2.3 f(x, y, z) = xyz, Ω = {[x, y, z] R 3 ; y x 2, x y 2, z 0, z xy}. [bez transformace, stačí obrázek projekce, zkuste také obrázek v R 3 (sedlová plocha); vyjde 1 96 ] 2.4 f(x, y, z) = xyz, Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 1, x 0, y 0, z 0}. [sférické souřadnice, všechny meze konstantní ; vyjde 1 48 ] 2.5 f(x, y, z) = xy, Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 4z, z sqrtx 2 + y 2 }. [cylindrické souřadnice, obrázek v R 3 i projekce nutné (koule a vršek rotačního kužele), restrikci raději ne; snadno vyjde 0] Vypočtěte: 2.6 Objem tělesa Ω vymezeného plochami z = 4 x 2, 2x + y = 4 v 1. oktantu. [bez transformace, projekce i obrázek v R 3 nutné; integrací polynomů vyjde 40 3 ] 2.7 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 1, z 1 x 2 y 2, z 0, 0 y x}. [cylindrické souřadnice, stačí projekce, zkuste také obrázek v R 3 (rotáční paraboloid), restrikci nepoužít; vyjde π 16 ] 2.8 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 a 2, x 2 + y 2 + z 2 2az}, kde a > 0 je konstanta. 7
8 [cylindrické souřadnice, obrázek v R 3 (2 koule) i projekce nutné, jaký je poloměr projekce?, restrikce 4x; vyjde 5πa3 12 ] 2.9 Těžiště tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 a 2, z 0} s danou hustotou σ(x, y, z) = k x 2 + y 2 + z 2, kde a > 0, k > 0 jsou konstanty. [sférické souřadnice, obrázek v R 3 i projekce snadné; x T = y T = 0, z T = 2a 5 ] 2.10 Hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 a 2, z x 2, x 0, y 0, z 0}, kde a > 0 je konstanta, s danou hustotou σ(x, y, z) = x. [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce (meze z jasné); snadno vyjde 2a 5 15 ] 2.11 Těžiště tělesa Ω s danou hustotou σ(x, y, z) 1 vymezeného hraničními rovinami x = 0, z = 0, y = 1, y = 3, x + 2z = 3. [bez transformace, obrázek v R 3 i projekce jsou snadné; vyjde T = [1, 2, 1 2 ]] 2.12 Objem tělesa Ω vymezeného plochami hz = x 2 + y 2, z = h, kde h > 0 je konstanta. [cylindrické souřadnice, pozor na meze proměnné z; vyjde πh3 2 ] 2.13 Momenty setrvačnosti I x, I y, I z tělesa Ω s danou hustotou σ(x, y, z) 1 vymezeného plochami x 2 + y 2 = a 2, z = 0, z = b, kde a > 0, b > 0 jsou konstanty. [cylindrické souřadnice, ( obrázek ) v R 3 i projekce snadné, (zdůvodněte si); vyjde I x = I y = πa 2 b a b2 3, I z = πa4 b 2 ] 2.14 Hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 a 2, z 2 x 2 + y 2, z 0 }, kde a > 0 je konstanta, s danou hustotou σ(x, y, z) = x 2 + y [lepší jsou sférické souřadnice, všechny meze konstantní, restrikce 4x, obrázek v R 3 i projekce; výsledek není pěkný, ale integrace je jednoduchá (po úpravě): π 2 a 4 16 πa πa3 3 2πa 3 3 ] 2.15 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 2ax, y x, 0 z x}, kde a > 0 je konstanta. [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce, zkuste i obrázek v R 3, restrikce 2x ( ( ) ϕı 0, π 4 ) ; vyjde a 3 π ] 2.16 Hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; a 2 x 2 + y 2 4a 2, y x, 0 z x 2 + y 2 1 } s danou hustotou σ(x, y, z) =, kde a > 0 je x 2 +y 2 +a2 konstanta. 8
9 [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce, restrikce 4x ( ϕı 0, π 4 ) ; vyjde ( ) 2 ] πa Objem a hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 1, y x, 0 z, z x 2 + y 2 } s danou hustotou σ(x, y, z) = 8 (64x 2 y 2 + z). [cylindrické souřadnice,stačí obrázek projekce (meze z jasné) restrikce 4x; vyjde V = π 4, m = 26π 3 ] 2.18 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 2x, 1 z 4 x 2 y 2 }. [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce, zkuste i obrázek v R 3, restrikce 2x; vyjde 7π 2 ] Ve všech příkladech jsou pouze obvyklé goniometrické nebo odmocninové substituce. Vždy zkuste také obrázek v R 3. 9
10 3 Křivkový integrál ve skalárním poli Vypočtěte: 3.1 Hmotnost křivky : r(t) = cos t i + sin t j + t k, t 0, 2π, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = 2z x 2 + y [integrací polynomu ihned vyjde 2 2π(2π 1)] xy ds, kde = {[x, y] R 2 ; x2 + y2 = 1, x 0, y 0}, kde a > a 2 b 2 0, b > 0 jsou konstanty. [obvyklá parametrizace elipsy (viz Integrální počet II, str. 37), odmocninová substituce, a 3 b 3 = (a b) ( a 2 + ab + b 2) ; vyjde ab(a2 +ab+b 2 ) 3(a+b) ] 3.3 Hmotnost šroubovice : r(t) = t cos t i + t sin t j + 3t k, t 0, 2π, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = z. [obvyklá substituce, snadno vyjde (4π ) ] 3.4 Obsah části válcové plochy s řídící křivkou = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 = 1, z = 0}, je-li tato válcová plocha vymezena plochami z = x 2, z = 2+y 2. [parametrizace kružnice; vyjde 4π (zkuste i obrázek) ] 3.5 Obsah části válcové plochy s řídící křivkou = {[x, y, z]; 4x 2 + 9y 2 = 36, y 0, z = 0}, je-li tato válcová plocha vymezena plochami z = 0, z = xy. [parametrizace elipsy, nutno integrovat v 1. a2. kvadrantu zvlášť, v obou integrálech obvyklá substituce = u; snadno vyjde: 76 5 ] 3.6 Hmotnost křivky = {[x, y, z]; x 2 + y 2 = 2y, z = x 2 + y 2, x 0, y 1}, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = x (y 1). 3.7 [parametrizace kružnice x 2 + y 2 = 2y pro x 0, y 1, = u; vyjde 1 12 (5 5 1)] (z x) 2 ds, kde : r(t) = (cos t sin t) i + 3t j + (cos t + sin t) k, t 0, 2π. [snadno vyjde 4 11π] 10
11 x2 + y 2 ds, kde z + 1 : r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, t 0, 2π. [po správném dosazení do integrálu a úpravě integrandu vyjde lehce: 2π 2 2π + 3 ln(2π + 1)] 3.9 Hmotnost oblouku šroubovice : r(t) = 3 cos t i + 3 sin t j + t k, t 0, 2π, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = 2 + x2 y [snadno vyjde 4 10π] 3.10 Těžiště homogenního oblouku : r(t) = a cos t i + a sin t j + bt k, t 0, π, kde a > 0, b > 0 jsou konstanty. [přesně podle vzorcu pro výpočet těžiště vyjde bez problémů T = 3.11 Hmotnost oblouku šroubovice : r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j + 3t k, t 0, 2, 3 [ ] 0, 2a π, πb 2 ] je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = 1 x 2 +y 2 +z 2. [při integraci užijte vzorec dt t 2 +a 2 = 1 a arctan t a ; vyjde 13π 24 ] xy ds, kde : r(t) = sin t 2 i + sin t cos t j + cos t k, t 0, π 2 [ds = 1 + sin 2 2 tdt, obvyklá substituce, 15 ( 2 + 1)] xy ds, kde = {[x, y] R 2 ; x 2 + y 2 = 4}. [parametrizace kružnice s restrikcí 4x snadno vyjde 16] y ds, kde : r(t) = a(t sin t) i + a(1 cos t) j, t 0, 2π (první oblouk tzv. cykloidy).. [po správném zderivování a dosazení do integrálu ihned vyjde 2 2πa 3/2 ] 11
12 x 2 + y 2 ds, kde = {[x, y] R 2 ; x 2 + y2 4 = 1}. [parametrizace elipsy, integrand je po úpravě jednoduchý (odmocnina zmizí), vyjde 10π] 3.16 Moment setrvačnosti I y homogenního oblouku ÂB křivky : y = ln x, A = [1, 0], B = [2, ln 2]. [přesně podle vzorce pro I y a parametrizaci x = t, y = ln t vyjde: 1 3 ( )] xy ds, kde křivka je dána jako obvod obdélníka ABCD s vrcholy na přímkách x = 0, x = 4, y = 0, y = 2. [ = , snadná parametrizace, vyjde 24] xyz ds, kde je dána jako oblouk křivky x = t, y = 1 3 mezi body určenými hodnotami parametru t = 0, t = 1. [integrací polynomu snadno vyjde ] z ds, : r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, t 0, 2. 8t3, z = 1 2 t2 [také jednoduchý příklad, vyjde 1 3 (3 3 1)] 12
13 4 Křivkový integrál ve vektrovém poli 4.1 Přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch x 2 + y 2 = 1, z = xy od počátečního bodu A = [1, y A, z A ] přes bod B = [x B, 1, z B ] do koncového bodu C = [ 1, y C, z C ]. [nezadané souřadnice bodů A, B, C snadno spočítáte z rovnic ploch, stačí projekce oblouku ABC do roviny xy, parametrizace lehká: x = cos t, y = sin t z =, t 0, π, (proč?) vyjde: π ] 4.2 Spočítejte práci vektorového pole F = x i + z 2 j + e xy k podél křivky, která je dána jako uzavřená orientovaná křivka ABC tvořená oblouky na ploše z = 1 x 2 pro x 0, y 0, z 0, které leží postupně v rovinách y = 0, z = 0, y = x. Orientace je dána pořadím bodů A = [0, 0, 1], B = [1, 0, 0], C = [1, 1, 0]. [nakreslete si obrázek v prostoru R 3 (parab. válec proťatý 3 rovinami); ihned uvidíte = 1 2 3, parametrizací 1, 2, 3 (není obtížná) a součtem 3 integrálů (polynomy a substituce) vyjde: e ] 4.3 Spočítejte práci silového pole F = xy i y j které působí při pohybu hmotného bodu po kladně orientované uzavřené křivce + tvořené oblouky na křivkách y = x 2, y = x. [obrázek = 1 2 je snadný, parametrizací 1, 2 a součtem dvou integrálů snadno vyjde: 3 20 ] 4.4 Spočítejte práci vektoru F = (e x y 2 + z) i + 2ye z j + x k podél křivky : x = ln t, y = t 2, z = t, která je orientovaná z počátečního bodu A = [0, 1, 1] do koncového bodu B = [ln 2, 4, 2]. [obrázek nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] 4.5 Určete hodnotu integrálu 4xydx + xdy dz, kde : r(t) = sin t i + sin(2t) j + e t k, t 0, π. 13
14 [přímým dosazením do integrálu a rozepsáním sin(2t) =..., cos(2t) =... vyjde: π 1 3 e π ] 4.6 Spočítejte integrál ydx xdy, kde x + : 2 jsou konstanty. [parametrizace elipsy, ihned vyjde: 2πab ] a 2 + y2 b 2 = 1, kde a > 0, b > Spočítejte práci vektrového pole F = (x + y) i + 2x j podél kladně orientované kružnice + se středem v počátku a poloměrem r. [také lehký příklad, parametrizace kruřnice, vyjde: πr 2 ] 4.8 Spočítejte práci vykonanou vektorem síly F = (3x 2 + 2y 2 ) i + (4xy 3y 2 ) j po křivce : x 2 +y 2 = 1 od počátečního bodu A = [1, 0] do koncového bodu B = [0, 1]. [obr. a parametizace kružnice jednoduché, obvyklými goniometrickými substitucemi vyjde: 2 ] 14
15 4.2 Nezávislost na integrační cestě Ověřte podmínky nezávisloti na integrační cestě v daném potenciálovém poli F = (P, Q) resp. F = (P, Q, R), najděte potenciál V a pro zadané body A, B případně interval parametru t spočítejte práci konanou při pohybu bodu z počátečního bodu A do koncového bodu B. 4.9 F = (1 2xy y 2 ) i + (1 2xy x 2 ) j, A = [0, 2], B = [1, 0]. [ V (x, y) = x x 2 y y 2 x + y + c, W = 1 ] 4.10 xz2 dx + y 3 dy + x 2 zdz, A = [ 1, 1, 2], B = [ 4, 2, 1]. [ V (x, y, z) x2 z y c, W = 4, spočítejte si také integrací po orientované úsečce AB!] 4.11 F = y2 1+x 2 y 4 i + 2xy 1+x 2 y 4 j, : r(t) = t i + t 2 j, t 0, 1. [tento příklad si spočítejte více způsoby vychází velice jednoduše integrací a) po zadané křivce gamma (subst. t 5 = u) b) orientované úsečce AB (A = [0, 0], B = [1, 1]) c) lomené orientované křivce = AC CB, kde C = [1, 0] V (x, y) = arctg(xy 2 ) + c, W = π 4 ] 4.12 F = (x + yz) i + (y + xz) j + (z + xy) k, A = [1, 2, 3], B = [0, 0, 0]. [V (x, y, z) = x2 +y 2 +z xyz + c, W = 13] 4.13 F = 2xy i + x 2 j 1 k, : r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, z 2 t π, π. 2 [V (x, y, z) = x 2 y + 1 z + c, W = 1 π, komplikovaný vypočet, když počítáme přímým výpočtem po křivce ] 4.14 F = e x yz i + (1 + e x z) j + e x z k, : r(t) = t i + (t 1) j 3t k, A = [1, 0, 3], B = [ 1, 2, 3]. [V (x, y, z) = yz e x + y + c, W = 6 e 2, spočítejte si také přímým dosazením] 4.15 F = 1 z i + 1 z j x+y z k, : r(t) = t 2 i 3t j + t 3 k, t 1, 2. [V (x, y, z) = x+y z + c, W = 7 4, velice pěkně vyjde i bez výpočtu V přímým dosazením] 15
16 4.16 F = (3x 2 y 2 2z 4 ) i + 2x 3 y j 8xz 3 k, spočítejte kmenovou funkci V. [V (x, y, z) = x 3 y 2 2xz 4 + c] 4.17 F = y i + x j + 2z k, A = [0, 0, 0], B = [1, 1, 2]. [V (x, y, z) = xy + z 2 + c, W = 5] 4.18 F = 1 y i + y2 x y 2 j, A = [1, 1], B = [ 6, 3]. (předpokládáme, že y 0). [V (x, y) = x y + y + c, W = 1] 4.19 F = cos(2y) i 2x sin(2y) j, A = [1, π 6 ], B = [2, π 4 ]. [V (x, y) = x cos(2y) + c, W = frac12] 4.20 Zjistěte, zda výraz (2x cos y y 2 sin x) dx + (2y cos x x 2 sin y) dy je totálním diferenciálem a určete potenciál V. [tedy opět ověříme podmínky nezávislosti a spočítáme V (x, y) = x 2 cos y + y 2 cos x + c] 4.21 F = (yz y + z + 3) i + (xz x + 1) j + (xy + x + 2z) k, A = [0, 1, 2], B = [3, 2, 5]. [V (x, y, z) = xyz xy + xz + 3x + y + z 2 + c, W = 70] 4.22 F = (3x 2 + 2y 2 ) i + (4xy 3y 2 ) j, : x 2 + y 2 = 1 A = [1, 0] do konc B = [0, 1]. [V (x, y) = x 3 + 2xy 2 y 3 + c, W = 2, spočítejte si také přímou integrací po ] 16
17 4.3 Greenova věta Ověřte podmínky použitelnosti Greenovy věty a užijte ji k výpočtu následujícího integrálu (cirkulace vektorového pole F ) po zadané křivce : 4.23 (x+y) 2 dx (x y) 2 dy, kde je záporně orientovaná křivka tvořená obloukem grafu funkce y = sin x a úsečkou na ose x pro x 0, π. [obrázek i výpočet dvojného integrálu jsou jednoduché (per partes), vyjde: 4π] 4.24 F = (1 x 2 ) i + x (1 + y 2 ) j, + : r(t) = 3 cos t i + 3 sin t j, t 0, 2π. [obrázek i výpočet dvojného integrálu je snadný (transformace do polárních souřadnic), bez problémů vyjde: π, zkuste si také spočítat přímým výpočtem bez Greenovy věty - vychází to pěkně] 4.25 F = (xy + x + y) i + (xy + x y) j, + : x 2 + y 2 = y [parametrizace posunuté kružnice (polární souřadnice), v intergrandu je rozdíl dvou funkcí a rozdělíte-li si integrál na dva, bude druhý z nich nulový (proč?), pak už hned vyjde π 8 ] + (e x sin y 16y) dx+(e x cos y 16) dy, kde + je kladně orientovaná hranice oblasti D = {[x, y]; x 2 + y 2 = ax, x 0, y 0}, kde a > 0 je konstanta. [opět posunutá kružnice, polárními souřadnicemi s posunem, nebo bez posunu do počátku, vyjde okamžitě 2πa 2 (výsledek lze také uhodnout, protože integrand je konstanta)] y 2 dx x 2 dy, kde + je kladně orientovaná kružnice se středem S = [1, 1] a poloměrem r = 1. [polárními souřadnicemi nutně s posunem do počátku x = 1 + ρ cos ϕ y = 1 + ρ sin ϕ, konst. meze ρ, ϕ; vyjde snadno 4π (vychází pěkně i přímým výpočtem bez použití Greenovy věty)] ( 4.28 x 2 y 2) dx + ( x 2 + y 2) dy, kde je záporně orientovaná křivka tvořená půlkružnicí y = r 2 x 2 a úsečkou na ose x. 17
18 4.29 [ obyčejné polární souřadnice s konstantními mezemi, bez problémů vyjde 4 3 r3 ] ( 6x cos y y 3 ) dx+ ( x 3 3x 2 sin y ) dy, kde + je kladně orientovaná kružnice x 2 + y 2 = [také obyčejné polární souřadnice s konstantními mezemi, velice jednoduchý integrál, výsledek 3π 2 (bez použití Greenovy věty vychází nepěkně)] (x + y) 2 dx (x y) 2 dy, kde + je kladně orientovaná křivka tvořená obloukem paraboly y = x 2 a úsečkou na přímce y = x. [bez problémů ihned vyjde 1 3 ] 4.31 F = 1 y i 1 x j, + je trojúhelník ABC s vrcholy A = [1, 1], B = [2, 1], C = [2, 2] [také jednoduchý příklad bez transformace do polárních souřadnic, vyjde 1 2 ] ( ) xy + x 2 dx + x 2 ydy, kde + je kladně orientovaná hranice oblasti D = {[x, y]; 0 x y 1}. [snadné s Greenovou větou i bez Greenovy věty, integrací polynomu vyjde 1 12 ] 4.33 F = (1 + xy)e xy i + x 2 (1 + e xy ) j, + obdélník ABCD s vrcholy A = [0, 0], B = [2, 0], C = [2, 1], D = [0, 1]. [integrand vychází velice jednoduše, lehce vyjde: 4] 4.34 F = x arctan y i y 2 j, + je trojúhelník KLM s vrcholy K = [ 1, 0], L = [0, 0], M = [0, 1]. [těžší příklad: nejdříve substituce x+1 = t potom per partes u = arctg t, v = t 1; pak už bez problémů vyjde 1 2 (1 ln 2)] Obrácenou Greenovou větou spočítejte obsah rovinného obrazce D: 4.35 D = {[x, y] R 2 ; x 2 y x}. [parametrizace + = 1 2 snadná, bez problémů vyjde 1 6 věty ješte kratší)] (bez Greenovy 18
19 4.36 D = {[x, y] R 2 ; y ln x, x + 1 y 1}. [také nutný obrázek, parametrizace + = není obtížná, vyjde e 3 2 ] 4.37 D = {[x, y] R 2 ; e x y e π, x 0}. (Pozor: e π je konstanta!) [opět parametrizace + = 1 2 3, užitím per partes vyjde e π (π 1) + 1 (bez Greenovy věty je výpočet kratší zkuste si spočítat)] 19
[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.
SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n
Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,
MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=
y ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
12 Trojný integrál - Transformace integrálů
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.
Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,
Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,
+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.
Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ
13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
Parametrické rovnice křivky
Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou
2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
MATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál
Matematia III MATEMATIKA III Program - Křivový integrál 1. Vypočítejte řivové integrály po rovinných řivách : a) ds, : úseča, spojující body O=(0, 0), B = (1, ), b) ( + y ) ds, : ružnice = acos t, y= a
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.
E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem
Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE
PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná
12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál
Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu
7. Integrál přes n-rozměrný interval
7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme
1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y
3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
Plošný integrál funkce
Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.
Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n
VEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
Matematika 2 (2016/2017)
Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více
1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017
z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů
11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,
4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Základní topologické pojmy:
Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński
INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje
F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.
SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.
SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické
MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0
Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,
KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE
KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová
Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07
VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
Petr Hasil
Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny
Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení
Sbíra úloh z matematia 11 Křivový integrál 11 KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 115 111 Křivový integrál I druhu 115 Úloh samostatnému řešení 115 11 Křivový integrál II druhu 116 Úloh samostatnému řešení 116 11 Greenova
II. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Obsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A
skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost
ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce
1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé
III. Dvojný a trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht
Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012
Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012 Robert Mařík 23. ledna 2015 2 Obsah 1 Přednášky 2012 5 2 Písemky 2012 9 3 4 OBSAH Kapitola 1 Přednášky 2012 1. prednaska, 16.2.2012 -----------------------
Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
1. Definiční obor funkce dvou proměnných
Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou
Maturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)
Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.
VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit
Integrace funkcí více proměnných, numerické metody
Matematika III 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL DVOJNÝ A TROJNÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich
R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra
Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os
f x = f y j i y j x i y = f(x), y = f(y),
Cvičení 1 Definice δ ij, ε ijk, Einsteinovo sumační pravidlo, δ ii, ε ijk ε lmk. Cvičení 2 Štoll, Tolar: D3.55, D3.63 Cvičení 3 Zopakujte si větu o derivovování složené funkce více proměnných (chain rule).
Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří