ÚVOD DO TEORIE MATEMATICKÉ PRUŽNOSTI ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY A POJMY 1. Látka, která vtváří příslušné těleso je dokonale lineárně pružné, mezi napětím a přetvořením je lineární závislost.. Látka hmotného tělesa je homogenní a izotropní. Homogenita v každém mikroobjemu je stejná látka, která vkazuje stejné fzikální a chemické vlastnosti. Izotropie vjadřuje skutečnost, že v kterémkoliv směru vcházejícího z daného bodu jsou stejné fzikálně mechanické vlastnosti. 3. Posun a deformace tělesa od vnějšího zatížení uvažujeme velmi malé, tj. v matematickém přepisu je lze pokládat za infinitezimální veličin.
Základní úloha určit množinu posunů všech bodů tělesa, tj. určit vektorové pole posunutí. Na teorii pružnosti navazuje a souvisí s ní: Teorie pevnosti všímá si přípustných mezí napětí, které předepisuje různým druhům materiálů z hlediska jejich kvalit. Teorie plasticit všetřuje tělesa, která po svém odlehčení zůstávají trvale zdeformovaná. Reologie sleduje rozvoj silových a deformačních faktorů v závislosti na čase. Přihlíží k vlivu času na změnu fzikálně mechanických vlastností látek.
STAV DEFORMACE Vnější zatížení vvodí v poddajném tělese posun, pootočení a deformace. Deformace elementu se v obecném případě uskutečňuje relativními změnami délek jeho hran a změnami pravých úhlů mezi jeho stěnami, které můžeme zkoumat ve třech vzájemně kolmých rovinách. V rovině se jedná o změn stran elementu o stranách d a d a změnu pravého úhlu mezi nimi. Posun a pootočení jsou charakteristikami přetvoření tělesa. u Vektor posunutí v rovině má složk u v reprezentuje vektorové pole posunutí daného tělesa v rovině. Vektor poměrné deformace v rovině T,, u v v u jehož složk kde, poměrné délkové přetvoření (prodloužení) ve směru souřadnicových os.
Stav deformace v libovolném bodu tělesa popisuje tenzor deformace malých deformací poměrné úhlové přetvoření v rovině (změna pravého úhlu) Těmto vztahům mezi poměrnou deformací či poměrným úhlovým zkosením a posunutími říkáme geometrické rovnice, v rovině jsou 3. Geometrické rovnice v maticovém zápisu u T kde operátorová matice T 0 0 A
Rovnice kompatibilit (spojitosti deformací) V rovině je to rovnice, které musí vhovovat pole deformace. Platí, že pole deformace musí být v každém bodě tělesa spojité (kompatibilní). z z 0 z z STAV NAPJATOSTI V tělese vznikají vnitřní síl jako odezva na působení sil vnějších. Vnější síl: 1. Objemové síl zatížení, které působí na objem určité hmot např. síl 3 gravitační, setrvačné N m. Povrchové síl zatížení, které působí na plochách povrchu tělesa N m
Vnější osamělou sílu definujeme jako výslednici sil působících na elementární plochu A. Vnitřní síl působí na elementárních ploškách tělesa F F lim N m A0 A vektor napětí v bodě P A n P n kde normálová složka vektoru napětí n - tečná složka vektoru napětí (tangenciální složka) Tenzor napětí A popisuje stav napjatosti v daném bodě. A
Cauchho statické rovnice rovnováh Statické rovnice rovnováh vcházejí z podmínek spojitosti změn ve složkách napětí. Součtové podmínk rovnováh elementárního rovinného elementu X Y 0 0 Nebo v maticovém zápisu X 0 d d d d Věta o vzájemnosti tečných napětí Z momentové podmínk k těžišti elementárního elementu lze odvodit podmínk vjadřující větu o vzájemnosti tečných napětí.
d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d 0 d d d d 0 d d d 0 FYZIKÁLNÍ ROVNICE Do počtu rovnic se musí přidat podmínk, které vjadřují závislost mezi napětím a přetvořeními a jsou vázán na konkrétní fzikálně-mechanické vlastnosti reálných těles. Vjadřují vztah mezi složkami tenzoru napětí a tenzoru deformace 1 1 E E G
kde E modul pružnosti (Youngův modul) [Nm - ] G modul pružnosti ve smku E G - Poissonova číslo (součinitel) a 1 G me 1 m m - Poissonova konstanta, resp. součinitel příčné konstrukce
DVOUROZMĚRNÝ PROBLÉM Většina prvků má charakteristický tvar s jedním či dvěma převládajícími rozměr. Prut převládá délka nad průřezovými rozměr, jednosměrný konstrukční prvek. Dvourozměrné konstrukční útvar se vznačují dvěma převládajícími rozměr oproti třetímu, kterým je obvkle tloušťka. Střednicová plocha, která půlí vzdálenost mezi dvěmi paralelními povrch může být: 1) Rovinná a) nosné stěn jsou zatížen silami působícími výhradně ve střednicové rovině b) desk jsou zatížen kolmo ke střednicové rovině ) Zakřivená skořepin
p l Stěna střednicová rovina vznačena čerchovaně h z l 1 l z p z l 1 Deska střednicová rovina vznačena čerchovaně h
p Skořepina - tenkostěnný útvar se zakřivenou střednicovou plochou h
Dvojrozměrné úloh Dvojrozměrná úloha je v těchto případech: 1) analýza plošných konstrukcí Zvláštnost plošných konstrukcí vplývá z jejich tenkostěnnosti, ) zvláštní tp smetrie prostorových konstrukcí Zvláštnost dána smetrií tvaru a zatížení. z p - - rozměr jsou konečné, - rozměr ve směru os z je nekonečný - kterákoliv rovina rovnoběžná se souřadnicovou rovinou, je rovinou souměrnosti + Proto bude charakter napjatosti a deformace u obou tpů konstrukce různý.
Vezmeme-li v úvahu stěnu, která nemá zatížen povrch z z z 0 z h bude platit: Uvnitř stěn tto složk nabývají nenulových hodnot. Protože jsou spojité i jejich derivace, nebudou se uvedené složk napětí příliš lišit od nul a budou výrazně menší než zbývající složk tenzoru napětí, a proto mohou být zanedbán., Věta 1 Stav napětí při němž se tenzor napětí redukuje na 3 složk (,, orientované v rovině ) nazveme rovinnou napjatostí. Pro plošné konstrukce je charakteristická redukce tenzoru napětí.
Pro souměrné konstrukce. tpu je charakteristické, že pole posunutí v nekonečném hranolu bude v důsledku smetrie ke kterékoli rovině z = konst. popsáno funkcemi: u u,, v v,, 0 Z toho plne 0 z z z Věta Stav deformace, při němž tenzor deformace se redukuje na 3 složk (,, orientované v rovině ) se nazývá rovinnou deformací.
NOSNÉ STĚNY Lze provést výpočet způsob: 1. deformační metodou neznámé u,, v, vpočteme integrací statických rovnic po úpravě používá se méně často. silovou metodou považujeme za neznámou funkci napětí, kterou vpočteme integrací Lévho podmínk. Lévho podmínka vplývá z rovnice kompatibilit (spojitosti) přetvořené X Y, 1 0 kde je Laplaceův operátor a jsou normálová napětí ve směru os X a Y jsou objemové síl (vlastní tíha, vliv teplot apod.)
Lévho podmínka a dvě statické rovnice rovnováh tvoří sstém tří parciálních diferenciálních rovnic pro výpočet neznámých složek napětí,,. Tuto soustavu lze převést na jedinou diferenciální rovnici 4. řádu pro neznámou funkci napětí F Airho funkci napětí. F F 0 0 X Y d d F Po dosazení dostaneme po úpravě parciální diferenciální rovnici 4. řádu, tzv. stěnovou rovnici. F 0 X d 0 Y d X Y 1
kde 4 4 4 4 4 F F F F F F při zanedbání vnitřních sil, ted 0 Y X se rovnice zredukuje na biharmonickou rovnici: 0 F pro složk napětí F F F,, Pro řešení napjatosti stěn jsou důležité okrajové podmínk. V libovolném bodě stěn na jejím okraji musí být splněn dvě okrajové podmínk.
Okrajové podmínk nosné stěn Použijeme statické okrajové podmínk. Výslednicemi napětí v bodě R hraničního povrchu budou předepsán povrchové síl p, p Pa. p cos F d ds sin F d ds d ds F p cos sin Integrací mezi bod P a R F S S 0 p ds Q F F S S 0 d ds p ds F Q d ds d ds F
dostaneme svislou a vodorovnou složku výslednice hraničního zatížení působícího mezi bod P a R. Na základě těchto vztahů lze formulovat l Hermiteovu analogii. 1. Derivace funkce napětí ve směru vnější normál k hranici stěn je rovna normálové síle na fiktivním rámu, jehož střednice má stejný tvar a přenáší stejné zatížení jako hranice (obrs) stěn. Kladná normálová síla je tahem. F n F cos F sin Q cos Q sin N
. Funkce napětí v hraničních bodech stěn je rovna ohbovému momentu v průřezu fiktivního rámu. Kladný ohbový moment způsobuje tah ve vnitřních vláknech rámu. Kromě statických podmínek rovnováh mohou být předepsán také Geometrické okrajové podmínk: u u, v v, kde u, v jsou předepsané posun u v 0 v případě vetknutí stěn.
DESKY Předpoklad řešení desek stálé tloušťk Budeme předpokládat desku stálého průřezu, izotropní a homogenní, tenkostěnnou. Zatížení je kolmé ke střednicové rovině a může být a) plošné [N/m ] b) liniové [N/m], resp pro momentové liniové zatížení [Nm/m] c) bodové síla [N] nebo moment [Nm] Liniové a bodové zatížení je idealizace plošného zatížení, které působí na velmi úzký pruh nebo na velmi malou plošku.
Kirchhoffov předpoklad řešení tenkých desek 1. Normál ke střednicové rovině desk přejdou po deformaci opět v normál, avšak zdeformované střednicové ploch. Přitom vzdálenost bodů ležících na téže normále se deformací desk nemění.. Normálové napětí z je oproti zbývajícím složkám napětí působících ve směru a zanedbatelné. Musí platit podmínk pro geometrii desk: 1. Tloušťka h l / 100, kde l je rozhodující půdorsný rozměr ( při h l / 100 se jedná o membránu, která nepřenáší ohb).. Je-li h l / 10je předpoklad zachování normál narušen smkovými deformacemi a deska se zpravidla řeší s uvážením vlivu smku a desk pro h l / 5jako tzv. tlustá deska. 1 h 1 Potom 100 l 10
Neznámou funkcí v teorii ohbu tenkých desek je funkce průhbu,. pro její řešení odvozujeme z podmínek rovnováh tzv. deskovou rovnici (specifická varianta Laméových rovnic). Jedná se o klasické řešení problému deformační metodou (analogie s Navierovou teorií ohbu prutu). z h O A z z O A u Bod A,, z přemístí deformací do bodu A u, v, z Bod O,, z na střednicové ploše se přemístí do bodu O,, z. Ohbová plocha v řezu z má odchlku od os o úhel.
Natočení tečn k ohbové ploše, Posunutí z z u sin, ted z u a obdobně z v Poměrná deformace z u z v Úhlové zkosení z v u u z h z z A O O A
Rozšířený Hookův zákon: E Ez 1 1 E Ez 1 1 E Ez 1 1 (Normálová napětí a smkové napětí jsou takto vjádřena jako funkce průhbu a po tloušťce desk se mění lineárně se vzdáleností z od střednicové ploch).
Ohbové moment Zavedeme jednotkové moment šířk svislého řezu deskou h / h / m a m, které jsou vztažen na jednotku m z dz m z dz m h/ h/ h/ h/ z dz Po dosazení dostaneme ohbové moment m D m D 3 Eh kde D 1 1 je tzv. desková tuhost m d m q m d p q m d m q m d d
Kroutící moment m m K D1 Posouvající síl Obdobně jsou zaveden posouvající síl h / q dz q z h / h/ h/ Z momentové podmínk v obou směrech ke středu elementu dz m d m q m d p q m d m m d q d m d m d qd q m d d dd q m d dd d 0 m m dd
Z toho 0 dd m dd m dd q m m q resp. obdobně m m q Po dosazení za moment 3 3 3 D D D q D D D q 3 3 3
Průběh napětí po tloušťce desk z z
d m q pdd Podmínka rovnováh Ohbový moment a posouvající síla m m d m m d q d q d q q d m d Součtová podmínka rovnováh ve svislém směru (osa z) q q d qd q dd q dd pdd 0 q q dd dd pdd 0 q m d q Po dosazení za posouvající síl q p
4 4 4 4 4 D p p D D Je to tzv. desková rovnice Kde 4 4 4 4 4 je biharmonický operátor p je rovnoměrné zatížení desk D je desková tuhost D p
Okrajové podmínk a) Kloubové uložení na hraně konst. 0, m 0 0 Je-li přímá hrana konst. nepoddajná, platí, že 0 a křivost 0 Potom se okrajová podmínka změní na tvar 0, 0 b) Dokonalé vetknutí na hraně konst. 0, 0 (pootočení) c) Volná hrana konst. (tj. okraj rovnoběžný s osou ), hrana je nezatížená vnějším zatížením. Na okraji mohou vzniknout průhb a pootočení, ale vnitřní síl v okrajovém řezu musí vmizet.
d) Podmínk v pravoúhlých rozích V rohu desk silové složk z obou směrů a K 1 a K (náhrada za kroutící moment) dávají výslednici 1 1 A K1 K d d Kd Kd K K K Síla A v pravoúhlém rohu je rovna dvojnásobku kroutícího momentu působícího v příslušném rohu desk v okrajových řezech.
volný okraj prostě podepřený volný okraj Rozbor okrajových podmínek 1. Je-li podél jednoho z přilehlých okrajů deska plně vetknutá, je podél celého vetknutého okraje, ted i v rohu, kroutící moment K roven nule a ted A 0. V rozích vetknutých desek rohové síl nepůsobí.. Kroutící moment může mít v rohu hodnotu obecně různou od nul a působící rohovou sílu musí přenést opěra. prostě podepřený
3. Podpora v rohu desk a oba volné okraje a) Deska je v rohu bodově podepřena. Potom může síla v rohu vzniknout, neboť se může přenést eistující podpěrou. Doplňují okrajová podmínka pro nulový průhb v rohu desk má potom tvar 0 b) Deska je v rohu volná. Potom se rohová síla nemůže přenést a doplňující okrajová podmínka má tvar A K 0
Dlouhá stěna q h Q Q 1 bm 1 bm t Q vlastní tíha stěn [kn/m] - Posuzujeme pás dlouhé stěn o šířce 1 bm Q - Posuzujeme jako sloup napětí od svislého zatížení q d t 100 - Štíhlé stěn posuzujeme na vzpěrný tlak
h Podepřená stěna - stěna o jednom poli q s t tloušťka stěn b b b/ l b/ q s + q s l
Podepřená stěna působí jako tzv. vsoký nosník - ma. normálové napětí přibližný výpočet od ohbu prostého nosníku - ohbový moment vvolá zatížení q s vnější zatížení q vl vlastní tíha stěn na 1 bm celkové zatížení q q s q napětí od ohbu průřezový modul W vl 1 6 M napětí dov W ma. napětí v místě podpor 1 reakce A q l t h 3 A napětí dov, tl a dov, otl (dovolené namáhání v tlaku a b t v otlačení)
b Dlouhé desk t 1 bm a 1 bm - dlouhá deska přenáší zatížení hlavně v kratším směru - únosnost lze posoudit jako nosník široký 1 bm a vsoký jako tloušťka desk t - při prostém uložení desk je ohbový moment a napětí M b M 1 qb 8 W - při vetknutí desk po obvodu je ohbový moment a napětí b M 1 qb 1 M W
Obdélníkové a čtvercové desk q=q 1+ q q l - Pro předběžný výpočet lze použít rozdělení zatížení v pruzích ve dvou kolmých směrech - Průhb pruhů musí být stejný v bodu křížení, platí: 1 q1 q 1 19 q l EI q l 8EI 4 1 1 4 q 1 1 19 q1 8 - Ohbové moment ve směru a se spočítají samostatně pro každý pruh zvlášť l l 4 4 1 q l 1
Přenášení zatížení z desek na obvodové stran do podpor či nosníků 45 o 45 o 30 o 45 o 60 o 45 o 30 o 60 o 30 o 45 o 60 o 45 o - Na každou stranu po obvodu desk připadá rovnoměrné zatížené vmezené plochami dle obrázku vetknutí prosté uložení volný okraj
a/3 a/3 Roznášení soustředěných zatížení na pás desk a bd1 l bd l/6 bd1 l/6 bd bd a/3 b<a/3 b<l/6 bd l/6 Z rozměrů roznášecí šířk soustředěného zatížení, z jeho poloh a rozpětí desk mezi dvěma Okraj desk
h h h Příklad protihluková stěna l
1. Působení jako stěna vsoký nosník q vl vlastní tíha panelu Ohbový moment na nosníku 6 1 8 1 h t W W M l q M vl. Působení jako deska tlak větru q v tlak větru 6 1 8 1 t h W W M l q M v t l h q vl q vl l h t q v q v kloubové uložení
Konstrukce podchodů a propustků Stropní deska A l q B Zatížení q: - zatížení vozovk - vlastní tíha zemin - vlastní tíha desk Schema podchodu Stěna podchodu q z q A q a spojitá reakce stropní desk q z tlak zemin Výsledné napětí v patě stěn: - stěnové scislé napětí od - napětí od ohbového momentu jako desk od tlaku zemin