Příhradové konstrukce

Příhradové konstrukce

Základní předpoklady konstrukce je vytvořena z přímých prutů pruty jsou navzájem pospojovány v bodech =>styčnících vzájemné spojení prutů se ve všech styčnících se předpokládá kloubové soustava je podepřena jen vnějšími vazbami, které zabraňují pouze posunu, a to výhradně ve styčnících

Příhrady: - prostorové - rovinné: všechny pruty leží v jedné rovině zatížení působí ve stejné rovině Zatížení: -styčníkové vznikají pouze osové=normálové síly (konstantní po délce prutu) -mimostyčné pro výpočet osových sil lze převést ekvivalentní zatížení do styčníků l 1 l 2 F F r1 F r2 F=F r1 +F r2 -Fl 1 = -F r2 (l 1 +l 2 ) 1 1 Pozor: prut 1 namáhán i ohybem!!

Statická určitost rovinných příhradových soustav jednotlivé styčníky pokládáme za hmotné body a na pruty soustavy pohlížíme jako na vnitřní vazby- kyvné pruty každý styčník (bod) má 2 stupně volnosti každý prut odebírá soustavě 1 st. volnosti f 6 g 7 h 5 8 9 10 11 12 13 s n = p + r ext 2n a 1 b 2 c 3 d 4 e s n stupeň statické neurčitosti soustavy n počet styčníků p počet prutů r ext počet odebraných stupňů volnosti vnějšími vazbami

posouzení vnějšího podepření rovinná příhradová soustava má minimálně 3 stupně volnosti (min. 3 styčníky spojené 3 pruty... m = 3) aby vnější vazby zamezily přemístění konstrukce, musí odebírat soustavě nejméně 3 stupně volnosti (r ext 3) statická/kinematická určitost příhradové soustavy Stupně volnosti Podepření staticky Podepření kinematicky Pozn. s n = 0 (m = r) a rext 3 a není výjimkový případ s n > 0 (m < r) a rext 3 a není výjimkový případ s n < 0 (m > r) a/nebo rext < 3 a/nebo výjimkový případ určité neurčité přeurčité určité přeurčité neurčité kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena kce. nebo její část může samovolně změnit polohu

výjimkový případ podepření: přestože počet vnějších vazeb i prutů příhrady je dostatečný k odebrání všech stupňů volnosti konstrukce (r m, r ext 3), jejich nevhodné uspořádání nezabraňuje skutečným či nekonečně malým posunům/pootočením konstrukce nebo jejíčásti

Posuďte statickou určitost zadané příhradové konstrukce a f 6 g 7 h 5 8 9 10 11 12 13 1 b 2 c 3 d 4 e a f 6 g 7 h 5 8 9 10 11 12 13 1 b 2 c 3 d 4 e s n = 1.13 + (2+1) 2.8 = 16 16 = 0 staticky i kinematicky určitá kce a f 6 g 7 h 5 10 12 15 17 8 9 14 19 11 j 13 16 k 18 1 b 2 c 3 d 4 e s n = 1.19 + (2+1) 2.10 = 22 20 = 2 2x staticky neurčitá/kinematicky přeurčitá kce f 6 g 7 h 5 8 9 10 11 12 13 s n = 13 + (2+2) 2.8 = 17 16 = 1 a 1 b 2 c 3 d 4 e 1x staticky neurčitá/kinematicky přeurčitá kce

Poznámka: tři příhradové pruty navzájem propojené do trojúhelníka tvoří soustavu vnitřně staticky i kinematicky určitou - v podstatě tvoří tuhou desku. = = ze základního trojúhelníka lze vytvořit složitější vnitřně staticky určitou soustavu připojením dalších styčníku (hmotných bodů) vždy pomocí dvou příhradových prutů. Příhradovou soustavu si pak lze představit jako složenou soustavu sestavenou z tuhých desek a můžeme počítat s n = v + r ext 3d d počet desek v počet stupňů volnosti odebraných vnitřními vazbami (klouby, kyvné pruty, ) r ext počet stupňů volnosti odebraných vnějšími vazbami

Př. a f 5 g 6 h 4 7 8 9 10 11 12 1 b c 2 d 3 e s n = 12 + (2+2) 2.8 = 16 16 = 0 f a 8 9 10 11 12 e s n = 2 + (2+2) 3.2 = 6 6 = 0

a Výjimkové případy f 6 g 7 h 5 10 12 15 8 9 14 16 11 j 13 1 b 2 c 3 d 4 e s n = (1.16) + (2) (2.9) = 18 18 = 0 s n = 0 avšak r ext = 2 3 soustava se může volně pootáčet kolem bodu a f g 6 h 5 7 8 9 10 11 12 s n = 1.12 + (2+2) 2.8 = 16 16 = 0 a 1 b 2 c 3 d 4 e s n = 0 a r ext = 4 3 avšak det[d] = 0 soustava je výjimkově podepřena 8 10 11 12 a c e

Obecná metoda styčných bodů Příhradová soustava je staticky určitá Příhradová soustava je řešena jako složená soustava sestavená z hmotných bodů účinek vnějších vazeb se nahradí odpovídajícími nezávislými složkami reakcí účinek vnitřních vazeb (příhradových prutů) se nahradí normálovými (osovými) silami N i Př. 15 kn 15 kn 10 kn e 5 f 15 kn 15 kn xg 10 kn e N 5 f a 4 2,5 m 7 8 9 6 1 b 2 c 3 d 5 kn 2 m 1,5 m 2 m zg N 4 N 8 N 6 N 7 N 9 N 6 N 4 N 8 Ax N 1 N 1 b N 2 N 2 c N 3 N 3 d Az 5 kn D

Má-li být celá příhradová soustava v rovnováze, musí být v rovnováze i každý styčník (hmotný bod) soustavy V každém styčníku 2 silové podmínky rovnováhy. Podmínky rovnováhy všech styčníků (n hmotných bodů) stačí k určení všech normálových- osových sil (p) i všech nezávislých složek vnějších reakcí (r) 2n = p + r obecně soustava 2n rovnic Zjednodušení: -použijeme princip obecné metody styčných bodů -Řešení provádíme postupně tak, že řešíme vždy 2 rovnice pro 2 neznámé (ve dvojném styčníku)

Dvojným styčníkem se nazývá styčník, ve kterém působí (kromě známých sil) právě 2 neznámé osové síly, případně složky reakcí Použití zjednodušené metody styčných bodů vyžaduje, aby vřešené příhradové soustavě byl alespoň jeden dvojný bod (styčník). U většiny příhradových soustav na počátku řešení dvojný styčník neexistuje, proto se provádějí postupy, pomocí kterých se dvojný styčník vytvoří: u celéřady příhradových soustav se dvojný styčník získá tak, že z podmínek rovnováhy soustavy jako celku se určí vnější reakce. další metody řešení- metoda průsečná

Př:

Příklad. 15 kn 15 kn xg 10 kn e N 5 f zg N 4 N 8 N 6 N 7 N 9 N 6 N 4 N 8 2.5 Ax N 1 N 1 b N 2 N 2 c N 3 N 3 d Az 5 kn D 2 1.5 2 A x = -10 kn A z = -13,637 kn D = -21,363 kn OSOVÁ SÍLA Np N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 9 HODNOTA [kn] 20,91 20,909 17,09-17,467-17,091-27,361 5-7,4187 6,3625

Zvláštní typy styčníků N p = N r N q = N s N r = 0 N q = 0 N q N r N q j j N p N s N r N p = N r N q = 0 N q = 0 N p = N r N q j j N q N p N r N p N r

Určení nulových prutů F F F F F

F -F -F L F L L F F F F

F F L 2F L L

Průsečná metoda Má-li být celá příhradová soustava v rovnováze, musí být v rovnováze i každá jejíčást Postup řešení: -Uřešené příhradové soustavy musí být určeno vnější zatížení a vypočteny vnější reakce. -Soustavu rozdělíme řezem na 2 samostatnéčásti tak, aby proťal 3 pruty -Účinek přerušených prutů nahradíme tahovými osovými silami -Ze tří statických podmínek rovnováhy na jednéčásti vyřešíme 3 neznámé osové síly. 15 kn 15 kn xg 10 kn e N 5 f zg N 8 I I N 8 II Ax a b N 2 N 2 c d Az 5 kn D II

Obvyklé použití: Kontrola výpočtu osových sil Výpočet vybraných sil Startovací metoda pro jiné způsoby řešení Poznámka: Řez lze vést i tak, že přeruší n>3 prutů, z nichž n-1 se protíná v jediném bodě (přidružený momentový střed) 1 a N 1 =... Potom lze vypočítat sílu ve zbývajícím prutu z momentové podmínky k přidruženému momentovému středu. (momentová podmínka k nevlastnímu bodu ( ) přechází v součtovou podmínku)

Př. p p přidružený momentový střed N 1

Není-li dvojný styčník, nutno použít průsečnou metodu Dvojný styčník, ale přilehlé jsoučtverné. Řešení: průsečná metoda

Další příklady

Řešení reakcí na příhradovině o více polích -většinou nelze určit všechny z vnějších podmínek rovnováhy 20 30 10 4 4 3 3 3 3 4 neznámé vnější reakce

Pokud není ve styčníku zatížení, pak lze konstrukci v tomto styčníku rozdělit na dvěčásti a zavést síly vzájemného působení, tj. vnitřní reakce mezi částmi. 20 30 A x 10 a C y C x 4 Ay 3 3 3 a: 9C y -10.4-30.3=0 b: 4C x +3C y =0 C x Cy B x 3 C x = -10.83 kn C y = 14,44 kn b B y 4

Pokud je ve styčníku zatížení, pak musíme vést řez mimo tento styčník. 20 30 10 20 4 4 3 3 3 3

20 30 10 A x Ay a N 1 c N 2 N 2 20 4 3 3 3 N 1 c 4 3 Bx B y 3

10 B=15 C=35 D= -35