Složené soustavy. Úloha: Sestavení statického schématu, tj. modelu pro statický výpočet (např.výpočet reakcí)

Transkript

1 Složené soustavy Vznikají spojením jednotlivých konstrukčních prvků Úloha: Sestavení statického schématu, tj. modelu pro statický výpočet (např.výpočet reakcí) Metoda: Konstrukci idealizujeme jako soustavu hmotných bodů, tuhých těles (v prostoru) nebo hmotných bodů a tuhých desek (v rovině) Spoje a založení konstrukce nahradíme vazbami Tyčové prvky (L>>b,h) budeme nazývat pruty 1

2 Zastřešení nástupiště (AP Atelier, Praha) Statické schéma 2D 3D 2

3 Model části Střešní vazník vazba Sloup Příčný řez 3

4 Administrativní budova Model části - rámový výsek Rám Založení 4

5 Kotvená stěna (Zakládání staveb, a.s.) Prutový model (2D) pažení kotva Příp. pružné podloží 5

6 Spojitá konstrukce mostu Prutový model (2D) pilíř mostovka založení mostní závěry 6

7 Model lomeného nosníku F 3 7

8 Složené soustavy = příklady prutových modelů Vnitřní vazba Náhrada střednicí 8

9 Vazby: vnější - připojují soustavu k podkladu (základům, další konstrukci a.p.) vnitřní - spojují jednotlivé prvky 9

10 2D model rovinná soustava - zatížení: rovinná soustava sil a - rovinné uspořádání vazeb vnitřní vazba deska G G vnější vazba a reakce 10

11 3D model prostorová soustava - zatížení: prostorová soustava sil a/nebo - prostorové uspořádání vazeb 11

12 Princip výpočtu reakcí: 1) konstrukci rozdělíme na jednotlivé prvky 2) účinky vazeb nahradíme neznámými reakcemi a) vnější vazby a b A h B h A v B v 12

13 b) vnitřní vazba Dvojný kloub každá vnitřní vazba musí být v rovnováze c C Ih C Iv C IIh C IIv CIIh C Iv C Ih C IIv -C Ih + C IIh =0 -C Iv + C IIv =0 C h C h C v C v Dvojnásobný kloub odebírá 2 st. volnosti 13

14 Reakce vypočítáme tak, aby každáčást konstrukce byla v rovnováze soustava je v rovnováze jako celek podmínky rovnováhy pro každý prvek zahrneme pouze zatížení a reakce působící na prvek podmínky rovnováhy pro soustavu jako celek (vnější podmínky rovnováhy) zahrneme všechna zatížení kce. a vnější reakce Nadbytečné podmínky (můžeme použít pro výpočet nebo pro kontrolu) 14

15 Příklad 15

16 16

17 Rovinné složené soustavy Vícenásobný kloub 17

18 vícenásobný kloub pro výpočet reakcí působících na připojené pruty někdy zjednodušujeme Pozor: nepřípustné pro detailní výpočet vazby (spoj. plechu, čepu ap.). 18

19 Trojný kloub r II = 2 II r = r I + r II = 4 odebrané st. volnosti r I I = 2 referenční deska (pevná) relativní otáčení dalších 2 desek n-násobný kloub spojuje n desek relativní otáčení dalších (n-1) desek odebrané st. volnosti: r = 2 (n-1) 19

20 Zavedení reakcí II A IIh ref. A IIv A Ih A IIh A IIv A Iv I A Iv A Ih nebo A IIh A Iv ref. A Ih III A IIh A IIv Výsledné celkové reakce působící na připojené desky vyjdou v obou případech stejně. Avšak pro detailní výpočet sil působících na vazby (spoj. plech, čep ap.) je nutno zavést reakce podle skutečného působení vazby! A IIv A Ih A Iv I 20

21 * pozor, rozdíl trojný kloub II A IIv A Iv A Ih A IIh A IIh II A IIv A Iv III I III A Ih I dvojný kloub II II A v A v I A h A h I 21

22 dvěči více vazeb v jednom místě, např.: 22

23 dvěči více vazeb v jednom místě, např.: II b a I = II b a I nebo II b I a II B v A v B h A h B v B h I nebo Výsledné celkové reakce působící na připojené desky i ve vnější vazbě vyjdou v obou případech stejně. Avšak pro detailní výpočet sil působících na vazby (spoj. plech, čep ap.) je nutno zavést reakce podle skutečného23 působení vazby! II B v B h B v B h A v I A h

24 II zatížená vazba, např.: A v II A h F F A h A v I II I nebo F vnější sílu F můžeme přiřadit desce I nebo II (nebo rozdělit její působení na desky v určitém poměru, např. 50/50%) A v A h A h A v I pozn.: podobně pro moment Výsledné celkové síly působící na připojené desky vyjdou v obou případech stejně. Avšak pro detailní výpočet sil působících na vazby (spoj. plech, čep ap.) je nutno zavést reakce podle skutečného působení vazby! 24 nebo II ½F A v A h ½F A h A v I

25 Posouzení statické neurčitosti stupně volnosti soustavy m = součet počtů stupňů volnosti jednotlivých prvků bez vlivu vazeb r = součet počtů stupňů volnosti odebraných všemi vazbami s n = r - m stupeň statické neurčitosti soustavy posouzení vnějšího podepření rovinná složená soustava má minimálně 3 stupně volnosti (min. 1 deska... m = 3) prostorová složená soustava má minimálně 6 stupňů volnosti (min. 1 těleso... m = 6) aby vnější vazby zamezily přemístění konstrukce, musí odebírat nejméně: 3 stupně volnosti rovinné soustavě (r ext 3) 6 stupňů volnosti prostorové soustavě (r ext 6) 25

26 statická/kinematická určitost soustavy Stupně volnosti Podepření staticky Podepření kinematicky Pozn. s n = 0 (m = r) a rext 3 a není výjimkový případ s n > 0 (m < r) a rext 3 a není výjimkový případ s n < 0 (m > r) a/nebo rext < 3 a/nebo výjimkový případ určité neurčité přeurčité určité přeurčité neurčité kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena kce. nebo její část může samovolně změnit polohu výjimkový případ podepření: přestože počet vazeb je dostatečný k odebrání všech stupňů volnosti konstrukce (r m, r ext 3 nebo r ext 6), jejich nevhodné uspořádání nezabraňuje skutečným či nekonečně malým posunům/pootočením konstrukce nebo jejíčásti 26

27 Příklady: r c = 2 I. m c II. I = 3 m II = 3 a d b r r a = 2 d = 1 r b = 1 r c = 2 I. m c II. I = 3 m II = 3 a b r a = 2 r b = 2 m = 2 3 = 6 r = (2+1)+(2+1) = 6 vnější vnitřní s n = r m = 0 staticky i kinematicky určitá kce. vnější podepření: r ext = (2+1) = 3 3 m = 2 3 = 6 r = (2+2) + 2 = 6 vnější vnitřní s n = r m = 0 staticky i kinematicky určitá kce. vnější podepření: r ext = (2+2) = 4 3 r c = 2 I. m c II. I = 3 m II = 3 a d b r r a = 2 d = 1 r b = 2 m = 2 3 = 6 r = (2+2)+(2+1) = 7 vnější vnitřní s n = r m = 1 1x staticky neurčitá / 1x kinematicky přeurčitá kce. vnější podepření: r ext = (2+2) =

28 I. m I = 3 r c = 2 c d r d = 1 II. m II = 3 a e r e = 1 b r a = 2 r b = 1 m = 2 3 = 6 r = (2+1)+(2+1+1) = 7 vnější vnitřní s n = r m = 1 1x staticky neurčitá / 1x kinematicky přeurčitá kce. vnější podepření: r ext = (2+1) = 3 3 Všimněme si: tuhý celek - deska I. c II. d a e b r a = 2 r b = 1 Vnější vazby odebírají tuhé desce 3 stupně volnosti... konstrukce je vně staticky určitá. 28

29 m = 2 3 = 6 r c = 2 I. m c II. vnější vnitřní I = 3 m II = 3 a b r a = 2 r b = 1 r = (2+1) + (2) = 5 s n = r m = 1 1x staticky přeurčitá / 1x kinematicky neurčitá kce. (přestože vnější podepření: r ext = (2+1) = 3 3) I. m I = 3 r c = 2 c d r d = 1 II. m II = 3 a e r e = 1 r a = 2 m = 2 3 = 6 r = (2) + (2+1+1) = 6 vnější vnitřní s n = r m = 0 ALE vnější podepření: r ext = kce. vně staticky přeurčitá, není zamezeno pootočení 29

30 r c = 1 c m I = 3 m II = 3 I. r d = 1 d II. a b r a = 2 r b = 2 m = 2 3 = 6 r = (2+2) + (1+1) = 6 vnější vnitřní s n = r m = 0 vnější podepření: r ext = (2+2) = 4 3 ALE nevhodné uspořádání vazeb nezamezuje přemístění kce.... výjimkový případ podepření 30

31 * další příklady výjimkových případů podepření rovinných složených soustav 31

32 Př.: Vypočtěte vnitřní a vnější reakce rovinné konstrukce M 1 = 7 knm F 1 = 10 kn F 2 = 5 kn 2 F 3 = 3 kn (m) 32

33 Posouzení statické určitosti m = 3 r = 4 m = 3 m = 3 r = 1 r = 2 r = 1 r = 1 nebo m = 3 r = 4 m = 3 m = 3 3 = 9 r = = 9 m = r, S n =0, staticky určitá kce r ext =4 > 3 m = 4 3 = 12 m = 3 r = 2 r = 2 r = 2 r = 1 m = 3 r = 1 r = = 12 m = r 33

34 Rozdělení na prvky a zavedení reakcí M 1 = 7 knm F 1 = 10 kn E Ih E Iv E IIh E IIv II. F 2 = 5 kn I. E Iv E Ih E IIh F 3 = 3 kn E IIv A v A h III. D D C B I. e III. II. a b d c 34

35 Podmínky rovnováhy M 1 = 7 knm F 1 = 10 kn E Ih E Iv E IIh E IIv II. F 2 = 5 kn I. A h E Iv E Ih F 3 = 3 kn A D I: C v II: r r x : Ax + EIh = 0 K(1) B x : F2 EIIh D = 0 K(4) z : F1 + Av + EIv = 0 K(2) 4. z : C E IIv = 0 K(5) 2. ) ) e : M1 + 4Av + 5Ah = 0 K(3) e : 5D 4C = 0K(6) r III: x : EIh + EIIh + D + F3 = 0 K(7) 3. z : EIv + EIIv + B = 0 K(8) ) e : 2F3 + 5D = 0K(9) E IIv III. E IIh D

36 Podmínky rovnováhy M 1 = 7 knm F 1 = 10 kn F 2 = 5 kn 2 F 3 = 3 kn 3 A h 4 4 A v B C Vnější podmínky (kontrola) r x : A + F + F = 0 K(10) h 2 3 z : Av + B + C + F1 = 0 K(11) ) a : M 4F 5F 3F 4B 8C = 0 K(12)

37 Výsledek: F 1 = 10 kn M 1 = 7 knm I. 6.2 F 3 = 3 kn II. F 2 = 5 kn (kn) Pozn. Na ref. desce lze reakce sečíst