M - Příprava na pololetku č. 1-1KŘA, 1KŘB, 1SB. Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s odkazem na http://www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
Číselné obory Číselné obory Přirozená čísla - označujeme N Potřebujeme-li přidat nulu, pak označujeme N 0. - jedná se o čísla 1, 2, 3, 4,... Nejmenší přirozené číslo je 1. Celá čísla - označujeme Z (Opět můžeme vytvářet např. Z +, Z -, či Z 0 +.) - tento číselný obor dostaneme, když k přirozeným číslům přidáme čísla opačná a nulu Racionální čísla - označujeme Q (Opět můžeme vytvářet např. Q +, Q -, či Q 0 +.) - jsou to všechna čísla, která můžeme vyjádřit zlomkem s celočíselným čitatelem i jmenovatelem. Iracionální čísla - nemají své označení, protože ho vlastně nepotřebujeme - patří sem např. čísla π, 2, 3, apod. Reálná čísla - označujeme je R (Opět můžeme vytvářet např. R +, R -, či R0 +.) - jsou to všechna čísla, která můžeme zobrazit na číselné ose Komplexní čísla - označujeme je C - jsou to čísla, která už nelze zobrazit na jedné číselné ose, ale potřebujeme k tomu dvě na sebe kolmé osy (podobně jako pro zobrazení bodů v rovině). Rovinu, v níž čísla zobrazujeme, nazýváme Gaussovou rovinou. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty s reálnými čísly Výraz je matematický zápis, ve kterém se vyskytují čísla (např. 2, 76, 896), proměnné (např. x, y, z), znaky početních operací (např. +, -, :), případně i pomocné znaky (např. závorky). Pokud se ve výrazu nevyskytují proměnné, ale pouze čísla, hovoříme o číselném výrazu. Pozn.: Úpravy číselných výrazů budeme provádět zpaměti, tedy bez použití kalkulačky Přehled základních operací s číselnými výrazy 1. Sčítání (odečítání) číselných výrazů členy při sčítání nazýváme sčítanci, výsledek pak součet; při odečítání nazýváme číslo, od něhož odečítáme, menšenec, číslo, které odečítáme, menšitel a výsledek rozdíl při sčítání využíváme vhodně komutativnost, případně asociativnost jedná-li se o složitější čísla, postupujeme odzadu, podobně jako při sčítání (odečítání) písemném - pozor na odpovídající si řády! zlomky sčítáme (odečítáme) tak, že je nejprve převedeme na společného jmenovatele 2. Násobení číselných výrazů členy, které mezi sebou násobíme, nazýváme činitelé, výsledek pak jejich součin opět výhodně využíváme komutativnost nebo asociativnost složitější čísla si vynásobíme formou pomocného výpočtu pod sebe, případně můžeme využít některých dalších pomůcek (např. máme-li číslo vynásobit 25, je vhodné ho vynásobit stem a následně vydělit čtyřmi) násobíme-li desetinná čísla, má výsledek tolik desetinných míst, kolik jich měly všechny činitelé dohromady násobíme-li mezi sebou zlomky, pak součin jejich čitatelů lomíme součinem jejich jmenovatelů Pozn.: U zlomku horní číslo nazýváme čitatel, spodní jmenovatel 1 z 46
3. Dělení číselných výrazů číslo, které dělíme, nazýváme dělenec, číslo, kterým dělíme, nazýváme dělitel a výsledek podíl opět můžeme používat různé triky - např. chceme-li číslo dělit 25, pak ho vydělíme stem a následně vynásobíme čtyřmi dělíme-li mezi sebou desetinná čísla, postupujeme nejprve tak, že výpočet rozšíříme tak, aby v děliteli vymizelo desetinné číslo dělení často vyjadřujeme zlomkem Pozn.: Zlomky můžeme rozšiřovat (tj. můžeme násobit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly), dále je můžeme též krátit (tj. dělit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly). Při rozšiřování nebo krácení zlomků se nemění jejich hodnota. Zlomek je v základním tvaru, pokud už honelze dále krátit. dělíme-li mezi sebou dva zlomky, násobíme první zlomek (v nezměněné podobě) převrácenou hodnotou druhého zlomku Pozn.: Převrácenou hodnotu zlomku dostaneme tak, že jeho čitatele nahradíme jmenovatelem a naopak. Pokud u zlomku změníme jen znaménko, dostáváme zlomek opačný. Při této činnosti je jedno, zda napíšeme znaménko do čitatele, do jmenovatele nebo před zlomek. 4. Umocňování číselných výrazů umocňujeme-li desetinné číslo, pak výsledek má tolik desetinných míst, kolik je součin desetinných míst u původního čísla a exponentu mocniny umocňujeme-li číslo, které končí jednou nebo více nulami, pak umocníme tu část čísla, která vznikne po pomyslném odstranění nul a připíšeme tolik nul, kolik je součin jejich původního počtu a čísla v exponentu umocňujeme-li zlomek, pak umocňujeme jeho čitatele i jmenovatele druhé mocniny čísel do 20 musíme znát zpaměti 1 2 1 11 2 121 2 2 4 12 2 144 3 2 9 13 2 169 4 2 16 14 2 196 5 2 25 15 2 225 6 2 36 16 2 256 7 2 49 17 2 289 8 2 64 18 2 324 9 2 81 19 2 361 10 2 100 20 2 400 stejně tak musíme znát zpaměti třetí mocniny čísel do 10 1 3 1 2 3 8 3 3 27 4 3 64 5 3 125 6 3 216 7 3 343 8 3 512 9 3 729 10 3 1000 5. Odmocňování číselných výrazů provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) druhou odmocninu desetinného čísla, musíme nejprve číslo upravit tak, aby obsahovalo sudý počet desetinných míst a zároveň toto číslo zapsané bez ohledu na desetinnou čárku bylo v rozmezí od jedné do tisíce. To provedeme tak, že buď přidáme nulu na konec čísla, případně provedeme zaokrouhlení. U výsledku pak přibude polovina desetinných míst z jejich původního počtu. provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) třetí odmocninu desetinného čísla, postupujeme úplně stejně, jen číslo v prvním kroku upravíme tak, aby počet desetinných míst byl násobkem tří. U výsledku pak přibude třetina desetinných míst z jejich původního počtu. jedná-li se o čísla naopak příliš velká (končí jednou nebo více nulami), provedeme zaokrouhlení tak, aby počet nul byl sudé číslo (pro druhou odmocninu) a číslo odpovídající násobku tří (pro třetí odmocninu) a 2 z 46
zbytek čísla (po pomyslném oddělení nul) byl z rozmezí od jedné do tisíce. Po odmocnění posuneme desetinnou čárku o tolik míst doprava, kolik je polovina z celkového počtu nul (pro druhou odmocninu) nebo třetina z celkového počtu nul (pro třetí odmocninu) Pokud se v číselném výrazu vyskytují závorky, řešíme je na prvním místě s tím, že v první fázi odstraňujeme závorky kulaté, dále hranaté a nakonec teprve závorky složené. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešení: Příklad 2: Vypočtěte: Řešení: Příklad 3: Vypočtěte: 3 z 46
Řešení: Pozn.: Sejdou-li se při úpravě číselného výrazu, pak postupujeme tak, že dvě shodná znaménka nahradíme znaménkem plus a dvě opačná znaménka nahradíme znaménkem minus. Číselné výrazy - procvičovací příklady 1. Vypočti a výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa 1848-8,43 2. Vypočti 1820 4 z 46
3. Vypočtěte a zaokrouhlete na desítky 1840 20 4. Vypočti 1852 5. Vypočti 1838 206 6. Vypočti 1853-5 7. Vypočtěte: 15,1 ( 2) 14 3 + 6,3: ( 0,7) [(2,5 3,7) : 4 625 + 15,1] 1809 8. Vypočti 1830 5 z 46
9. Vypočti 1822 10. Vypočti 1817 0,23 11. Vypočti 1839 12. Vypočti 1816 6 z 46
13. Vypočti 1832 4 14. Vypočti 1850 15. Zjednoduš: 1813 16. Vypočti 1843 262 17. Vypočti 1824 7 z 46
18. Vypočti 1854 19. Vypočti 1819 20. Vypočti 1823-0,16 21. Vypočti 1847 22. Vypočti bez zaokrouhlování 1815 8 z 46
23. Vypočti 1825 24. Vypočtěte bez použití kalkulátoru: 2 2 1 1 14 2 ( 3) + 6,4: ( 0,8) : (1,8 2,9) 4 2-7,1 1810 25. Vypočti: 1833-11,8 26. Vypočti 1846 27. Vypočtěte 1841 3 28. Vypočti 1831 18,1 29. Vypočti 1818 100 000 9 z 46
30. Vypočti číslo b a zapiš jeho převrácenou hodnotu 1814 31. Vypočti 1827 32. Vypočti 1842 3 33. 1811 240 34. Zjednoduš zlomek a potom jej převeď na desetinné číslo zaokrouhlené na tisíciny. 1812-0,182 10 z 46
35. Vypočti 1828 36. Vypočti 1821 37. Vypočti 1836 216 38. Vypočti 1849 39. Vypočti 1834 11 z 46
40. Vypočti 1835 50 41. Vypočti 1837 834 42. Vypočti 1851 43. Vypočti 1829 2 44. Vypočti 1845 12 z 46
45. Vypočti 1844-1 46. Vypočti 1855 47. Vypočti 1826 Procenta Procenta U příkladů, kde se vyskytují procenta, rozlišujeme tři základní veličiny: - základ (100%)... z - procentovou část... č - počet procent... p První dvě z uvedených veličin mají vždy stejnou jednotku (tzn. obě jsou například v kilogramech), zbývající třetí je vždy uvedena v procentech. Zpravidla vždy dvě z uvedených veličin známe, třetí počítáme. Úlohy na procenta můžeme řešit několika postupy: 1. Řešení přes jedno procento (někdy též říkáme přes procentový trojřádek) Příklad 1: Vypočtěte, kolik je 64 % z 12,6 kilogramů mouky. 13 z 46
Řešení: 100 %... 12,6 kg mouky 1 %... 12,6 : 100 kg = 0,126 kg mouky 64 %... 64. 0,126 kg = 8,064 kg Závěr: 64 % z 12,6 kg mouky představuje asi 8 kg mouky. 2. Řešení trojčlenkou Příklad 2: Vypočtěte, kolik procent představuje 6 minut ze 2,5 hodiny Řešení: 100 %... 2,5 h x %... 6 min = 0,1 h ------------------------------------------ U procent se vždy jedná o přímou úměrnost, proto "šipky by vždy vedly obě nahoru". Sestavíme výpočet: x = 100. 0,1/2,5 x = 4 % Závěr: Šest minut ze 2,5 hodiny představuje 4 %. 3. Řešení podle vzorce Příklad 3: Vypočtěte, z kolika kilometrů představuje 8 metrů 20 %. Řešení: č = 8 m p = 20 % z =? -------------------------------- z = 100č/p z = 100. 8/20 z = 40 m = 0,04 km Závěr: Osm metrů představuje 20 % z 0,04 kilometru. Pozn.: Přehled všech tří vzorců: z = 100č/p č = zp/100 p = 100č/z 4. Řešení na kalkulačce (myšleno na takové, která má klávesu s označením procent) Klávesa s označením procent má takovou vlastnost, že po jejím stisku se předchozí výpočet automaticky vynásobí stem, předcházelo-li dělení a naopak vydělí stem, předcházelo-li násobení. Jedná se tedy o zrychlení práce, nic víc. 14 z 46
Procenta - procvičovací příklady 1. Na konci zimní sezóny byla slevněna bunda z 2 100 Kč na 1 800 Kč. O kolik % byla bunda zlevněna? 14,3 % 576 2. Vypočítejte jednu sedminu z 15 % z čísla 63. 1,35 579 3. Co je méně? 8 % z 500 g nebo 6 % z 1 kg. Odpověď zdůvodněte výpočtem. Méně je 8 % z 500 g. 603 4. Množství krve v lidském těle je přibližně 7,6 % hmotnosti těla. Kolik kg krve je v těle dospělého člověka o hmotnosti 75 kg? 5,7 kg 599 5. Turisté ušli první den výletu 35 % cesty, druhý den 41 %. Na poslední, třetí den, jim zbývá ujít 15,6 km. Jak dlouhá byla celá cesta? 65 km 574 6. Z 1 600 součástek bylo 44 vadných. Kolik procent součástek bylo bez vady? 97,25 % 592 7. Zmenšením neznámého čísla o 427 dostaneme 35 % jeho původní hodnoty. Které je to číslo? 656,9 583 8. V závodě je zaměstnáno 344 žen. Zbývajících 57 % zaměstnanců jsou muži. Kolik zaměstnanců má závod? 800 586 9. Podnik přispívá zaměstnancům na stravenky 3,30 Kč na jeden oběd a zaměstnanci platí 78 % hodnoty oběda. Jaká je cena oběda? Kolik korun platí za oběd zaměstnanci? Oběd stojí 15 Kč, zaměstnanci platí 11,70 Kč. 611 10. Kolik procent činí 40,8 ze 120? 34 % 598 11. Kolika procentům původní ceny se rovná cena zboží, které bylo nejprve o 20 % zdraženo a potom byla jeho nová cena o 20 % snížena? 96 % 607 12. Jaká musí být prodejní cena výrobku, jestliže náklady na jeho výrobu jsou 300 Kč a chci ho prodat se ziskem 20 % z prodejní ceny? 375 Kč 584 15 z 46
13. Jirka spořil na prázdninový výlet. V lednu uspořil dvě pětiny celé částky, v únoru polovinu toho co v lednu a v březnu 15 % celkové sumy. Do celé částky mu chybí ještě 150 Kč. Kolik bude stát celý výlet a kolik Kč naspořil v jednotlivých měsících? Celý výlet 600 Kč, v lednu naspořil 240 Kč, v únoru 120 Kč a v březnu 90 Kč. 595 14. Kolik procent je 1 minuta a 48 sekund ze 3 hodin? 1 % 578 15. Obchodník prodal čtvrtinu zboží se ziskem 20 % a utržil za ni 1 680 Kč. Druhou čtvrtinu prodal se ziskem 10 %, další čtvrtinu za nákupní cenu a poslední čtvrtinu se ztrátou 5 %. Určete nákupní cenu zboží a obchodníkův zisk. Nákupní cena 5 600 Kč, zisk obchodníka 350 Kč. 585 16. Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady? 560 588 17. Vypočtěte, kolik procent je 18,5 ze 400. 4,625 % 612 18. Zmenšíme-li neznámé číslo o 427 dostaneme 65 % jeho hodnoty. Určete neznámé číslo. 1 220 606 19. Na výměře 5 ha bylo sklizeno v určitém roce 19 tun obilí. V následujícím roce byla výměra pro osev obilí snížena o 12 %, ale hektarový výnos se proti předchozímu roku zvýšil o 12 %. Kolik tun obilí se v tomto roce sklidilo? 18,7 t 593 20. Číslo 72 zvětšete o 25 %. O kolik procent budete muset číslo, které vám vyšlo, zmenšit, abyste opět dostal číslo 72? 20 % 610 21. Za vykonanou práci si vydělali 3 pracovníci celkem 80 400 Kč. Rozdělili se tak, že první dostal o 20 % více než druhý a třetí o 15 % více než druhý. Kolik Kč dostal každý z nich? První 28 800 Kč, druhý 24 000 Kč, třetí 27 600 Kč 575 22. Zboží, jehož původní cena byla 2 400 Kč, bylo dvakrát zlevněno. Nejprve o 15 %, později o 10 % z nové ceny. Určete konečnou cenu zboží a počet procent, o kolik bylo zboží celkem zlevněno. Konečná cena 1836 Kč, zlevněno bylo o 23,5 %. 581 23. Dva společníci si rozdělili zisk 66 000 Kč tak, že druhý dostal o 20 % více než první. Kolik dostal každý? První dostal 30 000 Kč, druhý 36 000 Kč. 605 16 z 46
24. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 10 %, později ještě o 10 % z nové ceny. Po tomto dvojitém snížení cen se lednička prodala za 4455 Kč. Vypočítejte její původní cenu. 5 500 Kč 596 25. Obchodník koupil dodávku materiálu a při prodeji vydělal 2 500 Kč následujícím způsobem. Třetinu dodávky prodal o 18 % dráž, čtvrtinu o 11 % dráž a zbytek o 5 % levněji než nakoupil. Kolik zaplatil dodavateli? Proveďte zkoušku. 37 500 Kč. 597 26. Kolik stála původně halenka, jestliže po slevě o 15 % stála 459 Kč? 540 Kč 591 27. V nově založeném sadu se ujalo 1 470 stromků, což je 98 % všech sazenic. Kolik stromků vysadili? 1 500 stromků 601 28. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15 %, později o 5 % z nové ceny. Po tomto dvojím snížení ceny se lednička prodávala za 9 690 Kč. Vypočtěte její původní cenu. 12 000 Kč 609 29. V roce 1990 byla cena za 1 litr benzínu special 16 Kč. Nyní stojí 19,20 Kč. O kolik procent se cena zvýšila? 20 % 600 30. Zboží v hodnotě 400 Kč bylo nejprve zdraženo o 10 % a pak zlevněno o 10 % z nové ceny. Určete jeho konečnou hodnotu. 396 Kč 604 31. Rozhlasový přijímač, jehož původní cena byla 2 200 Kč, byl po technickém zdokonalení zdražen o 20 %. Později byl o 15 % z nové ceny zlevněn. Jaká byla jeho konečná cena? 2 244 Kč 602 32. Z jakého čísla je číslo 8 20%? 40 613 33. Sedlák vzal do města tři pětiny svých úspor a z této částky utratil 18 %. Kolik procent všech uspořených peněz mu zbylo? 89,2 % 594 34. Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady? 98 % 589 17 z 46
35. Kolik procent je 21 ze 105? 20 % 587 36. Pětina žáků třídy je nemocná, 40 % žáků šlo na soutěž a ve třídě zůstalo 10 žáků. Kolik žáků má tato třída? 25 žáků 580 37. Pro nově budovanou cestu musel být delší rozměr obdélníkového pozemku zkrácen o 7 % a kratší o 8 %. Jaké jsou nové rozměry pozemku a o kolik procent se zmenšila jeho plošná výměra? Původní rozměry pozemku byly 60 m a 30 m. Nové rozměry: 55,8 m, 27,6 m; výměra se zmenšila o 14,4 %. 608 38. Zvětšíme-li neznámé číslo o 4 %, dostaneme 780. Určete neznámé číslo. 750 577 39. 19 % z neznámého čísla je o 12 méně než 23 % z téhož čísla. Určete neznámé číslo. 300 614 40. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15 %, později ještě o 5 % z nové ceny. Po tomto dvojím snížení cen se lednička prodávala za 2 584 korun. Jaká byla původní cena? 3 200 Kč 582 41. Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4 %. Kolik výrobků je bez vady? 1 479 590 Poměr, trojčlenka Poměr Poměr je matematický zápis ve tvaru zlomku, případně ve tvaru dělení. Např.: 7 : 5 (čteme sedm ku pěti) Jednotlivá čísla nazýváme členy poměru. Poměr může mít dva, ale i více členů. Má-li poměr více než dva členy, nazýváme ho poměr postupný. Poměr můžeme rozšiřovat a krátit, podobně jako zlomky. Platí zde i stejná pravidla, protože vlastně každý poměr můžeme napsat i ve tvaru zlomku. Poměr je v základním tvaru, jsou-li jeho členy čísla navzájem nesoudělná. Příklad 1: Poměr 2,4 : 7,2 uveďte do základního tvaru. Řešení: 2,4 : 7,2 /* 10 18 z 46
Příklad 2: 24 : 72 /: 8 3 : 9 / : 3 1 : 3 Následující poměr uveďte do základního tvaru: 2 1 : 3 8 Řešení: 2 1 : 3 8 /* 24 (společný násobek jmenovatelů) 16 : 3 --------------------------------------------------------- Změna čísla v poměru: Změnit dané číslo v poměru, znamená vynásobit toto číslo poměrem ve tvaru zlomku. Příklad 3: Číslo 25 změňte v poměru 7 : 2 Řešení: 7 175 25. = = 87,5 2 2 Výsledné číslo je 87,5. Je-li první člen poměru větší než druhý, jedná se o zvětšení. Je-li první člen poměru menší než druhý, jedná se o zmenšení. ---------------------------------------------------------- Rozdělení čísla v poměru: Pokud máme dané číslo rozdělit v poměru, musíme nejprve jednotlivé členy poměru sečíst. Následně určíme hodnotu jednoho dílu, a to tak, že původní číslo dělíme získaným součtem. Na závěr spočteme hodnoty jednotlivých dílů, které vyjadřuje poměr. Příklad 4: Číslo 81 rozdělte v poměru 2 : 7 Řešení: 2 + 7 = 9... počet dílů 81 : 9 = 9... hodnota jednoho dílu 2. 9 = 18... hodnota odpovídající prvnímu členu poměru 7. 9 = 63... hodnota odpovídající druhému členu poměru Dané číslo jsme tedy rozdělili na dvě čísla, a to 18 a 63. Jsou v poměru 2 : 7. 19 z 46
------------------------------------------------------------ Změna postupného poměru na jednoduché poměry: Z každého postupného poměru můžeme vytvořit jeden nebo více poměrů jednoduchých. Příklad 5: Je dán postupný poměr 2 : 5 : 7. Vytvořte z něj alespoň dva poměry jednoduché. Řešení: Vybereme kterékoliv dva členy poměru - tedy např. 2 : 5 a 2 : 7 Změna jednoduchých poměrů na postupný: Máme-li dva nebo více poměrů jednoduchých, můžeme z nich vždy vytvořit poměr postupný. Příklad 6: Jsou dány jednoduché poměry 2 : 7 a 3 : 8. Vytvořte z nich jeden poměr postupný. Řešení: Jednoduché poměry musíme nejprve upravit rozšířením nebo krácením tak, aby jeden z členů měly společný. Tedy např. 2 : 7 /*4 8 : 28 Nyní máme v obou poměrech člen 8 a toho využijeme: 8 : 28 3 : 8 Závěr: Hledaný postupný poměr může být 3 : 8 : 28 ------------------------------------------------------------ Trojčlenka Jak už sám název napovídá, jedná se o výpočet, kde figurují tři členy; přesněji řečeno tři členy známe a čtvrtý budeme počítat. Jedná se o postup, který má obrovské praktické využití, proto ho musí každý bezpečně ovládat. Pokud řešíme příklad pomocí trojčlenky, vždy nejprve sestavíme zápis, a to tak, že stejné veličiny musí být pod sebou a neznámou doporučuji vždy ponechat ve druhém řádku. V dalším kroku rozhodneme, zda jsou veličiny ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zobrazíme si pomocné šipky. Bez jakéhokoliv dlouhého uvažování tam, kde máme neznámou (ve druhém řádku), uděláme šipku směrem nahoru. Jedná-li se o úměrnost přímou, pak na druhé straně bude šipka stejným směrem (tedy též nahoru) a jedná-li se o úměrnost nepřímou, bude na druhé straně šipka opačným směrem (tedy dolů). Na základě šipek se stavíme výpočet, po jehož vyřešení obdržíme výsledek. Příklad 7: Tři kilogramy pomerančů stojí 66,- Kč. Kolik korun bude stát pět kilogramů pomerančů? Řešení: 3 kg pomerančů... 66,- Kč 5 kg pomerančů... x Kč (šipky by v tomto případě vedly obě vzhůru) -------------------------------------------------- 20 z 46
5 x = 66. = 110 3 x = 110,- Kč Pět kilogramů pomerančů bude stát 110,- Kč. Příklad 8: Pět zaměstnanců postaví přístřešek za 7 dní. Kolik zaměstnanců musíme na práci přibrat, má-li stavba být hotova už za 4 dny? Řešení: 5 zaměstnanců... 7 dní x zaměstnanců... 4 dny (šipky by v tomto případě vedly vlevo vzhůru a vpravo dolů) ------------------------------------------------- 7 x = 5. = 8,75 4 x = 8,75 zaměstnance 8,75-5 = 3,75 Přibrat bychom tedy měli 3,75 zaměstnance, což znamená z praktických důvodů, že musíme přibrat ještě 4 zaměstnance. ------------------------------------------------------------ Složená trojčlenka Jedná se vlastně o dva nebo více výpočtů spojených do jednoho. Místo použití složené trojčlenky můžeme většinou bez problémů použít dvakrát nebo vícekrát za sebou trojčlenku obyčejnou. Příklad 9: Šest dělníků opracuje za 5 směn 1020 součástek. Za jak dlouho opracuje 10 dělníků 2000 součástek při stejném výkonu? Řešení: 6 dělníků... 5 směn... 1020 součástek 10 dělníků... x směn... 2000 součástek ------------------------------------------------------------------------------ Střední šipka - bez uvažování směrem vzhůru. Pak musíme rozhodnout, zda okrajové veličiny jsou s veličinou střední postupně ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zde vychází u levé veličiny šipka dolů a u pravé šipka vzhůru. 6 2000 x = 5.. = 5,9 10 1020 x = 5,9 směny (přibližně) Deset dělníků opracuje 2000 součástek zhruba za 5,9 směny. Poměr, trojčlenka - procvičovací příklady 21 z 46
1. Plán má měřítko 1 : 2 500. Jakými rozměry bude na plánu zakreslena ovocná zahrada, má-li ve skutečnosti délku 425 m a šířku 240 m? 17 cm a 9,6 cm 865 2. Šest strojů zpracuje zásobu materiálu za 15 směn. Za kolik směn zpracuje tuto zásobu materiálu osm stejných strojů? 11,25 směny 849 3. 4,5 kg jablek stojí 81 Kč. Kolik stojí 2,5 kg? 45 Kč 847 4. Na těleso působí dvě navzájem kolmé síly F1, F2, které jsou v poměru 3:4. Menší síla (F 1) má velikost 12 N. Najděte výslednici F početně i graficky. F = 20 N 858 5. Jestliže píce vystačí 300 kusům dobytka na dva týdny, kolika kusům vystačí na tři týdny? 200 kusům 848 6. 6 dělníků by vykonalo práci za 30 dnů. Práce má být hotová za 20 dnů. Kolik dělníků se musí na práci přibrat? 3 dělníci 839 7. Počet žáků, kteří do školy dojíždějí, k počtu žáků, kteří docházejí pěšky, je dán poměrem 2 : 7. a) Kolik žáků má škola, když dojíždějících je 96? b) Kolik procent žáků školy dojíždí (zaokrouhlete na jedno desetinné místo)? Ve škole je 432 žáků, dojíždí jich 22,2 %. 845 8. 120 kg pomerančů se má rozdělit na dvě části tak, aby byly v poměru 12,6 : 9. Určete hmotnosti obou částí. 50 kg a 70 kg 842 9. Čtyři dělníci vyhloubí příkop za 18 dní. Kolik dělníků musíme přidat do pracovní skupiny, aby byl příkop hotov už za 12 dní? 2 dělníky 863 10. Rodina Novákova měla roční spotřebu cukru 60 kg. Rozhodla se ji v následujícím roce snížit v poměru 5 : 8. Skutečná spotřeba však činila 45 kg. O kolik procent byla plánovaná spotřeba překročena? 20 % 855 11. Směs s bodem tuhnutí -32 C můžeme připravit smísením vody, lihu a glycerínu v poměru objemů 4,3 : 4,2 : 1,5. Kolik vody a lihu je třeba přidat ke 4,5 litrům glycerínu, aby vznikla směs s daným bodem tuhnutí? 12,9 litru vody, 12,6 litru lihu 859 22 z 46
12. Tři stejně výkonní sklenáři opravili okna školní budovy za 32 hodin. Za kolik hodin by tuto opravu provedli čtyři stejně výkonní sklenáři? 24 hodin 841 13. Číslo 40 rozdělte v poměru 3 : 5. 1. díl... 15; 2. díl... 25 851 14. Jaká je výměra obdélníkové zahrady, když plot kolem celé zahrady měří 160 m a sousední strany jsou v poměru 3 : 2? 1 536 m 2 854 15. K upečení bábovky ze 4 vajec je potřeba 160 g tuku, 240 g mouky, 200 g cukru. Kolik g tuku, mouky a cukru je potřeba na upečení bábovky ze 3 vajec? 120 g tuku, 180 g mouky, 150 g cukru 840 16. Za 0,75 hodiny se vyfrézuje 36 zubů. Kolik minut trvá vyfrézování 50 zubů? 62,5 minuty 850 17. Na záhonu kvetou bílé a žluté narcisy. Bílých je o 12 více než žlutých. Poměr počtu bílých a počtu žlutých je 7 : 4. Kolik kvete na záhonu narcisů celkem? 44 narcisů 846 18. Počet odpracovaných hodin dvou dělníků při stejné hodinové mzdě byl v poměru 5 : 7. Vypočtěte, kolik každý z nich dostal po 15% srážce daně, jestliže hrubá mzda pro oba dělníky činí 6 960 Kč. První vydělal 2 465 Kč, druhý vydělal 3 451 Kč. 857 19. Na plánu v měřítku 1 : 2 500 je zanesen pozemek tvaru obdélníka o rozměrech 2 cm, 4 cm. Vypočtěte, kolik hektarů je výměra pole. 0,5 ha 852 20. Zemědělské družstvo zaselo na 192 ha oves, ječmen, žito a pšenici v poměru 1 : 1,4 : 1,8 : 2,2. Kolik hektarů každého druhu obilí zaseli? 30 ha ovsa, 42 ha ječmene, 54 ha žita, 66 ha pšenice 864 21. Dva stroje vyrobí za 50 hodin 2 000 výrobků. Kolik strojů potřebujeme přikoupit, abychom za 30 hodin vyrobili 15 000 výrobků? 23 strojů 843 22. Šest lidí splní určitý úkol za 12 hodin. Kolik času by potřebovalo na tuto práci 9 lidí? 8 hodin 860 23. Číslo 6 zvětšete tak, aby bylo s hledaným číslem v poměru 3 : 7. 14 862 24. Barva se míchá s ředidlem v poměru 5 : 2. Kolik bude potřeba barvy a kolik ředidla, má-li být výsledné směsi 1,4 litru? 1 litr barvy a 0,4 litru ředidla 856 23 z 46
25. Jestliže la'b'l : labl = 2 : 3 a délka úsečky AB je 24 cm, kolik pak bude velikost úsečky A'B'? 16 cm 861 26. Tři stejně výkonná čerpadla naplní nádrž za 72 minut. Za kolik minut se naplní nádrž osmi stejně výkonnými čerpadly? 27 minut 844 27. Na plánu města zhotoveném v měřítku 1 : 1 500 má parcela tvaru lichoběžníku délku základen 40 mm a 56 mm a výšku 30 mm. Vypočtěte skutečnou výměru této parcely. 3 240 m 2 853 Mocniny a odmocniny pro učební obory Mocniny a odmocniny 1. Mocniny s přirozeným mocnitelem Def.: Mocninou a b nazýváme přirozené číslo, které je součinem b činitelů rovných číslu a. Zapisujeme: a b = a. a. a..... a b-krát Pro čísla a, b, r, s platí: a r. a s = a r+s (a.b) r = a r. b r (a:b) r = a r : b r (a r ) s = a rs a r : a s = a r-s Umocňujeme-li kladné číslo lichou mocninou, je výsledek kladný. Umocňujeme-li záporné číslo lichou mocninou, je výsledek záporný. Umocňujeme-li kladné číslo sudou mocninou, je výsledek kladný. Umocňujeme-li záporné číslo sudou mocninou, je výsledek kladný. POZOR! (-2) 4 = +16-2 4 = -16 Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešení: L = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 = 285 P = 289 + 256 = 545 Uvedená rovnost tedy neplatí. Příklad 2: 24 z 46
Řešení: 102-64 + 16 = 54 Příklad 3: Řešení: 6 2-6 2-6 2 = -36 2. Mocniny s celým exponentem Na rozdíl od předchozí kapitoly, kdy jsme v exponentu mocniny uvažovali pouze přirozené číslo, nyní si přídáme i nulu a celá čísla záporná. Nejprve tedy exponent nula. V tomto případě platí, že jakékoliv číslo umocněné na nultou je vždy jedna. a 0 = 1 Máme-li v exponentu číslo záporné, můžeme se ho zbavit tak, že celou mocninu, ale s kladným exponentem, napíšeme do jmenovatele zlomku, jehož čitatel bude jedna. a n 1 = n a Ukázkový příklad: Příklad 4: Vypočti: 2-3 + (-4) -2-0,5-4 Řešení: 2 3 2 4 1 1 1 + ( 4) 0,5 = + = 3 2 2 0,5 4 1 = + 8 1 16 1 0,0625 1 = + 8 1 16 ( 4) 16 = 1 253 16 Mocniny a odmocniny - procvičovací příklady 1. 1060-13 25 z 46
2. Vypočti: 1072 49 3. Vypočti: 1 3 2 2 1/81 1082 4. Vypočti: (1/4) -3-5 3-61 1077 5. 1057 Zapsáno po řádcích shora: 152587890600; 390 625; 390 625; 625; 625; 625; 25; 25; 25 6. Vypočti: 2 3 2 2 2 104 976 1083 7. Vypočti: 2-3 +8 2 513/8 1075 8. Vypočti: 1071 49/2 9. 1064 1 600 26 z 46
10. Vypočti: 1068 3/4 11. 1065 900 12. Vypočti: (-7) -2-6 -2-13/1764 1078 13. 1059 5 14. 1058-12 15. 1056 Zapsáno po řádcích shora: 43 046 721; 6561; 6561; 81; 81; 81; 9; 9; 9 16. Vypočti: 1069 9/16 17. Vypočítej: 1067 16/125 18. Vypočti: 1073 121/4 27 z 46
19. Vypočti: (0,2) -3 + 8 2 189 1076 20. 1066 55 21. 1061 4 900 22. Vypočti: 1 2 3 8 + 3 2 521/64 1079 23. 1055 Zapsáno po řádcích shora: 65 536; 256; 256; 16; 16; 16; 4; 4; 4 24. Vypočti: 1 5 2 2 1/625 1081 25. 1063 100 26. Vypočti: 1074 1 27. Vypočti: 1 0 0 3 + 1 ( 0,564) 1 1084 28 z 46
28. Vypočti: 1070 3/4 29. 1062 441 30. Vypočti: 2 3 2 3 + 2 2 97/36 1080 Druhá a třetí mocnina a odmocnina Určování druhé mocniny Druhou mocninu jakéhokoliv čísla můžeme určit: 1. Výpočtem - a 2 = a. a 2. Pomocí tabulek n n2 n n2 n n2 n n2 1 1 251 63001 501 251001 751 564001 2 4 252 63504 502 252004 752 565504 3 9 253 64009 503 253009 753 567009 4 16 254 64516 504 254016 754 568516 5 25 255 65025 505 255025 755 570025 6 36 256 65536 506 256036 756 571536 7 49 257 66049 507 257049 757 573049 8 64 258 66564 508 258064 758 574564 9 81 259 67081 509 259081 759 576081 10 100 260 67600 510 260100 760 577600 11 121 261 68121 511 261121 761 579121 12 144 262 68644 512 262144 762 580644 13 169 263 69169 513 263169 763 582169 14 196 264 69696 514 264196 764 583696 15 225 265 70225 515 265225 765 585225 16 256 266 70756 516 266256 766 586756 17 289 267 71289 517 267289 767 588289 18 324 268 71824 518 268324 768 589824 19 361 269 72361 519 269361 769 591361 20 400 270 72900 520 270400 770 592900 21 441 271 73441 521 271441 771 594441 22 484 272 73984 522 272484 772 595984 23 529 273 74529 523 273529 773 597529 24 576 274 75076 524 274576 774 599076 25 625 275 75625 525 275625 775 600625 26 676 276 76176 526 276676 776 602176 27 729 277 76729 527 277729 777 603729 28 784 278 77284 528 278784 778 605284 29 841 279 77841 529 279841 779 606841 29 z 46
30 900 280 78400 530 280900 780 608400 31 961 281 78961 531 281961 781 609961 32 1024 282 79524 532 283024 782 611524 33 1089 283 80089 533 284089 783 613089 34 1156 284 80656 534 285156 784 614656 35 1225 285 81225 535 286225 785 616225 36 1296 286 81796 536 287296 786 617796 37 1369 287 82369 537 288369 787 619369 38 1444 288 82944 538 289444 788 620944 39 1521 289 83521 539 290521 789 622521 40 1600 290 84100 540 291600 790 624100 41 1681 291 84681 541 292681 791 625681 42 1764 292 85264 542 293764 792 627264 43 1849 293 85849 543 294849 793 628849 44 1936 294 86436 544 295936 794 630436 45 2025 295 87025 545 297025 795 632025 46 2116 296 87616 546 298116 796 633616 47 2209 297 88209 547 299209 797 635209 48 2304 298 88804 548 300304 798 636804 49 2401 299 89401 549 301401 799 638401 50 2500 300 90000 550 302500 800 640000 51 2601 301 90601 551 303601 801 641601 52 2704 302 91204 552 304704 802 643204 53 2809 303 91809 553 305809 803 644809 54 2916 304 92416 554 306916 804 646416 55 3025 305 93025 555 308025 805 648025 56 3136 306 93636 556 309136 806 649636 57 3249 307 94249 557 310249 807 651249 58 3364 308 94864 558 311364 808 652864 59 3481 309 95481 559 312481 809 654481 60 3600 310 96100 560 313600 810 656100 61 3721 311 96721 561 314721 811 657721 62 3844 312 97344 562 315844 812 659344 63 3969 313 97969 563 316969 813 660969 64 4096 314 98596 564 318096 814 662596 65 4225 315 99225 565 319225 815 664225 66 4356 316 99856 566 320356 816 665856 67 4489 317 100489 567 321489 817 667489 68 4624 318 101124 568 322624 818 669124 69 4761 319 101761 569 323761 819 670761 70 4900 320 102400 570 324900 820 672400 71 5041 321 103041 571 326041 821 674041 72 5184 322 103684 572 327184 822 675684 73 5329 323 104329 573 328329 823 677329 74 5476 324 104976 574 329476 824 678976 75 5625 325 105625 575 330625 825 680625 76 5776 326 106276 576 331776 826 682276 77 5929 327 106929 577 332929 827 683929 78 6084 328 107584 578 334084 828 685584 79 6241 329 108241 579 335241 829 687241 80 6400 330 108900 580 336400 830 688900 81 6561 331 109561 581 337561 831 690561 82 6724 332 110224 582 338724 832 692224 83 6889 333 110889 583 339889 833 693889 84 7056 334 111556 584 341056 834 695556 85 7225 335 112225 585 342225 835 697225 86 7396 336 112896 586 343396 836 698896 87 7569 337 113569 587 344569 837 700569 88 7744 338 114244 588 345744 838 702244 89 7921 339 114921 589 346921 839 703921 90 8100 340 115600 590 348100 840 705600 30 z 46
91 8281 341 116281 591 349281 841 707281 92 8464 342 116964 592 350464 842 708964 93 8649 343 117649 593 351649 843 710649 94 8836 344 118336 594 352836 844 712336 95 9025 345 119025 595 354025 845 714025 96 9216 346 119716 596 355216 846 715716 97 9409 347 120409 597 356409 847 717409 98 9604 348 121104 598 357604 848 719104 99 9801 349 121801 599 358801 849 720801 100 10000 350 122500 600 360000 850 722500 101 10201 351 123201 601 361201 851 724201 102 10404 352 123904 602 362404 852 725904 103 10609 353 124609 603 363609 853 727609 104 10816 354 125316 604 364816 854 729316 105 11025 355 126025 605 366025 855 731025 106 11236 356 126736 606 367236 856 732736 107 11449 357 127449 607 368449 857 734449 108 11664 358 128164 608 369664 858 736164 109 11881 359 128881 609 370881 859 737881 110 12100 360 129600 610 372100 860 739600 111 12321 361 130321 611 373321 861 741321 112 12544 362 131044 612 374544 862 743044 113 12769 363 131769 613 375769 863 744769 114 12996 364 132496 614 376996 864 746496 115 13225 365 133225 615 378225 865 748225 116 13456 366 133956 616 379456 866 749956 117 13689 367 134689 617 380689 867 751689 118 13924 368 135424 618 381924 868 753424 119 14161 369 136161 619 383161 869 755161 120 14400 370 136900 620 384400 870 756900 121 14641 371 137641 621 385641 871 758641 122 14884 372 138384 622 386884 872 760384 123 15129 373 139129 623 388129 873 762129 124 15376 374 139876 624 389376 874 763876 125 15625 375 140625 625 390625 875 765625 126 15876 376 141376 626 391876 876 767376 127 16129 377 142129 627 393129 877 769129 128 16384 378 142884 628 394384 878 770884 129 16641 379 143641 629 395641 879 772641 130 16900 380 144400 630 396900 880 774400 131 17161 381 145161 631 398161 881 776161 132 17424 382 145924 632 399424 882 777924 133 17689 383 146689 633 400689 883 779689 134 17956 384 147456 634 401956 884 781456 135 18225 385 148225 635 403225 885 783225 136 18496 386 148996 636 404496 886 784996 137 18769 387 149769 637 405769 887 786769 138 19044 388 150544 638 407044 888 788544 139 19321 389 151321 639 408321 889 790321 140 19600 390 152100 640 409600 890 792100 141 19881 391 152881 641 410881 891 793881 142 20164 392 153664 642 412164 892 795664 143 20449 393 154449 643 413449 893 797449 144 20736 394 155236 644 414736 894 799236 145 21025 395 156025 645 416025 895 801025 146 21316 396 156816 646 417316 896 802816 147 21609 397 157609 647 418609 897 804609 148 21904 398 158404 648 419904 898 806404 149 22201 399 159201 649 421201 899 808201 150 22500 400 160000 650 422500 900 810000 151 22801 401 160801 651 423801 901 811801 31 z 46
152 23104 402 161604 652 425104 902 813604 153 23409 403 162409 653 426409 903 815409 154 23716 404 163216 654 427716 904 817216 155 24025 405 164025 655 429025 905 819025 156 24336 406 164836 656 430336 906 820836 157 24649 407 165649 657 431649 907 822649 158 24964 408 166464 658 432964 908 824464 159 25281 409 167281 659 434281 909 826281 160 25600 410 168100 660 435600 910 828100 161 25921 411 168921 661 436921 911 829921 162 26244 412 169744 662 438244 912 831744 163 26569 413 170569 663 439569 913 833569 164 26896 414 171396 664 440896 914 835396 165 27225 415 172225 665 442225 915 837225 166 27556 416 173056 666 443556 916 839056 167 27889 417 173889 667 444889 917 840889 168 28224 418 174724 668 446224 918 842724 169 28561 419 175561 669 447561 919 844561 170 28900 420 176400 670 448900 920 846400 171 29241 421 177241 671 450241 921 848241 172 29584 422 178084 672 451584 922 850084 173 29929 423 178929 673 452929 923 851929 174 30276 424 179776 674 454276 924 853776 175 30625 425 180625 675 455625 925 855625 176 30976 426 181476 676 456976 926 857476 177 31329 427 182329 677 458329 927 859329 178 31684 428 183184 678 459684 928 861184 179 32041 429 184041 679 461041 929 863041 180 32400 430 184900 680 462400 930 864900 181 32761 431 185761 681 463761 931 866761 182 33124 432 186624 682 465124 932 868624 183 33489 433 187489 683 466489 933 870489 184 33856 434 188356 684 467856 934 872356 185 34225 435 189225 685 469225 935 874225 186 34596 436 190096 686 470596 936 876096 187 34969 437 190969 687 471969 937 877969 188 35344 438 191844 688 473344 938 879844 189 35721 439 192721 689 474721 939 881721 190 36100 440 193600 690 476100 940 883600 191 36481 441 194481 691 477481 941 885481 192 36864 442 195364 692 478864 942 887364 193 37249 443 196249 693 480249 943 889249 194 37636 444 197136 694 481636 944 891136 195 38025 445 198025 695 483025 945 893025 196 38416 446 198916 696 484416 946 894916 197 38809 447 199809 697 485809 947 896809 198 39204 448 200704 698 487204 948 898704 199 39601 449 201601 699 488601 949 900601 200 40000 450 202500 700 490000 950 902500 201 40401 451 203401 701 491401 951 904401 202 40804 452 204304 702 492804 952 906304 203 41209 453 205209 703 494209 953 908209 204 41616 454 206116 704 495616 954 910116 205 42025 455 207025 705 497025 955 912025 206 42436 456 207936 706 498436 956 913936 207 42849 457 208849 707 499849 957 915849 208 43264 458 209764 708 501264 958 917764 209 43681 459 210681 709 502681 959 919681 210 44100 460 211600 710 504100 960 921600 211 44521 461 212521 711 505521 961 923521 212 44944 462 213444 712 506944 962 925444 32 z 46
213 45369 463 214369 713 508369 963 927369 214 45796 464 215296 714 509796 964 929296 215 46225 465 216225 715 511225 965 931225 216 46656 466 217156 716 512656 966 933156 217 47089 467 218089 717 514089 967 935089 218 47524 468 219024 718 515524 968 937024 219 47961 469 219961 719 516961 969 938961 220 48400 470 220900 720 518400 970 940900 221 48841 471 221841 721 519841 971 942841 222 49284 472 222784 722 521284 972 944784 223 49729 473 223729 723 522729 973 946729 224 50176 474 224676 724 524176 974 948676 225 50625 475 225625 725 525625 975 950625 226 51076 476 226576 726 527076 976 952576 227 51529 477 227529 727 528529 977 954529 228 51984 478 228484 728 529984 978 956484 229 52441 479 229441 729 531441 979 958441 230 52900 480 230400 730 532900 980 960400 231 53361 481 231361 731 534361 981 962361 232 53824 482 232324 732 535824 982 964324 233 54289 483 233289 733 537289 983 966289 234 54756 484 234256 734 538756 984 968256 235 55225 485 235225 735 540225 985 970225 236 55696 486 236196 736 541696 986 972196 237 56169 487 237169 737 543169 987 974169 238 56644 488 238144 738 544644 988 976144 239 57121 489 239121 739 546121 989 978121 240 57600 490 240100 740 547600 990 980100 241 58081 491 241081 741 549081 991 982081 242 58564 492 242064 742 550564 992 984064 243 59049 493 243049 743 552049 993 986049 244 59536 494 244036 744 553536 994 988036 245 60025 495 245025 745 555025 995 990025 246 60516 496 246016 746 556516 996 992016 247 61009 497 247009 747 558009 997 994009 248 61504 498 248004 748 559504 998 996004 249 62001 499 249001 749 561001 999 998001 250 62500 500 250000 750 562500 1000 1000000 U desetinných čísel pracujeme s číslem bez ohledu na desetinnou čárku (případně si ho zaokrouhlíme tak, aby se v číslu vyskytovaly nejvýše tři číslice - počítané od první nenulové zleva), ve výsledku oddělíme dvojnásobný počet desetinných míst než mělo původní zaokrouhlené číslo. Příklad: 0,235 456 897 2 - zaokrouhlíme: 0,235 2 - určíme 235 2 = 55 225 - oddělíme 6 desetinných míst, proto výsledek je 0,055 225 U velkých čísel pracujeme s číslem bez ohledu na nuly na konci (případně si ho zaokrouhlíme tak, aby číslice od čtvrté pozice zleva byly nulové), k výsledku připíšeme dvojnásobný počet nul než mělo původní zaokrouhlené číslo. Příklad: 247 256 895 2 - zaokrouhlíme: 247 000 000 2 - určíme 247 2 = 61 009 33 z 46
- připíšeme 12 nul, proto výsledek je 61 009 000 000 000 000 3. Na kalkulačce Můžeme postupovat obdobným způsobem jako při určování z Tabulky, případně pokud máme dokonalejší kalkulačku, můžeme původní číslo zadat rovnou. Výsledek ale může kalkulačka udat např. (viz výše uvedený příklad) ve tvaru 6,1009 16, což ve skutečnosti znamená 6,100 9. 10 16 a převedeno do klasického čísla tedy musíme u čísla 6,100 9 posunout desetinnou čárku o 16 míst vpravo. Pozn.: Pokud je exponent záporný, posouváme desetinnou čárku vlevo. Týká se to umocňování velmi malých desetinných čísel. Určování druhé odmocniny 1. Pomocí tabulek n 2. odm. n 2. odm. n 2. odm. n 2. odm. 1 1 251 15,843 501 22,383 751 27,404 2 1,4142 252 15,875 502 22,405 752 27,423 3 1,7321 253 15,906 503 22,428 753 27,441 4 2 254 15,937 504 22,45 754 27,459 5 2,2361 255 15,969 505 22,472 755 27,477 6 2,4495 256 16 506 22,494 756 27,496 7 2,6458 257 16,031 507 22,517 757 27,514 8 2,8284 258 16,062 508 22,539 758 27,532 9 3 259 16,094 509 22,561 759 27,55 10 3,1623 260 16,125 510 22,583 760 27,568 11 3,3166 261 16,156 511 22,605 761 27,586 12 3,4641 262 16,186 512 22,627 762 27,604 13 3,6056 263 16,217 513 22,65 763 27,623 14 3,7417 264 16,248 514 22,672 764 27,641 15 3,873 265 16,279 515 22,694 765 27,659 16 4 266 16,31 516 22,716 766 27,677 17 4,1231 267 16,34 517 22,738 767 27,695 18 4,2426 268 16,371 518 22,76 768 27,713 19 4,3589 269 16,401 519 22,782 769 27,731 20 4,4721 270 16,432 520 22,804 770 27,749 21 4,5826 271 16,462 521 22,825 771 27,767 22 4,6904 272 16,492 522 22,847 772 27,785 23 4,7958 273 16,523 523 22,869 773 27,803 24 4,899 274 16,553 524 22,891 774 27,821 25 5 275 16,583 525 22,913 775 27,839 26 5,099 276 16,613 526 22,935 776 27,857 27 5,1962 277 16,643 527 22,957 777 27,875 28 5,2915 278 16,673 528 22,978 778 27,893 29 5,3852 279 16,703 529 23 779 27,911 30 5,4772 280 16,733 530 23,022 780 27,929 31 5,5678 281 16,763 531 23,043 781 27,946 32 5,6569 282 16,793 532 23,065 782 27,964 33 5,7446 283 16,823 533 23,087 783 27,982 34 5,831 284 16,852 534 23,108 784 28 35 5,9161 285 16,882 535 23,13 785 28,018 36 6 286 16,912 536 23,152 786 28,036 37 6,0828 287 16,941 537 23,173 787 28,054 38 6,1644 288 16,971 538 23,195 788 28,071 39 6,245 289 17 539 23,216 789 28,089 40 6,3246 290 17,029 540 23,238 790 28,107 41 6,4031 291 17,059 541 23,259 791 28,125 42 6,4807 292 17,088 542 23,281 792 28,143 43 6,5574 293 17,117 543 23,302 793 28,16 44 6,6332 294 17,146 544 23,324 794 28,178 34 z 46
45 6,7082 295 17,176 545 23,345 795 28,196 46 6,7823 296 17,205 546 23,367 796 28,214 47 6,8557 297 17,234 547 23,388 797 28,231 48 6,9282 298 17,263 548 23,409 798 28,249 49 7 299 17,292 549 23,431 799 28,267 50 7,0711 300 17,321 550 23,452 800 28,284 51 7,1414 301 17,349 551 23,473 801 28,302 52 7,2111 302 17,378 552 23,495 802 28,32 53 7,2801 303 17,407 553 23,516 803 28,337 54 7,3485 304 17,436 554 23,537 804 28,355 55 7,4162 305 17,464 555 23,558 805 28,373 56 7,4833 306 17,493 556 23,58 806 28,39 57 7,5498 307 17,521 557 23,601 807 28,408 58 7,6158 308 17,55 558 23,622 808 28,425 59 7,6811 309 17,578 559 23,643 809 28,443 60 7,746 310 17,607 560 23,664 810 28,461 61 7,8102 311 17,635 561 23,685 811 28,478 62 7,874 312 17,664 562 23,707 812 28,496 63 7,9373 313 17,692 563 23,728 813 28,513 64 8 314 17,72 564 23,749 814 28,531 65 8,0623 315 17,748 565 23,77 815 28,548 66 8,124 316 17,776 566 23,791 816 28,566 67 8,1854 317 17,805 567 23,812 817 28,583 68 8,2462 318 17,833 568 23,833 818 28,601 69 8,3066 319 17,861 569 23,854 819 28,618 70 8,3666 320 17,889 570 23,875 820 28,636 71 8,4261 321 17,917 571 23,896 821 28,653 72 8,4853 322 17,944 572 23,917 822 28,671 73 8,544 323 17,972 573 23,937 823 28,688 74 8,6023 324 18 574 23,958 824 28,705 75 8,6603 325 18,028 575 23,979 825 28,723 76 8,7178 326 18,056 576 24 826 28,74 77 8,775 327 18,083 577 24,021 827 28,758 78 8,8318 328 18,111 578 24,042 828 28,775 79 8,8882 329 18,138 579 24,062 829 28,792 80 8,9443 330 18,166 580 24,083 830 28,81 81 9 331 18,193 581 24,104 831 28,827 82 9,0554 332 18,221 582 24,125 832 28,844 83 9,1104 333 18,248 583 24,145 833 28,862 84 9,1652 334 18,276 584 24,166 834 28,879 85 9,2195 335 18,303 585 24,187 835 28,896 86 9,2736 336 18,33 586 24,207 836 28,914 87 9,3274 337 18,358 587 24,228 837 28,931 88 9,3808 338 18,385 588 24,249 838 28,948 89 9,434 339 18,412 589 24,269 839 28,966 90 9,4868 340 18,439 590 24,29 840 28,983 91 9,5394 341 18,466 591 24,311 841 29 92 9,5917 342 18,493 592 24,331 842 29,017 93 9,6437 343 18,52 593 24,352 843 29,035 94 9,6954 344 18,547 594 24,372 844 29,052 95 9,7468 345 18,574 595 24,393 845 29,069 96 9,798 346 18,601 596 24,413 846 29,086 97 9,8489 347 18,628 597 24,434 847 29,103 98 9,8995 348 18,655 598 24,454 848 29,12 99 9,9499 349 18,682 599 24,475 849 29,138 100 10 350 18,708 600 24,495 850 29,155 101 10,05 351 18,735 601 24,515 851 29,172 102 10,1 352 18,762 602 24,536 852 29,189 103 10,149 353 18,788 603 24,556 853 29,206 104 10,198 354 18,815 604 24,576 854 29,223 105 10,247 355 18,841 605 24,597 855 29,24 35 z 46
106 10,296 356 18,868 606 24,617 856 29,258 107 10,344 357 18,894 607 24,637 857 29,275 108 10,392 358 18,921 608 24,658 858 29,292 109 10,44 359 18,947 609 24,678 859 29,309 110 10,488 360 18,974 610 24,698 860 29,326 111 10,536 361 19 611 24,718 861 29,343 112 10,583 362 19,026 612 24,739 862 29,36 113 10,63 363 19,053 613 24,759 863 29,377 114 10,677 364 19,079 614 24,779 864 29,394 115 10,724 365 19,105 615 24,799 865 29,411 116 10,77 366 19,131 616 24,819 866 29,428 117 10,817 367 19,157 617 24,84 867 29,445 118 10,863 368 19,183 618 24,86 868 29,462 119 10,909 369 19,209 619 24,88 869 29,479 120 10,955 370 19,235 620 24,9 870 29,496 121 11 371 19,261 621 24,92 871 29,513 122 11,045 372 19,287 622 24,94 872 29,53 123 11,091 373 19,313 623 24,96 873 29,547 124 11,136 374 19,339 624 24,98 874 29,564 125 11,18 375 19,365 625 25 875 29,58 126 11,225 376 19,391 626 25,02 876 29,597 127 11,269 377 19,417 627 25,04 877 29,614 128 11,314 378 19,442 628 25,06 878 29,631 129 11,358 379 19,468 629 25,08 879 29,648 130 11,402 380 19,494 630 25,1 880 29,665 131 11,446 381 19,519 631 25,12 881 29,682 132 11,489 382 19,545 632 25,14 882 29,699 133 11,533 383 19,57 633 25,16 883 29,715 134 11,576 384 19,596 634 25,179 884 29,732 135 11,619 385 19,621 635 25,199 885 29,749 136 11,662 386 19,647 636 25,219 886 29,766 137 11,705 387 19,672 637 25,239 887 29,783 138 11,747 388 19,698 638 25,259 888 29,799 139 11,79 389 19,723 639 25,278 889 29,816 140 11,832 390 19,748 640 25,298 890 29,833 141 11,874 391 19,774 641 25,318 891 29,85 142 11,916 392 19,799 642 25,338 892 29,866 143 11,958 393 19,824 643 25,357 893 29,883 144 12 394 19,849 644 25,377 894 29,9 145 12,042 395 19,875 645 25,397 895 29,917 146 12,083 396 19,9 646 25,417 896 29,933 147 12,124 397 19,925 647 25,436 897 29,95 148 12,166 398 19,95 648 25,456 898 29,967 149 12,207 399 19,975 649 25,476 899 29,983 150 12,247 400 20 650 25,495 900 30 151 12,288 401 20,025 651 25,515 901 30,017 152 12,329 402 20,05 652 25,534 902 30,033 153 12,369 403 20,075 653 25,554 903 30,05 154 12,41 404 20,1 654 25,573 904 30,067 155 12,45 405 20,125 655 25,593 905 30,083 156 12,49 406 20,149 656 25,613 906 30,1 157 12,53 407 20,174 657 25,632 907 30,116 158 12,57 408 20,199 658 25,652 908 30,133 159 12,61 409 20,224 659 25,671 909 30,15 160 12,649 410 20,249 660 25,691 910 30,166 161 12,689 411 20,273 661 25,71 911 30,183 162 12,728 412 20,298 662 25,729 912 30,199 163 12,767 413 20,322 663 25,749 913 30,216 164 12,806 414 20,347 664 25,768 914 30,232 165 12,845 415 20,372 665 25,788 915 30,249 166 12,884 416 20,396 666 25,807 916 30,266 36 z 46
167 12,923 417 20,421 667 25,826 917 30,282 168 12,962 418 20,445 668 25,846 918 30,299 169 13 419 20,47 669 25,865 919 30,315 170 13,038 420 20,494 670 25,884 920 30,332 171 13,077 421 20,518 671 25,904 921 30,348 172 13,115 422 20,543 672 25,923 922 30,365 173 13,153 423 20,567 673 25,942 923 30,381 174 13,191 424 20,591 674 25,962 924 30,397 175 13,229 425 20,616 675 25,981 925 30,414 176 13,267 426 20,64 676 26 926 30,43 177 13,304 427 20,664 677 26,019 927 30,447 178 13,342 428 20,688 678 26,038 928 30,463 179 13,379 429 20,712 679 26,058 929 30,48 180 13,416 430 20,736 680 26,077 930 30,496 181 13,454 431 20,761 681 26,096 931 30,512 182 13,491 432 20,785 682 26,115 932 30,529 183 13,528 433 20,809 683 26,134 933 30,545 184 13,565 434 20,833 684 26,153 934 30,561 185 13,602 435 20,857 685 26,173 935 30,578 186 13,638 436 20,881 686 26,192 936 30,594 187 13,675 437 20,905 687 26,211 937 30,611 188 13,711 438 20,928 688 26,23 938 30,627 189 13,748 439 20,952 689 26,249 939 30,643 190 13,784 440 20,976 690 26,268 940 30,659 191 13,82 441 21 691 26,287 941 30,676 192 13,856 442 21,024 692 26,306 942 30,692 193 13,892 443 21,048 693 26,325 943 30,708 194 13,928 444 21,071 694 26,344 944 30,725 195 13,964 445 21,095 695 26,363 945 30,741 196 14 446 21,119 696 26,382 946 30,757 197 14,036 447 21,142 697 26,401 947 30,773 198 14,071 448 21,166 698 26,42 948 30,79 199 14,107 449 21,19 699 26,439 949 30,806 200 14,142 450 21,213 700 26,458 950 30,822 201 14,177 451 21,237 701 26,476 951 30,838 202 14,213 452 21,26 702 26,495 952 30,855 203 14,248 453 21,284 703 26,514 953 30,871 204 14,283 454 21,307 704 26,533 954 30,887 205 14,318 455 21,331 705 26,552 955 30,903 206 14,353 456 21,354 706 26,571 956 30,919 207 14,388 457 21,378 707 26,59 957 30,935 208 14,422 458 21,401 708 26,608 958 30,952 209 14,457 459 21,424 709 26,627 959 30,968 210 14,491 460 21,448 710 26,646 960 30,984 211 14,526 461 21,471 711 26,665 961 31 212 14,56 462 21,494 712 26,683 962 31,016 213 14,595 463 21,517 713 26,702 963 31,032 214 14,629 464 21,541 714 26,721 964 31,048 215 14,663 465 21,564 715 26,74 965 31,064 216 14,697 466 21,587 716 26,758 966 31,081 217 14,731 467 21,61 717 26,777 967 31,097 218 14,765 468 21,633 718 26,796 968 31,113 219 14,799 469 21,656 719 26,814 969 31,129 220 14,832 470 21,68 720 26,833 970 31,145 221 14,866 471 21,703 721 26,851 971 31,161 222 14,9 472 21,726 722 26,87 972 31,177 223 14,933 473 21,749 723 26,889 973 31,193 224 14,967 474 21,772 724 26,907 974 31,209 225 15 475 21,795 725 26,926 975 31,225 226 15,033 476 21,817 726 26,944 976 31,241 227 15,067 477 21,84 727 26,963 977 31,257 37 z 46
228 15,1 478 21,863 728 26,982 978 31,273 229 15,133 479 21,886 729 27 979 31,289 230 15,166 480 21,909 730 27,019 980 31,305 231 15,199 481 21,932 731 27,037 981 31,321 232 15,232 482 21,955 732 27,056 982 31,337 233 15,264 483 21,977 733 27,074 983 31,353 234 15,297 484 22 734 27,092 984 31,369 235 15,33 485 22,023 735 27,111 985 31,385 236 15,362 486 22,045 736 27,129 986 31,401 237 15,395 487 22,068 737 27,148 987 31,417 238 15,427 488 22,091 738 27,166 988 31,433 239 15,46 489 22,113 739 27,185 989 31,448 240 15,492 490 22,136 740 27,203 990 31,464 241 15,524 491 22,159 741 27,221 991 31,48 242 15,556 492 22,181 742 27,24 992 31,496 243 15,589 493 22,204 743 27,258 993 31,512 244 15,621 494 22,226 744 27,276 994 31,528 245 15,653 495 22,249 745 27,295 995 31,544 246 15,684 496 22,271 746 27,313 996 31,56 247 15,716 497 22,294 747 27,331 997 31,575 248 15,748 498 22,316 748 27,35 998 31,591 249 15,78 499 22,338 749 27,368 999 31,607 250 15,811 500 22,361 750 27,386 1000 31,623 Máme-li číslo velmi malé, pak ho zaokrouhlíme tak, aby počet číslic od první nenulové zleva byl nejvýše tři a zároveň celkový počet desetinných míst u zaokrouhleného čísla byl sudý. Pak určíme druhou odmocninu ze vzniklého čísla bez ohledu na desetinnou čárku. Ve výsledku nakonec posuneme desetinnou čárku o tolik míst vlevo, kolik představuje polovina počtu desetinných míst u zaokrouhleného čísla. Příklad: Určete 0,000 000 246 897 458 - zaokrouhlíme na 0,000 000 25 - určíme 25 = 5 - posuneme desetinnou čárku o 4 místa vlevo, proto výsledek je 0,000 5 Máme-li číslo naopak hodně velké, zaokrouhlíme ho tak, aby mělo od čtvrté pozice zleva určitě samé nuly a zároveň aby počet nul byl sudý (pokud to nelze dosáhnout, zaokrouhlíme tak, aby už na třetí pozici zleva byla nula). Pak určíme druhou odmocninu z čísla, které vznikne po pomyslném oddělení sudého počtu nul a ve výsledku posuneme desetinnou čárku doprava o tolik míst, kolik představuje polovina počtu oddělených nul. Příklad: Určete 249 123 456 789 - zaokrouhlíme na 250 000 000 000 - určíme 25 = 5,00 - posuneme desetinnou čárku o 5 míst vpravo, proto výsledek je 500 000 2. Pomocí kalkulačky - postup lze použít opět stejný jako při určování z Tabulek, opět ale musíme vzít v úvahu, že kalkulačka může vytvořit výsledek ve tvaru c. 10 n. Určování třetí mocniny Postupy jsou stejné jako u druhé mocniny, pouze nebereme dvojnásobek nul nebo desetinných míst, ale trojnásobek. n n3 n n3 n n3 n n3 1 1 251 15813251 501 125751501 751 423564751 38 z 46