13. Prostý ohyb Definice

p13 1 13. Prostý ohyb 13.1. Definice Prostý ohyb je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se vzájemně natáčejí kolem osy ležící v příčném průřezu a následně deformují, nenulové složky VVÚ jsou pouze ohybové momenty M oy, M oz, deformace prutu jsou pro řešení statické rovnováhy prvku nepodstatné. Poznámka: Ze Schwedlerovy věty T = dm o /dx plyne, že má-li být posouvající síla T nulová, musí být M o = konst. To je přesně splněno jen při zatížení silovými dvojicemi. Protože u prostého ohybu jsou nenulové dvě složky VVÚ ( M oy, M oz ), je jeho řešení složitější než u ostatních typů jednoduchého namáhání. Tento typ ohybu nazýváme ohybem obecným (někdy šikmým nebo prostorovým). Pro zjednodušení odvodíme veškeré vztahy pro tzv. základní ohyb, při němž je jen jedna ze složek ohybového momentu nenulová, konkrétně pro M oy 0, M oz = 0. prostá pružnost prutové předpoklady OBSAH další

p13 2 13.2. Geometrické vztahy Z prutu uvolníme prvek jednonásobně elementární Ω 1 a z něj trojnásobně elementární Ω 3. Prvek Ω 1 se deformuje tak, že se limitně blízké příčné průřezy 1, 2 natočí kolem přímky ležící v příčném průřezu, přičemž původní délka dx prvku Ω 3 se změní o deformační posuv du, průřezy prutu zůstanou kolmé k deformované střednici prutu, tj. nezmění se pravé úhly α, β prvků Ω 1 a Ω 3. Protože příčný průřez podle prutových předpokladů zůstává i po natočení rovinný a při zvoleném základním ohybu (M oy = M o 0) se natáčí kolem přímky rovnoběžné s osou y, jsou posuvy du nezávislé na souřadnici y a pro jejich popis postačuje rovnice přímky (řešíme v rovině (x, z)): du(z) = a 1 + b 1 z. Těmto deformacím odpovídají složky tenzoru přetvoření: délkové přetvoření ve směru střednice prutu předpoklady prutové přetvoření ε x (z) = du(z) dx = a + bz, nulová úhlová přetvoření γ xy = γ xz = 0. V důsledku příčné kontrakce vznikají v každém bodě prutu různě velká příčná přetvoření ε y = ε z = µε x.

p13 3 U prostého ohybu jsou délková přetvoření rozložena v příčném průřezu lineárně a úhlová přetvoření jsou nulová. V každém bodě prutu tedy vzniká obecný trojosý stav deformace, popsaný tenzorem ε x 0 0 přetvoření ve tvaru T ε = 0 ε y 0. Deformace je na rozdíl od prostého tahu 0 0 ε z nehomogenní po průřezu, hodnoty jsou v každém bodě různé. tenzor přetvoření 13.3. Rozložení napětí v příčném průřezu Pro hookovský materiál (homogenní, lineárně pružný) platí stejně jako pro přetvoření ε x lineární závislost i pro normálové napětí σ x : Hookův zákon σ x (z) = Eε x (z) = E(a + bz). Pro smykové napětí platí vztah τ = E 2(1 + µ) γ = Gγ. Protože γ xy = γ xz = 0, je i τ xy = τ xz = 0. Ostatní složky tenzoru napětí (σ y, σ z, τ yz ) jsou nulové na základě prutových předpokladů. Jediným nenulovým napětím je tedy normálové napětí σ x rozložené lineárně v příčném průřezu. U prostého ohybu vzniká v bodech prutu jednoosá napjatost, ale na rozdíl od prostého tahu není homogenní. prutové předpoklady

p13 4 13.4. Závislost mezi VVÚ a napětím Vztah pro napětí σ(z) odvodíme z podmínek statické ekvivalence mezi soustavou elementárních plošných sil σds i a jejich výslednicí Moy v příčném průřezu prvku Ω 0, které sestavíme v lokálním souřadnicovém systému podle obrázku. Použitelné podmínky statické ekvivalence pro soustavu rovnoběžných sil v prostoru jsou tři: σds = 0, M oy = z σds, M oz = y σds = 0. statická ekvivalence statické podmínky

p13 5 Dosadíme σ = E(a + bz): E (a + bz)ds = 0 a ds + b zds = 0 a = 0, protože zds = U y = 0 v centrálním souřadnicovém systému. M oy = E (a + bz)zds = E(a zds + b Dosazením a, b do vztahu pro napětí, dostáváme z 2 ds) b = M oy EJ y napětí centrální s.s. σ = E(a + bz) = E M oy EJ y z σ = M oy J y z. Vztah však platí pouze tehdy, je-li splněna i třetí použitelná podmínka statické ekvivalence, což je jedině v hlavním centrálním souřadnicovém systému M oz = E (a + bz)yds = E M oy EJ y yzds = M oy J y J yz = 0 J yz = 0 hlavní centrální s.s.

p13 6 Poznámka: V případě nenulového momentu M oz platí obdobný vztah pro napětí σ = M oz J z y. Protože obě tato napětí mají směr osy x, je možné je v případě obecného ohybu algebraicky sečíst: σ = M oy z M oz y. J y J z Všechny tyto vztahy platí jen v hlavním centrálním souřadnicovém systému. Základní ohyb proto nastává tehdy, je-li nositelka ohybového momentu totožná s některou z hlavních centrálních os průřezu (např. osou symetrie).

p13 7 13.5. Extrémní napětí Pro usnadnění popisu rozložení napětí v průřezu nejprve zavedeme označení neutrální osa pro přímku, která má tyto vlastnosti: leží v příčném průřezu a prochází jeho těžištěm, ve všech jejích bodech je σ = 0, a tedy i ε = 0, rozděluje průřez na dvě části, z nichž v jedné působí napětí kladná a v druhé záporná. Ze vztahu pro napětí u základního ohybu (M oy 0) je zřejmé, že neutrální osou je osa y, která je současně nositelkou ohybového momentu. Vzhledem k lineárnímu rozložení napětí budou jeho extrémní absolutní hodnoty v bodech od této osy nejvzdálenějších. σ max = M oy z max J y

p13 8 Body s největší souřadnicí z jsou tedy nebezpečnými body. U základního ohybu je možno zavést tzv. modul průřezu v ohybu W o [m 3 ], definovaný jako podíl kvadratického osového momentu příčného průřezu vzhledem k neutrální ose a vzdálenosti nejodlehlejšího bodu obrysové čáry od neutrální osy (W o = J y /z max ). Pak můžeme maximální napětí vyjádřit: σ max = M oy z max = M o. J y W o POZOR! W o není aditivní veličina!!! Např. pro mezikruhový průřez ho musíme určit odečtením osových kvadratických momentů, zatímco z max = D/2 se nemění! W o = J y D 2 = πd 4 64 πd4 64 D 2 = πd3 32 1 ( ) 4 d D kvadratický moment U obecného ohybu je určení extrémních napětí podstatně složitější.

p13 9 13.6. Energie napjatosti V lineární pružnosti se celá deformační práce mění na pružnou energii napjatosti A = W. V kapitole 11.6 byl pro jednoosou napjatost odvozen vztah pro energii napjatosti trojnásobně elementárního prvku W Ω3 = A (σds) = ΛdSdx = 1 σ 2 2 E dsdx. energie napjatosti Energii napjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω 1 dostaneme integrací energie W Ω3 (do které dosadíme napětí podle vztahu σ(z) = M oy J y z) přes plochu : napětí W Ω1 = 1 σ 2 2 E dxds = 1 2E Moy 2 Jy 2 z 2 dsdx = M oy 2 dx, 2EJ y protože z 2 ds = J y. V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti daná integrálem energií elementárních prvků Ω 1 po délce prutu W = l 0 W Ω1 = l 0 M 2 oy 2EJ y dx. Pro obecný ohyb (M oy 0, M oz 0) je energie napjatosti dána superpozicí příspěvků dvou základních prostých ohybů (od složek M oy, M oz ): W = W Moy + W Moz. Vztahy platí jen pro hlavní centrální souřadnicový systém (J yz = 0)! základní ohyb hlavní s.s.

p13 10 13.7. Vyjádření deformačních charakteristik střednice Při ohybovém namáhání přímého prizmatického prutu se jeho střednice ohýbá a vytváří ohybovou čáru. Podle prutových předpokladů příčné průřezy zůstávají rovinné a kolmé k ohybové čáře. Posuvy libovolného bodu příčného průřezu tedy můžeme určit, budeme-li znát průhyby a úhly natočení v jednotlivých bodech střednice (jako průhyby označujeme složky posuvů kolmé ke střednici), které jsou proto základními deformačními charakteristikami prostého ohybu. Určujeme je z rovnice ohybové čáry. Jednonásobně elementární prvek Ω 1 se deformuje tak, že se dva soumezné příčné průřezy vzájemně natočí kolem neutrální osy o úhel dϕ. Neutrální osy v jednotlivých průřezech vytvářejí dohromady neutrální rovinu, v níž jsou napětí a přetvoření nulová. Délka trojnásobně elementárního prvku Ω 3, daná úsečkou GH, se protažením a zakřivením prvku změní na G H. Pro odvození rovnice ohybové čáry budeme uvažovat základní ohyb takový, že ohybový moment ve směru osy y je různý od nuly, ve směru osy z roven nule ( M oy 0, M oz = 0). deformační charakteristiky prostý ohyb prutové předpoklady neutrální osa

p13 11 Prvek Ω 3 se střednicí ve vzdálenosti z od neutrální osy měl před deformací délku rdϕ (tj. stejnou jako úsečka OA, jejíž protažení je zanedbatelné) a po deformaci (r + z)dϕ. Délkové přetvoření prvku Ω 3 tedy je ε Ω3 = (r + z)dϕ rdϕ rdϕ = z r U ohybu vzniká jednoosá napjatost, a protože uvažujeme základní ohyb od složky ohybového momentu M oy, platí ε Ω3 = σ E = M oy EJ y z. přetvoření napjatost jednoosá napětí Hookův zákon Porovnáním z r = M oy EJ z 1 y r = M oy EJ dostáváme křivost deformované střednice 1 y r, resp. poloměr zakřivení střednice r. Poznámka: Analogicky pro druhý základní ohyb M oz dostaneme vztah 1 r = M oz EJ z. Pokud bude výraz M oy(x) podél střednice konstantní (dáno předpoklady prostého ohybu), EJ y (x) ohyb bude mít zdeformovaná střednice tvar části kružnice. V praxi jsou ale daleko častější případy, kdy M o (x) konst. Důsledkem je, že 1 r konst. a ohybová čára je obecná rovinná křivka. (O vlivu posouvající síly, která nutně vzniká při M o (x) konst., bude pojednáno v kapitole 13.9.2.) základní ohyb vliv T

p13 12 V matematice se pro křivost rovinné křivky znázorňující funkci z = z(x) odvozuje vztah 1 r(x) = ± d 2 z dx 2 [1 + ( dz = ±w, (1 + w 2 ) 3 2 dx )2 ] 3 2 kde posuv bodu střednice ve směru osy z (průhyb) jsme označili w. Porovnáním s odvozenou křivostí dostaneme diferenciální rovnici ohybové čáry ±w (1 + w 2 ) 3 2 = M oy EJ y. Jedná se o obecnou, nelineární diferenciální rovnici 2. řádu, analyticky řešitelnou jen ve speciálních případech. Pro většinu strojních součástí jsou charakteristické malé deformace. Pro úhel natočení ϕ < 0, 1 rad platí w = tg ϕ. = ϕ a w 2 < 0, 01 můžeme vůči 1 zanedbat. Pro malé deformace dostaneme obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu s pravou stranou, řešitelnou přímou integrací: w = M oy EJ y. Záporné znaménko v rovnici je důsledkem zavedených znaménkových konvencí a orientace os.

p13 13 Poznámka ke znaménku v rovnici: Volba znaménka souvisí se znaménkovou konvencí momentu M oy (x) a s orientací globálního souřadnicového systému. Veličiny E, J y (x), w 2 (x) jsou vždy kladné. Kladný ohybový moment M oy (x) způsobuje deformaci střednice naznačenou na obrázku. Je zde zakreslen i průběh w (x), tj. úhlu natočení střednice. Je zřejmé, že w (x) (směrnice tečny k w (x)) je podél celé střednice prutu záporná. Odtud vyplývá: pro M oy (x) > 0 je w (x) < 0 a tedy bude-li osa +z orientována směrem dolů (nahoru), bude ve vztahu ±w = M oy EJ y záporné (kladné) znaménko. V námi zavedené orientaci souřadnicových os platí tedy záporné znaménko.

p13 14 13.8. Deformace příčného průřezu Vlivem součinitele příčné kontrakce jsou přetvoření ε y, ε z nenulová, takže dochází ke změnám rozměrů příčných průřezů v důsledku deformace. Jejich určení je však obtížnější než u prostého tahu, protože stav deformace v bodech prutu je nehomogenní. Pro praxi je tato deformace obvykle nepodstatná. deformace 13.9. Oblasti použitelnosti prostého ohybu prutů 13.9.1. Vliv proměnnosti průřezu podél střednice prutu a) Spojitě proměnný příčný průřez Uvažujme prut se spojitě se měnícím příčným průřezem, ve všech průřezech je konstantní ohybový moment M o a hlavní osy v jednotlivých průřezech jsou navzájem rovnoběžné (prut je nešroubovitý). V kapitole 11.10.1 je odvozeno, že v příčných průřezech vznikne pro N 0 smykové napětí. Podobně i pro namáhání ohybem se dá odvodit, že proměnnost velikosti příčného průřezu podél střednice prutu způsobuje vznik smykových napětí v příčných průřezech. Podobně jako u prostého tahu zde platí, že bude-li změna příčného průřezu malá, budou malá i smyková napětí v poměru k napětí normálovému (τ σ) a tuto odchylku od prutových předpokladů můžeme považovat za nepodstatnou. Pro určování deformace a napjatosti můžeme pak použít vztahy prosté pružnosti. odvození prutové předpoklady

p13 15 b) Náhlé změny příčného průřezu (vruby) Místo největší koncentrace napětí nazýváme kořen vrubu. Hodnota maximálního napětí se určuje pomocí vztahu σ max = ασ n, kde α je součinitel koncentrace napětí, σ n je nominální napětí v místě vrubu, které je vypočteno ze vztahů prosté pružnosti a pevnosti. 3. koncentrace napětí v kořeni vrubu umístěného v blízkosti neutrální osy nemusí u ohybu překročit nominální napětí na obvodu, zatímco u tahu, kde je homogenní napjatost, bude napětí v kořeni vrubu vždy největší. Na příkladu průběhu napětí v místě vrubu prutu, zatíženého v případě a) tahem a v případě b) ohybem jsou vidět odlišnosti: 1. u ohybu může existovat koncentrace napětí současně jak v oblasti tahové, tak tlakové, 2. u ohybu má poloha vrubu vliv na koncentraci napětí (odlišný charakter koncentrace v závislosti na poloze vrubu v příčném průřezu prutu), vruby α grafy napětí Příklad 602

p13 16 13.9.2. Proměnnost ohybového momentu podél střednice Předpoklady prostého ohybu může splnit jedině prut zatížený osamělými silovými dvojicemi, pro nějž platí posouvající síla T (x) = 0, ohybový moment M o (x) = M = konst. v jednotlivých intervalech, Pak smyková napětí v příčných průřezech nevznikají. V praxi je daleko častější prut zatížený osamělými silami nebo spojitým liniovým zatížením v příčném směru, u nějž je posouvající síla nenulová a ohybový moment není konstantní. Pro takovýto prut se často používá tradiční název nosník. U něj vzniká složitější typ napjatosti: od ohybových momentů M o vznikají v příčných průřezech normálová napětí σ. od posouvající síly T vznikají v příčných průřezech smyková napětí τ. Příčné zatížení vede vždy ke vzniku smykových napětí v příčných průřezech. Velikost a rozdělení smykových napětí v příčných průřezech s obecným tvarem obrysové křivky a s obecnou polohou nositelky posouvající síly je možno stanovit metodami obecné

p13 17 pružnosti nebo MKP. Na úrovni pružnosti prutů se smyková napětí určují pro 2 případy: 1. příčné průřezy alespoň s 1 osou symetrie, 2. tenkostěnné příčné průřezy profily I, U, T za předpokladu, že prut je prizmatický, povrch prutu není zatížen smykovými silami. V literatuře lze nalézt vztah pro výpočet smykového napětí, který se někdy nazývá Žuravského vzorec. τ(x, z) = T (x)u y1(z) b(z)j y, statický moment neutrální osa kde U y1 (z) je statický moment plochy 1 (z) k neutrální ose. Tento vzorec je odvozen za předpokladu, že nositelka posouvající síly je osou symetrie příčného průřezu a smyková napětí jsou po jeho šířce rozložena rovnoměrně. Z něj dostaneme vztahy pro maximální smykové napětí a) v obdélníkovém průřezu: τ max = 3 T 2 S b) v kruhovém průřezu: τ max = 4 T 3 S

p13 18 Poznámka: Je tedy zřejmé, že v praxi někdy používaná hodnota tzv. smluvního smykového napětí τ s = T/S vede ke značnému podhodnocení smykových napětí. Navíc u některých profilů nejsou všude splněny ani předpoklady Žuravského vztahu a extrémní smyková napětí jsou ve skutečnosti ještě vyšší. Pro výpočet deformačních parametrů využitím Castiglianovy věty je třeba do energie napjatosti zahrnout i vliv posouvající síly. Pro měrnou energii napjatosti od smykových napětí byl odvozen vztah Λ = τ 2 2G. Jeho integrací přes průřez dostaneme energii na- Λ pjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω 1, v jehož příčném průřezu působí smykové napětí τ vyvolané posouvající silou T τ 2 W Ω1 = 2G dsdx = 1 T 2 Uy1(z) 2 2G b 2 (z)jy 2 dxds. Vztah upravíme, zlomek rozšíříme o plochu S a výraz (v hranaté závorce), který závisí pouze na průřezových charakteristikách a pro daný tvar průřezu je konstantní, označíme β: W Ω1 = T 2 Uy1(z) 2 S 2GS b 2 (z)jy 2 ds dx = βt 2 2GS dx Castiglianova věta Pro kruhový průřez je β = 32/27 = 1, 185. = 1, 2, pro obdélníkový β = 1, 2. U prutu o délce l tedy posouvající síla přispěje k celkové energii napjatosti hodnotou Příklad 627 W T = l 0 W Ω1 = β l 2G 0 T 2 (x) S(x) dx.

p13 19 13.9.3. Zakřivení střednice prutu U rovinného zakřiveného prutu, namáhaného základním ohybem, jsou normálová napětí v příčném průřezu rozložena podle hyperboly s neutrální osou posunutou vůči centrální ose, na rozdíl od prutu přímého, kde jsou rozložena podle přímky. Pro porovnání výpočtu průběhu napětí (u prutu s poloměrem křivosti R a rozměrem příčného průřezu v rovině střednice h) při použití vztahů pro pruty zakřivené σ z a pro pruty přímé σ p vyneseme závislost σ(r/h), kde σ = σ z σ p σ z 100 %. Poměr R/h charakterizuje relativní zakřivení prutu, σ je odchylka napětí σ p od σ z. Z grafu je patrné, že průběh napětí u prutů slabě zakřivených, pro něž platí h R (velké R h ), je možno řešit užitím vztahu pro pruty přímé. Při poměru R/h = 10 se dopustíme chyby 4%, pro R/h = 5 bude chyba cca. 8%. Průběh napětí u prutů silně zakřivených s poměrem R/h < 5 je hyperbolický, extrémní hodnota napětí je vyšší a musíme ji počítat pomocí vztahů pro pruty zakřivené (ty nejsou součástí bakalářského studia PP) nebo dnes častěji metodou konečných prvků. základní ohyb neutrální osa centrální osa σ p

p13 20 13.10. Řešení úlohy PP u prutů namáhaných ohybem 13.10.1. Volný prut Odvodili jsme vztahy pro napětí, deformační parametry a energii napjatosti u prutu namáhaného ohybem při splnění prutových předpokladů. U praktických výpočtů se omezíme v tomto kurzu na základní ohyb, pro nějž platí vztahy ve zjednodušené podobě σ(z) = M oy J y z; σ max = M o W o ; w = M l oy ; W = EJ y 0 M 2 oy 2EJ y dx Při vyšetřování mezních stavů deformace je třeba znát průhyby resp. úhly natočení aspoň v některých význačných bodech střednice prutu. Pro jejich určení existuje řada metod, z nichž si uvedeme dvě: integrace diferenciální rovnice průhybové čáry prutu (diferenciální přístup), Castiglianova věta (integrální přístup). prutové předpoklady σ(z) σ max w W

p13 21 13.10.2. Diferenciální přístup Diferenciální rovnice w (x) = M oy(x) EJ y se řeší přímou integrací. Musí být doplněna okrajovými podmínkami. U prutů, u nichž průběh M o (x) po celé délce vyjádříme jedinou Příklad 604 funkční závislostí (hladkou a spojitou), řešíme jednu diferenciální rovnici 2. řádu a potřebujeme pro určení integračních konstant 2 okrajové podmínky. Příklad 607 Okrajové podmínky mohou být popsány a) vazbovými podmínkami známými průhyby a úhly natočení v místě vazeb prutu se základním tělesem, b) symetriií deformace, pro x = l 2 w = ϕ = 0 (tečna k ohybové čáře je rovnoběžná s osou x) Pro prut na obrázku máme tedy dvě možnosti pro vyjádření okrajových podmínek: 1. vazbové podmínky 2. symetrie deformace x = 0 w = 0 x = 0 w = 0 x = l w = 0 x = 2 l w = 0 c) geometrickými prutovými předpoklady (střednice zůstává během deformace spojitá a hladká). Je-li výraz M oy /EJ y vyjádřen na úsecích prutu různými funkčními závislostmi, pak na hranicích těchto úseků formulujeme podmínky spojitosti a hladkosti střednice.

p13 22 Např. pro x = a, kde je změna zatížení (změna průběhu M o (x)), musí platit průhyb zleva se rovná průhybu zprava (zachování spojitosti) w I = w II natočení zleva se rovná natočení zprava (zachování hladkosti střednice) ϕ I = ϕ II prutové předpoklady U prutů, u nichž je výraz M oy /EJ y vyjádřen různými závislostmi v určitých částech střednice, pak postupujeme následovně: Příklad 616 Střednici rozdělíme na úseky, v nichž je výraz M oy /EJ y vyjádřen jedinou závislostí. Hranice intervalů jsou v místech změny zatížení, materiálových a průřezových charakteristik. Pro každý úsek napíšeme diferenciální rovnici. Popíšeme vazbové okrajové podmínky, vyplývající z vazeb prutu se základním tělesem. materiálové charakteristiky průřezové charakteristiky ohybová čára Pro všechna rozhraní mezi intervaly napíšeme pro deformovanou střednici podmínky spojitosti (rovnost průhybů zleva a zprava) (w i (a) = w i+1 (a)), Příklad 622 podmínky hladkosti (rovnost natočení zleva a zprava) (ϕ i (a) = ϕ i+1 (a)) Protože k řešení diferenciální rovnice ohybové čáry je třeba stanovit 2 integrační konstanty, musíme napsat odpovídající počet (2x počet intervalů) okrajových podmínek. Pro jejich správné sestavení je nutné, aby funkce M o(x) EJ byla pro všechny úseky vyjádřena v tomtéž y souřadnicovém systému.

p13 23 13.10.3. Integrální přístup Deformační charakteristiky pro konkrétní body střednice můžeme také určit s využitím Castiglianovy věty. V prutu délky l se akumuluje energie napjatosti W = W Moy + W T = 1 l 2E 0 Moy(x) 2 J y (x) dx + β l 2G 0 T 2 (x) S(x) dx, Castiglianova věta W Mo W T která je superpozicí příspěvků od ohybu a smyku. Při řešení posuvu působiště J síly F J dosadíme energii napjatosti do Castiglianovy věty a v obecném tvaru zderivujeme: w J = W l = F J 0 l M oy M oy dx + β EJ y F J 0 T GS T F J dx. Castiglianova věta Příklad 625 Přitom musíme mít na paměti, že průhyb w J je globální veličinou (závisí na deformacích celého prutu). Proto složky VVÚ musí být vyjádřeny jako funkční závislosti po celé délce střednice prutu. U dlouhých štíhlých prutů (l > 10h) je příspěvek posouvající síly zanedbatelný.

p13 24 13.10.4. Porovnání diferenciálního a integrálního přístupu 1. diferenciální přístup: Umožňuje: a) řešit i velké průhyby pomocí rovnice pro velké deformace ±w (1 + w 2 ) 3 2 = M oy EJ y velké deformace (pouze v určitých jednoduchých případech), b) určit v obecném místě velikost průhybu a natočení. c) určit extrémní průhyb i v případě, že neznáme polohu extrémního průhybu. Příklad 624 Nevýhody: nezahrnuje vliv posouvající síly na průhyb a natočení a obvykle je matematicky složitější a pracnější. 2. integrální přístup (Castiglianova věta): a) umožňuje určit deformační charakteristiky v kterémkoli konkrétním bodě střed- Příklad 618 nice; pokud v něm nepůsobí odpovídající vnější zatížení, přidáme doplňkovou Příklad 621 sílu F d = 0 nebo silovou dvojici Md = 0, s nimiž pracujeme jako se známým vnějším zatížením, charakteristiky b) umožňuje zahrnout vliv posouvající síly T na průhyb a natočení, Příklad 625 c) ve srovnání s diferenciálním přístupem je výpočet podstatně rychlejší a snazší, d) umožňuje volit různý (optimální) souřadnicový systém v každém úseku, e) je použitelný i u zakřivených a lomených prutů. Nevýhody: a) lze ho použít pouze v lineární pružnosti (malé deformace, hookovský materiál, lineární vazby lineární), pružnost b) řeší deformaci v konkrétním bodě, obtížně se používá při hledání extrémů.

p13 25 13.10.5. Vázaný prut V blízkém okolí vazeb existuje oblast, kde není prut namáhán prostým ohybem, protože se nepodaří realizovat vazbu tak, aby omezovala jen posuvy a natočení střednice. Tuto oblast nemůžeme řešit pomocí vztahů pro prostý ohyb. Je-li tato oblast rozhodující z hlediska mezních stavů, je třeba použít např. MKP. prutové předpoklady

p13 26 Postup při řešení vázaných prutů 1. Prut úplně uvolníme a v místě odstraněných vazeb zavedeme stykové výslednice. uvolnění 2. Sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy. SR 3. Určíme stupeň statické neurčitosti s = µ ν. Mohou nastat tyto případy: a) s = 0 prut je uložen staticky určitě pokračujeme bodem 7. rozbor b) s 1 prut je uložen staticky neurčitě pokračujeme bodem 4. Příklad 602 4. Prut částečně uvolníme a sestavíme vazbové deformační podmínky, které jsou určeny částečné posuvem ev. natočením tolika bodů střednice, kolikrát je uložení staticky neurčité. uvolnění 5. Vazbové deformační podmínky vyjádříme pomocí silového působení s využitím Castiglianovy věty. Pokud vazby omezují podélné deformace prutu, vznikne v něm nenulová normálová síla a z jednoduchého namáhání se stane kombinované (ohyb + tah jednoduché nebo tlak). Deformační podmínky mohou být namáhání a) homogenní kinematický vazbový parametr má nulovou hodnotu, Příklad 617 b) nehomogenní kinematický vazbový parametr má nenulovou hodnotu v důsledku výrobních nepřesností (např. nestejná výška podpor, nesouosost vazeb), Příklad 608 c) podmíněné podle velikosti posuvu ev. natočení může prut zůstat buď staticky Příklad 613 určitý nebo se stát staticky neurčitým (např. montážní vůle způsobí nefunkčnost vazby). 6. Sestavíme soustavu rovnic, tvořenou podmínkami statické rovnováhy úplně uvolněného prutu a vazbovými deformačními podmínkami částečně uvolněného prutu. 7. Řešíme soustavu rovnic. 8. Řešíme napjatost a deformaci stejně jako u volného prutu.

p13 27 13.11. Příklady k procvičování látky Řešené příklady Příklad 601 Příklad 625 Příklad 627 Neřešené příklady Příklad 602 Příklad 603 Příklad 604 Příklad 608 Příklad 610 Příklad 618 Příklad 622 Příklad 624 Příklad 616 Příklad 617 předchozí OBSAH následující kapitola