Klasické třídy ploch

Klasické třídy ploch Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Klasické třídy ploch klasické plochy jsou často generovány kinematicky, a to pohybem tvořicí křivky takto např. vznikají translační plochy, rotační plochy, šroubové plochy atd. 1

Analytický popis parametrické vyjádření plochy lze získat ze znalosti principu, jakým byla plocha vytvořena tvořicí křivku c: Y=Y(u), podrobíme pohybudanému maticovým vyjádřením T X = AY + B, A A = I skutečnost, že pohyb závisí na parametru vyjádříme A = A( v), B = B( v), A( v) A T ( v) = I analytický popis odpovídající plochy je T X ( u, v) = A( v) Y ( u) + B( v), A( v) A ( v) = I Rotační plochy 2

o Rotační plochy Rotační plocha vzniká otáčením zvolené tvořicí křivky k kolem pevně dané osy o. k Rotační plochy jednotlivé body tvořicí křivkykopisují kružnice na ploše, tzv. rovnoběžky každá rovina procházející rotační osou protíná rotační plochu v křivce, která se nazývá meridián; všechny meridiány rotační plochyjsou vzájemně shodné křivky speciální rovnoběžky: rovník, hrdlo, kráterová kružnice meridián o kráterová kružnice hrdlo rovník 3

Tečná rovina a normála tečná rovina T p rotační plochy v bodě pje dána tečnou t c rovnoběžkové kružnice a tečnou t m meridiánu normálan p rotační plochy v bodě pprotíná osu Speciální rotační plochy Rotační válcová plocha Kulová plocha Rotační kuželová plocha Anuloid (torus) 4

Rotační kvadriky Rotační plocha, která vzniká otáčením kuželosečky kolem jedné z jejích os, se nazývá rotační kvadrika. Rovinným řezem této plochy jsou opět kuželosečky. Některé typy rotačních kvadrik: Rotační elipsoid Rotační paraboloid Rotační hyperboloidy dvojdílný jednodílný Rotační plochy v architektuře Melbourne Central, Melbourne, Australia Bonaventure Hotel, Los Angeles, USA Oriental Pearl Tower, Shanghai, China 5

Přímkové rotační plochy Rotační plochy, jejichž tvořicí křivka k je přímkou, se nazývají přímkové rotační plochy, jednotlivá umístění křivkykse nazývají povrchové přímky plochy. Jestliže je přímka krovnoběžná, resp. protíná rotační osu v bodě S, potom jako přímkové rotační plochy dostávámerotační válcovou, resp. rotační kuželovou plochu s vrcholem S. Jestliže je tvořící přímkakmimoběžná s osou rotace, ale ne kolmá, potom dostanemejednodílný rotační hyperboloid. Na takové ploše ležídvě soustavy tvořicích přímek. 1. soustava 1. a 2. soustava 2. soustava Rotační hyperboloidy ve stavebnictví Katedrála Sacre-Coeur, Alžír, Alžírsko Chladící věže atomové elektrárny Temelín, ČR 6

Analytický popis I tvořicí křivku c(u)=(x(u),y(u),z(u)) podrobíme rotačnímupohybunapř. kolem osy z, tj. cos v sin v 0 0 A( v) = sin v cos v 0, B( v) = 0 0 0 1 0 analytický popis odpovídající rotační plochy je x( u, v) = x( u)cos v y( u)sin v y( u, v) = x( u)sin v + y( u)cos v z( u, v) = z( u) Analytický popis II pokud je tvořicí křivkou meridián ležící v rovině xz, tj. m(u)=(x(u),0,z(u)), nabývá analytický popis jednoduššího tvaru x( u, v) = x( u)cos v y( u, v) = x( u)sin v z( u, v) = z( u) 7

Implicitní rovnice rotačních kvadrik eliminacíu,vz parametrických rovnic, obdržíme odpovídající implicitní rovnice zploštělý rotační elipsoid: protáhlý rotační elipsoid: dvojdílný rotační hyperboloid: jednodílný rotační hyperboloid: rotační paraboloid: x y z a a c 2 2 + + = 1 ( a > c ) x y z a a c 2 2 + + = 1 ( a < c ) x y z a a c + = 1 x y z a a c + = 1 x y z = + a a 2 2 2 2 Implicitní rovnice regulárních kvadrik užitím dilatace ve směru osy y(y=a/by ) dostáváme další typy regulárních kvadrik trojosý elipsoid: dvojdílný trojosý hyperboloid: jednodílný trojosý hyperboloid: eliptický paraboloid: x y z a b c + + = 1 x y z a b c + = 1 x y z a b c + = 1 x y z = + a b 2 2 2 2 8

Rotační kvadriky v architektuře Katedrála, Brasilia Brazílie Kopule Říšského sněmu, Berlín, Německo The Port Tower, Kobe, Japonsko Translační plochy 9

Translační plochy Křivka k (profilová křivka) je posouvána podél jiné křivky l (řídicí křivka). Takto vzniklou množinu bodů, vzniklou z křivek rovnoběžných s profilovou křivkou k, nazýváme translační plocha. Hall 26, Deutsche Messe Hanover, Germany Speciálně, je-li profilovou křivkou k přímka posouvající se podél obecné řídicí křivky l, potom je vzniklou translační plochou zobecněná válcová plocha (operace vytažení ve směru!). Dva způsoby vytvoření translační plochy Profilová a řídící křivka translační plochy mohou být zaměněny. Posouváním křivky kpodél křivky ldostaneme stejnou plochu jako při posouvání křivky l podél křivky k. Plocha tedy poskytuje dvě soustavy křivek, podle toho kterou křivku posouváme po které P K Profilová křivka k L Řídicí křivka l O 10

Eliptický paraboloid jako translační plocha Eliptický paraboloid je plocha parabolicko-parabolická. p2 p1 x y z = + a b 2 2 2 2 Hyperbolický paraboloid jako translační plocha Hyperbolický paraboloid je rovněž plocha parabolicko-parabolická. p2 x y z = a b 2 2 2 2 p1 11

Analytický popis parametrický popis translační plochy získáme X ( u, v) = k( u) + l( v), kde k(u), l(v) jsou parametrická vyjádření tvořicía profilové křivky Přímkové plochy 12

Přímkové plochy Pohybem přímky (tvořicí křivka) vzniká přímková plocha Každým bodem přímkové plochy prochází nejméně jedna přímka plochy, která se nazývá povrchová přímka Např. válcováa kuželová plocha, jednodílný hyperboloid, atd. patří mezi přímkové plochy Analytický popis parametrický popis přímkové plochy získáme X ( u, v) = c( u) + v d( u), kde c(u) je parametrický popis tzv. řídicí křivkya d(u) popisuje spojitě se měnící směrový vektor pohybující se přímky pro konstantní vektor d získáváme válcovou plochu 13

Konoidní přímkové plochy Řídící křivka 1 Směrová rovina Řídící křivka 2 Přímkové plochy, jejichž všechny povrchové přímky jsou rovnoběžné se zadanou rovinou ε, nazýváme konoidní přímkové plochy Rovinu εa každou s ní rovnoběžnou rovinu nazýváme směrovou rovinou plochy Zadáním směrové roviny a dvou řídících křivek je konoidní přímková plocha jednoznačně určena Pilové střechy Površky rovnoběžné se směr. rovinou e Pilové střechy jsou často výřezy konoidních přímkových ploch se svislou směrovou rovinou; většinou je směrová rovina společnou rovinou symetrie pro řídící křivkya současně také rovinou symetrie pro celou Řídící křivky Olympic Train Station, Homebush, Sydney, Australia svislá směrová rovina 14

HP plocha Mimoběžné řídící přímky Konoidní přímková plocha se dvěmi navzájem mimoběžnými řídicími přímkamije hyperbolický paraboloid nebo také zkráceně HP plocha HP plocha má vynikající statické vlastnosti (užití ve stavebnictví) Povrchové přímky HP plochy v praxi Philips pavilón Světová výstava, 1958 Brüssel Konstrukce střechy ze dřeva Pengrowth Saddledome, Calgary, Kanada Entertainment Center Felix Candela 15

HP plocha jako translační plocha (připomeňme si) p2 p1 Posouváním paraboly p1 podél paraboly p2 s rovnoběžnými osami vzniká HP plocha. Analytický popis uvažujme zborcený čtyřúhelník ABCD(s mimoběžnými protějšími stranami) parametrický popis přímkové plochy dané čtyřúhelníkem ABCD je x( u, v) = (1 v) [(1 u) A + u B] + v [(1 u) D + u C], 16

Tečné roviny přímkové plochy I pokud jsou tečné roviny v různých bodech povrchové přímky různé, hovoříme o tzv. netorzálníních povrchových přímkách;každá rovina procházející takovou povrchovou přímkou je tečnou rovinou v právě jednom bodě povrchových přímek. přímkové plochy,jejichž povrchové přímky jsou netorzální, nazýváme zborcené přímkové plochy(dvojnásobně zakřivené přímkové plochy) např. HPnebo jednodílný hyperboloidpatří mezi zborcené přímkové plochy Tečné roviny přímkové plochy II dotýká-li se ve všech bodech povrchové přímky stejná tečná rovina plochy, potom hovoříme o tzv. torzálních povrchových přímkách(např.kuželová, válcová plocha) pokud jsou všechny povrchové přímky přímkové plochy torzální, hovoříme o tzv. rozvinutelných plochách (jednoduše zakřivené přímkové plochy) nulová Gaussova křivost v každém bodě! mezi rozvinutelné plochy patří výhradně válcovéa kuželové plochy a plochy tečen prostorových křivek 17

Rozvinutelné plochy Válcová plocha vzniká zjemňováním hranolové plochy Kuželová plocha vzniká zjemňováním jehlanové plochy Rozvinutí Animace ukazuje rozvinutí rotačního válce, resp. rotačního kužele do roviny 18

Rozvinutí kužele Rozvinutelné plochy v praxi Rozvinutelné plochyjsou pro stavebnictví zajímavé/důležité z několika důvodů: jsou tvořeny soustavou přímek a jsou tedy snáze stavebně realizovatelné než ostatní plochy (obložení, železobeton, dřevostavba, ) jsou snadno vyrobitelné (např. z plechu) Weisman Art Museum http://hudson.acad.umn.edu/ 19

Šroubové plochy Šroubový pohyb opakování/připomenutí Šroubový pohyb= prostorovýpohyb, který vzniká složením rovnoměrné rotace okolo osyos rovnoměrným posunem ve směru osy o Šroubovice= trajektorie bodu, který koná šroubový pohyb 20

Šroubové plochy Podrobíme-li křivku k šroubovému pohybu, přičemž k není dráhou pohybu tohoto šroubového pohybu, potom množina bodů vzniklá tímto pohybem vytvoří tzv. šroubovou plochu. Každý bod křivky k koná šroubový pohyb a pohybuje se po shodné šroubovici. Řezy plochy rovinami kolmými na osu šroubového pohybu, resp. procházejícími osou šroubového pohybu, se nazývají příčné řezy, resp. meridiány šroubové plochy. Dvojité točité schodiště, Grazer Burg, 1499 DNA Příklady: přímkové šroubové plochy (např. spirálové plochy) kruhové šroubové plochy Šroubové plochy Šroubové plochymohou být generovány pohybem obecné tvořicíkřivky, pohybem meridiánu, resp. pohybem příčného řezu (křivka ležící v rovině kolmé na osu) 21

Spirálové plochy přímky procházející body šroubovice, které protínají a jsou kolmé na osu šrobovice, vytvářejí tzv. spirálové plochy spirálové plochy se vyskytují např. jako základ točitého schodiště, jako točité nájezdy (výjezdy) a jako běžné šrouby Výskyt šroubových ploch ve stavebnictví Parkoviště... Půdorys parkoviště... 22

Kruhové šroubové plochy Meridiánové kruhové šroubové plochy:vznikají šroubovánímkružnice, ležící v rovině procházející osou šroubového pohybu Vrstvené kruhové šroubové plochy:vznikají šroubováním kružnice, ležící v rovině kolmé na osu šroubového pohybu Kruhové šroubové plochy Protíná-li tvořící kružnice osu šroubového pohybu, potom vznikají sloupy typické pro barokní styl Vnitřek jezuitského kostela se šroubovými barokními sloupy 23

Analytický popis I tvořicí křivku c(u)=(x(u),y(u),z(u)) podrobíme šroubovémupohybunapř. kolem osy z, tj. cos v sin v 0 0 A( v) = sin v cos v 0, B( v) = 0 0 0 1 p v analytický popis odpovídající šroubové plochy je x( u, v) = x( u)cos v y( u)sin v y( u, v) = x( u)sin v + y( u)cos v z( u, v) = z( u) + p v Analytický popis II pokud je tvořicí křivkou meridián ležící v rovině xz, tj. m(u)=(x(u),0,z(u)), nabývá analytický popis jednoduššího tvaru x( u, v) = x( u)cos v y( u, v) = x( u)sin v z( u, v) = z( u) + p v 24

Kanálové a rourové plochy m Rourové plochy Rourová plocha je určena řídicí křivkou m středů kulových ploch, která se nazývá osa rourové plochy, a poloměrem kulových ploch r. Rourová plocha může být vytvářena dvěma způsoby : 1. jako obálka soustavy kulových ploch se středy na křivce m 2. pohybem kružnice v rovině kolmé na osu Příklady: rotační válec, anuloid,... 25

Rourové plochy Vodní tobogán Skluzavka (část rourové plochy) Kanálové plochy Zobecněním rourových ploch jsou plochy, které vzniknou jako obálka soustavy kulových ploch s proměnným poloměrem (tzn. poloměr koule závisí na poloze kulové plochy). Takové plochy nazýváme kanálové plochy. 26