XXIX. ASR '2004 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 30, 2004 207 Static and dynamic regression analysis in system identification Staticá a dynamicá regresní analýza v identifiaci systémů MORÁVKA, Jan Ing., Ph.D., Třinecý inženýring, a.s., Frýdecá 126, 739 61 Třinec Staré Město, jan.morava@tzi.trz.cz, http://www.inzenyr.trz.cz Abstrat: Příspěve popisuje statisticou analýzu a dva principiálně různé typy regresních modelů pro identifiaci chování teploty povrchu ocelového předlitu měřenou za seundárním chlazením (SCH) na provoze ZPO (zařízení plynulého odlévání oceli) v Třinecých železárnách (TŽ), a.s. Je srovnán lasicý staticý a moderní dynamicý vícerozměrný lineární regresní model. Klíčová slova: identifiace systémů, regresní analýza, staticý a dynamicý model 1 Úvod Měření teploty povrchu předlitu v oblasti za seundárním chlazením (SCH) pomocí pyrometru na zařízení pro plynulé odlévání (ZPO) má obecně více praticých účelů. Umožňuje např. stanovit působící vlivné fatory na tuto teplotu, zjistit vhodnost nastavení tzv.řive seundárního chlazení, zhodnotit správnost nastavení závislosti intenzity SCH na licí rychlosti, jao i licí rychlosti na přehřátí, posoudit dynamicý model SCH atd. Cílem příspěvu je prezentace rozdílů a výběru vhodného regresního modelu závislosti teploty povrchu předlitu na dalších fatorech s ohledem na statisticou oretnost výsledů. Konrétně je srovnáván běžně (a většinou výjimečně) používaný lasicý staticý vícerozměrný lineární regresní model s odpovídajícím moderním modelem dynamicým. 2 Klasifiace veličin Před samotnou regresní analýzou byla provedena záladní exploratorní (průzumová) analýza (EDA viz [MELOUN, M. & MILITKÝ, J. 1994]) relevantních veličin, tj. veličin uvažovaných jao proměnné vysvětlující (fatory, regresory) a proměnná vysvětlovaná (regresand). Proměnné jsou (logicy) chápány jao časové řady a proto je EDA rozšířena o výsledy analýzy časových řad (AČŘ) podle Boxovy-Jeninsovy metodologie [ARLT, J. 1999], [CIPRA, T. 1986]. Pro zjednodušení a přehlednost (jao i s ohledem na now-how) byla vybrána data pouze z jedné tavby (38 406) na ZPO č.1 (licí proud č.1 LP1) v TŽ, a.s. při odlévání ruhového formátu Ø 410 mm pro: regresory - licí rychlost (v) [mm/min] a teplota oceli v mezipánvi (T_MP) [ºC], regresand - teplota povrchu předlitu (Tp) [ºC]. Výsledy EDA a AČŘ jsou pro danou množinu proměnných přehledně uvedeny v tab.1. Tab. 1. EDA a AČŘ pro vybrané veličiny Veličina Homogenita Normalita Nezávislost Typ φ 1 Licí rychlost (v) ne ne ne I(1) 0,97 Teplota oceli v MP (T_MP) ano ne ne I(1) 0,99 Teplota předlitu (Tp) ano ne ne AR(5) 0,91
XXIX. ASR '2004 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 30, 2004 208 Pozn.: Homogenita... onstantnost střední hodnoty a rozptylu - zde definovaná pomocí vybočujících bodů, normalita... podle Jarque-Berrauova testu (omnibus test ombinace šimosti a špičatosti), nezávislost... podle znaménového testu stejné výsledy vyazoval i test trendu a autoorelačních oeficientů -tého řádu, typ... typ lasifiace časové řady podle Boxovy-Jeninsovy metodologie (ACF/PACF), φ 1... oeficient autoregrese 1.řádu, AR()... autoregresní model -tého řádu, I()... integrovaný proces -tého řádu viz [ARLT, J. 1999]. Na obr.1 a obr.2 jsou pro názornost zobrazeny časové průběhy uvažovaných veličin. 510 490 470 450 430 410 390 370 Tavba 38 406, 24.3.2004, LP1 Tp - teplota povrchu předlitu [ C], v - licí rychlost [mm/min] v Tp 1050 1040 1030 1020 1010 1000 990 980 350 970 8:12:51 8:17:20 8:21:50 8:26:20 8:30:50 8:35:20 8:39:49 8:44:19 8:48:49 8:53:19 8:57:49 9:02:19 9:06:48 9:11:18 9:15:48 9:20:18 9:24:48 9:29:18 Obr. 1. Průběh licí rychlosti (v) a teploty povrchu předlitu (Tp) 1528 1526 1524 1522 1520 1518 1516 1514 1512 Tavba 38 406, 24.3.2004, LP1 Tp - teplota povrchu předlitu [ C], T_MP - teplota oceli v MP [ C] T_MP Tp 1050 1040 1030 1020 1010 1000 990 980 1510 970 8:12:51 8:17:20 8:21:50 8:26:20 8:30:50 8:35:20 8:39:49 8:44:19 8:48:49 8:53:19 8:57:49 9:02:19 9:06:48 9:11:18 9:15:48 9:20:18 9:24:48 9:29:18 Obr. 2. Průběh teploty oceli v MP (T_MP) a teploty povrchu předlitu (Tp) Z tabuly a obrázů je zřejmých něoli sutečností: z hledisa náhodných proměnných všechny uvažované veličiny nesplňují záladní podmíny použití regresní analýzy metodou nejmenších čtverců (MNČ), protože jsou
XXIX. ASR '2004 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 30, 2004 209 vnitřně závislé (autoorelované) a nemají normální rozdělení. Licí rychlost je navíc nehomogenní (v pořadí průběh nemá onstantní střední hodnotu a rozptyl), z hledisa časových řad mají licí rychlost a teplota oceli v MP charater tzv.integrovaných procesů 1. řádu, co praticy znamená, že se jeví jao výstupy z integračních systémů např. zásobníů oceli. Taovými aumulačními zásobníy jsou licí pánev (LP) a mezipánev (MP). Tomuto zařazení prvotně odpovídá teplota oceli v MP a druhotně i licí rychlost, terá je řízená operátorem podle veliosti přehřátí oceli nad lividem (přehřátí oceli = teplota oceli v MP teplota lividu). Teplota oceli je měřená v disrétních oamžicích a její časový průběh má charater tzv. stupňovité funce (terá je výstupem z tvarovače 0. řádu), z hledisa časových řad má teplota povrchu předlitu charater nestacionárního procesu ve střední hodnotě [MORÁVKA, J. 2000a], [MORÁVKA, J. 2000b] typu autoregresního (setrvačného) procesu vyššího (5.) řádu. Při apliované periodě vzorování asi 9 seund to praticy znamená, že atuální teplotu ovlivňuje ještě hodnota, terá se vysytla před 45ti seundami. Dále z této sutečnosti vyplývá, že v regresním modelu (rovnici) by měla být použita taé zpožděná (autoregresní) vysvětlovaná proměnná (teplota povrchu) minimálně 1. řádu, co už vede na tzv. dynamicý regresní model. 3 Staticý regresní model Staticý (lasicý) vícerozměrný lineární regresní model byl uvažován v obvylém aditivním tvaru s výše uvedenými regresory: T P o = const + b T _ MP + b v + ε [ C], (1) T _ MP v de je const - absolutní člen [ºC], b T_MP - regresní oeficient teploty oceli v MP [-], b v - regresní oeficient licí rychlosti [ºC min/mm], ε - reziduum, aditivní náhodná porucha na výstupu ~ N(0, σ ε ). Výsledy staticé regresní analýzy (predice) jsou uvedeny v tab.2 (při uvažované hladině významnosti α = 0,05): Tab. 2. Výsledy staticé regresní analýzy Objet Model Rezidua Parametr / vlastnost Koeficient / test Hodnota Hodnocení const 5 697 významný regresní b T_MP -3,05 významný oeficienty b v -0,10 významný významnost Fisher-Snedocorův 435 významný R 2 [%] 62,5 vyšší oretnost Scottovo ritérium -0,10 oretní homosedasticita Coo Weisbergův 8,45 heterosedasticita! normalita Jarque Berraův 8,75 nenormalita! náhodnost Durbin-Watsonův 0,47 pozitivní autoorelace! trend znaménový 14,2 trend! Pozn.: R 2... oeficient determinace modelu (podíl vysvětleného rozptylu regresandu). Na obr.3 je zobrazen prediční graf staticého regresního modelu teploty povrchu předlitu měřenou pyrometrem za SCH a na obr.4 graf autoorelace jeho reziduí:
XXIX. ASR '2004 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 30, 2004 210 1050 Staticý regresní model 1030 Tp 1010 990 970 0 100 200 300 400 500 600 pořadí Obr. 3. Prediční graf teploty povrchu předlitu měřené za SCH staticý regresní model E(i-1) Autoorelace reziduí - staticá LR 30 20 10 0-10 -20-30 -40-40 -30-20 -10 0 10 20 30 E(i) Hodnocení: Obr. 4. Graf (pozitivní) autoorelace reziduí staticý regresní model Staticý regresní model vysvětluje pouze asi 63 % rozptylu a rezidua nesplňují žádný (nezávislost/náhodnost, normalita, onstantní rozptyl) z předpoladů MNČ. Nejzávažnějším narušením se jeví pozitivní autoorelace reziduí, terá signalizuje nezahrnutí důležité vysvětlující proměnné v uvažovaném případě zpožděné vysvětlované proměnné. I z predičního grafu je zřejmé, že staticý regresní model není v pořádu nevystihuje dobře trend průběhu teploty povrchu předlitu v čase. 4 Dynamicý regresní model 4. 1 Diferenční rovnice jednorozměrného proporcionálního systému Dynamicý regresní model vychází z diferenční rovnice (disrétní matematicý model) vznilé disretizací obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu s onstantními oeficienty (spojitý
XXIX. ASR '2004 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 30, 2004 211 matematicý model), terá popisuje jednorozměrný proporcionální systém se setrvačností 1.řádu (Sp1) [VÍTEČEK, A. 1988], [MORÁVKA, J. 2003]. Sp1 je nejjednodušší záladní proporcionální dynamicý systém používaný pro identifiaci a aproximaci složitějších dynamicých systémů. Schematicé znázornění spojité dynamicé proporcionální soustavy Sp1 a jejich disrétních modelů invariantních vzhledem impulsní (vlevo) a přechodové (vpravo) funci je uvedeno na obr.5 (při použití zpřehledňujícího a zjednodušujícího označení: u(t) = u, u T (t) = u T, y(t) = y, u(t) = u, y(t) = y ): Sp1 u 1 / (T 1 s+1) y A/D A/D A/D A/D u u Sp1 D/A y y u u u T Sp1 y y Obr. 5. Spojitý model soustavy Sp1 a jeho disrétní evivalenty Celový disrétní Z-přenos Gc(z) modelů invariantních impulsní a přechodové funci lze dostat ze spojitých L-přenosů (Laplaceových) G(s) pomocí vztahů [VÍTEČEK, A. 1988]: -1 Gc(z) = Z{L {G(s)} }, (2) t= T -1-1 Gc(z) = (1 - z ) Z{L {G(s)/s} }, (3) t= T odud lze dostat již samotné diferenční rovnice příslušných modelů: y = +, (4) c1.y -1 b1.u y = +, (5) c1.y -1 b1.u -1 de je t - čas (spojitý) [s], T - perioda vzorování [s] > 0, - násobe periody vzorování (disretizace) = {0,1,2, n} N 0, T - disrétní čas [s], s - omplexní proměnná spojité Laplaceovy (L) transformace, z - omplexní proměnná disrétní Z transformace, A/D - analogovo-digitální převodní (vzorovač), D/A - digitálně-analogový převodní (vzorovač a tvarovač 0. řádu), u - vstupní spojitá veličina soustavy [fyziální jednota], u T - vstupní spojitá veličina soustavy za tvarovačem [fyziální jednota], y - výstupní spojitá veličina soustavy [fyziální jednota], u - vstupní disrétní veličina soustavy za vzorovačem [fyziální jednota], y -výstupní disrétní veličina soustavy za vzorovačem [fyziální jednota], c 1, b 1 - oeficienty diferenční rovnice disretizované soustavy Sp1 > 0. 4. 2 Obecná dynamicá regresní rovnice Obecná dynamicá regresní rovnice vícerozměrného systému vychází z výše uvedených diferenčních rovnic, teré jsou rozšířeny o absolutní člen, více vstupních veličin (regresorů) a aditivní šum na výstupu modelu (reziduum) pro model invariantní vzhledem impulsní funci má rovnice tvar: y = a) + c1 y 1 + b1 u1, + b2 u 2, +... + bm u m, ( + ε, (6)
y XXIX. ASR '2004 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 30, 2004 212 a pro model invariantní vzhledem přechodové funci platí dynamicá regresní rovnice: y = a) + c1 y 1 + b1 u1, 1 + b2 u 2, 1 +... + bm u m, 1 ( + ε, (7) de je index vetorů hodnot proměnných, = 2, 3,... n, c 1 autoregresní oeficient 1. řádu, m počet vstupních veličin (proměnných, regresorů), b j regresní oeficienty, j = 1, 2,... m, a onstantní absolutní člen, a a = const, ε reziduum, chyba odhadu výstupu, ε ~ N(µ ε, σ ε ), µ ε 0. Absolutní člen (a) - uvedený v závorce - vyjadřuje sutečnost, že by měl vyjít statisticy nevýznamný, jeliož disrétní modely soustavy Sp1 jej neobsahují. Z určitých statisticých důvodů je vša velice vhodné absolutní člen vždy do regresních modelů zařazovat. Obecně tento člen vyjadřuje souhrnný vliv nezahrnutých vstupních veličin (regresorů), či nelinearitu modelu anebo vychýlený odhad regresních oeficientů. 4. 3 Dynamicý regresní model teploty povrchu předlitu Konrétní dynamicý regresní model byl uvažován ve tvaru obsahujícím na pravé straně zpožděnou vysvětlovanou proměnnou (tj. teplotu povrchu předlitu) a s ohledem na jeho invariantnost impulsní funci: T P o = const + b T + b T _ MP + b v + ε [ C], (8) TpL pl T _ MP v de je T pl - proměnná Tp zpožděná o 1 ro = LAG(Tp,1). Výsledy dynamicé regresní analýzy jsou uvedeny v tab.3 (hodnoty jsou uvedeny pro modely invariantní impulsní / přechodové funci): Tab. 3. Výsledy dynamicé regresní analýzy Objet Model Rezidua Parametr / Hodnota Koeficient / test vlastnost imp. / přech. Hodnocení const 1 312 / 1299 významný regresní b TpL 0,77 / 0,77 významný oeficienty b T_MP(L) -0,70 / -0,69 významný b v(l) -0,028 / -0,028 významný významnost Fisher-Snedocorův 973 / 972 významný R 2 [%] 84,9 / 84,9 vysoý oretnost Scottovo ritérium 0,64 / 0,64 multiolinearita homosedasticita Coo Weisbergův 0,30 / 0,24 homosedasticita normalita Jarque Berraův 1,71 / 1,64 normalita náhodnost Durbin-Watsonův 1,77 / 1,77 není autoorelace trend znaménový 1,51 / 1,49 není trend Podle [MORÁVKA, J. 2003] je možné ještě např. spočítat z autoregresního oeficientu b TpL časovou onstantu T 1 systému (modelu) Sp1 reprezentujícího dynamicé chování teploty povrchu předlitu: T = T ln( c ) = T / ln( btpl ) = 9 / ln(0,77) 34 [ ], (9) 1 / 1 s co znamená, že ustálení teploty nastává po době asi 3 T1 102 s, tj. po více ja 1 ½ minutě.
XXIX. ASR '2004 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 30, 2004 213 Na obr.6 je zobrazen prediční graf dynamicého regresního modelu teploty povrchu předlitu měřenou pyrometrem za SCH a na obr.7 graf autoorelace jeho reziduí: 1050 Dynamicý regresní model 1030 Tp 1010 990 970 0 100 200 300 400 500 600 pořadí Obr. 6. Prediční graf teploty povrchu předlitu měřené za SCH dynamicý regresní model E(i-1) Autoorelace reziduí - Dynamicá LR 20 10 0-10 -20-20 -10 0 10 20 E(i) Hodnocení: Obr. 7. Graf autoorelace reziduí ( mra ) dynamicý regresní model Dynamicý regresní model (v obou variantách) vysvětluje až asi 85 % rozptylu a rezidua splňují všechny předpolady MNČ. Zbylých nevysvětlených 15 % rozptylu jde na vrub nezahrnutých a náhodných vlivů (chyba měření, stěhování a tvorba oují na povrchu předlitu, proměnlivá emisivita apod.). Rozdíly mezi výsledy obou variant dynamicého modelu modelu invariantního impulsní a přechodové funci jsou velice malé a nepodstatné. Poud tedy nejsou vstupní veličiny přímo Heavisideovy jednotové soy (např. cíleně zavedené při plánovaném experimentu), pa je vhodné použít univerzálnější a jednodušší model invariantní vzhledem impulsní funci. Scottovým ritériem signalizovaná multiolinearita je způsobena nutným zařazením zpožděné autoregresní vysvětlované proměnné a je tedy nepodstatná.
XXIX. ASR '2004 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 30, 2004 214 Z predičního grafu je dobře viditelné, že dynamicý regresní model velice výstižně popisuje průběh chování teploty povrchu předlitu v čase. 5 Srovnání modelů Ze srovnání výsledů regresní analýzy pomocí lasicého staticého a moderního dynamicého vícerozměrného lineárního regresního modelu je zřejmé, že: běžné - a bohužel - povrchní hodnocení vhodnosti regresního modelu pouze podle výsledů oeficientu determinace R 2 i F-testu pro model jao cele a t-testů jeho regresních oeficientů může vést zvláště u autoorelovaných proměnných e lamným závěrům, analýza reziduí, výrazně vyšší oeficient determinace R 2 a vizuální posouzení predice uázaly jednoznačně vhodnost a nutnost použití dynamicého regresního modelu. 6 Závěr Při hledání vhodné regresní závislosti u veličin, teré mají charater časových řad (jejichž hodnoty jsou měřeny v čase) a jsou (často a přirozeně ze své podstaty) autoorelované, je nutné použít dynamicý regresní model (alespoň v nejjednodušší verzi se zpožděnou vysvětlovanou proměnnou o 1 ro). Pa lze očeávat dobrou vypovídací schopnost modelu a statisticy oretní výsledy (s ohledem na tzv. regresní diagnostiu a zvláště analýzu reziduí). Běžné (nejčastější a mnohdy výjimečné) používání lasicého vícerozměrného lineárního staticého regresního modelu vede u taovýchto veličin e statisticy i fyziálně neoretním modelům. Neoretnost modelu přitom nejlépe indiuje, odhaluje analýza reziduí, terá je vša součástí pouze nejvalitnějších statisticých a eonometricých programů. 7 Použitá literatura ARLT, J. 1999. Moderní metody modelování eonomicých časových řad. Praha : Grada Publishing, s.r.o., 1999, 312 s. ISBN 80-7169-539-4. CIPRA, T. 1986. Analýza časových řad s apliacemi v eonomii. Praha : SNTL/ALFA, 1986, 248 s. MELOUN, M. & MILITKÝ, J. 1994. Statisticé zpracování experimentálních dat. 1. vyd. Praha : PLUS, 1994. 839 s. ISBN 80-85297-56-6. MORÁVKA, J. 2000a. Classification, identification and statistical analysis of non-stationary random processes (in Czech). In Proceedings of International Scientific Conference of FME, Session 4: Automatic Control and Applied Informatics. Ostrava : KATŘ FS VŠB- TU, 5.-7.9. 2000, paper 26 : 24 s. ISBN 80-7078-798-8. MORÁVKA, J. 2000b. Klasifiace měřených teplotních veličin na aglomeraci v Třinecých železárnách, a.s. In Sborní přednáše celostátní onference Měření a regulace teplot v teorii a praxi. Ostrava : PřF OU + VŠB-TU + TANGER, 4.-5.10.2000, s.95-105. ISBN 80-85988-54-2. MORÁVKA, J. 2003. Statistical and Simulatory Identification of a Dynamic Proportional First Order System (in Czech). In Proceedings of XXVIII. Seminary ASR 03 Instruments and Control. Ostrava : KATŘ FS VŠB-TU, 6.5.2003, s.225-238. ISBN 80-248-0326-7. VÍTEČEK, A. 1988. Matematicé metody automaticého řízení (Transformace L a Z). Ostrava : sripta FSE VŠB Ostrava, 1988. 156 s.