Úvod do Kalmanova filtru
|
|
- Ladislava Burešová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Kalmanův filtr = odhadovač stavu systému Úvod do Kalmanova filtru KF dává dohromady model systému a měření. Model systému použije tomu, aby odhadl, ja bude stav vypadat a poté stav porovná se sutečným měřením, a upraví ho ta, aby měření odpovídal Funguje jen pro lineární systémy (ale existují rozšíření pro nelineární). Model systému (lineární) x = + Ax + Bu + v y = Hx + w Rudolf Kalman x je vetor stavů o n prvcích, u je vetor vstupů o m prvcích a y je vetor výstupů o p prvcích. Matice n n, matice B rozměru n m, matice H rozměru p n v je procesní šum, terý zahrnuje poruchy, teré ovlivňují dynamiu systému, ale nejsou modelovány, a měření. Vetor v má stejný počet prvů jao vetor stavu x, vetor A je tedy rozměru w je šum (porucha) w má stejný počet prvů jao výstupní vetor y Předpolady v má Gaussovo rozložení s nulovou střední hodnotou E ( v ) = 0 a ovarianční maticí P = V w má Gaussovo rozložení s nulovou střední hodnotou E ( w ) = 0 a ovarianční maticí P = W Co chceme zjistit? Odhad stavu. Odhad stavu bude mít Gaussovo rozložení se střední hodnotou x ˆ a ovarianční maticí P
2 Ja to funguje? ˆ + x, ˆ + + x, P počáteční odhad Predice ace model P + Korece měření odhad + + měření Predice xˆ = Axˆ + Bu + P = AP A + V T + Korece xˆ = xˆ + K y P = P K H P de y = y H xˆ S = H P H + W T K = P H S T
3 Jednoduchý přílad Těleso padá z určité výšy, bez odporu vzduchu, jediná působící síla je gravitace. Máme dispozici měřá výšy, terý neměří příliš dobře. Chceme znát polohu a rychlost tělesa. Co bude ve stavu? To co chci určit, tedy výša a rychlost [ ] T Ja bude vypadat model? ( ) = g ( ) = ( ) yt yt y gt t 0 0 g y t y y t t t t 2 disrétně pro přírůste( t t 0 ) = g 2 ( ) = + ( ) ( ) y( + ) = y( ) + y ( ) vstupem je tíhové zrychlení, u = [ g] 2 x = y y, teré je pro všechny časové roy onstantní výstupem je výša (výstupem musí být veličina, terou přímo měříme) vyrobíme tedy příslušné matice y 0.5 v x+ = Ax + Bu + v = [ g] 0 y + + v 2 y y = Hx + w = [ 0] + [ w] y
4 y 0.5 v x+ = Ax + Bu + v = + [ g] + 0 y v 2 y y = Hx + w = [ 0] + [ w] y matice v a w neznáme, matice ABH,, jsou onstantní (v tomto příladu!) a index u nich není třeba Abychom mohli implementovat Kalmanův filtr, potřebujeme ještě znát matice V a W +. Co to je? Jsou to jediné parametry, teré ve sutečnosti můžeme měnit. Jedná se o ovarianční matice, naše odhady procesního šumu a šumu měření. Když bude velá matice V, znamená to, že modelu příliš nevěříme. Když bude velá matice W +, znamená to, že nevěříme měření. Konrétně jsou v těchto maticích rozptyly a ovariance příslušných šumů. Rozměry matic v našem onrétním příladu jsou: = V a W [ ] = + A můžeme již celý přílad implementovat v Matlabu
5 . Příprava % Kalmanuv filtr - padajici teleso clear all sutecna_poloha = 00; sutecna_rychlost = 0; g = ; % velmi mala gravitace A = [ ; 0 ]; % matice soustavy B = [0.5; ]; % vliv ace H = [ 0]; % matice mereni % odhady pocatecniho stavu pocatecni_poloha = 95; % odhadneme o 5 metru nize pocatecni_rychlost = ; % odhadneme nenulovou rychlost (smerem nahoru) x0 = [pocatecni_poloha; pocatecni_rychlost]; % prvotni odhad stavu P0 = [0 0; 0 0]; % pocatecni ovariancni matice u = -g; % ace je porad stejna V = [0.5 0; 0 0.5]; % odhad procesniho sum - timhle urcujeme ja doonaly model mame W = []; % odhad sumu mereni - timhle urcujeme ja moc dobry mera mame
6 2. Vlastní simulace + výpočet Kalmanova filtru pocet_iteraci = 0; xhat = x0; % inicializace odhadu pocatecni hodnotou P = P0; % inicializace ovariancni matice pocatecni hodnotou for i= :pocet_iteraci % pro porovnani potrebujeme sutecne hodnoty sutecna_rychlost = sutecna_rychlost - g; sutecna_poloha = sutecna_poloha + sutecna_rychlost; % provedeme simulovane mereni sum = *randn; % sum mereni ymeasured = sutecna_poloha + sum; % predice xhat = A*xhat+B*u; % predice stavu P = A*P*A' + V; % predice ovariancni matice % orece yhat = H * xhat; % jay vypada mereni, dyz je stav taovy, jay prediujeme yvlna = ymeasured - yhat; % rozdil mezi sutecnym merenim a prediovanym S = H*P*H' + W; % measurement prediction covariance K = P*H'*inv(S); % Kalmanovo zesileni xhat = xhat + K * yvlna; % orece stavu P = P - K*S*K'; % orece ovariancni matice end % a ted zalogujeme vsechna data a do odhadu a ovariancni matice dame % nove vypoctene hodnoty xhat = xhat; P = P; log_poloha(i) = sutecna_poloha; log_rychlost(i) = sutecna_rychlost; log_odhadpolohy(i) = xhat(); log_odhadrychlosti(i) = xhat(2); log_mereni(i) = ymeasured;
7 3. Vyreslení výsledů % vyresleni figure subplot(,2,) hold on plot(log_poloha,'r'); plot(log_odhadpolohy,'b'); plot(log_mereni,''); legend('sutecnost','odhad','zmereno'); title('poloha'); subplot(,2,2) hold on plot(log_rychlost,'r'); plot(log_odhadrychlosti,'b'); legend('sutecnost','odhad'); title('rychlost');
8 Co se stane, dyž budeme věřit modelu a nebudeme věřit měření? A ja toho docílíme? V = [0.0 0; 0 0.0]; % odhad procesniho sum W = [0.0]; % odhad sumu mereni snížením odhadu procesního šumu věříme hodně modelu, zvýšením odhadu šumu měření nevěříme měřáu i dyž je model v pořádu, malou důvěrou měření bude trvat poměrně dlouho, než se odhad přiblíží e sutečnosti (proč tomu ta je, i dyž model přesně odpovídá?)
9 Co se stane, dyž budeme přehnaně věřit měření? Pro lepší viditelnost je zvýšen šum na měřáu. V = [0.5 0; 0 0.5]; % odhad procesniho sum W = [ ]; % odhad sumu mereni (rade 33) sum = 0*randn; % sum mereni Výsledný odhad neuvažuje šum měření, tedy blíží se tomu, co přesně je naměřeno
10 Svělá vlastnost Kalmanova filtru fůze dat z více zdrojů Upravíme přílad ta, aby bylo možné využít dvou nezávislých měřáů výšy, jednoho lepšího (s menším rozptylem) a druhého horšího. Co se změní? Predice zůstane stejná, změní se pouze orece. Protože v modelu systému x = + Ax + Bu + v y = Hx + w se změní rozměr výstupu (teď budou dva), musí se změnit i matice H. A samozřejmě taé matice W +, terá nyní bude obsahovat rozptyly měření na hlavní diagonále. Mimo diagonálu jsou její prvy nulové (proč?) Úol, upravte implementovaný přílad na použití dvou (tří) měřáů. malá nápověda: H 0 = 0 poud první měřá bude mít rozptyl např. a druhý 2 (větší rozptyl = horší měřá), bude W + 0 = 0 2
11 A co dyž bude mít měření nenulovou střední hodnotu chyby? Ja se vypořádat s offsetem? Řešení je jednoduché, zráta přidáme offset jao další proměnnou do stavu. Úol, upravte vylepšený přílad s využitím dvou měřáů na odhad offsetu. malá nápověda, připomeňme si model systému: x + = Ax + Bu + v y = Hx + w stav se změní o offsety, tedy x = [ y y o o ] 2 tím pádem se musí změnit i všechno ostatní, onrétně především: T Ax 0 0 y y =, H o o2 0 0 = 0 0
12 Co dyž je systém, jehož stav odhadujeme, nelineární? Kalmanův filtr je pořád ten nejlepší lineární odhad, co existuje. Ale lineární odhad nelineárního systému bude vždy "nic moc". Upravme záladní přílad s padajícím tělesem ta, že do něj zavedeme odpor vzduchu, jao lineární funci vadrátu rychlosti, tedy 2 ( ) = + y t g cy pro tuto chvíli nebudeme řešit signum (odpor je vždy proti směru rychlosti). ve zdrojovém ódu tedy upravíme cy = 0.0; % odpor vzduchu (funce vadratu rychlosti) a pro simulační výpočet sutecna_rychlost = sutecna_rychlost - g + cy*sutecna_rychlost^2; Zbyte ponechme beze změny, tedy použijeme lineární Kalmanův filtr pro nelineární soustavu a podíváme se, co se stane.
13 Vliv nelinearity roste se zvyšující se rychlostí (aby ne, dyž je závislá na vadrátu rychlosti). Co s tím? Nelineární verze Kalmanova filtru!
Stavový model a Kalmanův filtr
Stavový model a Kalmanův filtr 2 prosince 23 Stav je veličina, kterou neznáme, ale chtěli bychom znát Dozvídáme se o ní zprostředkovaně prostřednictvím výstupů Příkladem může býapř nějaký zašuměný signál,
Více7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky
7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:
Více7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky
739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná
VíceMOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:
MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,
VíceMOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:
MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,
VíceFyzikální praktikum č.: 1
Datum: 5.5.2005 Fyziální pratium č.: 1 ypracoval: Tomáš Henych Název: Studium činnosti fotonásobiče Úol: 1. Stanovte závislost oeficientu seundární emise na napětí mezi dynodami. yneste do grafu závislost
VíceMetoda konjugovaných gradientů
0 Metoda onjugovaných gradientů Ludě Kučera MFF UK 11. ledna 2017 V tomto textu je popsáno, ja metodou onjugovaných gradientů řešit soustavu lineárních rovnic Ax = b, de b je daný vetor a A je symetricá
VíceZadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2
Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Jméno: VITALI DZIAMIDAU Číslo zadání: 7 U zobrazeného mechanismu definujte rozměry, hmotnosti a silové účinky a postupně proveďte: 1. kinematickou analýzu
VíceBuckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003)
Bucinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Formalizace rozměrové analýzy ( výsledné jednoty na obou stranách musí souhlasit ). Rozměr fyziální veličiny Mějme nějaou třídu jednote, napřílad [(g,
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 02 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Náhodné veličiny Záladní definice Nechť je dán pravděpodobnostní prostor
Více7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno
7. TRANSFORMÁTORY Pro zjednodušení budeme měření provádět na jednofázovém transformátoru. Na trojfázovém transformátoru provedeme pouze ontrolu jeho zapojení měřením hodinových úhlů. 7.1 Štítové údaje
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
Více4. Přednáška: Kvazi-Newtonovské metody:
4 Přednáša: Kvazi-Newtonovsé metody: Metody s proměnnou metriou, modifiace Newtonovy metody Efetivní pro menší úlohy s hustou Hessovou maticí Newtonova metoda (opaování): f aproximujeme loálně vadraticou
Více1.5.7 Prvočísla a složená čísla
17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:
Více7. ODE a SIMULINK. Nejprve velmi jednoduchý příklad s numerických řešením. Řešme rovnici
7. ODE a SIMULINK Jednou z často používaných aplikací v Matlabu je modelování a simulace dynamických systémů. V zásadě můžeme postupovat buď klasicky inženýrsky (popíšeme systém diferenciálními rovnicemi
VíceMěření dat Filtrace dat, Kalmanův filtr
Měření dat Filtrace dat, Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 3. přednáška 11MAMY čtvrtek 28. února 2018 verze: 2018-03-21 16:45 Obsah
Víceχ 2 testy. Test nekorelovanosti.
χ 2 testy. Test neorelovanosti. Petr Poší Části doumentu jsou převzaty (i doslovně) z Miro Navara: Pravděpodobnost a matematicá statistia, https://cw.fel.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji
VíceDIPLOMOVÁ PRÁCE Nelineární řízení magnetického ložiska
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta strojní Ústav mechaniky DIPLOMOVÁ PRÁCE Nelineární řízení magnetického ložiska 2004 Jan KRYŠTŮFEK Motivace Účel diplomové práce: Porovnání nelineárního řízení
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceReciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra.
@091 7. Reciproá funce Reciproou funci znáte ze záladní šoly pod označením nepřímá úměra. Definice: Reciproá funce je dána předpisem ( 0 je reálné číslo) f : y R \ {0} A) Definiční obor funce: Je třeba
VíceTestování hypotéz. December 10, 2008
Testování hypotéz December, 2008 (Testování hypotéz o neznámé pravděpodobnosti) Jan a Františe mají pytlíy s uličami. Jan má 80 bílých a 20 červených, Františe má 30 bílých a 70 červených. Vybereme náhodně
VíceHodnocení přesnosti výsledků z metody FMECA
Hodnocení přesnosti výsledů z metody FMECA Josef Chudoba 1. Úvod Metoda FMECA je semivantitativní metoda, pomocí teré se identifiují poruchy s významnými důsledy ovlivňující funci systému. Závažnost následů
VíceVýběr báze. u n. a 1 u 1
Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více7. ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ
7. ZÁKADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 7.. SPOJITÉ SYSTÉMY Téměř všechny fyzálně realzovatelné spojté lneární systémy (romě systémů s dopravním zpožděním lze vytvořt z prvů tří typů: proporconálních členů
VícePříklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka
Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní
VíceDynamika populací s oddělenými generacemi
Dynamia populací s oddělenými generacemi Tento text chce představit nejjednodušší disrétní deterministicé dynamicé modely populací. Deterministicé nebudeme uvažovat náhodné vlivy na populace působící nebo
VíceUsing a Kalman Filter for Estimating a Random Constant Použití Kalmanova filtru pro výpočet odhadu konstantní hodnoty
II. Semnar ASR 007 Instruments and Control, Farana, Smutný, Kočí & Babuch (eds) 007, VŠB-TUO, Ostrava, ISB 978-80-48-7-4 Usng a Kalman Flter for Estmatng a Random Constant Použtí Kalmanova fltru pro výpočet
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
Více16 - Pozorovatel a výstupní ZV
16 - Pozorovatel a výstupní ZV Automatické řízení 2015 14-4-15 Hlavní problém stavové ZV Stavová zpětná vazba se zdá být nejúčinnějším nástrojem řízení, důvodem je síla pojmu stav, který v sobě obsahuje
VíceMěření dat Filtrace dat, Kalmanův filtr
Měření dat Filtrace dat, Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 3. přednáška 11MAMY čtvrtek 28. února 2018 verze: 2018-02-28 12:20 Obsah
Více4 všechny koeficienty jsou záporné, nedochází k žádné změně. Rovnice tedy záporné reálné kořeny nemá.
Přílad 1. Řešte v R rovnici x 4x + x 4 0. Výslede vypočtěte s přesností alespoň 0,07. 1) Reálné ořeny rovnice budou ležet v intervalu ( 5,5), protože největší z oeficientů polynomu bez ohledu na znaméno
VícePříklad zatížení ocelové haly
4. Zatížení větrem Přílad haly Zatížení stavebních onstrucí Přílad atížení ocelové haly Zadání Určete atížení a maximální možné vnitřní síly na prostřední rám halového jednolodního objetu (vi obráe). Celová
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceRegrese. používáme tehdy, jestliže je vysvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA
Regrese používáme tehd, jestliže je vsvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA Specifikace modelu = a + bx a závisle proměnná b x vsvětlující proměnná Cíl analýz Odhadnout hodnot
VíceMěření indukčností cívek
7..00 Ṫeorie eletromagneticého pole Měření indučností cíve.......... Petr Česá, studijní supina 05 Letní semestr 000/00 . Měření indučností cíve Měření vlastní a vzájemné indučnosti válcových cíve ZAÁNÍ
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOL BÁŇSKÁ TECHICKÁ UIVERZIT OSTRV FKULT STROJÍ MTEMTIK II V PŘÍKLDECH CVIČEÍ Č 0 Ing Petra Schreiberová, PhD Ostrava 0 Ing Petra Schreiberová, PhD Vysoá šola báňsá Technicá univerzita Ostrava
VíceVysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky
Vysoé učení technicé v Brně Faulta strojního inženýrství Ústav mechaniy těles, mechatroniy a biomechaniy Ing. Jiří Krejsa, Ph.D. Robustní loalizace mobilního robotu pro dynamicá vnitřní prostředí Robust
VícePavel Seidl 1, Ivan Taufer 2
UMĚLÉ NEURONOVÉ SÍTĚ JAKO PROSTŘEDEK PRO MODELOVÁNÍ DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ HYDRAULICKO-PNEUMATICKÉ SOUSTAVY USING OF ARTIFICIAL NEURAL NETWORK FOR THE IDENTIFICATION OF DYNAMIC PROPERTIES OF HYDRAULIC-PNEUMATIC
VíceModelování a simulace regulátorů a čidel
Modeloání a simulace regulátorů a čidel. Modeloání a simulace PI regulátoru Přenos PI regulátoru je yjádřen následujícím ztahem F( p) = ( + p ) p V Simulinu je tento blo obsažen nihoně prů. Bohužel použití
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Vícea) formulujte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence b) pomocí tohoto kritéria ukažte, že funkční řada konverguje stejnoměrně na celé R
) ČÍSELNÉ A FUNKČNÍ ŘADY (5b) a) formulujte Leibnitzovo ritérium včetně absolutní onvergence b) apliujte toto ritérium na řadu a) formulujte podílové ritérium b) posuďte onvergenci řad c) oli členů této
Více6 5 = 0, = 0, = 0, = 0, 0032
III. Opaované pousy, Bernoulliho nerovnost. Házíme pětrát hrací ostou a sledujeme výsyt šesty. Spočtěte pravděpodobnosti možných výsledů a určete, terý má největší pravděpodobnost. Řešení: Jedná se o serii
VíceMULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE
OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 PŘEDNÁŠKA 5 MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 Multiriteriální rozhodování
VíceMATEMATIKA 1 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! MA1ACZMZ07DT. Pokyny pro vyplňování záznamového archu
MAACZMZ07DT MATURITA NANEČISTO 007 MATEMATIKA didaticý test Testový sešit obsahuje 0 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém sešitu. Odpovědi pište do záznamového archu. Používejte rýsovací
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové
VíceOPTIMALIZACE PARAMETRŮ PID REGULÁTORU POMOCÍ GA TOOLBOXU
OPTMALZACE PARAMETRŮ PD REGULÁTORU POMOCÍ GA TOOLBOXU Radomil Matouše, Stanislav Lang Department of Applied Computer Science Faculty of Mechanical Engineering, Brno University of Technology Abstrat Tento
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Vícezpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční
Digitální zpracování signálů - Fourierova transformace, FF Frevenční analýza 3. přednáša Jean Baptiste Joseph Fourier (768-830) Zálady experimentální mechaniy Frevenční analýza Proč se frevenční analýza
VíceMĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU
Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové
Více( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)
3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R (
VíceCvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
VíceObsah přednášky. 1. Principy Meta-learningu 2. Bumping 3. Bagging 4. Stacking 5. Boosting 6. Shrnutí
1 Obsah přednášy 1. Principy Meta-learningu 2. Bumping 3. Bagging 4. Stacing 5. Boosting 6. Shrnutí 2 Meta learning = Ensemble methods Cíl použít predici ombinaci více různých modelů Meta learning (meta
Více3.3.4 Thaletova věta. Předpoklady:
3.3.4 Thaletova věta Předpolady: 030303 Př. : Narýsuj ružnici ( ;5cm) a její průměr. Na ružnici narýsuj libovolný bod různý od bodů, (bod zvol jina než soused v lavici). Narýsuj trojúhelní. Má nějaou speciální
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceShluková analýza, Hierarchické, Nehierarchické, Optimum, Dodatek. Učení bez učitele
1 Obsah přednášy 1. Shluová analýza 2. Podobnost objetů 3. Hierarchicé shluování 4. Nehierarchicé shluování 5. Optimální počet shluů 6. Další metody 2 Učení bez učitele není dána výstupní lasifiace (veličina
Více11MAMY LS 2017/2018. Úvod do Matlabu. 21. února Skupina 01. reseni2.m a tak dále + M souborem zadané funkce z příkladu 3 + souborem skupina.
11MAMY LS 2017/2018 Cvičení č. 2: 21. 2. 2018 Úvod do Matlabu. Jan Přikryl 21. února 2018 Po skupinách, na které jste se doufám rozdělili samostatně včera, vyřešte tak, jak nejlépe svedete, níže uvedená
VíceVEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
Více2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT
2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceŘešení příkladů na rovnoměrně zrychlený pohyb I
..9 Řešení příkladů na rovnoměrně zrychlený pohyb I Předpoklady: 8 Pedagogická poznámka: Cílem hodiny je, aby se studenti naučili samostatně řešit příklady. Aby dokázali najít vztah, který umožňuje příklad
VíceAVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
VíceStanovení měrného tepla pevných látek
61 Kapitola 10 Stanovení měrného tepla pevných látek 10.1 Úvod O teple se dá říci, že souvisí s energií neuspořádaného pohybu molekul. Úhrnná pohybová energie neuspořádaného pohybu molekul, pohybu postupného,
VíceŘešení diferenciálních rovnic v MATLABu
Řešení diferenciálních rovnic v MATLABu Základy algoritmizace a programování Přednáška 23. listopadu 2011 Co řešíme Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu: separovatelné lineární exaktní druhého řádu,
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceMocnost bodu ke kružnici
3..0 ocnost bodu e ružnici Předpolady: 309 Př. : Je dána ružnice a bod, ležící vně ružnice. Veď bodem dvě různé sečny ružnice p a p. Průsečíy sečny p,. Průsečíy sečny p,. Změř potřebné vzdálenosti a spočti
Více1 Gaussova kvadratura
Cvičení - zadání a řešení úloh Zálady numericé matematiy - NMNM0 Verze z 7. prosince 08 Gaussova vadratura Fat, že pro něterá rovnoměrná rozložení uzlů dostáváme přesnost o stupeň vyšší napovídá, že pro
VíceP. Rozhodni, zda bod P leží uvnitř, vně nebo na kružnici k. Pokud existují, najdi tečny kružnice procházející bodem P.
756 Tečny ružnic II Předpolady: 45, 454 Pedagogicá poznáma: Tato hodina patří na gymnázium mezi početně nejnáročnější Ačoliv jsou přílady optimalizované na co nejmenší početní obtížnost, všichni studenti
VíceMocnost bodu ke kružnici
3.. ocnost bodu e ružnici Předpolady: 03009 Př. : Je dána ružnice a bod, ležící vně ružnice. Veď bodem dvě různé sečny ružnice p a p. Průsečíy sečny p s ružnicí označ A, B. Průsečíy sečny p s ružnicí označ
VíceFYZIKA 3. ROČNÍK. Vlastní kmitání oscilátoru. Kmitavý pohyb. Kinematika kmitavého pohybu. y m
Vlastní itání oscilátoru Kitavý pohb Kitání periodicý děj zařízení oná opaovaně stejný pohb a periodic se vrací do určitého stavu. oscilátor zařízení, teré ůže volně itat (závaží na pružině, vadlo) it
VíceCharakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů.
Měřicí aparatura 1 / 34 Fyzikální veličiny Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Můžeme je dělit: Podle rozměrů: Bezrozměrné (index lomu, poměry) S rozměrem fyzikální veličiny velikost
Více2 Diferenciální rovnice
2 Diferenciální rovnice 2 Moely růstu V této apitole bueme zabývat jenouchými eterministicými moely růstu, napříla růstu populací, objemu nějaé omoity apo Funce y(t bue označovat veliost populace v čase
VíceLineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel
Lineární regrese Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:B11 (viz. obrázek) na listu cela data Postup Základní výpočty - regrese Výpočet základních
VíceKombinace s opakováním
9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou
VíceNUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika I)
NUMP0 (Pravděpodobnost a Matematicá statistia I Střední hodnota disrétního rozdělení. V apce máte jednu desetiorunu, dvě dvacetioruny a jednu padesátiorunu. Zloděj Vám z apsy náhodně vybere tři mince.
VícePřed zahájením vlastních výpočtů je potřeba analyzovat konstrukci a zvolit vhodný návrhový
2 Zásady navrhování Před zahájením vlastních výpočtů je potřeba analyzovat onstruci a zvolit vhodný návrhový model. Model musí být dostatečně přesný, aby výstižně popsal chování onstruce s přihlédnutím
VíceIV. Zatížení stavebních konstrukcí rázem
Jiří Máca - atedra echaniy - B35 - tel. 435 45 aca@fsv.cvt.cz 1. Klasicá teorie ráz. Nedoonale pržný ráz - sostava s 1 SV 3. Doonale nepržný ráz - sostava s 1 SV 4. Sostavy s více stpni volnosti 5. Přílady
Více11 Analýza hlavních komponet
11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu
VíceJednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
VíceÚloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté
Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0
VíceTransformátory. Mění napětí, frekvence zůstává
Transformátory Mění napětí, frevence zůstává Princip funce Maxwell-Faradayův záon o induovaném napětí e u i d dt N d dt Jednofázový transformátor Vstupní vinutí Magneticý obvod Φ h0 u u i0 N i 0 N u i0
VíceJan Škoda. 29. listopadu 2013
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze 29. listopadu 2013 Náplň přednášky state estimation Naivní přístup KF Matematický model Problém podmínky linearity EKF. & ukázka Co se nedozvíte:
VíceOdpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Petr Školník, Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je spolufinancován
VíceNyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Více4EK211 Základy ekonometrie
4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 7: Autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Autokorelace - teorie Zopakujte si G-M
Více4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více15 - Stavové metody. Michael Šebek Automatické řízení
15 - Stavové metody Michael Šebek Automatické řízení 2016 10-4-16 Stavová zpětná vazba Když můžeme měřit celý stav (všechny složky stavového vektoru) soustavy, pak je můžeme využít k řízení u = K + r [
VíceELEKTROTECHNICKÁ MĚŘENÍ PRACOVNÍ SEŠIT 2-1
ELEKTOTECHNCKÁ MĚŘENÍ PACOVNÍ SEŠT 2-1 Název úlohy: Cejchování a ontrola ampérmetru Listů: 5 List: 1 Zadání: Proveďte ověření předloženého ampérmetru. Změřte a stanovte: a, Absolutní chybu, relativní chybu
VíceAutomatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011
Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Cíle doktorandské práce Seminář 10. 11. 2010 Najít, implementovat, ověřit a do praxe
VíceMÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE)
zhanel@fsps.muni.cz MÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE) 2.5 MÍRY ZÁVISLOSTI 2.5.1 ZÁVISLOST PEVNÁ, VOLNÁ, STATISTICKÁ A KORELAČNÍ Jednorozměrné soubory - charakterizovány jednotlivými statistickými znaky
Více