7 Usazování Lenka Schreiberová I Základní vztahy a definice Usazování neboli sedimentace slouží k oddělování částic od tekutiny v oli hmotnostní síly. Hustota částic se roto musí lišit od hustoty tekutého rostředí. Rozdíl těchto hustot rozhoduje o tom, kterým směrem nastane usazování a odmiňuje významnou měrou (vedle dalších faktorů) rychlost ohybu částice.usazovací rychlost částice je základní veličinou ro výočet usazovacích zařízení (nař. gravitačních usazováků růtočných či eriodických). Rychlost usazování izolované částice se liší od rychlosti stejné částice, usazující se v řítomnosti dalších částic, neboť dochází k jejich vzájemnému ovlivňování. Tento říad označujeme jako rušené usazování. Při výočtech usazováků však vzájemné ovlivňování částic často zanedbáváme, zejména ři nízké koncentraci susendovaných částic, a usazování tedy ovažujeme za nerušené. Uvažujeme ohyb izolované částice v nehybném tekutém rostředí. Pro říad kladné orientace ve směru gravitační síly lze ohyb částice osat odle druhého Newtonova zákona skalární rovnicí ro jednosměrný ohyb (všechny síly ůsobí ve vertikálním směru) ve tvaru V ρ g - V ρ g - sign(υ) ζ u S ρ g υ = V ρ d υ (7-1) dτ kde V je objem částice, S - locha růmětu částice do roviny kolmé ke směru jejího ohybu, ρ a ρ - hustoty částice a rostředí, g - gravitační zrychlení, υ - okamžitá rychlost částice vzhledem k okolní tekutině a ζ u - součinitel odoru rostředí roti ohybu částice. Člen na ravé straně rovnice (7-1) vyjadřuje časovou změnu hybnosti částice. Na levé straně jsou ostuně vyjádřeny na částici ůsobící síly: tíhová F G = m g, vztlaková neboli Archimedova síla F A = V ρ g a síla odoru rostředí F R = ζ u S ρ υ /, která ůsobí vždy v oačném směru, nežli je rychlost částice; tato skutečnost je vyjádřena veličinou sign(υ), která je rovna +1 v říadě ohybu částice v kladném směru (byl zvolen jako směr tíhové síly), nebo je rovna -1 v říadě oačného směru rychlosti částice. V usořádání obvyklém ro usazování dochází v oměrně velmi krátké době (zlomky sekundy) od očátku děje ke stavu, kdy výslednice všech sil ůsobících na částici je rovna nule, tj. síly jsou v rovnováze. Zrychlení částice je otom také nulové a částice se dále ohybuje rovnoměrně římočaře. Předokládáme-li, že ve vztahu (7-1) je hustota částice větší než hustota tekutiny (ρ > ρ), bude se částice ohybovat ve směru gravitačního zrychlení konstantní rychlostí, kterou nazýváme usazovací rychlostí υ u. Z rovnice (7-1) ak lyne V g (ρ - ρ) = ζ u S ρ υ u (7-) Dále vyjádříme objem V a lochu S ro říad kulové částice vzorci: 7-1
V = π d 3 6, S = π d 4 (7-3) kde d je růměr částice určovaný římým měřením, res. sítovou analýzou aod. Po sojení rovnic (7-) a (7-3) obdržíme g d 3 (ρ - ρ) = 3 4 ζ u ρ d υ u (7-4) K určení usazovací rychlosti υ u z této rovnice je však nutno znát součinitel odoru ζ u výočtem nebo měřením. Bylo zjištěno, že bezrozměrová veličina ζ u závisí na usazovací rychlosti a růměru částice, hustotě a viskozitě rostředí a rovněž na geometrickém usořádání soustavy. Z rov. (7-4) lyne definice součinitele odoru ve tvaru : ζ u g = 3 υ 4 d u ρ ρ ρ (7-4a) V usazování se odobně jako je tomu v jiných hydrodynamických ochodech zavádí Reynoldsovo kritérium Re u vztahem υ u d ρ Re u = η υu d = (7-5) ν kde η označuje dynamickou a ν kinematickou viskozitu rostředí. Pro kinematickou viskozitu latí ν = η /ρ. Závislost ζ u na Re u byla zjištěna exerimentálně. Tato závislost se často aroximuje mocninovou závislostí ζ u = A Re u a (7-6) kde číselné konstanty A, a nabývají různých hodnot (viz tab. 7-1) v závislosti na charakteru obtékání částice tekutinou a byly rovněž určeny okusně. V literatuře bývá často tato okusně určená závislost ζ u (Re u ) znázorňována graficky. Výočet usazovací rychlosti υ u omocí vztahů (7-4, 5 a 6) je však nutno rovést iteračně, rotože rychlost υ u je obsažena jak v definici součinitele odoru ζ u, tak i Reynoldsova kritéria Re u. Z teorie vylývá, že ois usazování částic rozměrovou rovnicí (7-4) je možno zobecnit řevodem do bezrozměrového tvaru na závislost mezi ouze dvěma kritérii; nař. ve vztahu (7-6) jsou těmito kritérii součinitel odoru ζ u a Reynoldsovo kritérium Re u. Pro raktické výočty se však v usazování oužívají kritéria definovaná tak, aby se v nich nejčastěji očítané veličiny, tj. rychlost usazování υ u či růměr částice d, nevyskytovaly současně (odadne tak iterační výočet). Jedním z takovýchto kritérií je Archimedovo kritérium Ar, které je definováno: 3 3 g d ( ρ ρ ) g d ρ ( ρ ρ ) Ar = = (7-7) ν ρ η Dále se zavádí Ljaščenkovo kritérium Ly = Re 3 / Ar, které z očítaných veličin obsahuje ouze rychlost usazování a latí otom definice 7-
Ly = g η υ 3 u ρ ( ρ ρ ) (7-8) Rovnici usazování je ak místo rov. (7-6) možno vyjádřit jako vztah mezi kritérii Ly a Ar v obdobném mocninovém tvaru: Ly = B Ar b (7-9) který je již vhodný ro římý výočet buď usazovací rychlosti υ u (je obsažena jen v Ljaščenkově kritériu) nebo růměru částice d ( je obsažen jen v Archimedově kritériu). Konstanty B, b v rov. (7-9) jsou oět závislé na charakteru obtékání částice a jejich hodnoty, získané regresní analýzou okusných dat, jsou ro tři odlišné oblasti obtékání uvedeny v tab. 7-1. Tab. 7-1 Hodnoty konstant v rovnicích (7-6) a (7-9) Charakter obtékání kulové částice laminární (Stokesova obl.) řechodný (Allenova oblast) turbulentní (Newtonova oblast) Mezní hodnoty Re u 0, 0, - 5,0 10 5,0 10-1,5 10 5 kritérií Ar 3,6 3,6-8,4 10 4 8,4 10 4-7,4 10 9 Hodnoty konstant A 4 18,5 0,44 v rovnicích a -1-0,6 0 (7-6) a (7-9) B 1,71 10-4 3,56 10-3 5,7 b 1,14 0,5 Porovnání naměřených dat s literárními výsledky. K určení veličiny υ u nebo d je kromě výočtů dle vztahu (7-9) možno též využít grafické závislosti Ly 1 / 3 (Ar 1 / 3 ) na obr. 7-1. Pro kulové částice latí na obr. 7-1 křivka označená arametrem ψ V = 1. Pois usazování nekulových částic je obecně složitější než ro částice kulové. Ulatňují se další faktory: tvar částice, její orientace a odchylky od ohybu ve svislém směru. Jisté zobecnění je možné ro tzv. částice izometrické, u nichž délkové rozměry ve třech na sebe kolmých směrech jsou zhruba stejné (nař. krychle). Pro ně jsou na obr. 7-1 zakresleny čáry označené arametrem ψ V < 1. Usazovací rychlost se ak určí obdobně jako ro částice kulové s tím rozdílem, že růměr částice se nahrazuje jejím ekvivalentním růměrem d ek, vyjádřeným vztahem 1 3 Vn dek = 6 π v němž V n je objem nekulové částice. Definice d ek je volena tak, že ro kouli d ek = d. Veličina ψ V se nazývá sféricita nekulové částice a je definována vztahem d ψ V = π ek A kde A n je ovrch nekulové částice. n (7-10) (7-11) 7-3
Obr. 7-1 Závislost Ly 1/3 (Ar 1/3, ψ V ) ro usazování kulových a nekulových částic v řechodné a turbulentní oblasti. Parametrem křivek je sféricita ψ V. II Cíl ráce 1. Měření usazovací rychlosti částic kulového a nekulového tvaru různé velikosti ři konstantních fyzikálních vlastnostech kaaliny, výočet výběrového růměru a roztylu usazovací rychlosti.. Porovnání naměřených středních hodnot usazovací rychlosti kulových částic s hodnotami vyočtenými na základě grafu na obr.7-1 a rovnice (7-9). 3. Porovnání naměřených středních hodnot usazovací rychlosti nekulových částic s hodnotou vyočítanou omocí sféricity. 4. Měření viskozity a hustoty kaaliny. III Pois zařízení Zařízení ro usazování je schematicky nakreslené na obr. 7-. Skleněná trubice 1 o růměru 100 mm je ve sodní části oatřena dvěma kohouty a 3, sloužícími k zachycení částic a vyouštění kolony. Ve sodní a horní části jsou na ní vyznačeny dvě odečítací rysky, jejichž 7-4
horní hrany jsou od sebe vzdáleny L =,4 m. V horní části trubice 1 se nálevkou 3 vhazují částice. Dále je aaratura vybavena digitálními stokami 5 k měření doby ádu částice. Stoky jsou ovládány dvěma sínači 6 a, b, umístěnými u horní a dolní části trubice. Čeradlo 8 se souští sínačem 9 a slouží k romíchání kaaliny v trubici. 3 4 00:00 5 9 6b 1 6a 1 - skleněná měřicí trubice a 3 - kohouty 4 - nálevka 5 - digitální stoky 6 a,b - sínače stoek 7 kohout ro odebírání vzorku 8 čeradlo 9 sínač čeradla 8 7 3 Obr. 7- Schéma zařízení ro měření usazovací rychlosti částic Součástí aaratury je rovněž H olerův viskozimetr (viz obr. 7-3) s termostatem a říslušenstvím, sada hustoměrů, digitální hustoměr, teloměr a vytříděné částice určené k měření usazovací rychlosti. IV Postu ráce IV.1 Přírava částic K měření usazovacích rychlostí se oužívají částice ředem vytříděné a zařazené do jednotlivých sad odle velikosti nebo tvaru. Pro částice kulové je zadán jejich růměr a hustota; ro částice nekulové je zadán jejich objem V n, ovrch A n, největší lineární rozměr l,max a hustota. Všechny tyto veličiny jsou obsaženy v tabulce, která je vyvěšena římo u měřícího zařízení. Čisté částice řed měřením vložíme do kádinky s malým množstvím odebraného roztoku a ři měření se volně vyouštějí inzetou do skleněné nálevky, jejíž stonek zasahuje od hladinu kaaliny v trubce. 7-5
IV. Vlastní měření Před začátkem romícháme (homogenizujeme) roztok v měřicí trubici: Sínačem 9 sustíme čeradlo 8 a necháme několik minut roztok obíhat, oté vyneme sínač. Na začátku a na konci měření každé sady částic se změří telota roztoku v trubici a zaíše do rotokolu. Při měření se určuje čas, který ulyne mezi růchody částice vodorovnými rovinami, roloženými v místech vyznačených horní a sodní ryskou na trubici. Před vhazováním částic otevřeme kohout ; usazené částice se shromažďují v rostoru nad zavřeným kohoutem 3. Měření se zúčastňují dva ozorovatelé. Horní souští stoky v okamžiku růchodu částice rovinou horní rysky zmáčknutím tlačítka START na sínači 6a. Sodní ozorovatel zastaví stoky tlačítkem STOP ři růchodu částice rovinou sodní rysky na sínači 6b.. Částice se vouštějí do kolony jednotlivě a kromě měření času sledují oba ozorovatelé ád částice. V některých říadech dochází k tomu, že částice se ohybuje odél stěny nebo na ni naráží. Časy nalezené ro tyto říady je třeba v rotokolu zřetelně označit a nezahrnovat do výočtu. Je třeba realizovat minimálně 15 regulérních ádů ro danou sadu částic. Po zasání doby ádu je nutno vynulovat stoky tlačítkem reset na snímači 6a. Je-li otřeba vyjmout oužité částice z kolony, uzavře se nejdříve kohout a otevřením kohoutu 3 se částice vyustí řes síto, které je oloženo na ředem řiravené sběrné nádobě. Po roměření oloviny očtu regulérních ádů je otřeba, aby se ozorovatelé vyměnili; tím se sníží subjektivní chyba měření zůsobená rozdílnou dobou reakce ozorovatelů. IV.3 Ukončení měření Po skončení měření se usazené částice vyustí do sítka, roláchnou vodou, vysuší a uloží do nádobek. Zbylý neznečištěný roztok, odebraný jako vzorek nebo získaný ři vyouštění částic z trubice a shromažďovaný ve sběrné nádobě, se nalije nálevkou zět do měřicí trubice. Vlhkým hadrem se otřou všechna znečištěná místa. IV.4 Stanovení fyzikálních vlastností kaalin Do exerimentální ráce je rovněž zařazeno měření hustoty a viskozity roztoku. IV.4.1 Stanovení hustoty V této ráci se hustota roztoku zjišťuje jednak onornými skleněnými hustoměry v odměrném válci temerovaném v termostatu a jednak digitálním hustoměrem. Při ráci s onornými skleněnými hustoměry je nesnadné řesně vytemerovat zkoumaný vzorek kaaliny na telotu, která je v usazovací trubici, roto jeho hustotu doočítáváme omocí součinitele úměrnosti E. V rozmezí telot vyskytujících se ři měření usazovacích rychlostí lze ředokládat, že hustota kaaliny je lineární funkcí teloty. Potom latí vztah ρ (t) = ρ (t 1 ) + E (t - t 1 ) (7-1) kde ρ(t) je hustota ři telotě t, ρ(t 1 ) je hustota ři zvolené telotě t 1 a E je součinitel úměrnosti. Fyzikálně součinitel E vyjadřuje změnu hustoty ři změně teloty o 1 C, jak je vidět z jeho jednotky [E] = kg m -3 K -1. 7-6
K určení hustoty ři libovolné telotě stačí tedy znát hustotu ři jedné telotě a součinitel E. Podle vztahu (7-1) určíme hodnotu E měřením hustot roztoku ři dvou telotách t 1 a t, které ři temerování vzorku volíme a nastavíme na termostatu tak, aby jejich rozdíl byl řibližně 10 C a aby střední telota roztoku t v měřicí trubici ři měření jednotlivých sad částic ležela uvnitř intervalu telot t 1 a t. Při měření zanedbáváme změny objemu hustoměru s telotou. Podle otřeby se během temerace roztok ve válci romíchává ohybem hustoměru. Digitální hustoměr vzorek automaticky vytemeruje odle nastavené teloty, tudíž nám stačí měření ři skutečné telotě roztoku. Pokyny k obsluze digitálního hustoměru jsou vyvěšeny v laboratoři. IV.4. Stanovení dynamické viskozity Viskozita roztoku η se v laboratoři měří Hölerovým viskozimetrem s temeračním okruhem naojeným na termostat. Schéma viskozimetru je na obr. 7-3. 1 teloměr libela 3 otočný če 4 stojan 5 aretační šroub 6 stavěcí šrouby 7 horní zátka 8 odvzdušňovací uzávěr 9 lášť 10 odvod termostat.kaaliny 11 koule 1 trubice s ryskami 13 dolní zátka 14 řívod termostat.kaaliny Obr. 7-3. Schéma Hölerova viskozimetru Velikost koule 11 a růměr trubky 1 se obecně volí tak, že kaalina rotéká v rostoru mezi koulí a stěnou trubky laminárně, koule se od vlivem tíže ohybuje směrem dolů rovnoměrným ohybem. Před měřením viskozimetr omocí stavěcích šroubů 6 seřídíme do horizontální olohy odle libely. Viskozimetr řiojíme k termostatu a nastavíme ožadovanou telotu. Trubici i kuličku vyčistíme, roláchneme vodou a nakonec měřeným roztokem. Nasadíme sodní víčko 13, nalijeme vzorek k rysce C a vhodíme vhodnou kouli. Poté dolníme vzorek řibližně 1 cm od horní okraj trubice. Do trubice vložíme odvzdušňovací vložku 8 (dojde k uzavření trubice bez bubliny vytlačením řebytku kaaliny do vložky). Nakonec uzavřeme trubici víčkem 7. Uzávěry dotahujeme oatrně, aby nedošlo k lomu trubice. Tím je řístroj řiraven k měření. Otočením viskozimetru kolem čeu 3 umístíme kouli nad rysku A. Zětným otočením a zajiš- 7-7
těním šroubem 5 zahájíme měření. Měří se čas otřebný ro růchod koule mezi ryskami. Obvykle se oužívají rysky A a C. Přesnost měření se udává 0,5% až 1%. Pádový čas by neměl být kratší než 30 s (ro dráhu AC = 100 mm). Viskozitu roztoku zjistíme ři dvou zvolených telotách t 1 a t. Závislost viskozity na telotě je obecně vyjádřena exonenciální funkcí η = C ex(d/t) (7-13) Postu výočtů: Pro růměrné doby ádu kuličky τ 1 a τ ři dvou zvolených telotách t 1 a t vyočítáme dynamické viskozity roztoku η 1 a η omocí rovnice: η = K (ρ k - ρ ) τ (7-14) kde K je konstanta kuličky, ρ k je hustota koule (obě veličiny jsou uvedeny na vývěsce u zařízení). Tyto viskozity solu s říslušnými telotami vyjádřenými v K dosadíme do (7-13), tím získáme dvě rovnice ro dvě neznámé konstanty C a D, které vyřešíme. Dosazením těchto konstant a střední teloty roztoku do vztahu (7-13) zjistíme hledanou viskozitu roztoku. V Bezečnostní oatření 1. Při ráci s H olerovým viskozimetrem je nezbytné řesně dodržovat ostu uvedený v odst. IV.4., zejména nedotahovat násilím šroubové uzávěry trubice. Kulička viskozimetru nesmí uadnout - je broušena s řesností 1 µm.. Při všech odběrech a racích s roztokem mimo aaraturu dodržujte čistotu. Neznečištěné zbytky roztoku se vracejí zět do aaratury. Cena 1 l glycerolu je až 10 Kč. 3. Při rozlití roztoku se místo očistí hadrem. Při obsluze je zvýšené nebezečí uklouznutí. VI Zracování naměřených hodnot VI.1 Vyhodnocení exerimentálních výsledků Při měření byl ro danou sadu částic získán soubor regulérních dob ádu částic τ i na dráze L mezi dvěma vyznačenými ryskami. Doby ádu, kdy se částice ohybovaly odél stěny nebo se jí dotýkaly, byly ři zasání do rotokolu seciálně označeny a v dalších výočtech se již neuvažují. Poznámka: Přesně řečeno by bylo nutno uvažovat vliv stěny trubky ři každém okusu, neboť stěny obecně ádovou rychlost zmenšují. V našich okusech je oměr růměru částice k růměru trubky malý, a roto tento vliv zanedbáváme. Pro danou sadu částic vyočteme a zaíšeme do rotokolu usazovací rychlosti jednotlivých měření odle vzorce ro rovnoměrný římočarý ohyb υ ui = L /τ i (7-15) Pro soubor těchto rychlostí υ ui odle ka. o zracování naměřených hodnot vyočteme: a) výběrový růměr υ u, b) směrodatnou odchylku s υu, 7-8
c) interval solehlivosti ro υ u. VI. Výočet usazovací rychlosti z kriteriálních vztahů Do všech oužívaných kritérií dosazujeme hodnoty hustoty ρ a viskozity η ři střední telotě roztoku, určené jako aritmetický růměr telot na očátku a konci okusu. K výočtu ρ a η ři této střední telotě oužijeme hodnot veličin E a konstant C a D, určených odle vztahů a okynů v odst. IV.4.1 a. A. Pro kulové částice vyočteme usazovací rychlost jednak omocí rovnice (7-9), jednak omocí grafu na obr.7-1. Při rvním zůsobu výočtu vybereme odle hodnoty Ar vyočítané z rovnice (7-7) v tab. 7-1 říslušné hodnoty konstant B, b; z rovnice (7-9) vyočteme Ljaščenkovo kritérium Ly a vyjádříme υ u ze vztahu (7-8). V druhém říadu výočtu zjistíme ro říslušnou hodnotu Ar 1/3 v grafu na obr. 7-1 omocí křivky s arametrem ψ V = 1 římo hodnotu Ly 1/3 a rychlost υ u oět vyočteme ze vztahu (7-8). Oběma zůsoby vyočtenou usazovací rychlost orovnáme s exerimentálně stanovenou střední hodnotou υ u. B. Pro nekulové částice rovedeme výočet usazovací rychlosti υ u omocí sféricity ψ V. Nejrve vyočítáme d ek z rov. (7-10) a ro tento růměr otom vyočteme Ar z rovnice (7-7). Sféricitu ψ V vyočteme z rov. (7-11) a v grafu na obr. 7-1 ro křivku s určenou hodnotou ψ V (růběh říslušné křivky bude zřejmě nutno v obrázku interolovat) odečteme Ly 1/3. Usazovací rychlost υ u otom vyočteme ze vztahu (7-8). VII Symboly A, a konstanty v rovnici (7-6) A n ovrch nekulové částice m Ar Archimedovo kritérium, rovnice (7-7) B, b konstanty v rovnici (7-9) C, D konstanty v rovnici (7-13) d ek ekvivalentní růměr m d růměr kulové částice m E součinitel definovaný rovnicí (7-1) kg m -3 K -1 K konstanta kuličky viskozimetru L vzdálenost mezi ryskami na měřicí rouře m l,max největší lineární rozměr nekulové částice m Ly Ljaščenkovo kritérium, rovnice (7-8) Re u Reynoldsovo kritérium ro usazování, rovnice (7-5) S locha růmětu částice do roviny kolmé ke směru jejího ohybu m V, V n objem kulové, res. nekulové částice m 3 υ okamžitá rychlost částice vzhledem k rostředí m s -1 7-9
υ u usazovací rychlost částice m s -1 υ u výběrový růměr usazovací rychlosti částice m s -1 ζ u součinitel odoru rostředí roti ohybu částice ρ hustota částice kg m -3 ψ V sféricita nekulové částice, vztah (7-11) VIII Kontrolní otázky 1. Jaké exerimentální částice se oužívají k měření (tvar částice)?. Jaká úrava částic je otřebná řed vlastním měřením a roč. 3. Poište zůsob vhazování částic do měřící nádoby. 4. Co se stane, okud částice adá těsně u stěny nádoby. 5. Co je sféricita částice? 6. Jaké fyzikální vlastnosti tekutiny se měří a jakou metodou? 7. Při jakých telotách se měří fyzikální vlastnosti tekutiny? 8. Poište metodiku měření viskozity. 9. Poište metodiku měření hustoty. 10. Jaký ty telotní závislosti vykazuje hustota a viskozita. 7-10