M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření výukového materiálu povoleno pouze s uvedením odkazu na http://www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 ± Výrok, logické spojky, kvantifikátory Názvové konstanty a proměnné S = p. r S = f (r) Říkáme, že S je funkcí r. Číslo p je názvová konstanta. Příslušné proměnné říkáme názvová proměnná. r - nezávisle proměnná S - závisle proměnná Písmeno, které je použito jako symbol jednoho určitého objektu, považujeme za názvovou konstantu. Písmeno, které je použito jako symbol libovolného objektu z určitého oboru, považujeme za názvovou proměnnou. Uvedený obor pak nazýváme obor proměnné. Výroky a hypotézy, negace výroků Za výroky považujeme ty dobře srozumitelné oznamovací věty, které mohou být buď jen pravdivé nebo jen nepravdivé. Pravdivostní hodnotou výroku se rozumí jedna z jeho kvalit - pravdivost nebo nepravdivost. Hypotézou rozumíme výrok, jehož pravdivostní hodnota není známa. Pozn.: Věty zvolací, rozkazovací a tázací nejsou výroky. Označíme-li libovolný výrok písmenem V, pak výrok "Není pravda, že V..." nazýváme negací výroku V Výrok a jeho negace mají opačné pravdivostní hodnoty. Příklady: V: 6 + 3 = 9 Šest plus tři se rovná devět V : Není pravda, že 6 + 3 = 9 Šest plus tři není devět V: Po skončení vyučování půjdu na oběd. V : Není pravda, že po skončení vyučování půjdu na oběd. Po skončení vyučování nepůjdu na oběd. Hovoří-li se ve výroku o jedné z několika možností, musí jeho negace zahrnout všechny ostatní možnosti. V: V noci nepršelo. V : Není pravda, že v noci nepršelo. V noci pršelo. V: Nemám červenou vázanku. V : Není pravda, že nemám červenou vázanku. Mám červenou vázanku. V: Číslo jedna není složené číslo. 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 1 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 V : Není pravda, že číslo jedna není složené číslo. Číslo jedna je složené číslo. V: Číslo 7p ¹ V : Není pravda, že číslo 7p ¹ Číslo 7p = Existenční kvantifikátory: - existuje aspoň - existuje nejvýše - existuje právě Obecné kvantifikátory: - pro každé - pro žádné Výroky, které obsahují pouze existenční kvantifikátory, nazýváme existenční výroky. Výroky, které obsahují pouze obecné kvantifikátory, nazýváme obecné výroky. Příklady: Následující věty o prvočíslech jsou vysloveny ledabyle; zpřesněte jejich formulaci tím, že uplatníte proměnnou p označující libovolné prvočíslo a použijte kvantifikátorů. a) Nějaké prvočíslo je sudé. Existuje aspoň jedno p, které je sudé. b) Číslicový zápis prvočísel nekončí nulou. Pro žádné p neplatí: Zápis p končí nulou. c) Vyskytují se i taková prvočísla, že číslo o větší než ona jsou též prvočísly. Existuje aspoň jedno p, pro něž platí: p + je prvočíslo. d) Jednociferných prvočísel se nenajde víc než 5. Existuje nejvýše 5p, která jsou jednociferná. e) Dvě sudá prvočísla nenajdeme. Existuje nejvýše jedno p, které je sudé. f) Nejedno prvočíslo je zapsáno několika stejnými číslicemi. Existují aspoň dvě p, z nichž každé je zapsáno stejnými číslicemi. Operace s výroky Chceme vyjádřit, že Použijeme spojky Vytvoříme výrok Výrok X neplatí Není pravda, že... (non) Není pravda, že X X Negace - non X výroku X Platí oba výroky X, Y a (et) X a Y... konjunkce X Ù Y Platí aspoň jeden z výroků X, Y nebo (vel) X nebo Y... alternativa (disjunkce) X Ú Y Platí buď výrok X nebo výrok Y (ostrá disjunkce) Pokud platí X, pak platí i Y (platnost výroku X však není požadována) Výroky X, Y mají stejnou pravdivostní hodnotu (buď oba platí nebo oba neplatí) když..., pak...... právě tehdy, když...... tehdy a jen tehdy, když... Buď X nebo Y Jestliže X, pak Y... Implikace výroku Y výrokem X X Þ Y X implikuje Y X právě tehdy, když Y Ekvivalence výroků X, Y X Û Y X je ekvivalentní s Y 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 Konkrétní příklady: X Y X X Ù Y X Ú Y X Þ Y X Û Y Buď X nebo Y 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 Používaná symbolika: Î... je elementem, náleží, patří,... Ï... není elementem, neleží, nepatří,... "x... ke každému, každé,... $x... existuje aspoň (jedno x,...) :... platí... (nekonečno) - matematický symbol ± Množiny a operace s nimi Množiny a operace s nimi Co je množina Množinovými pojmy vyjadřujeme matematické úvahy o skupinách (souhrnech, souborech, oborech) osob, věcí i abstarktních věcí. Společné vlastnosti skupin, oborů, útvarů, souhrnů vyjadřujeme v matematice pomocí základních množinových pojmů: Skupina, organizace, obor, útvar - množina Část skupiny, dílčí organizace, podobor, část útvaru - podmnožina Být členem organizace, patří do skupiny, náležet do oboru, patřit do útvaru - být prvkem množiny Skupina bez členů, útvar neobsahující žádný bod, prázdný obor - prázdná množina Množinu lze zadat: - výčtem prvků - pomocí charakteristické vlastnosti Inkluze a rovnost množin: - inkluzi množiny A v množině B zapisujeme A Ì B (čteme též "Množina A je podmnožinou množin B") - rovnost množin zapisujeme A = B Každá množina je i podmnožinou sama sebe. Každá prázdná množina je podmnožinou každé množiny. Pozn.: Platí, že A Ì B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je zároveň i prvkem množiny B. Platí, že A = B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je i prvkem množiny B a zároveň pro každý prvek množiny B platí, že je i prvkem množiny A. Doplněk množiny: Jsou-li A, U dvě množiny, pro které platí A Ì U, pak existuje množina všech prvků množiny U obsahující prvky, které nepatří do A. Tuto množinu nazveme doplňkem množiny A v množině U (označujeme A ) Průnik a sjednocení množin: Jsou dány množiny A, B, přičemž A ¹ B. Množinu všech prvků, které obsahují prvky aspoň jedné z množin A, B nazveme sjednocení množin A, B. Zapisujeme A È B. Množinu všech prvků, které patří do množiny A a zároveň i do množiny B, nazýváme průnik množin A, B. 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 3 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 Zapisujeme A Ç B. Množiny, které nemají společné prvky, nazýváme disjunktní množiny. Rozdíl množin: Jsou dány množiny A, B, přičemž A ¹ B. Množinu všech prvků, které patří do množiny A, ale nepatří do množiny B, nazveme rozdíl množin. Zapisujeme A \ B. Množinové operace často znázorňujeme Vennovými diagramy. Řešení úloh: Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A Ç B Ç C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A U B) Ç C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A Ç B' Ç C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A U (B Ç C'). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A' Ç B') U (A Ç B). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A U B) Ç (C U B). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Mezinárodní konference o teorii množin se účastní celkem 134 matematiků, z nich každý ovládá alespoň jeden z těchto jazyků: ruštinu, francouzštinu, angličtinu. 15 z nich ovládá všechny tři jazyky, angličtinu zná o 8 účastníků více než ruštinu. Těch, kteří ovládají ruštinu a francouzštinu a neznají angličtinu, je pětkrát méně, než těch, kteří znají pouze angličtinu. Účastníků konference, kteří znají jenom ruštinu, je třikrát více než těch, kteří ovládají ruštinu a angličtinu, ale neznají francouzštinu. Těch, kteří znají jenom francouzštinu je právě tolik, jako těch, kteří ovládají jenom angličtinu. Účastníků, kteří ovládají angličtinu a ruštinu, ale neznají francouzštinu, je o 18 méně než těch, kteří neovládají ruštinu, ale znají francouzštinu a angličtinu. Předseda organizačního výboru mluví všemi třemi jazyky. Ve kterém z nich by měl přednést uvítací projev, aby jej mohlo poslouchat co nejvíce účastníků bez tlumočníka? Z 35 žáků odebírá časopis ABC 8 žáků, časopis VTM 10 žáků. 1 žáků neodebírá žádný z těchto dvou časopisů. Kolik žáků odebírá oba časopisy. ± Algebraické výrazy Algebraické výrazy Mezi zápisy s číselnými proměnnými patří: výrazy výrokové formy 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 4 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 výroky s kvantifikátory Po dosazení přípustných proměnných hodnot do: výrazu... dostaneme číslo výrokové formy... dostaneme výrok do výroků s kvantifikátory... nemá smysl dosazovat číselné hodnoty Rovnost a úpravy výrazů Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Ke každému výrazu obsahujícím proměnné přísluší zápis, jaký je obor jednotlivých proměnných - tzv. definiční obor výrazů. O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v dané množině, platí-li: a) do obou výrazů lze na místo proměnných dosadit symboly všech prvků množiny M b) oba výrazy dávají pro stejné hodnoty proměnných stejné výsledky Přehled důležitých vzorců: (A + B) = A + AB + B (A - B) = A - AB + B (A - B).(A + B) = A - B (A + B) 3 = A 3 + 3A B + 3AB + B 3 (A - B) 3 = A 3-3A B + 3AB - B 3 A 3 - B 3 = (A - B).(A + AB + B ) A 3 + B 3 = (A + B).(A - AB + B ) ± Algebraické výrazy - procvičovací příklady 1. Umocněte: (10 - a) 100-40a + 4a. Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+ a x-1 Rozdíl 3, součin x + x - 3. Rozložte na součin: x - xy + y - x + y (x - y). (x - y - 1) 4. Vypočtěte rozdíl výrazů x + a x - 1 5. Upravte: [(a b 3 ) 3 ] 3 a 1 b 18 6. Upravte: (x - 0,y). (x + 0,y) 4x - 0,04 y 1093 1091 1104 1096 1098 1100 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 5 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 7. Zjednodušte výraz: (h - 5s)(h + 5s) - (h + 5s) -10s.(5s + h) 8. Výraz 4k - (k + 1) - 4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 3-8k + 7 9. Doplňte: (? - 3) = 16x -? +? První? = 4x; druhý? = 4x; třetí? = 9 109 1090 1105 10. Rozložte na součin výraz: 18xy - 1x y 3xy.(6y - 7x) 11. Rozložte na součin: 4x (y z ) + 5v (z y ) (y - z). (y + z). (x - 5v). (x + 5v) 1. Upravte daný výraz 3x y - {xyz - (yz - x z) - 4x z + [3x y - (4xyz - 5x z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x = 1, y = -1, z = 0 3xyz - x z + yz 13. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost (... + 3y) = 4x +... +... 1xy 14. Výraz K = 16a a 4 x rozložte na součin aspoň tří činitelů K = a.(4 - ax).(4+ax) 15. Upravte: (1,x - 0,3y) 1,44x 4-0,7x y + 0,09y 16. Upravte: (x - 5) - (x - 3).(5x + ) -6x - 9x + 31 17. Rozložte na součin: 4 x ( - x). ( + x) 18. Rozložte na součin: (m - 1).5x 8.(m - 1) (m - 1). (5x - 8) 19. Zjednodušte a ověřte dosazením za x = - 8x - [x 6.(x - 1) + ] - (3x - 5x). 4.(x + 1) 0. Vypočítejte: (3 - x) - 3(x - 3) + (-x).(x - 3x + 9) 1088 1087 1107 1089 111 1099 1106 1094 1095 1111 1108 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 6 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 1. Rozložte v součin výraz: 9s v - 4r v - 9u s + 4u r. Správnost ověřte dosazením u=-1, v=, s=1, r=0 (v - u). (v + u). (3s - r). (3s + r). Vypočtěte: (4a b + 5a 3 b ) = 16a 4 b + 40a 5 b 3 + 5a 6 b 4 1103 1086 3. Vypočtěte součin výrazů x + a x - 1 x + x - 4. Rozložte na součin výrazy: a) x - 4xy + y b) 5t - tm - 10m + 5 a). (x - y) b) (t + 5). (5 - m) 5. Rozložte na součin: a + ab + b c (a + b + c). (a + b - c) 6. Výraz - (-x + 1) se po úpravě rovná čemu? -4x + 4x - 1 7. Zjednodušte výraz x - [5x - (x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = -3-4(x + 3) 8. Upravte: a. 3b ȧb.b a 3. 4b 4 4a 6 b 9 9. Výraz (3k - ) - 4k(k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k = 3 k - 1097 1109 1113 1110 1085 1101 110 ± Lomené algebraické výrazy Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou. U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl). Př.: ax+ b cx+ d Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkou x = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit). Zapisujeme tedy: x ¹ -d/c Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit. Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 7 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele. Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit. Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel. Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem. Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek uvedeme do základního tvaru. Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele proti kterémukoliv jmenovateli. Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele výrazu lomeného. Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou hodnotou lomeného výrazu druhého. Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se jmenovatelem. Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko. Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz. Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních. Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak dále. Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů. ± Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady 1. 1174-1,7 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 8 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1. 1167 3. 1180 4. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 1+ x ö ç -.(- x) è x x ø x; x ¹ 0 1195 5. 1169 6. 117 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 9 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 7. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 4r + 8rs + 49s.( r - 7s) r + 7s 7 4r - 49s ; r ¹ - s 8. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ xy- y ç è y x xy ö ø -. 3 (- xy ) 3 - x; x ¹ 0, y ¹ 0 9. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 18v.( 5v + 7) 30v + 4 3v; v ¹ -7/5 1190 1197 1189 10. 1175 11. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3 + 5x.1x 7x 9x + 15x ; x ¹ 0 1. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 1 3x y (- x y ). 6 -y; x ¹ 0, y ¹ 0 13. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 3s + r ç - è r - 3s 9s - r -; r ¹ ± 3s ö. ø ( 3s - r) 118 1183 103 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 10 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 14. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: a - b + 1.( a - b -1) a - b -1 ( ) 1; a ¹ b - 1, a ¹ b + 1 119 15. 1181 16. Zjednodušte a uveďte, kdy má lomený výraz smysl: 6x -1.( 1x + ) 6x + 1.(6x - 1); x ¹ -1/6 17. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: ( 4 p 4 pq) p - q. - 4 p -8pq + 4q p; p ¹ q 18. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: m - 5n.( n - 3m) 3m - n 5n - m; n ¹ (3/)m 19. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: x x - + y y (-1). y - x; x ¹ -y 1185 1191 10 1194 0. 1173 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 11 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 1. 1179. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: x - y.( x - y) x - 4y x - y ; x ¹ ± y x + y 1187 3. 1170 4. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 8x + 7.( 14-16x) 8x - 7 -.(8x + 7); x ¹ 7/8 5. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 1186 1184 3x; x ¹ 0, x ¹ 1 6. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 1- x.( - 6x ) 3x 4x - x; x ¹ 0 7. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl:.( y - z ) y + z. (y - z); y ¹ -z 100 101 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 1 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 8. 1176 9. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3 u + u. u -1 ( u -1) u ; u ¹ ± 1 1188 30. 1168 31. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 1 ö ç1+ +. x è x x ø x + x + 1; x ¹ 0 1196 3. 1178 33. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3a + - b.( + b - 3a) 4-3a - b ( ) 1; b ¹ 3a - ; b ¹ 3a + 34. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ x x - y ö ç +.( y + x) è x + y x - 4y ø x + 1; x ¹ ± y 1193 1198 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 13 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 35. 1171 36. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ x + 3y ö ç -. - è 3y - x x - 9y ø -3; x ¹ ± 3y ( x 3y) 1199 37. 1177 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 14 z 14
M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 Obsah Výrok, logické spojky, kvantifikátory 1 Množiny a operace s nimi 3 Algebraické výrazy 4 Algebraické výrazy - procvičovací příklady 5 Lomené algebraické výrazy 7 Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady 8 7.1.008 10:9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)