Maemacký pops sysémů pracujících ve spojém čase Vnější pops nelneárních sysémů, savový pops, sabla, kauzala Základní nformace Tao výuková jednoka, jako už všechny další následující, je pokračovací, ve keré se sudující bez znalosí získaných v předchozích jednokách neobejde Tex naváže na pops vlasnosí lneárního sysému a uvede základní důvody, proč v předešlé výukové jednoce uvedené způsoby popsu vlasnosí lneárních sysémů nelze použí pro sysémy nelneární Další kapola, zabývající se popsem nejen lneárního sysému, zavádí pojem savové reprezenace (popsu), kerý umožňuje sledova procesy uvnř sysémové srukury Konečně se ex bude poněkud podrobněj věnova oázce sably a kauzaly Budou uvedena dvě základní maemacká krera pro rozpoznání, zda je lneární sysém sablní č nkolv Výsupy z výuky pochop důvody nemožnos použí způsoby popsu lneárních sousav pro sousavy nelneární; seznám se s prncpem vnřního savového popsu lneární sousavy a dokáza vysvěl souvslos mez vnřním a vnějším popsem; porozumě pojmům sabla a kauzala sysému; dokáza rozhodnou o sablě lneární sousavy na základě znalos její operáorové přenosové funkce
Vnější pops nelneárních sysémů Nyní předpokládejme model cévního segmenu s reálnou modfkací, kdy je rozažnos cévní sěny závslá na laku krve v cévě V základním náhradním elekrckém schémau o znamená jednou změnu - předpokládáme kapacu kondenzáoru (objem cévy) závslou na napěí na kondenzáoru (laku krve v cévě) (obr) To znamená, že do sysému zavedeme jednu nelnearu Odvození dferencální rovnce uvedené v předchozí výukové jednoce v kap (odkaz na VJ7, kap) za éo podmínky dospěje beze změny až k rovnc (6) uveďme j zde ješě jednou a označme (6 ) R () + L () + u () u () (6 ) a zde se bohužel vyskyne komplkace př určování proudu obvodem, proože vzah pro okamžé napěí na kondenzáoru se mění na Z oho plyne u () ( τ) dτ () (u ()) ( τ)dτ (u ()) u () () a poom pro plaí (pokud poněkud zjednodušíme záps vynecháním časové závslos, kerá ale samozřejmě nepřesává pla) ((u ) u )' (3) Proože do vzahu (6 ) pořebujeme zná jak vzah pro proud (průok), ak pro jeho dervac, pořebujeme výraz v (3) ješě jednou dervova To bychom snad zvládl obecně, suac s ale rošku zjednodušme konkréním předpokladem o lneární závslos (u ) (u ) k u Výpoče o zjednoduší, závěry, kvůl kerým jej provádíme, o neovlvní Pšme edy a pro dervac (k u u ) (k u ) ku u (4) (ku u ) k(u u + u u ) k(u + u u ) (5) Dosadíme-l oba výrazy do (6 ), dosaneme ku u + L k(u + u u ) + u u (6) R Přepíšeme-l dferencální rovnc (6) do očekávaného varu, dosaneme a z oho R u u (7) + ( + )u + u u L u klu klu + a (u )u + a (u )u b (u )u, (8) u Obr Náhradní nelneární elekrcké schéma cévního segmenu
kde R u a (u) ( + )u ; a(u) b(u) (9) L u klu Získaná dferencální rovnce zůsává řádu (poče akumulačních prvků se přece nezměnl), ale zavedení nelneární závslos kapacy na napěí kondenzáoru způsoblo, že všechny uvedené paramery dferencální rovnce, j a (u ), a (u ) b (u ) jsou funkcem výsupního napěí a dferencální rovnce je edy nelneární Proože určená dferencální rovnce sama defnuje závslos výsupního napěí na vsupním, můžeme konsaova, že paramery sousavy formálně závsejí na jejím vsupu Z oho konečně plyne ponaučení, keré lze zobecn, ož že vlasnos nelneární sousavy nezávsejí pouze na srukuře samoné sousavy, nýbrž na jejím vsupu, což samozřejmě případnou analýzu významně komplkuje Nyní zkusme urč obrazovou přenosovou funkc nelneární varany obvodu s dferencální rovncí, kerá je podle (7) R u u + ( + )u + u u L u klu klu nebo v obecném varu podle (8) u + a (u )u + a (u )u b(u )u, Proože jednolvé členy uvedené dferencální rovnce jsou dány součny funkce a dervace určé proměnné, lze její Laplacovu ransformac počía (pokud vůbec) pouze pro daný konkréní případ a nelze obecně sanov var operáorové funkce nelneárního sysému Tedy shrňme, nelneární sousavu lze popsa nelneární dferencální rovncí, obrazovou přenosovou funkc obecně sesav nejde, a udíž nemá smysl se zabýva osaním způsoby popsu používaným pro pops lneárních sousav Nelze se edy zabýva an frekvenčním vlasnosm nelneárních sousav Vnřní (savový) pops Lneární případ Pojďme se vrá ke sále opakovaně používanému pasvnímu lneárnímu elekrckému modelu cévního segmenu, jak je zde znovu ukázán na obr Nyní použjme velčny, keré popsují negrační (akumulační) charaker obou prvků, j napěí u () na kondenzáoru a proud L () cívkou, k popsu dějů uvnř obvodu (savového popsu) Z defnce napěí na kondenzáoru je a z rovnce u' () dosáváme po normalzac a separac dervace proudu Obr Pasvní sérový RL obvod jako elekrcký model cévního segmenu R + L' + u u () 3
R ' u + u (3) L L Vyvoříme-l vekor velčn s (u, ) T a jejch dervací s (u, ) T, pak můžeme zapsa obě výše uvedené rovnce v macové varu u ' / L / u + R / L 4 [ u ] (4) Vekor s (u, ) T nazýváme savový vekor sysému Obecně lze výše uvedenou rovnc zapsa jako sousavu n dferencálních rovnc řádu (n je poče savových akumulačních proměnných, n je řád sysému) jako s' a a L an s b b L bm x s' a a L a n s + b b L b m x M M M O M M M M O M M, (5) s' n a n a n L a nn s n b n b n L b nm x m s ' As + Bx kde s (s, s,, s n ) T je savový vekor (vekor savových velčn), mace A(n,n) je mace dynamky sysému (mace vnřních vazeb, mace zpěných vazeb, mace sysému) a mace B(n,m) je mace vsupních vazeb sysému (vsupní mace) Teno záps defnuje zv první savovou rovnc sysému Druhá savová rovnce defnuje vzah mez výsupním velčnam sysému a jeho savovým a vsupním velčnam Tedy y c c L cn s d d L dm x y c c L c n s + d d L d m x M M M O M M M M O M M, (6) y r c r c r L c rn s n d r d r L d rm x m y s + Dx kde y (y, y,, y r ) T je vekor výsupních velčn, mace (r,n) je mace vazeb savu sysému na výsup (výsupní mace sysému) a mace D(r,m) je mace přímých vsupně-výsupních vazeb Proože v úvodním příkladu je výsupní napěí u defnováno pomocí savových a vsupních velčn jednoduchým vzahem u u, (7) má druhá (výsupní) savová rovnce zadaného elekrckého obvodu var u [ u ] [ ] + [ ][ u] (8) Příklad : Určee vlasní (nebo éž charakerscká) čísla mace dynamky sysému a srovneje je s póly obrazové přenosové funkce éhož sysému, j s kořeny charakerscké rovnce sysému Řešení: harakerscká rovnce určená pro dané zapojení v předchozí výukové jednoce (odkaz VJ7, příklad 4) z přenosové funkce je
R p + p + L L Řešením éo kvadracké rovnce pro proměnnou p získáme póly přenosové funkce Vlasní čísla mace A získáme řešením rovnce de(a-λi), kde λ předsavuje vlasní číslo mace a I je jednoková mace V našem konkréním případě je mace dynamky sysémua rovna A / L a edy pro určení vlasních čísel řešme rovnc To znamená, že λ / L / / R / L R / L λ R R ( λ) λ + λ + λ + L L L L Srovnáním výše uvedené charakerscké rovnce a právě vypočíané rovnce pro určení vlasních čísel vdíme, že př ekvvalenc laplacovské proměnné p a vlasních čísel λ jsou obě rovnce sejné Řešením obou rovnc udíž získáme yéž hodnoy pólů přenosové funkce a vlasních čísel mace dynamky sysému a o p, R ± R 4L λ, L Teno konkréní výsledek můžeme zobecn do závěru, že analýza hodno pólů obrazové přenosové funkce a vlasních čísel mace dynamky sysému v podsaě předsavuje oéž Nelneární případ Nyní opě předpokládejme, že kapaca závsí na napěí na kondenzáoru (obr), z pohledu modelovaného cévního segmenu, že rozažnos cévy závsí rozumně na laku krve uvnř cévy Pak lze znovu podle vzahu () psá a z oho a 5 u ( u ) ( τ) dτ u ( u ) + u ( u ) u (9) u, ( u ) u ( u ) () + F( u ) což je první napěťová savová rovnce uvedeného sysému, druhá, j proudová savová rovnce zůsává nezměněna, j podle (3) R ' u + u L L Rovnc dynamky v macovém varu pak můžeme psá
u / L / F( u ) R / L u [ u] + / L () Výsupní rovnce zůsává áž jako v původním lneárním případu, j plaí (8) Znamená o, že pro nelneární případ je alespoň jeden prvek použých mac nekonsanní Nebo jnak, alespoň jeden prvek je závslý na savových proměnných Proože mace dynamky je mací paramerů savových dferencálních rovnc a je-l alespoň jeden z prvků éo mace funkcí někeré savové proměnné, je daná sousava rovnc nelneární 3 hování sysémů 3 Základní jevy v sysémech Exsují dvě základní příčny dynamky sysémů a různých forem jeho chování Prmární příčnou dynamky jsou vlasnos sysému, reprezenované např jeho paměí, kerá závsí na srukuře a paramerech sysému, sekundární příčnou je působení okolí na sysém prosředncvím vsupních velčn hceme-l odhal vlasnos sysému, je pořeba zvol způsob expermenální analýzy Dva výše zmíněné fakory ovlvňující chování sysému jsou důvodem pro exsenc dvou základních ypů expermenování : zkoumání vlvu počáečního savu; zkoumání vlvu vsupní velčny Navzdory výše uvedenému konsaování, že fakory ovlvňující chování sysému zjšťujeme expermenováním, může bý charaker ohoo expermenování ryze maemackou, edy eoreckou dscplínou Jeslže vlasnos lneárního sysému popíšeme lneární dferencální rovncí, je zkoumání vlvu reprezenováno hledáním řešení homogenní dferencální rovnce, j rovnce s nulovou pravou sranou, kerá nám obecně reprezenuje vlv vsupní velčny, za předpokladu nenulových počáečních podmínek Zkoumání vlvu vsupní velčny jž samozřejmě předsavuje hledání řešení rovnce s nenulovou pravou sranou, edy rovnce nehomogenní, kerá z hledska podsay přrozeně zahrnuje vlv vsupní funkce 3 Zkoumání vlvu počáečního savu V čase se sysém vždy nachází vlvem své předcházející čnnos ve savu, popsaném obecně vekorem hodno s( ) savových velčn Teno sav defnuje zv fyzkální počáeční podmínky Vhodným uspořádáním expermenu lze s hodnoam fyzkálních počáečních podmínek manpulova Poé bez přvedení vsupu analyzujeme chování sysému Reakc sysému za ěcho podmínek (reakc na počáeční sav bez vlvu exerního vsupu) nazýváme přrozenou odezvou sysému Přrozená odezva má ř základní ypy průběhu (neuvažujeme-l rovněž možnou suac, kdy se nesane vůbec nc): časem odeznívá (zanká); usálí se v konečných mezích (oscluje nebo je konsanní, ale nenulová); neohrančeně rose Zkoumáním přrozené odezvy lze zjšťova: sablu (sledováním konvergence); Uvedené dělení je v podsaě důsledek maemackého přísupu a násrojů, keré maemacká analýza sysémů používá Kdyby o bylo řeba č užečné, bylo by možné oba případy zoožn ak, že bychom považoval odezvu na počáeční podmínky za odezvu na vsupní mpulsní buzení na počáku časové osy 6
lnearu (sledováním podobnos odezev př různých počáečních podmínkách); dynamcké vlasnos sysému podle přechodu sysému do nového savu - rychlos přechodu, monoónnos č osclační charaker přechodu, kmoče osclací, apod 3 Zkoumání vlvu vsupní velčny Abychom zjednodušl analýzu chování sysému vůč vsupu, je vhodné vylouč vlv počáečních podmínek Sysém se v om případě musí nacháze v nulovém počáečním savu (Řešení nehomogenní dferencální rovnce je edy vhodné hleda za předpokladu nulových počáečních podmínek) Odpověď sysému na jednoduché vsupní buzení, jehož vlasnos v časové frekvenční doméně jsou známy, nazýváme vnucená (vynucená) odezva Nejčasěj používané budcí funkce jsou jednokový mpuls, jednokový skok, resp harmoncký sgnál Na vnucené odezvě zkoumáme var přechodného děje (chování sysému z počáečního do koncového savu); usálený sav (sav, kdy zanká pohyb sysému) elková odezva je dána kombnací přrozené odezvy a vnucené odezvy U lneárních sysémů je kombnace daná součem obou odezev 4 Sabla 4 Základní pojmy Ve zcela úvodní výukové jednoce jsme s zavedl obecnou defnc sably jako schopnos sysému udrže s př změně vsupů a savů svých prvků nezměněnou vnější formu (chování) navzdory řeba velce bouřlvým procesům probíhajícím uvnř sysémů O něco méně obecně lze sablu defnova jako vlasnos sysému, kerá charakerzuje jeho schopnos udrže s své chování č rysy v předepsaných mezích za případného vnějšího rušvého působení Navzdory obecnos ěcho defnc, vyplývá z nch, že sabla je vnřní vlasnosí sysému Souvsí ale s vnřním savem sysému, kerý označujeme jako rovnovážný sav Rovnováha je sav sysému, vznklý vyrovnáním vlvů na sysém působících Rovnovážné savy mohou bý sablní, neurální (zv na mez sably) nebo nesablní Sabla obecně závsí jednak na vlasnosech samoného sysému (zejména v případě lneárních sysémů), jednak může závse na charakeru a působení prosředí na sysém (v případě nelneárních sysémů) Sablu č nesablu rovnovážného savu vyšeříme pomocí malého vychýlení sysému z rovnovážného savu Pokud se sysém vráí do původního savu, je rovnovážný sav sysému sablní Pokud po vychýlení opusí sysém původní rovnovážný sav, je rovnovážný sav nesablní Konečně, pokud působení malé velkos vychýlí sysém z rovnovážného savu Obr4 Různé suace sablních a nesablních sysémů, příp sysémů na mez sably 7
a sysém zůsává v om savu, do kerého se dosal po vychýlení, hovoříme o mezní sablě Příklady ěcho suací jsou zobrazeny na obr4 V levé polovně obrázku je koule na podložkách různého varu Ať se koule pooočí jakýmkolv způsobem, zůsává sama o sobě v oméž savu hování celého sysému ovlvňuje var podložky Suace a) popsuje chování koule uvnř kulové plochy věšího poloměru Ať je koule jakkolv vychýlena, vrací se v omo případě zpě do původního rovnovážného savu, zpravdla lumeným kmavým pohyby - sysém v omo rovnovážném savu je sablní Případ b) popsuje chování koule na vrcholu konkávní kulové plochy Př vychýlení z rovnovážné pozce uo polohu opouší a jž se do ní nevrací - rovnovážný sav je v omo případě nesablní Konečně na rovné podložce se koule působením vnější síly přemísí do nové polohy a v éo poloze zůsává - rovnovážný sav je neurální, resp na mez sably Kužely v pravé polovně obrázku reprezenují sysém, jehož rovnovážné savy závsejí na sysému samoném, nkolv na vlasnosech prosředí, ve kerém se nachází Sojí-l kužel na své podsavě, je ve sablním rovnovážném savu a an malé vychýlení kuželu nezpůsobí jeho převrácení Naopak, sojí-l kužel na svém vrcholu, nachází se v nesablním rovnovážném savu, jakékolv sebemenší vychýlení způsobí převrácení kužele Poslední poloha, kdy se kužel leží na svém pláš, reprezenuje neurální rovnováhu Kužel se působením vnější síly pooočí a zůsává v nové poloze Pro určení sably používáme dva základní přísupy, vyplývající ze dvou výše zmíněných sysémových jevů: sabla vynuceného pohybu; sabla vůč počáečnímu savu (daná konvergencí přrozené odezvy) 4 Zkoumání sably 4 Sabla vynuceného pohybu Na sablu vynuceného pohybu usuzujeme podle endence sysému reagova přměřeně na podně konečné délky a konečné velkos a podle endence chování sysému jeho zánku podněu Sysém je sablní, pokud na každý ohrančený vsup x() (co do velkos hodno) reaguje rovněž ohrančeným výsupem (sabla ohrančený vsup - ohrančený výsup, Bounded Inpu - Bounded Oupu BIBO) Dle éo defnce lze expermenálně ověř pouze nesablu - jakmle je nalezen akový vsup, pro kerý se sysém chová nesablně, je sysém nesablní Pokud na všechny vyzkoušené ohrančené vsupní sgnály reaguje sysém sablně, neznamená o ješě, že neexsuje žádný vsup, na kerý by reagoval nesablně Nunou a posačující podmínkou pro BIBO sablu je absoluní negrovaelnos jeho mpulsní charakersky, j musí pla (Hurwzovo krérum ve spojé časové oblas) h ( ) d V <, (4) 4 Sabla vůč počáečnímu savu Asympocky sablní sysém je akový sysém, jehož přrozená odezva časem zanká Příklad 4: Rozhodněme, zda je sablní sysém popsaný operáorovou přenosovou funkcí Adolf Hurwz (*859, Hldeshem, dříve Hannoverské královsví, nyní Německo, +99 Zürch, Švýcarsko), německý maemak, po kerém jsme zdědl akové pojmy jako jsou Hurwzův deermnan, mace, polynom, Hurwzův prosor a věy z oboru komplexní analýzy, eore čísel a mnoho dalších Důsledky jeho eorecké práce zásadně využívá eore řízení Kdo by nechěl ží akový plodný žvo 8
H( p) p + 3 Řešení: Ke zjšění sably použjme pravdlo podle vzahu (4) a ověřme jaký má var mpulzní odezva sysému Přpomeňme, že pro Laplacův obraz výsupní velčny Y(p) plaí Y(p) H(p) X(p), kde X(p) je obraz vsupní velčny Pro Dracův mpulz je L(δ()), edy pro odezvu na jednokový Dracův mpulz, j pro mpulzní charakersku, je h() L - (H(p)) Abychom určl průběh mpulzní charakersky, sačí spočía zpěnou Laplacovu ransformac zadané přenosové funkce V abulce laplacovských párů (odkaz VJ7, ab3) můžeme nají, že obrazu /(p+a) odpovídá časová funkce e -a V našem případě, kdy a 3, je mpulzní charakerska zadaného sysému h() e -3 Tao funkce je monoónně klesající, pro nabývá hodnoy h(), pro konverguje k nule; její negrál 3 3 3 e d e d [ e ] [ ] < 3 3 3 Podmínka (4) je splněna, sysém je sablní Příklad 4: Rozhodněme, zda je sablní sysém popsaný operáorovou přenosovou funkcí H( p) ( p + 3)( p ) Řešení: Abychom mohl použí výše zmíněného vzahu mez funkcí e -a a jejím Laplacovým obrazem, je pořeba rozlož přenosovou funkc na parcální zlomky, což v omo případě je H( p) + ( p + 3)( p ) 5( p + 3) 5( p ) elkovou mpulzní odezvu složíme z časových funkcí, keré získáme zpěnou Laplacovou ransformací každého z obou dílčích zlomků S pomocí ab3 v předchozí výukové jednoce (odkaz VJ7, ab3) máme 3 e e h( ) h ( ) + h ( ) + 5 5 Zaímco o první funkc můžeme na základě předchozího příkladu konsaova, že s konverguje k nule, druhá exponencála e rose s časem nade všechny meze Podmínka daná vzahem (4) není splněna a sysém je proo jako celek nesablní Příklad 43: Rozhodněme, zda je sablní sysém popsaný operáorovou přenosovou funkcí H( p) p + p + Řešení: Zkusme enokrá použí vzah mez funkcem e -a sn(ω ) a ω /[(p+a) +ω ], aké uvedený v abulce laplacovských párů (odkaz na VJ7, ab3) To znamená, že funkc H(p) musíme poněkud modfkova 9
( p) p + p + p + p + + ( p + ) H Oba paramery a ω jsou rovny jedné a mpulzní charakerska je rovna h() e - sn() Tenokrá mpulzní charakerska není monoónní, nýbrž je určena lumenou snusodou Její negrál je opě konečný (laskavý čenář s jej určě dokáže spočía) Proo je podmínka (4) splněna a sysém je rovněž sablní Pól přenosové funkce v příkladu 4 je roven p -3 V příkladu 4 má přenosová funkce póly p -3 a p, ve příkladu 43 jsou póly komplexně sdružené p, - ± j s se zápornou reálnou složkou Pokusme se zváž, jak bychom mohl éo nformace použí Pól zadané přenosové funkce v prvním příkladu je dán hodnoou a, je proo roven p -3, leží v záporné polorovně komplexní rovny p Pro kladnou hodnou pólu přenosové funkce (akovou jakou má druhý pól ve druhém příkladu), j pro zápornou hodnou parameru a je naopak funkce e -a rosoucí nade všechny meze a negrál její absoluní hodnoy je nekonečný Ve řeím příkladu je reálná čás komplexních pólů opě záporná a sysém je zase sablní Všechny yo suace jsou lusrací dalšího pravdla pro posouzení sably spojého lneárního sysému, keré říká, že nunou a posačující podmínkou asympocké sably lneárního spojého sysému je, aby měly všechny jeho póly záporné reálné složky Pokud má byť jeden pól kladnou reálnou složku, je sousava nesablní Leží-l jednoduchý nebo komplexně sdružené póly na magnární ose rovny p, je sysém zv na mez sably 43 Zobecněná sabla dle Ljapunova 3 V příkladu v kap éo výukové jednoky jsme s ukázal, že vlasnos a chování nelneárního sysému nezávsí jen na paramerech samoného sysému, ale současně na vlasnosech a charakeru vsupů Proo v případě nelneárních sysémů nelze vysač se zjednodušeným přísupem ke sablě ak, jak jsme ho použl pro sysémy lneární Pojem sably je proo řeba poněkud zobecn Nechť je sysém popsán dferencální rovncí x () f(x()), kde f je obecně nelneární funkce Její řešení pro počáeční podmínku x () označíme x () a pro málo odlšnou počáeční podmínku x () x () + je x () Pro sablu je podsané jaký je rozdíl obou řešení, jesl se počáeční podmínky lší jen málo Abychom formalzoval požadavek na rozdíl obou řešení, lze formulova požadavek na sablu sysému ak, aby ke každému počáečnímu savu z δ okolí usáleného savu exsovalo ε okolí ohoo bodu, ze kerého se sav sysému v celém průběhu řešení nevzdálí Požadavek usálení savu sysému na původní hodnoě je zde zaměněn za požadavek malých pohybů kolem rovnovážného savu 3 Alexandr Mchajlovč Ljapunov (*857, Jaroslavl, Rusko, +98 vlasní rukou bezprosředně po smr své ženy, Oděsa, Rusko nebo Ukrajna?, ěžko říc kam v roce 98 Oděsa pařla), ruský maemak, sask a fyzk; nejdůležější přínos z oblas dferencálních rovnc a dynamckých sysémů, zejména jejch sably Dokázal dokáza cenrální lmní věu za podsaně obecnějších podmínek než jeho předchůdc + Obr4 Prncp defnce ljapunovské sably
5 Kauzala V kap výukové jednoky pojednávající o bnárních operacích mez funkcem spojým v čase (odkaz na VJ3, kap) jsme zmínl pojem kauzaly, přčemž jsme odkázal na podsau ohoo pojmu do oblas sysémů Proože už víme, jak užečné je použí konvolučního negrálu v sysémové eor, pokusme se nyní eno pojem sručně přpomenou a současně objasněme vlv kauzaly sysému na meze konvolučního negrálu Uvedl jsme, že kauzální sysém je akový, kerý reaguje na vsupní událos až ve chvíl, kdy se ao událos objeví na vsupu sysému Proo pro mpulzní charakersku kauzálního lneárního, časově nvaranního sysému je h() pro < (5) Pokud uplaníme uo kauzální podmínku na výpoče výsupu lneárního sysému pomocí konvolučního negrálu, je y ( ) h( τ) x( τ) dτ (5) Alernavně, vzhledem ke komuavní vlasnos konvoluce, plaí y ( ) x( τ) h( τ) dτ (53) Teno vzah ukazuje, že pro výpoče výsupní velčny y() se uplaní pouze y hodnoy vsupní velčny x(τ), pro keré τ Na základě podmínky kauzaly je vsupní funkce kauzální, pokud je resp ankauzální, když x() pro <, (54) x() pro > (55) Pak ze vzahů (5), (5) a (53) plyne, že je-l vsupní funkce x() kauzální, pak výsupní funkc kauzálního spojého lneárního a časově nvaranního sysému počíáme pomocí vzahu y ( ) h( τ) x( τ) dτ x( τ) h( τ) dτ (56)