Řešení ustáleného stavu a posuzování stability parametrických systémů s 1 stupněm volnosti

Transkript

1 Západočesá unverza v Plzn Faula Aplovaných věd Kaedra mechany BAKALÁŘKÁ PRÁCE Řešení usáleného savu a posuzování sably paramercých sysémů s supněm volnos Plzeň 4 Karel Dráždl

2 Prohlášení Předládám posouzení uo baalářsou prác Prohlašuj že jsem j vypracoval samosaně a výhradně s použím covaných pramenů V Plzn dne

3 Poděování a omo mísě bych chěl poděova mému vedoucímu baalářsé práce Prof Dr Ing Janu Dupalov za jeho cenné rady onzulace a hlavně za rpělvos díy erým ao práce vznla Dále bych chěl poděova mé rodně za podporu př sudu a v neposlední řadě mé příelyn

4 Absra ao práce se zabývá určením analycého perodcého řešení a posouzením sably lneárních majících sysémů s supněm volnos s perodcy proměnnou uhosí a budící sílou Analycé řešení maemacého modelu vede na negrální Fredholmovu rovnc s degenerovaným jádrem jejíž řešení je založeno na zv perodcé Greenově func erá je odezvou sysému na buzení ve varu Dracova hřebene Exsenc analycého perodcého řešení lze ověř pomocí Rungeovy- Kuovy meody Jeslže exsuje řešení a se výsledy analycého řešení shodují s usáleným savem zísaným pomocí Rungeovy- Kuovy meody Dalším zaměřením éo práce je posuzování sably zmíněného sysému eré je založeno na určení znaména reálné hodnoy deermnanu sysémové mace Jeslže je hodnoa deermnanu ladná exsuje perodcé řešení a sysém je sablní V opačném případě perodcé řešení neexsuje a sysém je nesablní pecálním případem je nulová hodnoa zmíněného deermnanu erá vymezuje hranc mez sablní a nesablní oblasí paramerů sysému eno nový posup řešení byl ověřen Floqueovou meodou a v porovnání s ní bylo novým posupem dosaženo přesnějších výsledů Klíčová slova: mání negrální rovnce perodcé řešení sabla Floqueova eore Absrac hs hess deals wh he deermnaon of he analycal perodcal soluon and sably assessmen of one-degree-of-freedom lnear vbrang sysems wh perodcally varable sffness and excng force Analycal soluon of he mahemacal model leads o he Fredholm s negral equaon wh degeneraed ernel whose soluon s based on he perodcal Green s funcon whch s a response of he sysem o excaon n he form of he Drac chan he exsence of he analycal perodcal soluon can be verfed by usng he Runge-Kua mehod If he soluon exss he resuls of hs soluon correspond wh he seady sage obaned by he Runge-Kua mehod Anoher goal of hs sudy s he sably assessmen of ha sysem whch s based on denfcaon of he sgn of he real value of he deermnan of he sysem marx If he value of he deermnan s posve he perodcal soluon exss and he sysem s sable oherwse he perodcal soluon does no exs and he sysem s unsable he specal case s he zero value of ha deermnan whch defnes he borders beween sable and unsable regons of sysem parameers hs new procedure of soluon was valdaed by he Floque mehod and he resuls of he new mehod were more accurae han he resuls obaned by he Floque mehod Keywords: vbraon negral equaon perodc soluon sably Floque heory

5 Obsah Úvod 6 Určení analycého perodcého řešení sysému s volnos s perodcy proměnnou uhosí a budící sílou 7 3 Posouzení sably sysému 4 3 ová meoda posouzení sably sysému a určení hranc sably 4 3 Floqueova eore 33 Důaz Floqueovy eore [3] 5 4 Aplace řešení na příladech 3 5 Závěr 48 Použá leraura 49 5

6 Úvod Cílem předládané baalářsé práce je určení a ověření exsence analycého perodcého řešení a posouzení sably lneárních majících sysémů s supněm volnos s perodcy proměnnou uhosí a budící sílou V první čás práce je popsána meoda pro zísání analycého perodcého řešení zmíněných sysémů s jedním supněm volnos ao úloha vede na řešení negrální Fredholmovy rovnce s degenerovaným jádrem eré je založeno na zv perodcé Greenově func Perodcou Greenovu func lze chápa jao odezvu sysému na buzení ve varu Dracova hřebene Řešení lneárních majících sysémů s supněm volnos poud exsuje je závslé na nverovaelnos sysémové mace Exsence analycého řešení je ověřena pomocí Rungeovy- Kuovy meody dy př exsenc řešení dochází dobré shodě výsledů odpovídajících analycému řešení s usáleným savem zísaným pomocí Rungeovy- Kuovy meody Aplace meody je prezenována na něola příladech Druhá čás je věnována novému posupu pro určování hranc sably sysému posuzování sably sysému a s ím souvsející exsence č neexsence analycého perodcého řešení Je-l sysémová mace sngulární (deermnan je nulový) její reálné vlasní hodnoy vymezují hrance (ne)sably v rovně dané paramery sysému V druhém případě dy je sysémová mace nverovaelná j regulární (její deermnan je nenulový) rozhoduje o sablě sysému znaméno jejího deermnanu Prezenovaná meoda je ověřena spolu s aplací Floqueovy eore na příladech s jedním supněm volnos umercé výpočy jsou provedeny v neravním prosředí MALAB 6

7 Určení analycého perodcého řešení sysému s volnos s perodcy proměnnou uhosí a budící sílou echť je chování paramercého sysému popsáno pohybovou rovncí [] m q b q [ ( ] q( f () de m je saconární hmonos b značí saconární lumení a vyjadřuje saconární uhos Časová proměnná ( odpovídá paramercému buzení je míra modulace uhos vyjadřující nenzu paramercého buzení q ( vyjadřuje zobecněné posunuí a f ( značí zobecněné buzení Obr Paramercý sysém s volnos Díy - perodcě funcí uhos a buzení je možné předpoláda perodcu odezvy sysému s perodou Což lze zapsa následovně ( ) f f ( ) q( q( ) () Pro další posup je nuné předpoláda exsenc - perodcého řešení j neznámé výchyly q ( jsou řešením výše zmíněné dferencální rovnce () a po převedení členu s proměnnou uhosí na pravou sranu rovnce zísáme m q b q q( f ( q( (3) Jelož chceme urč perodcé řešení j usálenou odezvu sysému hledáme parulární řešení rovnce () a neuvažujeme edy homogenní čás řešení přesněj přechodovou fáz mů Ja je uvedeno v [8] př naladění sousavy do rezonance je ampluda usáleného savu velá se všem negavním důsledy (vysoá hlučnos velé síly přenášené do rámu) Z pochopelných důvodů se ěmo savům snažíme vyvarova Zavedeme zv perodcou Greenovu func H ( (dále PGF) PGF lze chápa jao odezvu saconární čás rovnce (3) na Dracův hřeben jednoových mpulsů opaujících se 7

8 s perodou erá odpovídá perodě buzení Dracův hřeben je znázorněn na obr a lze jej zapsa pomocí Fourerovy řady e cos( sn( (4) de je magnární jednoa značí ndex členu řady a vyjadřuje záladní úhlovou frevenc pro erou plaí záladní vzah (5) V souladu s [] Dracův hřeben je sudá funce j snové členy ze vzahu (4) jsou nulové a lze použí zrácený záps de plaí ( ) e (6) e e (7) Obr Dracův hřeben jednoových mpulsů opaujících se s perodou Ja je zmíněno výše PGF je v usáleném savu odezva saconární čás na levé sraně rovnce (3) na buzení ve varu Dracova hřebene a lze psá ( ) ( ) ( ) ( ) m H b H H e (8) Vzhledem omu že plaí prncp superpozce je možné vyjádř PGF ao H H (9) 8

9 de H je odezva v usáleném savu odpovídající - é harmoncé a proo lze řešení rozděl na řešení sysému nezávslých rovnc m H b H H e () Parulární řešení odpovídající - é harmoncé odhadneme ve varu de H ˆ ˆ H e H e () Ĥ je ampluda a dervace odhadu jsou ˆ H e () H ( ) ˆ H e (3) H Odhad parulárního řešení () a jeho dervace () a (3) dosadíme do rovnce () čímž zísáme omplexní ampludu odezvy na - ou harmoncou složu buzení ve varu m b ˆ H (4) Označme dynamcou poddajnos odpovídající - é harmoncé L m b (5) Výraz (4) v souladu s (7) a (5) zpěně dosadíme do odhadu řešení () a zísáme řešení parulární rovnce pro usálený sav H Le (6) Př numercých výpočech je nuné respeova onečnos řady j v dalších zápsech sumy budeme uvažova onečné řady v nervalu pro poud nebude defnováno jna značí rozmezí poču členů řady Ve výpočech bude vždy brán dosaečný poče členů pro dobrou aproxmac perodcé funce ohledem na onečnos řady lze pomocí prncpu superpozce (9) zísa onečný var PGF H Le (7) 9

10 Celovou odezvu sysému (3) na paramercé buzení pravé srany lze vyjádř jao onvoluční negrál q( H( s) ( s) q( s)ds H( s) f ( s)ds (8) de Greenova funce v čase ( s) s ohledem na (6) má var H ( s) Le ( s) Le e ( s) (9) Jeslže dále zavedeme pro perodcé funce uhos a buzení následující Fourerovy řady de je j e( () j f f je j f e( () j e ) e e e e ( f f f f () (3) (4) můžeme rovnc (8) v souladu s (9) přepsa následovně q( L e e ( s) q( s)ds j j j j j L f e e j ( s)ds (5) eno vzah reprezenuje Fredholmovu negrální rovnc de první negrand předsavuje degenerované jádro K ( s) a druhý negrál odpovídá paramercému buzení pravé srany V [] se velce podrobně věnují posupu př řešení salární negrální Fredholmovy rovnce zaímco v [5] je použo macové řešení zmíněné rovnce eré je použelnější a pračější př numercých výpočech v dalších čásech éo práce vz apola 4 avíc v [5] je proveden rozbor sably a exsence řešení Př respeování podmíne orogonaly funcí snus a cosnus lze poslední negrál ve vzahu (5) vyjádř e j ( s)ds j (6)

11 de j značí Kronecerův symbol což je funce dvou přrozených čísel a zapíšeme j pro j j (7) pro j V rovnc (5) s ohledem na podmíny orogonaly dosáváme nenulové pouze é členy sčíané přes j Ja jž bylo zmíněno první negrand v rovnc (5) předsavuje degenerované jádro odpovídající součnu dvou funcí dvou proměnných což lze zapsa v souladu s (7) K( s) A je e j ( s) e Ae( s) j (8) de mace A má var L j pro j A (9) j pro j Jeslže dosadíme do rovnce (5) upravený vzah (8) pro degenerované jádro K ( s) dosaneme q( e Ae( s) q( s)ds e Lf (3) de L je omplexní dagonální mace L dag L (3) Zavedeme subsuce ψ Ae( (3) α ( s) q( s)ds Ae (33) Vzhledem zmíněným subsucím eré dosadíme do (3) zísáme q e α e Lf (34) de e ( α vyjadřuje perodcou odezvu saconární čás paramercého buzení z rovnce (3) a e ( Lf reprezenuje perodcou odezvu saconární čás na vnější buzení z rovnce (3)

12 Rovnc (34) vynásobíme zleva ψ Ae( a negrujeme na nervalu Ae( q( d A e( e dα A e( e d Lf (35) Po negrac v souladu s (33) zísáme α A Iα ˆ A Iˆ Lf (36) což lze uprav na var α AIα ˆ AIˆ Lf (37) de Î je jednoová dagonální mace s jednoam na vedlejší dagonále ˆ I (38) Macový součn Aˆ I lze lépe vyjádř s ohledem na (9) jao součn LH edy AIˆ LH (39) de mace L je defnována dle (3) L L L L L L L (4) pro jejíž členy na dagonále plaí L L pro a L Pruh nad písmenem označuje omplexně sdruženou hodnou dle [9]

13 Pásová mace H je Hermovsá [9] H H H (4) proože plaí pro a Jeslže dosadíme macový součn LH za Aˆ I do vzahu (37) zísáme α LH α LH Lf (4) de můžeme vyjádř α α ( I LH ) LH Lf (43) předpoladem že exsuje - perodcé řešení můžeme celové řešení pohybové rovnce () zapsa př dosazení (43) do (34) ve varu q( e ( I LH ) LH I Lf (44) de I je jednoová dagonální mace Přesnos ohoo řešení závsí na zvoleném poču uvažovaných členů Fourerovy řady aproxmující perodcé funce uhos a buzení j čím věší ím přesnější řešení dosaneme Ja lze vypozorova z rovnc (43) a (44) pro sysémovou mac I LH mohou nasa dva případy Poud bude sysémová mace regulární a její deermnan bude nenulový [9] sysémová mace je nverovaelná a díy omu má rovnce (44) řešení jeslže oo řešení exsuje aopa dyž bude sysémová mace sngulární a její deermnan bude nulový [9] a míra modulace uhos bude nabýva rcé hodnoy erá vymezuje hranc mez oblasí sably a nesably Vlasní čísla mace LH budou rovna j LH (45) ěmo případům se bude více věnova apola 3 de je dealně prozoumána sabla sysému a posouzení hranc mez oblasí sably a nesably 3

14 3 Posuzování sably sysému 3 ová meoda posouzení sably sysému a určení hranc sably V [] vz v apole se zabývají pouze odezvou paramercého sysému j celý posup je odvozen za předpoladu exsence - perodcého řešení a jž se dále nezabývají sablou řešení erá je rozhodující pro exsenc perodcého řešení V apole jsme př určování výsledného varu analycého perodcého řešení předpoládal nverovaelnos sysémové mace I LH Ja níže uvdíme eno předpolad je sěžejní pro posuzování sably sysému č pro určování hranc sably Analycé perodcé řešení má var dle (44) následující q( e ( I LH ) LH I Lf Pro posouzení sably je podle [5] nezbyné vzí v úvahu - perodcé řešení j řešení ~ s polovční frevencí V omo případě můžeme - perodcé řešení vyjádř pomocí původní frevence obdobně jao v (34) de q e α e L f (3) e ( ) e e e ( e e e 4 f f f f f f f f 4 L L L 4 4 L L L (3) (33) (34) 4

15 5 Vzah mez původním a novým velčnam lze vyjádř pomocí macového operáoru 5 3 J 4 (35) de aždý veor odpovídá - ému sloupc jednoové dagonální mace I 4 4 Plaí edy ) ( ) ( J e e (36) f J f (37) L J J L (38) Podobně jao mace H a mace H 4 4 je Hermovsá a pásová obsahuje Fourerovy oefceny uhos a lze j zapsa následovně H (39) Plaí aé vzahy mez původním a novým velčnam H J J H (3) L J L H J LHL (3)

16 Indexy v rovncích (3) až (38) a (3) až (3) odpovídají původní frevenc Veor Fourerových oefcenů α v rovnc (3) lze zísa analogcy rovnc (43) z řešení následující rovnce α L H α L H L f (3) edy α ( I L H ) L H L f (33) 4 4 de I je jednoová dagonální mace a veor odpovídající původní frevenc 4 α α α α α α α α zapíšeme ve varu (34) ejdříve dle [5] po nadefnování nezbyných velčn pro posouzení sably je řeba doáza denu řešení (34) a (3) q( e α e Lf a q e α e L f de α a α jsou řešení rovnce (43) a (33) Proo je výhodné změn uspořádání prvů veoru Fourerových oefcenů α na αu J αˆ α α L U (35) což lze rozepsa de αu J α (36) α L U α (37) U 4 4 α U (38) (39) 6

17 3 α L 3 (3) Dále zavedeme permuační mac P defnovanou macem J a U 4 4 P [ J U] (3) erou lze popsa dle [7] jao mac z nul a jednče erá má v aždém řádu a v aždém sloupc právě jednu jednču Z orogonaly mace P vyplývají následující vzahy P P I 4 4 U U I J J I (3) (33) (34) Proože mace J a U voří veorové podprosory P a P jejchž doplňy jsou navzájem orogonální plaí J U (35) Rovnc (35) můžeme přepsa pomocí permuační mace αˆ P α (36) z čehož plyne α Pαˆ (37) Do rovnce (36) dosadíme vzah (3) s respeováním (37) αˆ P L H Pαˆ P L H L f což lze vyjádř v souladu s (37) (3) (35) (3) a (35) α α U L LH LHL α J L H J J L H U U J L H L Jf (38) U L H J U L H U α L U L H L Jf 7

18 Po úpravě můžeme vzah (38) zapsa jao sousavu dvou macových rovnc αu LHα LHLf (39) U α U L H Uα (33) L L Z první rovnce je po úpravě αu ( I LH ) LHLf (33) zřejmé že př srovnáním s rovncí (43) zísáme α U α (33) Druhou rovnc (33) lze přepsa ( I U L H U) α (333) L Případ (333) nasane dyž něerá z vlasních čísel mace U L H U budou rovna nebo α L Pro první rovnos s je nuné uvědom že vlasní čísla mace U L H U podmnožnou vlasních čísel mace L H jsou U L H U L H ~ (334) což lze jednoduše doáza z orogonaly permuační mace P L H P L H P (335) H de mace L a P L H P ransformac mají dencá vlasní čísla proože se jedná o podobnosní yní uvažujme suac dy plaí druhá rovnos a vzah (33) j α L a α U α V souladu s (33) lze rovnc (36) přepsa α α J α (336) U z čehož plyne α J α (337) 8

19 respeováním (36) lze psá e L J e L (338) e J e (339) Poé můžeme s ohledem na (37) (338) a (339) vyjádř rovnc (3) q e α e Lf q( (34) erá je dencá rovnc (34) Idena řešení s perodou a je ímo doázána I dyž řešení odezvy jsou s rovna oblas sably nejsou oožné proože pro množny vlasních čísel plaí ~ ~ (34) LH J L H J L H P L H P Ze vzahu (34) vychází závěr že pro posouzení oblasí a hranc sably použjeme obecnější případ pro - perodcé řešení j rovnce (3) q e α e L f de řešením éo rovnce je vzah (33) α ( I L H ) L H L f V případě že α L a αu α můžeme zapsa 4 α α α α α Dosazením vzahu (33) do rovnce zísáme celové sysému analogcy (44) ( I L H ) L H I L f q e (34) - perodcé řešení odezvy (343) ejně jao u (44) a pro (343) je důležé zda sysémová mace nverovaelná (regulární) I L H je ejdříve je nuné doáza že deermnan mace H de L de H 9 H L je reálný Lze jej rozepsa ve varu de L (344) Deermnan mace H je reálný proože mace H je Hermovsá vz v [9] Deermnan mace L je aé reálný proože mace L má na dagonále prvy vořící omplexně sdružené páry a jeden reálný prve L (jeslže je reálné) Proo lze vrd že vlasní čísla

20 mace L H jsou reálná č po párech omplexně sdružená Reálná vlasní čísla odpovídají změně znaména deermnanu a vymezují hranc sably vz níže V prvním případě dy zmíněná sysémová mace I L H je sngulární [9] j není nverovaelná vymezuje nulový deermnan éo mace hranc sablních a nesablních oblasí edy Po úpravě L H de I (345) de L je původní mace ( ) H I (346) I L H sngulární právě ehdy dyž je rovno něerému z reálných vlasních čísel mace L H o znamená že paramer určuje zmíněnou hranc sably a celová sabla sysému je závslá na frevenc jelož prvy mace L jsou funcem frevence v souladu s (5) (3) a (34) Z oho plyne že s měnícím se se bude měn odpovídající hodnoa vlasního čísla budou určova rcé hodnoy eré určují hranc mez sablní a nesablní oblasí sysému o znamená že paramery a V druhém případě dy je sysémová mace I L H regulární j je nverovaelná a její deermnan je nenulový rozhoduje o sablě sysému znaméno sysémové mace Z numercého expermenu bylo vypozorováno následující jeslže je znaméno deermnanu sysémové mace I L H ladné sysém je sablní a exsuje perodcé řešení V opačném případě pro záporné znaméno deermnanu je sysém nesablní a neexsuje perodcé řešení Dle expermenu znaméno deermnanu nezávsí na znaménu parameru an saconární uhos Výslede nové meody posuzování sably sysému a určování hranc sably lze shrnou ímo zápsem dei L ( ) H hrance sablní sysémje sablní a perodcé řešení exsuje sysémje nesablní a a nesablní oblas perodcé řešení neexsuje (347)

21 3 Floqueova eore V následující podapole je prezenován přísup pro posuzování sably paramercého sysému s volnos s perodcy proměnnou uhosí a budící sílou jehož chování je popsáno rovncí () m q b q [ ( ] q( f ale pro aplac Floqueovy eore je dle [3] vhodnější zavés obecný maemacý model s časově proměnným macem erý lze použí pro lbovolný poče supňů volnos n edy obecný maemacý model vyjádříme M q B( q K( q( f( (3) de M ( je časově proměnná mace hmonos s perodou B ( značí časově proměnnou perodcou mac lumení K ( vyjadřuje časově proměnnou perodcou mac uhos a q ( je hledaný veor zobecněných souřadnc a pravé sraně vysupuje časově proměnný perodcý veor zobecněných budících sl f ( U aového sysému se projevují zv paramercé rezonance aladění paramerů sousavy př nchž nasávají paramercé rezonance mohou zapříčn nesablu sysému Určování ěcho pásem nesably bude provedeno pomocí jž zmíněné Floqueovy eore K pohybové rovnc (3) přdáme denu M q M( q (3) a obě rovnce můžeme přepsa do macového zápsu B( M( M( q K( ( ) q q( f M( ( ) q (33) což lze dále přepsa u P( u( F( (34) de B( M( ( ) ( ) M (35) K( P M( (36) f F( ) (37)

22 q( u ( ) q (38) Poud je mace ( regulární j lze j nverova vynásobíme rovnc (34) zleva ( ) a zavedeme ( u P( u( F( (39) A( P( (3) b( F( (3) Po úpravě a dosazení (3) a (3) do vzahu (39) zísáme u A( u( b( (3) Podle Floqueovy eore o sablě rozhoduje řešení homogenní čás rovnce (3) edy u A( u( (33) Předpoládejme že U u u u ( ) (34) ( n je fundamenální mace řešení jejíž sloupce u ( jsou nezávslá řešení (což je možné předpoláda u lneárních sysémů) erá splňuje sousavu dferencálních rovnc (33) poé U A( U( (35) U ( ) A( ) U( ) A( U( ) (36) a U ( ) je aé fundamenální mací ve varu U ) u ( ) u ( ) u n( ) (37) ( Předpoládejme že aždý veor u ( ) můžeme vyjádř jao lneární ombnac veorů u u u ( ) Předchozí vzah je pa možné zapsa jao ( n U( ) U( Z (38) de mace Z je onsanní mace oefcenů lneární ombnace Zvolíme-l fundamenální mac U( ) I de I je jednoová mace znamená o že mace U ( je v

23 charaerzována nezávslým počáečním podmínam Pa můžeme (38) v psá ve varu U( ) U() Z Z (39) a edy fundamenální mace v čase je rovna mac Z erou označujeme jao mac monodrome Vlasní čísla éo mace rozhodují o sablě daného sysému Jeslže všechna vlasní čísla leží v omplexní rovně v jednoové ružnc (včeně hrance) pa se jedná o sablní sysém vz obr 3 Poud vša alespoň jedno z vlasních čísel leží mmo uo hranc pa je sysém nesablní vz obr 4 Obr 3 ablní sysém Obr 4 esablní sysém Posup řešení sably sysémů popsaných dferencálním rovncem s perodcým oefceny podle (35) můžeme shrnou do jednolvých roů: ) Zjšění mace monodrome U( ) Z numercou negrací př zadané počáeční podmínce U( ) I můžeme pro jednoduchos zapsa posupně pro jednolvé sloupce mace U ( následovně u ) A( u ( u() e n u () ( 3

24 až do n u n A( u n u n () e n n un () Po sesavení ěcho sloupců do mace zísáme mac monodrome U( ) Z ) Určení vlasních čísel mace monodrome Z z problému vlasních hodno ( Z I) p 3) Analýza sably sysému z absoluních hodno vlasních čísel mace monodrome Z přčemž plaí následující relace sabla nesabla 4

25 33 Důaz Floqueovy eore [3] Převeďme mac Z z apoly 3 do Jordanova anoncého varu [9] P ZP J (33) de P p p p je pravosranná modální mace vlasních veorů mace Z a J je n Jordanova mace [9] eno var lze zísa následujícím způsobem nejprve vyjádříme pravosranný problém vlasních hodno Z I p (33) Dále vyjádříme levosranný problém vlasních hodno erý zísáme ranspozcí rovnce Z I p (333) což lze přepsa p Z I (334) Výsledem řešení problémů (33) a (333) jsou modální mace P a P p p p (335) P n p p p (336) n Prmárním výsledem řešením ja pravosranného a levosranného problému vlasních hodno (33) a (333) jsou vlasní čísla pro n erá jsou uspořádána do sperální mace Λ (337) n a erým přísluší vlasní veory uvedené v (33) a (333) Orogonala vlasních veorů a jejch normalzace Zapšme problém vlasních hodno (33) resp (333) pro - ý resp j - ý vlasní veor Z I p (338) Z I p (339) j j 5 P

26 Pronásobením (338) resp (339) vlasním veorem p resp j Z I p j p zleva dosaneme p (33) Z I p p (33) j j ransponováním vzahu (33) a odečením (33) od ransponované rovnce (33) zísáme vzah p p (33) j j pomocí něhož bude vysvělena orogonala vlasních veorů enásobná vlasní čísla ejprve se omezme na nenásobná vlasní čísla pro něž můžeme psá j (333) j Pa pro zjšění nulovos vzahu (33) musí pla j p p (334) V případě rovnos ve vzahu (33) j j (335) musí pla následující j j p p (336) ~ Označme pro další posup vlasní veory p a p jao p a p ~ chceme-l zdůrazn že se jedná o nenormované vlasní veory Podmíny vyjádřené v (334) a (336) lze poom vyjádř v ompaním varu pomocí nenormovaných mac P ~ ~ a P následujícím způsobem ~ P ~ P n (337) de dagonální mace obsahující nenulové členy je označena symbolem 6

27 Dále chceme docíl aby vzah (337) byl roven jednoové mac I Z ohoo důvodu zapšme mac jao součn dvou dagonálních mac LL (338) de L je ve varu L (339) n ásobíme-l vzah (337) mací L zleva zprava zísáme požadovanou rovnos L ~ ~ P PL I (33) de P vyjadřuje normovanou pravosrannou modální mac ve varu ~ ~ ~ ~ p p pn P PL (33) n ~ Označíme-l P L P dosaneme ranspozcí vzah pro normovanou levosrannou modální mac ve varu ~ ~ ~ ~ p p pn P PL (33) n Pro normované modální mace plaí vzah P P I (333) Vynásobením (333) zprava mací P zísáme vzah P P (334) díy erému sačí řeš pouze jeden z obou problémů vlasních hodno Proo se nyní vraťme rovnc (33) erou můžeme zapsa v ompaním varu ZP PΛ (335) ásobíme-l eno vzah zleva mací P dosaneme P ZP P PΛ (336) 7

28 a s ohledem na (333) a (334) lze psá P ZP Λ (337) eno vzah vyjadřuje převod do anoncého varu v případě jednoduchých sruur je Jordanova mace J oožná se sperální mací Λ ahraďme nyní v rovnc (35) z apoly 3 mac U ( ransformací pomocí modální mace P ve varu de pro čas U( ) V( P (338) plaí U( ) V( ) P (339) Dle (38) v apole 3 v souladu s (338) můžeme psá U( ) U( Z V( P Z (333) Ze vzahu (339) lze vyjádř V ( ) jao V ( ) U( ) P (333) a po dosazení (333) dosaneme V( ) V( P ZP (333) uvážením převodu do anoncého varu (337) plaí V( ) V( P ZP V( Λ (3333) což rozepíšeme pro - ý sloupec mace V ( ) v ( ) v (3334) Z ohoo vzahu je možné analyzova sablu sysému neboť plaí že poud absoluní hodnoa vlasního čísla bude věší než jedna pa ampluda bude narůsa neboť vzah (3334) vyjadřuje následující perodu eno vzah popsuje modální výchyly v eré lze zpěně ransformova na suečné výchyly vzahem (338) Z oho je parné že poud alespoň jedno z vlasních čísel je v absoluní hodnoě věší než jedna pa se jedná o nesablní sysém 8

29 ásobná vlasní čísla Pro násobná vlasní čísla plaí j (3335) j j j je nuné přpus případ rovnos vlasních čísel pro rozdílné ndexy Lze edy psá p p p p (3336) j j j j Označme (obdobně jao výše) vlasní veory p a p ~ symboly p a p ~ chceme-l zdůrazn že se jedná o nenormované vlasní veory Obdobně jao v (337) můžeme psá ~ ~ P P Q (3337) ~ de Q jž není dagonální mace ale obsahuje mmodagonální prvy p ~ j p ~ p ~ p Q p ~ p ~ j p ~ p ~ p ~ n p ~ n (3338) Mac Q je možné rozlož pomocí Cholevsého rozladu [4] ve varu Q LR (3339) ásobíme-l vzah (3337) mací L zleva a mací R zprava dosaneme L ~ ~ P PR I (334) de symbolem P vyjádříme normovanou pravosrannou modální mac varu ~ P PR (334) ~ a označíme-l P L P dosaneme ranspozcí vzah pro normovanou levosrannou modální mac ve varu ~ P PL (334) ouo operací byla provedena normalzace a orogonalzace vzahu (3337) Poé (334) lze přepsa jao P P I (3343) 9

30 ímo jsme dosáhl oožného vzahu s (333) a dále bychom posupoval analogcy jao u nenásobných vlasních čísel 3

31 4 Aplace řešení na příladech V éo čás se budeme věnova aplac eore a posupů z předchozích apol na jednoduchém sysému s supněm volnos erý je znázorněn na obr Pro numercé expermeny byl využ výpočový sysém MALAB Zavedeme-l časovou ransformac (4) lze defnova dq( ) d q q( ) (4) d d q q ( ) (43) Pomocí ěcho vzahů a (44) m b Dm (45) můžeme přepsa pohybovou rovnc () do bezrozměrného varu f ( ) q ( ) Dq ( ) ( ) q( ) (46) erý využjeme př určování analycého perodcého řešení sysému Dále upravíme pohybovou rovnc () pro meodu Runge- Kuy q f b q q( ( q( (47) m Po zavedení subsuce x q (48) x q (49) 3

32 můžeme psá x f b x x ( x (4) m x x (4) Meodu Runge- Kuy budeme aplova př nulových počáečních podmínách s roem s V apole 3 bylo prezenováno odvození nové meody posouzení sably Podle éo meody je provedena numercá smulace vyreslení hranc sably sysému na onréních příladech a je ověřena Floqueovou meodou vz níže Podle Floqueovy eore o sablě rozhoduje řešení homogenní čás rovnce () edy m q b q [ ( ] q( (4) Rovnc (4) upravíme q b q q( ( q( (43) m a po zavedení subsuce (48) a (49) můžeme psá x b x x ( x (44) m x x (45) Obě rovnce můžeme zapsa v macovém varu b x m x nebo následovně m [ ( )] x x (46) X A( X( (47) de q X ( ) (48) q 3

33 umercou negrac provedeme pomocí Rungeovy- Kuovy meody s roem a pro počáeční podmíny s X ( ) I (49) Další posup je popsán v apole 3 a podrobněj rozebrán v apole 33 Přílad echť je dáno Označení Velčna Hodnoa Jednoy poče členů řady poče členů řady pro posouzení sably 5 ab m saconární hmonos g saconární uhos / m f saconární síla onečný čas 35 s max D poměrný úlum čnel naladění 45 Z (44) (45) a následujících vzahů ab Dané paramery sysému (4) (4) zísáme další pořebné paramery sysému zapsané v ab Označení Velčna Hodnoa Jednoy vlasní frevence rad / s b saconární lumení s / m úhlová frevence 4 35 rad / s peroda 44 s ab Vypočené paramery sysému 33

34 34 umercý expermen se provádí na sysému s časově závslou uhosí jejíž charaersa je vyreslena na obr 5 a popsána funcí ) ( ) ( (4) Obr 5 Perodcá funce uhos Budící funce je zobrazena na obr 6 a má var ) ( ) ( f f f f f (43) Obr 6 Perodcá funce buzení

35 Dle () a () zavedeme pro perodcé funce uhos a buzení následující Fourerovy řady n n e (44) n 3 ( ) n n f f sn sn e n n n (45) V souladu s časovou ransformací (4) a vzahem (4) můžeme yo Fourerovy řady vyjádř n ( ) e (46) n n n 3n n f ( ) f sn sn e (47) n n Pro analycé perodcé řešení sysému jsou určujícím paramery sably čnel naladění a míra modulace uhos což bylo doázáno v apole 3 Čnel naladění je dán pro oba případy sejně 45 Pro sablní sysém byla míra modulace uhos nasavena ao 85 Každá zvolená míra modulace byla pro aždý přílad ověřena Floqueovou meodou V omo případě exsuje perodcé řešení eré se shoduje s usáleným savem celového řešení odezvy zísaného Rungeovou- Kuovou meodou vz obr 7 Vlv nulových počáečních podmíne př Rungeově- Kuově meodě je omezen jen na homogenní čás celového řešení a díy lumení eno vlv po ráém časovém úseu vymzí Obr 7 Celové řešení odezvy pro sablní sysém 35

36 a obr 8 je vyreslen deal celového řešení odezvy pro sablní sysém mez 5 a 3 perodou Z průběhu lze vypozorova posupné přblžování analycého řešení meodě Runge- Kuy Obr 8 Deal průběhu celového řešení odezvy pro sablní sysém Pro nesablní sysém byla zvolena míra modulace uhos 95 V omo případě perodcé řešení neexsuje Obr 9 Celové řešení odezvy pro nesablní sysém Výsledy posouzení sably novou meodou ověřenou Floqueovou meodou jsou uázány na obr a pro poměrný úlum D a D V obou případech jsou dle legendy u grafů modře označeny body vyšeřované Floqueovou meodou a červeně jsou označené 36

37 body vymezující oblas sably eré byly zísány pomocí prezenované nové meody určení hranc Z hledsa časové náročnos výpoču byl pro posouzení sably snížen poče členů řady z na 5 jelož numercý expermen probíhá na šroém pásmu ab paramerů s roem 3 a s roem 3 Zmíněné snížení a pásma paramerů u posuzování sably budeme respeova nebude-l defnováno jna Dále je nuné brá ohled na sřední hodnou ( erá je nenulová edy Obr ablní oblas pro poměrný úlum D Ja je parné z obr něeré body zísané Floqueovou meodou ve sablní oblas chybí vůl numercým chybám v zaorouhlování Obr ablní oblas pro poměrný úlum D 37

38 38 a sysém s poměrným úlumem D jsme aploval novou meodu posuzování sably sysému erá je shrnua ve vzahu (347) v apole 3 Byly vybrány dva lbovolné body jeden ze sablní oblas (zelený) a druhý z nesablní (růžový) Analýzou znaména deermnanu sysémové mace I L H byl povrzen závěr ze zmíněného vzahu (347) j pro nesablní sysém je deermnan záporný a pro sablní sysém nabývá deermnan ladných hodno Přílad ysémové paramery sysému jsou nasaveny sejně jao u příladu de jsou zmíněny v ab a Časově závslá uhos je vyreslena na obr a defnována funcí ) ( ) ( (48) Obr Perodcá funce uhos Budící funce je zobrazena na obr 3 a popsána vzahem ) ( ) ( f f f f (49)

39 Obr 3 Perodcá funce buzení Fourerovu řadu perodcé funce uhos vyjádříme vzahem n 3n n sn sn e (43) n n a pro perodcou func buzení zavedeme následující Fourerovu řadu ( ) f f n n n cos n e (43) V souladu s časovou ransformací (4) a vzahem (4) můžeme pro Fourerovu řadu uhos psá n 3n n ( ) sn sn e (43) n n a Fourerovu řadu buzení lze přepsa n f ( ) f cos n e (433) n n Pro analycé perodcé řešení sysému je čnel naladění dán pro oba případy sejně 45 Míra modulace uhos byla pro sablní sysém nasavena ao 85 V omo případě exsuje perodcé řešení eré se shoduje s usáleným savem celového řešení odezvy zísaného Rungeovu- Kuovou meodou vz obr 4 Vlv nulových počáečních podmíne př Rungeově- Kuově meodě je omezen jen na homogenní čás celového řešení a díy lumení eno vlv po ráém časovém úseu vymzí 39

40 Obr 4 Celové řešení odezvy pro sablní sysém a obr 5 je zobrazen deal celového řešení odezvy pro sablní sysém mez 5 a 3 perodou Z průběhu lze vypozorova posupné přblžování analycého řešení meodě Runge- Kuy Obr 5 Deal průběhu celového řešení odezvy pro sablní sysém Pro nesablní sysém se zvolenou mírou modulace uhos 97 perodcé řešení neexsuje 4

41 Obr 6 Celové řešení odezvy pro nesablní sysém Výsledy posouzení sably novou meodou ověřenou Floqueovou meodou jsou uázány na obr 7 a 9 pro poměrný úlum D a D V obou případech jsou dle legendy u grafů modře označeny body vyšeřované Floqueovou meodou a červeně jsou označené body vymezující oblas sably eré byly zísány pomocí prezenované nové meody určení hranc Výpoče byl proveden pro 5 Musíme aé brá ohled na sřední hodnou ( erá je opro příladu nulová edy ab Obr 7 ablní oblas pro poměrný úlum D I v omo příladu je z obr 7 parné že něeré body zísané Floqueovou meodou ve sablní oblas chybí vůl numercým chybám v zaorouhlování Dále je z obr 7 4

42 zřejmé že vyreslené hrance a oblas sably jsou symercé podle osy proo deal oblas nad zmíněnou osou můžeme vyresl na obr 8 Obr 8 ablní oblas pro poměrný úlum D nad osou symere Obr 9 ablní oblas pro poměrný úlum D a sysém s poměrným úlumem D jsme opě aploval novou meodu posuzování sably sysému Dále byly vybrány dva lbovolné body jeden ze sablní oblas (zelený) a druhý z nesablní (růžový) Analýzou znaména deermnanu sysémové mace I L H bylo dosaženo sejných výsledů jao u příladu čímž byl povrzen závěr ze vzahu (347) 4

43 43 Přílad 3 ysémové paramery sysému jsou nasaveny sejně jao u předchozích příladů de jsou zmíněny v ab a umercý expermen se provádí na sysému s časově závslou uhosí jejíž charaersa je vyreslena na obr a defnována funcí e e ) cos ( ) ( (434) de (435) Obr Perodcá funce uhos Budící funce je zobrazena na obr 6 a popsána dle vzahu (43) ) ( ) ( f f f f f Fourerovu řadu perodcé funce buzení vyjádříme vzahem (45) e 3 sn sn ) ( n n n n n f f

44 V souladu s časovou ransformací (4) a vzahem (4) můžeme pro Fourerovu řadu uhos psá dle vzahu (47) f ( ) f n Func buzení lze přepsa n 3n sn sn e n n ( ) cos( ) e e (436) Pro analycé perodcé řešení sysému je čnel naladění dán pro oba případy sejně 45 Pro sablní sysém byla míra modulace uhos nasavena ao 85 V omo případě exsuje perodcé řešení eré se shoduje s usáleným savem celového řešení odezvy zísané Rungeovu- Kuovou meodou vz obr Vlv nulových počáečních podmíne př Rungeově- Kuově meodě je omezen jen na homogenní čás celového řešení a díy lumení eno vlv po ráém časovém úseu vymzí Obr Celové řešení odezvy pro sablní sysém a obr je vyreslen deal celového řešení odezvy pro sablní sysém mez 5 a 3 perodou Z průběhu lze vypozorova posupné přblžování analycého řešení meodě Runge- Kuy 44

45 Obr Deal průběhu celového řešení odezvy pro sablní sysém Pro nesablní sysém byla zvolena míra modulace uhos 95 V omo případě perodcé řešení neexsuje Obr 3 Celové řešení odezvy pro nesablní sysém Výsledy posouzení sably novou meodou ověřenou Floqueovou meodou jsou uázány na obr 4 a 6 pro poměrný úlum D a D V obou případech jsou dle legendy u grafů modře označeny body vyšeřované Floqueovou meodou a červeně jsou označené body vymezující oblas sably eré byly zísány pomocí prezenované nové meody určení hranc Výpoče byl proveden pro 5 Musíme brá ohled na sřední hodnou ( erá je sejně jao u příladu nulová edy ab 45

46 Obr 4 ablní oblas pro poměrný úlum D I v omo případě je z obr 4 zřejmé že vyreslené hrance a oblas sably jsou symercé podle osy proo deal oblas nad zmíněnou osou můžeme vyresl na obr 5 Obr 5 ablní oblas pro poměrný úlum D nad osou symere 46

47 Obr 6 ablní oblas pro poměrný úlum D a sysém s poměrným úlumem D jsme jao v předešlých příladech aploval novou meodu posuzování sably sysému a opě byly vybrány dva lbovolné body jeden ze sablní oblas (zelený) a druhý z nesablní (růžový) Analýzou znaména deermnanu sysémové mace I L H bylo dosaženo sejných výsledů jao u předchozích příladů čímž byl povrzen závěr ze vzahu (347) 47

48 5 Závěr Cílem éo baalářsé práce bylo urč analycé perodcé řešení a ověř novou meodu pro posuzování sably lneárních majících sysémů s supněm volnos s perodcy proměnnou uhosí a budící sílou Ve druhé apole byl odvozen posup pro určení analycého perodcého řešení majícího sysému s supněm volnos eno posup byl aplován na něola příladech a porovnán s výsledy zísaných numercou meodou Runge- Kuy Analycé řešení jeslže exsuje se shoduje s usáleným savem celového řešení odezvy zísaného Rungeovou- Kuovou meodou řeí apola přnáší novou meodu pro posouzení sably sysému Bylo doázáno že znaméno reálné hodnoy deermnanu sysémové mace I L H rozhoduje o exsenc perodcého řešení a ím o sablě sysému Z numercého expermenu bylo vypozorováno následující jeslže je znaméno deermnanu sysémové mace I L H ladné sysém je sablní a exsuje perodcé řešení V opačném případě pro záporné znaméno deermnanu je sysém nesablní a perodcé řešení neexsuje ulový deermnan éo mace vymezuje hranc mez sablním a nesablním oblasm ová meoda byla ověřena pomocí Floqueovy meody Ja uazují výsledy numercých smulací ve čvré apole nová meoda je přesnější než aplace Floqueovy eore Velou výhodou nové meody je jednoduchos aplace a časová nenáročnos výpoču opro aplac Floqueovy eore erá je velce časově náročná př výpoču pásem sably pro šroý rozsah paramerů ejvěším přínosem předládané práce je možnos posouzení sably sysému na záladě znalos znaména reálné hodnoy deermnanu sysémové mace a o efevně bez složých numercých výpočů Zmíněnou meodu je možno rozšíř pro určování perodcého řešení a posuzování sably sysému s více supn volnos s perodcy proměnným paramery [6] 48

49 Použá leraura [] BABIKY V I KRUPEI V L: Vbraon of rongly nonlnear dsconnuous sysems Berln prnger [] BALDA M: Úvod do sacé mechany Plzeň ZČU v Plzn [3] DUPAL J VLA R: Dynama roorových sousav Učební ex vznlý v rámc projeu PAV č CZ7/3/95 Plzeň [4] DUPAL J: Výpočové meody mechany Plzeň ZČU v Plzn 4 [5] DUPAL J ZAJÍČEK M: Analycal perodc soluon and sably assessmen of DOF paramerc sysems wh me varyng sffness Appled Mahemacs and Compuaon 4 (In press) [6] DUPAL J ZAJÍČEK M: Analycal soluon of he drve vbraon wh me varyng parameers (DEC-4783) Washngon Proceedngs of AME IDEC [7] FIEDLER M: pecální mace a jejch použí v numercé maemace Praha L 98 [8] HLAVÁČ Z: Vynucené mání sousav s jedním supněm volnos Dosupné z: hp://wwwmezcucz/download/predmey/93-fs8pdf [9] HOLEDA J: O macích Plzeň Vydavaelsý servs 7 49