PARCIÁLN LNÍ DIFERENCIÁLN LNÍ ROVNICE VE ZPRACOVÁNÍ OBRAZU Autor práce: Vedoucí práce: Anna Kratochvílová Ing.Tomáš Oberhuber
Zadání Najít vhodný matematický model pro segmentaci obrazových dat Navrhnout vhodnou diskretizaci a numerické schéma Vytvořit implementaci na počítači Aplikovat výsledný algoritmus na testovací snímky 2
Obsah prezentace Modely pro odstraňování šumu Level set metoda Numerické schéma Výsledky Závěr 3
Rovnice vedení tepla u 2 (,,) xyt =Δ uxyt (,,) na R (0, T ) t 2 uxyt (,, = 0) = u0(, xy) na R je ekvivalentní konvoluci Gaussovým jádrem 2 2 1 x + y Gσ( x, y ) = 2exp 2 2πσ 2σ vyhlazování ve všech směrech; vyhlazování hran, detailů 4
Nelineárn rní modely u = t uxyt (,, = 0) = u0(, xy) ( c( u 2 ) u) Očekáváme, že: se vyhladí, co má být vyhlazeno; nepodstatné, homogenní oblasti a zvýrazní se hrany pravá strana rovnice by měla pro malé hodnoty vypadat jako rovnice vedení tepla pro velké hodnoty u by měla být téměř nulová. u 5
Model Perona-Malik cs () 1 = 1 + Ks u u(,,) x y t (,,) xyt = t 2 1 uxyt (,, ) + uxyt (,, = 0) = u0(, xy) pro malé hodnoty šumu metoda funguje dobře nemůže rozhodnout mezi pravými a falešnými hranami 6
Regularizace Perona-Malik místo u dosadíme vyhlazený Gσ u u u(,,) x y t (,,) xyt = 2 t 1 ( Gσ u) ( x, y, t) + uxyt (,, = 0) = u0(, xy) vyhlazováním dochází k odstranění šumu a hrany zůstanou zachované dochází ke zpomalení vyhlazování pouze o hranu, nikoli o šum 7
Level set metoda numerická metoda pro segmentaci objektů v obraze na základě detekce hran 2 nulová vrstevnice Ct () = { p φ(p, t) = 0}, kde p vývoj nulové vrstevnice level set rovnice 8
level set rovnice Level set metoda φ t + F φ = v místech hran - nulové nebo téměř nulové hodnoty. hrana se nenachází - funkce má vysoké hodnoty. 0 1 F = c = 0 p 1 + G σ I 0 se šumem - c κ 0 0 u 0 ut = c u + c u u difúzní člen stahuje křivku(střední křivost κ), a také se zastavuje na hranách(funkce c 0 ) advekční člen přitahuje level set křivku k hranám, 9 (hyperbolické rovnice)
Level set metoda rovnici můžeme přepsat jako: 0 u ut = u c u ve skutečnosti následující rovnice s Evans- 2 2 Spruck regularizací u u ε = ε + u dává stejný advekční člen jako rovnice bez regularizace. ut = ε + u c G I ( ) 2 2 0 σ ε 2 u + u 2 10
metoda Perona-Malik Aproximace du ij, + hu ij = h 2 kde ij, 0,..., N dt = 1 + huij u0, ij = Phu 0 diskretizace na síť použití jiné kombinace dopředných a zpětných diferencí můžeme dostat odlišné chování metody časově náročné 11
Výsledky aplikace modelů rovnice vedení tepla metoda Perona-Malik regularizace modelu Perona-Malik level set metoda 12
rozmazání hran 75% Rovnice vedení tepla 13
Porovnání metod na odstraňov ování šumu 15% 50% 75% 14
data s reálným šumem Regularizace modelu 15
nulová vrstevnice Level set model 16
Level set model tvar level set funkce - vstup 17
Level set model tvar level set funkce t=0.024 18
Level set model tvar level set funkce t=0.068 19
Level set model změna topologie 20
Level set model tvar level set funkce t = 0.121 21
Level set model tvar level set funkce t = 0.166 22
Level set model reálná data 23
Závěr představené modely pro odstraňování šumu fungují spolehlivě pro malé množství šumu level set metodu použijeme na data, u kterých nejprve odstraníme šum modelem Perona-Malik nebo jeho regularizovanou variantou, a to kvůli snížení časové náročnosti této metody zadané úkoly výzkumného úkolu se podařilo splnit Děkuji za pozornost! 24