SP 0 Chararisicé func Chararisicé func pro NP Chararisicé func pro NV Náhld Náhodnou proměnnou, nbo vor, L, n lz popsa funčními chararisiami: F, p, f číslnými chararisiami: E, D, A, A 4 Co s dá z čho spočía: F p E f E D A A 4 Pro náhodnou proměnnou, nbo vor, L, n lz spočía různé číslné chararisiy-např: - sřdní hodnoa, rozpyl - of. šimosi, špičaosi - r ý momn, r ý cnrální momn Jsou yo číslné chararisiy dosačující? J aždá náhodná proměnná jdnoznačně popsána vhodnými číslnými chararisiami? Odpověď na o dává chararisicá func náhodné proměnné náhodného voru. F p f c E Dfinic: Nchť a Y jsou náhodné vličiny dfinované na pravděpodobnosním prosoru,σ, P Označm: Z + iy Pa Z + iy s nazývá omplxní náhodná proměnná vličina. dy Z : Ω C. Ω. Poud xisují E, EY, pa omplxní číslo omplxní náhodné proměnné Z. E Z E + iey nazývám sřdní hodnoou SP 0 - Libor Žá ÚM - FSI VU Brno 08/9 Srána
Dfinic: Nchť j náhodná vličina dfinovaná na pravděpodobnosním prosoru Ω,Σ, P E, R nazvm chararisicou funcí náhodné vličiny.. Funci Chararisicou funci E, : R C náhodné vličiny lz zapsa v varu: E cos + i sin E cos + i E sin Výpoč chararisicé func Nchť j náhodná vličina dfinovaná na pravděpodobnosním prosoru Ω,Σ, P jjí disribuční func. Pa chararisicou funci lz vyjádř v varu: df Pro disréní náhodnou proměnnou s pravděpodobnosní funcí p: p cos p + i sin p x Z x Z Pro spojou náhodnou proměnnou s husoou pravděpodobnosi f: x Z f dx cos f dx + i sin f dx. F j Přílad. Nchť j disréní náhodná vličina s pravděpodobnosní funcí: x p SP 0 - Libor Žá ÚM - FSI VU Brno 08/9 Srána
Přílad. Nchť j disréní náhodná vličina s pravděpodobnosní funcí: x p / / + Přílad. Nchť j disréní náhodná vličina s pravděpodobnosní funcí: x p /5 4/5 5 + 4 5 Přílad 4. Nchť j disréní náhodná vličina s pravděpodobnosní funcí: x p /6 / / 6 + + SP 0 - Libor Žá ÚM - FSI VU Brno 08/9 Srána
Přílad 5. Nchť j disréní náhodná vličina s pravděpodobnosní funcí: x 4 5 6 p /6 /6 /6 /6 /6 /6 6 6 Přílad 6. Nchť j spojá náhodná vličina ~ Ro0, 0 dx 0 SP 0 - Libor Žá ÚM - FSI VU Brno 08/9 Srána 4
Chararisicá func náhodné vličiny j vždy dfinovaná. 0 poud xisuj, jina lim 0, R 4 5 j sjnoměrně spojá na R Důaz: Y a + b, d a, b R, pa náhodná proměnná Y má chararisicou funci: ia Y b a Y jsou nzávislé náhodné proměnné. Pa náhodná proměnná Z + Y má chararisicou funci: Z Y Důaz: SP 0 - Libor Žá ÚM - FSI VU Brno 08/9 Srána 5
Přílady ~ A p p + p ~ Bi n, p p p n + ~ Po λ λ xp 4 ~ Ex a, λ ia λ λ 4 ~ N µ, σ xp µ 6 ~ χ n n σ SP 0 - Libor Žá ÚM - FSI VU Brno 08/9 Srána 6
Chararisicé func - momny Exisuj-li -ý obcný momn µ, pa xisuj -á drivac a plaí: 0 i µ Exisuj-li -ý obcný momn µ až do řádu n, pa n 0 i µ + o! d µ 0 a pro o plaí: o : lim 0 0 Důaz: n o Vzah chararisicé func náhodné proměnné Nchť a Y jsou náhodné vličiny a, Y jjich chararisicé func, pa Y Y Nchť náhodná proměnná má chararisicou funci. Poud plaí: d <, pa náhodná proměnná j spojého ypu. Nchť x a x jsou body spojosi disribuční func F náhodné proměnné. pa F x F x d π 4 Nchť spojá náhodná proměnná má chararisicou funci. Pa jjí husou lz vyjádř: f π d. Důaz viz Rnyi,ori pravděpodobnosi. Praha, Acadmia 97 SP 0 - Libor Žá ÚM - FSI VU Brno 08/9 Srána 7
Y a +, d a R, - pouz rálná func, pa Y Y a + b, d a, b R, pa Y j spojá náhodná proměnná j spojá náhodná proměnná Důaz: Přílad 4. Nchť j disréní náhodná vličina s pravděpodobnosní funcí: x p /6 / / + + 6 + + 6 SP 0 - Libor Žá ÚM - FSI VU Brno 08/9 Srána 8
Přílad ~ Po λ xp λ xp λ Přílad Nchť j spojá náhodná vličina ~ Ro0, 0 dx 0 SP 0 - Libor Žá ÚM - FSI VU Brno 08/9 Srána 9
SP 0 - Libor Žá ÚM - FSI VU Brno 08/9 Srána 0 Přílad ~ N, xp xp xp xp π d d d Přílad ~ N0, 0 xp 0 xp xp 0 xp π d d d
Chararisicá func NV Dfinic chararisicá func náhodného voru Nchť, L, j náhodný vor dfinovaný na pravděpodobnosním prosoru Ω,Σ, P. Func n n, L, n E, R nazvm chararisicou funcí náhodného voru. Chararisicou funci : R n C náhodného voru lz zapsa v varu: i i E E j j E cos + i E sin j j j j Nchť j náhodný vor dfinovaný na pravděpodobnosním prosoru Ω,Σ, P jho disribuční func. Pa chararisicou funci lz vyjádř v varu: L df x Pro disréní náhodný vor s pravděpodobnosní funcí p: L p x Z x Pro spojý náhodný vor s husoou pravděpodobnosi f: x L f dx. F j chararisicá func náhodného voru j vždy dfinovaná. 0 0, L,0, R n m 4 nchť j char. fc NV, a R, Bm, n, Y a + B, pa náhodný vor Y má ia s chararisicou funci: Y s B s s R 5 vzahy mzi drivací v bodě 0 a momny: j 0 Důaz: ie j, i E j j 0 m SP 0 - Libor Žá ÚM - FSI VU Brno 08/9 Srána
Nchť, L, n j náhodný vor s chararisicou funcí složa j náhodného voru má chararisicou funci: 0, L,, L,0 j náhodná proměnná S + L+ n má chararisicou funci: S, L,, L, mzi chararisicou funcí a náhodným vorm j vzájmně jdnoznačný vzah: Y 4 složy náhodného voru Y, L, L, n n n i i d j chararisicá func i-é složy. Důaz:, L, n jsou nzávislé, právě hdy, dyž Přílady Nchť j zadaná pravděpodobnosní func: 0 /0 0 /0 /0 0 /5 /0 /5 Spočě chararisicou funci., ~ Ex0,, nzávislé. Spočě: a chararisicou funci náhodné vličiny: Y + 4 b chararisicou funci náhodného voru: Y + Y Y + Řšní: SP 0 - Libor Žá ÚM - FSI VU Brno 08/9 Srána