MECHANICKÉ KMITÁNÍ NETLUMENÉ Kitání je PERIODICKÝ pohyb hotného bodu (tělesa). Pohybuje se z jedné rajní polohy KP do druhé rajní polohy KP a zpět. Jaýoliv itající objet se nazývá OSCILÁTOR. A je aplituda axiální vzdálenost od RP () y je oažitá výchyla oažitá vzdálenost v určité čase () Může se jednat o těleso na pružině nebo itající ato v rystalové řížce. Ovše za ity (oscilace) považujee jaýoliv opaující se periodicý děj, při něž dochází pravidelné zěně libovolné fyziální veličiny v závislosti na čase. Napřílad při periodicé zěně veliosti a orientace intenzity eletricého pole nebo intenzity agneticého pole hovoříe o eletricých nebo agneticých itech. Popisují je stejné rovnice. Mechanicé ity hotných bodů prostředí ají tu výhodu, že jsou názorné, a proto je studujee nejdříve.. Kitavý netluený pohyb Pružina je charaterizovaná veličinou, terou nazýváe tuhost pružiny. Jednotou tuhosti pružiny je N. -. Při protažení pružiny vzniá v pružině síla pružnosti F p, jejíž veliost se v závislosti na prodloužení zvětšuje. Síla pružnosti je orientovaná proti protažení pružiny výchylce z rovnovážné polohy y. Čí více pružinu protáhnee, tí větší síla se snaží pružinu vrátit do původní polohy. F p y. Doba, za terou se objet dostane z jedné rajní polohy do druhé a zpět, se nazývá perioda T, podobně jao doba jednoho oběhu hotného bodu (uličy) po ružnici. Jednotou periody je seunda (s). Převrácená hodnota doby itu (periody) je frevence f. j Jednotou frevence je hertz (Hz = s - ). Platí, že
Úhlová rychlost pohybu po ružnici je f. T f. T Při itavé pohybu používáe pro terín úhlová frevence a pro úhlovou dráhu označení fáze. Jednotou je rad.s -, jednotou fáze je rad. Při rovnoěrné pohybu po ružnici je fáze t... Rovnice výchyly netlueného itavého pohybu Síla pružnosti působící haronicý itavý pohyb je F y. p Tuto sílu lze podle Newtonova pohybového záona zapsat ve tvaru Zrychlení je druhá derivace dráhy podle času, proto a y. Její řešení diferenciální rovnice je rovnice charaterizující dráhu hotného bodu (oažitou výchylu y), y Asin t, de A je aplituda itu, je úhlová frevence netlueného itavého pohybu, je počáteční fáze. Jednotou počáteční fáze je rad. Počáteční fáze určuje veliost oažité výchyly v čase t s. Výraz v závorce je fáze pohybu Taový pohyb nazýváe haronicý pohybe.
Přílad: Závaží o hotnosti 4 g je zavěšeno na pružinu. Pružina se tí prodlouží o 6 c vzhlede e své nezatížené délce. a) Jaá je tuhost pružiny? b) Dané závaží odstraníe a na tutéž pružinu zavěsíe závaží o hotnosti,5 g. Poté pružinu ještě poněud protáhnee a uvolníe. Jaá bude perioda vznilých itů? =4 g, y =,6, =? a) Na těleso působí síla pružnosti a tíhová síla, teré jsou v rovnováze pa g 4.9,8 y g 45,5 N. - y,6 Tuhost pružiny je 45,5 N. -. 4,5 b) Pro tuhost pružiny platí T, 84 s. T 45,5 Perioda itů je,84 s... Rovnice rychlosti a zrychlení netlueného itavého pohybu Rychlost, terou se těleso při itavé pohybu pohybuje a její zěnu, si veli dobře představíe, dyž pozorujee pohyb tenisty na zadní čáře tenisového urtu. Provádí v podstatě itavý pohyb. Rychlost v rajních polohách (aplitudách), dy se usí hráč zastavit, je nulová. Rychlost, dy prochází střede (rovnovážnou polohou) je axiální. Rychlost jaéhooliv pohybu, a tudíž i pohybu itavého, určíe derivací dráhy podle času. Protože drahou itavého pohybu je oažitá výchyla, pa derivujee rovnici pro výchylu podle času a dostanee d y v A cos t, dt de výraz v A představuje axiální rychlost v, terou itající objet prochází rovnovážnou polohou. V aplitudě je rychlost nulová. Pa rovnice v v cos t je rovnice rychlosti itavého pohybu. Zrychlení dostanee derivací rychlosti podle času. Derivujee tedy rovnici dále.
dv Pa zrychlení je a A sin t, dt de výraz a A je axiální zrychlení V rovnovážné poloze je zrychlení nulové. a. Toto zrychlení á hotný bod v aplitudě. Pa rovnice zrychlení je a a sin t. Přílad: Určete veliost rychlosti a zrychlení ve druhé seundě itavého pohybu, jestliže oažitá výchyla je dána vztahe y,4sin 5 t (,s). 6 Z rovnice pro výchylu Asin t - 5 rad.s a počáteční fázi rad. y určíe aplitudu A =,4, úhlovou frevenci a) dosadíe do vztahu pro oažitou rychlost A cos t Pa 6 v. v,4.5 cos 5,4.5 cos. 6 6 Protože cosinus je funce periodicá ůžee psát 3 v,4.5 cos,4.5.3,4. 5,4.s - 6 b) dosadíe do vztahu pro oažité zrychlení a A sin t Pa a,4. 5 sin5 t,4. 5 sin. 6 6 Protože sinus je funce periodicá ůžee psát a,4. 5 sin,4. 5.3,4. 49, 3.s - 6 Veliost rychlosti je 5,4.s -, veliost zrychlení je 49,3.s -.
.3. Práce sil pružnosti Při vychýlení tělesa z rovnovážné polohy, působí na vychýlený objet síla pružnosti F p posunutí o dráhový eleent ds vyoná eleentární práci dw. dw F ds F ds cos Protože síla pružnosti a vychýlení ají opačný sěr, je úhel 8 cos8 Obecný dráhový eleent ds nahradíe eleente výchyly dy, je onstanta pružnosti. Pa práce sil pružnosti je W Fp dy cos ydy ydy y dy y W y y Asin t y. Při.4. Potenciální energie pružnosti netlueného itavého pohybu Potenciální energie závisí na vzájené poloze dvou objetů a na práci, terou je nutné při jejich vzdálení (přiblížení) vyonat. Poznáa: Podobně jao u potenciální energie tíhové (tíhová síla práci. E p W F G g ) je zěna potenciální energie rovna Zde oná práci síla pružnosti. Potenciální energii pružnosti zísáe jao práci W, potřebnou vychýlení hotného bodu z rovnovážné polohy do vzdálenosti y. Při výchylce y působí na hotný bod síla pružnosti F p y. Potenciální energii pružnosti pa stanovíe výpočte (viz výše) y y y y y E p W ydy y, de y y, pa E y p V libovolné časové oažiu á hodnotu určenou vztahe sin E A t. p Potenciální energie pružnosti závisí na oažité výchylce. Mění v průběhu haronicého pohybu svou veliost.
Poznáa: V rovnovážné poloze je potenciální energie pružnosti nulová, v aplitudách je axiální a její hodnota je určená vztahe E A. p ax.5. Kineticá energie netlueného itavého pohybu Kineticá energie je určena znáý vztahe E v v A cos t haronicého pohybu dostanee rychlost A cos t E. Použití vztahu zapíšee ineticou energii ve tvaru cos E A t.. Po dosazení odvozeného vztahu pro Kineticá energie je závislá na oažité hodnotě rychlosti. Mění v průběhu haronicého pohybu svou veliost. Poznáa: Protože je určená rychlostí oscilátoru, je v aplitudách nulová, při průchodu rovnovážnou polohou je axiální. Maxiální ineticá energie v rovnovážné poloze je stanovena výraze E A. ax.6. Celová energie netlueného itavého pohybu Celová energie E haronicého pohybu je v aždé oažiu rovna součtu energie ineticé E a potenciální energie pružnosti E p E E E. p Jestliže sečtee oažité hodnoty ineticé energie a potenciální energie pružnosti, dostanee celovou energii itavého pohybu.
E E E p A cos t A sin t. Úpravou zísáe E A cos t sin t A. Pro celovou energii itavého pohybu tedy platí vztah E A. Energie potenciální a ineticá jsou s čase proěnné a přeěňují se navzáje. Celová energie netluených itů je onstantní. Přílad: Těleso hotnosti g oná netluený haronicý pohyb podle rovnice - y 3sin t.s. Určete jeho potenciální energii v bodě vratu. = g, A = 3, ω = rad.s -,E p =? Pro potenciální energii platí vztah E p E A..3 36 p J. Potenciální energie je 36 J. y. V bodě vratu je výchyla rovna aplitudě, Přílad: Těleso hotnosti g oná netluený haronicý pohyb podle rovnice y,sin3 t.s. Ve vzdálenosti, od rovnovážné polohy á potenciální energii,9 J. Určete v této poloze jeho ineticou energii. = g, A =,, ω =3 rad.s -,E p =,9 J, E =? Celová energie E A je rovna součtu E E E. Pa p E E E A E.3,,9,7 J. p p Kineticá energie je,7 J.
Přílad: Těleso oná netluený haronicý pohyb. Perioda pohybu je s. Celová energie tělesa je 3. -5 J a axiální síla působící na těleso á veliost,5. -3 N. Určete aplitudu výchyly. T = s, E = 3. -5 J, F =,5. -3 N, A =? Celová energie je E A, axiální síla je F A. Vyjádříe vztahu pro energii, pa F A. Dosadíe do 5 F E.3. 5 E A E F A A 4.. A F 3,5. Aplituda výchyly je 4. -5. Přílad: Kitavý pohyb je popsán rovnicí: y,4 sin6 t. 3 Určete: a aplitudu itu, b úhlovou frevenci c počáteční fázi d frevenci a periodu itu Podle vztahu pro oažitou výchylu y t a y =,4 b = 6 rad.s - c = 3 rad y sin srovnání určíe: d použijee vztah 6 f 3 Hz, pro periodu a frevenci platí T s f 3 Přílad: Jaá je doba itu haronicého oscilátoru, jestliže zavěšené těleso na pružině á hotnost g a síla působící při výchylce 3 c je 5. - N? =, g, y =,3, F = 5. - N, T =? Souvislost ezi dobou itu a úhlovou frevencí je určena vztahe. Zároveň platí T. Pa použití obou vztahů je pružnosti F y. Pa vztah T. Tuhost pružiny je nutno vyjádřit ze vztahu pro sílu F dosadíe do jenovatele předchozího zlou a dostanee y y,..3 T. Po dosazení číselných hodnot T.3,4,49s F 5.
PŘÍKLADY. Těleso hotnosti, g oná netluený haronicý pohyb. Určete jeho dobu itu, víte-li, že při výchylce 9. - působí na těleso síla 3. -4 N.. Hotný bod oná netluený haronicý pohyb ta, že při výchylce,3 působí na hotný bod síla veliosti 6 N. Určete veliost působící síly při výchylce,. 3. Těleso hotnosti 8 g oná netluený haronicý pohyb. Při výchylce,3 na něj působí síla 6 N. Určete veliost úhlové frevence. 4. Těleso zavěšené na pružině oná netluený haronicý pohyb. Jeho aplituda je 4 c a doba itu s. Vypočítejte čas, za terý těleso urazí dráhu z rovnovážné polohy do bodu vratu. V následujících příladech použijte vztah pro fyzicé yvadlo Určete periodu itů tyče dély a hotnosti 5 g ývající ole osy uístěné na onci tyče. Určete frevenci itů oule poloěru, a hotnosti 5 g ývající ole osy uístěné tečně povrchu. Určete frevenci itů válce průěru,5 a hotnosti 5 g ývající ole osy uístěné tečně povrchu rovnoběžně s osou rotační syetrie. V následujících příladech použijte vztah pro reduovanou délu fyzicého yvadla Tíhové zrychlení bylo ěřeno reverzní yvadle o reduované délce. Čas, za terý se dostane yvadlo z jednoho bodu vratu do druhého, je s. Určete hodnotu tíhového zrychlení. Tíhové zrychlení bylo ěřeno reverzní yvadle o reduované délce. Frevence yvů v obou závěsech byla s-. Určete hodnotu tíhového zrychlení.
V následujících příladech použijte vztah pro záon zachování energie. Moent setrvačnosti tyče vzhlede ose v těžišti je ( J T = /l ) Hoogenní tyč dély,8 volně otočná ve své dolní onci začíná padat z olé polohy. Jaou rychlost bude ít těžiště tyče v oažiu průchodu vodorovnou rovinou? Hoogenní tyč dély,8 volně otočná ve své dolní onci začíná padat z olé polohy. Jaou rychlost bude ít volný onec tyče v oažiu průchodu vodorovnou rovinou? Hoogenní tyč dély, volně otočná ve své dolní onci začíná padat z olé polohy. Jaou rychlost bude ít volný onec tyče v oažiu průchodu svislou rovinou? 5. Těleso oná netluený haronicý pohyb s aplitudou výchyly, a úhlovou frevencí 3 rad/s. V čase t = s je těleso v rovnovážné poloze. Napište rovnici pro zrychlení tělesa. 6. Těleso hotnosti g oná netluený haronicý pohyb podle rovnice y sin3t (,s). Vypočítejte ineticou energii tělesa v bodě vratu. 7. Těleso hotnosti g oná netluený haronicý pohyb podle rovnice y,sin3t (,s). Vypočítejte ineticou energii tělesa v rovnovážné poloze. 8. Těleso hotnosti g oná netluený haronicý pohyb podle rovnice y 3sint (,s). Určete jeho potenciální energii v bodě vratu. 9. Těleso hotnosti g oná netluený haronicý pohyb podle rovnice y,sin3t (,s). Ve vzdálenosti, od rovnovážné polohy á potenciální energii,9 J. Určete v této poloze jeho ineticou energii.. Těleso oná netluený haronicý pohyb. Perioda pohybu je s. Celová energie tělesa je 3. -5 J a axiální síla působící na těleso á veliost,5. -3 N. Určete aplitudu výchyly.. Kitající soustava pružina + těleso á echanicou energii J. Kitání probíhá s aplitudou výchyly c a axiální rychlost tělesa je, /s. a) Určete tuhost pružiny. ( = N. - ) b) Určete hotnost tělesa. ( =,39 g) c) Určete frevenci itání. (f =,9 Hz)